第一篇：高等數學教案ch 8.4～8.8
§8? 4 多元復合函數的求導法則
設z?f(u? v)? 而u??(t)? v??(t)? 如何求dz？
dt
設z?f(u? v)? 而u??(x? y)? v??(x? y)? 如何求?z和?z？
?x?y
1? 復合函數的中間變量均為一元函數的情形
定理1 如果函數u??(t)及v??(t)都在點t可導? 函數z?f(u? v)在對應點(u? v)具有連續偏導數? 則復合函數z?f[?(t)? ?(t)]在點t可導? 且有
dz??z?du??z?dv?
dt?udt?vdt
簡要證明1? 因為z?f(u? v)具有連續的偏導數? 所以它是可微的? 即有
dz??zdu??zdv?
?u?v又因為u??(t)及v??(t)都可導? 因而可微? 即有
du?dudt? dv?dvdt?
dtdt代入上式得
dz??z?dudt??z?dvdt?(?z?du??z?dv)dt?
?udt?vdt?udt?vdt從而
dz??z?du??z?dv?
dt?udt?vdt
簡要證明2? 當t取得增量?t時? u、v及z相應地也取得增量?u、?v及?z ? 由z?f(u? v)、u??(t)及v??(t)的可微性? 有
?z??z?u??z?v?o(?)??z[du?t?o(?t)]??z[dv?t?o(?t)]?o(?)
?u?v?udt?vdt
?(?z?du??z?dv)?t?(?z??z)o(?t)?o(?)?
?udt?vdt?u?v?z??z?du??z?dv?(?z??z)o(?t)?o(?)
?
?t?udt?vdt?u?v?t?t令?t?0? 上式兩邊取極限? 即得
dz??z?du??z?dv?
dt?udt?vdto(?)o(?)(?u)2?(?v)2注?lim?lim??0?(du)2?(dv)2?0?
?tdtdt?t?0?t?t?0?推廣? 設z?f(u? v? w)? u??(t)? v??(t)? w??(t)? 則z?f[?(t)? ?(t)? ?(t)]對t 的導數為?
dz??zdu??zdv??zdw?
dt?udt?vdt?wdt上述dz稱為全導數?
dt
2? 復合函數的中間變量均為多元函數的情形
定理2 如果函數u??(x? y)? v??(x? y)都在點(x? y)具有對x及y的偏導數? 函數z?f(u? v)在對應點(u? v)具有連續偏導數? 則復合函數z?f [?(x? y)? ?(x? y)]在點(x? y)的兩個偏導數存在? 且有
?z??z??u??z??v? ?z??z??u??z??v?
?x?u?x?v?x?y?u?y?v?y
推廣? 設z?f(u? v? w)? u??(x? y)? v??(x? y)? w??(x? y)? 則
?z??z??u??z??v??z??w
?z??z??u??z??v??z??w? ?
?x?u?x?v?x?w?x?y?u?y?v?y?w?y
討論?
(1)設z?f(u? v)? u??(x? y)? v??(y)? 則?z?？?z?？
?y?x
提示? ?z??z??u? ?z??z??u??z?dv?
?x?u?x?y?u?y?vdy?z
(2)設z?f(u? x? y)? 且u??(x? y)? 則?z?？?？
?y?x?f?f?f?f
提示? ?z??u?? ?z??u??
?x?u?x?x?y?u?y?y?f這里?z與是不同的? ?z是把復合函數z?f[?(x? y)? x? y]中的y看作不變而對x的?x?x?x?f?f?z偏導數? 是把f(u? x? y)中的u及y看作不變而 對x的偏導數? 與也朋類似
?y?y?x的區別?
3．復合函數的中間變量既有一元函數? 又有多元函數的情形
定理3 如果函數u??(x? y)在點(x? y)具有對x及對y的偏導數? 函數v??(y)在點y可導? 函數z?f(u? v)在對應點(u? v)具有連續偏導數? 則復合函數z?f[?(x? y)? ?(y)]在點(x? y)的兩個偏導數存在? 且有
?z??z??u??z?dv
?z??z??u? ?
?x?u?x?y?u?y?vdy
?z
例1 設z?eusin v? u?xy? v?x?y? 求?z和?
?x?y
解 ?z??z??u??z??v
?x?u?x?v?x
?eusin v?y?eucos v?1
?ex y[y sin(x?y)?cos(x?y)]?
?z??z??u??z??v
?y?u?y?v?y
?eusin v?x?eucos v?1
?exy[x sin(x?y)?cos(x?y)]?
例2 設u?f(x,y,z)?ex?f?f
解 ?u????z
?x?x?z?x2?y2?z2? 而z?x2siny? 求?u和?u?
?y?x
?2xex2?y2?z2?2zex2?y2?z2?2xsiny
? ?2x?(1?2x2siny)ex2?y2?x4si2ny?f?f
?u????z
?y?y?z?y
?2yex2?y2?z2?2zex2?y2?z2?x2cosy
?2(y?x4sinycoys)ex2?y2?x4si2ny?
例3 設z?uv?sin t ? 而u?et? v?cos t? 求全導數dz?
dt
解 dz??z?du??z?dv??z
dt?udt?vdt?t
?v?et?u?(?sin t)?cos t
?etcos t?e tsin t?cos t
?et(cos t?sin t)?cos t ?
?2w?w
例4 設w?f(x?y?z? xyz)? f具有二階連續偏導數? 求及? ?x?z?x
解 令u?x?y?z? v?xyz ? 則w?f(u? v)?
?f(u,v)?f(u,v)?????f22??等?
引入記號? f1??? f12? 同理有f2??f11?u?u?v?w??f??u??f??v?f??yzf?
2?
?x?u?x?v?x12?f??f?
?w??(f1??yzf2?)?1?yf2??yz2
?x?z?z?z?z???xyf12???yf2??yzf21???xy2zf22??
?f11???y(x?z)f12???yf2??xy2zf22???
?f11?f1??f1??u?f1??v?f??f??f????xyf12??? 2?2??u?2??v?f21???xyf22??? ?????f11?z?u?z?v?z?z?u?z?v?z
例5 設u?f(x? y)的所有二階偏導數連續? 把下列表達式轉換成極坐標系中的形式?
注?
2?2u?
?(1)(?u)2?(?u)2?
(2)?u?x?y?x2?y2解 由直角坐標與極坐標間的關系式得
u?f(x? y)?f(?cosθ? ?sinθ)?F(?? θ)?
其中x??cosθ? y??sinθ? ??x2?y2? ??arctan應用復合函數求導法則? 得
???u???ux?uy?u??uysin??co?s???
?u??u?
?x???x???x??????2????????u???uy?ux?u?uco?s?sin?????
?u??u?
????y???y???y??????2??y? x兩式平方后相加? 得
(?u)2?(?u)2?(?u)2?12(?u)2?
?x?y?????再求二階偏導數? 得
2??(?u)?????(?u)??? ?
u?x2???x?x???x?x??u?)?co??)?sin? s??usins??(?uco?s??usin
?(co????????????????22222?u?usin?co?s?usin??u2sin?co?s?usin?? 2??2?2??
?2cos???????????????2?2同理可得 222222?u?u?usin?co?s?uco?s?u2sin?co?s?ucos?? 2?2sin??2?2??22???????????y??????兩式相加? 得
22222?u?u?u11?u1??u?
2?2?2???22?2[?(?)?u]?
??????2?x?y???????
全微分形式不變性?
設z?f(u? v)具有連續偏導數? 則有全微分
dz??zdu??zdv?
?u?v如果z?f(u? v)具有連續偏導數? 而u??(x? y)? v??(x? y)也具有連續偏導數? 則
?z?z
dz?dx?dy
?x?y?z?u??z?v)dx?(?z?u??z?v)dy
?（?u?x?v?x?u?y?v?y?z?u?u?z?v?v
?(dx?dy)?(dx?dy)
?u?x?y?v?x?y
??zdu??zdv?
?u?v由此可見? 無論z 是自變量u、v的函數或中間變量u、v的函數? 它的全微分形式是一樣的? 這個性質叫做全微分形式不變性?
例6 設z?e usin v? u?x y? v?x?y? 利用全微分形式不變性求全微分?
解 dz??zdu??zdv? e usin vdu? e ucos v dv ?u?v
? e usin v(y dx?x dy)? e ucos v(dx?dy)
?(ye usin v? e ucos v)dx?(xe usin v? e ucos v)dy
?e xy [y sin(x?y)?cos(x?y)]dx? e xy [x sin(x?y)?cos(x?y)]dy ?
§8? 5
隱函數的求導法則 一、一個方程的情形
隱函數存在定理1
設函數F(x? y)在點P(x0? y0)的某一鄰域內具有連續偏導數? F(x0? y0)?0? Fy(x0? y0)?0? 則方程F(x? y)?0在點(x0? y0)的某一鄰域內恒能唯一確定一個連續且具有連續導數的函數y?f(x)? 它滿足條件y0?f(x0)? 并有
Fdy??x?
?dxFy
求導公式證明? 將y?f(x)代入F(x? y)?0? 得恒等式 F(x? f(x))?0?
dy等式兩邊對x求導得 ?F??F??0?
?x?ydx由于F y連續? 且Fy(x0? y0)?0? 所以存在(x0? y0)的一個鄰域? 在這個鄰域同Fy ?0? 于是得 Fdy??x?
dxFy
例1 驗證方程x2?y2?1?0在點(0? 1)的某一鄰域內能唯一確定一個有連續導數、當x?0時y?1的隱函數y?f(x)? 并求這函數的一階與二階導數在x?0的值?
解 設F(x? y)?x2?y2?1? 則Fx?2x? Fy?2y? F(0? 1)?0? Fy(0? 1)?2?0? 因此由定理1可知? 方程x2?y2?1?0在點(0? 1)的某一鄰域內能唯一確定一個有連續導數、當x?0時y?1的隱函數y?f(x)?
Fdydy??x??x? ?0?
dxFyydxx?0y?x(?x)dyy?xy?yy2?x2d2y1????????3； ??1?
dx2y2y2y3ydx2x?0
2隱函數存在定理還可以推廣到多元函數? 一個二元方程F(x? y)?0可以確定一個一元隱函數? 一個三元方程F(x? y? z)?0可以確定一個二元隱函數?
隱函數存在定理2
設函數F(x? y? z)在點P(x0? y0? z0)的某一鄰域內具有連續的偏導數? 且F(x0? y0? z0)?0? Fz(x0? y0? z0)?0 ? 則方程F(x? y? z)?0在點(x0? y0? z0)的某一鄰域內恒能唯一確定一個連續且具有連續偏導數的函數z?f(x? y)? 它滿足條件z0?f(x0? y0)? 并有
FF
?z??x? ?z??y?
?
