第一篇：高等數(shù)學(xué)教案Word版(同濟(jì))第二章8
習(xí)題課
I 教學(xué)目的與要求：
1.掌握好導(dǎo)數(shù)的定義，會(huì)用導(dǎo)數(shù)的定義解決函數(shù)的可導(dǎo)性;2.熟練掌握復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)，熟練掌握隱函數(shù)的求導(dǎo)方法;3.熟練掌握參數(shù)方程的求導(dǎo)方法.II 典型方法與例題: 1.用導(dǎo)數(shù)的定義求極限
例1 設(shè) f(x)在x?a的某個(gè)鄰域內(nèi)有定義，則f(x)在x?a處可導(dǎo)的一個(gè)充分條件是（）
1h???hf(a?2h)?f(a?h)（B）lim
h?0hf(a?h)?f(a?h)（C）lim
h?02hf(a)?f(a?h)（D）lim
h?0h（A）limh[f(a?)?f(a)]
分析
（D）
2.用導(dǎo)數(shù)定義解函數(shù)在某點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)
例2 設(shè)f(x)??(a?bx)??(a?bx)，其中的?(x)在x?a處可導(dǎo)，求f?(0)解 知f(0)??(a)??(a)?0
因?yàn)橹徽f(shuō)明的?(x)在x?a處可導(dǎo)，沒(méi)說(shuō)明的?(x)在x?0處是否可導(dǎo)，解f?(0)時(shí)必須用導(dǎo)數(shù)的定義
f(x)?f(0)?(a?bx)??(a?bx)?limx?0x?0x?0x?0[?(a?bx)??(a)]?[?(a?bx)??(a)]?limx?0x?(a?bx)??(a)
?lim
?b?x?0bx?(a?bx)??(a)lim?bx?0?bx?b??(a)?b??(a)?2b??(a)f?(0)?lim3.用導(dǎo)數(shù)定義解函數(shù)方程 設(shè)f(x)在(0,??)的上有定義，且f?(1)?a(?0)，又?x,y?(0,??)，有f(xy)?f(x)?f(y)，解f(x)
解
在f(xy)?f(x)?f(y)讓y?1，得
f(x)?f(x)?f(1)
f(1)?0
f(x?xy)?f(x)f(x)?f(1?y)?f(x)?limy?0y?0xyxy
f(1?y)f(1?y)?f(1)11?lim?lim??f?(1)?y?0y?0xyyxxf?(x)?lim即
f?(x)?a(?f?(1)?a)xf(x)?alnx?C
讓x?1，得
f(1)?aln1?C
因此 f(x)?alnx
復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)
復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的關(guān)鍵是分析復(fù)合函數(shù)的復(fù)合關(guān)系，從處層到里層一層一層地求導(dǎo)，既不重復(fù)，又不遺漏
1??xsin,x?0,例4 討論函數(shù)f(x)?? x??0,x?0在x?0處的連續(xù)性與可導(dǎo)性
解 知 limxsinx?01?0?f(0)x函數(shù)xsin又有 1在x?0的處連續(xù)的 xf?(0)?limx?0f(x)?f(0)x?0 1xsin?01x?lim?limsinx?0x?0xx而 limsinx?01不存在 x函數(shù)f(x)在x?0處不可導(dǎo) 函數(shù)f(x)在x?0處連續(xù)，不可導(dǎo)
3??x?acos?,例5 求函數(shù)? 3??y?asin?;dyd2y的一階導(dǎo)數(shù)及二階導(dǎo)數(shù)2
dxdx解 函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)dy??tan? dxd2y1sec4?csc? 函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)2?3adxIII 課外作業(yè)：
P124
9（1）11 12 15
第二篇：同濟(jì)版高等數(shù)學(xué)教案第五章 定積分
高等數(shù)學(xué)教案
第五章 定積分
第五章
定積分
教學(xué)目的：
1、理解定積分的概念。
2、掌握定積分的性質(zhì)及定積分中值定理，掌握定積分的換元積分法與分部積分法。
3、理解變上限定積分定義的函數(shù)，及其求導(dǎo)數(shù)定理，掌握牛頓—萊布尼茨公式。
4、了解廣義積分的概念并會(huì)計(jì)算廣義積分。
教學(xué)重點(diǎn)：
1、定積分的性質(zhì)及定積分中值定理
2、定積分的換元積分法與分部積分法。
3、牛頓—萊布尼茨公式。
教學(xué)難點(diǎn)：
1、定積分的概念
2、積分中值定理
3、定積分的換元積分法分部積分法。
4、變上限函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。§5? 1 定積分概念與性質(zhì)
一、定積分問(wèn)題舉例
1? 曲邊梯形的面積
曲邊梯形? 設(shè)函數(shù)y?f(x)在區(qū)間[a? b]上非負(fù)、連續(xù)? 由直線x?a、x?b、y?0及曲線y?f(x)所圍成的圖形稱(chēng)為曲邊梯形? 其中曲線弧稱(chēng)為曲邊?
求曲邊梯形的面積的近似值?
將曲邊梯形分割成一些小的曲邊梯形? 每個(gè)小曲邊梯形都用一個(gè)等寬的小矩形代替? 每個(gè)小曲邊梯形的面積都近似地等于小矩形的面積? 則所有小矩形面積的和就是曲邊梯形面積的近似值? 具體方法是? 在區(qū)間[a? b]中任意插入若干個(gè)分點(diǎn)
a?x0? x1? x2? ? ? ?? xn?1? xn ?b?
把[a? b]分成n個(gè)小區(qū)間
[x0? x1]? [x1? x2]? [x2? x3]? ? ? ? ? [xn?1? xn ]?
它們的長(zhǎng)度依次為?x1? x1?x0 ? ??x2? x2?x1 ? ? ? ? ? ?xn ? xn ?xn?1 ?
經(jīng)過(guò)每一個(gè)分點(diǎn)作平行于y 軸的直線段? 把曲邊梯形分成n個(gè)窄曲邊梯形? 在每個(gè)小區(qū)間 [xi?1? xi ]上任取一點(diǎn)??i ? 以[xi?1? xi ]為底、f(??i)為高的窄矩形近似替代第i個(gè)窄曲邊梯形(i?1? 2? ? ? ? ? n)? 把這樣得到的n個(gè)窄矩陣形面積之和作為所求曲邊梯形面積A的近似值? 即
A?f(??1)?x1? f(??2)?x2?? ? ?? f(??n)?xn??f(?i)?xi?
i?1n
求曲邊梯形的面積的精確值?
顯然? 分點(diǎn)越多、每個(gè)小曲邊梯形越窄? 所求得的曲邊梯形面積A的近似值就越接近曲邊梯天津工業(yè)大學(xué)理學(xué)院基礎(chǔ)數(shù)學(xué)系高等數(shù)學(xué)、經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)教研室 高等數(shù)學(xué)教案
第五章 定積分
形面積A的精確值? 因此? 要求曲邊梯形面積A的精確值? 只需無(wú)限地增加分點(diǎn)? 使每個(gè)小曲邊梯形的寬度趨于零? 記
??max{?x1? ?x2?? ? ?? ?xn }? 于是? 上述增加分點(diǎn)? 使每個(gè)小曲邊梯形的寬度趨于零? 相當(dāng)于令??0? 所以曲邊梯形的面積為
A?lim?f(?i)?xi?
??0i?1n
2? 變速直線運(yùn)動(dòng)的路程
設(shè)物體作直線運(yùn)動(dòng)? 已知速度v?v(t)是時(shí)間間隔[T 1? T 2]上t的連續(xù)函數(shù)? 且v(t)?0? 計(jì)算在這段時(shí)間內(nèi)物體所經(jīng)過(guò)的路程S ?
求近似路程?
我們把時(shí)間間隔[T 1? T 2]分成n 個(gè)小的時(shí)間間隔?ti ? 在每個(gè)小的時(shí)間間隔?ti內(nèi)? 物體運(yùn)動(dòng)看成是均速的? 其速度近似為物體在時(shí)間間隔?ti內(nèi)某點(diǎn)??i的速度v(??i)? 物體在時(shí)間間隔?ti內(nèi) 運(yùn)動(dòng)的距離近似為?Si? v(??i)??ti ? 把物體在每一小的時(shí)間間隔?ti內(nèi) 運(yùn)動(dòng)的距離加起來(lái)作為物體在時(shí)間間隔[T 1 ? T 2]內(nèi)所經(jīng)過(guò)的路程S 的近似值? 具體做法是?
在時(shí)間間隔[T 1 ? T 2]內(nèi)任意插入若干個(gè)分點(diǎn)
T 1?t 0? t 1? t 2?? ? ?? t n?1? t n?T 2?
把[T 1 ? T 2]分成n個(gè)小段
[t 0? t 1]? [t 1? t 2]? ? ? ?? [t n?1? t n] ?
各小段時(shí)間的長(zhǎng)依次為
?t 1?t 1?t 0? ?t 2?t 2?t 1?? ? ?? ?t n ?t n ?t n?1?
相應(yīng)地? 在各段時(shí)間內(nèi)物體經(jīng)過(guò)的路程依次為
?S 1? ?S 2? ? ? ?? ?S n?
在時(shí)間間隔[t i?1? t i]上任取一個(gè)時(shí)刻? i(t i?1?? i? t i)? 以? i時(shí)刻的速度v(? i)來(lái)代替[t i?1? t i]上各個(gè)時(shí)刻的速度? 得到部分路程?S i的近似值? 即
?S i? v(? i)??t i
(i?1? 2? ? ? ? ? n)?
于是這n段部分路程的近似值之和就是所求變速直線運(yùn)動(dòng)路程S 的近似值? 即
S??v(?i)?ti?
i?1n
求精確值?
記? ? max{?t 1? ?t 2?? ? ?? ?t n}? 當(dāng)??0時(shí)? 取上述和式的極限? 即得變速直線運(yùn)動(dòng)的路程
S?lim?v(?i)?ti?
??0i?1n
設(shè)函數(shù)y?f(x)在區(qū)間[a? b]上非負(fù)、連續(xù)? 求直線x?a、x?b、y?0 及曲線y?f(x)所圍成的曲邊梯形的面積?
(1)用分點(diǎn)a?x0?x1?x2? ? ? ??xn?1?xn ?b把區(qū)間[a? b]分成n個(gè)小區(qū)間?
[x0? x1]? [x1? x2]? [x2? x3]? ? ? ? ? [xn?1? xn ]? 記?xi?xi?xi?1(i?1? 2? ? ? ? ? n)?
(2)任取??i?[xi?1? xi]? 以[xi?1? xi]為底的小曲邊梯形的面積可近似為
天津工業(yè)大學(xué)理學(xué)院基礎(chǔ)數(shù)學(xué)系高等數(shù)學(xué)、經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)教研室 高等數(shù)學(xué)教案
第五章 定積分
f(?i)?xi(i?1? 2? ? ? ? ? n)? 所求曲邊梯形面積A的近似值為
A??f(?)?x? iii?1nn
(3)記??max{?x1? ?x2?? ? ?? ?xn }? 所以曲邊梯形面積的精確值為
A?lim??0?f(?)?x? iii?1
設(shè)物體作直線運(yùn)動(dòng)? 已知速度v?v(t)是時(shí)間間隔[T 1? T 2]上t的連續(xù)函數(shù)?
且v(t)?0? 計(jì)算在這段時(shí)間內(nèi)物體所經(jīng)過(guò)的路程S ?
(1)用分點(diǎn)T1?t0?t1?t2?? ? ??t n?1?tn?T2把時(shí)間間隔[T 1 ? T 2]分成n個(gè)小時(shí)間 段? [t0? t1]? [t1? t2]? ? ? ?? [tn?1? tn] ? 記?ti ?ti?ti?1(i?1? 2? ? ? ? ? n)?
(2)任取?i?[ti?1? ti]? 在時(shí)間段[ti?1? ti]內(nèi)物體所經(jīng)過(guò)的路程可近似為v(?i)?ti
(i?1? 2? ? ? ? ? n)? 所求路程S 的近似值為
S??v(?)?tii?1nni?
(3)記??max{?t1? ?t2?? ? ?? ?tn}? 所求路程的精確值為
S?lim??0?v(?)?t? iii?
1二、定積分定義
拋開(kāi)上述問(wèn)題的具體意義? 抓住它們?cè)跀?shù)量關(guān)系上共同的本質(zhì)與特性加以概括? 就抽象出下述定積分的定義?
定義
設(shè)函數(shù)f(x)在[a? b]上有界? 在[a? b]中任意插入若干個(gè)分點(diǎn)
a ?x0? x1? x2? ? ? ?? xn?1? xn?b?
把區(qū)間[a? b]分成n個(gè)小區(qū)間
[x0? x1]? [x1? x2]? ? ? ?? [xn?1? xn] ?
各小段區(qū)間的長(zhǎng)依次為
?x1?x1?x0? ?x2?x2?x1?? ? ?? ?xn ?xn ?xn?1?
在每個(gè)小區(qū)間[xi?1? xi]上任取一個(gè)點(diǎn)? i(xi?1? ? i ? xi)? 作函數(shù)值f(? i)與小區(qū)間長(zhǎng)度?xi的乘積
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第五章 定積分
f(? i)??xi(i?1? 2?? ? ?? n)? 并作出和
S??f(?i)?xi?
i?1n記? ? max{?x1? ?x2?? ? ?? ?xn}? 如果不論對(duì)[a? b]怎樣分法? 也不論在小區(qū)間[xi?1? xi]上點(diǎn)? i 怎樣取法? 只要當(dāng)??0時(shí)? 和S 總趨于確定的極限I? 這時(shí)我們稱(chēng)這個(gè)極限I為函數(shù)f(x)在區(qū)間[a? b]上的定積分? 記作?af(x)dx?
即
lim?f(?i)?xi? ?af(x)dx???0i?1bnb其中f(x)叫做被積函數(shù)? f(x)dx叫做被積表達(dá)式? x叫做積分變量? a 叫做積分下限? b 叫做積分上限? [a? b]叫做積分區(qū)間?
定義
設(shè)函數(shù)f(x)在[a? b]上有界? 用分點(diǎn)a?x0?x1?x2? ? ? ??xn?1?xn?b把[a? b]分成n個(gè)小區(qū)間? [x0? x1]? [x1? x2]? ? ? ?? [xn?1? xn] ? 記?xi?xi?xi?1(i?1? 2?? ? ?? n)?
任? i?[xi?1? xi](i?1? 2?? ? ?? n)? 作和
S??f(?)?xii?1ni?
記??max{?x1? ?x2?? ? ?? ?xn}? 如果當(dāng)??0時(shí)? 上述和式的極限存在? 且極限值與區(qū)間[a? b]的分法和? i的取法無(wú)關(guān)? 則稱(chēng)這個(gè)極限為函數(shù)f(x)在區(qū)間[a? b]上的定積分? 記作即
根據(jù)定積分的定義? 曲邊梯形的面積為A??af(x)dx?
變速直線運(yùn)動(dòng)的路程為S??T2v(t)dt?
1?baf(x)dx?
?baf(x)dx?lim?f(?i)?xi?
??0i?1nbT
說(shuō)明?
(1)定積分的值只與被積函數(shù)及積分區(qū)間有關(guān)? 而與積分變量的記法無(wú)關(guān)? 即
?af(x)dx??af(t)dt??af(u)du?
(2)和?f(?i)?xi通常稱(chēng)為f(x)的積分和?
i?1nbbb
(3)如果函數(shù)f(x)在[a? b]上的定積分存在? 我們就說(shuō)f(x)在區(qū)間[a? b]上可積?
函數(shù)f(x)在[a? b]上滿足什么條件時(shí)? f(x)在[a? b]上可積呢？
定理
1設(shè)f(x)在區(qū)間[a? b]上連續(xù)? 則f(x)在[a? b]上可積?
天津工業(yè)大學(xué)理學(xué)院基礎(chǔ)數(shù)學(xué)系高等數(shù)學(xué)、經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)教研室 高等數(shù)學(xué)教案
第五章 定積分
定理2 設(shè)f(x)在區(qū)間[a? b]上有界? 且只有有限個(gè)間斷點(diǎn)? 則f(x)在[a? b]上可積?
定積分的幾何意義?
在區(qū)間[a? b]上? 當(dāng)f(x)?0時(shí)? 積分?af(x)dx在幾何上表示由曲線y?f(x)、兩條直線x?a、x?b 與x軸所圍成的曲邊梯形的面積? 當(dāng)f(x)?0時(shí)? 由曲線y ?f(x)、兩條直線x?a、x?b 與x軸所圍成的曲邊梯形位于x軸的下方? 定義分在幾何上表示上述曲邊梯形面積的負(fù)值?
b?abf(x)dx?lim?f(?i)?xi??lim?[?f(?i)]?xi???a[?f(x)]dx?
??0i?1??0i?1nnb
當(dāng)f(x)既取得正值又取得負(fù)值時(shí)? 函數(shù)f(x)的圖形某些部分在x軸的上方? 而其它部分在x軸的下方? 如果我們對(duì)面積賦以正負(fù)號(hào)? 在x軸上方的圖形面積賦以正號(hào)? 在x軸下方的圖形面積賦以負(fù)號(hào)? 則在一般情形下? 定積分?af(x)dx的幾何意義為? 它是介于x軸、函數(shù)f(x)的圖形及兩條直線x?a、x?b之間的各部分面積的代數(shù)和?
b用定積分的定義計(jì)算定積分?
例1.利用定義計(jì)算定積分?0x2dx?
解
把區(qū)間[0? 1]分成n等份??分點(diǎn)為和小區(qū)間長(zhǎng)度為
xi?i(i?1? 2?? ? ?? n?1)? ?xi?1(i?1? 2?? ? ?? n)?
nn
取?i?i(i?1? 2?? ? ?? n)??作積分和 n
1?f(?i)?xi??i?1i?1nn?i2?xi??(i)2?1
ni?1nnn1?i2?13?1n(n?1)(2n?1)?1(1?1)(2?1)?
3?ni?1n66nn
因?yàn)??1? 當(dāng)??0時(shí)? n??? 所以?n
?n12xdx?lim0??0i?11(1?1)(2?1)?1???f(?i)?xi?nlim??6nn
3利定積分的幾何意義求積分:
例2??用定積分的幾何意義求?0(1?x)dx?? 解: 函數(shù)y?1?x在區(qū)間[0? 1]上的定積分是以y?1?x為曲邊??以區(qū)間[0? 1]為底的曲邊梯形的面積? 因?yàn)橐詙?1?x為曲邊??以區(qū)間[0? 1]為底的曲邊梯形是一直角三角形? 其底邊長(zhǎng)及高均為1? 所以 1天津工業(yè)大學(xué)理學(xué)院基礎(chǔ)數(shù)學(xué)系高等數(shù)學(xué)、經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)教研室 高等數(shù)學(xué)教案
第五章 定積分
??0(1?x)dx?2?1?1?2??11
1三、定積分的性質(zhì)
兩點(diǎn)規(guī)定?
