第一篇：高等數學教案ch 8.2 偏導數

§8?2

偏導數

一、偏導數的定義及其計算法

對于二元函數z?f(x? y)? 如果只有自變量x 變化? 而自變量y固定? 這時它就是x的一元函數? 這函數對x的導數? 就稱為二元函數z?f(x? y)對于x的偏導數?

定義

設函數z?f(x? y)在點(x0? y0)的某一鄰域內有定義? 當y固定在y0而x在x0處有增量?x時? 相應地函數有增量

f(x0??x? y0)?f(x0? y0)?

如果極限

lim?x?0f(x0??x,y0)?f(x0,y0)?x

存在? 則稱此極限為函數z?f(x? y)在點(x0? y0)處對x的偏導數? 記作

?z?xx?x0y?y0?

?f?xx?x0y?y0? zxx?x0y?y0? 或fx(x0,y0)?

例如：

fx(x0,y0)?limf(x0??x,y0)?f(x0,y0)?x?x?0?

類似地? 函數z?f(x? y)在點(x0? y0)處對y 的偏導數定義為

lim?y?0f(x0,y0??y)?f(x0,y0)?y?

記作 ?z?yx?x0y?y0? ?f?yx?x0y?y0? zyx?x0y?y0? 或fy(x0? y0)?

偏導函數?

如果函數z?f(x? y)在區域D內每一點(x? y)處對x的偏導數都存在? 那么這個偏導數就是x、y的函數? 它就稱為函數z?f(x? y)對自變量x的偏導函數? 記作

?z?x?

?f?x? zx? 或fx(x,y)?

偏導函數的定義式? fx(x,y)?lim?x?0f(x??x,y)?f(x,y)?

?x

類似地? 可定義函數z?f(x? y)對y的偏導函數? 記為

?z?y? ?f?y? zy ? 或fy(x,y)?

偏導函數的定義式? fy(x,y)?lim求?f?x?y?0f(x,y??y)?f(x,y)?y?

?f?y時? 只要把y暫時看作常量而對x求導數? 求時? 只要把x暫時看作常量而對y求導數?

討論? 下列求偏導數的方法是否正確？?

fx(x0,y0)?fx(x,y)x?x0? fy(x0,y0)?fy(x,y)x?x0? ?y?y0y?y0

fx(x0,y0)?[df(x,y0)]x?x? fy(x0,y0)?[df(x0,y)]y?y?

dx0dy0

偏導數的概念還可推廣到二元以上的函數??例如三元函數u?f(x? y? z)在點(x? y? z)處對x的偏導數定義為

fx(x,y,z)?lim?x?0f(x??x,y,z)?f(x,y,z)?

?x其中(x? y? z)是函數u?f(x? y? z)的定義域的內點? 它們的求法也仍舊是一元函數的微分法問題?

例1 求z?x2?3xy?y2在點(1? 2)處的偏導數?

?z?z?3x?2y?

解 ?z?2x?3y?

?x?y?xx?1?2?1?3?2?8? y?2?z?yx?1y?2?3?1?2?2?7?

例2 求z?x2sin 2y的偏導數?

?z?2x2cos2y?

解 ?z?2xsin2y?

?x?y 例3 設z?xy(x?0,x?1)? 求證?

?z?xylnx??

證 ?z?yxy?1?

x?z1?z??2zy?xlnx?y?

?x?y

x?z1?zx??yxy?xlnx?yyy?1?1xylnx?xy?xy?2zlnx?

例4 求r?x2?y2?z2的偏導數?

解 ?r??xxx?y?z222?xr? ?r??yyx?y?z222?yr?

例5 已知理想氣體的狀態方程為pV=RT(R為常數)? ?

求證? ?p?V?T????1?

?V?T?p?pRT 證 因為p?RT? ??2? ?V?VV

V?RT? ?V?R?

p?Tp

T?所以pV? ?T?V?

?pRR?p?V?TRTRVRT????2??????1?

?V?T?ppRpVV

例5 說明的問題? 偏導數的記號是一個整體記號? 不能看作分子分母之商?

二元函數z?f(x? y)在點(x0? y0)的偏導數的幾何意義? ?

fx(x0? y0)?[f(x? y0)]x?是截線z?f(x? y0)在點M0處切線Tx對x軸的斜率?

fy(x0? y0)?[f(x0? y)]y?是截線z?f(x0? y)在點M0處切線Ty對y軸的斜率?

偏導數與連續性? 對于多元函數來說? 即使各偏導數在某點都存在? 也不能保證函數在該點連續? 例如

?xy22 x ?y?0? f(x,y)??x?y2

2? 2?0?0 x ? y在點(0? 0)有? fx(0? 0)?0? fy(0? 0)?0? 但函數在點(0? 0)并不連續?

提示?

f(x, 0)?0? f(0, y)?0?

d

fx(0, 0)?d[f(x, 0)]?0? fy(0, 0)?[f(0, y)]?0?

dxdy

當點P(x? y)沿x軸趨于點(0? 0)時? 有

lim(x,y)?(0,0)f(x,y)?limf(x, 0)?lim0?0?

x?0x?0

當點P(x? y)沿直線y?kx趨于點(0? 0)時? 有

lim(x,y)?(0,0)y?kxkx2k?lim2?2222x?0x?kxx?y1?k2xy? ?

因此? lim(x,y)?(0,0)f(x,y)不存在? 故函數f(x? y)在(0? 0)處不連續?

類似地? 可定義函數z?f(x? y)對y的偏導函數? 記為

?f

?z? ? zy ? 或fy(x,y)?

?y?y偏導函數的定義式? fy(x,y)?lim

二?

高階偏導數

?y?0f(x,y??y)?f(x,y)?y?

設函數z?f(x? y)在區域D內具有偏導數

?z?fx(x,y)? ?x

?z?fy(x,y)? ?y

那么在D內fx(x? y)、fy(x? y)都是x? y 的函數? 如果這兩個函數的偏導數也存在? 則稱它們是函數z?f(x? y)的二偏導數? 按照對變量求導次序的為同有下列四個二階偏導數

如果函數z?f(x? y)在區域D內的偏導數fx(x? y)、fy(x? y)也具有偏導數?

則它們的偏導數稱為函數z?f(x? y)的二階偏導數? 按照對變量求導次序的 不同有下列四個二階偏導數

??z?2z??z?2z()??fxy(x,y)()?2?fxx(x,y)?

?y?x?x?y?x?x?x?

??z?2z??z?2z()??fyx(x,y)?

()?2?fyy(x,y)?

?x?y?y?x?y?y?y

??z?2z??z?2z?fxy(x,y)?()??fyx(x,y)稱為混合偏導數? ?其中()??y?x?x?y?x?y?y?x??z?2z()?2?x?x?x2??z?2z??z?2z()?()?? ? ? ?(?z)??z?

?2?y?x?x?y?x?y?y?x?y?y?y 同樣可得三階、四階、以及n 階偏導數? ? 二階及二階以上的偏導數統稱為高階偏導數?

例6 設z?xy?3xy?xy?1? 32

3?2z求2?x?3z、3?x?2z?2z、和?

?y?x?x?y

解 ?z?3x2y2?3y3?y? ?z?2x3y?9xy2?x?

?x?y2?3z2

?z? ?6xy?6y2?

32?x?x?2z?2z22

?6xy?9y?1? ?6x2y?9y2?1? ??x?y?y?x

?2z?2z?由例6觀察到的問題?

?y?x?x?y?2z?2z

定理 如果函數z?f(x? y)的兩個二階混合偏導數及在區域D內連續?