?xFz?yFz
公式的證明? 將z?f(x? y)代入F(x? y? z)?0? 得F(x? y? f(x? y))?0?
將上式兩端分別對x和y求導? 得
Fx?Fz??z?0? Fy?Fz??z?0? ?
?y?x因為F z連續且F z(x0? y0? z0)?0? 所以存在點(x0? y0? z0)的一個鄰域? 使F z?0? 于是得
FF
?z??x? ?z??y?
?xFz?yFz?2z
例2.設x?y?z?4z?0? 求2?
?x
解
設F(x? y? z)? x2?y2?z2?4z? 則Fx?2x? Fy?2z?4? 222
?z??Fx??2x?x?
?xFz2z?42?z
?z(2?x)?x(x)(2?x)?x22?2z??x?2?z?(2?x)?x?
?x2(2?z)2(2?z)2(2?z)
3二、方程組的情形
在一定條件下? 由個方程組F(x? y? u? v)?0? G(x? y? u? v)?0可以確定一對二元函數u?u(x? y)? v?v(x? y)? 例如方程xu?yv?0和yu?xv?1可以確定兩個二元函數u?yx?
v??
x2?y2x2?y2y 事實上?
xu?yv?0 ?v?xu?yu?x?xu?1?u?22? ?
yyx?yyv?x?22?2x2?
yx?yx?y
如何根據原方程組求u? v的偏導數？
隱函數存在定理設F(x? y? u? v)、G(x? y? u? v)在點P(x0? y0? u0? v0)的某一鄰域內具有對各個變量的連續偏導數? 又F(x0? y0? u0? v0)?0? G(x0? y0? u0? v0)?0? 且偏導數所組成的函數行列
?F?(F,G)?u式：
J???(u,v)?G?u?F?v ?G?v在點P(x0? y0? u0? v0)不等于零? 則方程組F(x? y? u? v)?0? G(x? y? u? v)?0在點P(x0? y0? u0? v0)的某一鄰域內恒能唯一確定一組連續且具有連續偏導數的函數u?u(x? y)? v?v(x? y)? 它們滿足條件u0?u(x0? y0)? v0?v(x0? y0)? 并有
FxFvFuFxGGGG?(F,G)?(F,G)
?u??1??xv?
?v??1??ux?
?xJ?(x,v)?xJ?(u,x)FuFvFuFvGuGvGuGv?(F,G)?(F,G)????
?u??1?
?v??1?
?yJ?(y,v)?yJ?(u,y)FuFvFuFvGuGvGuGvFyFvGyGvFuFyGuGy
隱函數的偏導數: 設方程組F(x? y? u? v)?0? G(x? y? u? v)?0確定一對具有連續偏導數的 二元函數u?u(x? y)? v?v(x? y)? 則
?F?F?u?F?v?0,?xu?xv?x?u?v 偏導數? 由方程組?確定?
?u?v?x?x?Gx?Gu?Gv?0.?x?x??F?F?u?F?v?0,?yu?yv?y?u?v 偏導數? 由方程組?確定?
?u?v?y?y?Gy?Gu?Gv?0.?y?y??v 例3 設xu?yv?0? yu?xv?1? 求?u? ?v? ?u和?
?y?x?x?y 解 兩個方程兩邊分別對x 求偏導? 得關于?u和?v的方程組
?x?x?u?x?u?y?v?0??x?x? ??u?v?y?v?x?0?x??xyu?xvxu?yv當x2?y2 ?0時? 解之得?u??22? ?v?22?
?xx?y?xx?y
兩個方程兩邊分別對x 求偏導? 得關于?u和?v的方程組
?y?y?x?u?v?y?v?0??y?y? ??u?v?u?y?x?0?y?y?xv?yuxu?yv當x2?y2 ?0時? 解之得?u?22? ?v??22?
?yx?y?yx?y
另解 將兩個方程的兩邊微分得
?udx?xdu?vdy?ydv?0?xdu?ydv?vdy?udx
?? 即??
udy?ydu?vd?xxdv?0ydu?xdv??udy?vdx??解之得 du??xu?yvxv?yudx?dy?
x2?y2x2?y dv?yu?xvxu?yvdx?dy?
x2?y2x2?y2xu?yvxv?yu于是
?u??22? ?u?22?
?x?yx?yx?yyu?xvxu?yv
?v?22? ?v??22? ??xx?y?yx?y
例? 設函數x?x(u? v)? y?y(u? v)在點(u? v)的某一領域內連續且有連續偏導數?
又
?(x,y)?0? ?(u,v)?x?x(u,v)
(1)證明方程組
?
y?y(u,v)?在點(x? y? u? v)的某一領域內唯一確定一組單值連續且有連續偏導數的反函數u?u(x? y)? v?v(x? y)?
(2)求反函數u?u(x? y)? v?v(x? y)對x? y的偏導數?
解(1)將方程組改寫成下面的形式
?F(x,y,u,v)?x?x(u,v)?0
??
G(x,y,u,v)?y?y(u,v)?0?則按假設
J??(F,G)?(x,y)??0.?(u,v)?(u,v)由隱函數存在定理3? 即得所要證的結論?
(2)將方程組(7)所確定的反函數u?u(x? y)?v?v(x? y)代入(7)? 即得
?x?x[u(x,y),v(x,y)]
??
y?y[u(x,y),v(x,y)]?將上述恒等式兩邊分別對x求偏導數?得
?1??x??u??x??v?
??u?x?v?x?
?y?y?0???u???v??u?x?v?x由于J?0? 故可解得
?y?y
?u?1? ?v??1?
J?u?xJ?v?x
同理? 可得
?u??1?x?v?1?x
? ?
?yJ?v?yJ?u
§8? 6
多元函數微分學的幾何應用
一?
空間曲線的切線與法平面
設空間曲線?的參數方程為
x??(t)? y??(t)? z??(t)這里假定?(t)? ?(t)? ?(t)都在[?? ?]上可導?
在曲線?上取對應于t?t0的一點M0(x0? y0? z0)及對應于t?t0??t的鄰近一點M(x0+?x? y0+?y? z0+?z)? 作曲線的割線MM0? 其方程為
x?x0y?y0z?z0??? ??x?y?z當點M沿著?趨于點M0時割線MM0的極限位置就是曲線在點M0處的切線? 考慮 x?x0y?y0z?z0
? ???x?y?z?t?t?t當M?M0? 即?t?0時? 得曲線在點M0處的切線方程為
x?x0y?y0z?z0??? ??(t0)??(t0)??(t0)
曲線的切向量? 切線的方向向量稱為曲線的切向量? 向量
T?(??(t0)? ??(t0)? ??(t0))就是曲線?在點M0處的一個切向量?
法平面? 通過點M0而與切線垂直的平面稱為曲線?在點M0 處的法平面? 其法平面方程為
??(t0)(x?x0)???(t0)(y?y0)???(t0)(z?z0)?0?
例1 求曲線x?t? y?t2? z?t3在點(1? 1? 1)處的切線及法平面方程?
解
因為xt??1? yt??2t? zt??3t2? 而點(1? 1? 1)所對應的參數t?1? 所以
T ?(1? 2? 3)?
于是? 切線方程為
x?1?y?1?z? ?
123法平面方程為
(x?1)?2(y?1)?3(z?1)?0? 即x?2y?3z?6?
討論?
1? 若曲線?的方程為
y??(x)? z??(x)?
問其切線和法平面方程是什么形式?
提示? 曲線方程可看作參數方程? x?x? y??(x)? z??(x)? 切向量為T?(1? ??(x)? ??(x))?
2? 若曲線?的方程為
F(x? y? z)?0? G(x? y? z)?0?
問其切線和法平面方程又是什么形式??
提示? 兩方程確定了兩個隱函數?
y??(x)? z??(x)? 曲線的參數方程為
x?x? y??(x)? z??(x)? ?dy?dz?0F?F?Fxyz?dydzdxdx由方程組?可解得和?? dydzdxdx?Gx?Gy?Gz?0dxdx?dydz,)? dxdx
例2 求曲線x2?y2?z2?6? x?y?z?0在點(1? ?2? 1)處的切線及法平面方程? ?
dy?dz?02x?2y?2z?dxdx??
解 為求切向量? 將所給方程的兩邊對x求導數? 得?dy?1??dz?0?dxdx切向量為T?(1, 解方程組得dyz?xdzx?y??? ? ?dxy?zdxy?zdy?0? dz??1? dxdx從而T ?(1? 0? ?1)?
所求切線方程為
x?1?y?2?z?1
?
10?1法平面方程為
(x?1)?0?(y?2)?(z?1)?0? 即x?z?0?
在點(1? ?2? 1)處?
二? 曲面的切平面與法線
設曲面?的方程為
F(x? y? z)?0?
M0(x0? y0? z0)是曲面?上的一點?
并設函數F(x? y? z)的偏導數在該點連續且不同時為零? 在曲面?上? 通過點M0任意引一條曲線?? 假定曲線?的參數方程式為
x??(t)? y??(t)? z??(t)? t?t0對應于點M0(x0? y0? z0)? 且??(t0)? ??(t0)? ??(t0)不全為零? 曲線在點的切向量為
T ?(??(t0)? ??(t0)? ??(t0))?
考慮曲面方程F(x? y? z)?0兩端在t?t0的全導數?
Fx(x0? y0? z0)??(t0)?Fy(x0? y0? z0)??(t0)?Fz(x0? y0? z0)??(t0)?0?
引入向量
n?(Fx(x0? y0? z0)? Fy(x0? y0? z0)? Fz(x0? y0? z0))?
易見T與n是垂直的? 因為曲線?是曲面?上通過點M0的任意一條曲線? 它們在點M0的切線都與同一向量n垂直? 所以曲面上通過點M0的一切曲線在點M0的切線都在同一個平面上? 這個平面稱為曲面?在點M0的切平面? 這切平面的方程式是
Fx(x0? y0? z0)(x?x0)?Fy(x0? y0? z0)(y?y0)?Fz(x0? y0? z0)(z?z0)?0?
曲面的法線? 通過點M0(x0? y0? z0)而垂直于切平面的直線稱為曲面在該點的法線? 法線方程為
x?x0y?y0z?z0?
??Fx(x0, y0, z0)Fy(x0, y0, z0)Fz(x0, y0, z0)
曲面的法向量? 垂直于曲面上切平面的向量稱為曲面的法向量? 向量
n?(Fx(x0? y0? z0)? Fy(x0? y0? z0)? Fz(x0? y0? z0))就是曲面?在點M0處的一個法向量?
例3 求球面x2?y2?z2?14在點(1? 2? 3)處的切平面及法線方程式?
解
F(x? y? z)? x2?y2?z2?14?
Fx?2x? Fy?2y ? Fz?2z ?
Fx(1? 2? 3)?2? Fy(1? 2? 3)?4? Fz(1? 2? 3)?6?