(1)當(dāng)a?b時(shí)?
(2)當(dāng)a?b時(shí)? ?af(x)dx?0?
?af(x)dx???bf(x)dx?
bbbab
性質(zhì)
1函數(shù)的和(差)的定積分等于它們的定積分的和(差)即
?a[f(x)?g(x)]dx??af(x)dx??ag(x)dx?
bb 證明:?a[f(x)?g(x)]dx?lim?[f(?i)?g(?i)]?xi
??0i?1nnn
?lim?f(?i)?xi?lim?g(?i)?xi
??0i?1b??0i?1
??af(x)dx??ag(x)dx?
性質(zhì)2 被積函數(shù)的常數(shù)因子可以提到積分號(hào)外面 即
b?akf(x)dx?k?af(x)dx??bnnbbb
這是因?yàn)?akf(x)dx?lim?kf(?i)?xi?klim?f(?i)?xi?k?af(x)dx?
??0i?1??0i?1????????性質(zhì)???如果將積分區(qū)間分成兩部分?則在整個(gè)區(qū)間上的定積分等于這兩部分區(qū)間上定積分之和?即??
?af(x)dx??af(x)dx??cbcbf(x)dx?
這個(gè)性質(zhì)表明定積分對(duì)于積分區(qū)間具有可加性?
值得注意的是不論a ?b ?c的相對(duì)位置如何總有等式
?af(x)dx??af(x)dx??cf(x)dx ?af(x)dx??af(x)dx??bf(x)dx?
天津工業(yè)大學(xué)理學(xué)院基礎(chǔ)數(shù)學(xué)系高等數(shù)學(xué)、經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)教研室 cbcbcb成立? 例如? 當(dāng)a 高等數(shù)學(xué)教案 第五章 定積分 于是有 ?af(x)dx??af(x)dx??bf(x)dx??af(x)dx??c?a1dx??adx?b?a? ?af(x)dx?0(a?b)? ?af(x)dx??ag(x)dx(a?b)? ?ag(x)dx??af(x)dx??a[g(x)?f(x)]dx?0? ?af(x)dx??ag(x)dx? bbbbbbbbbbbbbcccbf(x)dx? 性質(zhì) 4如果在區(qū)間[a b]上f(x)?1 則 性質(zhì) 5如果在區(qū)間[a??b]上 f(x)?0? 則 推論 1如果在區(qū)間[a??b]上 f(x)? g(x)則 這是因?yàn)間(x)?f(x)?0? 從而 所以 推論2 |?af(x)dx|??a|f(x)|dx(a?b)? 這是因?yàn)?|f(x)| ? f(x)? |f(x)|???所以 ??a|f(x)|dx??af(x)dx??a|f(x)|dx? 即 |?af(x)dx|??a|f(x)|dx|?? 性質(zhì)6 設(shè)M 及m 分別是函數(shù)f(x)在區(qū)間[a??b]上的最大值及最小值? 則 m(b?a)??af(x)dx?M(b?a)(a?b)? 證明 因?yàn)?m? f(x)? M ? 所以 從而 m(b?a)??af(x)dx?M(b?a)? 性質(zhì)7(定積分中值定理) 如果函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a??b]上連續(xù)? 則在積分區(qū)間[a??b]上至少存在一個(gè)點(diǎn)??? 使下式成立? bbbbbbb? ?amdx??af(x)dx??aMdxbbb天津工業(yè)大學(xué)理學(xué)院基礎(chǔ)數(shù)學(xué)系高等數(shù)學(xué)、經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)教研室 高等數(shù)學(xué)教案 第五章 定積分 ?af(x)dx?f(?)(b?a)? b這個(gè)公式叫做積分中值公式? 證明 由性質(zhì)6 m(b?a)??af(x)dx?M(b?a)? 各項(xiàng)除以b?a 得 b m?1?af(x)dx?M? b?ab再由連續(xù)函數(shù)的介值定理? 在[a??b]上至少存在一點(diǎn)? ? 使 b f(?)?1?af(x)dx? b?a于是兩端乘以b?a得中值公式 ?af(x)dx?f(?)(b?a)? b 積分中值公式的幾何解釋? 應(yīng)注意? 不論a 天津工業(yè)大學(xué)理學(xué)院基礎(chǔ)數(shù)學(xué)系高等數(shù)學(xué)、經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)教研室 高等數(shù)學(xué)教案 第五章 定積分 §5? 2 微積分基本公式 一、變速直線運(yùn)動(dòng)中位置函數(shù)與速度函數(shù)之間的聯(lián)系 設(shè)物體從某定點(diǎn)開(kāi)始作直線運(yùn)動(dòng)? 在t時(shí)刻所經(jīng)過(guò)的路程為S(t)? 速度為v?v(t)?S?(t)(v(t)?0)? 則在時(shí)間間隔[T1? T2]內(nèi)物體所經(jīng)過(guò)的路程S可表示為 S(T2)?S(T1)及?T2v(t)dt? 1T即 ?T2v(t)dt?S(T2)?S(T1)? 1T 上式表明? 速度函數(shù)v(t)在區(qū)間[T1? T2]上的定積分等于v(t)的原函數(shù)S(t)在區(qū)間[T1? T2]上的增量? 這個(gè)特殊問(wèn)題中得出的關(guān)系是否具有普遍意義呢？ 二、積分上限函數(shù)及其導(dǎo)數(shù) 設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間[a? b]上連續(xù)? 并且設(shè)x為[a? b]上的一點(diǎn)??我們把函數(shù)f(x)在部分區(qū)間[a? x]上的定積分 ?af(x)dx xx稱(chēng)為積分上限的函數(shù)? 它是區(qū)間[a? b]上的函數(shù)? 記為 ?(x)??af(x)dx? 或?(x)??af(t)dt? 定理1 如果函數(shù)f(x)在區(qū)間[a? b]上連續(xù)? 則函數(shù) ?(x)??af(x)dx 在[a? b]上具有導(dǎo)數(shù)? 并且它的導(dǎo)數(shù)為 x ??(x)?d?af(t)dt?f(x)(a?x dxxx 簡(jiǎn)要證明 若x?(a? b)? 取?x使x??x?(a? b)? ????(x??x)??(x)??a ??af(t)dt??xxx??xx??xf(t)dt??af(t)dt xf(t)dt??af(t)dt x天津工業(yè)大學(xué)理學(xué)院基礎(chǔ)數(shù)學(xué)系高等數(shù)學(xué)、經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)教研室 高等數(shù)學(xué)教案 第五章 定積分 ??xx??xf(t)dt?f(?)?x? 應(yīng)用積分中值定理? 有???f(?)?x? 其中?在x 與x??x之間? ?x?0時(shí)? ??x ? 于是 ??(x)?lim???limf(?)?limf(?)?f(x)? ?x?0?x?x?0??x 若x?a ? 取?x>0? 則同理可證???(x)? f(a)? 若x?b ? 取?x<0? 則同理可證???(x)? f(b)? 定理 2如果函數(shù)f(x)在區(qū)間[a? b]上連續(xù)? 則函數(shù) ?(x)??af(x)dx 就是f(x)在[a? b]上的一個(gè)原函數(shù)? 定理的重要意義? 一方面肯定了連續(xù)函數(shù)的原函數(shù)是存在的? 另一方面初步地揭示了積分學(xué)中的定積分與原函數(shù)之間的聯(lián)系? 三、牛頓??萊布尼茨公式 定理 3如果函數(shù)F(x)是連續(xù)函數(shù)f(x)在區(qū)間[a? b]上的一個(gè)原函數(shù)? 則 x?af(x)dx?F(b)?F(a)? xb此公式稱(chēng)為牛頓??萊布尼茨公式? 也稱(chēng)為微積分基本公式? 這是因?yàn)镕(x)和?(x)??af(t)dt都是f(x)的原函數(shù)? ?所以存在常數(shù)C? 使 F(x)??(x)?C(C為某一常數(shù))? 由F(a)??(a)?C及?(a)?0? 得C?F(a)? F(x)??(x)?F(a)? 由F(b)??(b)?F(a)? 得?(b)?F(b)?F(a)? 即 ?af(x)dx?F(b)?F(a)? xb 證明? 已知函數(shù)F(x)是連續(xù)函數(shù)f(x)的一個(gè)原函數(shù)? 又根據(jù)定理2? 積分上限函數(shù) ?(x)??af(t)dt 也是f(x)的一個(gè)原函數(shù)? 于是有一常數(shù)C? 使 F(x)??(x)?C(a?x?b)? 當(dāng)x?a時(shí)? 有F(a)??(a)?C? 而?(a)?0? 所以C?F(a)? 當(dāng)x?b 時(shí)? F(b)??(b)?F(a)? 所以?(b)?F(b)?F(a)? 即 ?af(x)dx?F(b)?F(a)? b 為了方便起見(jiàn)? 可把F(b)?F(a)記成[F(x)]ba? 于是天津工業(yè)大學(xué)理學(xué)院基礎(chǔ)數(shù)學(xué)系高等數(shù)學(xué)、經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)教研室 高等數(shù)學(xué)教案 第五章 定積分 a?F(b)?F(a)? ?af(x)dx?[F(x)]bb 進(jìn)一步揭示了定積分與被積函數(shù)的原函數(shù)或不定積分之間的聯(lián)系? 例1.計(jì)算?0x2dx? 解? 由于1x3是x2的一個(gè)原函數(shù)? 所以 1?1213131xdx?[1x3]10??1??0?? 03333 3例2 計(jì)算??1dx2? 1?x 解 由于arctan x是12的一個(gè)原函數(shù)? 所以 1?x ??13 ??(? ?)?7?? dx?[arctanx]3??arctan3?arctan(?1)?134121?x2? 1例3.計(jì)算??21dx? x 解? 1?2?ln 1?ln 2??ln 2????2xdx?[ln|x|]??11 例4.計(jì)算正弦曲線y?sin x在[0? ?]上與x軸所圍成的平面圖形的面積? 解? 這圖形是曲邊梯形的一個(gè)特例? 它的面積 A??0sinxdx?[?cosx]?0??(?1)?(?1)?2?? 例5.汽車(chē)以每小時(shí)36km速度行駛? 到某處需要減速停車(chē)?設(shè)汽車(chē)以等加速度a??5m/s2剎車(chē)? 問(wèn)從開(kāi)始剎車(chē)到停車(chē)? 汽車(chē)走了多少距離？ 解 從開(kāi)始剎車(chē)到停車(chē)所需的時(shí)間? 當(dāng)t?0時(shí)? 汽車(chē)速度 v0?36km/h?36?1000m/s?10m/s? 3600剎車(chē)后t時(shí)刻汽車(chē)的速度為 v(t)?v0?at ?10?5t ? 當(dāng)汽車(chē)停止時(shí)? 速度v(t)?0? 從 v(t)?10?5t ?0 得? t?2(s)? 于是從開(kāi)始剎車(chē)到停車(chē)汽車(chē)所走過(guò)的距離為 2?10(m)? s??0v(t)dt??0(10?5t)dt?[10t?5?1t2]0222?天津工業(yè)大學(xué)理學(xué)院基礎(chǔ)數(shù)學(xué)系高等數(shù)學(xué)、經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)教研室 高等數(shù)學(xué)教案 第五章 定積分 即在剎車(chē)后? 汽車(chē)需走過(guò)10m才能停住? 例6.設(shè)f(x)在[0, ??)內(nèi)連續(xù)且f(x)>0? 證明函數(shù)F(x)?在(0? ??)內(nèi)為單調(diào)增加函數(shù)? xx 證明? d?0 tf(t)dt?xf(x)? d?0f(t)dt?f(x)? 故 dxdx?0tf(t)dt x?0f(t)dtxF?(x)?xf(x)?0f(t)dt?f(x)?0tf(t)dt(?0f(t)dt)xx2xx?f(x)?0(x?t)f(t)dt(?0f(t)dt)x2x? 按假設(shè)? 當(dāng)0?t?x時(shí)f(t)>0?(x?t)f(t)? 0 ? 所以 ?0f(t)dt?0? x?0(x?t)f(t)dt?0? ?cosxe?tdtx212從而F ?(x)>0(x>0)? 這就證明了F(x)在(0? ??)內(nèi)為單調(diào)增加函數(shù)? 例7.求limx?0? 解? 這是一個(gè)零比零型未定式? 由羅必達(dá)法則? limx?0?cosxe?tdtx2x212limx?0??1cosx?t2edtx2?cosx?limsinxe?1? x?02x2e2提示? 設(shè)?(x)??1e?tdt? 則?(cosx)??1cosx?t2edt? dcosxe?t2dt?d?(cosx)?d?(u)?du?e?u2?(?sinx)??sinx?e?cos2x? dx?1dxdudx 天津工業(yè)大學(xué)理學(xué)院基礎(chǔ)數(shù)學(xué)系高等數(shù)學(xué)、經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)教研室 高等數(shù)學(xué)教案 第五章 定積分 §5? 3 定積分的換元法和分部積分法 一、換元積分法 定理 假設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間[a? b]上連續(xù)? 函數(shù)x??(t)滿足條件? (1)?(??)?a ? ?(?)?b? (2)?(t)在[?? ?](或[?? ?])上具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)? 且其值域不越出[a? b]? 則有 ?af(x)dx???f[?(t)]??(t)dt? 這個(gè)公式叫做定積分的換元公式? 證明 由假設(shè)知? f(x)在區(qū)間[a? b]上是連續(xù)? 因而是可積的? f [?(t)]??(t)在區(qū)間[?? ?](或[?? ?])上也是連續(xù)的? 因而是可積的? 假設(shè)F(x)是f(x)的一個(gè)原函數(shù)? 則 b??af(x)dx?F(b)?F(a)? 另一方面? 因?yàn)閧F[?(t)]}??F ?[?(t)]??(t)? f [?(t)]??(t)? 所以F[?(t)]是f [?(t)]??(t)的一個(gè)原函數(shù)? 從而 b??f[?(t)]??(t)dt?F[?(?)]?F[?(?)]?F(b)?F(a)? 因此 ?af(x)dx???f[?(t)]??(t)dt? 例1 計(jì)算?0a2?x2dx(a>0)? 解 ab???0aa2?x2dx 令x?asint ?02acost?acostdt ? ?2?a2222(?a0costdt?1?cos2t)dt 20??天津工業(yè)大學(xué)理學(xué)院基礎(chǔ)數(shù)學(xué)系高等數(shù)學(xué)、經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)教研室 高等數(shù)學(xué)教案 第五章 定積分 22?1?a2? ?a[t?1sin2t]0224?提示? a2?x2?a2?a2sin2t?acost? dx?a cos t ? 當(dāng)x?0時(shí)t?0? 當(dāng)x?a時(shí)t???? 例2 計(jì)算?02cos5xsinxdx? 解 令t?cos x? 則 ???20cosxsinxdx???02cos5xdcosx 011 ??1t5dt??0t5dt?[1t6]0?1? 令cosx?t提示? 當(dāng)x?0時(shí)t?1? 當(dāng)x??時(shí)t?0? 2或 ?20?cosxsinxdx???02cos5xdcosx 5??2??1cos6??1cos60?1? ??[1cos6x]066266 例3 計(jì)算?0sin3x?sin5xdx? 解 ??0?sin3x?sin5xdx??0sin2x|cosx|dx ?3? ??2sin2xcosxdx???sin2xcosxdx 02?3 ??32sin20?xdsinx??3?2?sin2xdsinx ?55?222 ?[sinx]0?[sin2x]??2?(?2)?4? 555525提示? sinx?sinx?sinx(1?sin35323x)?sin2x|cosx|? 在[0, ?]上|cos x|?cos x? 在[?, ?]上|cos x|??cos x? 4例4 計(jì)算?x?2dx? 02x? 1解 ?04x?2dx 令2x?1t2?1?232x?1?t32 ?1?tdt?1?1(t2?3)dt t2312711122? ?[t3?3t]1?[(?9)?(?3)]?232333天津工業(yè)大學(xué)理學(xué)院基礎(chǔ)數(shù)學(xué)系高等數(shù)學(xué)、經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)教研室 高等數(shù)學(xué)教案 第五章 定積分 2t提示? x??1? dx?tdt? 當(dāng)x?0時(shí)t?1? 當(dāng)x?4時(shí)t?3? 2例5 證明? 若f(x)在[?a? a]上連續(xù)且為偶函數(shù)? 則 ??af(x)dx?2?0aaaf(x)dx? 0a 證明 因?yàn)??af(x)dx???af(x)dx??0f(x)dx? 而 所以 ??af(x)dx a0令x??t ??af(?t)dt??0f(?t)dt??0f(?x)dx? a0aa??af(x)dx??0aaf(?x)dx??0f(x)dx aa ??0[f(?x)?f(x)]dx???a2f(x)dx?2?0f(x)dx? 討論? 若f(x)在[?a? a]上連續(xù)且為奇函數(shù)? 問(wèn)??af(x)dx?？ 提示? 若f(x)為奇函數(shù)? 則f(?x)?f(x)?0? 從而 a??af(x)dx??0[f(?x)?f(x)]dx?0? ??aa 例6 若f(x)在[0? 1]上連續(xù)? 證明 (1)?02f(sinx)dx??02f(cosx)dx?(2)?0xf(sinx)dx? ?2??0?f(sinx)dx? 證明(1)令x???t? 則 ?02f(sinx)dx????2??0f[sin(??t)]dt 2? ??2f[sin(??t)]dt??2f(cosx)dx? 002(2)令x???t? 則 ?0?0xf(sinx)dx????(??t)f[sin(??t)]dt ????t)]dt??0(??t)f(sint)dt ??0(??t)f[sin（???0f(sint)dt??0tf(sint)dt 天津工業(yè)大學(xué)理學(xué)院基礎(chǔ)數(shù)學(xué)系高等數(shù)學(xué)、經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)教研室 ??高等數(shù)學(xué)教案 第五章 定積分 ???0f(sinx)dx??0xf(sinx)dx? 所以 ???0xf(sinx)dx?2?0? ??f(sinx)dx? ?x2?4?xe x?0 例7 設(shè)函數(shù)f(x)??1? 計(jì)算?1f(x?2)dx?? ?1?x?0??1?cosx 解 設(shè)x?2?t? 