第一篇：高等數(shù)學(xué)教案Word版第一章1
第一章函數(shù)與極限(4課時(shí))Ⅰ 授課題目（章節(jié)）
1.1 映射與函數(shù)
Ⅱ 教學(xué)目的與要求：
1.理解集合、區(qū)間、鄰域等基本概念，掌握集合的運(yùn)算及構(gòu)造法
2.理解函數(shù)的概念；明確函數(shù)定義有兩個(gè)要素；依賴關(guān)系、定義域；掌握函數(shù)表達(dá)式的運(yùn)用
3.了解函數(shù)的基本性質(zhì)；知道判定諸性質(zhì)的思路 4.掌握將復(fù)合函數(shù)由外及里分解為簡(jiǎn)單函數(shù)的方法 Ⅲ 教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)
重點(diǎn)：理解集合、鄰域的概念 難點(diǎn)：函數(shù)的性質(zhì) Ⅳ 講授內(nèi)容
一.集合
1． 集合概念
集合是指具有某種特定性質(zhì)的事物的總體，組成這個(gè)集合的事物稱為該集合的元素（簡(jiǎn)稱：元）
注：本課程中所有說的集合必須具有明確的界定，即對(duì)任何一個(gè)對(duì)象都可以按標(biāo)準(zhǔn)判斷其是否屬于所說的“總體”
介紹子集、真子集、空集、集合的相等，等概念 2.集合的運(yùn)算
集合的基本運(yùn)算有以下幾種：并、交、差、直積 介紹全集（基本集）與余集（補(bǔ)集）的概念 3.區(qū)間和鄰域
設(shè)?＞0，點(diǎn)X0的?領(lǐng)域是指滿足X?X0??的一切實(shí)數(shù)X的集合。X0稱為改鄰域的中心，?成為該鄰域的半徑
二.映射
1.定義：設(shè)X，Y是兩個(gè)非空集合，如果存在一個(gè)法則f，使得對(duì)X中每個(gè)元素x，按法則f，在Y中有唯一確定的元素y與之對(duì)應(yīng)，則稱f為從X到Y(jié)的映射，記作f:X?Y、其中y稱為元素x（在映射f下）的像，并記作f(x),即y?f（x），而元素x稱為元素y（在映射f下）的一個(gè)原像
注：映射是指兩個(gè)集合之間的一種對(duì)應(yīng)關(guān)系。判斷兩集合之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系是否構(gòu)成一個(gè)映射，關(guān)鍵是抓住兩個(gè)要點(diǎn)：第一，對(duì)于第一個(gè)集合中的每一個(gè)元素，按照規(guī)則能否在另一個(gè)集合中找到一個(gè)與之對(duì)應(yīng)的元素；第二，對(duì)于第一個(gè)集合中的每一個(gè)元素，第二個(gè)集合與之對(duì)應(yīng)的元素是不是唯一的 2.逆映射
定義：設(shè)fX到Y(jié)的單射，則由定義，對(duì)每個(gè)y?Rf，有唯一的x?X,適合f（x）?y。于是，我們可定義一個(gè)從Rf到X的新映射g，即?x，這x滿足f（x）?y。這個(gè)映g：Rf?X，對(duì)每個(gè)y?Rf，規(guī)定g（y）射g稱為f的逆映射，記作f2． 復(fù)合映射：
定義：設(shè)有兩個(gè)映射g:X?Y1,f:Y2?Z，其中Y1?Y2，則由映射g和f可以定出一個(gè)從X到Z的對(duì)應(yīng)法則，它將每個(gè)x?X映成f?g（x）??Z。顯然，這個(gè)對(duì)應(yīng)法則確定了一個(gè)從X到Z的映射，這個(gè)映射稱為映射g和f構(gòu)成的復(fù)合映射，記作f?g,即f?g：X?Z，（f?g）（x）?，x?X ?f?g（x）三.函數(shù)
1.函數(shù)的概念
定義：設(shè)數(shù)集D?R，則稱映射f：D?R為定義在D上的函數(shù)，通常簡(jiǎn)記為 y?f（x），x?D，其中x稱為自變量，y稱為因變量，D稱為定義域，記作Df，即Df?D
函數(shù)定義中，對(duì)每個(gè)x?D，按對(duì)應(yīng)法則f，總有唯一確定的值y與之對(duì)應(yīng)，這個(gè)值稱為函數(shù)f在x出的函數(shù)值，記作f（x），即y?f（x）。因變量y與自變量x之間的這種依賴關(guān)系，通常稱為函數(shù)關(guān)系。函數(shù)值y?f（x）的全體所構(gòu)成的集合稱為函數(shù) f的值域，記作Rf或f（D)，即 Rf?f(D)?yy?f(x),x?D
注：函數(shù)的概念中涉及五個(gè)因素：（1）自變量（2）定義域（3）應(yīng)變量（4）對(duì)應(yīng)規(guī)律（5）值域；在這五個(gè)因素中最重要的是定義域和因變量關(guān)于自變量的對(duì)應(yīng)規(guī)律，這兩者常稱為函數(shù)的二要素
介紹單值函數(shù)與多值函數(shù)的概念
例.判斷下列各對(duì)函數(shù)是否相同
（1）f(x)=lnx2 g(x)=2lnx(2)f(x)=1 g(x)=sin2x+cos2x(3)f(x)=|x| g(u)=u2
?1,其定義域Df?1?Rf，值域Rf?1?X
??解：（2）中的f（x）與g（x)相同，（3）中的f（x）與g（x)相同 例.求下列函數(shù)的定義域
（1）f(x)?x?13?4x?1 2x?5x?6x(2)f(x)?log2log4log7
(3)f(x)?1x?2?1 x解：（1）Df?xx?2且x?3
（2）Df?xx?7
（3）Df?xx?0且x??2 2.函數(shù)的幾種特性
（1）函數(shù)的有界性（2）函數(shù)的單調(diào)性(3)函數(shù)的奇偶性
定義：教材P12?P13 例：判斷f(x)?ln???????x2?1?x的奇偶性
1x?1?x2?解：f(?x)?ln((?x)2?1?x?ln ?f(x)為奇函數(shù)（4）數(shù)的周期性
3．反函數(shù)于復(fù)合函數(shù)
??f(x)
（5）反函數(shù)定義：設(shè)函數(shù)f:D?f(D)是單射，則它存在逆映射f?1:f(D)?D，稱此映射f?1為函數(shù)f的反函數(shù)。
按此定義，對(duì)每個(gè)y?f(D),有唯一的x?D，使得f（x）=y，于
1是有f?（y）?x。這就是說，反函數(shù)f?1的對(duì)應(yīng)法則是完全由函數(shù)f的對(duì)應(yīng)法則所確定的
與反函數(shù)問題有關(guān)的題型主要有兩類：判斷給定函數(shù)是否存在反函數(shù)或求給定函數(shù)的反函數(shù)
對(duì)嚴(yán)格單調(diào)函數(shù)有以下結(jié)論 嚴(yán)格單調(diào)函數(shù)必存在反函數(shù)（6）復(fù)合函數(shù)有關(guān)的問題大致可分為兩類：一是判斷若干個(gè)函數(shù)能否構(gòu)成復(fù)合函數(shù);二是將一個(gè)復(fù)合函數(shù)分解為若干個(gè)簡(jiǎn)單函數(shù)
復(fù)合函數(shù)的定義：設(shè)函數(shù)y?f(u)的定義域?yàn)镈1，函數(shù)u?g（x）在D上有定義，且g（D）?D1，則由下式確定的函數(shù)
構(gòu)成的復(fù)合函數(shù)，它的?，x?D稱為由函數(shù)u?g（x）和函數(shù)y?f（u）y?f?g（x）定義域?yàn)镈，變量u稱為中間變量。函數(shù)g與函數(shù)f構(gòu)成的復(fù)合函數(shù)通常記為
? f?g,即（f?g）（x）?f?g（x）3.函數(shù)的運(yùn)算
4.初等函數(shù) 定義：由常數(shù)和基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次的四則運(yùn)算和有限次的函數(shù)復(fù)合步驟所構(gòu)成并可用一個(gè)式子表示的函數(shù)，稱為初等函數(shù) 5.雙曲函數(shù)與反雙曲函數(shù)
Ⅴ小結(jié)與提問：
小結(jié)：本講內(nèi)容十分重要，特別是缺點(diǎn)函數(shù)的兩個(gè)要素務(wù)必弄懂；分段函數(shù)也須引起重視；函數(shù)的幾種特性直接通過論證來判斷；函數(shù)的反函數(shù)的存在性需重視。復(fù)合函數(shù)是本講重點(diǎn)之一，掌握它，對(duì)學(xué)好微分與積分有很大的作用；要善于分析一個(gè)初等函數(shù)的結(jié)構(gòu)
提問：是否y?f（u），u?g（x）一定能復(fù)合成y為x的函數(shù)？ Ⅴ 課外作業(yè)
P21 6(4)(6)7(3)8.12.14（3）17
第二篇：高等數(shù)學(xué)教案
-----[xn?1 , xn]，A??A1??A2????An，?xi?xi?xi?1(i?1 , 2 , ? , n).②在每個(gè)小區(qū)間[xi?1 , xi]上任取一點(diǎn)?i，?Ai?f(?i)??xi，A??f(?i)?xi.i?1n③??max{?x1 , ?x2 , ? , ?xn}.A?lim?f(?i)?xi.??0i?
1-----高等數(shù)學(xué)教案-----
n2.變速直線運(yùn)動(dòng)的路程: 設(shè)速度v?v(t)是時(shí)間間隔[T1 , T2]上t的連續(xù)函數(shù)，路程記為s.①把區(qū)間[T1 , T2]分成n個(gè)小區(qū)間:，…，[t0 , t1] [tn?1 , tn]，[t1 , t2]，s??s1??s2????sn，?ti?ti?ti?1(i?1 , 2 , ? , n).②在每個(gè)小區(qū)間[ti?1 , ti]上任取一點(diǎn)?i，?si?v(?i)??ti，-----高等數(shù)學(xué)教案-----s??v(?i)?ti.i?1n③??max{?t1 , ?t2 , ? , ?tn}.s?lim?v(?i)?ti.??0i?1n3.定積分定義: 設(shè)y?f(x)在[a , b]上有界.①把區(qū)間[a , b]分成n個(gè)小區(qū)間:，[x1 , x2]，…，[x0 , x1]
[xn?1 , xn]，-----高等數(shù)學(xué)教案-----?xi?xi?xi?1(i?1 , 2 , ? , n).②在每個(gè)小區(qū)間[xi?1 , xi]上任取一點(diǎn)?i，?f(?i)?xi.i?1n③??max{?x1 , ?x2 , ? , ?xn}.如果
lim?f(?i)?xi
??0i?1n存在，且此極限不依賴于對(duì)區(qū)間[a , b]的分法和在[xi?1 , xi]上
-----高等數(shù)學(xué)教案-----
則稱此極限為f(x)?i點(diǎn)的取法，在[a , b]上的定積分，記為
f(?i)?xi.??af(x)dx?lim??0bi?1n注意：定積分? af(x)dx只與被積函數(shù)f(x)﹑積分區(qū)間[a , b]有關(guān)，而與積分變量用什么字母表示無關(guān)，即
b? af(x)dx?? af(t)dt?? af(u)du b b b.4.(必要條件).如果f(x , y)在D上可積，則f(x , y)在D上
-----高等數(shù)學(xué)教案-----有界.5.(充分條件): ①如果f(x)在[a , b]上連續(xù)，則f(x)在[a , b]上可積.②如果f(x)在[a , b]上有界，且只有有限個(gè)間斷點(diǎn)，則f(x)在[a , b]上可積.6.定積分的幾何意義：
①如果f(x)在[a , b]上連續(xù)，且f(x)?0，則
b? af(x)dx?s
(S是曲邊梯
-----高等數(shù)學(xué)教案-----形的面積).②.如果f(x)在[a , b]上連續(xù)，且f(x)?0，則 b? af(x)dx??s
(S是曲邊梯形的面積).③如果f(x)在[a , b]上連續(xù)，且f(x)的值有正有負(fù)，則 b? af(x)dx等于x軸上方的曲邊梯形面積減去x軸下方的曲邊梯形面積.7.規(guī)定:
-----高等數(shù)學(xué)教案-----
①當(dāng)a?b時(shí)，? af(x)dx?0.a?b
②當(dāng)時(shí)，ba? af(x)dx???bf(x)dx.7.定積分的性質(zhì)：
①??f(x)?g(x)?dx??f(x)dx??g(x)dx.b b②? akf(x)dx?k? af(x)dx.③ b c b? af(x)dx?? af(x)dx?? cf(x)dx.④如果在[a , b]上f(x)?1，則
b b? a1dx?? adx?b?a.b b b b a a a
-----高等數(shù)學(xué)教案-----⑤如果在[a , b]上f(x)?0，則
b? af(x)dx?0.如果在[a , b]上f(x)?g(x)，則
b b? af(x)dx?? ag(x)dx，? af(x)dx?? af(x)dx.b b⑥設(shè)m?f(x)?M，則
bm(b?a)?? af(x)dx?M(b?.⑦(積分中值定理)如果f(x)
-----高等數(shù)學(xué)教案-----在[a , b]上連續(xù)，則在[a , b]上至少存在一點(diǎn)?，使得
b? af(x)dx?f(?)?(b?a).證:由于f(x)在[a , b]上連續(xù)，所以存在最大值M和最小值m，使得
m?f(x)?M，bm(b?a)?? af(x)dx?M(b?a)，f(x)dx? am??M，b?a
-----高等數(shù)學(xué)教案-----
b故在[a , b]上至少存在一點(diǎn)?，使得
b? af(x)dx?f(?)b?a即
b? af(x)dx?f(?)?(b?a).b1稱為在f(x)dxf(x)? ab?a[a , b]上的平均值.P23511.證: 對(duì)任意實(shí)數(shù)?，有 12? 0[??f(x)]dx?0，1 122??2?? 0f(x)dx?? 0f(x)dx?0
-----高等數(shù)學(xué)教案-----，所以
12??4?? 0f(x)dx??4? 0f(x)dx?0，即
? 0f(x)dx??? 0f(x)dx?.練習(xí)1.設(shè)f(x)在[a , b]上連續(xù)，且f(x)?0，證明: 12 121? af(x)dx? af(x)dx?(b?a)b b.§5.2微積分基本公式
1.積分上限的函數(shù)(變上限
-----高等數(shù)學(xué)教案-----積分): f(x)在[a , b]上連續(xù)，稱
x?(x)?? af(t)dt x?[a , b] 為積分上限的函數(shù).2.如果f(x)在[a , b]上連續(xù)，x則?(x)?? af(t)dt可導(dǎo)，且
xd??(x)?f(t)dt?f(x)? adx.x例1.求F(x)?? 0tsintdt的導(dǎo)數(shù).解: F?(x)?xsinx.-----高等數(shù)學(xué)教案-----
sintdt?sinx 0例2.lim ?lim2x?0x?02xx1?.2 x例3.tedt??lim xx???xe2x??? x2 0t2elim?x2tedt?x x2 0t2x?limx???(1?2
x?limx???1?
2-----高等數(shù)學(xué)教案-----
?
3.?? ?(x)f(t)dt?
?f[?(x)]??(x)?f[?(x)]??(x)?(x)1?.2.x?bd
例4.? x?af(t)dt dx?f[(x?b)]?f[(x?a)].例
15.(? xedt)??e??e?2x xx?1?2xe.lnx2tlnxx22
-----高等數(shù)學(xué)教案-----例6.設(shè)f(x)在[a , b]上連續(xù)，且單調(diào)增加，證明:
x1 F(x)?f(t)dt? ax?a在(a , b]內(nèi)單調(diào)增加.證: 當(dāng)x?(a , b)時(shí)，f(x)(x?a)?? af(t)dtF?(x)? 2(x?a)f(x)(x?a)?f(?)(x?a)?2(x?a)x
f(x)?f(?)?(x?a)
-----高等數(shù)學(xué)教案-----
(a???x).由于f(x)在[a , b]上單調(diào)增加，而a???x，所以
f(x)?f(?)F?(x)??0，(x?a)故F(x)在(a , b]內(nèi)單調(diào)增加.4.微積分基本公式(牛頓—萊布尼茨公式): 如果f(x)在[a , b]上連續(xù)，且F(x)是f(x)的一個(gè)原函數(shù)，則
b? af(x)dx?F(b)?F(a)?F(.-----高等數(shù)學(xué)教案-----
為F(x)、x?(x)?? af(t)dt都是f(x)的原函數(shù)，所以?(x)?F(x)?C.由于
?(a)?F(a)?C，a?(a)?? af(t)dt?0，得
C??F(a)，?(x)?F(x)?F(a)，?(b)?F(b)?F(a)，b即
?(b)?? af(x)dx
?F(b)?F(a)
?F(x).ba
-----高等數(shù)學(xué)教案-----證: 因
?1
1例7.? ?2dx?lnx?2
x?ln1?ln2 ??ln2.?1
例 2 1 28.? 01?xdx?? 0(1?x)dx?? 1(x?1)dx
221xx?(x?)0?(?x)22
?1.例9.設(shè)
?x , x?[0 , 1), f(x)???x , x?[1 , 2] ，-----高等數(shù)學(xué)教案-----2求?(x)?? 0f(t)dt在[0 , 2]上的表達(dá)式.x解(x)???? x2 0tdt , x?[0 , 1)?? 12dt?? x 0t 1tdt , x?[1 ,?x3 , ???3??13?12(x2?1), ?x3 ??, ?3??1-----高等數(shù)學(xué)教案 6 ,-----
:
2] x?[0 ,x?[1 , 2x?[0 , x?[1 , 2?
例10.求
x f(x)??0tdt 在(?? , ??)上的表達(dá)式.??0?tdt , x?0解: f(x)??x
tdt , x?0??02??x , x?0?2 ??2x? , x?0.?2x§5.3 定積分的換元法和分部積分法
-----高等數(shù)學(xué)教案-----1.定積分的換元法:
b?? af(x)dx x??(t)??f[?(t)]??（其中f(x)連續(xù)，?(t)有連續(xù)的導(dǎo)數(shù)，a??(?)，b??(?)，.例1.? 0 4x?2dx 2x?11t2?32 32t?12 x? ? 1 tdt 2t 321?? 1(t?3)dt 2331t?(?3t)1
3-----高等數(shù)學(xué)教案-----例 例
?223.2.? 1dx 34 1?x?1 x??(t2?2t)? ?1?(2t?2)?12 t??2? ?112?1 ?(1t)dt ??2(t?lnt)?1?12
?1?2ln2.3.2? 111?x 2 x2dx x?sint ? ?cost ?24
-----高等數(shù)學(xué)教案-----
sin2tcostdt
2? 例
??2 ? cottdt
4?? ?2(csc2 ?t?1)dt
4?(?cott?t)?2?