法向量為n?(2? 4? 6)? 或n?(1? 2? 3)?
所求切平面方程為
2(x?1)?4(y?2)?6(z?3)?0? 即x?2y?3z?14?0?
y?2z?3?法線方程為x?1??
3討論? 若曲面方程為z?f(x? y)? 問曲面的切平面及法線方程式是什么形式?
提示?
此時F(x? y? z)?f(x? y)?z ?
n?(fx(x0? y0)? fy(x0? y0)? ?1)
例4 求旋轉拋物面z?x2?y2?1在點(2? 1? 4)處的切平面及法線方程?
解
f(x? y)?x2?y2?1?
n?(fx? fy? ?1)?(2x? 2y? ?1)?
n|(2? 1? 4)?(4? 2? ?1)?
所以在點(2? 1? 4)處的切平面方程為
4(x?2)?2(y?1)?(z?4)?0? 即4x?2y?z?6?0?
x?2?y?1?z?4法線方程為 ?
42?1§8? 7
方向導數與梯度
一、方向導數
現在我們來討論函數z?f(x? y)在一點P沿某一方向的變化率問題?
設l是xOy平面上以P0(x0? y0)為始點的一條射線? el?(cos ?? cos ?)是與l同方向的單位向量? 射線l的參數方程為
x?x0?t cos ?? y?y0?t cos ?(t?0)?
設函數z?f(x? y)在點P0(x0? y0)的某一鄰域U(P0)內有定義? P(x0?t cos ?? y0?t cos ?)為l上另一點? 且P?U(P0)? 如果函數增量f(x0?t cos ?? y0?t cos ?)?f(x0? y0)與P到P0的距離|PP0|?t的比值
f(x0?tco?s, y0?tcos?)?f(x0,y0)
t當P沿著l趨于P0(即t?t0?)時的極限存在?
則稱此極限為函數f(x? y)在點P0沿方向l的方向導數? 記作?f?l(x0,y0)? 即
?f?l(x0,y0)?lim?t?0f(x0?tco?s, y0?tcos?)?f(x0,y0)?
t
從方向導數的定義可知? 方向導數
?f?l(x0,y0)就是函數f(x? y)在點P0(x0? y0)處沿方向l的變化率?
方向導數的計算?
定理
如果函數z?f(x? y)在點P0(x0? y0)可微分? 那么函數在該點沿任一方向l 的方向導數都存在? 且有
?f?l(x0,y0)?fx(x0,y0)co?s?fy(x0,y0)co?s?
其中cos ?? cos ?是方向l 的方向余弦?
簡要證明? 設?x?t cos ?? ?y?t cos ?? 則
f(x0?tcos?? y0?tcos?)?f(x0? y0)?f x(x0? y0)tcos??f y(x0? y0)tcos??o(t)?
所以
f(x0?tco?s, y0?tcos?)?f(x0,y0)
lim?fx(x0,y0)co?s?fy(x0,y0)sin??
tt?0?這就證明了方向導數的存在? 且其值為
?f?l(x0,y0)?fx(x0,y0)co?s?fy(x0,y0)co?s??提示? f(x0??x,y0??y)?f(x0,y0)?fx(x0,y0)?x?fy(x0,y0)?y?o((?x)2?(?y)2)?
?x?t cos ?? ?y?t cos ??(?x)2?(?y)2?t?
討論? 函數z?f(x? y)在點P 沿x軸正向和負向?
沿y軸正向和負向的方向導數如何? 提示?
?f?f??
沿x軸正向時? cos???? cos??0?
?l?x?f?f 沿x軸負向時? cos???1? cos??0? ??? ?
?l?x2y
例1 求函數z?xe在點P(1? 0)沿從點P(1? 0)到點Q(2? ?1)的方向的方向導數?
解 這里方向l即向量PQ?(1, ?1)的方向? 與l同向的單位向量為
el?(1, ?1)?
22? 因為函數可微分? 且?z?x所以所求方向導數為
(1,0)?e2y?1? ?z(1,0)?y(1,0)?2xe2y(1,0)?2??
?z?1?1?2?(?1)??2?
?l(1,0)22
2對于三元函數f(x? y? z)來說? 它在空間一點P0(x0? y0? z0)沿el?(cos ??? cos ??? cos ?)的方向導數為?
?f?l(x0,y0,z0)?lim?t?0f(x0?tco?s, y0?tcos?,z0?tco?s)?f(x0,y0,z0)?
t
如果函數f(x? y? z)在點(x0? y0? z0)可微分? 則函數在該點沿著方向el?(cos ??? cos ??? cos ??的方向導數為
?f?l(x0,y0,z0)?fx(x0? y0? z0)cos??fy(x0? y0? z0)cos??fz(x0? y0? z0)cos??
例2求f(x? y? z)?xy?yz?zx在點(1? 1? 2)沿方向l的方向導數? 其中l的方向角分別為60?? 45?? 60??
解 與l同向的單位向量為
el?(cos60?? cos 45?? cos60???(1, 2, 1)???
222????因為函數可微分??且
fx(1? 1? 2)?(y?z)|(1? 1? 2)?3?
fy(1? 1? 2)?(x?z)|(1? 1? 2)?3?
fz(1? 1? 2)?(y?x)|(1? 1? 2)?2? 所以
?f?l?3?1?3?2?2?1?1(5?32)?
2222(1,1,2)
二? 梯度
設函數z?f(x? y)在平面區域D內具有一階連續偏導數? 則對于每一點P0(x0? y0)?D? 都可確定一個向量
fx(x0? y0)i?fy(x0? y0)j?
這向量稱為函數f(x? y)在點P0(x0? y0)的梯度? 記作grad f(x0? y0)? 即
grad f(x0? y0)? fx(x0? y0)i?fy(x0? y0)j?
梯度與方向導數? ?
如果函數f(x? y)在點P0(x0? y0)可微分? el?(cos ??? cos ??)是與方向l同方向的單位向量? 則
?f?l(x0,y0)?fx(x0,y0)co?s?fy(x0,y0)co?s?
? grad f(x0? y0)?el
?| grad f(x0? y0)|?cos(grad f(x0? y0)?^ el)?
這一關系式表明了函數在一點的梯度與函數在這點的方向導數間的關系? 特別? 當向量el與grad f(x0? y0)的夾角??0? 即沿梯度方向時? 方向導數
?f?l取得
(x0,y0)最大值? 這個最大值就是梯度的模|grad f(x0? y0)|? 這就是說? 函數在一點的梯度是個向量? 它的方向是函數在這點的方向導數取得最大值的方向? 它的模就等于方向導數的最大值?
?f
討論? 的最大值?
??l
結論? 函數在某點的梯度是這樣一個向量? 它的方向與取得最大方向導數的方向一致? 而它的模為方向導數的最大值?
我們知道? 一般說來二元函數z?f(x? y)在幾何上表示一個曲面? 這曲面被平面z?c(c是常數)所截得的曲線L的方程為
z?f(x,y)
??
?z?c?這條曲線L在xOy面上的投影是一條平面曲線L*? 它在xOy平面上的方程為
f(x? y)?c?
對于曲線L*上的一切點? 已給函數的函數值都是c? 所以我們稱平面曲線L*為函數z?f(x? y)的等值線?
若f x? f y不同時為零? 則等值線f(x? y)?c上任一點P0(x0? y0)處的一個單位法向量為
n?1(fx(x0,y0),fy(x0,y0))?
22fx(x0,y0)?fy(x0,y0)這表明梯度grad f(x0? y0)的方向與等值線上這點的一個法線方向相同? 而沿這個方?f向的方向導數就等于|grad f(x0? y0)|? 于是
?n?f
grafd(x0,y0)?n?
?n
這一關系式表明了函數在一點的梯度與過這點的等值線、方向導數間的關系? 這說是說? 函數在一點的梯度方向與等值線在這點的一個法線方向相同? 它的指向為從數值較低的等值線指向數值較高的等值線? 梯度的模就等于函數在這個法線方向的方向導數?
梯度概念可以推廣到三元函數的情形? 設函數f(x? y? z)在空間區域G內具有一階連續偏導數? 則對于每一點P0(x0? y0? z0)?G? 都可定出一個向量
fx(x0? y0? z0)i?fy(x0? y0? z0)j?fz(x0? y0? z0)k?
這向量稱為函數f(x? y? z)在點P0(x0? y0? z0)的梯度? 記為grad f(x0? y0? z0)? 即
grad f(x0? y0? z0)?fx(x0? y0? z0)i?fy(x0? y0? z0)j?fz(x0? y0? z0)k?
結論? 三元函數的梯度也是這樣一個向量? 它的方向與取得最大方向導數的方向一致? 而它的模為方向導數的最大值?
如果引進曲面
f(x? y? z)?c
為函數的等量面的概念? 則可得函數f(x? y? z)在點P0(x0? y0? z0)的梯度的方向與過點P0的等量面 f(x? y? z)?c在這點的法線的一個方向相同? 且從數值較低的等量面指向數值較高的等量面? 而梯度的模等于函數在這個法線方向的方向導數?
1?
x2?y2 解 這里f(x,y)?212?
x?y 例3 求grad
因為 ?f?f2y??22x22? ??222?
?x?y(x?y)(x?y)2y所以
gra d212??22x22i?222j?
x?y(x?y)(x?y)
例4 設f(x? y? z)?x2?y2?z2? 求grad f(1? ?1? 2)?
解 grad f?(fx? fy? fz)?(2x? 2y? 2z)?
于是
grad f(1? ?1? 2)?(2? ?2? 4)?
數量場與向量場? 如果對于空間區域G內的任一點M? 都有一個確定的數量f(M)? 則稱在這空間區域G內確定了一個數量場(例如溫度場、密度場等)? 一個數量場可用一個數量函數f(M)來確定? 如果與點M相對應的是一個向量F(M)? 則稱在這空間區域G內確定了一個向量場(例如力場、速度場等)? 一個向量場可用一個?向量函數F(M)來確定? 而
F(M)?P(M)i?Q(M)j?R(M)k?
其中P(M)? Q(M)? R(M)是點M的數量函數?
利用場的概念? 我們可以說向量函數grad f(M)確定了一個向量場——梯度場? 它是由數量場f(M)產生的? 通常稱函數f(M)為這個向量場的勢? 而這個向量場又稱為勢場? 必須注意? 任意一個向量場不一定是勢場? 因為它不一定是某個數量函數的梯度場??
例5 試求數量場m所產生的梯度場? 其中常數m>0?
rr?x2?y2?z2為原點O與點M(x? y? z)間的距離? ?r??mx?