則 ?14f(x?2)dx???1f(t)dt???1201dt?2te?t2dt ?01?cost220 ?[tant]?1?[1e?t]0?tan1?1e?4?1? 22222提示? 設(shè)x?2?t? 則dx?dt? 當(dāng)x?1時(shí)t??1? 當(dāng)x?4時(shí)t?2? 二、分部積分法 設(shè)函數(shù)u(x)、v(x)在區(qū)間[a? b]上具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)u?(x)、v?(x)? 由 (uv)??u?v ?u v?得u v??u v?u?v ? 式兩端在區(qū)間[a? b]上積分得 ba??au?vdx? 或?audv?[uv]a??avdu? ?auv?dx?[uv]bbbbb這就是定積分的分部積分公式? 分部積分過(guò)程? ba??avdu?[uv]a??au?vdx? ? ? ? ? ?auv?dx??audv?[uv]bbbbb 例1 計(jì)算? 解 12arcsinxdx? 0 ?12arcsinxdx0112?[xarcsinx]0??12xdarcsinx0 ?1????02xdx 261?x21? ???021221d(1?x2) 1?x21?22???3?1? ??[1?x]012122 例2 計(jì)算?0exdx? 解 令x?t? 則 1?0e1xdx?2?0ettdt 天津工業(yè)大學(xué)理學(xué)院基礎(chǔ)數(shù)學(xué)系高等數(shù)學(xué)、經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)教研室 1高等數(shù)學(xué)教案 第五章 定積分 ?2?0tdet ?2[tet] 0 ?2?0etdt ?2e?2[et] 0 ?2? 例3 設(shè)In??02sinnxdx? 證明 (1)當(dāng)n為正偶數(shù)時(shí)? In?n?1?n?3???3?1??? nn?242 2(2)當(dāng)n為大于1的正奇數(shù)時(shí)? In?n?1?n?3???4?2? nn?2 53證明 In??2sinnxdx01111?????02sinn?1xdcosx n?1 ?2x] 0? ??[cosxsin???02cosxdsinn?1x ?? ?(n?1)?02cos2xsinn?2xdx?(n?1)?02(sinn?2x?sinnx)dx ?(n?1)?02sinn?2xdx?(n?1)?02sinnxdx ?(n?1)I n? 2?(n?1)I n ? 由此得 In?n?1In?2? n I2m?2m?1?2m?3?2m?5???3?1I0? 2m2m?22m?442 I2m?1?2m?2m?2?2m?4???4?2I1? 2m?12m?12m?353而I0??02dx??? I1??02sinxdx?1? 2因此 I2m?2m?1?2m?3?2m?5???3?1??? 2m2m?22m?4422 I2m?1?2m?2m?2?2m?4???4?2??2m?12m?12m?353? 例3 設(shè)In??02sinnxdx(n為正整數(shù))? 證明 天津工業(yè)大學(xué)理學(xué)院基礎(chǔ)數(shù)學(xué)系高等數(shù)學(xué)、經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)教研室 ?????高等數(shù)學(xué)教案 第五章 定積分 I2m?2m?1?2m?3?2m?5???3?1??? 2m2m?22m?442 I2m?1?2m?2m?2?2m?4???4?2? 2m?12m?12m?353 證明 In??02sinnxdx???02sinn?1xdcosx ??[cosxsin?n?1 ?2x] 0???(n?1)?02cos2xsinn?2xdx ? ?(n?1)?02(sinn?2x?sinnx)dx ?(n?1)?02sinn?2xdx?(n?1)?02sinnxdx ?(n?1)I n? 2?(n?1)I n ? 由此得 In?n?1In?2? n I2m?2m?1?2m?3?2m?5???3?1?I0? 2m2m?22m?442 I2m?1?2m?2m?2?2m?4???4?2?I1? 2m?12m?12m?353特別地 I0??2dx??02???? I1??02sinxdx?1? ?因此 I2m?2m?1?2m?3?2m?5???3?1??? 2m2m?22m?4422 I2m?1?2m?2m?2?2m?4???4?2? 2m?12m?12m?3 53天津工業(yè)大學(xué)理學(xué)院基礎(chǔ)數(shù)學(xué)系高等數(shù)學(xué)、經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)教研室 高等數(shù)學(xué)教案 第五章 定積分 §5? 4 反常積分 一、無(wú)窮限的反常積分 定義1 設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間[a? ??)上連續(xù)? 取b>a ? 如果極限 b???lim?af(x)dx ??b存在? 則稱(chēng)此極限為函數(shù)f(x)在無(wú)窮區(qū)間[a? ??)上的反常積分? 記作?af(x)dx? 即 ?a這時(shí)也稱(chēng)反常積分?af(x)dx收斂???????f(x)dx?lim?af(x)dx? b???b 如果上述極限不存在? 函數(shù)f(x)在無(wú)窮區(qū)間[a? ??)上的反常積分?af(x)dx就沒(méi)有意義? 此時(shí)稱(chēng)反常積分?af(x)dx發(fā)散? 類(lèi)似地? 設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間(??? b ]上連續(xù)? 如果極限 a???????lim?af(x)dx(a bb存在? 則稱(chēng)此極限為函數(shù)f(x)在無(wú)窮區(qū)間(??? b ]上的反常積分? 記作???f(x)dx? 即 天津工業(yè)大學(xué)理學(xué)院基礎(chǔ)數(shù)學(xué)系高等數(shù)學(xué)、經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)教研室 高等數(shù)學(xué)教案 第五章 定積分 ???f(x)dx?alim?f(x)dx? ???a這時(shí)也稱(chēng)反常積分???f(x)dx收斂??如果上述極限不存在? 則稱(chēng)反常積分???f(x)dx發(fā)散? 設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間(??? ??)上連續(xù)? 如果反常積分 bbbb???f(x)dx和?0f(x)dx 都收斂? 則稱(chēng)上述兩個(gè)反常積分的和為函數(shù)f(x)在無(wú)窮區(qū)間(??? ??)上的反常積分? 記作 0?????f(x)dx? 即 ???f(x)dx????f(x)dx??00a???????0??f(x)dx b ?lim?af(x)dx?lim?0f(x)dx? b???這時(shí)也稱(chēng)反常積分???f(x)dx收斂? 如果上式右端有一個(gè)反常積分發(fā)散? 則稱(chēng)反常積分???f(x)dx發(fā)散? 定義1? 連續(xù)函數(shù)f(x)在區(qū)間[a? ??)上的反常積分定義為 ?????a??f(x)dx?lim?af(x)dx? b???b 在反常積分的定義式中? 如果極限存在? 則稱(chēng)此反常積分收斂???否則稱(chēng)此反常積分發(fā)散? 類(lèi)似地? 連續(xù)函數(shù)f(x)在區(qū)間(??? b]上和在區(qū)間(??? ??)上的反常積分定義為 ???f(x)dx?lim?af(x)dx? a???bb???f(x)dx?lim?af(x)dx?lim?0f(x)dx? a???b?????0b 反常積分的計(jì)算? 如果F(x)是f(x)的原函數(shù)? 則 ?a??f(x)dx?lim?af(x)dx?lim[F(x)]ba b???b???b ?limF(b)?F(a)?limF(x)?F(a)? b???x???可采用如下簡(jiǎn)記形式? 類(lèi)似地 ?a???f(x)dx?[F(x)]?a?limF(x)?F(a)? x??????F(b)?limF(x)? ???f(x)dx?[F(x)]bx???b天津工業(yè)大學(xué)理學(xué)院基礎(chǔ)數(shù)學(xué)系高等數(shù)學(xué)、經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)教研室 高等數(shù)學(xué)教案 第五章 定積分 ????limF(x)?limF(x)? ???f(x)dx?[F(x)]?x???x??????? 例1 計(jì)算反常積分???12dx? 1?x 解 ??? ???1?1x2dx?[arctanx]??? ?limarctanx?limarctanx x???x??? ? ??(? ?)??? 例2 計(jì)算反常積分?0te?ptdt(p是常數(shù)? 且p>0)? 解 ???0??????te?ptdt?[?te?ptdt]0?[?1?tde?pt]0 p?? ?[?1te?pt?1?e?ptdt]0pp?? ?[?1te?pt?12e?pt]0pp ?lim[?1te?pt?12e?pt]?12?12? t???pppp提示? limte?pt?limtpt?lim1pt?0? t???t???et???pe 例3 討論反常積分?a 解 當(dāng)p?1時(shí)? 當(dāng)p<1時(shí)? 當(dāng)p>1時(shí)? ??1dx(a>0)的斂散性? xp?a??1dx???1dx?[lnx] ?????? a?axxp?a??1dx?[1x1?p] ?????? a1?pxp?a??1dx?[1x1?p] ???a1?p? a1?pp?1xp1?p 因此? 當(dāng)p>1時(shí)? 此反常積分收斂? 其值為a? 當(dāng)p?1時(shí)? 此反常積分發(fā)散? p? 1二、無(wú)界函數(shù)的反常積分 定義 2設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間(a? b]上連續(xù)? 而在點(diǎn)a的右鄰域內(nèi)無(wú)界? 取?>0? 如果極限 t?alimf(x)dx ??tbb存在? 則稱(chēng)此極限為函數(shù)f(x)在(a? b]上的反常積分? 仍然記作?af(x)dx? 即 天津工業(yè)大學(xué)理學(xué)院基礎(chǔ)數(shù)學(xué)系高等數(shù)學(xué)、經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)教研室 高等數(shù)學(xué)教案 第五章 定積分 ?af(x)dx?tlim??at?bbf(x)dx? 這時(shí)也稱(chēng)反常積分?af(x)dx收斂? 如果上述極限不存在? 就稱(chēng)反常積分?af(x)dx發(fā)散? 類(lèi)似地? 設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間[a? b)上連續(xù)? 而在點(diǎn)b 的左鄰域內(nèi)無(wú)界? 取?>0? 如果極限 t?bbblimf(x)dx ??abt存在? 則稱(chēng)此極限為函數(shù)f(x)在[a? b)上的反常積分? 仍然記作?af(x)dx? 即 f(x)dx? ?af(x)dx?lim??at?bbt這時(shí)也稱(chēng)反常積分?af(x)dx收斂? 如果上述極限不存在? 就稱(chēng)反常積分?af(x)dx發(fā)散? 設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間[a? b]上除點(diǎn)c(a 都收斂? 則定義 cb?af(x)dx??af(x)dx??cf(x)dx? 否則? 就稱(chēng)反常積分?af(x)dx發(fā)散? 瑕點(diǎn)? 如果函數(shù)f(x)在點(diǎn)a的任一鄰域內(nèi)都無(wú)界? 那么點(diǎn)a稱(chēng)為函數(shù)f(x)的瑕點(diǎn)? 也稱(chēng)為無(wú)界 定義2? 設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間(a? b]上連續(xù)? 點(diǎn)a為f(x)的瑕點(diǎn)? 函數(shù)f(x)在(a? b]上的反常積分定義為 bbcb?af(x)dx?tlim??at?bbf(x)dx? 在反常積分的定義式中? 如果極限存在? 則稱(chēng)此反常積分收斂???否則稱(chēng)此反常積分發(fā)散? 類(lèi)似地?函數(shù)f(x)在[a? b)(b為瑕點(diǎn))上的反常積分定義為 f(x)dx? ?af(x)dx?lim??at?bbt 函數(shù)f(x)在[a? c)?(c? b](c為瑕點(diǎn))上的反常積分定義為 ?af(x)dx?tlim??ca?btf(x)dx?limf(x)dx? ??tt?cb反常積分的計(jì)算? 如果F(x)為f(x)的原函數(shù)? 則有 天津工業(yè)大學(xué)理學(xué)院基礎(chǔ)數(shù)學(xué)系高等數(shù)學(xué)、經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)教研室 高等數(shù)學(xué)教案 第五章 定積分 ?af(x)dx?tlim??at?bbf(x)dx?lim[F(x)]bt ?t?a ?F(b)?limF(t)?F(b)?limF(x)? ??t?ax?a可采用如下簡(jiǎn)記形式? a?F(b)?limF(x)? ?af(x)dx?[F(x)]bx?a?b類(lèi)似地? 有 a?limF(x)?F(a)? ?af(x)dx?[F(x)]bx?b?b當(dāng)a為瑕點(diǎn)時(shí)??af(x)dx?[F(x)]bF(x)? a?F(b)?lim?x?ab當(dāng)b為瑕點(diǎn)時(shí)??af(x)dx?[F(x)]bF(x)?F(a)? a?lim?x?bb當(dāng)c(a?c?b)為瑕點(diǎn)時(shí)? F(x)?F(a)]?[F(b)?limF(x)]? ?af(x)dx??af(x)dx??cf(x)dx?[xlim?cx?c??bcb 例4 計(jì)算反常積分? 解 因?yàn)閘im?x?aa01dx? 2a?x21???? 所以點(diǎn)a為被積函數(shù)的瑕點(diǎn)? a2?x ?0a1a?limarcsinx?0??? dx?[arcsinx] 0a2x?a?aa2?x2 1例5 討論反常積分??112dx的收斂性? x 解 函數(shù)12在區(qū)間[?1? 1]上除x?0外連續(xù)? 且lim12??? x?0xx0 0 由于??112dx?[?1]??lim(?1)?1???? 1?xxx?0x01即反常積分??112dx發(fā)散? 所以反常積分??112dx發(fā)散? xx 例6 討論反常積分?a 解 當(dāng)q?1時(shí)? 當(dāng)q?1時(shí)? bbbdx的斂散性? (x?a)qdx?bdx?[ln(x?a)] b???? a?a(x?a)q?ax?adx?[1(x?a)1?q] b???? a?a(x?a)q1?q天津工業(yè)大學(xué)理學(xué)院基礎(chǔ)數(shù)學(xué)系高等數(shù)學(xué)、經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)教研室 高等數(shù)學(xué)教案 第五章 定積分 當(dāng)q?1時(shí)? dx?[1(x?a)1?q] b?1(b?a)1?q? a?a(x?1?qa)q1?qb 因此? 當(dāng)q<1時(shí)? 此反常積分收斂? 其值為1(b?a)1?q? 當(dāng)q?1時(shí)? 此反常積分發(fā)散? 1?q 天津工業(yè)大學(xué)理學(xué)院基礎(chǔ)數(shù)學(xué)系高等數(shù)學(xué)、經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)教研室 高等數(shù)學(xué)教案 第五章 定積分 天津工業(yè)大學(xué)理學(xué)院基礎(chǔ)數(shù)學(xué)系高等數(shù)學(xué)、經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)教研室 高等數(shù)學(xué)教案 第五章 定積分 天津工業(yè)大學(xué)理學(xué)院基礎(chǔ)數(shù)學(xué)系高等數(shù)學(xué)、經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)教研室 ----- ?3.余項(xiàng)rn?s?sn?un?1?un?2??.?aq?a?aq?aq???aq?n2n?1: 例1.判斷等比級(jí)數(shù)(幾何級(jí)數(shù))n?0?? (a?0)的斂散性.a?aq解:①q?1時(shí)，sn?，1?q?na，收斂，和為limsn?aq?n??1?qn?0a.1?q -----高等數(shù)學(xué)教案----- na?aq②q?1時(shí)，sn?，1?qlimsn??，?aq發(fā)散； n??nn?0??nsn??，③q?1時(shí)，sn?na，limn??n?0?aq發(fā)散.n④q??1時(shí)，?0 , n為偶數(shù)limsn不存在，sn??，n???a , n為奇數(shù)n?0?aq發(fā)散.n?n?1例2判斷級(jí)數(shù)?ln是否收nn?1? -----高等數(shù)學(xué)教案-----斂，若收斂求其和.解: sn?(ln2?ln1)?(ln3?ln2)? ??[ln(n?1)?lnn] ?ln(n?1).P②.3225sn??，所以原級(jí)數(shù)發(fā)散.由于limn??sn?11111(1?)?(?)?23235111??(?)22n?12n?111?(1?).22n?1 -----高等數(shù)學(xué)教案----- 1sn?，所以原級(jí)數(shù)收斂 由于limn??24.收斂級(jí)數(shù)的性質(zhì): ①如果?un收斂和為s，則?kunn?1n?1??也收斂，其和為ks；若?un發(fā)散，n?1?則?kun(k?0)也發(fā)散.n?1?②如果?un、?vn均收斂，其和n?1n?1?n?1???，分別為s、則?(un?vn)也收斂，其和為s??.-----高等數(shù)學(xué)教案----- ③在級(jí)數(shù)中去掉、加上或改變有限項(xiàng)，不會(huì)改變級(jí)數(shù)的收斂性.④如果?un收斂，則對(duì)這級(jí)數(shù)n?1?的項(xiàng)任意加括號(hào)后所成的級(jí)數(shù)(u1???un)?(un?1???un)??? (un?1???un)?? 112k?1k也收斂，且其和不變.如果一個(gè)級(jí)數(shù)發(fā)散，則加括號(hào)后所成的級(jí)數(shù)可能收斂，也可能發(fā)散.如果一個(gè)正項(xiàng)級(jí)數(shù)發(fā)散，則加 -----高等數(shù)學(xué)教案-----括號(hào)后所成的級(jí)數(shù)一定發(fā)散.