4?1??4.? ?5 02sinx?cosxdx
??? ?5 02cosxdcosx
?(?16?6cosx)20
?16.-----高等數(shù)學(xué)教案-----
4.例5.? 0x(2?x)dx
12421??? 0(2?x)d(2?x)2
25111
??[(2?x)]0
2531
?.102.設(shè)f(x)在[?a , a]上連續(xù)且為偶函數(shù)，則
a a? ?af(x)dx?2? 0f(x)dx.證: a 0 a? ?af(x)dx?? ?af(x)dx?? 0f(x)dx.12
4-----高等數(shù)學(xué)教案-----? ?af(x)dx x??t ? af(?t)(? 0 0
??? af(t)dt ?? 0f(t)dt ?? 0f(x)dx.a a 0所
以
a a a? ?af(x)dx?? 0f(x)dx?? 0f(x)dx
?2? 0f(x)dx.a3.設(shè)f(x)在[?a , a]上連續(xù)且
a為奇函數(shù)，則
? ?af(x)dx?0.xsinxdx.例6.求? ?242x?3x?1 2
-----高等數(shù)學(xué)教案-----
32xsinx解: 由于f(x)?42x?3x?132是 2奇3函2數(shù)，所以
xsinxdx?0.? ?242x?3x?1例7.求 1sinx?(arctanx).dx? ?121?x解: 原式1sinx 1(arctanx).?? ?1dx?dx?22 ?11?x1?xsinx由于f(x)?2是奇函數(shù)，1?x
-----高等數(shù)學(xué)教案-----以(arctanx)是偶函數(shù)，所g(x)?21?x(arctanx)原式?0?2? 0 dx21?x 12?2? 0(arctanx)d(arctanx)122
312?[(arctanx)]0
332??()3496例8.設(shè)f(x)在[0 , a]上連續(xù)，-----高等數(shù)學(xué)教案-----?.?3證明: ? 0f(x)dx?? 0f(a?x)dx.a a證? 0f(x)dx 0 x?a?t ? af(a?t)(?dt)a:
??? af(a?t)dt ?? 0f(a?t)dt ?? 0f(a?x)dx.a 0 a
例9.若f(x)在[0 , 1]上連續(xù)，證明: ?f(sinx)dx?
-----高等數(shù)學(xué)教案-----?2 0?f(cosx)dx.2 0? 證: ?f(sinx)dx
? x??t 2 ?2 0f(cost)(?d? ?2 0
??f(cost)dt
?2 0??f(cosx)dx.?2 0
例10.若f(x)在[0 , 1]上連續(xù)，證明: ? 0xf(sinx)dx? ??.f(sinx)dx? 02 ?
-----高等數(shù)學(xué)教案-----證: ? 0xf(sinx)dx
0 x???t ? ?(??t)f(sint)?
?? 0(??t)f(sint)dt ??? 0f(sint)dt?? 0tf(sint)dt
??? 0f(sinx)dx?? 0xf(sinx)dx.? ? ? ? ?解? 0 ?得
.f(sinx)dx? 02例11.若f(x)為連續(xù)函數(shù)，??xf(sinx)dx?
-----高等數(shù)學(xué)教案-----且?ef(x?t)dt?xe，求f(x)的表達(dá)式.xt證: ? 0ef(x?t)dt xt 0x t?x?u ? xe 0x?uf(u)(?du)
??e?ef(u)du x x?u?e? 0ef(u)du.?ux 0 x所以e?ef(u)du?xe，得
x?u? 0ef(u)du?x.將上式兩邊對(duì)x求導(dǎo)數(shù)，得
?x ef(x)?1，x x 0?ux
-----高等數(shù)學(xué)教案-----即
f(x)?e.4.定積分的分部積分法:
x
? auv?dx?(uv)?? au?vdx.bba b
例12.? 1lnxdx?(xlnx)?? 1dx
5?5ln5?x1 5515?5ln5?4.例13.? 0xedx?(xe)?? 0edx
x1?e?e0 1xx10 1x?1.例14.若f(x)是以T為周期的連續(xù)函數(shù)，證明:
-----高等數(shù)學(xué)教案-----? af(x)dx?? 0f(x)dx 其中a為常數(shù).a?T T證: ? a 0 a?Tf(x)dx?
T a?T? af(x)dx?? 0f(x)dx?? T a?T? Tf(x)dx
af(x)dx
x?u?T ? 0f(u?T)du ?? 0f(u)du ?? 0f(x)dx ??? af(x)dx.0 a a所以
? a a?T 0f(x)dx?
T 0? af(x)dx?? 0f(x)dx?? af(x)dx
-----高等數(shù)學(xué)教案-----?? 0f(x)dx.T例15.設(shè)f(x)在(?? , ??)上連續(xù)，證明: 1lim?[f(x?h)?f(x)]dx?f(b)?f(a)
bh?0h a證: 設(shè)f(x)的一個(gè)原函數(shù)為F(x)，則
b1lim?a [f(x?h)?f(x)]dx h?0h[F(x?h)?F(x)]?lim h?0hF(b?h)?F(b)?limh?0hF(a?h)?F(a)?limh?0h
-----高等數(shù)學(xué)教案-----
ba?F?(b)?F?(a)?f(b)?f(a).§5.4 反常積分 1.無窮限的反常積分: ①設(shè)f(x)在[a , ??)上連續(xù)，存在，f(x)dxt?a，如果tlim? a???則稱反常義積分? af(x)dx收斂，且
??t
? af(x)dx?tlim.f(x)dx? a??? ??t否則稱反常積分? af(x)dx發(fā)散.??
-----高等數(shù)學(xué)教案-----②設(shè)f(x)在(?? , b]上連續(xù)，t?b，如果lim?tf(x)dx存在，t???b則稱反常義積分???f(x)dx收斂，且
b
???f(x)dx?tlim.f(x)dx????tb b否則稱反常積分???f(x)dx發(fā)散.③設(shè)f(x)在(?? , ??)上連 0 ??續(xù)，如果? ??f(x)dx與? 0f(x)dx都收斂，則稱反常積分 ??? ??f(x)dx收斂，且
b
-----高等數(shù)學(xué)教案-----? ??f(x)dx ???? ??f(x)dx?? 0f(x)dx.0 ??否則稱反常積分? ??f(x)dx發(fā)散.2.引入記號(hào):
??F(??)?limF(x)，x???F(??)?limF(x).x???若在[a , ??)上F?(x)?f(x)，則當(dāng)F(??)存在時(shí)，??? af(x)dx?F(??)?F(a)
?[F(x)].??a
-----高等數(shù)學(xué)教案-----若在(?? , b]上F?(x)?f(x)，則當(dāng)F(??)存在時(shí)，b???f(x)dx?F(b)?F(??)
?[F(x)].b??若在上(?? , ??)F?(x)?f(x)，則當(dāng)F(??)與F(??)都存在時(shí)，?????f(x)dx?F(??)?F(??)
?[F(x)].????例1.判斷反常積分
???x? 0xedx
2-----高等數(shù)學(xué)教案-----是否收斂，若收斂求其值.?x??1解: 原式?(?e)0 2?x11
?xlim(?e)? ???221 ?.2
例2.判斷反常積分
?1? ??cosxdx
22的斂散性.解: 原式?(sinx)
?1???sin(?1)?limsinx.x???sinx不存在，由于xlim所以反???
-----高等數(shù)學(xué)教案-----常積分? ??cosxdx發(fā)散.例3.討論反常積分 ?1? ??1 1x?dx.解:? ??1 1x?dx ?(lnx)????1 , ???(11????1??x)1
-----高等數(shù)學(xué)教案-----
??1 ??1的斂散性 , ???? , ??1????? , ??1 ????1?1 , ??1? ??1 1x?dx，當(dāng)???1時(shí)發(fā)散.例4.判斷反常積分
? ??1 ??1?x2dx.解: ? ??1 ??1?x2dx
-----高等數(shù)學(xué)教案-----
?1所以反常積分時(shí)收斂，當(dāng) 的斂散性 ?(arctanx)0???(arctanx)??0
????
22??.? 1 ??
例5.判斷反常積分
1dx
2x?x ??的斂散性.1dx解: ? 1 2x?x ??11?? 1(?)dx x1?x???[lnx?ln(1?x)]1
-----高等數(shù)學(xué)教案-----
??x?[ln]1 1?xx1?limln?ln x???1?x2?ln2.3.如果f(x)在點(diǎn)a的任一鄰域內(nèi)都無界，那么稱點(diǎn)a為f(x)的瑕點(diǎn).4.無界函數(shù)的反常積分(瑕積分): ①設(shè)f(x)在(a , b]上連續(xù)，點(diǎn)a為f(x)的瑕點(diǎn)，t?a.如果lim?tf(x)dx存在，則稱反常積t?a?
-----高等數(shù)學(xué)教案-----b分? af(x)dx收斂，且 b
? af(x)dx?lim?tf(x)dx.b bt ?a?否則稱反常積分? af(x)dx發(fā)散.②設(shè)f(x)在[a , b)上連續(xù)，點(diǎn)b為f(x)的瑕點(diǎn)，t?b.如果
blim?af(x)dx存在，則稱反常積t?b?t分? af(x)dx收斂，且 b
? af(x)dx?lim?af(x)dx.btt ?b?否則稱反常積分? af(x)dx發(fā)散.③設(shè)f(x)在[a , b]上除點(diǎn)c(a?c?b)外連續(xù)，點(diǎn)c為f(x)的 b
-----高等數(shù)學(xué)教案-----瑕點(diǎn).如果兩個(gè)反常積分
b c? af(x)dx、? cf(x)dx都收斂，則
b稱反常積分? af(x)dx收斂，且 b c b? af(x)dx?? af(x)dx?? cf(x)dx.b否則稱反常積分? af(x)dx發(fā)散.5.引入記號(hào): ①設(shè)F(x)為f(x)在(a , b]上的一個(gè)原函數(shù)，a為f(x)的瑕點(diǎn)，則
b? af(x)dx?F(b)?limF(x)
x?a??[F(x)].ba
-----高等數(shù)學(xué)教案-----②設(shè)F(x)為f(x)在[a , b)上的一個(gè)原函數(shù)，b為f(x)的瑕點(diǎn)，則
b? af(x)dx?limF(x)?F(a)
x?b??[F(x)].ba
例6.判斷反常積分? 0lnxdx的斂散性.1解:? 0lnxdx?(xlnx)??0dx 1101?0?lim(xlnx)?x
x ?0?10??1.-----高等數(shù)學(xué)教案-----
1例7.討論反常積分? 0?dxx 1的斂散性.解: ? 11 0x?dx
?(lnx)10 , ??1?????(1?11??1 ?x)0 , ??1
??0?limx ?0?lnx , ???1?lim ?0?(1?1?x1???1??x)
-----高等數(shù)學(xué)教案-----
??1 ??1 , ?1 , ??1?1??????? , ??1 ??? , ??1?? 11所以反常積分? 0?dx，當(dāng)??1x時(shí)收斂，當(dāng)??1時(shí)發(fā)散.11
例8.判斷反常積分? ?12dxx的斂散性.1解: ? ?12dx x 01 11?? ?12dx?? 02dx
xx 1
-----高等數(shù)學(xué)教案-----
第三篇：高等數(shù)學(xué)教案12
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?3.余項(xiàng)rn?s?sn?un?1?un?2??.?aq?a?aq?aq???aq?n2n?1: 例1.判斷等比級(jí)數(shù)(幾何級(jí)數(shù))n?0??
(a?0)的斂散性.a?aq解:①q?1時(shí)，sn?，1?q?na，收斂，和為limsn?aq?n??1?qn?0a.1?q
-----高等數(shù)學(xué)教案-----
na?aq②q?1時(shí)，sn?，1?qlimsn??，?aq發(fā)散； n??nn?0??nsn??，③q?1時(shí)，sn?na，limn??n?0?aq發(fā)散.n④q??1時(shí)，?0 , n為偶數(shù)limsn不存在，sn??，n???a , n為奇數(shù)n?0?aq發(fā)散.n?n?1例2判斷級(jí)數(shù)?ln是否收nn?1?
-----高等數(shù)學(xué)教案-----斂，若收斂求其和.解: sn?(ln2?ln1)?(ln3?ln2)?
??[ln(n?1)?lnn] ?ln(n?1).P②.3225sn??，所以原級(jí)數(shù)發(fā)散.由于limn??sn?11111(1?)?(?)?23235111??(?)22n?12n?111?(1?).22n?1
-----高等數(shù)學(xué)教案-----
1sn?，所以原級(jí)數(shù)收斂 由于limn??24.收斂級(jí)數(shù)的性質(zhì): ①如果?un收斂和為s，則?kunn?1n?1??也收斂，其和為ks；若?un發(fā)散，n?1?則?kun(k?0)也發(fā)散.n?1?②如果?un、?vn均收斂，其和n?1n?1?n?1???，分別為s、則?(un?vn)也收斂，其和為s??.-----高等數(shù)學(xué)教案-----
③在級(jí)數(shù)中去掉、加上或改變有限項(xiàng)，不會(huì)改變級(jí)數(shù)的收斂性.④如果?un收斂，則對(duì)這級(jí)數(shù)n?1?的項(xiàng)任意加括號(hào)后所成的級(jí)數(shù)(u1???un)?(un?1???un)???
(un?1???un)?? 112k?1k也收斂，且其和不變.如果一個(gè)級(jí)數(shù)發(fā)散，則加括號(hào)后所成的級(jí)數(shù)可能收斂，也可能發(fā)散.如果一個(gè)正項(xiàng)級(jí)數(shù)發(fā)散，則加
-----高等數(shù)學(xué)教案-----括號(hào)后所成的級(jí)數(shù)一定發(fā)散.⑤級(jí)數(shù)收斂的必要條件: 若n?1un?0.?un收斂，則limn???例3證明調(diào)和級(jí)數(shù) 1111??????? 23n是發(fā)散的.證: 假設(shè)調(diào)和級(jí)數(shù)收斂，部分
sn?s.和為sn，和為s，則limn??im(s2n?sn)?s?s?0.一方面，ln??另一方面，-----高等數(shù)學(xué)教案-----
111s2n?sn????? n?1n?22n111????? 2n2n2n1?，2(s2n?sn)?0，矛盾，故調(diào)所以limn??和級(jí)數(shù)發(fā)散.1P②.由于調(diào)和級(jí)數(shù)?發(fā)散，n?1n?1所以?也發(fā)散.n?13n?14P225⑤.由于級(jí)數(shù)?n是公比為
n?124225?
-----高等數(shù)學(xué)教案-----11q?的幾何級(jí)數(shù)，而q??1，所22?1?1以?n收斂；由于級(jí)數(shù)?n是公比n?12n?1311為q?的幾何級(jí)數(shù)，而q??1，33?1所以?n收斂.n?13?1?1由于?n與?n都收斂，所以n?12n?13?11?(n?n)收斂.n?123§12.2 常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的審斂法
-----高等數(shù)學(xué)教案-----1.正項(xiàng)級(jí)數(shù): ?un(un?0).n?1?2.正項(xiàng)級(jí)數(shù)?un的部分和數(shù)列
n?1??sn?單調(diào)增加.3.正項(xiàng)級(jí)數(shù)?un收斂?部分和
n?1?數(shù)列?sn?有界.4.比較審斂法: 設(shè)?un、?vn都
n?1n?1??是正項(xiàng)級(jí)數(shù)，且un?vn.①若?vn收斂，則?un收斂；
n?1?n?1???
②若?un發(fā)散，則?vn發(fā)散.n?1n?-----高等數(shù)學(xué)教案-----5.比較審斂法的推論: 設(shè)?un、n?1n?1??vn都是正項(xiàng)級(jí)數(shù).?n?1?
①若?vn收斂，且存在自然數(shù)N，使當(dāng)n?N時(shí)有un?kvn(k?0)成立，則?un收斂.n?1?
②若?un發(fā)散，且存在自然數(shù)n?1?N，使當(dāng)n?N時(shí)有un?kvn(k?0)成立，則?vn發(fā)散.n?-----高等數(shù)學(xué)教案-----?例1.判斷p?級(jí)數(shù)
1111?p?p???p?? 23n的斂散性.解: ①當(dāng)p?1時(shí)，由于1np?而??1發(fā)散，所以?n?1n?1n?1np發(fā)散.②當(dāng)p?1時(shí)，對(duì)于級(jí)數(shù)
1?1112p?3p???np?? 加括號(hào)后:
-----高等數(shù)學(xué)教案-----
1n，1111111?(p?p)?(p?p?p?p)??234567
它的各項(xiàng)均不大于級(jí)數(shù)
1111111?(p?p)?(p?p?p?p224444
11?1?p?1?p?1?? 24的對(duì)應(yīng)項(xiàng)，而后一個(gè)級(jí)數(shù)是收斂的幾何級(jí)數(shù)，所以級(jí)數(shù)
-----高等數(shù)學(xué)教案-----1111111?(p?p)?(p?p?p?p)??2345671收斂，故正項(xiàng)級(jí)數(shù)?p收斂.n?1n?1例2.判斷級(jí)數(shù)?lnn的斂散性.n?12?1111解: 由于lnn?logn?，而?nn?1n22?1發(fā)散，所以?lnn發(fā)散.n?12?1例3.判斷級(jí)數(shù)?lnn的斂散性.n?13???111解:由于?lnn??ln3，而?ln3n?13n?1nn?1n?1p?ln3?1，是p?級(jí)數(shù)，所以?ln3n?1n?1收斂，從而?lnn收斂.n?13?-----高等數(shù)學(xué)教案-----例4.若正項(xiàng)級(jí)數(shù)?an與?bn均
n?1n?1??收斂，則下列級(jí)數(shù)也收斂.①?anbn；②?(an?bn)；③
2n?1n?1??an.?n?1n?證: ①由于?an與?bn均收斂，n?1n?1??所以?(an?bn)收斂，而n?1?an?bn?2anbn，故?anbn收斂.n?1?②由于
-----高等數(shù)學(xué)教案-----(an?bn)?an?2anbn?bn，而?an、2?n?1n?1??bn與?anbn均收斂，所以n?12???(an?bn)收斂.n?11③由于?an與?2均收斂，所n?1n?1n?11an以?(an?2)收斂，而an?2?2，n?1nnn?an故?收斂.n?1n??例5.若?an與?bn均收斂，且??n?1n?1an?cn?bn，求證:?cn收斂.n?-----高等數(shù)學(xué)教案-----
?證:由于?an與?bn均收斂，所n?1n?1??以?(bn?an)收斂.n?1?由于an?cn?bn，所以
?n?1?bn?an?cn?an?0，而?(bn?an)收斂，故?(cn?an)收斂，而?an收斂，從n?1?n?1而?cn收斂.n?1?6.比較審斂法的極限形式: 設(shè)n?1?un、?vn均是正項(xiàng)級(jí)數(shù)，n?1??
-----高等數(shù)學(xué)教案-----
?un?0，且?vn收斂，則①若limn??n?1vn?un收斂.n?1??un?l(0?l???)，則?vn
②若limn??n?1vn與?un同時(shí)收斂和同時(shí)發(fā)散.n?1?un???，且?vn發(fā)散，③若limn??n?1vn?則?un發(fā)散.n?1?1例6.判斷級(jí)數(shù)?n的斂散
n?1n?n?