?y?x?x?y那么在該區域內這兩個二階混合偏導數必相等?

類似地可定義二元以上函數的高階偏導數?

2?2z 例7 驗證函數z?lnx2?y2滿足方程?z??0?

22?x?y 證 因為z?lnx2?y2?1ln(x2?y2)? 所以

?z??xxx2?y2? ?z??yyx?y22?

22y2?x2?2z(x?y)?x?2x??2?x2(x2?y2)2(x?y2)2?

22x2?y2?2z(x?y)?y?2y??2?y2(x2?y2)2(x?y2)2?

x2?y2y2?x2?2z?2z因此 2?2?222?222?0?

?x?y(x?y)(x?y)

例8．證明函數u?1r?2u?2u?2u滿足方程2?2?2?0?

?x?y?z 其中r?x2?y2?z2?

證? ?u??12??r??12?x??x3?

?xr?xrrr

同理

?2u13x?r13x2??3?4???3?5?x2rr?xrr?

?2u13y???523?yrr2213z2? ?u???5?

23?zrr2?2u?2u?2u13x213y13z2因此2?2?2?(?3?5)?(?3?5)?(?3?5)?x?y?zrrrrrr22233(x?y?z)33r2??3???3?5?0rr5rr

?

2?x提示? ?u?(?)??23?x?xrr3?x??3?r(r)r3?x?3r2?x?x?

??66rr

第二篇：高等數學偏導數第三節題庫

【090301】【計算題】【較易0.3】【全微分】【全微分的定義】 【試題內容】求函數z?arctan【試題答案及評分標準】

x?y的全微分。1?xyz?arctanx?y?arctanx?arctany??

1?xy?z1?,?x1?x2dz??z1 ??y1?y2

（8分）

11dx?dy

221?x1?y

（10分）

或dz?1?x?y?1????x?y?

2?(1?xy)(dx?dy)?(x?y)(?ydx?xdy)2(1?xy)

（8分）（10分）

?11dx?dy

221?x1?y【090302】【計算題】【較易0.3】【全微分】【全微分的定義】 【試題內容】求函數z?ln(x?y?e)的全微分。【試題答案及評分標準】

22xy?z2x?yexy?,?xx2?y2?exydz??z2y?xexy ??yx2?y2?exy

（8分）

1(2x?yexy)dx?(2y?xexy)dy 22xyx?y?e??（10分）

【090303】【計算題】【較易0.3】【全微分】【全微分的定義】 【試題內容】求函數u?x【試題答案及評分標準】

yz的全微分。

lnu?yzlnx

z?u1?u?yz??yzxy?1

?xx

（2分）（5分）z?u?z?yz?1?xy?lnx ?y ?uzyz?y?x?lnx?lny

?z

z

z（8分）

du?yzxy z?1dx?z?yz?1?xy?lnxdy?yz?xy?lnx?lnydz

（10分）

【090304】【計算題】【較易0.3】【全微分】【全微分的定義】 【試題內容】設u?arccosx，求du。

x2?y2【試題答案及評分標準】

u?x2?y2?1x2??yx?y??????x2?y2?(x2?y2)3/2??x2?y2u??x2?y2?y???xy?xsgnyy(x2?y2)3/2???x2?y2

du?sgnyx2?y2(?ydx?xdy)

【090305】【計算題】【較易0.3】【全微分】【全微分的定義】 【試題內容】設u?arcsinxu。

x2?y2，求d【試題答案及評分標準】

2ux2?yy???1??x2???yx??x2?y2(x2?y2)3/2??x2?y2 ux2?y2?y????xy??xsgnyy(x2?y2)3/2???x2?y2

du?sgnyx2?y2(ydx?xdy)

【090306】【計算題】【較易0.3】【全微分】【全微分的定義】 【試題內容】求函數u?xyyzzx的全微分。【試題答案及評分標準】

?u?x?yxy?1yzzx?xyyzzxlnz?xyyzzx(yx?lnz)

?u?xyyzzxlnx?xyz?yzyz?1zx?xyyzzx(y?lnx)

4分）8分）10分）4分）8分）10分）3分）6分）（（

（

（（

（

（（?ux?xyyzzxlny?xyyzxzx?1?xyyzzx(?lny)

?zz（9分）

?y?zx du?xyyzzx?(?lnz)dx?(?lnx)dy?(?lny)dz?（10分）

yz?x?【090307】【計算題】【較易0.3】【全微分】【全微分的定義】 【試題內容】設u?arccos【試題答案及評分標準】

yz，求du。x?u??x1?yz?1????x??1?yz?1????x?22?yzyz ?222x2xx?yzxzz??

222xxx?yz

（3分）

?u??y?

（6分）

?xy?u?

222?zxx?yz

（9分）

du??yzxzxy?dy?dz?

?dx?222xx?x?yz?x1（10分）

【090308】【填空題】【較易0.3】【全微分】【全微分的定義】 【試題內容】設f(x,y)?【試題答案及評分標準】

x2?y2，則df= ———。

（10分）

xdx?ydyx?y22【090309】【填空題】【較易0.3】【全微分】【全微分的定義】 【試題內容】設z?xy?x?e，則dz= ———。

【試題答案及評分標準】(3xy?2x)dx?(2xy?e)dy

10分 【090310】【填空題】【較易0.3】【全微分】【全微分的定義】 【試題內容】設z?(1?x)，則dz= ———。【試題答案及評分標準】y(1?x)y?1y223y322ydx?(1?x)yln(1?x)dy 10分

【090311】【填空題】【較易0.3】【全微分】【全微分的定義】

?x?【試題內容】設u(x,y,z)???，則du(1,2,3)= ———。

?y?z【試題答案及評分標準】

331dx?dy?ln2dz（10分）8168【090312】【填空題】【較易0.3】【全微分】【全微分的定義】 【試題內容】設f(x,y,z)?ln(xy?z)，則df(1,2,0)= ———。【試題答案及評分標準】dx?11dy?dz（10分）22x2?y2)，則du= ———。【090313】【填空題】【較易0.3】【全微分】【全微分的定義】 【試題內容】設u(x,y)?ln(x?【試題答案及評分標準】

1x?y22(dx?yx?x?y22dy)10分

【090314】【填空題】【較易0.3】【全微分】【全微分的定義】 【試題內容】設z?xyex?y，則dz= ———。

x?y【試題答案及評分標準】e?y(1?x)dx?x(1?y)dy?

（10分）

【090315】【填空題】【較易0.3】【全微分】【全微分的定義】 【試題內容】設u(x,y)?x?y，則du= ———。x?y2(?ydx?xdy)（10分）

(x?y)2【試題答案及評分標準】【090316】【填空題】【較易0.3】【全微分】【全微分的定義】 【試題內容】設u?cosh(xy)?cos(xy)，則du= ———。【試題答案及評分標準】?sinh(xy)?sin(xy)?(ydx?xdy)【090317】【填空題】【較易0.3】全微分】【全微分的定義】 【試題內容】設u?ln(xy)?tanh(x?y)，則du= ———。

（10分）

【試題答案及評分標準】??1??1?11?dx?????dy（10分）22?xcosh(x?y)??ycosh(x?y)?【090318】【填空題】【較易0.3】【全微分】【全微分的定義】 【試題內容】設z?exy?cosexy，則dz= ———。

xyxy【試題答案及評分標準】e(1?sine)(ydx?xdy)