⑤級(jí)數(shù)收斂的必要條件: 若n?1un?0.?un收斂，則limn???例3證明調(diào)和級(jí)數(shù) 1111??????? 23n是發(fā)散的.證: 假設(shè)調(diào)和級(jí)數(shù)收斂，部分 sn?s.和為sn，和為s，則limn??im(s2n?sn)?s?s?0.一方面，ln??另一方面，-----高等數(shù)學(xué)教案----- 111s2n?sn????? n?1n?22n111????? 2n2n2n1?，2(s2n?sn)?0，矛盾，故調(diào)所以limn??和級(jí)數(shù)發(fā)散.1P②.由于調(diào)和級(jí)數(shù)?發(fā)散，n?1n?1所以?也發(fā)散.n?13n?14P225⑤.由于級(jí)數(shù)?n是公比為 n?124225? -----高等數(shù)學(xué)教案-----11q?的幾何級(jí)數(shù)，而q??1，所22?1?1以?n收斂；由于級(jí)數(shù)?n是公比n?12n?1311為q?的幾何級(jí)數(shù)，而q??1，33?1所以?n收斂.n?13?1?1由于?n與?n都收斂，所以n?12n?13?11?(n?n)收斂.n?123§12.2 常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的審斂法 -----高等數(shù)學(xué)教案-----1.正項(xiàng)級(jí)數(shù): ?un(un?0).n?1?2.正項(xiàng)級(jí)數(shù)?un的部分和數(shù)列 n?1??sn?單調(diào)增加.3.正項(xiàng)級(jí)數(shù)?un收斂?部分和 n?1?數(shù)列?sn?有界.4.比較審斂法: 設(shè)?un、?vn都 n?1n?1??是正項(xiàng)級(jí)數(shù)，且un?vn.①若?vn收斂，則?un收斂； n?1?n?1??? ②若?un發(fā)散，則?vn發(fā)散.n?1n?-----高等數(shù)學(xué)教案-----5.比較審斂法的推論: 設(shè)?un、n?1n?1??vn都是正項(xiàng)級(jí)數(shù).?n?1? ①若?vn收斂，且存在自然數(shù)N，使當(dāng)n?N時(shí)有un?kvn(k?0)成立，則?un收斂.n?1? ②若?un發(fā)散，且存在自然數(shù)n?1?N，使當(dāng)n?N時(shí)有un?kvn(k?0)成立，則?vn發(fā)散.n?-----高等數(shù)學(xué)教案-----?例1.判斷p?級(jí)數(shù) 1111?p?p???p?? 23n的斂散性.解: ①當(dāng)p?1時(shí)，由于1np?而??1發(fā)散，所以?n?1n?1n?1np發(fā)散.②當(dāng)p?1時(shí)，對(duì)于級(jí)數(shù) 1?1112p?3p???np?? 加括號(hào)后: -----高等數(shù)學(xué)教案----- 1n，1111111?(p?p)?(p?p?p?p)??234567 它的各項(xiàng)均不大于級(jí)數(shù) 1111111?(p?p)?(p?p?p?p224444 11?1?p?1?p?1?? 24的對(duì)應(yīng)項(xiàng)，而后一個(gè)級(jí)數(shù)是收斂的幾何級(jí)數(shù)，所以級(jí)數(shù) -----高等數(shù)學(xué)教案-----1111111?(p?p)?(p?p?p?p)??2345671收斂，故正項(xiàng)級(jí)數(shù)?p收斂.n?1n?1例2.判斷級(jí)數(shù)?lnn的斂散性.n?12?1111解: 由于lnn?logn?，而?nn?1n22?1發(fā)散，所以?lnn發(fā)散.n?12?1例3.判斷級(jí)數(shù)?lnn的斂散性.n?13???111解:由于?lnn??ln3，而?ln3n?13n?1nn?1n?1p?ln3?1，是p?級(jí)數(shù)，所以?ln3n?1n?1收斂，從而?lnn收斂.n?13?-----高等數(shù)學(xué)教案-----例4.若正項(xiàng)級(jí)數(shù)?an與?bn均 n?1n?1??收斂，則下列級(jí)數(shù)也收斂.①?anbn；②?(an?bn)；③ 2n?1n?1??an.?n?1n?證: ①由于?an與?bn均收斂，n?1n?1??所以?(an?bn)收斂，而n?1?an?bn?2anbn，故?anbn收斂.n?1?②由于 -----高等數(shù)學(xué)教案-----(an?bn)?an?2anbn?bn，而?an、2?n?1n?1??bn與?anbn均收斂，所以n?12???(an?bn)收斂.n?11③由于?an與?2均收斂，所n?1n?1n?11an以?(an?2)收斂，而an?2?2，n?1nnn?an故?收斂.n?1n??例5.若?an與?bn均收斂，且??n?1n?1an?cn?bn，求證:?cn收斂.n?-----高等數(shù)學(xué)教案----- ?證:由于?an與?bn均收斂，所n?1n?1??以?(bn?an)收斂.n?1?由于an?cn?bn，所以 ?n?1?bn?an?cn?an?0，而?(bn?an)收斂，故?(cn?an)收斂，而?an收斂，從n?1?n?1而?cn收斂.n?1?6.比較審斂法的極限形式: 設(shè)n?1?un、?vn均是正項(xiàng)級(jí)數(shù)，n?1?? -----高等數(shù)學(xué)教案----- ?un?0，且?vn收斂，則①若limn??n?1vn?un收斂.n?1??un?l(0?l???)，則?vn ②若limn??n?1vn與?un同時(shí)收斂和同時(shí)發(fā)散.n?1?un???，且?vn發(fā)散，③若limn??n?1vn?則?un發(fā)散.n?1?1例6.判斷級(jí)數(shù)?n的斂散 n?1n?n? -----高等數(shù)學(xué)教案-----性.1?n1n?n解:由于l?lim，而?1?n??1n?1nn?1發(fā)散，所以?n發(fā)散.n?1n?n?1n?1例7.判斷級(jí)數(shù)?ln的斂 n?1n?2n散性.1lnn?1nn?1解:由于l?lim?2，而n??12n??11n?1收斂.?2收斂，所以?lnn?1n?2nn?2n -----高等數(shù)學(xué)教案-----例8.判斷級(jí)數(shù)?(2?1)的斂散 nn?1?性.解: 由于 nn2?12?ln2l?lim?lim?ln2n??n??11n，??1n而?發(fā)散，所以?(2?1)發(fā)散.n?1n?1n7.比值審斂法(達(dá)朗貝爾判別法): 設(shè)?un為正項(xiàng)級(jí)數(shù)，且n?1? -----高等數(shù)學(xué)教案-----un?1lim??.n??un ①若??1，則?un收斂； n?1? ②若??1或????，則?un發(fā) n?1?散； ③若??1，則?un可能收斂也 n?1?可能發(fā)散.1例9.判斷級(jí)數(shù)?的斂散 n?1(n?1)!?性.-----高等數(shù)學(xué)教案----- 1n!?0?1解: 由于??lim，n??1(n?1)!?1所以?收斂.n?1(n?1)!?n!例10.判斷級(jí)數(shù)?n的斂散性.n?110: 由于(n?1)!n?1n?110??lim?lim???，所n??n??10n!n10?n!以?n發(fā)散.n?110 -----高等數(shù)學(xué)教案-----解8.根值審斂法(柯西判別法): 設(shè)?un為正項(xiàng)級(jí)數(shù)，且n?1nu??.limnn??? ①若??1，則?un收斂； n?1? ②若??1或????，則?un發(fā) n?1?散； ③若??1，則?un可能收斂也 n?1?可能發(fā)散.2n?1n例11.判斷級(jí)數(shù)?()的n?13n?1? -----高等數(shù)學(xué)教案-----斂散性.解: 由于 2n?1nn(??lim)n??3n?12n()3n?1?limn??nn3n?1，2n?1n所以?()收斂.n?13n?110.交錯(cuò)級(jí)數(shù): ?u1?u2?u3?u4??，或 ?u1?u2?u3?u4??，其中u1，u2…都是正數(shù).-----高等數(shù)學(xué)教案-----11.萊不尼茲定理: 如果交錯(cuò)級(jí)數(shù)?(?1)un滿足條件: n?1n?1? ①u(mài)n?un?1； i?mun?0，②ln?則?(?1)un收斂，其和s?u1，其余n?1n?1?項(xiàng)的絕對(duì)值rn?un?1.例12.判斷級(jí)數(shù)?(?1)n?1?n?11的斂 n散性.解: 由于 -----高等數(shù)學(xué)教案-----11①?，即un?un?1； nn?11?0，即limu?0 ②lim，nn??n??n?n?11所以?(?1)收斂.n?1n12.絕對(duì)收斂: 如果?un收斂，n?1?則稱(chēng)?un絕對(duì)收斂.n?1?例如，級(jí)數(shù)?(?1)n?1?n?11絕對(duì)收 2n斂.13.條件收斂: 如果?un收斂，n?-----高等數(shù)學(xué)教案----- ?而?un發(fā)散，則稱(chēng)?un條件收斂.n?1n?1??例如，級(jí)數(shù)?(?1)n?1?n?11條件收斂.n?n?114.如果任意項(xiàng)級(jí)數(shù)?un的絕對(duì)值收斂，則?un收斂.n?1?1 證: 令Vn?(un?un)，21Wn?(un?un)，則un?Vn?0，2un?Wn?0.由于?un收斂，所以?Vn、?Wnn?1n?1n?-----高等數(shù)學(xué)教案-----???均收斂，故?(Vn?Wn)??un也收 n?1n?1??斂.15.設(shè)?un是任意項(xiàng)級(jí)數(shù)，n?1?un?1nu??，如果lim??或limnn??un??n??1，?un發(fā)散，則?un發(fā)散.n?1n?1??n例13.判別級(jí)數(shù)?(?1)是n?1n?1否收斂，若收斂是條件收斂，還 ?n?1是絕對(duì)收斂.-----高等數(shù)學(xué)教案-----解: 由于lim(?1)n??以?(?1)n?1?n?1n?1n?0，所 n?1n發(fā)散.n?1?1n?例14.判別級(jí)數(shù)?nsin是否 5n?12收斂，若收斂是條件收斂，還是絕對(duì)收斂.?1n?11?n，解: 由于nsin而?n 522n?121(是公比為q??1的幾何級(jí)數(shù))2?1n?收斂，所以?nsin收斂，故 5n?1-----高等數(shù)學(xué)教案-----1n??nsin絕對(duì)收斂.5n?12?1例15.判別級(jí)數(shù)?(?1)ln(1?)nn?1是否收斂，若收斂是條件收斂，?n還是絕對(duì)收斂.11解: 由于ln(1?)?ln(1?)，而 n?1n1limln(1?)?0，所以交錯(cuò)級(jí)數(shù)n??n?1n?(?1)ln(1?)收斂.n?1n由于 -----高等數(shù)學(xué)教案----- 1(?1)ln(1?)1 nlim?limnln(1?)n??n??1nnn1n?limln(1?)n??n?1，?1?1n而? 發(fā)散，所以?(?1)ln(1?)發(fā)n?1nn?1n?1n散，故?(?1)ln(1?)條件收斂.n?1n§12.3 冪級(jí)數(shù) 1.區(qū)間I上的函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù): u1(x)?u2(x)???un(x)??.-----高等數(shù)學(xué)教案-----對(duì)于x?x0?I，常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù) u1(x0)?u2(x0)???un(x0)?? ?n?1收斂，則稱(chēng)x0為?un(x)的收斂點(diǎn).收斂點(diǎn)的全體稱(chēng)為收斂域，發(fā)散點(diǎn)的全體稱(chēng)為發(fā)散域.2.(x?x0)的冪級(jí)數(shù): n?0?an(x?x0)?n?a0?a1(x?x0)?a2(x?x0) 2n???an(x?x0)?? -----高等數(shù)學(xué)教案-----3.x的冪級(jí)數(shù): n?0?anx?2n?na0?a1x?a2x???anx??.4.阿貝爾定理: 如果?anx當(dāng) nn?0?則當(dāng)x?x0x?x0(x0?0)時(shí)收斂，時(shí)?anx絕對(duì)收斂.反之，如果nn?0n?0???anx當(dāng)x?x0時(shí)發(fā)散，則當(dāng)nx?x0時(shí)?anx發(fā)散.nn?0? 5.阿貝爾定理的推論: 如果 -----高等數(shù)學(xué)教案-----n?0?anx不是僅在x?0一點(diǎn)收斂，n?也不是在整個(gè)數(shù)軸上收斂，則存在R?0，使得 ①當(dāng)x?R時(shí)，冪級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂； ②當(dāng)x?R時(shí)，冪級(jí)數(shù)發(fā)散； ③當(dāng)x?R與x??R時(shí)，冪級(jí)數(shù)可能收斂也可能發(fā)散.)為 稱(chēng)R為收斂半徑，稱(chēng)(?R , R)、收斂區(qū)間，收斂域是(?R , R[?R , R)、(?R , R]或[?R , R]這四 -----高等數(shù)學(xué)教案-----個(gè)區(qū)間之一(由x??R處的收斂性決定).規(guī)定冪級(jí)數(shù)僅在x?0處收斂時(shí)R?0，冪級(jí)數(shù)對(duì)一切x都收斂時(shí)R???.6.對(duì)于冪級(jí)數(shù)?anx，如果 nn?0?an?1lim??，則 n??an -----高等數(shù)學(xué)教案----- ?1 , ??0且?????R???? , ??0 ,?0 , ????.?? (?1)x例1.求?的收斂域.n?1nn(?1)n?1?1解: 由于??lim，所n?1n??(?1)n1以R??1.?n?1n? -----高等數(shù)學(xué)教案----- (?1)x1當(dāng)x??1時(shí)，???(?)nnn?1n?1發(fā)散.?(?1)n?1xn?(?1)n?1當(dāng)x?1時(shí)，???nnn?1n?1?(?1)n?1xn條件收斂.因此，?的收 nn?1斂域?yàn)??1 , 1].?n1例2.求?2(3x)的收斂域.n?01?nn??nn13解: ?2(3x)? ?2x.n?01?nn?01?n??n?1n -----高等數(shù)學(xué)教案----- 321?(n?1)??lim?3nn??321?nn?1，1R?.31當(dāng)時(shí)，x??3??(?1)nn1(3x)? 絕對(duì)收斂.??22n?01?nn?01?n1當(dāng)時(shí)，x?3??n11?2(3x)? ?2收斂.n?01?nn?01?n?n1因此，?的收斂域?yàn)?3x)2n?01?n -----高等數(shù)學(xué)教案-----11[? , ].33(?1)n例3.求?2(x?3)的收斂n?1n?n域.解: 令x?3?t，則 (?1)(?1)nn?2(x?3)? ?2t.n?1nn?1n?(?1)nn對(duì)于，?2tn?1nn?1(?1)2(n?1)??lim?1R?1，.nn??(?1)2n?? -----高等數(shù)學(xué)教案----- nn(?1)n1當(dāng)t??1時(shí)，?2t??2收n?1nn?1n??n斂.(?1)n?(?1)?2t??2絕當(dāng)t?1時(shí)，n?1nn?1nn?(?1)n對(duì)收斂.因此，?2t的收斂 n?1nn?(?1)n區(qū)間為[?1 , 1]，故?2(x?3)n?1n的收斂域?yàn)閇2 , 4].?2n?11例4.求?nx 的收斂域.n?03?nn -----高等數(shù)學(xué)教案----- 1x2(n?1)?1n?1213?x解: lim.n??1x2n?13n321令x?1，得?3?x?3，收3斂半徑為R?3.發(fā)散.散.2n?11當(dāng)x??3時(shí)，?nx? ??3n?03n?0??2n?11當(dāng)x?3時(shí)，?nx? ?3發(fā)n?03n?0??2n?11因此，?nx 的收斂域?yàn)閚?03(?3 , 3).? -----高等數(shù)學(xué)教案-----7.冪級(jí)數(shù)的運(yùn)算: s(x)??anxn?0?nn?0?n和?(x)??bnx的收斂半徑分別為R和R?，則 n?0????anx?nnn?0?bnx?nn?0?(an?bn)x?s(x)??(x)的收斂半徑為R?min?R , R??.8.冪級(jí)數(shù)的性質(zhì): ①?anx的和函數(shù)s(x)在其收nn?0?斂域I上連續(xù).-----高等數(shù)學(xué)教案----- ②?anx的和函數(shù)s(x)在其收nn?0?斂域I上可積，并有逐項(xiàng)積分公式 ?0s(x)dx??0?anxdxn?0xx??n????0anxdx nn?0?xann?1??x(x?In?0n?1?，ann?1?nx與?anx的收斂半徑相?n?0n?0n?1同.? -----高等數(shù)學(xué)教案-----③?anx的和函數(shù)s(x)在其收nn?0?斂區(qū)間(?R , R)內(nèi)可導(dǎo)，并有逐項(xiàng)求導(dǎo)公式 ???nns?(x)??anx??(anx)? ?n?0?n?0 ??nanx(x?R)，n?1n?1n?1??nanx?n?1與?anx的收斂半徑相 nn?0?同.n1例5.求?x的和函數(shù).n?1n? -----高等數(shù)學(xué)教案----- 1n?1R?1.?1解: ??lim，n??1n??n1n1當(dāng)x??1時(shí)，?x??(?1)收nn?1n?1n斂.n11當(dāng)x?1時(shí)，?x??發(fā)散.因 n?1nn?1n?n1此，?x的收斂域?yàn)閇?1 , 1).n?1n?n1令s(x)??x(?1?x?1)，則 n?1n???nn11s?(x)??x??(x)?n?1nn?1n???? -----高等數(shù)學(xué)教案-----??x n?1n?1?1?(?1?x?1).1?xs(x)?? x 0s?(x)dx?s(0) ??x10dx?0 ??1ln(?1x?x)(?1?x?1).例6.求??1xn?1在其收斂n?1n?1 , 1)上的和函數(shù).解??1xn?1?x??1xn?x?[?ln(1?x)] n?1nn?1n -----高等數(shù)學(xué)教案----- : 域[ ??xln(1?x)x?[?1 , 1).例7.求?(n?1)x在其收斂域 nn?1?(?1 , 1)上的和函數(shù).解: 令s(x)??(n?1)x，則 nn?1??0s(x)dx???0(n?1)xdx nn?1x?x??x n?1n?1?x? 1?x(?1?x?1).-----高等數(shù)學(xué)教案----- 2s(x)?[? 0s(x)dx]? xx?()? 1?x22x?x?2(1?x)(?1?x?1).2例8.求?nx在其收斂域(?1 , 1)nn?1?上的和函數(shù).解: ?nx??nx??x??x nnnnn?1n?1n?1nn?1n??????(n?1)x??x n?1n?1?? -----高等數(shù)學(xué)教案----- 2x?xx? ?2(1?x)1?xx .