-----高等數(shù)學(xué)教案-----性.1?n1n?n解:由于l?lim，而?1?n??1n?1nn?1發(fā)散，所以?n發(fā)散.n?1n?n?1n?1例7.判斷級(jí)數(shù)?ln的斂
n?1n?2n散性.1lnn?1nn?1解:由于l?lim?2，而n??12n??11n?1收斂.?2收斂，所以?lnn?1n?2nn?2n
-----高等數(shù)學(xué)教案-----例8.判斷級(jí)數(shù)?(2?1)的斂散
nn?1?性.解: 由于
nn2?12?ln2l?lim?lim?ln2n??n??11n，??1n而?發(fā)散，所以?(2?1)發(fā)散.n?1n?1n7.比值審斂法(達(dá)朗貝爾判別法): 設(shè)?un為正項(xiàng)級(jí)數(shù)，且n?1?
-----高等數(shù)學(xué)教案-----un?1lim??.n??un
①若??1，則?un收斂；
n?1?
②若??1或????，則?un發(fā)
n?1?散；
③若??1，則?un可能收斂也
n?1?可能發(fā)散.1例9.判斷級(jí)數(shù)?的斂散
n?1(n?1)!?性.-----高等數(shù)學(xué)教案-----
1n!?0?1解: 由于??lim，n??1(n?1)!?1所以?收斂.n?1(n?1)!?n!例10.判斷級(jí)數(shù)?n的斂散性.n?110: 由于(n?1)!n?1n?110??lim?lim???，所n??n??10n!n10?n!以?n發(fā)散.n?110
-----高等數(shù)學(xué)教案-----解8.根值審斂法(柯西判別法): 設(shè)?un為正項(xiàng)級(jí)數(shù)，且n?1nu??.limnn???
①若??1，則?un收斂；
n?1?
②若??1或????，則?un發(fā)
n?1?散；
③若??1，則?un可能收斂也
n?1?可能發(fā)散.2n?1n例11.判斷級(jí)數(shù)?()的n?13n?1?
-----高等數(shù)學(xué)教案-----斂散性.解: 由于
2n?1nn(??lim)n??3n?12n()3n?1?limn??nn3n?1，2n?1n所以?()收斂.n?13n?110.交錯(cuò)級(jí)數(shù): ?u1?u2?u3?u4??，或
?u1?u2?u3?u4??，其中u1，u2…都是正數(shù).-----高等數(shù)學(xué)教案-----11.萊不尼茲定理: 如果交錯(cuò)級(jí)數(shù)?(?1)un滿足條件: n?1n?1?
①un?un?1；
i?mun?0，②ln?則?(?1)un收斂，其和s?u1，其余n?1n?1?項(xiàng)的絕對(duì)值rn?un?1.例12.判斷級(jí)數(shù)?(?1)n?1?n?11的斂
n散性.解: 由于
-----高等數(shù)學(xué)教案-----11①?，即un?un?1； nn?11?0，即limu?0
②lim，nn??n??n?n?11所以?(?1)收斂.n?1n12.絕對(duì)收斂: 如果?un收斂，n?1?則稱?un絕對(duì)收斂.n?1?例如，級(jí)數(shù)?(?1)n?1?n?11絕對(duì)收
2n斂.13.條件收斂: 如果?un收斂，n?-----高等數(shù)學(xué)教案-----
?而?un發(fā)散，則稱?un條件收斂.n?1n?1??例如，級(jí)數(shù)?(?1)n?1?n?11條件收斂.n?n?114.如果任意項(xiàng)級(jí)數(shù)?un的絕對(duì)值收斂，則?un收斂.n?1?1
證: 令Vn?(un?un)，21Wn?(un?un)，則un?Vn?0，2un?Wn?0.由于?un收斂，所以?Vn、?Wnn?1n?1n?-----高等數(shù)學(xué)教案-----???均收斂，故?(Vn?Wn)??un也收
n?1n?1??斂.15.設(shè)?un是任意項(xiàng)級(jí)數(shù)，n?1?un?1nu??，如果lim??或limnn??un??n??1，?un發(fā)散，則?un發(fā)散.n?1n?1??n例13.判別級(jí)數(shù)?(?1)是n?1n?1否收斂，若收斂是條件收斂，還
?n?1是絕對(duì)收斂.-----高等數(shù)學(xué)教案-----解: 由于lim(?1)n??以?(?1)n?1?n?1n?1n?0，所
n?1n發(fā)散.n?1?1n?例14.判別級(jí)數(shù)?nsin是否
5n?12收斂，若收斂是條件收斂，還是絕對(duì)收斂.?1n?11?n，解: 由于nsin而?n
522n?121(是公比為q??1的幾何級(jí)數(shù))2?1n?收斂，所以?nsin收斂，故
5n?1-----高等數(shù)學(xué)教案-----1n??nsin絕對(duì)收斂.5n?12?1例15.判別級(jí)數(shù)?(?1)ln(1?)nn?1是否收斂，若收斂是條件收斂，?n還是絕對(duì)收斂.11解: 由于ln(1?)?ln(1?)，而
n?1n1limln(1?)?0，所以交錯(cuò)級(jí)數(shù)n??n?1n?(?1)ln(1?)收斂.n?1n由于
-----高等數(shù)學(xué)教案-----
1(?1)ln(1?)1 nlim?limnln(1?)n??n??1nnn1n?limln(1?)n??n?1，?1?1n而? 發(fā)散，所以?(?1)ln(1?)發(fā)n?1nn?1n?1n散，故?(?1)ln(1?)條件收斂.n?1n§12.3 冪級(jí)數(shù)
1.區(qū)間I上的函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù): u1(x)?u2(x)???un(x)??.-----高等數(shù)學(xué)教案-----對(duì)于x?x0?I，常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)
u1(x0)?u2(x0)???un(x0)??
?n?1收斂，則稱x0為?un(x)的收斂點(diǎn).收斂點(diǎn)的全體稱為收斂域，發(fā)散點(diǎn)的全體稱為發(fā)散域.2.(x?x0)的冪級(jí)數(shù): n?0?an(x?x0)?n?a0?a1(x?x0)?a2(x?x0)
2n???an(x?x0)??
-----高等數(shù)學(xué)教案-----3.x的冪級(jí)數(shù):
n?0?anx?2n?na0?a1x?a2x???anx??.4.阿貝爾定理: 如果?anx當(dāng)
nn?0?則當(dāng)x?x0x?x0(x0?0)時(shí)收斂，時(shí)?anx絕對(duì)收斂.反之，如果nn?0n?0???anx當(dāng)x?x0時(shí)發(fā)散，則當(dāng)nx?x0時(shí)?anx發(fā)散.nn?0?
5.阿貝爾定理的推論: 如果
-----高等數(shù)學(xué)教案-----n?0?anx不是僅在x?0一點(diǎn)收斂，n?也不是在整個(gè)數(shù)軸上收斂，則存在R?0，使得
①當(dāng)x?R時(shí)，冪級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂；
②當(dāng)x?R時(shí)，冪級(jí)數(shù)發(fā)散；
③當(dāng)x?R與x??R時(shí)，冪級(jí)數(shù)可能收斂也可能發(fā)散.)為
稱R為收斂半徑，稱(?R , R)、收斂區(qū)間，收斂域是(?R , R[?R , R)、(?R , R]或[?R , R]這四
-----高等數(shù)學(xué)教案-----個(gè)區(qū)間之一(由x??R處的收斂性決定).規(guī)定冪級(jí)數(shù)僅在x?0處收斂時(shí)R?0，冪級(jí)數(shù)對(duì)一切x都收斂時(shí)R???.6.對(duì)于冪級(jí)數(shù)?anx，如果
nn?0?an?1lim??，則 n??an
-----高等數(shù)學(xué)教案-----
?1 , ??0且?????R???? , ??0 ,?0 , ????.??
(?1)x例1.求?的收斂域.n?1nn(?1)n?1?1解: 由于??lim，所n?1n??(?1)n1以R??1.?n?1n?
-----高等數(shù)學(xué)教案-----
(?1)x1當(dāng)x??1時(shí)，???(?)nnn?1n?1發(fā)散.?(?1)n?1xn?(?1)n?1當(dāng)x?1時(shí)，???nnn?1n?1?(?1)n?1xn條件收斂.因此，?的收
nn?1斂域?yàn)??1 , 1].?n1例2.求?2(3x)的收斂域.n?01?nn??nn13解: ?2(3x)? ?2x.n?01?nn?01?n??n?1n
-----高等數(shù)學(xué)教案-----
321?(n?1)??lim?3nn??321?nn?1，1R?.31當(dāng)時(shí)，x??3??(?1)nn1(3x)? 絕對(duì)收斂.??22n?01?nn?01?n1當(dāng)時(shí)，x?3??n11?2(3x)? ?2收斂.n?01?nn?01?n?n1因此，?的收斂域?yàn)?3x)2n?01?n
-----高等數(shù)學(xué)教案-----11[? , ].33(?1)n例3.求?2(x?3)的收斂n?1n?n域.解: 令x?3?t，則
(?1)(?1)nn?2(x?3)? ?2t.n?1nn?1n?(?1)nn對(duì)于，?2tn?1nn?1(?1)2(n?1)??lim?1R?1，.nn??(?1)2n??
-----高等數(shù)學(xué)教案-----
nn(?1)n1當(dāng)t??1時(shí)，?2t??2收n?1nn?1n??n斂.(?1)n?(?1)?2t??2絕當(dāng)t?1時(shí)，n?1nn?1nn?(?1)n對(duì)收斂.因此，?2t的收斂
n?1nn?(?1)n區(qū)間為[?1 , 1]，故?2(x?3)n?1n的收斂域?yàn)閇2 , 4].?2n?11例4.求?nx 的收斂域.n?03?nn
-----高等數(shù)學(xué)教案-----
1x2(n?1)?1n?1213?x解: lim.n??1x2n?13n321令x?1，得?3?x?3，收3斂半徑為R?3.發(fā)散.散.2n?11當(dāng)x??3時(shí)，?nx? ??3n?03n?0??2n?11當(dāng)x?3時(shí)，?nx? ?3發(fā)n?03n?0??2n?11因此，?nx 的收斂域?yàn)閚?03(?3 , 3).?
-----高等數(shù)學(xué)教案-----7.冪級(jí)數(shù)的運(yùn)算: s(x)??anxn?0?nn?0?n和?(x)??bnx的收斂半徑分別為R和R?，則
n?0????anx?nnn?0?bnx?nn?0?(an?bn)x?s(x)??(x)的收斂半徑為R?min?R , R??.8.冪級(jí)數(shù)的性質(zhì):
①?anx的和函數(shù)s(x)在其收nn?0?斂域I上連續(xù).-----高等數(shù)學(xué)教案-----
②?anx的和函數(shù)s(x)在其收nn?0?斂域I上可積，并有逐項(xiàng)積分公式
?0s(x)dx??0?anxdxn?0xx??n????0anxdx nn?0?xann?1??x(x?In?0n?1?，ann?1?nx與?anx的收斂半徑相?n?0n?0n?1同.?
-----高等數(shù)學(xué)教案-----③?anx的和函數(shù)s(x)在其收nn?0?斂區(qū)間(?R , R)內(nèi)可導(dǎo)，并有逐項(xiàng)求導(dǎo)公式
???nns?(x)??anx??(anx)?
?n?0?n?0 ??nanx(x?R)，n?1n?1n?1??nanx?n?1與?anx的收斂半徑相
nn?0?同.n1例5.求?x的和函數(shù).n?1n?
-----高等數(shù)學(xué)教案-----
1n?1R?1.?1解: ??lim，n??1n??n1n1當(dāng)x??1時(shí)，?x??(?1)收nn?1n?1n斂.n11當(dāng)x?1時(shí)，?x??發(fā)散.因
n?1nn?1n?n1此，?x的收斂域?yàn)閇?1 , 1).n?1n?n1令s(x)??x(?1?x?1)，則 n?1n???nn11s?(x)??x??(x)?n?1nn?1n????
-----高等數(shù)學(xué)教案-----??x n?1n?1?1?(?1?x?1).1?xs(x)?? x 0s?(x)dx?s(0)
??x10dx?0 ??1ln(?1x?x)(?1?x?1).例6.求??1xn?1在其收斂n?1n?1 , 1)上的和函數(shù).解??1xn?1?x??1xn?x?[?ln(1?x)] n?1nn?1n
-----高等數(shù)學(xué)教案-----
: 域[ ??xln(1?x)x?[?1 , 1).例7.求?(n?1)x在其收斂域
nn?1?(?1 , 1)上的和函數(shù).解: 令s(x)??(n?1)x，則
nn?1??0s(x)dx???0(n?1)xdx
nn?1x?x??x
n?1n?1?x? 1?x(?1?x?1).-----高等數(shù)學(xué)教案-----
2s(x)?[? 0s(x)dx]?
xx?()? 1?x22x?x?2(1?x)(?1?x?1).2例8.求?nx在其收斂域(?1 , 1)nn?1?上的和函數(shù).解: ?nx??nx??x??x
nnnnn?1n?1n?1nn?1n??????(n?1)x??x
n?1n?1??
-----高等數(shù)學(xué)教案-----
2x?xx? ?2(1?x)1?xx
.(?1 , 1)?2(1?x)2例9.求?(n?2)x在其收斂區(qū)
nn?1?間(?1 , 1)上的和函數(shù).解n?1:
?nn?12?(n?2)x??(n?1)x??x nnn?1??2x?x?2(1?x)x ?1?x
-----高等數(shù)學(xué)教案-----
3x?2x?2(1?x)2
(?1 , 1).§12.4 函數(shù)展開成冪級(jí)數(shù)
1.設(shè)f(x)在x0的某一鄰域U(x0)內(nèi)具有各階導(dǎo)數(shù)，冪級(jí)數(shù)
??(x0)f2f(x0)?f?(x0)(x?x0)?(x?x0)
2!f(x0)n???(x?x0)??
n!稱為f(x)的泰勒級(jí)數(shù).(n)
如果泰勒級(jí)數(shù)收斂于f(x)，則
-----高等數(shù)學(xué)教案-----
第四篇：第十章____重積分(高等數(shù)學(xué)教案)
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重積分
重積分
【教學(xué)目標(biāo)與要求】
1.理解二重積分、三重積分的概念，了解重積分的性質(zhì)，知道二重積分的中值定理。2.掌握二重積分的（直角坐標(biāo)、極坐標(biāo)）計(jì)算方法。
3.掌握計(jì)算三重積分的（直角坐標(biāo)、柱面坐標(biāo)、球面坐標(biāo)）計(jì)算方法。
4.會(huì)用重積分求一些幾何量與物理量（平面圖形的面積、體積、重心、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量、引力等）。
【教學(xué)重點(diǎn)】
1.二重積分的計(jì)算（直角坐標(biāo)、極坐標(biāo)）；
2.三重積分的（直角坐標(biāo)、柱面坐標(biāo)、球面坐標(biāo)）計(jì)算。3.二、三重積分的幾何應(yīng)用及物理應(yīng)用。
【教學(xué)難點(diǎn)】
1.利用極坐標(biāo)計(jì)算二重積分； 2.利用球坐標(biāo)計(jì)算三重積分； 3.物理應(yīng)用中的引力問題。
【教學(xué)課時(shí)分配】(10學(xué)時(shí))第1 次課
§１
第2 次課
§2
第3 次課
§3 第4 次課
§4
第5次課
習(xí)題課
【參考書】
[1]同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系.《高等數(shù)學(xué)（下）》，第五版.高等教育出版社.[2] 同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系.《高等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)輔導(dǎo)與習(xí)題選解》，第六版.高等教育出版社. [3] 同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系.《高等數(shù)學(xué)習(xí)題全解指南（下）》，第六版.高等教育出版社
高等數(shù)學(xué)教案
重積分
§10? 1 二重積分的概念與性質(zhì)
【回顧】定積分
設(shè)函數(shù)y?f(x)在區(qū)間[a? b]上非負(fù)、連續(xù)? 求直線x?a、x?b、y?0 及曲線y?f(x)所圍成的曲邊梯形的面積?
(1)分割：用分點(diǎn)a?x0?x1?x2? ? ? ??xn?1?xn ?b把區(qū)間[a? b]分成n個(gè)小區(qū)間?
[x0? x1]? [x1? x2]? [x2? x3]? ? ? ? ? [xn?1? xn ]? 記?xi?xi?xi?1(i?1? 2? ? ? ? ? n)?
(2)代替：任取??i?[xi?1? xi]? 以[xi?1? xi]為底的小曲邊梯形的面積可近似為
f(?i)?xi(i?1? 2? ? ? ? ? n)?
（3）作和：曲邊梯形面積A的近似值為
A??f(?)?x? iii?1nn(4)取極限：記??max{?x1? ?x2?? ? ?? ?xn }? 所以曲邊梯形面積的精確值為
A?lim??0?f(?)?x?
iii?1則
?baf(x)dx?A?lim?f(?i)?xi??0i?1n§10? 1 二重積分的概念與性質(zhì)
一、引例
1? 曲頂柱體的體積V 設(shè)有一立體? 它的底面是xOy面上的閉區(qū)域D? 其側(cè)面為母線平行于z軸的柱面? 其頂是曲面z?f(x? y)非負(fù)連續(xù)? 稱為曲頂柱體?
若立體的頂是平行于xoy面的平面。
體積=底面積?高
現(xiàn)在我們來討論如何計(jì)算曲頂柱體的體積?
（i）分割：用任意曲線網(wǎng)把D分成n個(gè)小區(qū)域 ：
?? 1? ?? 2? ? ? ? ? ?? n ?
分別以這些小閉區(qū)域的邊界曲線為準(zhǔn)線? 作母線平行于z軸的柱面? 這些柱面把原來的曲頂柱體分為n個(gè)細(xì)曲頂柱體? 高等數(shù)學(xué)教案
重積分
（ii）代替：在每個(gè)?? i中任取一點(diǎn)(? i ? ? i)? 以f(? i ? ? i)為高而底為?? i的平頂柱體的體積為
f(? i ? ? i)??i
(i?1? 2? ? ? ? ? n)?
（iii）近似和： 整個(gè)曲頂柱體體積V
V??f(?i,?i)??i?
i?1n分割得越細(xì), 則右端的近似值越接近于精確值V, 若分割得“無限細(xì)”, 則右端近似值會(huì)無限接近于精確值V.（iv）取極限： 記 ??max{?i的直徑},1?i?n
其中??i的直徑是指??i中相距最遠(yuǎn)的兩點(diǎn)的距離。則
V?lim?f(?i,?i)??i? 其中(?i,?i)???i
??0i?1n2?平面薄片的質(zhì)量?