（10分）

【090319】【討論題】【較易0.3】【全微分】【全微分的定義】

?x2y?【試題內容】研究函數z(x,y)??x4?y2?0?是否存在？

【試題答案及評分標準】

x4?y2?0x4?y2?0在點（0，0）處的全微分

?z?x(0,0)?lim?x?0f(?x,0)?f(0,0)?0

?x

（3分）?z?y(0,0)?lim?y?0f(0,?y)?f(0,0)?0

?y??z?z????x?zdx?(0,0)?y?(?x)2?y(0,0)dy??42?(?x)?(?y)(?x)2?(?y)2

（5分）

?(?x)2?y?lim?x?0?(?x)4?(?y)2????y?0取?x??y，上式=lim?x?0?(?x)(?x)34?(?x)2?2?x??1?0 2

故函數z(x,y)在點（0，0）處不可微。

函數在（0，0）點全微分不存在。

（10分）【090320】【討論題】【較易0.3】【全微分】【全微分的定義】 【試題內容】討論：函數f(x,y)?x2?y2在點（0，0）處是否可微？

?xf(?x,0)?f(0,0)?lim【試題答案及評分標準】lim不存在

?x?0?x?0?x?x（5分）

fx(0,0)不存在，故函數f(x,y)?x2?y2在點（0，0）處不可微。

（10分）

【090321】【討論題】【較易0.3】【全微分】【全微分的定義】

【試題內容】設f(x,y)?x?sinxy，試研究（0，0）處的全微分是否存在？

【試題答案及評分標準】因lim

x?0

xx

不存在，即fx(0,0)不存在

10分

8分

故f(x,y)在（0，0）全微分不存在。

【090322】【討論題】【較易0.3】【全微分】【全微分的定義】【偏導數】

1?22x?ysin,?22【試題內容】討論函數f(x,y)??x?y??0處的連續性，可導性和可微性。

【試題答案及評分標準】

x2?y2?0x2?y2?0在點（0，0）limf(x,y)?limx2?y2sinx?0y?0x?0y?01?0?f(0,0)

x2?y2

（3分）f(x,y)在點（0，0）連續

?x?0lim?xf(0??x,0)?f(0,0)1 ?limsin2?x?0?x?x?x()

（7分）極限不存在，f(x,y)在（0，0）處不可導

從而在（0，0）處不可微。

（10分）

【090323】【討論題】【較易0.3】【全微分】【全微分的定義】【偏導數】

xy?,?2【試題內容】函數f(x,y)??x?y2??0否存在？在點（0，0）是否可微？為什么？

【試題答案及評分標準】

x2?y2?0x2?y2?0在點（0，0）的兩個偏導數是fx(0,0)?limx?0f(x,0)?f(0,0)0?0?lim?0 x?0xx（5分）fy(0,0)?0，故f在（0，0）的兩個偏導數存在。

因limf(x,y)?y?xx?01?f(0,0)，故f在（0，0）點不連續，從而不可2微。

（10分）【090324】【討論題】【較易0.3】【全微分】【全微分的定義】【偏導數】 【試題內容】已知?(x)可微，求A(x)使d?{sin[x?(x)]}?A(x)dx。【試題答案及評分標準】記u?x?(x),t?sinu?sin(x?(x))

（3分）（5分）（8分）d?[sin(x?(x))]???(t)dt ???(t)cosudu

???(t)cos[x?(x)][?(x)?x??(x)]dx

所以 A(x)???(t)[?(x)?x??(x)]cos[x?(x)]

（10分）

【090325】【證明題】【較難0.7】【全微分】【全微分的定義】【偏導數】

xy??【試題內容】試證：f(x,y)??x2?y2?0?在，但是不可微。

【試題答案及評分標準】lim同理，fy(0,0)?0

?x?0(x,y)?(0,0)(x,y)?(0,0)在點（0，0）處偏導數存

f(?x,0)?f(0,0)?0?fx(0,0)

?x

（4分）

記???z?fx(0,0)?x?fy(0,0)?y??z 則

lim??z?x??y?lim?lim不存在（8分）?x?0?x?0(?x)2?(?y)222??0?(?x)?(?y)?y?0?y?0f(x,y)在（0，0）處不可微。

（10分）

【090326】【證明題】【較難0.7】【全微分】【全微分的定義】【偏導數】

1?22(x?y)sin?【試題內容】試證：函數f(x,y)??x2?y2??0處可微。

【試題答案及評分標準】

x2?y2?0x2?y2?0在點（0，0）fx(0,0)?lim?x?0f(?x,0)?f(0,0)1?lim?xsin?0（2分）2?x?0?x(?x)fy(0,0)?lim?y?0f(0,?y)?f(0,0)1?lim?ysin?0（4分）?y?0?y(?y)2?f?fx(0,0)?x?fy(0,0)?y(?x)?(?y)22??(?x)2?(?y)2sin?1(?x)2?(?y)2(?x)2?(?y)2?(?x)2?(?y)2????0

?x?0?y?0

（8分）

f(x,y)在點（0，0）處可微。

（10分）

【090327】【證明題】【較難0.7】【全微分】【全微分的定義】【偏導數】

?x3?y3?【試題內容】試證：f(x,y)??x2?y2??0在，但不可微。

【試題答案及評分標準】

(x,y)?(0,0)(x,y)?(0,0)在原點（0，0）處偏導數存f(?x,0)?f(0,0)(?x)3lim?lim?1?fx(0,0)3?x?0?x?0?x(?x)同理，fy(0,0)??1

分）

（4f(x,y)在（0，0）偏導數存在。

lim?x?0?y?0?f?fx(0,0)?x?fy(0,0)?y2??(?x)?(?y)21/2???lim?x??y(?x??y)?x?0?y?0?(?x)2?(?y)23/2?（6分）

(?x)3k(1?k)k(1?k)?lim?，故二重極限不存在 23/2?x?0(?x)3(1?k2)3/2(1?k)?y?k?x（8分）

f(x,y)在（0，0）處不可微。

（10分）

【090328】【證明題】【較難0.7】【全微分】【全微分的定義】【偏導數】

1?22x?ysin?【試題內容】試證：f(x,y)??x2?y2??0??x2?y2?0x2?y2?0的偏導數fx(x,y)及fy(x,y)在點（0，0）的鄰域內存在，但它們在（0，0）處均不連續。【試題答案及評分標準】

?x?0limf(?x,0)?f(0,0)1?lim(?x)sin?0?fx(0,0)2?x?0?x(?x)當(x,y)?(0,0)時，（3分）

fx(x,y)?2xsin12x1?cos 222222x?yx?yx?y（5分）

又

121??lim2xsin?cos??不存在(x,y)?(0,0)?x2xx2?y?0故fx(x,y)在（0，0）處不連續

（8分）（10分）同理可證：fy(x,y)在（0，0）處不連續

【090329】【證明題】【較難0.7】【全微分】【全微分的定義】【偏導數】 【試題內容】證明：z?xy在（0，0）處連續，偏導數存在，但不可微。

【試題答案及評分標準】由0?xy?x2?y2，得 2limf(x,y)?limxy?0?f(0,0),f(x,y)在（0，0）處連續。

x?0x?0y?0y?0

?x?0

（3分）

limf(?x,0)?f(0,0)?0?fx(0,0)

?x（5分）同理，fy(0,0)?0,f(x,y)在（0，0）處偏導數存在

lim?x?0?y?0?z?fx(0,0)?x?fy(0,0)?y(?x)?(?y)

22???lim

?x?y(?x)?(?y)