(?1 , 1)?2(1?x)2例9.求?(n?2)x在其收斂區(qū) nn?1?間(?1 , 1)上的和函數(shù).解n?1: ?nn?12?(n?2)x??(n?1)x??x nnn?1??2x?x?2(1?x)x ?1?x -----高等數(shù)學(xué)教案----- 3x?2x?2(1?x)2 (?1 , 1).§12.4 函數(shù)展開(kāi)成冪級(jí)數(shù) 1.設(shè)f(x)在x0的某一鄰域U(x0)內(nèi)具有各階導(dǎo)數(shù)，冪級(jí)數(shù) ??(x0)f2f(x0)?f?(x0)(x?x0)?(x?x0) 2!f(x0)n???(x?x0)?? n!稱(chēng)為f(x)的泰勒級(jí)數(shù).(n) 如果泰勒級(jí)數(shù)收斂于f(x)，則 -----高等數(shù)學(xué)教案----- -----[xn?1 , xn]，A??A1??A2????An，?xi?xi?xi?1(i?1 , 2 , ? , n).②在每個(gè)小區(qū)間[xi?1 , xi]上任取一點(diǎn)?i，?Ai?f(?i)??xi，A??f(?i)?xi.i?1n③??max{?x1 , ?x2 , ? , ?xn}.A?lim?f(?i)?xi.??0i? 1-----高等數(shù)學(xué)教案----- n2.變速直線運(yùn)動(dòng)的路程: 設(shè)速度v?v(t)是時(shí)間間隔[T1 , T2]上t的連續(xù)函數(shù)，路程記為s.①把區(qū)間[T1 , T2]分成n個(gè)小區(qū)間:，…，[t0 , t1] [tn?1 , tn]，[t1 , t2]，s??s1??s2????sn，?ti?ti?ti?1(i?1 , 2 , ? , n).②在每個(gè)小區(qū)間[ti?1 , ti]上任取一點(diǎn)?i，?si?v(?i)??ti，-----高等數(shù)學(xué)教案-----s??v(?i)?ti.i?1n③??max{?t1 , ?t2 , ? , ?tn}.s?lim?v(?i)?ti.??0i?1n3.定積分定義: 設(shè)y?f(x)在[a , b]上有界.①把區(qū)間[a , b]分成n個(gè)小區(qū)間:，[x1 , x2]，…，[x0 , x1] [xn?1 , xn]，-----高等數(shù)學(xué)教案-----?xi?xi?xi?1(i?1 , 2 , ? , n).②在每個(gè)小區(qū)間[xi?1 , xi]上任取一點(diǎn)?i，?f(?i)?xi.i?1n③??max{?x1 , ?x2 , ? , ?xn}.如果 lim?f(?i)?xi ??0i?1n存在，且此極限不依賴(lài)于對(duì)區(qū)間[a , b]的分法和在[xi?1 , xi]上 -----高等數(shù)學(xué)教案----- 則稱(chēng)此極限為f(x)?i點(diǎn)的取法，在[a , b]上的定積分，記為 f(?i)?xi.??af(x)dx?lim??0bi?1n注意：定積分? af(x)dx只與被積函數(shù)f(x)﹑積分區(qū)間[a , b]有關(guān)，而與積分變量用什么字母表示無(wú)關(guān)，即 b? af(x)dx?? af(t)dt?? af(u)du b b b.4.(必要條件).如果f(x , y)在D上可積，則f(x , y)在D上 -----高等數(shù)學(xué)教案-----有界.5.(充分條件): ①如果f(x)在[a , b]上連續(xù)，則f(x)在[a , b]上可積.②如果f(x)在[a , b]上有界，且只有有限個(gè)間斷點(diǎn)，則f(x)在[a , b]上可積.6.定積分的幾何意義： ①如果f(x)在[a , b]上連續(xù)，且f(x)?0，則 b? af(x)dx?s (S是曲邊梯 -----高等數(shù)學(xué)教案-----形的面積).②.如果f(x)在[a , b]上連續(xù)，且f(x)?0，則 b? af(x)dx??s (S是曲邊梯形的面積).③如果f(x)在[a , b]上連續(xù)，且f(x)的值有正有負(fù)，則 b? af(x)dx等于x軸上方的曲邊梯形面積減去x軸下方的曲邊梯形面積.7.規(guī)定: -----高等數(shù)學(xué)教案----- ①當(dāng)a?b時(shí)，? af(x)dx?0.a?b ②當(dāng)時(shí)，ba? af(x)dx???bf(x)dx.7.定積分的性質(zhì)： ①??f(x)?g(x)?dx??f(x)dx??g(x)dx.b b②? akf(x)dx?k? af(x)dx.③ b c b? af(x)dx?? af(x)dx?? cf(x)dx.④如果在[a , b]上f(x)?1，則 b b? a1dx?? adx?b?a.b b b b a a a -----高等數(shù)學(xué)教案-----⑤如果在[a , b]上f(x)?0，則 b? af(x)dx?0.如果在[a , b]上f(x)?g(x)，則 b b? af(x)dx?? ag(x)dx，? af(x)dx?? af(x)dx.b b⑥設(shè)m?f(x)?M，則 bm(b?a)?? af(x)dx?M(b?.⑦(積分中值定理)如果f(x) -----高等數(shù)學(xué)教案-----在[a , b]上連續(xù)，則在[a , b]上至少存在一點(diǎn)?，使得 b? af(x)dx?f(?)?(b?a).證:由于f(x)在[a , b]上連續(xù)，所以存在最大值M和最小值m，使得 m?f(x)?M，bm(b?a)?? af(x)dx?M(b?a)，f(x)dx? am??M，b?a -----高等數(shù)學(xué)教案----- b故在[a , b]上至少存在一點(diǎn)?，使得 b? af(x)dx?f(?)b?a即 b? af(x)dx?f(?)?(b?a).b1稱(chēng)為在f(x)dxf(x)? ab?a[a , b]上的平均值.P23511.證: 對(duì)任意實(shí)數(shù)?，有 12? 0[??f(x)]dx?0，1 122??2?? 0f(x)dx?? 0f(x)dx?0 -----高等數(shù)學(xué)教案-----，所以 12??4?? 0f(x)dx??4? 0f(x)dx?0，即 ? 0f(x)dx??? 0f(x)dx?.練習(xí)1.設(shè)f(x)在[a , b]上連續(xù)，且f(x)?0，證明: 12 121? af(x)dx? af(x)dx?(b?a)b b.§5.2微積分基本公式 1.積分上限的函數(shù)(變上限 -----高等數(shù)學(xué)教案-----積分): f(x)在[a , b]上連續(xù)，稱(chēng) x?(x)?? af(t)dt x?[a , b] 為積分上限的函數(shù).2.如果f(x)在[a , b]上連續(xù)，x則?(x)?? af(t)dt可導(dǎo)，且 xd??(x)?f(t)dt?f(x)? adx.x例1.求F(x)?? 0tsintdt的導(dǎo)數(shù).解: F?(x)?xsinx.-----高等數(shù)學(xué)教案----- sintdt?sinx 0例2.lim ?lim2x?0x?02xx1?.2 x例3.tedt??lim xx???xe2x??? x2 0t2elim?x2tedt?x x2 0t2x?limx???(1?2 x?limx???1? 2-----高等數(shù)學(xué)教案----- ? 3.?? ?(x)f(t)dt? ?f[?(x)]??(x)?f[?(x)]??(x)?(x)1?.2.x?bd 例4.? x?af(t)dt dx?f[(x?b)]?f[(x?a)].例 15.(? xedt)??e??e?2x xx?1?2xe.lnx2tlnxx22 -----高等數(shù)學(xué)教案-----例6.設(shè)f(x)在[a , b]上連續(xù)，且單調(diào)增加，證明: x1 F(x)?f(t)dt? ax?a在(a , b]內(nèi)單調(diào)增加.證: 當(dāng)x?(a , b)時(shí)，f(x)(x?a)?? af(t)dtF?(x)? 2(x?a)f(x)(x?a)?f(?)(x?a)?2(x?a)x f(x)?f(?)?(x?a) -----高等數(shù)學(xué)教案----- (a???x).由于f(x)在[a , b]上單調(diào)增加，而a???x，所以 f(x)?f(?)F?(x)??0，(x?a)故F(x)在(a , b]內(nèi)單調(diào)增加.4.微積分基本公式(牛頓—萊布尼茨公式): 如果f(x)在[a , b]上連續(xù)，且F(x)是f(x)的一個(gè)原函數(shù)，則 b? af(x)dx?F(b)?F(a)?F(.-----高等數(shù)學(xué)教案----- 為F(x)、x?(x)?? af(t)dt都是f(x)的原函數(shù)，所以?(x)?F(x)?C.由于 ?(a)?F(a)?C，a?(a)?? af(t)dt?0，得 C??F(a)，?(x)?F(x)?F(a)，?(b)?F(b)?F(a)，b即 ?(b)?? af(x)dx ?F(b)?F(a) ?F(x).ba -----高等數(shù)學(xué)教案-----證: 因 ?1 1例7.? ?2dx?lnx?2 x?ln1?ln2 ??ln2.?1 例 2 1 28.? 01?xdx?? 0(1?x)dx?? 1(x?1)dx 221xx?(x?)0?(?x)22 ?1.例9.設(shè) ?x , x?[0 , 1), f(x)???x , x?[1 , 2] ，-----高等數(shù)學(xué)教案-----2求?(x)?? 0f(t)dt在[0 , 2]上的表達(dá)式.x解(x)???? x2 0tdt , x?[0 , 1)?? 12dt?? x 0t 1tdt , x?[1 ,?x3 , ???3??13?12(x2?1), ?x3 ??, ?3??1-----高等數(shù)學(xué)教案 6 ,----- : 2] x?[0 ,x?[1 , 2x?[0 , x?[1 , 2? 例10.求 x f(x)??0tdt 在(?? , ??)上的表達(dá)式.??0?tdt , x?0解: f(x)??x tdt , x?0??02??x , x?0?2 ??2x? , x?0.?2x§5.3 定積分的換元法和分部積分法 -----高等數(shù)學(xué)教案-----1.定積分的換元法: b?? af(x)dx x??(t)??f[?(t)]??（其中f(x)連續(xù)，?(t)有連續(xù)的導(dǎo)數(shù)，a??(?)，b??(?)，.例1.? 0 4x?2dx 2x?11t2?32 32t?12 x? ? 1 tdt 2t 321?? 1(t?3)dt 2331t?(?3t)1 3-----高等數(shù)學(xué)教案-----例 例 ?223.2.? 1dx 34 1?x?1 x??(t2?2t)? ?1?(2t?2)?12 t??2? ?112?1 ?(1t)dt ??2(t?lnt)?1?12 ?1?2ln2.3.2? 111?x 2 x2dx x?sint ? ?cost ?24 -----高等數(shù)學(xué)教案----- sin2tcostdt 2? 例 ??2 ? cottdt 4?? ?2(csc2 ?t?1)dt 4?(?cott?t)?2? 4?1??4.? ?5 02sinx?cosxdx ??? ?5 02cosxdcosx ?(?16?6cosx)20 ?16.-----高等數(shù)學(xué)教案----- 4.例5.? 0x(2?x)dx 12421??? 0(2?x)d(2?x)2 25111 ??[(2?x)]0 2531 ?.102.設(shè)f(x)在[?a , a]上連續(xù)且為偶函數(shù)，則 a a? ?af(x)dx?2? 0f(x)dx.證: a 0 a? ?af(x)dx?? ?af(x)dx?? 0f(x)dx.12 4-----高等數(shù)學(xué)教案-----? ?af(x)dx x??t ? af(?t)(? 0 0 ??? af(t)dt ?? 0f(t)dt ?? 0f(x)dx.a a 0所 以 a a a? ?af(x)dx?? 0f(x)dx?? 0f(x)dx ?2? 0f(x)dx.a3.設(shè)f(x)在[?a , a]上連續(xù)且 a為奇函數(shù)，則 ? ?af(x)dx?0.xsinxdx.例6.求? ?242x?3x?1 2 -----高等數(shù)學(xué)教案----- 32xsinx解: 由于f(x)?42x?3x?132是 2奇3函2數(shù)，所以 xsinxdx?0.? ?242x?3x?1例7.求 1sinx?(arctanx).dx? ?121?x解: 原式1sinx 1(arctanx).?? ?1dx?dx?22 ?11?x1?xsinx由于f(x)?2是奇函數(shù)，1?x -----高等數(shù)學(xué)教案-----以(arctanx)是偶函數(shù)，所g(x)?21?x(arctanx)原式?0?2? 0 dx21?x 12?2? 0(arctanx)d(arctanx)122 312?[(arctanx)]0 332??()3496例8.設(shè)f(x)在[0 , a]上連續(xù)，-----高等數(shù)學(xué)教案-----?.?3證明: ? 0f(x)dx?? 0f(a?x)dx.a a證? 0f(x)dx 0 x?a?t ? af(a?t)(?dt)a: ??? af(a?t)dt ?? 0f(a?t)dt ?? 0f(a?x)dx.a 0 a 例9.若f(x)在[0 , 1]上連續(xù)，證明: ?f(sinx)dx? -----高等數(shù)學(xué)教案-----?2 0?f(cosx)dx.2 0? 證: ?f(sinx)dx ? x??t 2 ?2 0f(cost)(?d? ?2 0 ??f(cost)dt ?2 0??f(cosx)dx.?2 0 例10.若f(x)在[0 , 1]上連續(xù)，證明: ? 0xf(sinx)dx? ??.f(sinx)dx? 02 ? -----高等數(shù)學(xué)教案-----證: ? 0xf(sinx)dx 0 x???t ? ?(??t)f(sint)? ?? 0(??t)f(sint)dt ??? 0f(sint)dt?? 0tf(sint)dt ??? 0f(sinx)dx?? 0xf(sinx)dx.? ? ? ? ?解? 0 ?得 .f(sinx)dx? 02例11.若f(x)為連續(xù)函數(shù)，??xf(sinx)dx? -----高等數(shù)學(xué)教案-----且?ef(x?t)dt?xe，求f(x)的表達(dá)式.xt證: ? 0ef(x?t)dt xt 0x t?x?u ? xe 0x?uf(u)(?du) ??e?ef(u)du x x?u?e? 0ef(u)du.?ux 0 x所以e?ef(u)du?xe，得 x?u? 0ef(u)du?x.將上式兩邊對(duì)x求導(dǎo)數(shù)，得 ?x ef(x)?1，x x 0?ux -----高等數(shù)學(xué)教案-----即 f(x)?e.4.定積分的分部積分法: x ? auv?dx?(uv)?? au?vdx.bba b 例12.? 1lnxdx?(xlnx)?? 1dx 5?5ln5?x1 5515?5ln5?4.例13.? 0xedx?(xe)?? 0edx x1?e?e0 1xx10 1x?1.例14.若f(x)是以T為周期的連續(xù)函數(shù)，證明: -----高等數(shù)學(xué)教案-----? af(x)dx?? 0f(x)dx 其中a為常數(shù).a?T T證: ? a 0 a?Tf(x)dx? T a?T? af(x)dx?? 0f(x)dx?? T a?T? Tf(x)dx af(x)dx x?u?T ? 0f(u?T)du ?? 0f(u)du ?? 0f(x)dx ??? af(x)dx.0 a a所以 ? a a?T 0f(x)dx? T 0? af(x)dx?? 0f(x)dx?? af(x)dx -----高等數(shù)學(xué)教案-----?? 0f(x)dx.T例15.設(shè)f(x)在(?? , ??)上連續(xù)，證明: 1lim?[f(x?h)?f(x)]dx?f(b)?f(a) bh?0h a證: 設(shè)f(x)的一個(gè)原函數(shù)為F(x)，則 b1lim?a [f(x?h)?f(x)]dx h?0h[F(x?h)?F(x)]?lim h?0hF(b?h)?F(b)?limh?0hF(a?h)?F(a)?limh?0h -----高等數(shù)學(xué)教案----- ba?F?(b)?F?(a)?f(b)?f(a).§5.4 反常積分 1.無(wú)窮限的反常積分: ①設(shè)f(x)在[a , ??)上連續(xù)，存在，f(x)dxt?a，如果tlim? a???則稱(chēng)反常義積分? af(x)dx收斂，且 ??t ? af(x)dx?tlim.f(x)dx? a??? ??t否則稱(chēng)反常積分? af(x)dx發(fā)散.?? -----高等數(shù)學(xué)教案-----②設(shè)f(x)在(?? , b]上連續(xù)，t?b，如果lim?tf(x)dx存在，t???b則稱(chēng)反常義積分???f(x)dx收斂，且 b ???f(x)dx?tlim.f(x)dx????tb b否則稱(chēng)反常積分???f(x)dx發(fā)散.③設(shè)f(x)在(?? , ??)上連 0 ??續(xù)，如果? ??f(x)dx與? 0f(x)dx都收斂，則稱(chēng)反常積分 ??? ??f(x)dx收斂，且 b -----高等數(shù)學(xué)教案-----? ??f(x)dx ???? ??f(x)dx?? 0f(x)dx.0 ??否則稱(chēng)反常積分? ??f(x)dx發(fā)散.2.引入記號(hào): ??F(??)?limF(x)，x???F(??)?limF(x).x???若在[a , ??)上F?(x)?f(x)，則當(dāng)F(??)存在時(shí)，??? af(x)dx?F(??)?F(a) ?[F(x)].??a -----高等數(shù)學(xué)教案-----若在(?? , b]上F?(x)?f(x)，則當(dāng)F(??)存在時(shí)，b???f(x)dx?F(b)?F(??) ?[F(x)].b??若在上(?? , ??)F?(x)?f(x)，則當(dāng)F(??)與F(??)都存在時(shí)，?????f(x)dx?F(??)?F(??) ?[F(x)].????例1.判斷反常積分 ???x? 0xedx 2-----高等數(shù)學(xué)教案-----是否收斂，若收斂求其值.?x??1解: 原式?(?e)0 2?x11 ?xlim(?e)? ???221 ?.2 例2.判斷反常積分 ?1? ??cosxdx 22的斂散性.解: 原式?(sinx) ?1???sin(?1)?limsinx.x???sinx不存在，由于xlim所以反??? -----高等數(shù)學(xué)教案-----常積分? ??cosxdx發(fā)散.例3.討論反常積分 ?1? ??1 1x?dx.解:? ??1 1x?dx ?(lnx)????1 , ???(11????1??x)1 -----高等數(shù)學(xué)教案----- ??1 ??1的斂散性 , ???? , ??1????? , ??1 ????1?1 , ??1? ??1 1x?dx，當(dāng)???1時(shí)發(fā)散.例4.判斷反常積分 ? ??1 ??1?x2dx.解: ? ??1 ??1?x2dx -----高等數(shù)學(xué)教案----- ?1所以反常積分時(shí)收斂，當(dāng) 的斂散性 ?