當(dāng)平面薄板的質(zhì)量是均勻分布時(shí)，質(zhì)量 = 面密度×面積.若平面薄板的質(zhì)量不是均勻分布的.這時(shí), 薄板的質(zhì)量不能用上述公式算, 應(yīng)如何算該薄板的質(zhì)量M? 設(shè)有一平面薄片占有xOy面上的閉區(qū)域D? 它在點(diǎn)(x? y)處的面密度為?(x,y)? 這里?(x,y)非負(fù)連續(xù)? 現(xiàn)在要計(jì)算該薄片的質(zhì)量M?
（i）分割：用任意一組曲線網(wǎng)把D分成n個(gè)小區(qū)域：
?? 1? ?? 2? ? ? ? ? ?? n ?
（ii）代替：把各小塊的質(zhì)量近似地看作均勻薄片的質(zhì)量?
mi??(? i ? ? i)?? i ?
（iii）近似和： 各小塊質(zhì)量的和作為平面薄片的質(zhì)量的近似值?
M???(?i,?i)??i?
i?1n高等數(shù)學(xué)教案
重積分
將分割加細(xì)? 取極限? 得到平面薄片的質(zhì)量（iv）取極限：
記 ??max{?的直徑},i1?i?n
則
M?lim??(?i,?i)??i?
??0i?1n兩個(gè)問題的共性：(1)解決問題的步驟相同：
“分割, 代替,近似和,取極限”
(2)所求量的結(jié)構(gòu)式相同
曲頂柱體體積:
V?lim?f(?i,?i)??i
??0i?1n平面薄片的質(zhì)量:
M?lim??(?i,?i)??i
??0i?1n二、二重積分的定義及可積性
定義： 設(shè)f(x? y)是有界閉區(qū)域D上的有界函數(shù)? 將閉區(qū)域D任意分成n個(gè)小閉區(qū)域
?? 1? ?? 2? ? ? ? ? ?? n ?
其中?? i表示第i個(gè)小區(qū)域? 也表示它的面積? 在每個(gè)?? i上任取一點(diǎn)(? i? ?i)? 作和
?f(?i,?i)??i?
i?1n如果當(dāng)各小閉區(qū)域的直徑中的最大值?趨于零時(shí)? 這和的極限總存在? 則稱此極限為函數(shù)f(x? y)在閉區(qū)域D上的二重積分? 記作
??f(x,y)d?? 即
D
lim?f(?i,?i)??i? ??f(x,y)d????0i?1Dnf(x? y)被積函數(shù)? f(x? y)d?被積表達(dá)式? d?面積元素? x? y積分變量? D積分區(qū)域? 積分和?
直角坐標(biāo)系中的面積元素?
如果在直角坐標(biāo)系中用平行于坐標(biāo)軸的直線網(wǎng)來劃分D? 那么除了包含邊界點(diǎn)的一些小閉區(qū)域外? 其余的小閉區(qū)域都是矩形閉區(qū)域? 設(shè)矩形閉區(qū)域??i的邊長(zhǎng)為?xi和?yi? 則??i??xi?yi? 因此在直角坐標(biāo)系中? 有時(shí)也把面積元素d? 記作dxdy? 而把二重積分記作 高等數(shù)學(xué)教案
重積分
??f(x,y)dxdy
D其中dxdy叫做直角坐標(biāo)系中的面積元素?
二重積分的幾何意義? 如果f(x? y)?0? 被積函數(shù)f(x? y)可解釋為曲頂柱體的在點(diǎn)(x? y)處的豎坐標(biāo)? 所以二重積分的幾何意義就是柱體的體積? 如果f(x? y)是負(fù)的? 柱體就在xOy 面的下方? 二重積分的絕對(duì)值仍等于柱體的體積? 但二重積分的值是負(fù)的?
說明：當(dāng)函數(shù)f(x? y)在閉區(qū)域D上連續(xù)時(shí)? 則f(x? y)在D上的二重積分必存在。于是我們總假定函數(shù)f(x? y)在閉區(qū)域D上連續(xù)，所以f(x? y)在D上的二重積分都是存在的。例1.利用二重積分定義計(jì)算：三.二重積分的性質(zhì)
設(shè)D為有界閉區(qū)域，以下涉及的積分均存在。性質(zhì)1 ??xydxdy，其中D?{(x,y)|0?x?1,0?y?1}。
D??[f(x,y)?g(x,y)]d????f(x,y)d????g(x,y)d??
DDD性質(zhì)2 設(shè)k為常數(shù)，則性質(zhì)3 ??kf(x,y)d??k??f(x,y)d?
DD??1?d????d??|D|，其中(|D|為D的面積)?
DD性質(zhì)4 設(shè)D?D1?D2，且D1,D2無公共內(nèi)點(diǎn)，則
??f(x,y)d????f(x,y)d????f(x,y)d??
DD1D2性質(zhì)5.若在D上? f(x? y)?g(x? y)? 則
??f(x,y)d????g(x,y)d??
DD特殊：（1）若在D上f(x,y)?0，則
??f(x,y)d??0
D
（2）|??f(x,y)d?|???|f(x,y)|d??
DD
這是因?yàn)?|f(x,y)|?f(x,y)?|f(x,y)|
性質(zhì)6 設(shè)M、m分別是f(x? y)在閉區(qū)域D上的最大值和最小值? |D|為D的面積? 則
高等數(shù)學(xué)教案
重積分
m|D|???f(x,y)d??M|D|?
D
性質(zhì)7(二重積分的中值定理)設(shè)函數(shù)f(x? y)在閉區(qū)域D上連續(xù)? ? 為D的面積? 則在D上至少存在一點(diǎn)(?,?)?D，使
例2.比較下列積分的大小：??f(x,y)d??f(?,?)??
D??(x?y)d?，??(x?y)d?，DD23其中D?{(x,y)|(x?2)2?(y?1)2?2}
小結(jié)
1.二重積分的定義：
n?f(?,?)????f(x,y)d??lim?D?0iii?1i)，(d??dxdy2.二重積分的性質(zhì)（與定積分性質(zhì)相似）
教學(xué)方式及教學(xué)過程中應(yīng)注意的問題
在教學(xué)過程中要注意二重積分的定義，性質(zhì)以及應(yīng)用，并且要與定積分的定義、性質(zhì)進(jìn)行比較，要結(jié)合實(shí)例，反復(fù)講解。
師生活動(dòng)設(shè)計(jì)
1.比較下列積分值的大小關(guān)系：I1?2x?y?1??|xy|dxdy，I22?|x|?|y|?1??|xy|dxdy，I3??1?1?1?1|xy|dxdy
22(sinx?cosy)d??2，其中D為0?x?1,0?y?1。??D2.證明：1?講課提綱、板書設(shè)計(jì)
作業(yè) P137: 4（1）（3），5（1）（4）
§10? 2 二重積分的計(jì)算法 高等數(shù)學(xué)教案
重積分
一、利用直角坐標(biāo)計(jì)算二重積分
X??型區(qū)域?
D ?
?1(x)?y??2(x)? a?x?b ?
Y ??型區(qū)域? D ?
?1(x)?y??2(x)? c?y?d ?
混合型區(qū)域?
設(shè)f(x? y)?0?
D?{(x? y)| ?1(x)?y??2(x)? a?x?b}?
此時(shí)二重積分柱體的體積?
對(duì)于x0?[a? b]?
曲頂柱體在x?x0的截面面積為以區(qū)間[?1(x0)? ?2(x0)]為底、以曲線z?f(x0? y)為曲邊的曲邊梯形? 所以這截面的面積為
A(x0)??2(x0)10??f(x,y)d?在幾何上表示以曲面z?f(x? y)為頂? 以區(qū)域D為底的曲頂D??(x)1f(x0,y)dy?
根據(jù)平行截面面積為已知的立體體積的方法? 得曲頂柱體體積為
V?即
V?可記為
?aA(x)dx??a[??(x)b?2(x)a?1(x)bb?2(x)f(x,y)dy]dx?
??f(x,y)d???[?Dbf(x,y)dy]dx?
??f(x,y)d???adx??(x)D1?2(x)f(x,y)dy?
類似地? 如果區(qū)域D為Y ??型區(qū)域?
D ? ?1(x)?y??2(x)? c?y?d ?
則有
??f(x,y)d???dy?Dcd?2(y)?1(y)f(x,y)dx?
例1? 計(jì)算??xyd?? 其中D是由直線y?
1、x?2及y?x所圍成的閉區(qū)域?
D
解? 畫出區(qū)域D?
方法一?
可把D看成是X??型區(qū)域? 1?x?2? 1?y?x ? 于是
422y2x1xx1293?[?]??
?[x?]dx?(x?x)dxxyd??[xydy]dx11?12???1?124282?12x2D注? 積分還可以寫成??xyd???dx?xydy??xdx?ydy?
D11112x2x高等數(shù)學(xué)教案
重積分
解法2? 也可把D看成是Y??型區(qū)域? 1?y?2? y?x?2 ? 于是
422y3x22y29??xyd???1[?yxydx]dy??1[y?2]ydy??1(2y?2)dy?[y?8]1?8? 222D
例2? 計(jì)算??yD1?x2?y2d?? 其中D是由直線y?
1、x??1及y?x所圍成的閉區(qū)域?
解
畫出區(qū)域D? 可把D看成是X??型區(qū)域? ?1?x?1? x?y?1? 于是
11[(1?x2?y2)2]1dx??11(|x|3?1)dx ??y1?x?yd??dxy1?x?ydyx????1?x3??13??1221122D31???(x3?1)dx??
302
也可D看成是Y??型區(qū)域：?1?y?1? ?1?x ??y1?x2?y2d???ydy?D?1D1y?11?x2?y2dx? 例3 計(jì)算 2xyd?? 其中D是由直線y?x?2及拋物線y?x所圍成的閉區(qū)域? ?? 解 積分區(qū)域可以表示為D?D1+D2? 其中D, ?x?y?x? D2: 1?x?4, 2?y?x? 于是 1: 0?x?1 ??xyd???dx?D021x?xxydy??dx?14xx?2xydy? 積分區(qū)域也可以表示為D? ?1?y?2? y2?x?y?2? 于是 ??xyd????1dy?yDy?222x12[y(y?2)2?y5]dy ?2xydx??[y]y2dy?y?122??126y443152y2 ?[?y?2y?]?1?5? 24368討論積分次序的選擇? 例 4求兩個(gè)底圓半徑都等于?的直交圓柱面所圍成的立體的體積? 解 設(shè)這兩個(gè)圓柱面的方程分別為 x2?y2?? 2及x2?z2?? 2? 高等數(shù)學(xué)教案 重積分 利用立體關(guān)于坐標(biāo)平面的對(duì)稱性? 只要算出它在第一卦限部分的體積V1? 然后再乘以8就行了? 第一卦限部分是以D?{(x? y)| 0?y?R2?x2, 0?x??}為底? 以z?R2?x2頂?shù)那斨w? 于是 V?8??DR?xd??8?dx?022RR2?x20R2?x2dy?8?[R2?x2y]0R0R2?x2dx 16R3? 22(R?x)dx??03 二? 利用極坐標(biāo)計(jì)算二重積分 ?8R 有些二重積分? 積分區(qū)域D 的邊界曲線用極坐標(biāo)方程來表示比較方便? 且被積函數(shù)用極坐標(biāo)變量?、? 表達(dá)比較簡(jiǎn)單? 這時(shí)我們就可以考慮利用極坐標(biāo)來計(jì)算二重積分 lim?f(?i,?i)??i? ??f(x,y)d?? 按二重積分的定義??f(x,y)d????0DnDi? 1下面我們來研究這個(gè)和的極限在極坐標(biāo)系中的形式? 以從極點(diǎn)O出發(fā)的一族射線及以極點(diǎn)為中心的一族同心圓構(gòu)成的網(wǎng)將區(qū)域D分為n個(gè)小閉區(qū)域? 小閉區(qū)域的面積為? 111222??(?i???i)???i???i??i??i??i? ?i2其中?i表示相鄰兩圓弧的半徑的平均值? 在??i內(nèi)取點(diǎn)(?i , ?i)? 設(shè)其直角坐標(biāo)為(? i? ? i)? 則有 ??i?(?i???i)2???i???i2???i?(2?i???i)??i???i ?i??i cos?i? ?i??i sin?i? lim?f(?i cos?i,?i sin?i)?i ??i??i? ?f(?i,?i)??i???0i?1i?1nn于是 lim??0即 ??f(x,y)d????f(?cos?,?sin?)?d?d?? DD若積分區(qū)域D可表示為? 1(?)???? 2(?)? ?????? 高等數(shù)學(xué)教案 重積分 則 ??f(?cos?,?sin?)?d?d???d??D??2(?)??1(?)f(?cos?,?sin?)?d?? 討論?如何確定積分限? ??f(?cos?,?sin?)?d?d????d??0D2?D0??(?)f(?cos?,?sin?)?d?? ??f(?cos?,?sin?)?d?d???d???xe??D2?(?)0f(?cos?,?sin?)?d?? 例5? 計(jì)算域? ?y2dxdy? 其中D是由中心在原點(diǎn)、半徑為a 的圓周所圍成的閉區(qū) 解 在極坐標(biāo)系中? 閉區(qū)域D可表示為 0???a ? 0?? ?2? ? 于是 ??e?xD2?y2adxdy???e???d?d???[?e???d?]d? ??[?1e??]0d? 0002D22?a22??(1?e?a) 注? 此處積分 122?022?d???(1?e?a)? dxdy? 2??e?xD22?y2dxdy也常寫成x2?y2?a2??e?x?y2 利用x2?y2?a2?xe???y2dxdy??(1?e?a)計(jì)算廣義積分?e?xdx? 02??2 設(shè)D1?{(x? y)|x2?y2?R2? x?0? y?0}? D2?{(x? y)|x2?y2?2R2? x?0? y?0}?S?{(x? y)|0?x?R? 0?y?R}? 顯然D1?S?D2? 由于e?x 2?y2?0? 從則在這些閉區(qū)域上的二重積分之間有不等式 2??e?xD12?y2dxdy???e?xS?y2dxdy???e?xD22?y2dxdy? 因?yàn)?/p> ??e?xS2?y2dxdy??e?xdx??e?ydy?(?e?xdx)2? 000R2R2R2又應(yīng)用上面已得的結(jié)果有 高等數(shù)學(xué)教案 重積分 ??e?xD12?y2dxdy??(1?e?R)? 42??e?xD22?y2dxdy??(1?e?2R)? 42于是上面的不等式可寫成?(1?e?R2)?(Re?x2dx)2??(1?e?2R2)? ?404令R???? 上式兩端趨于同一極限 ?? 從而??e?x2dx??? ?4 02 例6 求球體x2?y2?z2?4a2被圓柱面x2?y2?2ax所截得的（含在圓柱面內(nèi)的部分）立體的體積? 解 由對(duì)稱性? 立體體積為第一卦限部分的四倍? V?4??D4a2?x2?y2dxdy? 其中D為半圓周y?2ax?x2及x軸所圍成的閉區(qū)域? 在極坐標(biāo)系中D可表示為 0???2a cos? ? 0???于是 V?4 ?? 22acos?2d?00??D4a???d?d??4??22??4a2??2?d? 3232?2 ?a2?2(1?sin3?)d??a2(?)? 03323 小結(jié) 1.二重積分化為累次積分的方法； 2.積分計(jì)算要注意的事項(xiàng)。 教學(xué)方式及教學(xué)過程中應(yīng)注意的問題 在教學(xué)過程中要注意二重積分化為累次積分的方法：分直角坐標(biāo)和極坐標(biāo)，以及在計(jì)算時(shí)要注意事項(xiàng)，要結(jié)合實(shí)例，反復(fù)講解。 師生活動(dòng)設(shè)計(jì) 1.設(shè)f(x)?C[0,1]，且?f(x)dx?A，求I??dx?f(x)f(y)dy。 00x111?2.交換積分順序I??2??2d??acos?0f(r,?)dr，(a?0) 講課提綱、板書設(shè)計(jì) 高等數(shù)學(xué)教案 重積分 作業(yè) P154: 1(2),(4);2(1),(3);6(2),(4);12(1),(3);13(3),(4);14(1),(2)；15（1）（2） §10?3 三重積分 一、三重積分的概念 定義 設(shè)f(x? y? z)是空間有界閉區(qū)域?上的有界函數(shù)? 將?任意分成n個(gè)小閉區(qū)域： ?v1? ?v2? ? ? ? ? ?vn 其中?vi表示第i個(gè)小閉區(qū)域? 也表示它的體積? 在每個(gè)?vi上任取一點(diǎn)(?i? ?i? ?i)? 作乘積f(? i? ? i? ? i)?vi(i?1? 2? ? ? ?? n)并作和 ?f(?i,?i,?i)?vi? 如果當(dāng)各小閉區(qū)域的直徑中的最大值?i?1n趨于零時(shí)? 這和的極限總存在? 則稱此極限為函數(shù)f(x? y? z)在閉區(qū)域?上的三重積分? 記作???f(x,y,z)dv? 即 ?高等數(shù)學(xué)教案 重積分 lim?f(?i,?i,?i)?vi? ???f(x,y,z)dv???0i?1?n 三重積分中的有關(guān)術(shù)語(yǔ)? ???——積分號(hào)? f(x? y? z)——被積函數(shù)? f(x? y? z)dv——被?積表達(dá)式? dv體積元素? x? y? z——積分變量? ?——積分區(qū)域? 在直角坐標(biāo)系中? 如果用平行于坐標(biāo)面的平面來劃分?? 則?vi??xi ?yi?zi ? 因此也把體積元素記為dv ?dxdydz? 三重積分記作 ???f(x,y,z)dv????f(x,y,z)dxdydz? ?? 當(dāng)函數(shù)f(x? y? z)在閉區(qū)域?上連續(xù)時(shí)? 極限lim?f(?i,?i,?i)?vi是存在的? ??0i?1n因此f(x? y? z)在?上的三重積分是存在的? 以后也總假定f(x? y? z)在閉區(qū)域?上是連續(xù)的? 三重積分的性質(zhì)? 與二重積分類似? 比如 ???[c1f(x,y,z)?c2g(x,y,z)]dv?c1???f(x,y,z)dv?c2???g(x,y,z)dv? ??? ?1??2???f(x,y,z)dv????f(x,y,z)dv????f(x,y,z)dv? ?1?2? ???dv?V? 其中V為區(qū)域?的體積? 二、三重積分的計(jì)算 1? 利用直角坐標(biāo)計(jì)算三重積分 三重積分的計(jì)算? 三重積分也可化為三次積分來計(jì)算? 設(shè)空間閉區(qū)域?可表為 z1(x? y)?z?z2(x? y)? y1(x)?y?y2(x)? a?x?b? 則 ???f(x,y,z)dv???[?z(x,y)?D1z2(x,y)f(x,y,z)dz]d? ?dxb?a?y(x)[?z(x,y)11by2(x)z2(x,y)f(x,y,z)dz]dy f(x,y,z)dz? ?dx?a?y(x)1y2(x)dy?z2(x,y)z1(x,y)高等數(shù)學(xué)教案 重積分 即 ???f(x,y,z)dv??dx??aby2(x)y1(x)dy?z2(x,y)z1(x,y)f(x,y,z)dz? 其中D : y1(x)? y? y2(x)? a?x?b? 它是閉區(qū)域?在xOy面上的投影區(qū)域? 提示? 設(shè)空間閉區(qū)域?可表為 z1(x? y)?z?z2(x? y)? y1(x)?y?y2(x)? a?x?b? 計(jì)算???f(x,y,z)dv? ?基本思想? 對(duì)于平面區(qū)域D? y1(x)?y?y2(x)? a?x?b內(nèi)任意一點(diǎn)(x? y)? 將f(x? y? z)只看作z的函數(shù)? 在區(qū)間[z1(x? y)? z2(x? y)]上對(duì)z積分? 得到一個(gè)二元函數(shù)F(x? y)? F(x,y)?z2(x,y)1?z(x,y)f(x,y,z)dz? 然后計(jì)算F(x? y)在閉區(qū)域D上的二重積分? 