解 ?(m)??m?xrr2?xr3my同理
?(m)??3? ?(m)??mz? 3?yrr?zrrxi?yj?zk)? 從而
gramd??m(rrr2rr?yzx記er?i?j?k? 它是與OM同方向的單位向量? 則gradm??me?
rrrrr2r
上式右端在力學上可解釋為? 位于原點O 而質量為m 質點對位于點M而質量為l的質點的引力? 這引力的大小與兩質點的質量的乘積成正比、而與它們的距平方成反比? 這引力的方向由點M指向原點? 因此數量場m的勢場即梯度場
rgradm稱為引力場? 而函數m稱為引力勢?
r
r§8?8
多元函數的極值及其求法
一、多元函數的極值及最大值、最小值
定義
設函數z?f(x? y)在點(x0? y0)的某個鄰域內有定義? 如果對于該鄰域內任何異于(x0? y0)的點(x? y)? 都有
f(x? y)
則稱函數在點(x0? y0)有極大值(或極小值)f(x0? y0)?
極大值、極小值統稱為極值? 使函數取得極值的點稱為極值點?
例1 函數z?3x2?4y2在點(0? 0)處有極小值?
?
當(x? y)?(0? 0)時? z?0? 而當(x? y)?(0? 0)時? z?0? 因此z?0是函數的極小值?
例2 函數z??x2?y2在點(0? 0)處有極大值?
?
當(x? y)?(0? 0)時? z?0? 而當(x? y)?(0? 0)時? z?0? 因此z?0是函數的極大值?
例3 函數z?xy在點(0? 0)處既不取得極大值也不取得極小值?
?
因為在點(0? 0)處的函數值為零? 而在點(0? 0)的任一鄰域內? 總有使函數值為正的點? 也有使函數值為負的點?
以上關于二元函數的極值概念? 可推廣到n元函數?
設n元函數u?f(P)在點P0的某一鄰域內有定義? 如果對于該鄰域內任何異于P0的點P? 都有
f(P)
則稱函數f(P)在點P0有極大值(或極小值)f(P0)?
定理1(必要條件)設函數z?f(x? y)在點(x0? y0)具有偏導數? 且在點(x0? y0)處有極值? 則有
fx(x0? y0)?0? fy(x0? y0)?0?
證明 不妨設z?f(x? y)在點(x0? y0)處有極大值? 依極大值的定義? 對于點(x0? y0)的某鄰域內異于(x0? y0)的點(x? y)? 都有不等式
f(x? y) 特殊地? 在該鄰域內取y?y0而x?x0的點? 也應有不等式 f(x? y0) 這表明一元函數f(x? y0)在x?x0處取得極大值? 因而必有 fx(x0? y0)?0? 類似地可證 fy(x0? y0)?0? 從幾何上看? 這時如果曲面z?f(x? y)在點(x0? y0? z0)處有切平面? 則切平面 z?z0?fx(x0? y0)(x?x0)? fy(x0? y0)(y?y0)成為平行于xOy坐標面的平面z?z0? 類似地可推得? 如果三元函數u?f(x? y? z)在點(x0? y0? z0)具有偏導數? 則它在點(x0? y0? z0)具有極值的必要條件為 fx(x0? y0? z0)?0? fy(x0? y0? z0)?0? fz(x0? y0? z0)?0? 仿照一元函數? 凡是能使fx(x? y)?0? fy(x? y)?0同時成立的點(x0? y0)稱為函數z?f(x? y)的駐點? 從定理1可知? 具有偏導數的函數的極值點必定是駐點? 但函數的駐點不一定是極值點? ? 例如? 函數z?xy在點(0? 0)處的兩個偏導數都是零? 函數在(0? 0)既不取得極大值也不取得極小值? ? 定理2(充分條件) 設函數z?f(x? y)在點(x0? y0)的某鄰域內連續且有一階及二階連續偏導數? 又fx(x0? y0)?0? fy(x0? y0)?0? 令 fxx(x0? y0)?A? fxy(x0? y0)?B? fyy(x0? y0)?C? 則f(x? y)在(x0? y0)處是否取得極值的條件如下? (1)AC?B2>0時具有極值? 且當A<0時有極大值? 當A>0時有極小值? (2)AC?B2<0時沒有極值? (3)AC?B2?0時可能有極值? 也可能沒有極值? ?? 在函數f(x? y)的駐點處如果 fxx? fyy?fxy2>0? 則函數具有極值? 且當fxx<0時有極大值? 當fxx>0時有極小值? 極值的求法? 第一步 解方程組 fx(x? y)?0? fy(x? y)?0? 求得一切實數解? 即可得一切駐點? 第二步 對于每一個駐點(x0? y0)? 求出二階偏導數的值A、B和C? 第三步 定出AC?B2的符號? 按定理2的結論判定f(x0? y0)是否是極值、是極大值 還是極小值? 例4 求函數f(x? y)?x3?y3?3x2?3y2?9x 的極值? ?fx(x,y)?3x2?6x?9?0 解 解方程組?? 2f(x,y)??3y?6y?0?y求得x?1? ?3? y?0? 2? 于是得駐點為(1? 0)、(1? 2)、(?3? 0)、(?3? 2)? 再求出二階偏導數 fxx(x? y)?6x?6? fxy(x? y)?0? fyy(x? y)??6y?6? 在點(1? 0)處? AC?B2?12?6>0? 又A>0? 所以函數在(1? 0)處有極小值f(1? 0)??5? 在點(1? 2)處? AC?B2?12?(?6)<0? 所以f(1? 2)不是極值? 在點(?3? 0)處? AC?B2??12?6<0? 所以f(?3? 0)不是極值? 在點(?3? 2)處? AC?B2??12?(?6)>0? 又A<0? 所以函數的(?3? 2)處有極大值 f(?3? 2)?31? 應注意的問題? 不是駐點也可能是極值點? 例如? ? 函數z??x2?y2在點(0? 0)處有極大值? 但(0? 0)不是函數的駐點? 因此? 在考慮函數的極值問題時? 除了考慮函數的駐點外? 如果有偏導數不存在的點? 那么對這些點也應當考慮? 最大值和最小值問題? 如果f(x? y)在有界閉區域D上連續? 則f(x? y)在D上必定能取得最大值和最小值? 這種使函數取得最大值或最小值的點既可能在D的內部? 也可能在D的邊界上? 我們假定? 函數在D上連續、在D內可微分且只有有限個駐點? 這時如果函數在D的內部取得最大值(最小值)? 那么這個最大值(最小值)也是函數的極大值(極小值)? 因此? 求最大值和最小值的一般方法是? 將函數f(x? y)在D內的所有駐點處的函數值及在D的邊界上的最大值和最小值相互比較? 其中最大的就是最大值? 最小的就是最小值? 在通常遇到的實際問題中? 如果根據問題的性質? 知道函數f(x? y)的最大值(最小值)一定在D的內部取得? 而函數在D內只有一個駐點? 那么可以肯定該駐點處的函數值就是函數f(x? y)在D上的最大值(最小值)? 例5 某廠要用鐵板做成一個體積為8m3的有蓋長方體水箱? 問當長、寬、高各取多少時? 才能使用料最省? 8解 設水箱的長為xm? 寬為ym? 則其高應為m? 此水箱所用材料的面積為 xyA?2(xy?y?8?x?8)?2(xy?8?8)(x?0, y?0)? xyxyxy8)?0? 得x?2? y?2? A?2(x?令Ax?2(y?8?)?0yy2x 2根據題意可知? 水箱所用材料面積的最小值一定存在? 并在開區域D?{(x? y)|x>0? y>0}內取得? 因為函數A在D內只有一個駐點? 所以 此駐點一定是A的最小值點? 即當水箱的長為2m、寬為2m、高為8?2m時? 水箱所用的材料最省? ? 2?2? 因此A在D內的唯一駐點(2? 2)處取得最小值? ?即長為2m、寬為2m、高為8?2m時? 所用材料最省? ? 2?從這個例子還可看出? 在體積一定的長方體中? 以立方體的表面積為最小?? 例6 有一寬為24cm的長方形鐵板? 把它兩邊折起來做成一斷面為等腰梯形的水槽? 問怎樣折法才能使斷面的面積最大？? 解 設折起來的邊長為xcm? 傾角為?? 那末梯形斷面的下底長為24?2x? 上底長為24?2x?cos?? 高為x?sin?? 所以斷面面積 A?1(24?2x?2xcos??24?2x)?xsin?? 2即A?24x?sin??2x2sin??x2sin? cos?(0 可見斷面面積A是x和?的二元函數? 這就是目標函數? 面求使這函數取得最大值的點(x? ?)? 令Ax?24sin??4xsin??2xsin? cos??0? A??24xcos??2x2 cos??x2(cos2??sin2?)?0? 由于sin? ?0? x?0? 上述方程組可化為 ?12?2x?xcos??0 ?? 2224co?s?2xco?s?x(co?s?sin?)?0?解這方程組? 得??60?? x?8cm? 根據題意可知斷面面積的最大值一定存在? 并且在D?{(x? y)|0 二、條件極值 拉格朗日乘數法 對自變量有附加條件的極值稱為條件極值? 例如? 求表面積為a2而體積為最大的長方體的體積問題? 設長方體的三棱的長為x? y? z? 則體積V?xyz? 又因假定表面積為a2? 所以自變量x? y? z還必須滿足附加條件2(xy?yz?xz)?a2? ? 這個問題就是求函數V?xyz在條件2(xy?yz?xz)?a2下的最大值問題? 這是一個條件極值問題? 對于有些實際問題? 可以把條件極值問題化為無條件極值問題? ? 例如上述問題? ?由條件2(xy?yz?xz)?a2? 解得z?a?2xy? 于是得 2(x?y)2 V?xy(a?2xy)? 2(x?y)只需求V的無條件極值問題? 在很多情形下? 將條件極值化為無條件極值并不容易? 需要另一種求條件極值的專用方法? 這就是拉格朗日乘數法? 現在我們來尋求函數z?f(x? y)在條件?(x? y)?0下取得極值的必要條件? 如果函數z?f(x? y)在(x0? y0)取得所求的極值? 那么有 ?(x0? y0)?0? 假定在(x0? y0)的某一鄰域內f(x? y)與?(x? y)均有連續的一階偏導數? 而?y(x0? y0)?0? 由隱函數存在定理? 由方程?(x? y)?0確定一個連續且具有連續導數的函數y??(x)? 將其代入目標函數z?f(x? y)? 得一元函數 z?f [x? ?(x)]? 于是x?x0是一元函數z?f [x? ?(x)]的極值點? 由取得極值的必要條件? 有 dy?0? dzx?x0?fx(x0,y0)?fy(x0,y0)dxdxx?x0即 fx(x0,y0)?fy(x0,y0)?x(x0,y0)?0? ?y(x0,y0)從而函數z?f(x? y)在條件?(x? y)?0下在(x0? y0)取得極值的必要條件是 fx(x0,y0)?fy(x0,y0)?x(x0,y0)?0與?(x0? y0)?0同時成立? ?y(x0,y0)fy(x0,y0) 設???? 上述必要條件變為 ?y(x0,y0)?fx(x0,y0)???x(x0,y0)?0? ?fy(x0,y0)???y(x0,y0)?0? ???(x0,y0)?0 拉格朗日乘數法? 要找函數z?f(x? y)在條件?(x? y)?0下的可能極值點? 可以先構成輔助函數 F(x? y)?f(x? y)???(x? y)? 