(arctanx)0???(arctanx)??0 ???? 22??.? 1 ?? 例5.判斷反常積分 1dx 2x?x ??的斂散性.1dx解: ? 1 2x?x ??11?? 1(?)dx x1?x???[lnx?ln(1?x)]1 -----高等數(shù)學(xué)教案----- ??x?[ln]1 1?xx1?limln?ln x???1?x2?ln2.3.如果f(x)在點(diǎn)a的任一鄰域內(nèi)都無(wú)界，那么稱(chēng)點(diǎn)a為f(x)的瑕點(diǎn).4.無(wú)界函數(shù)的反常積分(瑕積分): ①設(shè)f(x)在(a , b]上連續(xù)，點(diǎn)a為f(x)的瑕點(diǎn)，t?a.如果lim?tf(x)dx存在，則稱(chēng)反常積t?a? -----高等數(shù)學(xué)教案-----b分? af(x)dx收斂，且 b ? af(x)dx?lim?tf(x)dx.b bt ?a?否則稱(chēng)反常積分? af(x)dx發(fā)散.②設(shè)f(x)在[a , b)上連續(xù)，點(diǎn)b為f(x)的瑕點(diǎn)，t?b.如果 blim?af(x)dx存在，則稱(chēng)反常積t?b?t分? af(x)dx收斂，且 b ? af(x)dx?lim?af(x)dx.btt ?b?否則稱(chēng)反常積分? af(x)dx發(fā)散.③設(shè)f(x)在[a , b]上除點(diǎn)c(a?c?b)外連續(xù)，點(diǎn)c為f(x)的 b -----高等數(shù)學(xué)教案-----瑕點(diǎn).如果兩個(gè)反常積分 b c? af(x)dx、? cf(x)dx都收斂，則 b稱(chēng)反常積分? af(x)dx收斂，且 b c b? af(x)dx?? af(x)dx?? cf(x)dx.b否則稱(chēng)反常積分? af(x)dx發(fā)散.5.引入記號(hào): ①設(shè)F(x)為f(x)在(a , b]上的一個(gè)原函數(shù)，a為f(x)的瑕點(diǎn)，則 b? af(x)dx?F(b)?limF(x) x?a??[F(x)].ba -----高等數(shù)學(xué)教案-----②設(shè)F(x)為f(x)在[a , b)上的一個(gè)原函數(shù)，b為f(x)的瑕點(diǎn)，則 b? af(x)dx?limF(x)?F(a) x?b??[F(x)].ba 例6.判斷反常積分? 0lnxdx的斂散性.1解:? 0lnxdx?(xlnx)??0dx 1101?0?lim(xlnx)?x x ?0?10??1.-----高等數(shù)學(xué)教案----- 1例7.討論反常積分? 0?dxx 1的斂散性.解: ? 11 0x?dx ?(lnx)10 , ??1?????(1?11??1 ?x)0 , ??1 ??0?limx ?0?lnx , ???1?lim ?0?(1?1?x1???1??x) -----高等數(shù)學(xué)教案----- ??1 ??1 , ?1 , ??1?1??????? , ??1 ??? , ??1?? 11所以反常積分? 0?dx，當(dāng)??1x時(shí)收斂，當(dāng)??1時(shí)發(fā)散.11 例8.判斷反常積分? ?12dxx的斂散性.1解: ? ?12dx x 01 11?? ?12dx?? 02dx xx 1 -----高等數(shù)學(xué)教案----- §8? 4 多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則 設(shè)z?f(u? v)? 而u??(t)? v??(t)? 如何求dz？ dt 設(shè)z?f(u? v)? 而u??(x? y)? v??(x? y)? 如何求?z和?z？ ?x?y 1? 復(fù)合函數(shù)的中間變量均為一元函數(shù)的情形 定理1 如果函數(shù)u??(t)及v??(t)都在點(diǎn)t可導(dǎo)? 函數(shù)z?f(u? v)在對(duì)應(yīng)點(diǎn)(u? v)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)? 則復(fù)合函數(shù)z?f[?(t)? ?(t)]在點(diǎn)t可導(dǎo)? 且有 dz??z?du??z?dv? dt?udt?vdt 簡(jiǎn)要證明1? 因?yàn)閦?f(u? v)具有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)? 所以它是可微的? 即有 dz??zdu??zdv? ?u?v又因?yàn)閡??(t)及v??(t)都可導(dǎo)? 因而可微? 即有 du?dudt? dv?dvdt? dtdt代入上式得 dz??z?dudt??z?dvdt?(?z?du??z?dv)dt? ?udt?vdt?udt?vdt從而 dz??z?du??z?dv? dt?udt?vdt 簡(jiǎn)要證明2? 當(dāng)t取得增量?t時(shí)? u、v及z相應(yīng)地也取得增量?u、?v及?z ? 由z?f(u? v)、u??(t)及v??(t)的可微性? 有 ?z??z?u??z?v?o(?)??z[du?t?o(?t)]??z[dv?t?o(?t)]?o(?) ?u?v?udt?vdt ?(?z?du??z?dv)?t?(?z??z)o(?t)?o(?)? ?udt?vdt?u?vo(?t)o(?)? ?z??z?du??z?dv?(?z??z)? ?t?udt?vdt?u?v?t?t令?t?0? 上式兩邊取極限? 即得 注?limdz?zdu?zdv????? dt?udt?vdt?lim?t?0o(?)?to(?)?t?0??(?u)2?(?v)2?t?0?(du2dv)?()2?0dtdt? 推廣? 設(shè)z?f(u? v? w)? u??(t)? v??(t)? w??(t)? 則z?f[?(t)? ?(t)? ?(t)]對(duì)t 的導(dǎo)數(shù)為? dz??zdu??zdv??zdw? dt?udt?vdt?wdt上述dz稱(chēng)為全導(dǎo)數(shù)? dt 2? 復(fù)合函數(shù)的中間變量均為多元函數(shù)的情形 定理2 如果函數(shù)u??(x? y)? v??(x? y)都在點(diǎn)(x? y)具有對(duì)x及y的偏導(dǎo)數(shù)? 函數(shù)z?f(u? v)在對(duì)應(yīng)點(diǎn)(u? v)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)? 則復(fù)合函數(shù)z?f [?(x? y)? ?(x? y)]在點(diǎn)(x? y)的兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)存在? 且有 ?z??z??u??z??v? ?z??z??u??z??v? ?x?u?x?v?x?y?u?y?v?y 推廣? 設(shè)z?f(u? v? w)? u??(x? y)? v??(x? y)? w??(x? y)? 則 ?z?z?u?z?v?z?w?????? ?z??z??u??z??v??z??w? ? ?x?u?x?v?x?w?x?y?u?y?v?y?w?y 討論? (1)設(shè)z?f(u? v)? u??(x? y)? v??(y)? 則?z?？ ?x?z?z?u?zdv???? 提示? ?z??z??u? ? ?z?？ ?y?x?u?x?y?u?y?vdy (2)設(shè)z?f(u? x? y)? 且u??(x? y)? 則?z?？ ?x?z?？ ?y ?f?u?f?z?f?u?f?? 提示? ?z?? ? ??x?u?x?x?y?u?y?y這里?z與?x?f是不同的? ?z是把復(fù)合函數(shù)z?f[?(x? y)? x? y]中的y看作不變而對(duì)x的?x?x偏導(dǎo)數(shù)? ?f?f?z是把f(u? x? y)中的u及y看作不變而 對(duì)x的偏導(dǎo)數(shù)? 與也朋類(lèi)似 ?y?y?x的區(qū)別? 3．復(fù)合函數(shù)的中間變量既有一元函數(shù)? 又有多元函數(shù)的情形 定理3 如果函數(shù)u??(x? y)在點(diǎn)(x? y)具有對(duì)x及對(duì)y的偏導(dǎo)數(shù)? 函數(shù)v??(y)在點(diǎn)y可導(dǎo)? 函數(shù)z?f(u? v)在對(duì)應(yīng)點(diǎn)(u? v)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)? 則復(fù)合函數(shù)z?f[?(x? y)? ?(y)]在點(diǎn)(x? y)的兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)存在? 且有 ?z?z?u?zdv???? ?z??z??u? ? ?x?u?x?y?u?y?vdy 例1 設(shè)z?eusin v? u?xy? v?x?y? 求?z和 ?x?z?y? 解 ?z??z??u??z??v ?x?u?x?v?x ?eusin v?y?eucos v?1 ?ex y[y sin(x?y)?cos(x?y)]? ?z??z??u??z??v ?y?u?y?v?y ?eusin v?x?eucos v?1 ?exy[x sin(x?y)?cos(x?y)]? 例2 設(shè)u?f(x,y,z)?ex?f?f 解 ?u????z ?x?x?z?x22?y2?z2? 而z?x2siny? 求?u和 ?x?u?y? ?2xex?y2?z2?2zex2?y2?z2?2xsiny ? ?2x?(1?2x2siny)ex2?y2?x4si2ny ?u?f?f?z??? ?y?y?z?y?2yex?y2?z2?2zex2?y2?z2?x2cosy ?2(y?x4sinycosy)ex2?y2?x4si2ny? dt 例3 設(shè)z?uv?sin t ? 而u?et? v?cos t? 求全導(dǎo)數(shù)dz? 解 dz??z?du??z?dv??z dt?udt?vdt?t ?v?et?u?(?sin t)?cos t ?etcos t?e tsin t?cos t ?et(cos t?sin t)?cos t ? 例4 設(shè)w?f(x?y?z? xyz)? f具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)? 解 令u?x?y?z? v?xyz ? 則w?f(u? v)? 引入記號(hào)? f1???x?u?x?f(u,v)?u?v?x求?w?x?2w及?x?z? ??? f12?f(u,v)?u?v??等? ???f22? 同理有f2??f11?f?f ?w???u???v?f1??yzf2?? ?f??f??2w??(f1??yzf2?)?1?yf2??yz2?x?z?z?z?z ???xyf12???yf2??yzf21???xy2zf22?? ?f11???y(x?z)f12???yf2??xy2zf22??? ?f1 1注? ?f1??f1??u?f1??v?f2??f2??u?f2??v???xyf12??? ???xyf22???????f11?????f21?z?u?z?v?z?z?u?z?v?z? 例5 設(shè)u?f(x? y)的所有二階偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)? 把下列表達(dá)式轉(zhuǎn)換成極坐標(biāo)系中的形式? (1)(?u2?u)?()2? ?x?y2?2u(2)?u? ?22?x?y解 由直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)間的關(guān)系式得 u?f(x? y)?f(?cosθ? ?sinθ)?F(?? θ)? 其中x??cosθ? y??sinθ? ??x2?y2? ??arctan應(yīng)用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則? 得 ??u?u???u???u?uysin?ux?uy???co?s????x???x???x?????????2???u?uco?s?u?u???u???uy?ux?sin???????y???y???y?????????2??yx? ? ? 兩式平方后相加? 得 (?u)2?(?u)2?(?u)2?12(?u)2? ?x?y?????再求二階偏導(dǎo)數(shù)? 得 ?2u??u????u??()??()? 2? ???x?x???x?x?x??u?usin???u?usin?sin?(co?s?)?co?s?(co?s?)? ? ???????????????2?2u?2usin?co?s?2usin?2?u2sin?co?s?usin?2 ?2cos??2? ?????????????????2?2?2同理可得 2?2u?2u?2usin?co?s?2uco?s2?u2sin?co?s?ucos?? 2 2?2sin??2??????????????y????2?2?2兩式相加? 得 2?2u?2u11?2u1??u?2u ?u??????[?(?)?]? 2222222?x?y????????????? 全微分形式不變性? 設(shè)z?f(u? v)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)? 則有全微分 dz??zdu??zdv? ?u?v如果z?f(u? v)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)? 而u??(x? y)? v??(x? y)也具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)? 則 ?z?z dz?dx?dy ?x?y?z?u?z?v?z?u?z?v?)dx?(?)dy ?(?u?x?y?v?x?u?y?y?v?y?z?u?u?z?v?v ?(dx?dy)?(dx?dy) ?u?x?v?x ??zdu??zdv? ?u?v由此可見(jiàn)? 無(wú)論z 是自變量u、v的函數(shù)或中間變量u、v的函數(shù)? 它的全微分形式是一樣的? 這個(gè)性質(zhì)叫做全微分形式不變性? 例6 設(shè)z?e usin v? u?x y? v?x?y? 利用全微分形式不變性求全微分? 解 dz??zdu??zdv? e usin vdu? e ucos v dv ?u?v ? e usin v(y dx?x dy)? e ucos v(dx?dy) ?(ye usin v? e ucos v)dx?(xe usin v? e ucos v)dy ?e xy [y sin(x?y)?cos(x?y)]dx? e xy [x sin(x?y)?cos(x?y)]dy ? §8? 5 隱函數(shù)的求導(dǎo)法則 一、一個(gè)方程的情形 隱函數(shù)存在定理1 設(shè)函數(shù)F(x? y)在點(diǎn)P(x0? y0)的某一鄰域內(nèi)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)? F(x0? y0)?0? Fy(x0? y0)?0? 則方程F(x? y)?0在點(diǎn)(x0? y0)的某一鄰域內(nèi)恒能唯一確定一個(gè)連續(xù)且具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)的函數(shù)y?f(x)? 它滿足條件y0?f(x0)? 并有 dydx??FxFy? ? 求導(dǎo)公式證明? 將y?f(x)代入F(x? y)?0? 得恒等式 F(x? f(x))?0? 等式兩邊對(duì)x求導(dǎo)得 ?F?Fdy???0? ?x?ydx由于F y連續(xù)? 且Fy(x0? y0)?0? 所以存在(x0? y0)的一個(gè)鄰域? 在這個(gè)鄰域同F(xiàn)y ?0? 于是得 dydx??FxFy? 例1 驗(yàn)證方程x2?y2?1?0在點(diǎn)(0? 1)的某一鄰域內(nèi)能唯一確定一個(gè)有連續(xù)導(dǎo)數(shù)、當(dāng)x?0時(shí)y?1的隱函數(shù)y?f(x)? 并求這函數(shù)的一階與二階導(dǎo)數(shù)在x?0的值? 解 設(shè)F(x? y)?x2?y2?1? 則Fx?2x? Fy?2y? F(0? 1)?0? Fy(0? 1)?2?0? 因此由定理1可知? 方程x2?y2?1?0在點(diǎn)(0? 1)的某一鄰域內(nèi)能唯一確定一個(gè)有連續(xù)導(dǎo)數(shù)、當(dāng)x?0時(shí)y?1的隱函數(shù)y?f(x)? dydx??FxFy??xy? dydxx?0?0? d2ydx2??y?xy?y2y?x(???y2x)y??y2?x2y3d2y1??3； dx2y??1? x?0 隱函數(shù)存在定理還可以推廣到多元函數(shù)? 一個(gè)二元方程F(x? y)?0可以確定一個(gè)一元隱函數(shù)? 一個(gè)三元方程F(x? y? z)?0可以確定一個(gè)二元隱函數(shù)? 隱函數(shù)存在定理2 設(shè)函數(shù)F(x? y? z)在點(diǎn)P(x0? y0? z0)的某一鄰域內(nèi)具有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)? 且F(x0? y0? z0)?0? Fz(x0? y0? z0)?0 ? 則方程F(x? y? z)?0在點(diǎn)(x0? y0? z0)的某一鄰域內(nèi)恒能唯一確定一個(gè)連續(xù)且具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的函數(shù)z?f(x? y)? 它滿足條件z0?f(x0? y0)? 并有 FF ?z??x? ?z??y? ? ?xFz?yFz 公式的證明? 將z?f(x? y)代入F(x? y? z)?0? 得F(x? y? f(x? y))?0? 將上式兩端分別對(duì)x和y求導(dǎo)? 得 Fx?Fz??z?0? Fy?Fz??z?0? ??x?y因?yàn)镕 z連續(xù)且F z(x0? y0? z0)?0? 所以存在點(diǎn)(x0? y0? z0)的一個(gè)鄰域? 使F z?0? 于是得 FF ?z??x? ?z??y? ?xFz?yFz 例2.設(shè)x?y?z?4z?0? 22 2解 設(shè)F(x? y? z)? x2?y2?z2?4z? 則Fx?2x? Fy?2z?4? F?z2xx? ??x????xFz2z?42?z2?2z求2?x? ?z??x2(2?x)?x?zx(2?x)?x()22?x?2?z?(2?x)?x? (2?z)2(2?z)2(2?z) 3二、方程組的情形 在一定條件下? 由個(gè)方程組F(x? y? u? v)?0? G(x? y? u? v)?0可以確定一對(duì)二元函數(shù)u?u(x? y)? v?v(x? y)? 例如方程xu?yv?0和yu?xv?1可以確定兩個(gè)二元函數(shù)u?yx2?y2? v?xx2?y2? yx2?y2xx 事實(shí)上? xu?yv?0 ?v?u?yu?x?u?1?u?yy? ?v?yxx? ?2?yx?y2x2?y 2如何根據(jù)原方程組求u? v的偏導(dǎo)數(shù)？ 隱函數(shù)存在定理設(shè)F(x? y? u? v)、G(x? y? u? v)在點(diǎn)P(x0? y0? u0? v0)的某一鄰域內(nèi)具有對(duì)各個(gè)變量的連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)? 