這就完成了f(x? y? z)在空間閉區(qū)域?上的三重積分? ??F(x,y)d????[?DD1z2(x,y)z1(x,y)f(x,y,z)dz]d???dx?aby2(x)y1(x)[?z2(x,y)z1(x,y)f(x,y,z)dz]dy? 則 ???f(x,y,z)dv???[?z(x,y)?Dz2(x,y)f(x,y,z)dz]d? z2(x,y) 1?dxb?a?y(x)[?z(x,y)1by2(x)f(x,y,z)dz]dy f(x,y,z)dz? f(x,y,z)dz? ?dx即 ?a?y(x)1y2(x)dy?z2(x,y)z1(x,y)???f(x,y,z)dv??adx?y(x)dy?z(x,y)?11by2(x)z2(x,y)其中D : y1(x)? y? y2(x)? a?x?b? 它是閉區(qū)域?在xOy面上的投影區(qū)域? 例1 計(jì)算三重積分域? 解 作圖? 區(qū)域?可表示為: 0?z?1?x?2y? 0?y?(1?x)? 0?x?1? ???xdxdydz? 其中?為三個(gè)坐標(biāo)面及平面x?2y?z?1所圍成的閉區(qū)?12高等數(shù)學(xué)教案 重積分 于是 ???xdxdydz ??0dx??11?x1?x?2y2dyxdz 00? ??0xdx?11?x2(1?x?2y)dy0 111? ??(x?2x2?x3)dx?4048 討論? 其它類型區(qū)域呢? 有時(shí)? 我們計(jì)算一個(gè)三重積分也可以化為先計(jì)算一個(gè)二重積分、再計(jì)算一個(gè)定積分? 設(shè)空間閉區(qū)域??{(x? y? z)|(x? y)?Dz? c1? z?c2}? 其中Dz是豎坐標(biāo)為z 的平面截空間閉區(qū)域?所得到的一個(gè)平面閉區(qū)域? 則有 ???f(x,y,z)dv??cdz??f(x,y,z)dxdy? ?1c2Dz2y2z2x 例2 計(jì)算三重積分???zdxdydz? 其中?是由橢球面2?2?2?1所圍成的空間閉 abc?2區(qū)域? 解 空間區(qū)域?可表為: x2?y2?1?z 2? ?c? z?c? ab2c2于是 ????2zzdxdydz ?zdzdxdy??ab?(1?2)z2dz?4?abc3? ?c?c15cD2?c2??zc 練習(xí)： 例3? 將三重積分I????f(x,y,z)dxdydz?化為三次積分? 其中 (1)?是由曲面z?1?x2?y2? z?0所圍成的閉區(qū)域? (2)?是雙曲拋物面xy?z及平面x?y?1?0? z?0所圍成的閉區(qū)域? (3)其中?是由曲面z?x2?2y2及z?2?x2所圍成的閉區(qū)域? 例4? 將三重積分I????f(x,y,z)dxdydz?化為先進(jìn)行二重積分再進(jìn)行定積分的形式? 其中?由曲面z?1?x2?y2? z?0所圍成的閉區(qū)域? 2? 利用柱面坐標(biāo)計(jì)算三重積分 設(shè)M(x? y? z)為空間內(nèi)一點(diǎn)? 并設(shè)點(diǎn)M在xOy面上的投影P 的極坐標(biāo)為P(?? ?)? 則這樣的三個(gè)數(shù)?、?、z就叫做點(diǎn)M的柱面坐標(biāo)? 這里規(guī)定?、?、z的變化范圍為? 高等數(shù)學(xué)教案 重積分 0?? 坐標(biāo)面???0? ? ?? 0? z?z0的意義? 點(diǎn)M 的直角坐標(biāo)與柱面坐標(biāo)的關(guān)系? ?x??cos?? x??cos?? y??sin?? z?z ? ?y??sin? ??z?z 柱面坐標(biāo)系中的體積元素? dv??d?d?dz? 簡(jiǎn)單來說? dxdy??d?d? ? dxdydz?dxdy?dz??d?d? dz? 柱面坐標(biāo)系中的三重積分? ???f(x,y,z)dxdydz????f(?cos?,?sin?,z)?d?d?dz? ?? 例5利用柱面坐標(biāo)計(jì)算三重積分圍成的閉區(qū)域? 解 閉區(qū)域?可表示為? ?2?z?4? 0???2? 0???2?? 于是 ???zdxdydz? 其中?是由曲面z?x?y與平面z?4所 2????zdxdydz????z?d?d?dz ??1d??(16??4)d? d??d?zdz??0?0??2?02?01164?? ??2?[8?2??6]2?026 3?2422?2? 3? 利用球面坐標(biāo)計(jì)算三重積分 設(shè)M(x? y? z)為空間內(nèi)一點(diǎn)? 則點(diǎn)M也可用這樣三個(gè)有次序的數(shù)r、?、? 來確定? 其中 r為原點(diǎn)O與點(diǎn)M間的距離? ?為OM與z軸正向所夾的角? ?為從正z軸來看自x軸按逆時(shí)針方向轉(zhuǎn)到有向線段OP的角? 這里P為點(diǎn)M在xOy面上的投影? 這樣的三個(gè)數(shù)r、?、??? 叫做點(diǎn)M的球面坐標(biāo)? 這里r、?、? 的變化范圍為 0?r 坐標(biāo)面r?r0? ???0? ???0的意義，點(diǎn)M的直角坐標(biāo)與球面坐標(biāo)的關(guān)系? ?x?rsin?cos?? x?rsin?cos?? y?rsin?sin?? z?rcos? ? ?y?rsin?sin? ??z?rcos?高等數(shù)學(xué)教案 重積分 球面坐標(biāo)系中的體積元素? dv?r2sin?drd?d? ? 球面坐標(biāo)系中的三重積分? ???f(x,y,z)dv????f(rsin?cos?,rsin?sin?,rcos?)r2sin?drd?d?? ?? 例6 求半徑為a的球面與半頂角?為的內(nèi)接錐面所圍成的立體的體積? 解 該立體所占區(qū)域?可表示為? 0?r?2acos?? 0????? 0???2?? 于是所求立體的體積為 V????dxdydz????r2sin?drd?d???d??d????2??2acos?000r2sin?dr ?2??0?sin?d??2acos?0r2dr 316?a ?33??034cos?sin?d??4?a(1?cosa)? 3提示? 球面的方程為x2?y2?(z?a)2?a2? 即x2?y2?z2?2az? 在球面坐標(biāo)下此球面的方程為r2?2arcos?? 即r?2acos?? 小結(jié) 1.三重積分的定義和計(jì)算； 2.換元積分公式。 教學(xué)方式及教學(xué)過程中應(yīng)注意的問題 在教學(xué)過程中要注意三重積分的定義和計(jì)算以及換元積分公式的應(yīng)用，要結(jié)合實(shí)例，反復(fù)講解。 師生活動(dòng)設(shè)計(jì) 1.將I????f(x,y,z)dv?用三次積分表示，其中?由六個(gè)平面x?0,x?2,y?1,x?2y?4,z?x,z?2所圍成，f(x,y,z)?C(?)。 2.設(shè)?由錐面z?2I???(x?y?z)dv ??x2?y2和球面x2?y2?z2?4所圍成，計(jì)算講課提綱、板書設(shè)計(jì) 作業(yè) P164: 4，5，7，9（1）高等數(shù)學(xué)教案 重積分 §10? 4 重積分的應(yīng)用 一、曲面的面積 設(shè)曲面S由方程 z?f(x? y)給出? D為曲面S在xOy面上的投影區(qū)域? 函數(shù)f(x? y)在D上具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)fx(x? y)和fy(x? y)? 現(xiàn)求曲面的面積A ? 在區(qū)域D內(nèi)任取一點(diǎn)P(x? y)? 并在區(qū)域D內(nèi)取一包含點(diǎn)P(x? y)的小閉區(qū)域d?? 其面積也記為d?? 在曲面S上點(diǎn)M(x? y? f(x? y))處做曲面S的切平面T? 再做以小區(qū)域d?的邊界曲線為準(zhǔn)線、母線平行于z軸的柱面? 將含于柱面內(nèi)的小塊切平面的面積作為含于柱面內(nèi)的小塊曲面面積的近似值? 記為dA? 又設(shè)切平面T的法向量與z軸所成的角為? ? 則 dA?d??1?f2(x,y)?f2(x,y)d?? xycos?這就是曲面S的面積元素? 于是曲面S 的面積為 A???D1?fx2(x,y)?fy2(x,y)d?? 高等數(shù)學(xué)教案 重積分 或 A???D1?(?z)2?(?z)2dxdy? ?x?y 設(shè)dA為曲面S上點(diǎn)M處的面積元素? dA在xOy面上的投影為小閉區(qū)域d?? M在xOy面上的投影為點(diǎn)P(x? y)? 因?yàn)榍嫔宵c(diǎn)M處的法向量為n?(?fx? ?fy? 1)? 所以 dA?|n|d??1?fx2(x,y)?fy2(x,y)d?? 提示? dA與xOy面的夾角為(n?^ k)? dAcos(n?^ k)?d?? n?k?|n|cos(n?^ k)?1? cos(n?^ k)?|n|?1? 討論? 若曲面方程為x?g(y? z)或y?h(z? x)? 則曲面的面積如何求？ A?Dyz??1?(?x)2?(?x)2dydz? ?y?z1?(?y2?y2)?()dzdx? ?z?x或 A?Dzx??其中Dyz是曲面在yOz面上的投影區(qū)域? Dzx是曲面在zOx面上的投影區(qū)域? 例1 求半徑為R的球的表面積? 提示? ?y?z??x?z??z?zR? ? 1?()2?()2?? 222222222?x?y?x?yR?x?yR?x?yR?x?y 解 球面的面積A為上半球面面積的兩倍? 上半球面的方程為z?R2?x2?y2? 而 ?y?z??x?z?? ? 222222?x?yR?x?yR?x?y所以 A?22x?y2?R2??1?(?z)2?(?z)2 ?x?y2?R?d?R dxdy?2R?d??2222200R??R?x?yR0 ?22x?y2?R2?? ??4?RR2??2 ?4?R2? 例2設(shè)有一顆地球同步軌道通訊衛(wèi)星? 距地面的高度為h?36000km? 運(yùn)行的角速度與高等數(shù)學(xué)教案 重積分 地球自轉(zhuǎn)的角速度相同? 試計(jì)算該通訊衛(wèi)星的覆蓋面積與地球表面積的比值(地球半徑R?6400km)? 二、質(zhì)心 設(shè)有一平面薄片? 占有xOy 面上的閉區(qū)域D? 在點(diǎn)P(x? y)處的面密度為?(x? y)? 假定?(x? y)在D上連續(xù)? 現(xiàn)在要求該薄片的質(zhì)心坐標(biāo)? 在閉區(qū)域D上任取一點(diǎn)P(x? y)? 及包含點(diǎn)P(x? y)的一直徑很小的閉區(qū)域d?(其面積也記為d?)? 則平面薄片對(duì)x軸和對(duì)y軸的力矩(僅考慮大小)元素分別為 dMx?y?(x? y)d?? dMy?x?(x? y)d?? 平面薄片對(duì)x軸和對(duì)y軸的力矩分別為 Mx???y?(x,y)d?? My???x?(x,y)d?? DD 設(shè)平面薄片的質(zhì)心坐標(biāo)為(x, y)?平面薄片的質(zhì)量為M? 則有 x?M?My? y?M?Mx ? 于是 x?My?M??x?(x,y)d?D???(x,y)d?D? y?Mx?M??y?(x,y)d?D???(x,y)d?D? 提示? 將P(x? y)點(diǎn)處的面積元素d?看成是包含點(diǎn)P的直徑得小的閉區(qū)域? D上任取一點(diǎn)P(x? y)? 及包含的一直徑很小的閉區(qū)域d?(其面積也記為d?)? 則平面薄片對(duì)x軸和對(duì)y軸的力矩(僅考慮大小)元素分別為 討論? 如果平面薄片是均勻的? 即面密度是常數(shù)? 則平面薄片的質(zhì)心(稱為形心)如何求？ 求平面圖形的形心公式為 ??xd? x?D??yd?? y?D??d?D??d?D? 例3 求位于兩圓??2sin? 和??4sin? 之間的均勻薄片的質(zhì)心? 解 因?yàn)殚]區(qū)域D對(duì)稱于y軸? 所以質(zhì)心C(x, y)必位于y軸上? 于是x?0? 高等數(shù)學(xué)教案 重積分 因?yàn)?/p> 2yd???????sin?d?d???sin?d??DD?4sin?02sin??2d??7?? ??d????22???12?3?? D??yd?所以y?DD?7??7? 所求形心是C(0, 7)? 3??d?3? 3類似地? 占有空間閉區(qū)域?、在點(diǎn)(x? y? z)處的密度為?(x? y? z)(假寬?(x? y? z)在?上連續(xù))的物體的質(zhì)心坐標(biāo)是 x?1M1? x?(x,y,z)dvy????M?1? y?(x,y,z)dvz????M????z?(x,y,z)dv? ? 其中M?????(x,y,z)dv? ? 例4 求均勻半球體的質(zhì)心? 提示? ?? 0?r?a? 0????? 0???2?? 2?2?a???dv???2?2d?00??d??rsin?dr??2sin?d??d??r2dr?2?a? 00003a2???zdv??02d??0??2?42?a1a132d??rcos??rsin?dr??sin2?d??d??rdr??2??? 0002420a2? 三、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 設(shè)有一平面薄片? 占有xOy面上的閉區(qū)域D? 在點(diǎn)P(x? y)處的面密度為?(x? y)? 假定?(x? y)在D上連續(xù)? 現(xiàn)在要求該薄片對(duì)于x軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量和y軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量? 在閉區(qū)域D上任取一點(diǎn)P(x? y)? 及包含點(diǎn)P(x? y)的一直徑很小的閉區(qū)域d?(其面積也記為d?)? 則平面薄片對(duì)于x軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量和y軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的元素分別為 dIx?y2?(x? y)d? ? dI y?x2?(x? y)d? ? 整片平面薄片對(duì)于x軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量和y軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量分別為 Ix???y2?(x,y)d?? Iy???x2?(x,y)d?? DD高等數(shù)學(xué)教案 重積分 例5 求半徑為a 的均勻半圓薄片(面密度為常量?)對(duì)于其直徑邊的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量? 解 取坐標(biāo)系如圖? 則薄片所占閉區(qū)域D可表示為 D?{(x? y)| x2?y2?a2? y?0} 而所求轉(zhuǎn)動(dòng)慣量即半圓薄片對(duì)于x軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量Ix ? Ix????y2d??????2sin2???d?d? DD ?? ?其中M??0sin? d??0?2a4?a2?d?????sin? d? 4031?a4???1Ma2? 4241?a2?為半圓薄片的質(zhì)量? 2類似地? 占有空間有界閉區(qū)域?、在點(diǎn)(x? y? z)處的密度為?(x? y? z)的物體對(duì)于x、y、z軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為 Ix? Iy? Iz????(y2?z2)?(x,y,z)dv? ??22(z?x)?(x,y,z)dv? ??????(x2?y2)?(x,y,z)dv? ? 例6 求密度為?的均勻球體對(duì)于過球心的一條軸l的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量? 解 取球心為坐標(biāo)原點(diǎn)? z軸與軸l重合? 又設(shè)球的半徑為a? 則球體所占空間閉區(qū)域 ??{(x? y? z)| x2?y2?z2?a2}? 所求轉(zhuǎn)動(dòng)慣量即球體對(duì)于z軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量Iz ? Iz????(x2?y2)? dv ? ?????(r2sin2? cos2??r2sin2? sin2?)r2sin?drd?d? ? ??8?a5??2a2M? 4rsin?drd?d???d?sin? d?rdr?????0?0?0515?432??3a其中M?4?a3?為球體的質(zhì)量? 3提示? x2?y2?r2sin2?cos2??r2sin2? sin2??r2sin2?? 四、引力 我們討論空間一物體對(duì)于物體外一點(diǎn)P0(x0? y0? z0)處的單位質(zhì)量的質(zhì)點(diǎn)的引力問題? 高等數(shù)學(xué)教案 重積分 設(shè)物體占有空間有界閉區(qū)域?? 它在點(diǎn)(x? y? z)處的密度為?(x? y? z)? 并假定?(x? y? z)在?上連續(xù)? 在物體內(nèi)任取一點(diǎn)(x? y? z)及包含該點(diǎn)的一直徑很小的閉區(qū)域dv(其體積也記為dv)? 把這一小塊物體的質(zhì)量?dv近似地看作集中在點(diǎn)(x? y? z)處? 這一小塊物體對(duì)位于P0(x0? y0? z0)處的單位質(zhì)量的質(zhì)點(diǎn)的引力近似地為 dF?(dFx,dFy,dFz) ?(G其中?(x,y,z)(x?x0)r3dv,G?(x,y,z)(y?y0)r3dF dv,G?(x,y,z)(z?z0)r3dv)? dFx、dFy、dFz為引力元素 在三個(gè)坐標(biāo)軸上的分量? r?(x?x0)2?(y?y0)2?(z?z0)2? G為引力常數(shù)? 將dFx、dFy、dFz在?上分別積分? 即可得Fx、Fy、Fz? 從而得F?(Fx、Fy、Fz)? 例7設(shè)半徑為R的勻質(zhì)球占有空間閉區(qū)域??{(x? y? z)|x2?y2?z2?R2)? 求它對(duì)于位于點(diǎn)M0(0? 0? a)(a>R)處的單位質(zhì)量的質(zhì)點(diǎn)的引力? 解 設(shè)球的密度為?0? 由球體的對(duì)稱性及質(zhì)量分布的均勻性知Fx=Fy=0, 所求引力沿z軸的分量為 Fz????G?0?z?adv [x2?y2?(z?a)2]3/ ?G?0??R??RRR(z?a)dzdxdy ??2223/2[x?y?(z?a)]x2?y2?R2?z22?R2?z22 ?G?0(z?a)dz?d??0R?d?[??(z?a)]23/20 ?2?G?01?1(z?a)()dz ??R22a?zR?2az?a1R(z?a)dR2?2az?a2] a??R32R ?2G??0(?2R?2R?2) 3a4?R3??1??GM ??G?? 023aa2 ?2?G?0[?2R?高等數(shù)學(xué)教案 重積分 其中M?4?R3?0為球的質(zhì)量? 3上述結(jié)果表明? 勻質(zhì)球?qū)η蛲庖毁|(zhì)點(diǎn)的引力如同球的質(zhì)量集中于球心時(shí)兩質(zhì)點(diǎn)間的引力? 小結(jié) 1.曲面面積的計(jì)算； 2.質(zhì)心的計(jì)算； 3.轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的定義和求解。 教學(xué)方式及教學(xué)過程中應(yīng)注意的問題 在教學(xué)過程中要注意曲面面積的計(jì)算，質(zhì)心的計(jì)算，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的定義和求解，要結(jié)合實(shí)例，反復(fù)講解。 師生活動(dòng)設(shè)計(jì) 1.設(shè)有一高度為h(t)(t為時(shí)間)的雪堆在融化過程中,其側(cè)面滿足方程2(x2?y2)，設(shè)長(zhǎng)度單位為厘米, 時(shí)間單位為小時(shí), 已知體積減少的速率與側(cè)z?h(t)?h(t)面積成正比(比例系數(shù) 0.9), 問高度為130 cm 的雪堆全部融化需要多少小時(shí)?(2001考研)講課提綱、板書設(shè)計(jì) 作業(yè) P175: 1，2，4（1），7（1） 高等數(shù)學(xué)教案 重積分 習(xí)題課 一、重積分計(jì)算的基本方法 —— 累次積分法 1.選擇合適的坐標(biāo)系 使積分域多為坐標(biāo)面(線)圍成;被積函數(shù)用此坐標(biāo)表示簡(jiǎn)潔或變量分離.2.選擇易計(jì)算的積分序 積分域分塊要少, 累次積分易算為妙.3.掌握確定積分限的方法 圖示法；列不等式法(從內(nèi)到外: 面、線、點(diǎn)) 二、重積分計(jì)算的基本技巧 1.交換積分順序的方法 2.利用對(duì)稱性或重心公式簡(jiǎn)化計(jì)算 3.消去被積函數(shù)絕對(duì)值符號(hào) 4.利用重積分換元公式 三、重積分的應(yīng)用 1.幾何方面 面積(平面域或曲面域), 體積 , 形心 2.物理方面 質(zhì)量, 轉(zhuǎn)動(dòng)慣量, 質(zhì)心, 引力 3.其它方面 四、例題分析 1.在均勻的半徑為R的圓形薄片的直徑上 , 要接上一個(gè)一邊與直徑等長(zhǎng)的同樣材料的均勻矩形薄片,使整個(gè)薄片的重心恰好落在圓心上 ,問接上去的均勻矩形薄片的另一邊長(zhǎng) 高等數(shù)學(xué)教案 重積分 度應(yīng)為多少? 2.計(jì)算積分3.??(x?y)d?，其中D由yD2x2?y22?2x，x?y?4，x?y?12所圍成。 計(jì)算二重積分 DI???(x?xye)dxdy, 其中 （1）D為圓域 x2?y2?1;（2）D由直線y?x,y??1,x?1圍成 P182;6;(1),(3) §8? 4 多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則 設(shè)z?f(u? v)? 而u??(t)? v??(t)? 如何求dz？ dt 設(shè)z?f(u? v)? 而u??(x? y)? v??(x? y)? 如何求?z和?z？ ?x?y 1? 復(fù)合函數(shù)的中間變量均為一元函數(shù)的情形 定理1 如果函數(shù)u??(t)及v??(t)都在點(diǎn)t可導(dǎo)? 函數(shù)z?f(u? v)在對(duì)應(yīng)點(diǎn)(u? v)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)? 則復(fù)合函數(shù)z?f[?(t)? ?(t)]在點(diǎn)t可導(dǎo)? 且有 dz??z?du??z?dv? dt?udt?vdt 簡(jiǎn)要證明1? 因?yàn)閦?f(u? v)具有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)? 所以它是可微的? 即有 dz??zdu??zdv? ?u?v又因?yàn)閡??(t)及v??(t)都可導(dǎo)? 因而可微? 即有 du?dudt? dv?dvdt? dtdt代入上式得 dz??z?dudt??z?dvdt?(?z?du??z?dv)dt? ?udt?vdt?udt?vdt從而 dz??z?du??z?dv? dt?udt?vdt 簡(jiǎn)要證明2? 當(dāng)t取得增量?t時(shí)? u、v及z相應(yīng)地也取得增量?u、?v及?z ? 由z?f(u? v)、u??(t)及v??(t)的可微性? 有 ?z??z?u??z?v?o(?)??z[du?t?o(?t)]??z[dv?t?o(?t)]?o(?) ?u?v?udt?vdt ?(?z?du??z?dv)?t?(?z??z)o(?t)?o(?)? ?udt?vdt?u?v?z??z?du??z?dv?(?z??z)o(?t)?o(?) ? ?t?udt?vdt?u?v?t?t令?t?0? 上式兩邊取極限? 即得 dz??z?du??z?dv? dt?udt?vdto(?)o(?)(?u)2?(?v)2注?lim?lim??0?(du)2?(dv)2?0? ?tdtdt?t?0?t?t?0?推廣? 設(shè)z?f(u? v? w)? u??(t)? v??(t)? w??(t)? 則z?f[?(t)? ?(t)? ?(t)]對(duì)t 的導(dǎo)數(shù)為? dz??zdu??zdv??zdw? dt?udt?vdt?wdt上述dz稱為全導(dǎo)數(shù)? dt 2? 復(fù)合函數(shù)的中間變量均為多元函數(shù)的情形 定理2 如果函數(shù)u??(x? y)? v??(x? y)都在點(diǎn)(x? y)具有對(duì)x及y的偏導(dǎo)數(shù)? 函數(shù)z?f(u? v)在對(duì)應(yīng)點(diǎn)(u? v)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)? 則復(fù)合函數(shù)z?f [?(x? y)? ?(x? y)]在點(diǎn)(x? y)的兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)存在? 且有 ?z??z??u??z??v? ?z??z??u??z??v? ?x?u?x?v?x?y?u?y?v?y 推廣? 設(shè)z?f(u? v? w)? u??(x? y)? v??(x? y)? w??(x? y)? 則 ?z??z??u??z??v??z??w ?z??z??u??z??v??z??w? ? ?x?u?x?v?x?w?x?y?u?y?v?y?w?y 討論? (1)設(shè)z?f(u? v)? u??(x? y)? v??(y)? 則?z?？?z?？ ?y?x 提示? ?z??z??u? ?z??z??u??z?dv? ?x?u?x?y?u?y?vdy?z (2)設(shè)z?f(u? x? y)? 且u??(x? y)? 則?z?？?？ ?y?x?f?f?f?f 提示? ?z??u?? ?z??u?? ?x?u?x?x?y?u?y?y?f這里?z與是不同的? ?z是把復(fù)合函數(shù)z?f[?(x? y)? x? y]中的y看作不變而對(duì)x的?x?x?x?f?f?z偏導(dǎo)數(shù)? 是把f(u? x? y)中的u及y看作不變而 對(duì)x的偏導(dǎo)數(shù)? 與也朋類似 ?y?y?x的區(qū)別? 3．復(fù)合函數(shù)的中間變量既有一元函數(shù)? 又有多元函數(shù)的情形 定理3 如果函數(shù)u??(x? y)在點(diǎn)(x? y)具有對(duì)x及對(duì)y的偏導(dǎo)數(shù)? 函數(shù)v??(y)在點(diǎn)y可導(dǎo)? 函數(shù)z?f(u? v)在對(duì)應(yīng)點(diǎn)(u? v)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)? 則復(fù)合函數(shù)z?f[?(x? y)? ?(y)]在點(diǎn)(x? y)的兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)存在? 且有 ?z??z??u??z?dv ?z??z??u? ? ?x?u?x?y?u?y?vdy ?z 例1 設(shè)z?eusin v? u?xy? v?x?y? 求?z和? ?x?y 解 ?z??z??u??z??v ?x?u?x?v?x ?eusin v?y?eucos v?1 ?ex y[y sin(x?y)?cos(x?y)]? ?z??z??u??z??v ?y?u?y?v?y ?eusin v?x?eucos v?1 ?exy[x sin(x?y)?cos(x?y)]? 例2 設(shè)u?f(x,y,z)?ex?f?f 解 ?u????z ?x?x?z?x2?y2?z2? 而z?x2siny? 求?u和?u? ?y?x ?2xex2?y2?z2?2zex2?y2?z2?2xsiny ? ?2x?(1?2x2siny)ex2?y2?x4si2ny?f?f ?u????z ?y?y?z?y ?2yex2?y2?z2?2zex2?y2?z2?x2cosy ?2(y?x4sinycoys)ex2?y2?x4si2ny? 例3 設(shè)z?uv?sin t ? 而u?et? v?cos t? 求全導(dǎo)數(shù)dz? dt 解 dz??z?du??z?dv??z dt?udt?vdt?t ?v?et?u?(?sin t)?cos t ?etcos t?e tsin t?cos t ?et(cos t?sin t)?cos t ? ?2w?w 例4 設(shè)w?f(x?y?z? xyz)? f具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)? 求及? ?x?z?x 解 令u?x?y?z? v?xyz ? 則w?f(u? v)? ?f(u,v)?f(u,v)?????f22??等? 引入記號(hào)? f1??? f12? 同理有f2??f11?u?u?v?w??f??u??f??v?f??yzf? 2? ?x?u?x?v?x12?f??f? ?w??(f1??yzf2?)?1?yf2??yz2 ?x?z?z?z?z???xyf12???yf2??yzf21???xy2zf22?? ?f11???y(x?z)f12???yf2??xy2zf22??? ?f11?f1??f1??u?f1??v?f??f??f????xyf12??? 2?2??u?2??v?f21???xyf22??? ?????f11?z?u?z?v?z?z?u?z?v?z 例5 設(shè)u?f(x? y)的所有二階偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)? 把下列表達(dá)式轉(zhuǎn)換成極坐標(biāo)系中的形式? 注? 2?2u? ?(1)(?u)2?(?u)2? (2)?u?x?y?x2?y2解 由直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)間的關(guān)系式得 u?f(x? y)?f(?cosθ? ?sinθ)?F(?? θ)? 其中x??cosθ? y??sinθ? ??x2?y2? ??arctan應(yīng)用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則? 得 ???u???ux?uy?u??uysin??co?s??? ?u??u? ?x???x???x??????2????????u???uy?ux?u?uco?s?sin????? ?u??u? ????y???y???y??????2??y? x兩式平方后相加? 得 (?u)2?(?u)2?(?u)2?12(?u)2? ?x?y?????再求二階偏導(dǎo)數(shù)? 得 2??(?u)?????(?u)??? ? u?x2???x?x???x?x??u?)?co??)?sin? s??usins??(?uco?s??usin ?(co????????????????22222?u?usin?co?s?usin??u2sin?co?s?usin?? 2??2?2?? ?2cos???????????????2?2同理可得 222222?u?u?usin?co?s?uco?s?u2sin?co?s?ucos?? 2?2sin??2?2??22???????????y??????兩式相加? 得 22222?u?u?u11?u1??u? 2?2?2???22?2[?(?)?u]? ??????2?x?y??????? 全微分形式不變性? 設(shè)z?f(u? v)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)? 則有全微分 dz??zdu??zdv? ?u?v如果z?f(u? v)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)? 而u??(x? y)? v??(x? y)也具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)? 則 ?z?z dz?dx?dy ?x?y?z?u??z?v)dx?(?z?u??z?v)dy ?（?u?x?v?x?u?y?v?y?z?u?u?z?v?v ?(dx?dy)?(dx?dy) ?u?x?y?v?x?y ??zdu??zdv? ?u?v由此可見? 無論z 是自變量u、v的函數(shù)或中間變量u、v的函數(shù)? 它的全微分形式是一樣的? 這個(gè)性質(zhì)叫做全微分形式不變性? 例6 設(shè)z?e usin v? u?x y? v?x?y? 利用全微分形式不變性求全微分? 解 dz??zdu??zdv? e usin vdu? e ucos v dv ?u?v ? e usin v(y dx?x dy)? e ucos v(dx?dy) ?(ye usin v? e ucos v)dx?(xe usin v? e ucos v)dy ?e xy [y sin(x?y)?cos(x?y)]dx? e xy [x sin(x?y)?cos(x?y)]dy ? §8? 5 隱函數(shù)的求導(dǎo)法則 一、一個(gè)方程的情形 隱函數(shù)存在定理1 設(shè)函數(shù)F(x? y)在點(diǎn)P(x0? y0)的某一鄰域內(nèi)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)? F(x0? y0)?0? Fy(x0? y0)?0? 則方程F(x? y)?0在點(diǎn)(x0? y0)的某一鄰域內(nèi)恒能唯一確定一個(gè)連續(xù)且具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)的函數(shù)y?f(x)? 它滿足條件y0?f(x0)? 并有 Fdy??x? ?dxFy 求導(dǎo)公式證明? 將y?f(x)代入F(x? y)?0? 得恒等式 F(x? f(x))?0? dy等式兩邊對(duì)x求導(dǎo)得 ?F??F??0? ?x?ydx由于F y連續(xù)? 且Fy(x0? y0)?0? 所以存在(x0? y0)的一個(gè)鄰域? 在這個(gè)鄰域同F(xiàn)y ?0? 于是得 Fdy??x? dxFy 例1 驗(yàn)證方程x2?y2?1?0在點(diǎn)(0? 1)的某一鄰域內(nèi)能唯一確定一個(gè)有連續(xù)導(dǎo)數(shù)、當(dāng)x?0時(shí)y?1的隱函數(shù)y?f(x)? 并求這函數(shù)的一階與二階導(dǎo)數(shù)在x?0的值? 解 設(shè)F(x? y)?x2?y2?1? 則Fx?2x? Fy?2y? F(0? 1)?0? Fy(0? 1)?2?0? 因此由定理1可知? 方程x2?y2?1?0在點(diǎn)(0? 1)的某一鄰域內(nèi)能唯一確定一個(gè)有連續(xù)導(dǎo)數(shù)、當(dāng)x?0時(shí)y?1的隱函數(shù)y?f(x)? Fdydy??x??x? ?0? dxFyydxx?0y?x(?x)dyy?xy?yy2?x2d2y1????????3； ??1? dx2y2y2y3ydx2x?0 2隱函數(shù)存在定理還可以推廣到多元函數(shù)? 一個(gè)二元方程F(x? y)?0可以確定一個(gè)一元隱函數(shù)? 一個(gè)三元方程F(x? y? z)?0可以確定一個(gè)二元隱函數(shù)? 隱函數(shù)存在定理2 設(shè)函數(shù)F(x? y? z)在點(diǎn)P(x0? y0? z0)的某一鄰域內(nèi)具有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)? 且F(x0? y0? z0)?0? Fz(x0? y0? z0)?0 ? 則方程F(x? y? z)?0在點(diǎn)(x0? y0? z0)的某一鄰域內(nèi)恒能唯一確定一個(gè)連續(xù)且具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的函數(shù)z?f(x? y)? 它滿足條件z0?f(x0? y0)? 并有 FF ?z??x? ?z??y? ? ?xFz?yFz 公式的證明? 將z?f(x? y)代入F(x? y? z)?0? 得F(x? y? f(x? y))?0? 將上式兩端分別對(duì)x和y求導(dǎo)? 得 Fx?Fz??z?0? Fy?Fz??z?0? ? ?y?x因?yàn)镕 z連續(xù)且F z(x0? y0? z0)?0? 所以存在點(diǎn)(x0? y0? z0)的一個(gè)鄰域? 使F z?0? 于是得 FF ?z??x? ?z??y? ?xFz?yFz?2z 例2.設(shè)x?y?z?4z?0? 求2? ?x 解 設(shè)F(x? y? z)? x2?y2?z2?4z? 則Fx?2x? Fy?2z?4? 222 ?z??Fx??2x?x? ?xFz2z?42?z ?z(2?x)?x(x)(2?x)?x22?2z??x?2?z?(2?x)?x? ?x2(2?z)2(2?z)2(2?z) 3二、方程組的情形 在一定條件下? 由個(gè)方程組F(x? y? u? v)?0? G(x? y? u? v)?0可以確定一對(duì)二元函數(shù)u?u(x? y)? v?v(x? y)? 例如方程xu?yv?0和yu?xv?1可以確定兩個(gè)二元函數(shù)u?yx? v?? x2?y2x2?y2y 事實(shí)上? xu?yv?0 ?v?xu?yu?x?xu?1?u?22? ? yyx?yyv?x?22?2x2? yx?yx?y 如何根據(jù)原方程組求u? v的偏導(dǎo)數(shù)？ 隱函數(shù)存在定理設(shè)F(x? y? u? v)、G(x? y? u? v)在點(diǎn)P(x0? y0? u0? v0)的某一鄰域內(nèi)具有對(duì)各個(gè)變量的連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)? 又F(x0? y0? u0? v0)?0? G(x0? y0? u0? v0)?0? 且偏導(dǎo)數(shù)所組成的函數(shù)行列 ?F?(F,G)?u式： J???(u,v)?G?u?F?v ?G?v在點(diǎn)P(x0? y0? u0? v0)不等于零? 則方程組F(x? y? u? v)?0? G(x? y? u? v)?0在點(diǎn)P(x0? y0? u0? v0)的某一鄰域內(nèi)恒能唯一確定一組連續(xù)且具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的函數(shù)u?u(x? y)? v?v(x? y)? 