22?x?0?y?0，不存在

（8分）

f(x,y)在（0，0）處不可微。

（10分）

【090330】【證明題】【較難0.7】【全微分】【全微分的定義】【偏導數】

y??xsin(4arctan)【試題內容】證明：f(x,y)??x??0但不可微。

x?0x?0在點（0，0）處偏導數存在，f(?x,0)?f(0,0)?0?fx(0,0)?x?0?x【試題答案及評分標準】

f(0,?y)?f(0,0)lim?0?fy(0,0)?y?0?ylimf(x,y)在（0，0）處偏導數存在。

（4分）

（6分）?f?fx(0,0)?x?fy(0,0)?y??xsin(4arctan?y)

?x?x?sin(4arctan?x?0?y?0lim?y)?x?lim?x?sin(4arctank)

?x?02(?x)2?(?y)2?x1?k?y?k?x，故二重極限不存在

（8分）??sin(4arctank)1?k2f(x,y)在（0，0）處不可微。

（10分）

【090331】【證明題】【較難0.7】【全微分】【全微分的定義】【多元函數的連續性】 【試題內容】證明：若z?f(x,y)在點P0(x0,y0)處可微分，則它在該點處必連續。【試題答案及評分標準】由z?f(x,y)在點P0(x0,y0)可微，則有

?z??z?z?x??y?o(?)?x?y

（5分）

其中 ??(?x)2?(?y)2

?x?0?y?0當?x?0,?y?0時，??0，從而lim?z?0

（8分）

即z?f(x,y)在點P0(x0,y0)處連續。

（10分）

【090332】【填空題】【較易0.3】【全微分】【全微分的定義】【隱函數的求導公式】 【試題內容】設函數z?z(x,y)由方程x?y?z?3xyz?1所確定，則全微分dz= ———。

【試題答案及評分標準】

3331(yz?x2)dx?(xz?y2)dy

10分 2z?xy??【090333】【填空題】【較易0.3】【全微分】【全微分的定義】【隱函數的求導公式】 【試題內容】由方程xyz?處的全微分dz= ———。

【試題答案及評分標準】dx?2dy

10分

x2?y2?z2?2所確定的函數z?z(x,y)在點（1，0，－1）

第三篇：求偏導數的方法小結

求偏導數的方法小結

（應化2，聞庚辰，學號：130911225）

一，一般函數：

計算多元函數的偏導數時，由于變元多，往往計算量較大． 在求某一點的偏導數時，一般的計算方法是，先求出偏 導函數，再代人這一點的值而得到這一點的偏導數． 我們發 現，把部分變元的值先代人函數中，減少變元的數量，再計 算偏導數，可以減少運算量。

求函數f(x,y)在點（a,b）處的偏導數f’x(a,b)及f’y(a,b)的方法是： 1)先求出偏導數的函數式，然后將（a,b）代入計算即可.2)先求出g(x)=f(x,b)和h(y)=f(a,y),再求出g’(b),h’(a)便得到f’x(a,b)和f’y(a,b).3)若函數f(x,y)是分段函數則一般采用定義來做.復合具體函數的導數求解:

?z?zx=?u 基本法則：??u?z?x+?v?u?y?v?x

?v?y ?z?y?zu=??zv+?

其本質與一元函數的求導法則是一樣的，只不過是將暫時不求的變量看成常量而已。

例1 ：z=f(x,y)=(x+y)xy,求f’x（1，1），f’y（1，0）；

法一：設u=x+y,v=xy,則z=uv函數的復合關系為：z是u,v的函數，u,v分別是x,y的函數.?z?zx=?u 則：??u?z?x+?v?v?x

=xy(x+y)xy-1+y(x+y)xyln(x+y)=y(x+y)[xy

x(x?y)+ln(x+y)] f(x,y)= y(x+y)[’xxy

x(x?y)+ln(x+y)] 所以：f’x(1,1)=1+2ln2 由于f(x,y)的表達式中的 x,y依次輪換，即x換y成，同時將換y成x，表達式不變，這叫做函數f(x,y)對自變量x,y交換具有輪換對稱性。具有輪換對稱性的函數，只要在f’x的表達式中將x,y調換即得到f’y。即：f’y（x,y）= y(x+y)[xyx(x?y)+ln(x+y)] 所以f’y（1，0）=0 法二：由于和一元函數的求導的實質是一樣的。我們可以不引入中間變量，對某一自變量求導時，只要把其他自變量看成常數即可。如： Lnz=xyln(x+y)上式兩邊求導得： z?zx?x=y[ln(x+y)+(x?y)] ?zxx=z y[ln(x+y)+(x?y)] 從而：?所以：f’x(1,1)=1+2ln2 有函數的對稱輪換性得：f’y（1，0）=0 例三：我們也可以利用全微分的不變性來解題。

?z?zyx+? 設z=eusin(v),而u=xy,v=x+y。求?在（1，1）處的值。dz=d(eusin(v))= eusin(v)du+eucos(v)dv du=d(xy)=ydx+xdy dv=d(x+y)=dx+dy 代入后合并同類項得：

dz=(eusin(v)y+eucos(v))dx+(eusin(v)x+ eucos(v))dy將點（1，1）代入得：

?z?zyx+? ?=2e(sin2+cos2).二，隱函數的求偏導。求隱函數的偏導時，我們一般有兩種方法選擇：

1)公式法

2)對函數兩邊直接求導。（但必須明確誰是誰的函數）。然后按復合函數求導法則來求。

例一：方程組{x?y?z?ox2?y2?z2?a2（注：x2為x的平方）

法一：題中有3個自變量，明確了x=x(z),y=x(z),既z是自變量。我們可以利用公式求但比較繁。我們可以采用下面的方法： 法二：對方程組兩邊對求z導得：

{ dx?dy?1?0dzdzdyzxdx?2y?2z?0dzdz

求得此解得： dxdzy?zdyz?x=x?y，dz=x?y

第四篇：高等數學教案

-----[xn?1 , xn]，A??A1??A2????An，?xi?xi?xi?1(i?1 , 2 , ? , n).②在每個小區間[xi?1 , xi]上任取一點?i，?Ai?f(?i)??xi，A??f(?i)?xi.i?1n③??max{?x1 , ?x2 , ? , ?xn}.A?lim?f(?i)?xi.??0i?

1-----高等數學教案-----

n2.變速直線運動的路程: 設速度v?v(t)是時間間隔[T1 , T2]上t的連續函數，路程記為s.①把區間[T1 , T2]分成n個小區間:，…，[t0 , t1] [tn?1 , tn]，[t1 , t2]，s??s1??s2????sn，?ti?ti?ti?1(i?1 , 2 , ? , n).②在每個小區間[ti?1 , ti]上任取一點?i，?si?v(?i)??ti，-----高等數學教案-----s??v(?i)?ti.i?1n③??max{?t1 , ?t2 , ? , ?tn}.s?lim?v(?i)?ti.??0i?1n3.定積分定義: 設y?f(x)在[a , b]上有界.①把區間[a , b]分成n個小區間:，[x1 , x2]，…，[x0 , x1]

[xn?1 , xn]，-----高等數學教案-----?xi?xi?xi?1(i?1 , 2 , ? , n).②在每個小區間[xi?1 , xi]上任取一點?i，?f(?i)?xi.i?1n③??max{?x1 , ?x2 , ? , ?xn}.如果

lim?f(?i)?xi

??0i?1n存在，且此極限不依賴于對區間[a , b]的分法和在[xi?1 , xi]上

-----高等數學教案-----

則稱此極限為f(x)?i點的取法，在[a , b]上的定積分，記為

f(?i)?xi.??af(x)dx?lim??0bi?1n注意：定積分? af(x)dx只與被積函數f(x)﹑積分區間[a , b]有關，而與積分變量用什么字母表示無關，即

b? af(x)dx?? af(t)dt?? af(u)du b b b.4.(必要條件).如果f(x , y)在D上可積，則f(x , y)在D上

-----高等數學教案-----有界.5.(充分條件): ①如果f(x)在[a , b]上連續，則f(x)在[a , b]上可積.②如果f(x)在[a , b]上有界，且只有有限個間斷點，則f(x)在[a , b]上可積.6.定積分的幾何意義：