又F(x0? y0? u0? v0)?0? G(x0? y0? u0? v0)?0? 且偏導(dǎo)數(shù)所組成的函數(shù)行列 ?F?(F,G)?u式： J???G?(u,v)?u?F?v ?G?v在點(diǎn)P(x0? y0? u0? v0)不等于零? 則方程組F(x? y? u? v)?0? G(x? y? u? v)?0在點(diǎn)P(x0? y0? u0? v0)的某一鄰域內(nèi)恒能唯一確定一組連續(xù)且具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的函數(shù)u?u(x? y)? v?v(x? y)? 它們滿足條件u0?u(x0? y0)? v0?v(x0? y0)? 并有 ?(F,G)?? ?u??1?xJ?(x,v)FxFvGxGvFuFvGuGvFyFvGyGv?(F,G)??? ?v??1?xJ?(u,x)FuFxGuGxFuFvGuGvFuFyGuGy? ?u1?(F,G)?????yJ?(y,v)FuFvGuGv? ?v1?(F,G)?????yJ?(u,y)FuFvGuGv? 隱函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù): 設(shè)方程組F(x? y? u? v)?0? G(x? y? u? v)?0確定一對(duì)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的 二元函數(shù)u?u(x? y)? v?v(x? y)? 則 ?F?F?u?F?v?0,uv?x?x?x 偏導(dǎo)數(shù)?u? ?v由方程組?確定? ?u?v?x?x?Gv?0.?Gx?Gu?x?x??F?F?u?F?v?0,uv?y?y?y?u?v 偏導(dǎo)數(shù)? 由方程組?確定? ?u?v?y?y?Gv?0.?Gy?Gu?y?y??v 例3 設(shè)xu?yv?0? yu?xv?1? 求?u? ?v? ?u和? ?x?x?y?y 解 兩個(gè)方程兩邊分別對(duì)x 求偏導(dǎo)? 得關(guān)于?u和?v的方程組 ?x?x?u?x?u?y?v?0??x?x? ??u?v?v?x?0?y?x??x ?yv?vyu?xv當(dāng)x2?y2 ?0時(shí)? 解之得?u??xu? ? ?2222?xx?y?xx?y 兩個(gè)方程兩邊分別對(duì)x 求偏導(dǎo)? 得關(guān)于?u和?v的方程組 ?y?y?x?u?v?y?v?0??y?y? ??u?v?x?0?u?y?y?y??yuxu?yv?v當(dāng)x2?y2 ?0時(shí)? 解之得?u?xv? ? ??2222?yx?y?yx?y 另解 將兩個(gè)方程的兩邊微分得 udx?xdu?vdy?ydv?0xdu?ydv?vdy?udx ?? 即????xdv?0?udy?ydu?vdx?ydu?xdv??udy?vdx? 解之得 du??xu?yvx2?y2dx?xv?yux2?y2dy? dv?yu?xvx2?y2dx?xu?yvx2?y2dy? xu?yvxv?yu于是 ?u??22? ?u?22? ?xx?y?yx?yyu?xvxu?yv ?v?22? ?v??22? ??xx?y?yx?y 例? 設(shè)函數(shù)x?x(u? v)? y?y(u? v)在點(diǎn)(u? v)的某一領(lǐng)域內(nèi)連續(xù)且有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)? 又 ?(x,y)?(u,v)?0? x?x(u,v) (1)證明方程組 ? ??y?y(u,v)在點(diǎn)(x? y? u? v)的某一領(lǐng)域內(nèi)唯一確定一組單值連續(xù)且有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的反函數(shù)u?u(x? y)? v?v(x? y)? (2)求反函數(shù)u?u(x? y)? v?v(x? y)對(duì)x? y的偏導(dǎo)數(shù)? 解(1)將方程組改寫(xiě)成下面的形式 F(x,y,u,v)?x?x(u,v)?0 ?? ??G(x,y,u,v)?y?y(u,v)?0則按假設(shè) J??(F,G)?(u,v)??(x,y)?(u,v)?0.由隱函數(shù)存在定理3? 即得所要證的結(jié)論? (2)將方程組(7)所確定的反函數(shù)u?u(x? y)?v?v(x? y)代入(7)? 即得 x?x[u(x,y),v(x,y)] ?? ??y?y[u(x,y),v(x,y)]將上述恒等式兩邊分別對(duì)x求偏導(dǎo)數(shù)?得 由于J?0? 故可解得 ?y?y ?u?1? ?v??1? ?xJ?v?xJ?u?1??x??u??x??v??u?x?v?x??y?u?y?v?0?????u?x?v?x?? 同理? 可得 ?u1?x???yJ?v? ?v1?x??yJ?u? §8? 6 多元函數(shù)微分學(xué)的幾何應(yīng)用 一? 空間曲線的切線與法平面 設(shè)空間曲線?的參數(shù)方程為 x??(t)? y??(t)? z??(t)這里假定?(t)? ?(t)? ?(t)都在[?? ?]上可導(dǎo)? 在曲線?上取對(duì)應(yīng)于t?t0的一點(diǎn)M0(x0? y0? z0)及對(duì)應(yīng)于t?t0??t的鄰近一點(diǎn)M(x0+?x? y0+?y? z0+?z)? 作曲線的割線MM0? 其方程為 x?x0?x?y?y0?y?z?z0?z? ?當(dāng)點(diǎn)M沿著?趨于點(diǎn)M0時(shí)割線MM0的極限位置就是曲線在點(diǎn)M0處的切線? 考慮 x?x0y?y0z?z0??? ?x?y?z?t?t?t當(dāng)M?M0? 即?t?0時(shí)? 得曲線在點(diǎn)M0處的切線方程為 x?x0y?y0z?z0? ????(t0)??(t0)??(t0) 曲線的切向量? 切線的方向向量稱(chēng)為曲線的切向量? 向量 T?(??(t0)? ??(t0)? ??(t0))就是曲線?在點(diǎn)M0處的一個(gè)切向量? 法平面? 通過(guò)點(diǎn)M0而與切線垂直的平面稱(chēng)為曲線?在點(diǎn)M0 處的法平面? 其法平面方程為 ??(t0)(x?x0)???(t0)(y?y0)???(t0)(z?z0)?0? 例1 求曲線x?t? y?t2? z?t3在點(diǎn)(1? 1? 1)處的切線及法平面方程? 解 因?yàn)閤t??1? yt??2t? zt??3t2? 而點(diǎn)(1? 1? 1)所對(duì)應(yīng)的參數(shù)t?1? 所以 T ?(1? 2? 3)? 于是? 切線方程為 y?1z?1? x?1?? 123法平面方程為 (x?1)?2(y?1)?3(z?1)?0? 即x?2y?3z?6? 討論? 1? 若曲線?的方程為 y??(x)? z??(x)? 問(wèn)其切線和法平面方程是什么形式? 提示? 曲線方程可看作參數(shù)方程? x?x? y??(x)? z??(x)? 切向量為T(mén)?(1? ??(x)? ??(x))? 2? 若曲線?的方程為 F(x? y? z)?0? G(x? y? z)?0? 問(wèn)其切線和法平面方程又是什么形式?? 提示? 兩方程確定了兩個(gè)隱函數(shù)? y??(x)? z??(x)? 曲線的參數(shù)方程為 x?x? y??(x)? z??(x)? ?dy?dzFx?Fy?Fz?0?dydxdx由方程組?可解得dydxdz?Gx?Gy?Gz?0dxdx?和dz?? dx切向量為T(mén)?(1, dydz,)? dxdxdy?dz2x?2y?2z?0?dxdx得?dydz?1???0?dxdx 例2 求曲線x2?y2?z2?6? x?y?z?0在點(diǎn)(1? ?2? 1)處的切線及法平面方程? ? 解 為求切向量? 將所給方程的兩邊對(duì)x求導(dǎo)數(shù)? ??解方程組得dydx?z?xdzx?y?? ? ?y?zdxy?zdydx?0在點(diǎn)(1? ?2? 1)處? ? dz??1? dx從而T ?(1? 0? ?1)? 所求切線方程為 y?2z?1? x?1?? 10?1法平面方程為 (x?1)?0?(y?2)?(z?1)?0? 即x?z?0? 二? 曲面的切平面與法線 設(shè)曲面?的方程為 F(x? y? z)?0? M0(x0? y0? z0)是曲面?上的一點(diǎn)? 并設(shè)函數(shù)F(x? y? z)的偏導(dǎo)數(shù)在該點(diǎn)連續(xù)且不同時(shí)為零? 在曲面?上? 通過(guò)點(diǎn)M0任意引一條曲線?? 假定曲線?的參數(shù)方程式為 x??(t)? y??(t)? z??(t)? t?t0對(duì)應(yīng)于點(diǎn)M0(x0? y0? z0)? 且??(t0)? ??(t0)? ??(t0)不全為零? 曲線在點(diǎn)的切向量為 T ?(??(t0)? ??(t0)? ??(t0))? 考慮曲面方程F(x? y? z)?0兩端在t?t0的全導(dǎo)數(shù)? Fx(x0? y0? z0)??(t0)?Fy(x0? y0? z0)??(t0)?Fz(x0? y0? z0)??(t0)?0? 引入向量 n?(Fx(x0? y0? z0)? Fy(x0? y0? z0)? Fz(x0? y0? z0))? 易見(jiàn)T與n是垂直的? 因?yàn)榍€?是曲面?上通過(guò)點(diǎn)M0的任意一條曲線? 它們?cè)邳c(diǎn)M0的切線都與同一向量n垂直? 所以曲面上通過(guò)點(diǎn)M0的一切曲線在點(diǎn)M0的切線都在同一個(gè)平面上? 這個(gè)平面稱(chēng)為曲面?在點(diǎn)M0的切平面? 這切平面的方程式是 Fx(x0? y0? z0)(x?x0)?Fy(x0? y0? z0)(y?y0)?Fz(x0? y0? z0)(z?z0)?0? 曲面的法線? 通過(guò)點(diǎn)M0(x0? y0? z0)而垂直于切平面的直線稱(chēng)為曲面在該點(diǎn)的法線? 法線方程為 x?x0Fx(x0, y0, z0)?y?y0Fy(x0, y0, z0)?z?z0Fz(x0, y0, z0)? 曲面的法向量? 垂直于曲面上切平面的向量稱(chēng)為曲面的法向量? 向量 n?(Fx(x0? y0? z0)? Fy(x0? y0? z0)? Fz(x0? y0? z0))就是曲面?在點(diǎn)M0處的一個(gè)法向量? 例3 求球面x2?y2?z2?14在點(diǎn)(1? 2? 3)處的切平面及法線方程式? 解 F(x? y? z)? x2?y2?z2?14? Fx?2x? Fy?2y ? Fz?2z ? Fx(1? 2? 3)?2? Fy(1? 2? 3)?4? Fz(1? 2? 3)?6? 法向量為n?(2? 4? 6)? 或n?(1? 2? 3)? 所求切平面方程為 2(x?1)?4(y?2)?6(z?3)?0? 即x?2y?3z?14?0? 法線方程為x?1?1y?22?z?33? 討論? 若曲面方程為z?f(x? y)? 問(wèn)曲面的切平面及法線方程式是什么形式? 提示? 此時(shí)F(x? y? z)?f(x? y)?z ? n?(fx(x0? y0)? fy(x0? y0)? ?1) 例4 求旋轉(zhuǎn)拋物面z?x2?y2?1在點(diǎn)(2? 1? 4)處的切平面及法線方程? 解 f(x? y)?x2?y2?1? n?(fx? fy? ?1)?(2x? 2y? ?1)? n|(2? 1? 4)?(4? 2? ?1)? 所以在點(diǎn)(2? 1? 4)處的切平面方程為 4(x?2)?2(y?1)?(z?4)?0? 即4x?2y?z?6?0? y?1z?4?法線方程為 x?2?? 42?1 §8? 7 方向?qū)?shù)與梯度 一、方向?qū)?shù) 現(xiàn)在我們來(lái)討論函數(shù)z?f(x? y)在一點(diǎn)P沿某一方向的變化率問(wèn)題? 設(shè)l是xOy平面上以P0(x0? y0)為始點(diǎn)的一條射線? el?(cos ?? cos ?)是與l同方向的單位向量? 射線l的參數(shù)方程為 x?x0?t cos ?? y?y0?t cos ?(t?0)? 設(shè)函數(shù)z?f(x? y)在點(diǎn)P0(x0? y0)的某一鄰域U(P0)內(nèi)有定義? P(x0?t cos ?? y0?t cos ?)為l上另一點(diǎn)? 且P?U(P0)? 如果函數(shù)增量f(x0?t cos ?? y0?t cos ?)?f(x0? y0)與P到P0的距離|PP0|?t的比值 f(x0?tco?s, y0?tcos?)?f(x0,y0)t 當(dāng)P沿著l趨于P0(即t?t0?)時(shí)的極限存在? 則稱(chēng)此極限為函數(shù)f(x? y)在點(diǎn)P0沿方向l的方向?qū)?shù)? 記作?f?l?f?l(x0,y0)? 即 ?lim(x0,y0)f(x0?tco?s, y0?tcos?)?f(x0,y0)tt?0?? 從方向?qū)?shù)的定義可知? 方向?qū)?shù) ?f?l(x0,y0)就是函數(shù)f(x? y)在點(diǎn)P0(x0? y0)處沿方向l的變化率? 方向?qū)?shù)的計(jì)算? 定理 如果函數(shù)z?f(x? y)在點(diǎn)P0(x0? y0)可微分? 那么函數(shù)在該點(diǎn)沿任一方向l 的方向?qū)?shù)都存在? 且有 ?f?l(x0,y0)?fx(x0,y0)co?s?fy(x0,y0)cos?? 其中cos ?? cos ?是方向l 的方向余弦? 簡(jiǎn)要證明? 設(shè)?x?t cos ?? ?y?t cos ?? 則 f(x0?tcos?? y0?tcos?)?f(x0? y0)?f x(x0? y0)tcos??f y(x0? y0)tcos??o(t)? 所以 limf(x0?tco?s, y0?tcos?)?f(x0,y0)?t?0t?fx(x0,y0)cos??fy(x0,y0)sin?? 這就證明了方向?qū)?shù)的存在? 且其值為 ?f?l(x0,y0)?fx(x0,y0)co?s?fy(x0,y0)cos???提示? f(x0??x,y0??y)?f(x0,y0)?fx(x0,y0)?x?fy(x0,y0)?y?o((?x)2?(?y)2)? ?x?t cos ?? ?y?t cos ??(?x)2?(?y)2?t? 討論? 函數(shù)z?f(x? y)在點(diǎn)P 沿x軸正向和負(fù)向? 沿y軸正向和負(fù)向的方向?qū)?shù)如何? 提示? 沿x軸正向時(shí)? cos???? cos??0? ?f?l??f?x? 沿x軸負(fù)向時(shí)? cos???1? cos??0? ?f?f? ????l?x 例1 求函數(shù)z?xe2y在點(diǎn)P(1? 0)沿從點(diǎn)P(1? 0)到點(diǎn)Q(2? ?1)的方向的方向?qū)?shù)? 解 這里方向l即向量PQ?(1, ?1)的方向? 與l同向的單位向量為 el?(12, ?12)?? ?e2y?1? ?z?y?2xe2y?2 因?yàn)楹瘮?shù)可微分? 且?z所以所求方向?qū)?shù)為 ?z?l(1,0)?x(1,0)(1,0)(1,0)(1,0)???1?12?2?(?12)??2? 2對(duì)于三元函數(shù)f(x? y? z)來(lái)說(shuō)? 它在空間一點(diǎn)P0(x0? y0? z0)沿el?(cos ??? cos ??? cos ?)的方向?qū)?shù)為? ?f?l?lim(x0,y0,z0)f(x0?tco?s, y0?tcos?,z0?tcos?)?f(x0,y0,z0)tt?0?? 如果函數(shù)f(x? y? z)在點(diǎn)(x0? y0? z0)可微分? 則函數(shù)在該點(diǎn)沿著方向el?(cos ??? cos ??? cos ??的方向?qū)?shù)為 ?f?l(x0,y0,z0)?fx(x0? y0? z0)cos??fy(x0? y0? z0)cos??fz(x0? y0? z0)cos?? 例2求f(x? y? z)?xy?yz?zx在點(diǎn)(1? 1? 2)沿方向l的方向?qū)?shù)? 其中l(wèi)的方向角分 別為60?? 45?? 60?? 解 與l同向的單位向量為 el?(cos60?? cos 45?? cos60???(1, 2, 1)??? 222????因?yàn)楹瘮?shù)可微分??且 fx(1? 1? 2)?(y?z)|(1? 1? 2)?3? fy(1? 1? 2)?(x?z)|(1? 1? 2)?3? fz(1? 1? 2)?(y?x)|(1? 1? 2)?2? 所以 ?f?l1211?3??3??2??(5?32)2222(1,1,2)? 二? 梯度 設(shè)函數(shù)z?f(x? y)在平面區(qū)域D內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)? 則對(duì)于每一點(diǎn)P0(x0? y0)?D? 都可確定一個(gè)向量 fx(x0? y0)i?fy(x0? y0)j? 這向量稱(chēng)為函數(shù)f(x? y)在點(diǎn)P0(x0? y0)的梯度? 記作grad f(x0? y0)? 即 grad f(x0? y0)? fx(x0? y0)i?fy(x0? y0)j? 梯度與方向?qū)?shù)? ? 如果函數(shù)f(x? y)在點(diǎn)P0(x0? y0)可微分? el?(cos ??? cos ??)是與方向l同方向的單位向量? 則 ?f?l(x0,y0)?fx(x0,y0)co?s?fy(x0,y0)cos?? ? grad f(x0? y0)?el ?| grad f(x0? y0)|?cos(grad f(x0? y0)?^ el)? 這一關(guān)系式表明了函數(shù)在一點(diǎn)的梯度與函數(shù)在這點(diǎn)的方向?qū)?shù)間的關(guān)系? 特別? 當(dāng)向量el與grad f(x0? y0)的夾角??0? 即沿梯度方向時(shí)? 方向?qū)?shù) ?f?l取得 (x0,y0)最大值? 這個(gè)最大值就是梯度的模|grad f(x0? y0)|? 這就是說(shuō)? 函數(shù)在一點(diǎn)的梯度是個(gè)向量? 它的方向是函數(shù)在這點(diǎn)的方向?qū)?shù)取得最大值的方向? 它的模就等于方向?qū)?shù)的最大值? 討論? ?f?l的最大值? ? 結(jié)論? 函數(shù)在某點(diǎn)的梯度是這樣一個(gè)向量? 它的方向與取得最大方向?qū)?shù)的 方向一致? 而它的模為方向?qū)?shù)的最大值? 我們知道? 一般說(shuō)來(lái)二元函數(shù)z?f(x? y)在幾何上表示一個(gè)曲面? 這曲面被平面z?c(c是常數(shù))所截得的曲線L的方程為 z?f(x,y) ?? ??z?c這條曲線L在xOy面上的投影是一條平面曲線L*? 它在xOy平面上的方程為 f(x? y)?c? 對(duì)于曲線L*上的一切點(diǎn)? 已給函數(shù)的函數(shù)值都是c? 所以我們稱(chēng)平面曲線L*為函數(shù)z?f(x? y)的等值線? 若f x? f y不同時(shí)為零? 則等值線f(x? y)?c上任一點(diǎn)P0(x0? y0)處的一個(gè)單位法向量為 n?1fx2(x0,y0)?fy2(x0,y0)(fx(x0,y0),fy(x0,y0))? 這表明梯度grad f(x0? y0)的方向與等值線上這點(diǎn)的一個(gè)法線方向相同? 