其中?為某一常數? 然后解方程組 ?Fx(x,y)?fx(x,y)???x(x,y)?0? ?Fy(x,y)?fy(x,y)???y(x,y)?0? ???(x,y)?0由這方程組解出x? y及?? 則其中(x? y)就是所要求的可能的極值點? 這種方法可以推廣到自變量多于兩個而條件多于一個的情形? 至于如何確定所求的點是否是極值點? 在實際問題中往往可根據問題本身的性質來判定? 例7 求表面積為a2而體積為最大的長方體的體積? 解 設長方體的三棱的長為x? y? z? 則問題就是在條件 2(xy?yz?xz)?a2 下求函數V?xyz的最大值? 構成輔助函數 F(x? y? z)?xyz??(2xy ?2yz ?2xz ?a2)? 解方程組 ?Fx(x,y,z)?yz?2?(y?z)?0??Fy(x,y,z)?xz?2?(x?z)?0?F(x,y,z)?xy?2?(y?x)?0? ?z2??2xy?2yz?2xz?a得x?y?z?6a? 6這是唯一可能的極值點? 因為由問題本身可知最大值一定存在? ?所以最大值就在這個可能的值點處取得? 此時V?6a3? -----[xn?1 , xn]，A??A1??A2????An，?xi?xi?xi?1(i?1 , 2 , ? , n).②在每個小區間[xi?1 , xi]上任取一點?i，?Ai?f(?i)??xi，A??f(?i)?xi.i?1n③??max{?x1 , ?x2 , ? , ?xn}.A?lim?f(?i)?xi.??0i? 1-----高等數學教案----- n2.變速直線運動的路程: 設速度v?v(t)是時間間隔[T1 , T2]上t的連續函數，路程記為s.①把區間[T1 , T2]分成n個小區間:，…，[t0 , t1] [tn?1 , tn]，[t1 , t2]，s??s1??s2????sn，?ti?ti?ti?1(i?1 , 2 , ? , n).②在每個小區間[ti?1 , ti]上任取一點?i，?si?v(?i)??ti，-----高等數學教案-----s??v(?i)?ti.i?1n③??max{?t1 , ?t2 , ? , ?tn}.s?lim?v(?i)?ti.??0i?1n3.定積分定義: 設y?f(x)在[a , b]上有界.①把區間[a , b]分成n個小區間:，[x1 , x2]，…，[x0 , x1] [xn?1 , xn]，-----高等數學教案-----?xi?xi?xi?1(i?1 , 2 , ? , n).②在每個小區間[xi?1 , xi]上任取一點?i，?f(?i)?xi.i?1n③??max{?x1 , ?x2 , ? , ?xn}.如果 lim?f(?i)?xi ??0i?1n存在，且此極限不依賴于對區間[a , b]的分法和在[xi?1 , xi]上 -----高等數學教案----- 則稱此極限為f(x)?i點的取法，在[a , b]上的定積分，記為 f(?i)?xi.??af(x)dx?lim??0bi?1n注意：定積分? af(x)dx只與被積函數f(x)﹑積分區間[a , b]有關，而與積分變量用什么字母表示無關，即 b? af(x)dx?? af(t)dt?? af(u)du b b b.4.(必要條件).如果f(x , y)在D上可積，則f(x , y)在D上 -----高等數學教案-----有界.5.(充分條件): ①如果f(x)在[a , b]上連續，則f(x)在[a , b]上可積.②如果f(x)在[a , b]上有界，且只有有限個間斷點，則f(x)在[a , b]上可積.6.定積分的幾何意義： ①如果f(x)在[a , b]上連續，且f(x)?0，則 b? af(x)dx?s (S是曲邊梯 -----高等數學教案-----形的面積).②.如果f(x)在[a , b]上連續，且f(x)?0，則 b? af(x)dx??s (S是曲邊梯形的面積).③如果f(x)在[a , b]上連續，且f(x)的值有正有負，則 b? af(x)dx等于x軸上方的曲邊梯形面積減去x軸下方的曲邊梯形面積.7.規定: -----高等數學教案----- ①當a?b時，? af(x)dx?0.a?b ②當時，ba? af(x)dx???bf(x)dx.7.定積分的性質： ①??f(x)?g(x)?dx??f(x)dx??g(x)dx.b b②? akf(x)dx?k? af(x)dx.③ b c b? af(x)dx?? af(x)dx?? cf(x)dx.④如果在[a , b]上f(x)?1，則 b b? a1dx?? adx?b?a.b b b b a a a -----高等數學教案-----⑤如果在[a , b]上f(x)?0，則 b? af(x)dx?0.如果在[a , b]上f(x)?g(x)，則 b b? af(x)dx?? ag(x)dx，? af(x)dx?? af(x)dx.b b⑥設m?f(x)?M，則 bm(b?a)?? af(x)dx?M(b?.⑦(積分中值定理)如果f(x) -----高等數學教案-----在[a , b]上連續，則在[a , b]上至少存在一點?，使得 b? af(x)dx?f(?)?(b?a).證:由于f(x)在[a , b]上連續，所以存在最大值M和最小值m，使得 m?f(x)?M，bm(b?a)?? af(x)dx?M(b?a)，f(x)dx? am??M，b?a -----高等數學教案----- b故在[a , b]上至少存在一點?，使得 b? af(x)dx?f(?)b?a即 b? af(x)dx?f(?)?(b?a).b1稱為在f(x)dxf(x)? ab?a[a , b]上的平均值.P23511.證: 對任意實數?，有 12? 0[??f(x)]dx?0，1 122??2?? 0f(x)dx?? 0f(x)dx?0 -----高等數學教案-----，所以 12??4?? 0f(x)dx??4? 0f(x)dx?0，即 ? 0f(x)dx??? 0f(x)dx?.練習1.設f(x)在[a , b]上連續，且f(x)?0，證明: 12 121? af(x)dx? af(x)dx?(b?a)b b.§5.2微積分基本公式 1.積分上限的函數(變上限 -----高等數學教案-----積分): f(x)在[a , b]上連續，稱 x?(x)?? af(t)dt x?[a , b] 為積分上限的函數.2.如果f(x)在[a , b]上連續，x則?(x)?? af(t)dt可導，且 xd??(x)?f(t)dt?f(x)? adx.x例1.求F(x)?? 0tsintdt的導數.解: F?(x)?xsinx.-----高等數學教案----- sintdt?sinx 0例2.lim ?lim2x?0x?02xx1?.2 x例3.tedt??lim xx???xe2x??? x2 0t2elim?x2tedt?x x2 0t2x?limx???(1?2 x?limx???1? 2-----高等數學教案----- ? 3.?? ?(x)f(t)dt? ?f[?(x)]??(x)?f[?(x)]??(x)?(x)1?.2.x?bd 例4.? x?af(t)dt dx?f[(x?b)]?f[(x?a)].例 15.(? xedt)??e??e?2x xx?1?2xe.lnx2tlnxx22 -----高等數學教案-----例6.設f(x)在[a , b]上連續，且單調增加，證明: x1 F(x)?f(t)dt? ax?a在(a , b]內單調增加.證: 當x?(a , b)時，f(x)(x?a)?? af(t)dtF?(x)? 2(x?a)f(x)(x?a)?f(?)(x?a)?2(x?a)x f(x)?f(?)?(x?a) -----高等數學教案----- (a???x).由于f(x)在[a , b]上單調增加，而a???x，所以 f(x)?f(?)F?(x)??0，(x?a)故F(x)在(a , b]內單調增加.4.微積分基本公式(牛頓—萊布尼茨公式): 如果f(x)在[a , b]上連續，且F(x)是f(x)的一個原函數，則 b? af(x)dx?F(b)?F(a)?F(.-----高等數學教案----- 為F(x)、x?(x)?? af(t)dt都是f(x)的原函數，所以?(x)?F(x)?C.由于 ?(a)?F(a)?C，a?(a)?? af(t)dt?0，得 C??F(a)，?(x)?F(x)?F(a)，?(b)?F(b)?F(a)，b即 ?(b)?? af(x)dx ?F(b)?F(a) ?F(x).ba -----高等數學教案-----證: 因 ?1 1例7.? ?2dx?lnx?2 x?ln1?ln2 ??ln2.?1 例 2 1 28.? 01?xdx?? 0(1?x)dx?? 1(x?1)dx 221xx?(x?)0?(?x)22 ?1.例9.設 ?x , x?[0 , 1), f(x)???x , x?[1 , 2] ，-----高等數學教案-----2求?(x)?? 0f(t)dt在[0 , 2]上的表達式.x解(x)???? x2 0tdt , x?[0 , 1)?? 12dt?? x 0t 1tdt , x?[1 ,?x3 , ???3??13?12(x2?1), ?x3 ??, ?3??1-----高等數學教案 6 ,----- : 2] x?[0 ,x?[1 , 2x?[0 , x?[1 , 2? 例10.求 x f(x)??0tdt 在(?? , ??)上的表達式.??0?tdt , x?0解: f(x)??x tdt , x?0??02??x , x?0?2 ??2x? , x?0.?2x§5.3 定積分的換元法和分部積分法 -----高等數學教案-----1.定積分的換元法: b?? af(x)dx x??(t)??f[?(t)]??（其中f(x)連續，?(t)有連續的導數，a??(?)，b??(?)，.例1.? 0 4x?2dx 2x?11t2?32 32t?12 x? ? 1 tdt 2t 321?? 1(t?3)dt 2331t?(?3t)1 3-----高等數學教案-----例 例 ?223.2.? 1dx 34 1?x?1 x??(t2?2t)? ?1?(2t?2)?12 t??2? ?112?1 ?(1t)dt ??2(t?lnt)?1?12 ?1?2ln2.3.2? 111?x 2 x2dx x?sint ? ?cost ?24 -----高等數學教案----- sin2tcostdt 2? 例 ??2 ? cottdt 4?? ?2(csc2 ?t?1)dt 4?(?cott?t)?2? 4?1??4.? ?5 02sinx?cosxdx ??? ?5 02cosxdcosx ?(?16?6cosx)20 ?16.-----高等數學教案----- 4.例5.? 0x(2?x)dx 12421??? 0(2?x)d(2?x)2 25111 ??[(2?x)]0 2531 ?.102.設f(x)在[?a , a]上連續且為偶函數，則 a a? ?af(x)dx?2? 0f(x)dx.