①如果f(x)在[a , b]上連續，且f(x)?0，則

b? af(x)dx?s

(S是曲邊梯

-----高等數學教案-----形的面積).②.如果f(x)在[a , b]上連續，且f(x)?0，則 b? af(x)dx??s

(S是曲邊梯形的面積).③如果f(x)在[a , b]上連續，且f(x)的值有正有負，則 b? af(x)dx等于x軸上方的曲邊梯形面積減去x軸下方的曲邊梯形面積.7.規定:

-----高等數學教案-----

①當a?b時，? af(x)dx?0.a?b

②當時，ba? af(x)dx???bf(x)dx.7.定積分的性質：

①??f(x)?g(x)?dx??f(x)dx??g(x)dx.b b②? akf(x)dx?k? af(x)dx.③ b c b? af(x)dx?? af(x)dx?? cf(x)dx.④如果在[a , b]上f(x)?1，則

b b? a1dx?? adx?b?a.b b b b a a a

-----高等數學教案-----⑤如果在[a , b]上f(x)?0，則

b? af(x)dx?0.如果在[a , b]上f(x)?g(x)，則

b b? af(x)dx?? ag(x)dx，? af(x)dx?? af(x)dx.b b⑥設m?f(x)?M，則

bm(b?a)?? af(x)dx?M(b?.⑦(積分中值定理)如果f(x)

-----高等數學教案-----在[a , b]上連續，則在[a , b]上至少存在一點?，使得

b? af(x)dx?f(?)?(b?a).證:由于f(x)在[a , b]上連續，所以存在最大值M和最小值m，使得

m?f(x)?M，bm(b?a)?? af(x)dx?M(b?a)，f(x)dx? am??M，b?a

-----高等數學教案-----

b故在[a , b]上至少存在一點?，使得

b? af(x)dx?f(?)b?a即

b? af(x)dx?f(?)?(b?a).b1稱為在f(x)dxf(x)? ab?a[a , b]上的平均值.P23511.證: 對任意實數?，有 12? 0[??f(x)]dx?0，1 122??2?? 0f(x)dx?? 0f(x)dx?0

-----高等數學教案-----，所以

12??4?? 0f(x)dx??4? 0f(x)dx?0，即

? 0f(x)dx??? 0f(x)dx?.練習1.設f(x)在[a , b]上連續，且f(x)?0，證明: 12 121? af(x)dx? af(x)dx?(b?a)b b.§5.2微積分基本公式

1.積分上限的函數(變上限

-----高等數學教案-----積分): f(x)在[a , b]上連續，稱

x?(x)?? af(t)dt x?[a , b] 為積分上限的函數.2.如果f(x)在[a , b]上連續，x則?(x)?? af(t)dt可導，且

xd??(x)?f(t)dt?f(x)? adx.x例1.求F(x)?? 0tsintdt的導數.解: F?(x)?xsinx.-----高等數學教案-----

sintdt?sinx 0例2.lim ?lim2x?0x?02xx1?.2 x例3.tedt??lim xx???xe2x??? x2 0t2elim?x2tedt?x x2 0t2x?limx???(1?2

x?limx???1?

2-----高等數學教案-----

?

3.?? ?(x)f(t)dt?

?f[?(x)]??(x)?f[?(x)]??(x)?(x)1?.2.x?bd

例4.? x?af(t)dt dx?f[(x?b)]?f[(x?a)].例

15.(? xedt)??e??e?2x xx?1?2xe.lnx2tlnxx22

-----高等數學教案-----例6.設f(x)在[a , b]上連續，且單調增加，證明:

x1 F(x)?f(t)dt? ax?a在(a , b]內單調增加.證: 當x?(a , b)時，f(x)(x?a)?? af(t)dtF?(x)? 2(x?a)f(x)(x?a)?f(?)(x?a)?2(x?a)x

f(x)?f(?)?(x?a)

-----高等數學教案-----

(a???x).由于f(x)在[a , b]上單調增加，而a???x，所以

f(x)?f(?)F?(x)??0，(x?a)故F(x)在(a , b]內單調增加.4.微積分基本公式(牛頓—萊布尼茨公式): 如果f(x)在[a , b]上連續，且F(x)是f(x)的一個原函數，則

b? af(x)dx?F(b)?F(a)?F(.-----高等數學教案-----

為F(x)、x?(x)?? af(t)dt都是f(x)的原函數，所以?(x)?F(x)?C.由于

?(a)?F(a)?C，a?(a)?? af(t)dt?0，得

C??F(a)，?(x)?F(x)?F(a)，?(b)?F(b)?F(a)，b即

?(b)?? af(x)dx

?F(b)?F(a)

?F(x).ba

-----高等數學教案-----證: 因

?1

1例7.? ?2dx?lnx?2

x?ln1?ln2 ??ln2.?1

例 2 1 28.? 01?xdx?? 0(1?x)dx?? 1(x?1)dx

221xx?(x?)0?(?x)22

?1.例9.設

?x , x?[0 , 1), f(x)???x , x?[1 , 2] ，-----高等數學教案-----2求?(x)?? 0f(t)dt在[0 , 2]上的表達式.x解(x)???? x2 0tdt , x?[0 , 1)?? 12dt?? x 0t 1tdt , x?[1 ,?x3 , ???3??13?12(x2?1), ?x3 ??, ?3??1-----高等數學教案 6 ,-----

:

2] x?[0 ,x?[1 , 2x?[0 , x?[1 , 2?

例10.求

x f(x)??0tdt 在(?? , ??)上的表達式.??0?tdt , x?0解: f(x)??x

tdt , x?0??02??x , x?0?2 ??2x? , x?0.?2x§5.3 定積分的換元法和分部積分法

-----高等數學教案-----1.定積分的換元法:

b?? af(x)dx x??(t)??f[?(t)]??（其中f(x)連續，?(t)有連續的導數，a??(?)，b??(?)，.例1.? 0 4x?2dx 2x?11t2?32 32t?12 x? ? 1 tdt 2t 321?? 1(t?3)dt 2331t?(?3t)1

3-----高等數學教案-----例 例

?223.2.? 1dx 34 1?x?1 x??(t2?2t)? ?1?(2t?2)?12 t??2? ?112?1 ?(1t)dt ??2(t?lnt)?1?12

?1?2ln2.3.2? 111?x 2 x2dx x?sint ? ?cost ?24

-----高等數學教案-----

sin2tcostdt

2? 例

??2 ? cottdt

4?? ?2(csc2 ?t?1)dt

4?(?cott?t)?2?