它們滿足條件u0?u(x0? y0)? v0?v(x0? y0)? 并有 FxFvFuFxGGGG?(F,G)?(F,G) ?u??1??xv? ?v??1??ux? ?xJ?(x,v)?xJ?(u,x)FuFvFuFvGuGvGuGv?(F,G)?(F,G)???? ?u??1? ?v??1? ?yJ?(y,v)?yJ?(u,y)FuFvFuFvGuGvGuGvFyFvGyGvFuFyGuGy 隱函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù): 設(shè)方程組F(x? y? u? v)?0? G(x? y? u? v)?0確定一對(duì)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的 二元函數(shù)u?u(x? y)? v?v(x? y)? 則 ?F?F?u?F?v?0,?xu?xv?x?u?v 偏導(dǎo)數(shù)? 由方程組?確定? ?u?v?x?x?Gx?Gu?Gv?0.?x?x??F?F?u?F?v?0,?yu?yv?y?u?v 偏導(dǎo)數(shù)? 由方程組?確定? ?u?v?y?y?Gy?Gu?Gv?0.?y?y??v 例3 設(shè)xu?yv?0? yu?xv?1? 求?u? ?v? ?u和? ?y?x?x?y 解 兩個(gè)方程兩邊分別對(duì)x 求偏導(dǎo)? 得關(guān)于?u和?v的方程組 ?x?x?u?x?u?y?v?0??x?x? ??u?v?y?v?x?0?x??xyu?xvxu?yv當(dāng)x2?y2 ?0時(shí)? 解之得?u??22? ?v?22? ?xx?y?xx?y 兩個(gè)方程兩邊分別對(duì)x 求偏導(dǎo)? 得關(guān)于?u和?v的方程組 ?y?y?x?u?v?y?v?0??y?y? ??u?v?u?y?x?0?y?y?xv?yuxu?yv當(dāng)x2?y2 ?0時(shí)? 解之得?u?22? ?v??22? ?yx?y?yx?y 另解 將兩個(gè)方程的兩邊微分得 ?udx?xdu?vdy?ydv?0?xdu?ydv?vdy?udx ?? 即?? udy?ydu?vd?xxdv?0ydu?xdv??udy?vdx??解之得 du??xu?yvxv?yudx?dy? x2?y2x2?y dv?yu?xvxu?yvdx?dy? x2?y2x2?y2xu?yvxv?yu于是 ?u??22? ?u?22? ?x?yx?yx?yyu?xvxu?yv ?v?22? ?v??22? ??xx?y?yx?y 例? 設(shè)函數(shù)x?x(u? v)? y?y(u? v)在點(diǎn)(u? v)的某一領(lǐng)域內(nèi)連續(xù)且有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)? 又 ?(x,y)?0? ?(u,v)?x?x(u,v) (1)證明方程組 ? y?y(u,v)?在點(diǎn)(x? y? u? v)的某一領(lǐng)域內(nèi)唯一確定一組單值連續(xù)且有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的反函數(shù)u?u(x? y)? v?v(x? y)? (2)求反函數(shù)u?u(x? y)? v?v(x? y)對(duì)x? y的偏導(dǎo)數(shù)? 解(1)將方程組改寫成下面的形式 ?F(x,y,u,v)?x?x(u,v)?0 ?? G(x,y,u,v)?y?y(u,v)?0?則按假設(shè) J??(F,G)?(x,y)??0.?(u,v)?(u,v)由隱函數(shù)存在定理3? 即得所要證的結(jié)論? (2)將方程組(7)所確定的反函數(shù)u?u(x? y)?v?v(x? y)代入(7)? 即得 ?x?x[u(x,y),v(x,y)] ?? y?y[u(x,y),v(x,y)]?將上述恒等式兩邊分別對(duì)x求偏導(dǎo)數(shù)?得 ?1??x??u??x??v? ??u?x?v?x? ?y?y?0???u???v??u?x?v?x由于J?0? 故可解得 ?y?y ?u?1? ?v??1? J?u?xJ?v?x 同理? 可得 ?u??1?x?v?1?x ? ? ?yJ?v?yJ?u §8? 6 多元函數(shù)微分學(xué)的幾何應(yīng)用 一? 空間曲線的切線與法平面 設(shè)空間曲線?的參數(shù)方程為 x??(t)? y??(t)? z??(t)這里假定?(t)? ?(t)? ?(t)都在[?? ?]上可導(dǎo)? 在曲線?上取對(duì)應(yīng)于t?t0的一點(diǎn)M0(x0? y0? z0)及對(duì)應(yīng)于t?t0??t的鄰近一點(diǎn)M(x0+?x? y0+?y? z0+?z)? 作曲線的割線MM0? 其方程為 x?x0y?y0z?z0??? ??x?y?z當(dāng)點(diǎn)M沿著?趨于點(diǎn)M0時(shí)割線MM0的極限位置就是曲線在點(diǎn)M0處的切線? 考慮 x?x0y?y0z?z0 ? ???x?y?z?t?t?t當(dāng)M?M0? 即?t?0時(shí)? 得曲線在點(diǎn)M0處的切線方程為 x?x0y?y0z?z0??? ??(t0)??(t0)??(t0) 曲線的切向量? 切線的方向向量稱為曲線的切向量? 向量 T?(??(t0)? ??(t0)? ??(t0))就是曲線?在點(diǎn)M0處的一個(gè)切向量? 法平面? 通過點(diǎn)M0而與切線垂直的平面稱為曲線?在點(diǎn)M0 處的法平面? 其法平面方程為 ??(t0)(x?x0)???(t0)(y?y0)???(t0)(z?z0)?0? 例1 求曲線x?t? y?t2? z?t3在點(diǎn)(1? 1? 1)處的切線及法平面方程? 解 因?yàn)閤t??1? yt??2t? zt??3t2? 而點(diǎn)(1? 1? 1)所對(duì)應(yīng)的參數(shù)t?1? 所以 T ?(1? 2? 3)? 于是? 切線方程為 x?1?y?1?z? ? 123法平面方程為 (x?1)?2(y?1)?3(z?1)?0? 即x?2y?3z?6? 討論? 1? 若曲線?的方程為 y??(x)? z??(x)? 問其切線和法平面方程是什么形式? 提示? 曲線方程可看作參數(shù)方程? x?x? y??(x)? z??(x)? 切向量為T?(1? ??(x)? ??(x))? 2? 若曲線?的方程為 F(x? y? z)?0? G(x? y? z)?0? 問其切線和法平面方程又是什么形式?? 提示? 兩方程確定了兩個(gè)隱函數(shù)? y??(x)? z??(x)? 曲線的參數(shù)方程為 x?x? y??(x)? z??(x)? ?dy?dz?0F?F?Fxyz?dydzdxdx由方程組?可解得和?? dydzdxdx?Gx?Gy?Gz?0dxdx?dydz,)? dxdx 例2 求曲線x2?y2?z2?6? x?y?z?0在點(diǎn)(1? ?2? 1)處的切線及法平面方程? ? dy?dz?02x?2y?2z?dxdx?? 解 為求切向量? 將所給方程的兩邊對(duì)x求導(dǎo)數(shù)? 得?dy?1??dz?0?dxdx切向量為T?(1, 解方程組得dyz?xdzx?y??? ? ?dxy?zdxy?zdy?0? dz??1? dxdx從而T ?(1? 0? ?1)? 所求切線方程為 x?1?y?2?z?1 ? 10?1法平面方程為 (x?1)?0?(y?2)?(z?1)?0? 即x?z?0? 在點(diǎn)(1? ?2? 1)處? 二? 曲面的切平面與法線 設(shè)曲面?的方程為 F(x? y? z)?0? M0(x0? y0? z0)是曲面?上的一點(diǎn)? 并設(shè)函數(shù)F(x? y? z)的偏導(dǎo)數(shù)在該點(diǎn)連續(xù)且不同時(shí)為零? 在曲面?上? 通過點(diǎn)M0任意引一條曲線?? 假定曲線?的參數(shù)方程式為 x??(t)? y??(t)? z??(t)? t?t0對(duì)應(yīng)于點(diǎn)M0(x0? y0? z0)? 且??(t0)? ??(t0)? ??(t0)不全為零? 曲線在點(diǎn)的切向量為 T ?(??(t0)? ??(t0)? ??(t0))? 考慮曲面方程F(x? y? z)?0兩端在t?t0的全導(dǎo)數(shù)? Fx(x0? y0? z0)??(t0)?Fy(x0? y0? z0)??(t0)?Fz(x0? y0? z0)??(t0)?0? 引入向量 n?(Fx(x0? y0? z0)? Fy(x0? y0? z0)? Fz(x0? y0? z0))? 易見T與n是垂直的? 因?yàn)榍€?是曲面?上通過點(diǎn)M0的任意一條曲線? 它們?cè)邳c(diǎn)M0的切線都與同一向量n垂直? 所以曲面上通過點(diǎn)M0的一切曲線在點(diǎn)M0的切線都在同一個(gè)平面上? 這個(gè)平面稱為曲面?在點(diǎn)M0的切平面? 這切平面的方程式是 Fx(x0? y0? z0)(x?x0)?Fy(x0? y0? z0)(y?y0)?Fz(x0? y0? z0)(z?z0)?0? 曲面的法線? 通過點(diǎn)M0(x0? y0? z0)而垂直于切平面的直線稱為曲面在該點(diǎn)的法線? 法線方程為 x?x0y?y0z?z0? ??Fx(x0, y0, z0)Fy(x0, y0, z0)Fz(x0, y0, z0) 曲面的法向量? 垂直于曲面上切平面的向量稱為曲面的法向量? 向量 n?(Fx(x0? y0? z0)? Fy(x0? y0? z0)? Fz(x0? y0? z0))就是曲面?在點(diǎn)M0處的一個(gè)法向量? 例3 求球面x2?y2?z2?14在點(diǎn)(1? 2? 3)處的切平面及法線方程式? 解 F(x? y? z)? x2?y2?z2?14? Fx?2x? Fy?2y ? Fz?2z ? Fx(1? 2? 3)?2? Fy(1? 2? 3)?4? Fz(1? 2? 3)?6? 法向量為n?(2? 4? 6)? 或n?(1? 2? 3)? 所求切平面方程為 2(x?1)?4(y?2)?6(z?3)?0? 即x?2y?3z?14?0? y?2z?3?法線方程為x?1?? 3討論? 若曲面方程為z?f(x? y)? 問曲面的切平面及法線方程式是什么形式? 提示? 此時(shí)F(x? y? z)?f(x? y)?z ? n?(fx(x0? y0)? fy(x0? y0)? ?1) 例4 求旋轉(zhuǎn)拋物面z?x2?y2?1在點(diǎn)(2? 1? 4)處的切平面及法線方程? 解 f(x? y)?x2?y2?1? n?(fx? fy? ?1)?(2x? 2y? ?1)? n|(2? 1? 4)?(4? 2? ?1)? 所以在點(diǎn)(2? 1? 4)處的切平面方程為 4(x?2)?2(y?1)?(z?4)?0? 即4x?2y?z?6?0? x?2?y?1?z?4法線方程為 ? 42?1§8? 7 方向?qū)?shù)與梯度 一、方向?qū)?shù) 現(xiàn)在我們來討論函數(shù)z?f(x? y)在一點(diǎn)P沿某一方向的變化率問題? 設(shè)l是xOy平面上以P0(x0? y0)為始點(diǎn)的一條射線? el?(cos ?? cos ?)是與l同方向的單位向量? 射線l的參數(shù)方程為 x?x0?t cos ?? y?y0?t cos ?(t?0)? 設(shè)函數(shù)z?f(x? y)在點(diǎn)P0(x0? y0)的某一鄰域U(P0)內(nèi)有定義? P(x0?t cos ?? y0?t cos ?)為l上另一點(diǎn)? 且P?U(P0)? 如果函數(shù)增量f(x0?t cos ?? y0?t cos ?)?f(x0? y0)與P到P0的距離|PP0|?t的比值 f(x0?tco?s, y0?tcos?)?f(x0,y0) t當(dāng)P沿著l趨于P0(即t?t0?)時(shí)的極限存在? 則稱此極限為函數(shù)f(x? y)在點(diǎn)P0沿方向l的方向?qū)?shù)? 記作?f?l(x0,y0)? 即 ?f?l(x0,y0)?lim?t?0f(x0?tco?s, y0?tcos?)?f(x0,y0)? t 從方向?qū)?shù)的定義可知? 方向?qū)?shù) ?f?l(x0,y0)就是函數(shù)f(x? y)在點(diǎn)P0(x0? y0)處沿方向l的變化率? 方向?qū)?shù)的計(jì)算? 定理 如果函數(shù)z?f(x? y)在點(diǎn)P0(x0? y0)可微分? 那么函數(shù)在該點(diǎn)沿任一方向l 的方向?qū)?shù)都存在? 且有 ?f?l(x0,y0)?fx(x0,y0)co?s?fy(x0,y0)co?s? 其中cos ?? cos ?是方向l 的方向余弦? 簡(jiǎn)要證明? 設(shè)?x?t cos ?? ?y?t cos ?? 則 f(x0?tcos?? y0?tcos?)?f(x0? y0)?f x(x0? y0)tcos??f y(x0? y0)tcos??o(t)? 所以 f(x0?tco?s, y0?tcos?)?f(x0,y0) lim?fx(x0,y0)co?s?fy(x0,y0)sin?? tt?0?這就證明了方向?qū)?shù)的存在? 且其值為 ?f?l(x0,y0)?fx(x0,y0)co?s?fy(x0,y0)co?s??提示? f(x0??x,y0??y)?f(x0,y0)?fx(x0,y0)?x?fy(x0,y0)?y?o((?x)2?(?y)2)? ?x?t cos ?? ?y?t cos ??(?x)2?(?y)2?t? 討論? 函數(shù)z?f(x? y)在點(diǎn)P 沿x軸正向和負(fù)向? 沿y軸正向和負(fù)向的方向?qū)?shù)如何? 提示? ?f?f?? 沿x軸正向時(shí)? cos???? cos??0? ?l?x?f?f 沿x軸負(fù)向時(shí)? cos???1? cos??0? ??? ? ?l?x2y 例1 求函數(shù)z?xe在點(diǎn)P(1? 0)沿從點(diǎn)P(1? 0)到點(diǎn)Q(2? ?1)的方向的方向?qū)?shù)? 解 這里方向l即向量PQ?(1, ?1)的方向? 與l同向的單位向量為 el?(1, ?1)? 22? 因?yàn)楹瘮?shù)可微分? 且?z?x所以所求方向?qū)?shù)為 (1,0)?e2y?1? ?z(1,0)?y(1,0)?2xe2y(1,0)?2?? ?z?1?1?2?(?1)??2? ?l(1,0)22 2對(duì)于三元函數(shù)f(x? y? z)來說? 它在空間一點(diǎn)P0(x0? y0? z0)沿el?(cos ??? cos ??? cos ?)的方向?qū)?shù)為? ?f?l(x0,y0,z0)?lim?t?0f(x0?tco?s, y0?tcos?,z0?tco?s)?f(x0,y0,z0)? t 如果函數(shù)f(x? y? z)在點(diǎn)(x0? y0? z0)可微分? 則函數(shù)在該點(diǎn)沿著方向el?(cos ??? cos ??? cos ??的方向?qū)?shù)為 ?f?l(x0,y0,z0)?fx(x0? y0? z0)cos??fy(x0? y0? z0)cos??fz(x0? y0? z0)cos?? 例2求f(x? y? z)?xy?yz?zx在點(diǎn)(1? 1? 2)沿方向l的方向?qū)?shù)? 其中l(wèi)的方向角分別為60?? 45?? 60?? 解 與l同向的單位向量為 el?(cos60?? cos 45?? cos60???(1, 2, 1)??? 222????因?yàn)楹瘮?shù)可微分??且 fx(1? 1? 2)?(y?z)|(1? 1? 2)?3? fy(1? 1? 2)?(x?z)|(1? 1? 2)?3? fz(1? 1? 2)?(y?x)|(1? 1? 2)?2? 所以 ?f?l?3?1?3?2?2?1?1(5?32)? 2222(1,1,2) 二? 梯度 設(shè)函數(shù)z?f(x? y)在平面區(qū)域D內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)? 則對(duì)于每一點(diǎn)P0(x0? y0)?D? 都可確定一個(gè)向量 fx(x0? y0)i?fy(x0? y0)j? 這向量稱為函數(shù)f(x? y)在點(diǎn)P0(x0? y0)的梯度? 記作grad f(x0? y0)? 即 grad f(x0? y0)? fx(x0? y0)i?fy(x0? y0)j? 梯度與方向?qū)?shù)? ? 如果函數(shù)f(x? y)在點(diǎn)P0(x0? y0)可微分? el?(cos ??? cos ??)是與方向l同方向的單位向量? 則 ?f?l(x0,y0)?fx(x0,y0)co?s?fy(x0,y0)co?s? ? grad f(x0? y0)?el ?| grad f(x0? y0)|?cos(grad f(x0? y0)?^ el)? 這一關(guān)系式表明了函數(shù)在一點(diǎn)的梯度與函數(shù)在這點(diǎn)的方向?qū)?shù)間的關(guān)系? 特別? 當(dāng)向量el與grad f(x0? y0)的夾角??0? 即沿梯度方向時(shí)? 方向?qū)?shù) ?f?l取得 (x0,y0)最大值? 這個(gè)最大值就是梯度的模|grad f(x0? y0)|? 這就是說? 函數(shù)在一點(diǎn)的梯度是個(gè)向量? 它的方向是函數(shù)在這點(diǎn)的方向?qū)?shù)取得最大值的方向? 它的模就等于方向?qū)?shù)的最大值? ?f 討論? 的最大值? ??l 結(jié)論? 函數(shù)在某點(diǎn)的梯度是這樣一個(gè)向量? 它的方向與取得最大方向?qū)?shù)的方向一致? 而它的模為方向?qū)?shù)的最大值? 我們知道? 一般說來二元函數(shù)z?f(x? y)在幾何上表示一個(gè)曲面? 這曲面被平面z?c(c是常數(shù))所截得的曲線L的方程為 z?f(x,y) ?? ?z?c?這條曲線L在xOy面上的投影是一條平面曲線L*? 它在xOy平面上的方程為 f(x? y)?c? 對(duì)于曲線L*上的一切點(diǎn)? 已給函數(shù)的函數(shù)值都是c? 所以我們稱平面曲線L*為函數(shù)z?f(x? y)的等值線? 若f x? f y不同時(shí)為零? 則等值線f(x? y)?c上任一點(diǎn)P0(x0? y0)處的一個(gè)單位法向量為 n?1(fx(x0,y0),fy(x0,y0))? 22fx(x0,y0)?fy(x0,y0)這表明梯度grad f(x0? y0)的方向與等值線上這點(diǎn)的一個(gè)法線方向相同? 而沿這個(gè)方?f向的方向?qū)?shù)就等于|grad f(x0? y0)|? 于是 ?n?f grafd(x0,y0)?n? ?n 這一關(guān)系式表明了函數(shù)在一點(diǎn)的梯度與過這點(diǎn)的等值線、方向?qū)?shù)間的關(guān)系? 這說是說? 函數(shù)在一點(diǎn)的梯度方向與等值線在這點(diǎn)的一個(gè)法線方向相同? 它的指向?yàn)閺臄?shù)值較低的等值線指向數(shù)值較高的等值線? 梯度的模就等于函數(shù)在這個(gè)法線方向的方向?qū)?shù)? 梯度概念可以推廣到三元函數(shù)的情形? 設(shè)函數(shù)f(x? y? z)在空間區(qū)域G內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)? 