證: a 0 a? ?af(x)dx?? ?af(x)dx?? 0f(x)dx.12 4-----高等數學教案-----? ?af(x)dx x??t ? af(?t)(? 0 0 ??? af(t)dt ?? 0f(t)dt ?? 0f(x)dx.a a 0所 以 a a a? ?af(x)dx?? 0f(x)dx?? 0f(x)dx ?2? 0f(x)dx.a3.設f(x)在[?a , a]上連續且 a為奇函數，則 ? ?af(x)dx?0.xsinxdx.例6.求? ?242x?3x?1 2 -----高等數學教案----- 32xsinx解: 由于f(x)?42x?3x?132是 2奇3函2數，所以 xsinxdx?0.? ?242x?3x?1例7.求 1sinx?(arctanx).dx? ?121?x解: 原式1sinx 1(arctanx).?? ?1dx?dx?22 ?11?x1?xsinx由于f(x)?2是奇函數，1?x -----高等數學教案-----以(arctanx)是偶函數，所g(x)?21?x(arctanx)原式?0?2? 0 dx21?x 12?2? 0(arctanx)d(arctanx)122 312?[(arctanx)]0 332??()3496例8.設f(x)在[0 , a]上連續，-----高等數學教案-----?.?3證明: ? 0f(x)dx?? 0f(a?x)dx.a a證? 0f(x)dx 0 x?a?t ? af(a?t)(?dt)a: ??? af(a?t)dt ?? 0f(a?t)dt ?? 0f(a?x)dx.a 0 a 例9.若f(x)在[0 , 1]上連續，證明: ?f(sinx)dx? -----高等數學教案-----?2 0?f(cosx)dx.2 0? 證: ?f(sinx)dx ? x??t 2 ?2 0f(cost)(?d? ?2 0 ??f(cost)dt ?2 0??f(cosx)dx.?2 0 例10.若f(x)在[0 , 1]上連續，證明: ? 0xf(sinx)dx? ??.f(sinx)dx? 02 ? -----高等數學教案-----證: ? 0xf(sinx)dx 0 x???t ? ?(??t)f(sint)? ?? 0(??t)f(sint)dt ??? 0f(sint)dt?? 0tf(sint)dt ??? 0f(sinx)dx?? 0xf(sinx)dx.? ? ? ? ?解? 0 ?得 .f(sinx)dx? 02例11.若f(x)為連續函數，??xf(sinx)dx? -----高等數學教案-----且?ef(x?t)dt?xe，求f(x)的表達式.xt證: ? 0ef(x?t)dt xt 0x t?x?u ? xe 0x?uf(u)(?du) ??e?ef(u)du x x?u?e? 0ef(u)du.?ux 0 x所以e?ef(u)du?xe，得 x?u? 0ef(u)du?x.將上式兩邊對x求導數，得 ?x ef(x)?1，x x 0?ux -----高等數學教案-----即 f(x)?e.4.定積分的分部積分法: x ? auv?dx?(uv)?? au?vdx.bba b 例12.? 1lnxdx?(xlnx)?? 1dx 5?5ln5?x1 5515?5ln5?4.例13.? 0xedx?(xe)?? 0edx x1?e?e0 1xx10 1x?1.例14.若f(x)是以T為周期的連續函數，證明: -----高等數學教案-----? af(x)dx?? 0f(x)dx 其中a為常數.a?T T證: ? a 0 a?Tf(x)dx? T a?T? af(x)dx?? 0f(x)dx?? T a?T? Tf(x)dx af(x)dx x?u?T ? 0f(u?T)du ?? 0f(u)du ?? 0f(x)dx ??? af(x)dx.0 a a所以 ? a a?T 0f(x)dx? T 0? af(x)dx?? 0f(x)dx?? af(x)dx -----高等數學教案-----?? 0f(x)dx.T例15.設f(x)在(?? , ??)上連續，證明: 1lim?[f(x?h)?f(x)]dx?f(b)?f(a) bh?0h a證: 設f(x)的一個原函數為F(x)，則 b1lim?a [f(x?h)?f(x)]dx h?0h[F(x?h)?F(x)]?lim h?0hF(b?h)?F(b)?limh?0hF(a?h)?F(a)?limh?0h -----高等數學教案----- ba?F?(b)?F?(a)?f(b)?f(a).§5.4 反常積分 1.無窮限的反常積分: ①設f(x)在[a , ??)上連續，存在，f(x)dxt?a，如果tlim? a???則稱反常義積分? af(x)dx收斂，且 ??t ? af(x)dx?tlim.f(x)dx? a??? ??t否則稱反常積分? af(x)dx發散.?? -----高等數學教案-----②設f(x)在(?? , b]上連續，t?b，如果lim?tf(x)dx存在，t???b則稱反常義積分???f(x)dx收斂，且 b ???f(x)dx?tlim.f(x)dx????tb b否則稱反常積分???f(x)dx發散.③設f(x)在(?? , ??)上連 0 ??續，如果? ??f(x)dx與? 0f(x)dx都收斂，則稱反常積分 ??? ??f(x)dx收斂，且 b -----高等數學教案-----? ??f(x)dx ???? ??f(x)dx?? 0f(x)dx.0 ??否則稱反常積分? ??f(x)dx發散.2.引入記號: ??F(??)?limF(x)，x???F(??)?limF(x).x???若在[a , ??)上F?(x)?f(x)，則當F(??)存在時，??? af(x)dx?F(??)?F(a) ?[F(x)].??a -----高等數學教案-----若在(?? , b]上F?(x)?f(x)，則當F(??)存在時，b???f(x)dx?F(b)?F(??) ?[F(x)].b??若在上(?? , ??)F?(x)?f(x)，則當F(??)與F(??)都存在時，?????f(x)dx?F(??)?F(??) ?[F(x)].????例1.判斷反常積分 ???x? 0xedx 2-----高等數學教案-----是否收斂，若收斂求其值.?x??1解: 原式?(?e)0 2?x11 ?xlim(?e)? ???221 ?.2 例2.判斷反常積分 ?1? ??cosxdx 22的斂散性.解: 原式?(sinx) ?1???sin(?1)?limsinx.x???sinx不存在，由于xlim所以反??? -----高等數學教案-----常積分? ??cosxdx發散.例3.討論反常積分 ?1? ??1 1x?dx.解:? ??1 1x?dx ?(lnx)????1 , ???(11????1??x)1 -----高等數學教案----- ??1 ??1的斂散性 , ???? , ??1????? , ??1 ????1?1 , ??1? ??1 1x?dx，當???1時發散.例4.判斷反常積分 ? ??1 ??1?x2dx.解: ? ??1 ??1?x2dx -----高等數學教案----- ?1所以反常積分時收斂，當 的斂散性 ?(arctanx)0???(arctanx)??0 ???? 22??.? 1 ?? 例5.判斷反常積分 1dx 2x?x ??的斂散性.1dx解: ? 1 2x?x ??11?? 1(?)dx x1?x???[lnx?ln(1?x)]1 -----高等數學教案----- ??x?[ln]1 1?xx1?limln?ln x???1?x2?ln2.3.如果f(x)在點a的任一鄰域內都無界，那么稱點a為f(x)的瑕點.4.無界函數的反常積分(瑕積分): ①設f(x)在(a , b]上連續，點a為f(x)的瑕點，t?a.如果lim?tf(x)dx存在，則稱反常積t?a? -----高等數學教案-----b分? af(x)dx收斂，且 b ? af(x)dx?lim?tf(x)dx.b bt ?a?否則稱反常積分? af(x)dx發散.②設f(x)在[a , b)上連續，點b為f(x)的瑕點，t?b.如果 blim?af(x)dx存在，則稱反常積t?b?t分? af(x)dx收斂，且 b ? af(x)dx?lim?af(x)dx.btt ?b?否則稱反常積分? af(x)dx發散.③設f(x)在[a , b]上除點c(a?c?b)外連續，點c為f(x)的 b -----高等數學教案-----瑕點.如果兩個反常積分 b c? af(x)dx、? cf(x)dx都收斂，則 b稱反常積分? af(x)dx收斂，且 b c b? af(x)dx?? af(x)dx?? cf(x)dx.b否則稱反常積分? af(x)dx發散.5.引入記號: ①設F(x)為f(x)在(a , b]上的一個原函數，a為f(x)的瑕點，則 b? af(x)dx?F(b)?limF(x) x?a??[F(x)].ba -----高等數學教案-----②設F(x)為f(x)在[a , b)上的一個原函數，b為f(x)的瑕點，則 b? af(x)dx?limF(x)?F(a) x?b??[F(x)].ba 例6.判斷反常積分? 0lnxdx的斂散性.1解:? 0lnxdx?(xlnx)??0dx 1101?0?lim(xlnx)?x x ?0?10??1.-----高等數學教案----- 1例7.討論反常積分? 0?dxx 1的斂散性.解: ? 11 0x?dx ?(lnx)10 , ??1?????(1?11??1 ?x)0 , ??1 ??0?limx ?0?lnx , ???1?lim ?0?(1?1?x1???1??x) -----高等數學教案----- ??1 ??1 , ?1 , ??1?1??????? , ??1 ??? , ??1?? 11所以反常積分? 0?dx，當??1x時收斂，當??1時發散.11 例8.判斷反常積分? ?12dxx的斂散性.1解: ? ?12dx x 01 11?? ?12dx?? 02dx xx 1 -----高等數學教案----- ----- ?3.余項rn?s?sn?un?1?un?2??.?aq?a?aq?aq???aq?n2n?1: 例1.判斷等比級數(幾何級數)n?0?? (a?0)的斂散性.a?aq解:①q?1時，sn?，1?q?na，收斂，和為limsn?aq?n??1?qn?0a.1?q -----高等數學教案----- na?aq②q?1時，sn?，1?qlimsn??，?aq發散； n??nn?0??nsn??，③q?1時，sn?na，limn??n?0?aq發散.n④q??1時，?0 , n為偶數limsn不存在，sn??，n???a , n為奇數n?0?aq發散.n?n?1例2判斷級數?ln是否收nn?1? -----高等數學教案-----斂，若收斂求其和.解: sn?(ln2?ln1)?(ln3?ln2)? ??[ln(n?1)?lnn] ?ln(n?1).P②.3225sn??