4?1??4.? ?5 02sinx?cosxdx

??? ?5 02cosxdcosx

?(?16?6cosx)20

?16.-----高等數學教案-----

4.例5.? 0x(2?x)dx

12421??? 0(2?x)d(2?x)2

25111

??[(2?x)]0

2531

?.102.設f(x)在[?a , a]上連續且為偶函數，則

a a? ?af(x)dx?2? 0f(x)dx.證: a 0 a? ?af(x)dx?? ?af(x)dx?? 0f(x)dx.12

4-----高等數學教案-----? ?af(x)dx x??t ? af(?t)(? 0 0

??? af(t)dt ?? 0f(t)dt ?? 0f(x)dx.a a 0所

以

a a a? ?af(x)dx?? 0f(x)dx?? 0f(x)dx

?2? 0f(x)dx.a3.設f(x)在[?a , a]上連續且

a為奇函數，則

? ?af(x)dx?0.xsinxdx.例6.求? ?242x?3x?1 2

-----高等數學教案-----

32xsinx解: 由于f(x)?42x?3x?132是 2奇3函2數，所以

xsinxdx?0.? ?242x?3x?1例7.求 1sinx?(arctanx).dx? ?121?x解: 原式1sinx 1(arctanx).?? ?1dx?dx?22 ?11?x1?xsinx由于f(x)?2是奇函數，1?x

-----高等數學教案-----以(arctanx)是偶函數，所g(x)?21?x(arctanx)原式?0?2? 0 dx21?x 12?2? 0(arctanx)d(arctanx)122

312?[(arctanx)]0

332??()3496例8.設f(x)在[0 , a]上連續，-----高等數學教案-----?.?3證明: ? 0f(x)dx?? 0f(a?x)dx.a a證? 0f(x)dx 0 x?a?t ? af(a?t)(?dt)a:

??? af(a?t)dt ?? 0f(a?t)dt ?? 0f(a?x)dx.a 0 a

例9.若f(x)在[0 , 1]上連續，證明: ?f(sinx)dx?

-----高等數學教案-----?2 0?f(cosx)dx.2 0? 證: ?f(sinx)dx

? x??t 2 ?2 0f(cost)(?d? ?2 0

??f(cost)dt

?2 0??f(cosx)dx.?2 0

例10.若f(x)在[0 , 1]上連續，證明: ? 0xf(sinx)dx? ??.f(sinx)dx? 02 ?

-----高等數學教案-----證: ? 0xf(sinx)dx

0 x???t ? ?(??t)f(sint)?

?? 0(??t)f(sint)dt ??? 0f(sint)dt?? 0tf(sint)dt

??? 0f(sinx)dx?? 0xf(sinx)dx.? ? ? ? ?解? 0 ?得

.f(sinx)dx? 02例11.若f(x)為連續函數，??xf(sinx)dx?

-----高等數學教案-----且?ef(x?t)dt?xe，求f(x)的表達式.xt證: ? 0ef(x?t)dt xt 0x t?x?u ? xe 0x?uf(u)(?du)

??e?ef(u)du x x?u?e? 0ef(u)du.?ux 0 x所以e?ef(u)du?xe，得

x?u? 0ef(u)du?x.將上式兩邊對x求導數，得

?x ef(x)?1，x x 0?ux

-----高等數學教案-----即

f(x)?e.4.定積分的分部積分法:

x

? auv?dx?(uv)?? au?vdx.bba b

例12.? 1lnxdx?(xlnx)?? 1dx

5?5ln5?x1 5515?5ln5?4.例13.? 0xedx?(xe)?? 0edx

x1?e?e0 1xx10 1x?1.例14.若f(x)是以T為周期的連續函數，證明:

-----高等數學教案-----? af(x)dx?? 0f(x)dx 其中a為常數.a?T T證: ? a 0 a?Tf(x)dx?

T a?T? af(x)dx?? 0f(x)dx?? T a?T? Tf(x)dx

af(x)dx

x?u?T ? 0f(u?T)du ?? 0f(u)du ?? 0f(x)dx ??? af(x)dx.0 a a所以

? a a?T 0f(x)dx?

T 0? af(x)dx?? 0f(x)dx?? af(x)dx

-----高等數學教案-----?? 0f(x)dx.T例15.設f(x)在(?? , ??)上連續，證明: 1lim?[f(x?h)?f(x)]dx?f(b)?f(a)

bh?0h a證: 設f(x)的一個原函數為F(x)，則

b1lim?a [f(x?h)?f(x)]dx h?0h[F(x?h)?F(x)]?lim h?0hF(b?h)?F(b)?limh?0hF(a?h)?F(a)?limh?0h

-----高等數學教案-----

ba?F?(b)?F?(a)?f(b)?f(a).§5.4 反常積分 1.無窮限的反常積分: ①設f(x)在[a , ??)上連續，存在，f(x)dxt?a，如果tlim? a???則稱反常義積分? af(x)dx收斂，且

??t

? af(x)dx?tlim.f(x)dx? a??? ??t否則稱反常積分? af(x)dx發散.??

-----高等數學教案-----②設f(x)在(?? , b]上連續，t?b，如果lim?tf(x)dx存在，t???b則稱反常義積分???f(x)dx收斂，且

b

???f(x)dx?tlim.f(x)dx????tb b否則稱反常積分???f(x)dx發散.③設f(x)在(?? , ??)上連 0 ??續，如果? ??f(x)dx與? 0f(x)dx都收斂，則稱反常積分 ??? ??f(x)dx收斂，且

b

-----高等數學教案-----? ??f(x)dx ???? ??f(x)dx?? 0f(x)dx.0 ??否則稱反常積分? ??f(x)dx發散.2.引入記號:

??F(??)?limF(x)，x???F(??)?limF(x).x???若在[a , ??)上F?(x)?f(x)，則當F(??)存在時，??? af(x)dx?F(??)?F(a)

?[F(x)].??a

-----高等數學教案-----若在(?? , b]上F?(x)?f(x)，則當F(??)存在時，b???f(x)dx?F(b)?F(??)

?[F(x)].b??若在上(?? , ??)F?(x)?f(x)，則當F(??)與F(??)都存在時，?????f(x)dx?F(??)?F(??)

?[F(x)].????例1.判斷反常積分

???x? 0xedx

2-----高等數學教案-----是否收斂，若收斂求其值.?x??1解: 原式?(?e)0 2?x11

?xlim(?e)? ???221 ?.2

例2.判斷反常積分

?1? ??cosxdx

22的斂散性.解: 原式?(sinx)

?1???sin(?1)?limsinx.x???sinx不存在，由于xlim所以反???

-----高等數學教案-----常積分? ??cosxdx發散.例3.討論反常積分 ?1? ??1 1x?dx.解:? ??1 1x?dx ?(lnx)????1 , ???(11????1??x)1

-----高等數學教案-----

??1 ??1的斂散性 , ???? , ??1????? , ??1 ????1?1 , ??1? ??1 1x?dx，當???1時發散.例4.判斷反常積分

? ??1 ??1?x2dx.解: ? ??1 ??1?x2dx

-----高等數學教案-----

?1所以反常積分時收斂，當 的斂散性 ?(arctanx)0???(arctanx)??0

????

22??.? 1 ??

例5.判斷反常積分

1dx

2x?x ??的斂散性.1dx解: ? 1 2x?x ??11?? 1(?)dx x1?x???[lnx?ln(1?x)]1

-----高等數學教案-----

??x?[ln]1 1?xx1?limln?ln x???1?x2?ln2.3.如果f(x)在點a的任一鄰域內都無界，那么稱點a為f(x)的瑕點.4.無界函數的反常積分(瑕積分): ①設f(x)在(a , b]上連續，點a為f(x)的瑕點，t?a.如果lim?tf(x)dx存在，則稱反常積t?a?