而沿這個(gè)方向的方向?qū)?shù)?f就等于|grad f(x0? y0)|? 于是 ?n?fn? ?n gradf(x0,y0)? 這一關(guān)系式表明了函數(shù)在一點(diǎn)的梯度與過(guò)這點(diǎn)的等值線、方向?qū)?shù)間的關(guān)系? 這說(shuō)是說(shuō)? 函數(shù)在一點(diǎn)的梯度方向與等值線在這點(diǎn)的一個(gè)法線方向相同? 它的指向?yàn)閺臄?shù)值較低的等值線指向數(shù)值較高的等值線? 梯度的模就等于函數(shù)在這個(gè)法線方向的方向?qū)?shù)? 梯度概念可以推廣到三元函數(shù)的情形? 設(shè)函數(shù)f(x? y? z)在空間區(qū)域G內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)? 則對(duì)于每一點(diǎn)P0(x0? y0? z0)?G? 都可定出一個(gè)向量 fx(x0? y0? z0)i?fy(x0? y0? z0)j?fz(x0? y0? z0)k? 這向量稱(chēng)為函數(shù)f(x? y? z)在點(diǎn)P0(x0? y0? z0)的梯度? 記為grad f(x0? y0? z0)? 即 grad f(x0? y0? z0)?fx(x0? y0? z0)i?fy(x0? y0? z0)j?fz(x0? y0? z0)k? 結(jié)論? 三元函數(shù)的梯度也是這樣一個(gè)向量? 它的方向與取得最大方向?qū)?shù)的方向一致? 而它的模為方向?qū)?shù)的最大值? 如果引進(jìn)曲面 f(x? y? z)?c 為函數(shù)的等量面的概念? 則可得函數(shù)f(x? y? z)在點(diǎn)P0(x0? y0? z0)的梯度的方向與過(guò)點(diǎn)P0的等量面 f(x? y? z)?c在這點(diǎn)的法線的一個(gè)方向相同? 且從數(shù)值較低的等量面指向數(shù)值較高的等量面? 而梯度的模等于函數(shù)在這個(gè)法線方向的方向?qū)?shù)? 例3 求grad 1x2?y2? ? 解 這里f(x,y)? 因?yàn)? 1x2?y2?f?f2y2x? ? ??2??22222?x?y(x?y)(x?y)2y2xi?j? (x2?y2)2(x2?y2)21所以 grad 2x?y2?? 例4 設(shè)f(x? y? z)?x2?y2?z2? 求grad f(1? ?1? 2)? 解 grad f?(fx? fy? fz)?(2x? 2y? 2z)? 于是 grad f(1? ?1? 2)?(2? ?2? 4)? 數(shù)量場(chǎng)與向量場(chǎng)? 如果對(duì)于空間區(qū)域G內(nèi)的任一點(diǎn)M? 都有一個(gè)確定的數(shù)量f(M)? 則稱(chēng)在這空間區(qū)域G內(nèi)確定了一個(gè)數(shù)量場(chǎng)(例如溫度場(chǎng)、密度場(chǎng)等)? 一個(gè)數(shù)量場(chǎng)可用一個(gè)數(shù)量函數(shù)f(M)來(lái)確定? 如果與點(diǎn)M相對(duì)應(yīng)的是一個(gè)向量F(M)? 則稱(chēng)在這空間區(qū)域G內(nèi)確定了一個(gè)向量場(chǎng)(例如力場(chǎng)、速度場(chǎng)等)? 一個(gè)向量場(chǎng)可用一個(gè)?向量函數(shù)F(M)來(lái)確定? 而 F(M)?P(M)i?Q(M)j?R(M)k? 其中P(M)? Q(M)? R(M)是點(diǎn)M的數(shù)量函數(shù)? 利用場(chǎng)的概念? 我們可以說(shuō)向量函數(shù)grad f(M)確定了一個(gè)向量場(chǎng)——梯度場(chǎng)? 它是由數(shù)量場(chǎng)f(M)產(chǎn)生的? 通常稱(chēng)函數(shù)f(M)為這個(gè)向量場(chǎng)的勢(shì)? 而這個(gè)向量場(chǎng)又稱(chēng)為勢(shì)場(chǎng)? 必須注意? 任意一個(gè)向量場(chǎng)不一定是勢(shì)場(chǎng)? 因?yàn)樗灰欢ㄊ悄硞€(gè)數(shù)量函數(shù)的梯度場(chǎng)?? 例5 試求數(shù)量場(chǎng)m所產(chǎn)生的梯度場(chǎng)? 其中常數(shù)m>0? rr?x2?y2?z2為原點(diǎn)O與點(diǎn)M(x? y? z)間的距離? ?rmx 解 ?(m)??m? ??23?xrr?xr同理 my?m()??3?yrr? ?(m)??mz? 3?zrrymmxz??2(i?j?k)? 從而 gradrrrrr?yxz記er?i?j?k? 它是與OM同方向的單位向量? 則gradm??mer? rrrrr2 上式右端在力學(xué)上可解釋為? 位于原點(diǎn)O 而質(zhì)量為m 質(zhì)點(diǎn)對(duì)位于點(diǎn)M而質(zhì)量為l的質(zhì)點(diǎn)的引力? 這引力的大小與兩質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量的乘積成正比、而與它們的距平方成反比? 這引力的方向由點(diǎn)M指向原點(diǎn)? 因此數(shù)量場(chǎng)m的勢(shì)場(chǎng)即梯度場(chǎng) rgradm稱(chēng)為引力場(chǎng)? 而函數(shù)m稱(chēng)為引力勢(shì)? r r §8?8 多元函數(shù)的極值及其求法 一、多元函數(shù)的極值及最大值、最小值 定義 設(shè)函數(shù)z?f(x? y)在點(diǎn)(x0? y0)的某個(gè)鄰域內(nèi)有定義? 如果對(duì)于該鄰域內(nèi)任何異于(x0? y0)的點(diǎn)(x? y)? 都有 f(x? y) 則稱(chēng)函數(shù)在點(diǎn)(x0? y0)有極大值(或極小值)f(x0? y0)? 極大值、極小值統(tǒng)稱(chēng)為極值? 使函數(shù)取得極值的點(diǎn)稱(chēng)為極值點(diǎn)? 例1 函數(shù)z?3x2?4y2在點(diǎn)(0? 0)處有極小值? ? 當(dāng)(x? y)?(0? 0)時(shí)? z?0? 而當(dāng)(x? y)?(0? 0)時(shí)? z?0? 因此z?0是函數(shù)的極小值? 例2 函數(shù)z??x2?y2在點(diǎn)(0? 0)處有極大值? ? 當(dāng)(x? y)?(0? 0)時(shí)? z?0? 而當(dāng)(x? y)?(0? 0)時(shí)? z?0? 因此z?0是函數(shù)的極大值? 例3 函數(shù)z?xy在點(diǎn)(0? 0)處既不取得極大值也不取得極小值? ? 因?yàn)樵邳c(diǎn)(0? 0)處的函數(shù)值為零? 而在點(diǎn)(0? 0)的任一鄰域內(nèi)? 總有使函數(shù)值為正的點(diǎn)? 也有使函數(shù)值為負(fù)的點(diǎn)? 以上關(guān)于二元函數(shù)的極值概念? 可推廣到n元函數(shù)? 設(shè)n元函數(shù)u?f(P)在點(diǎn)P0的某一鄰域內(nèi)有定義? 如果對(duì)于該鄰域內(nèi)任何異于P0的點(diǎn)P? 都有 f(P) 則稱(chēng)函數(shù)f(P)在點(diǎn)P0有極大值(或極小值)f(P0)? 定理1(必要條件)設(shè)函數(shù)z?f(x? y)在點(diǎn)(x0? y0)具有偏導(dǎo)數(shù)? 且在點(diǎn)(x0? y0)處有極值? 則有 fx(x0? y0)?0? fy(x0? y0)?0? 證明 不妨設(shè)z?f(x? y)在點(diǎn)(x0? y0)處有極大值? 依極大值的定義? 對(duì)于點(diǎn)(x0? y0)的某鄰域內(nèi)異于(x0? y0)的點(diǎn)(x? y)? 都有不等式 f(x? y) 特殊地? 在該鄰域內(nèi)取y?y0而x?x0的點(diǎn)? 也應(yīng)有不等式 f(x? y0) 這表明一元函數(shù)f(x? y0)在x?x0處取得極大值? 因而必有 fx(x0? y0)?0? 類(lèi)似地可證 fy(x0? y0)?0? 從幾何上看? 這時(shí)如果曲面z?f(x? y)在點(diǎn)(x0? y0? z0)處有切平面? 則切平面 z?z0?fx(x0? y0)(x?x0)? fy(x0? y0)(y?y0)成為平行于xOy坐標(biāo)面的平面z?z0? 類(lèi)似地可推得? 如果三元函數(shù)u?f(x? y? z)在點(diǎn)(x0? y0? z0)具有偏導(dǎo)數(shù)? 則它在點(diǎn) (x0? y0? z0)具有極值的必要條件為 fx(x0? y0? z0)?0? fy(x0? y0? z0)?0? fz(x0? y0? z0)?0? 仿照一元函數(shù)? 凡是能使fx(x? y)?0? fy(x? y)?0同時(shí)成立的點(diǎn)(x0? y0)稱(chēng)為函數(shù)z?f(x? y)的駐點(diǎn)? 從定理1可知? 具有偏導(dǎo)數(shù)的函數(shù)的極值點(diǎn)必定是駐點(diǎn)? 但函數(shù)的駐點(diǎn)不一定是極值點(diǎn)? ? 例如? 函數(shù)z?xy在點(diǎn)(0? 0)處的兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)都是零? 函數(shù)在(0? 0)既不取得極大值也不取得極小值? ? 定理2(充分條件) 設(shè)函數(shù)z?f(x? y)在點(diǎn)(x0? y0)的某鄰域內(nèi)連續(xù)且有一階及二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)? 又fx(x0? y0)?0? fy(x0? y0)?0? 令 fxx(x0? y0)?A? fxy(x0? y0)?B? fyy(x0? y0)?C? 則f(x? y)在(x0? y0)處是否取得極值的條件如下? (1)AC?B2>0時(shí)具有極值? 且當(dāng)A<0時(shí)有極大值? 當(dāng)A>0時(shí)有極小值? (2)AC?B2<0時(shí)沒(méi)有極值? (3)AC?B2?0時(shí)可能有極值? 也可能沒(méi)有極值? ?? 在函數(shù)f(x? y)的駐點(diǎn)處如果 fxx? fyy?fxy2>0? 則函數(shù)具有極值? 且當(dāng)fxx<0時(shí)有極大值? 當(dāng)fxx>0時(shí)有極小值? 極值的求法? f(?3? 2)?31? 應(yīng)注意的問(wèn)題? 不是駐點(diǎn)也可能是極值點(diǎn)? 例如? ? 函數(shù)z??x2?y2在點(diǎn)(0? 0)處有極大值? 但(0? 0)不是函數(shù)的駐點(diǎn)? 因此? 在考慮函數(shù)的極值問(wèn)題時(shí)? 除了考慮函數(shù)的駐點(diǎn)外? 如果有偏導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)? 那么對(duì)這些點(diǎn)也應(yīng)當(dāng)考慮? 最大值和最小值問(wèn)題? 如果f(x? y)在有界閉區(qū)域D上連續(xù)? 則f(x? y)在D上必定能取得最大值和最小值? 這種使函數(shù)取得最大值或最小值的點(diǎn)既可能在D的內(nèi)部? 也可能在D的邊界上? 我們假定? 函數(shù)在D上連續(xù)、在D內(nèi)可微分且只有有限個(gè)駐點(diǎn)? 這時(shí)如果函數(shù)在D的內(nèi)部取得最大值(最小值)? 那么這個(gè)最大值(最小值)也是函數(shù)的極大值(極小值)? 因此? 求最大值和最小值的一般方法是? 將函數(shù)f(x? y)在D內(nèi)的所有駐點(diǎn)處的函數(shù)值及在D的邊界上的最大值和最小值相互比較? 其中最大的就是最大值? 最小的就是最小值? 在通常遇到的實(shí)際問(wèn)題中? 如果根據(jù)問(wèn)題的性質(zhì)? 知道函數(shù)f(x? y)的最大值(最小值)一定在D的內(nèi)部取得? 而函數(shù)在D內(nèi)只有一個(gè)駐點(diǎn)? 那么可以肯定該駐點(diǎn)處的函數(shù)值就是函數(shù)f(x? y)在D上的最大值(最小值)? 例5 某廠要用鐵板做成一個(gè)體積為8m3的有蓋長(zhǎng)方體水箱? 問(wèn)當(dāng)長(zhǎng)、寬、高各取多少時(shí)? 才能使用料最省? 解 設(shè)水箱的長(zhǎng)為xm? 寬為ym? 則其高應(yīng)為A?2(xy?y?8xym? 此水箱所用材料的面積為 8888?x?)?2(xy??)(x?0, y?0)? xyxyxyy令A(yù)x?2(y?82)?0? Ay?2(x?82)?0? 得x?2? y?2? x 根據(jù)題意可知? 水箱所用材料面積的最小值一定存在? 并在開(kāi)區(qū)域D?{(x? y)|x>0? y>0}內(nèi)取得? 因?yàn)楹瘮?shù)A在D內(nèi)只有一個(gè)駐點(diǎn)? 所以 此駐點(diǎn)一定是A的最小值點(diǎn)? 即當(dāng)水箱的長(zhǎng)為2m、寬為2m、高為8?2m時(shí)? 水箱所用的材料最省? ? 2?2? 因此A在D內(nèi)的唯一駐點(diǎn)(2? 2)處取得最小值? ?即長(zhǎng)為2m、寬為2m、高為8?2m時(shí)? 所用材料最省? ? 2?從這個(gè)例子還可看出? 在體積一定的長(zhǎng)方體中? 以立方體的表面積為最小?? 例6 有一寬為24cm的長(zhǎng)方形鐵板? 把它兩邊折起來(lái)做成一斷面為等腰梯形的水槽? 問(wèn)怎樣折法才能使斷面的面積最大？? 解 設(shè)折起來(lái)的邊長(zhǎng)為xcm? 傾角為?? 那末梯形斷面的下底長(zhǎng)為24?2x? 上底長(zhǎng)為24?2x?cos?? 高為x?sin?? 所以斷面面積 A?1(24?2x?2xcos??24?2x)?xsin?? 2即A?24x?sin??2x2sin??x2sin? cos?(0 可見(jiàn)斷面面積A是x和?的二元函數(shù)? 這就是目標(biāo)函數(shù)? 面求使這函數(shù)取得最大值的點(diǎn)(x? ?)? 令A(yù)x?24sin??4xsin??2xsin? cos??0? A??24xcos??2x2 cos??x2(cos2??sin2?)?0? 由于sin? ?0? x?0? 上述方程組可化為 ?? 2224co?s?2xco?s?x(cos??sin?)?0?解這方程組? 得??60?? x?8cm? 根據(jù)題意可知斷面面積的最大值一定存在? 并且在D?{(x? y)|0 二、條件極值 拉格朗日乘數(shù)法 對(duì)自變量有附加條件的極值稱(chēng)為條件極值? 例如? 求表面積為a2而體積為最大的長(zhǎng)方體的體積問(wèn)題? 設(shè)長(zhǎng)方體的三棱的長(zhǎng)為x? y? z? 則體積V?xyz? 又因假定表面積為a2? 所以自變量x? y? z還必須滿足附加條件2(xy?yz?xz)?a2? ? 這個(gè)問(wèn)題就是求函數(shù)V?xyz在條件2(xy?yz?xz)?a2下的最大值問(wèn)題? 這是一個(gè)條件極值問(wèn)題? 對(duì)于有些實(shí)際問(wèn)題? 可以把條件極值問(wèn)題化為無(wú)條件極值問(wèn)題? ? 例如上述問(wèn)題? ? 由條件2(xy?yz?xz)?a2? 解得z? V?xya2?2xy()? 2(x?y)a2?2xy2(x?y)?12?2x?xcos??0? 于是得 只需求V的無(wú)條件極值問(wèn)題? 在很多情形下? 將條件極值化為無(wú)條件極值并不容易? 需要另一種求條件極值的專(zhuān)用方法? 這就是拉格朗日乘數(shù)法? 現(xiàn)在我們來(lái)尋求函數(shù)z?f(x? y)在條件?(x? y)?0下取得極值的必要條件? 如果函數(shù)z?f(x? y)在(x0? y0)取得所求的極值? 那么有 ?(x0? y0)?0? 假定在(x0? y0)的某一鄰域內(nèi)f(x? y)與?(x? y)均有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù)? 而?y(x0? y0)?0? 由隱函數(shù)存在定理? 由方程?(x? y)?0確定一個(gè)連續(xù)且具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)的函數(shù)y??(x)? 將其代入目標(biāo)函數(shù)z?f(x? y)? 得一元函數(shù) z?f [x? ?(x)]? 于是x?x0是一元函數(shù)z?f [x? ?(x)]的極值點(diǎn)? 由取得極值的必要條件? 有 dzdxx?x0?fx(x0,y0)?fy(x0,y0)dydxx?x0?0? 即 fx(x0,y0)?fy(x0,y0)?x(x0,y0)?0? ?y(x0,y0)從而函數(shù)z?f(x? y)在條件?(x? y)?0下在(x0? y0)取得極值的必要條件是 fx(x0,y0)?fy(x0,y0)?x(x0,y0)?0與?(x0? y0)?0同時(shí)成立? ?y(x0,y0) 設(shè)fy(x0,y0)?y(x0,y0)???? 上述必要條件變?yōu)?/p> ?fx(x0,y0)???x(x0,y0)?0??fy(x0,y0)???y(x0,y0)?0??(x,y)?000?? 拉格朗日乘數(shù)法? 要找函數(shù)z?f(x? y)在條件?(x? y)?0下的可能極值點(diǎn)? 可以先構(gòu)成輔助函數(shù) F(x? y)?f(x? y)???(x? y)? 其中?為某一常數(shù)? 然后解方程組 ?Fx(x,y)?fx(x,y)???x(x,y)?0??Fy(x,y)?fy(x,y)???y(x,y)?0? ??(x,y)?0? 由這方程組解出x? y及?? 則其中(x? y)就是所要求的可能的極值點(diǎn)? 這種方法可以推廣到自變量多于兩個(gè)而條件多于一個(gè)的情形? 至于如何確定所求的點(diǎn)是否是極值點(diǎn)? 在實(shí)際問(wèn)題中往往可根據(jù)問(wèn)題本身的性質(zhì)來(lái)判定? 例7 求表面積為a2而體積為最大的長(zhǎng)方體的體積? 解 設(shè)長(zhǎng)方體的三棱的長(zhǎng)為x? y? z? 則問(wèn)題就是在條件 2(xy?yz?xz)?a2 下求函數(shù)V?xyz的最大值? 構(gòu)成輔助函數(shù) F(x? y? z)?xyz??(2xy ?2yz ?2xz ?a2)? 解方程組 ?Fx(x,y,z)?yz?2?(y?z)?0??Fy(x,y,z)?xz?2?(x?z)?0? ?Fz(x,y,z)?xy?2?(y?x)?0?2??2xy?2yz?2xz?a得x?y?z?6a? 6這是唯一可能的極值點(diǎn)? 因?yàn)橛蓡?wèn)題本身可知最大值一定存在? ?所以最大值就在這個(gè)可能的值點(diǎn)處取得? 此時(shí)V?6a3?第三篇：高等數(shù)學(xué)教案12
第四篇：高等數(shù)學(xué)教案
第五篇：高等數(shù)學(xué)教案ch 8 多元函數(shù)微分法及其應(yīng)用
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