，所以原級數發散.由于limn??sn?11111(1?)?(?)?23235111??(?)22n?12n?111?(1?).22n?1 -----高等數學教案----- 1sn?，所以原級數收斂 由于limn??24.收斂級數的性質: ①如果?un收斂和為s，則?kunn?1n?1??也收斂，其和為ks；若?un發散，n?1?則?kun(k?0)也發散.n?1?②如果?un、?vn均收斂，其和n?1n?1?n?1???，分別為s、則?(un?vn)也收斂，其和為s??.-----高等數學教案----- ③在級數中去掉、加上或改變有限項，不會改變級數的收斂性.④如果?un收斂，則對這級數n?1?的項任意加括號后所成的級數(u1???un)?(un?1???un)??? (un?1???un)?? 112k?1k也收斂，且其和不變.如果一個級數發散，則加括號后所成的級數可能收斂，也可能發散.如果一個正項級數發散，則加 -----高等數學教案-----括號后所成的級數一定發散.⑤級數收斂的必要條件: 若n?1un?0.?un收斂，則limn???例3證明調和級數 1111??????? 23n是發散的.證: 假設調和級數收斂，部分 sn?s.和為sn，和為s，則limn??im(s2n?sn)?s?s?0.一方面，ln??另一方面，-----高等數學教案----- 111s2n?sn????? n?1n?22n111????? 2n2n2n1?，2(s2n?sn)?0，矛盾，故調所以limn??和級數發散.1P②.由于調和級數?發散，n?1n?1所以?也發散.n?13n?14P225⑤.由于級數?n是公比為 n?124225? -----高等數學教案-----11q?的幾何級數，而q??1，所22?1?1以?n收斂；由于級數?n是公比n?12n?1311為q?的幾何級數，而q??1，33?1所以?n收斂.n?13?1?1由于?n與?n都收斂，所以n?12n?13?11?(n?n)收斂.n?123§12.2 常數項級數的審斂法 -----高等數學教案-----1.正項級數: ?un(un?0).n?1?2.正項級數?un的部分和數列 n?1??sn?單調增加.3.正項級數?un收斂?部分和 n?1?數列?sn?有界.4.比較審斂法: 設?un、?vn都 n?1n?1??是正項級數，且un?vn.①若?vn收斂，則?un收斂； n?1?n?1??? ②若?un發散，則?vn發散.n?1n?-----高等數學教案-----5.比較審斂法的推論: 設?un、n?1n?1??vn都是正項級數.?n?1? ①若?vn收斂，且存在自然數N，使當n?N時有un?kvn(k?0)成立，則?un收斂.n?1? ②若?un發散，且存在自然數n?1?N，使當n?N時有un?kvn(k?0)成立，則?vn發散.n?-----高等數學教案-----?例1.判斷p?級數 1111?p?p???p?? 23n的斂散性.解: ①當p?1時，由于1np?而??1發散，所以?n?1n?1n?1np發散.②當p?1時，對于級數 1?1112p?3p???np?? 加括號后: -----高等數學教案----- 1n，1111111?(p?p)?(p?p?p?p)??234567 它的各項均不大于級數 1111111?(p?p)?(p?p?p?p224444 11?1?p?1?p?1?? 24的對應項，而后一個級數是收斂的幾何級數，所以級數 -----高等數學教案-----1111111?(p?p)?(p?p?p?p)??2345671收斂，故正項級數?p收斂.n?1n?1例2.判斷級數?lnn的斂散性.n?12?1111解: 由于lnn?logn?，而?nn?1n22?1發散，所以?lnn發散.n?12?1例3.判斷級數?lnn的斂散性.n?13???111解:由于?lnn??ln3，而?ln3n?13n?1nn?1n?1p?ln3?1，是p?級數，所以?ln3n?1n?1收斂，從而?lnn收斂.n?13?-----高等數學教案-----例4.若正項級數?an與?bn均 n?1n?1??收斂，則下列級數也收斂.①?anbn；②?(an?bn)；③ 2n?1n?1??an.?n?1n?證: ①由于?an與?bn均收斂，n?1n?1??所以?(an?bn)收斂，而n?1?an?bn?2anbn，故?anbn收斂.n?1?②由于 -----高等數學教案-----(an?bn)?an?2anbn?bn，而?an、2?n?1n?1??bn與?anbn均收斂，所以n?12???(an?bn)收斂.n?11③由于?an與?2均收斂，所n?1n?1n?11an以?(an?2)收斂，而an?2?2，n?1nnn?an故?收斂.n?1n??例5.若?an與?bn均收斂，且??n?1n?1an?cn?bn，求證:?cn收斂.n?-----高等數學教案----- ?證:由于?an與?bn均收斂，所n?1n?1??以?(bn?an)收斂.n?1?由于an?cn?bn，所以 ?n?1?bn?an?cn?an?0，而?(bn?an)收斂，故?(cn?an)收斂，而?an收斂，從n?1?n?1而?cn收斂.n?1?6.比較審斂法的極限形式: 設n?1?un、?vn均是正項級數，n?1?? -----高等數學教案----- ?un?0，且?vn收斂，則①若limn??n?1vn?un收斂.n?1??un?l(0?l???)，則?vn ②若limn??n?1vn與?un同時收斂和同時發散.n?1?un???，且?vn發散，③若limn??n?1vn?則?un發散.n?1?1例6.判斷級數?n的斂散 n?1n?n? -----高等數學教案-----性.1?n1n?n解:由于l?lim，而?1?n??1n?1nn?1發散，所以?n發散.n?1n?n?1n?1例7.判斷級數?ln的斂 n?1n?2n散性.1lnn?1nn?1解:由于l?lim?2，而n??12n??11n?1收斂.?2收斂，所以?lnn?1n?2nn?2n -----高等數學教案-----例8.判斷級數?(2?1)的斂散 nn?1?性.解: 由于 nn2?12?ln2l?lim?lim?ln2n??n??11n，??1n而?發散，所以?(2?1)發散.n?1n?1n7.比值審斂法(達朗貝爾判別法): 設?un為正項級數，且n?1? -----高等數學教案-----un?1lim??.n??un ①若??1，則?un收斂； n?1? ②若??1或????，則?un發 n?1?散； ③若??1，則?un可能收斂也 n?1?可能發散.1例9.判斷級數?的斂散 n?1(n?1)!?性.-----高等數學教案----- 1n!?0?1解: 由于??lim，n??1(n?1)!?1所以?收斂.n?1(n?1)!?n!例10.判斷級數?n的斂散性.n?110: 由于(n?1)!n?1n?110??lim?lim???，所n??n??10n!n10?n!以?n發散.n?110 -----高等數學教案-----解8.根值審斂法(柯西判別法): 設?un為正項級數，且n?1nu??.limnn??? ①若??1，則?un收斂； n?1? ②若??1或????，則?un發 n?1?散； ③若??1，則?un可能收斂也 n?1?可能發散.2n?1n例11.判斷級數?()的n?13n?1? -----高等數學教案-----斂散性.解: 由于 2n?1nn(??lim)n??3n?12n()3n?1?limn??nn3n?1，2n?1n所以?()收斂.n?13n?110.交錯級數: ?u1?u2?u3?u4??，或 ?u1?u2?u3?u4??，其中u1，u2…都是正數.-----高等數學教案-----11.萊不尼茲定理: 如果交錯級數?(?1)un滿足條件: n?1n?1? ①un?un?1； i?mun?0，②ln?則?(?1)un收斂，其和s?u1，其余n?1n?1?項的絕對值rn?un?1.例12.判斷級數?(?1)n?1?n?11的斂 n散性.解: 由于 -----高等數學教案-----11①?，即un?un?1； nn?11?0，即limu?0 ②lim，nn??n??n?n?11所以?(?1)收斂.n?1n12.絕對收斂: 如果?un收斂，n?1?則稱?un絕對收斂.n?1?例如，級數?(?1)n?1?n?11絕對收 2n斂.13.條件收斂: 如果?un收斂，n?-----高等數學教案----- ?而?un發散，則稱?un條件收斂.n?1n?1??例如，級數?(?1)n?1?n?11條件收斂.n?n?114.如果任意項級數?un的絕對值收斂，則?un收斂.n?1?1 證: 令Vn?(un?un)，21Wn?(un?un)，則un?Vn?0，2un?Wn?0.由于?un收斂，所以?Vn、?Wnn?1n?1n?-----高等數學教案-----???均收斂，故?(Vn?Wn)??un也收 n?1n?1??斂.15.設?un是任意項級數，n?1?un?1nu??，如果lim??或limnn??un??n??1，?un發散，則?un發散.n?1n?1??n例13.判別級數?(?1)是n?1n?1否收斂，若收斂是條件收斂，還 ?n?1是絕對收斂.-----高等數學教案-----解: 由于lim(?1)n??以?(?1)n?1?n?1n?1n?0，所 n?1n發散.n?1?1n?例14.判別級數?nsin是否 5n?12收斂，若收斂是條件收斂，還是絕對收斂.?1n?11?n，解: 由于nsin而?n 522n?121(是公比為q??1的幾何級數)2?1n?收斂，所以?nsin收斂，故 5n?1-----高等數學教案-----1n??nsin絕對收斂.5n?12?1例15.判別級數?(?1)ln(1?)nn?1是否收斂，若收斂是條件收斂，?n還是絕對收斂.11解: 由于ln(1?)?ln(1?)，而 n?1n1limln(1?)?0，所以交錯級數n??n?1n?(?1)ln(1?)收斂.n?1n由于 -----高等數學教案----- 1(?1)ln(1?)1 nlim?limnln(1?)n??n??1nnn1n?limln(1?)n??n?1，?1?1n而? 發散，所以?(?1)ln(1?)發n?1nn?1n?1n散，故?(?1)ln(1?)條件收斂.n?1n§12.3 冪級數 1.區間I上的函數項級數: u1(x)?u2(x)???un(x)??.-----高等數學教案-----對于x?x0?I，常數項級數 u1(x0)?u2(x0)???un(x0)?? ?n?1收斂，則稱x0為?un(x)的收斂點.收斂點的全體稱為收斂域，發散點的全體稱為發散域.2.(x?x0)的冪級數: n?0?an(x?x0)?n?a0?a1(x?x0)?a2(x?x0) 2n???an(x?x0)?? -----高等數學教案-----3.x的冪級數: n?0?anx?2n?na0?a1x?a2x???anx??.4.阿貝爾定理: 如果?anx當 nn?0?則當x?x0x?x0(x0?0)時收斂，時?anx絕對收斂.