-----高等數學教案-----b分? af(x)dx收斂，且 b

? af(x)dx?lim?tf(x)dx.b bt ?a?否則稱反常積分? af(x)dx發散.②設f(x)在[a , b)上連續，點b為f(x)的瑕點，t?b.如果

blim?af(x)dx存在，則稱反常積t?b?t分? af(x)dx收斂，且 b

? af(x)dx?lim?af(x)dx.btt ?b?否則稱反常積分? af(x)dx發散.③設f(x)在[a , b]上除點c(a?c?b)外連續，點c為f(x)的 b

-----高等數學教案-----瑕點.如果兩個反常積分

b c? af(x)dx、? cf(x)dx都收斂，則

b稱反常積分? af(x)dx收斂，且 b c b? af(x)dx?? af(x)dx?? cf(x)dx.b否則稱反常積分? af(x)dx發散.5.引入記號: ①設F(x)為f(x)在(a , b]上的一個原函數，a為f(x)的瑕點，則

b? af(x)dx?F(b)?limF(x)

x?a??[F(x)].ba

-----高等數學教案-----②設F(x)為f(x)在[a , b)上的一個原函數，b為f(x)的瑕點，則

b? af(x)dx?limF(x)?F(a)

x?b??[F(x)].ba

例6.判斷反常積分? 0lnxdx的斂散性.1解:? 0lnxdx?(xlnx)??0dx 1101?0?lim(xlnx)?x

x ?0?10??1.-----高等數學教案-----

1例7.討論反常積分? 0?dxx 1的斂散性.解: ? 11 0x?dx

?(lnx)10 , ??1?????(1?11??1 ?x)0 , ??1

??0?limx ?0?lnx , ???1?lim ?0?(1?1?x1???1??x)

-----高等數學教案-----

??1 ??1 , ?1 , ??1?1??????? , ??1 ??? , ??1?? 11所以反常積分? 0?dx，當??1x時收斂，當??1時發散.11

例8.判斷反常積分? ?12dxx的斂散性.1解: ? ?12dx x 01 11?? ?12dx?? 02dx

xx 1

-----高等數學教案-----

第五篇：高等數學教案12

-----

?3.余項rn?s?sn?un?1?un?2??.?aq?a?aq?aq???aq?n2n?1: 例1.判斷等比級數(幾何級數)n?0??

(a?0)的斂散性.a?aq解:①q?1時，sn?，1?q?na，收斂，和為limsn?aq?n??1?qn?0a.1?q

-----高等數學教案-----

na?aq②q?1時，sn?，1?qlimsn??，?aq發散； n??nn?0??nsn??，③q?1時，sn?na，limn??n?0?aq發散.n④q??1時，?0 , n為偶數limsn不存在，sn??，n???a , n為奇數n?0?aq發散.n?n?1例2判斷級數?ln是否收nn?1?

-----高等數學教案-----斂，若收斂求其和.解: sn?(ln2?ln1)?(ln3?ln2)?

??[ln(n?1)?lnn] ?ln(n?1).P②.3225sn??，所以原級數發散.由于limn??sn?11111(1?)?(?)?23235111??(?)22n?12n?111?(1?).22n?1

-----高等數學教案-----

1sn?，所以原級數收斂 由于limn??24.收斂級數的性質: ①如果?un收斂和為s，則?kunn?1n?1??也收斂，其和為ks；若?un發散，n?1?則?kun(k?0)也發散.n?1?②如果?un、?vn均收斂，其和n?1n?1?n?1???，分別為s、則?(un?vn)也收斂，其和為s??.-----高等數學教案-----

③在級數中去掉、加上或改變有限項，不會改變級數的收斂性.④如果?un收斂，則對這級數n?1?的項任意加括號后所成的級數(u1???un)?(un?1???un)???

(un?1???un)?? 112k?1k也收斂，且其和不變.如果一個級數發散，則加括號后所成的級數可能收斂，也可能發散.如果一個正項級數發散，則加

-----高等數學教案-----括號后所成的級數一定發散.⑤級數收斂的必要條件: 若n?1un?0.?un收斂，則limn???例3證明調和級數 1111??????? 23n是發散的.證: 假設調和級數收斂，部分

sn?s.和為sn，和為s，則limn??im(s2n?sn)?s?s?0.一方面，ln??另一方面，-----高等數學教案-----

111s2n?sn????? n?1n?22n111????? 2n2n2n1?，2(s2n?sn)?0，矛盾，故調所以limn??和級數發散.1P②.由于調和級數?發散，n?1n?1所以?也發散.n?13n?14P225⑤.由于級數?n是公比為

n?124225?

-----高等數學教案-----11q?的幾何級數，而q??1，所22?1?1以?n收斂；由于級數?n是公比n?12n?1311為q?的幾何級數，而q??1，33?1所以?n收斂.n?13?1?1由于?n與?n都收斂，所以n?12n?13?11?(n?n)收斂.n?123§12.2 常數項級數的審斂法

-----高等數學教案-----1.正項級數: ?un(un?0).n?1?2.正項級數?un的部分和數列

n?1??sn?單調增加.3.正項級數?un收斂?部分和

n?1?數列?sn?有界.4.比較審斂法: 設?un、?vn都

n?1n?1??是正項級數，且un?vn.①若?vn收斂，則?un收斂；

n?1?n?1???

②若?un發散，則?vn發散.n?1n?-----高等數學教案-----5.比較審斂法的推論: 設?un、n?1n?1??vn都是正項級數.?n?1?

①若?vn收斂，且存在自然數N，使當n?N時有un?kvn(k?0)成立，則?un收斂.n?1?

②若?un發散，且存在自然數n?1?N，使當n?N時有un?kvn(k?0)成立，則?vn發散.n?-----高等數學教案-----?例1.判斷p?級數

1111?p?p???p?? 23n的斂散性.解: ①當p?1時，由于1np?而??1發散，所以?n?1n?1n?1np發散.②當p?1時，對于級數

1?1112p?3p???np?? 加括號后:

-----高等數學教案-----

1n，1111111?(p?p)?(p?p?p?p)??234567

它的各項均不大于級數

1111111?(p?p)?(p?p?p?p224444

11?1?p?1?p?1?? 24的對應項，而后一個級數是收斂的幾何級數，所以級數

-----高等數學教案-----1111111?(p?p)?(p?p?p?p)??2345671收斂，故正項級數?p收斂.n?1n?1例2.判斷級數?lnn的斂散性.n?12?1111解: 由于lnn?logn?，而?nn?1n22?1發散，所以?lnn發散.n?12?1例3.判斷級數?lnn的斂散性.n?13???111解:由于?lnn??ln3，而?ln3n?13n?1nn?1n?1p?ln3?1，是p?級數，所以?ln3n?1n?1收斂，從而?lnn收斂.n?13?-----高等數學教案-----例4.若正項級數?an與?bn均

n?1n?1??收斂，則下列級數也收斂.①?anbn；②?(an?bn)；③

2n?1n?1??an.?n?1n?證: ①由于?an與?bn均收斂，n?1n?1??所以?(an?bn)收斂，而n?1?an?bn?2anbn，故?anbn收斂.n?1?②由于

-----高等數學教案-----(an?bn)?an?2anbn?bn，而?an、2?n?1n?1??bn與?anbn均收斂，所以n?12???(an?bn)收斂.n?11③由于?an與?2均收斂，所n?1n?1n?11an以?(an?2)收斂，而an?2?2，n?1nnn?an故?收斂.n?1n??例5.若?an與?bn均收斂，且??n?1n?1an?cn?bn，求證:?cn收斂.n?-----高等數學教案-----

?證:由于?an與?bn均收斂，所n?1n?1??以?(bn?an)收斂.n?1?由于an?cn?bn，所以

?n?1?bn?an?cn?an?0，而?(bn?an)收斂，故?(cn?an)收斂，而?an收斂，從n?1?n?1而?cn收斂.n?1?6.比較審斂法的極限形式: 設n?1?un、?vn均是正項級數，n?1??