則對(duì)于每一點(diǎn)P0(x0? y0? z0)?G? 都可定出一個(gè)向量 fx(x0? y0? z0)i?fy(x0? y0? z0)j?fz(x0? y0? z0)k? 這向量稱為函數(shù)f(x? y? z)在點(diǎn)P0(x0? y0? z0)的梯度? 記為grad f(x0? y0? z0)? 即 grad f(x0? y0? z0)?fx(x0? y0? z0)i?fy(x0? y0? z0)j?fz(x0? y0? z0)k? 結(jié)論? 三元函數(shù)的梯度也是這樣一個(gè)向量? 它的方向與取得最大方向?qū)?shù)的方向一致? 而它的模為方向?qū)?shù)的最大值? 如果引進(jìn)曲面 f(x? y? z)?c 為函數(shù)的等量面的概念? 則可得函數(shù)f(x? y? z)在點(diǎn)P0(x0? y0? z0)的梯度的方向與過點(diǎn)P0的等量面 f(x? y? z)?c在這點(diǎn)的法線的一個(gè)方向相同? 且從數(shù)值較低的等量面指向數(shù)值較高的等量面? 而梯度的模等于函數(shù)在這個(gè)法線方向的方向?qū)?shù)? 1? x2?y2 解 這里f(x,y)?212? x?y 例3 求grad 因?yàn)? ?f?f2y??22x22? ??222? ?x?y(x?y)(x?y)2y所以 gra d212??22x22i?222j? x?y(x?y)(x?y) 例4 設(shè)f(x? y? z)?x2?y2?z2? 求grad f(1? ?1? 2)? 解 grad f?(fx? fy? fz)?(2x? 2y? 2z)? 于是 grad f(1? ?1? 2)?(2? ?2? 4)? 數(shù)量場(chǎng)與向量場(chǎng)? 如果對(duì)于空間區(qū)域G內(nèi)的任一點(diǎn)M? 都有一個(gè)確定的數(shù)量f(M)? 則稱在這空間區(qū)域G內(nèi)確定了一個(gè)數(shù)量場(chǎng)(例如溫度場(chǎng)、密度場(chǎng)等)? 一個(gè)數(shù)量場(chǎng)可用一個(gè)數(shù)量函數(shù)f(M)來確定? 如果與點(diǎn)M相對(duì)應(yīng)的是一個(gè)向量F(M)? 則稱在這空間區(qū)域G內(nèi)確定了一個(gè)向量場(chǎng)(例如力場(chǎng)、速度場(chǎng)等)? 一個(gè)向量場(chǎng)可用一個(gè)?向量函數(shù)F(M)來確定? 而 F(M)?P(M)i?Q(M)j?R(M)k? 其中P(M)? Q(M)? R(M)是點(diǎn)M的數(shù)量函數(shù)? 利用場(chǎng)的概念? 我們可以說向量函數(shù)grad f(M)確定了一個(gè)向量場(chǎng)——梯度場(chǎng)? 它是由數(shù)量場(chǎng)f(M)產(chǎn)生的? 通常稱函數(shù)f(M)為這個(gè)向量場(chǎng)的勢(shì)? 而這個(gè)向量場(chǎng)又稱為勢(shì)場(chǎng)? 必須注意? 任意一個(gè)向量場(chǎng)不一定是勢(shì)場(chǎng)? 因?yàn)樗灰欢ㄊ悄硞€(gè)數(shù)量函數(shù)的梯度場(chǎng)?? 例5 試求數(shù)量場(chǎng)m所產(chǎn)生的梯度場(chǎng)? 其中常數(shù)m>0? rr?x2?y2?z2為原點(diǎn)O與點(diǎn)M(x? y? z)間的距離? ?r??mx? 解 ?(m)??m?xrr2?xr3my同理 ?(m)??3? ?(m)??mz? 3?yrr?zrrxi?yj?zk)? 從而 gramd??m(rrr2rr?yzx記er?i?j?k? 它是與OM同方向的單位向量? 則gradm??me? rrrrr2r 上式右端在力學(xué)上可解釋為? 位于原點(diǎn)O 而質(zhì)量為m 質(zhì)點(diǎn)對(duì)位于點(diǎn)M而質(zhì)量為l的質(zhì)點(diǎn)的引力? 這引力的大小與兩質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量的乘積成正比、而與它們的距平方成反比? 這引力的方向由點(diǎn)M指向原點(diǎn)? 因此數(shù)量場(chǎng)m的勢(shì)場(chǎng)即梯度場(chǎng) rgradm稱為引力場(chǎng)? 而函數(shù)m稱為引力勢(shì)? r r§8?8 多元函數(shù)的極值及其求法 一、多元函數(shù)的極值及最大值、最小值 定義 設(shè)函數(shù)z?f(x? y)在點(diǎn)(x0? y0)的某個(gè)鄰域內(nèi)有定義? 如果對(duì)于該鄰域內(nèi)任何異于(x0? y0)的點(diǎn)(x? y)? 都有 f(x? y) 則稱函數(shù)在點(diǎn)(x0? y0)有極大值(或極小值)f(x0? y0)? 極大值、極小值統(tǒng)稱為極值? 使函數(shù)取得極值的點(diǎn)稱為極值點(diǎn)? 例1 函數(shù)z?3x2?4y2在點(diǎn)(0? 0)處有極小值? ? 當(dāng)(x? y)?(0? 0)時(shí)? z?0? 而當(dāng)(x? y)?(0? 0)時(shí)? z?0? 因此z?0是函數(shù)的極小值? 例2 函數(shù)z??x2?y2在點(diǎn)(0? 0)處有極大值? ? 當(dāng)(x? y)?(0? 0)時(shí)? z?0? 而當(dāng)(x? y)?(0? 0)時(shí)? z?0? 因此z?0是函數(shù)的極大值? 例3 函數(shù)z?xy在點(diǎn)(0? 0)處既不取得極大值也不取得極小值? ? 因?yàn)樵邳c(diǎn)(0? 0)處的函數(shù)值為零? 而在點(diǎn)(0? 0)的任一鄰域內(nèi)? 總有使函數(shù)值為正的點(diǎn)? 也有使函數(shù)值為負(fù)的點(diǎn)? 以上關(guān)于二元函數(shù)的極值概念? 可推廣到n元函數(shù)? 設(shè)n元函數(shù)u?f(P)在點(diǎn)P0的某一鄰域內(nèi)有定義? 如果對(duì)于該鄰域內(nèi)任何異于P0的點(diǎn)P? 都有 f(P) 則稱函數(shù)f(P)在點(diǎn)P0有極大值(或極小值)f(P0)? 定理1(必要條件)設(shè)函數(shù)z?f(x? y)在點(diǎn)(x0? y0)具有偏導(dǎo)數(shù)? 且在點(diǎn)(x0? y0)處有極值? 則有 fx(x0? y0)?0? fy(x0? y0)?0? 證明 不妨設(shè)z?f(x? y)在點(diǎn)(x0? y0)處有極大值? 依極大值的定義? 對(duì)于點(diǎn)(x0? y0)的某鄰域內(nèi)異于(x0? y0)的點(diǎn)(x? y)? 都有不等式 f(x? y) 特殊地? 在該鄰域內(nèi)取y?y0而x?x0的點(diǎn)? 也應(yīng)有不等式 f(x? y0) 這表明一元函數(shù)f(x? y0)在x?x0處取得極大值? 因而必有 fx(x0? y0)?0? 類似地可證 fy(x0? y0)?0? 從幾何上看? 這時(shí)如果曲面z?f(x? y)在點(diǎn)(x0? y0? z0)處有切平面? 則切平面 z?z0?fx(x0? y0)(x?x0)? fy(x0? y0)(y?y0)成為平行于xOy坐標(biāo)面的平面z?z0? 類似地可推得? 如果三元函數(shù)u?f(x? y? z)在點(diǎn)(x0? y0? z0)具有偏導(dǎo)數(shù)? 則它在點(diǎn)(x0? y0? z0)具有極值的必要條件為 fx(x0? y0? z0)?0? fy(x0? y0? z0)?0? fz(x0? y0? z0)?0? 仿照一元函數(shù)? 凡是能使fx(x? y)?0? fy(x? y)?0同時(shí)成立的點(diǎn)(x0? y0)稱為函數(shù)z?f(x? y)的駐點(diǎn)? 從定理1可知? 具有偏導(dǎo)數(shù)的函數(shù)的極值點(diǎn)必定是駐點(diǎn)? 但函數(shù)的駐點(diǎn)不一定是極值點(diǎn)? ? 例如? 函數(shù)z?xy在點(diǎn)(0? 0)處的兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)都是零? 函數(shù)在(0? 0)既不取得極大值也不取得極小值? ? 定理2(充分條件) 設(shè)函數(shù)z?f(x? y)在點(diǎn)(x0? y0)的某鄰域內(nèi)連續(xù)且有一階及二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)? 又fx(x0? y0)?0? fy(x0? y0)?0? 令 fxx(x0? y0)?A? fxy(x0? y0)?B? fyy(x0? y0)?C? 則f(x? y)在(x0? y0)處是否取得極值的條件如下? (1)AC?B2>0時(shí)具有極值? 且當(dāng)A<0時(shí)有極大值? 當(dāng)A>0時(shí)有極小值? (2)AC?B2<0時(shí)沒有極值? (3)AC?B2?0時(shí)可能有極值? 也可能沒有極值? ?? 在函數(shù)f(x? y)的駐點(diǎn)處如果 fxx? fyy?fxy2>0? 則函數(shù)具有極值? 且當(dāng)fxx<0時(shí)有極大值? 當(dāng)fxx>0時(shí)有極小值? 極值的求法? 第一步 解方程組 fx(x? y)?0? fy(x? y)?0? 求得一切實(shí)數(shù)解? 即可得一切駐點(diǎn)? 第二步 對(duì)于每一個(gè)駐點(diǎn)(x0? y0)? 求出二階偏導(dǎo)數(shù)的值A(chǔ)、B和C? 第三步 定出AC?B2的符號(hào)? 按定理2的結(jié)論判定f(x0? y0)是否是極值、是極大值 還是極小值? 例4 求函數(shù)f(x? y)?x3?y3?3x2?3y2?9x 的極值? ?fx(x,y)?3x2?6x?9?0 解 解方程組?? 2f(x,y)??3y?6y?0?y求得x?1? ?3? y?0? 2? 于是得駐點(diǎn)為(1? 0)、(1? 2)、(?3? 0)、(?3? 2)? 再求出二階偏導(dǎo)數(shù) fxx(x? y)?6x?6? fxy(x? y)?0? fyy(x? y)??6y?6? 在點(diǎn)(1? 0)處? AC?B2?12?6>0? 又A>0? 所以函數(shù)在(1? 0)處有極小值f(1? 0)??5? 在點(diǎn)(1? 2)處? AC?B2?12?(?6)<0? 所以f(1? 2)不是極值? 在點(diǎn)(?3? 0)處? AC?B2??12?6<0? 所以f(?3? 0)不是極值? 在點(diǎn)(?3? 2)處? AC?B2??12?(?6)>0? 又A<0? 所以函數(shù)的(?3? 2)處有極大值 f(?3? 2)?31? 應(yīng)注意的問題? 不是駐點(diǎn)也可能是極值點(diǎn)? 例如? ? 函數(shù)z??x2?y2在點(diǎn)(0? 0)處有極大值? 但(0? 0)不是函數(shù)的駐點(diǎn)? 因此? 在考慮函數(shù)的極值問題時(shí)? 除了考慮函數(shù)的駐點(diǎn)外? 如果有偏導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)? 那么對(duì)這些點(diǎn)也應(yīng)當(dāng)考慮? 最大值和最小值問題? 如果f(x? y)在有界閉區(qū)域D上連續(xù)? 則f(x? y)在D上必定能取得最大值和最小值? 這種使函數(shù)取得最大值或最小值的點(diǎn)既可能在D的內(nèi)部? 也可能在D的邊界上? 我們假定? 函數(shù)在D上連續(xù)、在D內(nèi)可微分且只有有限個(gè)駐點(diǎn)? 這時(shí)如果函數(shù)在D的內(nèi)部取得最大值(最小值)? 那么這個(gè)最大值(最小值)也是函數(shù)的極大值(極小值)? 因此? 求最大值和最小值的一般方法是? 將函數(shù)f(x? y)在D內(nèi)的所有駐點(diǎn)處的函數(shù)值及在D的邊界上的最大值和最小值相互比較? 其中最大的就是最大值? 最小的就是最小值? 在通常遇到的實(shí)際問題中? 如果根據(jù)問題的性質(zhì)? 知道函數(shù)f(x? y)的最大值(最小值)一定在D的內(nèi)部取得? 而函數(shù)在D內(nèi)只有一個(gè)駐點(diǎn)? 那么可以肯定該駐點(diǎn)處的函數(shù)值就是函數(shù)f(x? y)在D上的最大值(最小值)? 例5 某廠要用鐵板做成一個(gè)體積為8m3的有蓋長(zhǎng)方體水箱? 問當(dāng)長(zhǎng)、寬、高各取多少時(shí)? 才能使用料最省? 8解 設(shè)水箱的長(zhǎng)為xm? 寬為ym? 則其高應(yīng)為m? 此水箱所用材料的面積為 xyA?2(xy?y?8?x?8)?2(xy?8?8)(x?0, y?0)? xyxyxy8)?0? 得x?2? y?2? A?2(x?令A(yù)x?2(y?8?)?0yy2x 2根據(jù)題意可知? 水箱所用材料面積的最小值一定存在? 并在開區(qū)域D?{(x? y)|x>0? y>0}內(nèi)取得? 因?yàn)楹瘮?shù)A在D內(nèi)只有一個(gè)駐點(diǎn)? 所以 此駐點(diǎn)一定是A的最小值點(diǎn)? 即當(dāng)水箱的長(zhǎng)為2m、寬為2m、高為8?2m時(shí)? 水箱所用的材料最省? ? 2?2? 因此A在D內(nèi)的唯一駐點(diǎn)(2? 2)處取得最小值? ?即長(zhǎng)為2m、寬為2m、高為8?2m時(shí)? 所用材料最省? ? 2?從這個(gè)例子還可看出? 在體積一定的長(zhǎng)方體中? 以立方體的表面積為最小?? 例6 有一寬為24cm的長(zhǎng)方形鐵板? 把它兩邊折起來做成一斷面為等腰梯形的水槽? 問怎樣折法才能使斷面的面積最大？? 解 設(shè)折起來的邊長(zhǎng)為xcm? 傾角為?? 那末梯形斷面的下底長(zhǎng)為24?2x? 上底長(zhǎng)為24?2x?cos?? 高為x?sin?? 所以斷面面積 A?1(24?2x?2xcos??24?2x)?xsin?? 2即A?24x?sin??2x2sin??x2sin? cos?(0 可見斷面面積A是x和?的二元函數(shù)? 這就是目標(biāo)函數(shù)? 面求使這函數(shù)取得最大值的點(diǎn)(x? ?)? 令A(yù)x?24sin??4xsin??2xsin? cos??0? A??24xcos??2x2 cos??x2(cos2??sin2?)?0? 由于sin? ?0? x?0? 上述方程組可化為 ?12?2x?xcos??0 ?? 2224co?s?2xco?s?x(co?s?sin?)?0?解這方程組? 得??60?? x?8cm? 根據(jù)題意可知斷面面積的最大值一定存在? 并且在D?{(x? y)|0 二、條件極值 拉格朗日乘數(shù)法 對(duì)自變量有附加條件的極值稱為條件極值? 例如? 求表面積為a2而體積為最大的長(zhǎng)方體的體積問題? 設(shè)長(zhǎng)方體的三棱的長(zhǎng)為x? y? z? 則體積V?xyz? 又因假定表面積為a2? 所以自變量x? y? z還必須滿足附加條件2(xy?yz?xz)?a2? ? 這個(gè)問題就是求函數(shù)V?xyz在條件2(xy?yz?xz)?a2下的最大值問題? 這是一個(gè)條件極值問題? 對(duì)于有些實(shí)際問題? 可以把條件極值問題化為無條件極值問題? ? 例如上述問題? ?由條件2(xy?yz?xz)?a2? 解得z?a?2xy? 于是得 2(x?y)2 V?xy(a?2xy)? 2(x?y)只需求V的無條件極值問題? 在很多情形下? 將條件極值化為無條件極值并不容易? 需要另一種求條件極值的專用方法? 這就是拉格朗日乘數(shù)法? 現(xiàn)在我們來尋求函數(shù)z?f(x? y)在條件?(x? y)?0下取得極值的必要條件? 如果函數(shù)z?f(x? y)在(x0? y0)取得所求的極值? 那么有 ?(x0? y0)?0? 假定在(x0? y0)的某一鄰域內(nèi)f(x? y)與?(x? y)均有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù)? 而?y(x0? y0)?0? 由隱函數(shù)存在定理? 由方程?(x? y)?0確定一個(gè)連續(xù)且具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)的函數(shù)y??(x)? 將其代入目標(biāo)函數(shù)z?f(x? y)? 得一元函數(shù) z?f [x? ?(x)]? 于是x?x0是一元函數(shù)z?f [x? ?(x)]的極值點(diǎn)? 由取得極值的必要條件? 有 dy?0? dzx?x0?fx(x0,y0)?fy(x0,y0)dxdxx?x0即 fx(x0,y0)?fy(x0,y0)?x(x0,y0)?0? ?y(x0,y0)從而函數(shù)z?f(x? y)在條件?(x? y)?0下在(x0? y0)取得極值的必要條件是 fx(x0,y0)?fy(x0,y0)?x(x0,y0)?0與?(x0? y0)?0同時(shí)成立? ?y(x0,y0)fy(x0,y0) 設(shè)???? 上述必要條件變?yōu)?/p> ?y(x0,y0)?fx(x0,y0)???x(x0,y0)?0? ?fy(x0,y0)???y(x0,y0)?0? ???(x0,y0)?0 拉格朗日乘數(shù)法? 要找函數(shù)z?f(x? y)在條件?(x? y)?0下的可能極值點(diǎn)? 可以先構(gòu)成輔助函數(shù) F(x? y)?f(x? y)???(x? y)? 其中?為某一常數(shù)? 然后解方程組 ?Fx(x,y)?fx(x,y)???x(x,y)?0? ?Fy(x,y)?fy(x,y)???y(x,y)?0? ???(x,y)?0由這方程組解出x? y及?? 則其中(x? y)就是所要求的可能的極值點(diǎn)? 這種方法可以推廣到自變量多于兩個(gè)而條件多于一個(gè)的情形? 至于如何確定所求的點(diǎn)是否是極值點(diǎn)? 在實(shí)際問題中往往可根據(jù)問題本身的性質(zhì)來判定? 例7 求表面積為a2而體積為最大的長(zhǎng)方體的體積? 解 設(shè)長(zhǎng)方體的三棱的長(zhǎng)為x? y? z? 則問題就是在條件 2(xy?yz?xz)?a2 下求函數(shù)V?xyz的最大值? 構(gòu)成輔助函數(shù) F(x? y? z)?xyz??(2xy ?2yz ?2xz ?a2)? 解方程組 ?Fx(x,y,z)?yz?2?(y?z)?0??Fy(x,y,z)?xz?2?(x?z)?0?F(x,y,z)?xy?2?(y?x)?0? ?z2??2xy?2yz?2xz?a得x?y?z?6a? 6這是唯一可能的極值點(diǎn)? 因?yàn)橛蓡栴}本身可知最大值一定存在? ?所以最大值就在這個(gè)可能的值點(diǎn)處取得? 此時(shí)V?6a3?第五篇：高等數(shù)學(xué)教案ch 8.4～8.8
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