反之，如果nn?0n?0???anx當x?x0時發散，則當nx?x0時?anx發散.nn?0? 5.阿貝爾定理的推論: 如果 -----高等數學教案-----n?0?anx不是僅在x?0一點收斂，n?也不是在整個數軸上收斂，則存在R?0，使得 ①當x?R時，冪級數絕對收斂； ②當x?R時，冪級數發散； ③當x?R與x??R時，冪級數可能收斂也可能發散.)為 稱R為收斂半徑，稱(?R , R)、收斂區間，收斂域是(?R , R[?R , R)、(?R , R]或[?R , R]這四 -----高等數學教案-----個區間之一(由x??R處的收斂性決定).規定冪級數僅在x?0處收斂時R?0，冪級數對一切x都收斂時R???.6.對于冪級數?anx，如果 nn?0?an?1lim??，則 n??an -----高等數學教案----- ?1 , ??0且?????R???? , ??0 ,?0 , ????.?? (?1)x例1.求?的收斂域.n?1nn(?1)n?1?1解: 由于??lim，所n?1n??(?1)n1以R??1.?n?1n? -----高等數學教案----- (?1)x1當x??1時，???(?)nnn?1n?1發散.?(?1)n?1xn?(?1)n?1當x?1時，???nnn?1n?1?(?1)n?1xn條件收斂.因此，?的收 nn?1斂域為(?1 , 1].?n1例2.求?2(3x)的收斂域.n?01?nn??nn13解: ?2(3x)? ?2x.n?01?nn?01?n??n?1n -----高等數學教案----- 321?(n?1)??lim?3nn??321?nn?1，1R?.31當時，x??3??(?1)nn1(3x)? 絕對收斂.??22n?01?nn?01?n1當時，x?3??n11?2(3x)? ?2收斂.n?01?nn?01?n?n1因此，?的收斂域為(3x)2n?01?n -----高等數學教案-----11[? , ].33(?1)n例3.求?2(x?3)的收斂n?1n?n域.解: 令x?3?t，則 (?1)(?1)nn?2(x?3)? ?2t.n?1nn?1n?(?1)nn對于，?2tn?1nn?1(?1)2(n?1)??lim?1R?1，.nn??(?1)2n?? -----高等數學教案----- nn(?1)n1當t??1時，?2t??2收n?1nn?1n??n斂.(?1)n?(?1)?2t??2絕當t?1時，n?1nn?1nn?(?1)n對收斂.因此，?2t的收斂 n?1nn?(?1)n區間為[?1 , 1]，故?2(x?3)n?1n的收斂域為[2 , 4].?2n?11例4.求?nx 的收斂域.n?03?nn -----高等數學教案----- 1x2(n?1)?1n?1213?x解: lim.n??1x2n?13n321令x?1，得?3?x?3，收3斂半徑為R?3.發散.散.2n?11當x??3時，?nx? ??3n?03n?0??2n?11當x?3時，?nx? ?3發n?03n?0??2n?11因此，?nx 的收斂域為n?03(?3 , 3).? -----高等數學教案-----7.冪級數的運算: s(x)??anxn?0?nn?0?n和?(x)??bnx的收斂半徑分別為R和R?，則 n?0????anx?nnn?0?bnx?nn?0?(an?bn)x?s(x)??(x)的收斂半徑為R?min?R , R??.8.冪級數的性質: ①?anx的和函數s(x)在其收nn?0?斂域I上連續.-----高等數學教案----- ②?anx的和函數s(x)在其收nn?0?斂域I上可積，并有逐項積分公式 ?0s(x)dx??0?anxdxn?0xx??n????0anxdx nn?0?xann?1??x(x?In?0n?1?，ann?1?nx與?anx的收斂半徑相?n?0n?0n?1同.? -----高等數學教案-----③?anx的和函數s(x)在其收nn?0?斂區間(?R , R)內可導，并有逐項求導公式 ???nns?(x)??anx??(anx)? ?n?0?n?0 ??nanx(x?R)，n?1n?1n?1??nanx?n?1與?anx的收斂半徑相 nn?0?同.n1例5.求?x的和函數.n?1n? -----高等數學教案----- 1n?1R?1.?1解: ??lim，n??1n??n1n1當x??1時，?x??(?1)收nn?1n?1n斂.n11當x?1時，?x??發散.因 n?1nn?1n?n1此，?x的收斂域為[?1 , 1).n?1n?n1令s(x)??x(?1?x?1)，則 n?1n???nn11s?(x)??x??(x)?n?1nn?1n???? -----高等數學教案-----??x n?1n?1?1?(?1?x?1).1?xs(x)?? x 0s?(x)dx?s(0) ??x10dx?0 ??1ln(?1x?x)(?1?x?1).例6.求??1xn?1在其收斂n?1n?1 , 1)上的和函數.解??1xn?1?x??1xn?x?[?ln(1?x)] n?1nn?1n -----高等數學教案----- : 域[ ??xln(1?x)x?[?1 , 1).例7.求?(n?1)x在其收斂域 nn?1?(?1 , 1)上的和函數.解: 令s(x)??(n?1)x，則 nn?1??0s(x)dx???0(n?1)xdx nn?1x?x??x n?1n?1?x? 1?x(?1?x?1).-----高等數學教案----- 2s(x)?[? 0s(x)dx]? xx?()? 1?x22x?x?2(1?x)(?1?x?1).2例8.求?nx在其收斂域(?1 , 1)nn?1?上的和函數.解: ?nx??nx??x??x nnnnn?1n?1n?1nn?1n??????(n?1)x??x n?1n?1?? -----高等數學教案----- 2x?xx? ?2(1?x)1?xx .(?1 , 1)?2(1?x)2例9.求?(n?2)x在其收斂區 nn?1?間(?1 , 1)上的和函數.解n?1: ?nn?12?(n?2)x??(n?1)x??x nnn?1??2x?x?2(1?x)x ?1?x -----高等數學教案----- 3x?2x?2(1?x)2 (?1 , 1).§12.4 函數展開成冪級數 1.設f(x)在x0的某一鄰域U(x0)內具有各階導數，冪級數 ??(x0)f2f(x0)?f?(x0)(x?x0)?(x?x0) 2!f(x0)n???(x?x0)?? n!稱為f(x)的泰勒級數.(n) 如果泰勒級數收斂于f(x)，則 -----高等數學教案----- 思想匯報 今天是8月8日，距離5月8日已經過去了整整三個月。 三個月前的今天，我正式成為了一名光榮的預備黨員；三個月前的今天，我鄭重的向黨組織承諾，為人民服務將是我一生追求；三個月前的今天，黨組織批準我加入中國共產黨，成為一名預備黨員。 由一名共青團員轉變為一名共產黨員，到底是一種什么樣的變化？三個月來，我一直在苦苦思索。 記得成為預備黨員的第二天，我們需要填寫一張表，表格中有政治面貌一項。當時和我同時成為預備黨員的一個同學便問我說，我們的政治面貌填什么？團員？還是預備黨員？我當時就反問他，你是團員，還是預備黨員？也許在旁人看來，這僅僅是一個極其微不足道的小事，于我而言卻并非如此。這不僅僅是填寫什么的問題，而是一個人的態度問題。當他問我這個問題的時候，我就知道他還沒有轉變自己的身份，還沒有做好成為預備黨員的準備。要知道，這不僅僅是一個政治面貌的轉變，而是一種責任的增加，行為的約束。 在還是積極分子的時候，王正順老師就經常給我們說，黨員不是一種光環，不是一種榮耀，更不代表著你高高在上，而是一種約束，一種責任，一種擔當。如果你把他當做一種光環的話，我勸你們盡早打消入黨的念頭。要知道，沖鋒在前的永遠是黨員。 王老師的這句話我一直銘記在心，也是我一直以來凈化我入黨動機的準繩。如今，我真的成為了一名光榮的預備黨員，我不禁要問自己，我，準備好了嗎？我相信，不僅是我，也許每一個預備黨員都在問自己這個問題，團員到黨員的轉變，自己準備好了嗎？ 成為預備黨員以來，我時時刻刻注意著自己的言行，生怕給黨組織抹黑。暑假期間無論是去實習工地，還是去外地旅游，我都時時提醒自己是一名預備黨員。身邊的同學也都時時關注著自己，自己稍有不慎，便會被同學說道，黨員同志，這樣的行為可不符合黨員規范啊！有的人也許感覺這樣的生活太累，我卻感覺，這正是提高我們的機會。也許，我們在成為一名預備黨員的時候，思想上并沒有真正的成為一名真正的預備黨員。但是，當我們真正成為一名預備黨員的時候，我們便會用一名真正黨員的標準要求自己，不斷推動自己向更高的方向發展。 三個月的時間，說長不長，說短不短，但就是這三個月的時間讓我真正的明白了，什么是一名預備黨員，作為一名預備黨員應該做什么。 三個月過去了，突然回首剛剛成為預備黨員的時候，自己真的成長了很多。相信自己，絕對不會辱沒黨員這個名字。 匯報人：王坦 2013年8月8日 2010年8月8日星期日 市場管理部 工作總結 施平春 尊敬的公司領導： 你們好。現將我一周來的工作匯報如下，并談談我的工作體會。 1、工作回顧： 1）望牛墩創樣工程協議的起草（見下文詳細說明）。2）望牛墩廣告牌的跟進 8月3日，我和部門黃友杏、陳杜華兩位同事來到望牛墩肉菜市場，與廣告公司一起初步了廣告牌的位置和內容，我從中學會了創樣宣傳中應注意的要點，并了解了工作開展的進程。3）市場材料的整理 這是我一周以來都在做的工作，主要是協助黃友杏副主管整理各個市場的半年總結，為市場的半年總結會做準備。從中，我了解到了市場在上半年經營和管理上的基本信息。 4）市場牛皮癬通知的修改 之前草擬的通知，在部門審核的時候沒有通過，主要原因是對相關行為的描述比較模糊。經修改和比較以后，我加深了對類似情況的理解，在以后的工作中，我將盡量避免這種情況再發生。5）培訓方面的工作 周五早上，部門同事楊超銘對我和簡國華進行了下市場前的培訓，著重的講解了如何與場長交流，如何與經營戶打交道以及如何與市場管理員打交道的問題。通過此次培訓，我在思想上對下市場有了充分的準備。 2、工作感謝：從望牛墩創樣工程協議的簽訂看市場管理 7月31日，方總、沙總以及市場管理部、發展部、工程部在望牛墩肉菜市場召開現場辦公會，制定了下一步的創樣工程的方案。8月1日，市場管理部將起草好的協議書帶到市場，與市場內的七間糧油鋪簽訂了相關協議，明確了在市場整改中市場和經營戶的義務。 一、為什么要簽訂協議 創樣工程中，對路面和墻面的整改占據著很重要的分量。同時，瓷磚墻面和大理石路面又是比較容易被弄臟的，進而直接影響到市場的形象。基于這個前提，與經營戶簽訂協議，是為了日后在管理中占據主動。另外，合理的避免了因整改后路面將升高可能造成的水浸災害給公司帶來的損失。基于這兩點，協議的簽訂 2010年8月8日星期日 市場管理部 保證了我們工作的順利進行。 二、我在其中做的工作 我在此次事件中，主要負責協議的初步起草工作。第二篇：高等數學教案
第三篇：高等數學教案12
第四篇：思想匯報8.8
第五篇：工作總結8.8
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