-----高等數學教案-----

?un?0，且?vn收斂，則①若limn??n?1vn?un收斂.n?1??un?l(0?l???)，則?vn

②若limn??n?1vn與?un同時收斂和同時發散.n?1?un???，且?vn發散，③若limn??n?1vn?則?un發散.n?1?1例6.判斷級數?n的斂散

n?1n?n?

-----高等數學教案-----性.1?n1n?n解:由于l?lim，而?1?n??1n?1nn?1發散，所以?n發散.n?1n?n?1n?1例7.判斷級數?ln的斂

n?1n?2n散性.1lnn?1nn?1解:由于l?lim?2，而n??12n??11n?1收斂.?2收斂，所以?lnn?1n?2nn?2n

-----高等數學教案-----例8.判斷級數?(2?1)的斂散

nn?1?性.解: 由于

nn2?12?ln2l?lim?lim?ln2n??n??11n，??1n而?發散，所以?(2?1)發散.n?1n?1n7.比值審斂法(達朗貝爾判別法): 設?un為正項級數，且n?1?

-----高等數學教案-----un?1lim??.n??un

①若??1，則?un收斂；

n?1?

②若??1或????，則?un發

n?1?散；

③若??1，則?un可能收斂也

n?1?可能發散.1例9.判斷級數?的斂散

n?1(n?1)!?性.-----高等數學教案-----

1n!?0?1解: 由于??lim，n??1(n?1)!?1所以?收斂.n?1(n?1)!?n!例10.判斷級數?n的斂散性.n?110: 由于(n?1)!n?1n?110??lim?lim???，所n??n??10n!n10?n!以?n發散.n?110

-----高等數學教案-----解8.根值審斂法(柯西判別法): 設?un為正項級數，且n?1nu??.limnn???

①若??1，則?un收斂；

n?1?

②若??1或????，則?un發

n?1?散；

③若??1，則?un可能收斂也

n?1?可能發散.2n?1n例11.判斷級數?()的n?13n?1?

-----高等數學教案-----斂散性.解: 由于

2n?1nn(??lim)n??3n?12n()3n?1?limn??nn3n?1，2n?1n所以?()收斂.n?13n?110.交錯級數: ?u1?u2?u3?u4??，或

?u1?u2?u3?u4??，其中u1，u2…都是正數.-----高等數學教案-----11.萊不尼茲定理: 如果交錯級數?(?1)un滿足條件: n?1n?1?

①un?un?1；

i?mun?0，②ln?則?(?1)un收斂，其和s?u1，其余n?1n?1?項的絕對值rn?un?1.例12.判斷級數?(?1)n?1?n?11的斂

n散性.解: 由于

-----高等數學教案-----11①?，即un?un?1； nn?11?0，即limu?0

②lim，nn??n??n?n?11所以?(?1)收斂.n?1n12.絕對收斂: 如果?un收斂，n?1?則稱?un絕對收斂.n?1?例如，級數?(?1)n?1?n?11絕對收

2n斂.13.條件收斂: 如果?un收斂，n?-----高等數學教案-----

?而?un發散，則稱?un條件收斂.n?1n?1??例如，級數?(?1)n?1?n?11條件收斂.n?n?114.如果任意項級數?un的絕對值收斂，則?un收斂.n?1?1

證: 令Vn?(un?un)，21Wn?(un?un)，則un?Vn?0，2un?Wn?0.由于?un收斂，所以?Vn、?Wnn?1n?1n?-----高等數學教案-----???均收斂，故?(Vn?Wn)??un也收

n?1n?1??斂.15.設?un是任意項級數，n?1?un?1nu??，如果lim??或limnn??un??n??1，?un發散，則?un發散.n?1n?1??n例13.判別級數?(?1)是n?1n?1否收斂，若收斂是條件收斂，還

?n?1是絕對收斂.-----高等數學教案-----解: 由于lim(?1)n??以?(?1)n?1?n?1n?1n?0，所

n?1n發散.n?1?1n?例14.判別級數?nsin是否

5n?12收斂，若收斂是條件收斂，還是絕對收斂.?1n?11?n，解: 由于nsin而?n

522n?121(是公比為q??1的幾何級數)2?1n?收斂，所以?nsin收斂，故

5n?1-----高等數學教案-----1n??nsin絕對收斂.5n?12?1例15.判別級數?(?1)ln(1?)nn?1是否收斂，若收斂是條件收斂，?n還是絕對收斂.11解: 由于ln(1?)?ln(1?)，而

n?1n1limln(1?)?0，所以交錯級數n??n?1n?(?1)ln(1?)收斂.n?1n由于

-----高等數學教案-----

1(?1)ln(1?)1 nlim?limnln(1?)n??n??1nnn1n?limln(1?)n??n?1，?1?1n而? 發散，所以?(?1)ln(1?)發n?1nn?1n?1n散，故?(?1)ln(1?)條件收斂.n?1n§12.3 冪級數

1.區間I上的函數項級數: u1(x)?u2(x)???un(x)??.-----高等數學教案-----對于x?x0?I，常數項級數

u1(x0)?u2(x0)???un(x0)??

?n?1收斂，則稱x0為?un(x)的收斂點.收斂點的全體稱為收斂域，發散點的全體稱為發散域.2.(x?x0)的冪級數: n?0?an(x?x0)?n?a0?a1(x?x0)?a2(x?x0)

2n???an(x?x0)??

-----高等數學教案-----3.x的冪級數:

n?0?anx?2n?na0?a1x?a2x???anx??.4.阿貝爾定理: 如果?anx當

nn?0?則當x?x0x?x0(x0?0)時收斂，時?anx絕對收斂.反之，如果nn?0n?0???anx當x?x0時發散，則當nx?x0時?anx發散.nn?0?

5.阿貝爾定理的推論: 如果

-----高等數學教案-----n?0?anx不是僅在x?0一點收斂，n?也不是在整個數軸上收斂，則存在R?0，使得

①當x?R時，冪級數絕對收斂；

②當x?R時，冪級數發散；

③當x?R與x??R時，冪級數可能收斂也可能發散.)為

稱R為收斂半徑，稱(?R , R)、收斂區間，收斂域是(?R , R[?R , R)、(?R , R]或[?R , R]這四

-----高等數學教案-----個區間之一(由x??R處的收斂性決定).規定冪級數僅在x?0處收斂時R?0，冪級數對一切x都收斂時R???.6.對于冪級數?anx，如果

nn?0?an?1lim??，則 n??an

-----高等數學教案-----

?1 , ??0且?????R???? , ??0 ,?0 , ????.??

(?1)x例1.求?的收斂域.n?1nn(?1)n?1?1解: 由于??lim，所n?1n??(?1)n1以R??1.?n?1n?

-----高等數學教案-----

(?1)x1當x??1時，???(?)nnn?1n?1發散.?(?1)n?1xn?(?1)n?1當x?1時，???nnn?1n?1?(?1)n?1xn條件收斂.因此，?的收

nn?1斂域為(?1 , 1].?n1例2.求?2(3x)的收斂域.n?01?nn??nn13解: ?2(3x)? ?2x.n?01?nn?01?n??n?1n

-----高等數學教案-----

321?(n?1)??lim?3nn??321?nn?1，1R?.31當時，x??3??(?1)nn1(3x)? 絕對收斂.??22n?01?nn?01?n1當時，x?3??n11?2(3x)? ?2收斂.n?01?nn?01?n?n1因此，?的收斂域為(3x)2n?01?n

-----高等數學教案-----11[? , ].33(?1)n例3.求?2(x?3)的收斂n?1n?n域.解: 令x?3?t，則

(?1)(?1)nn?2(x?3)? ?2t.n?1nn?1n?(?1)nn對于，?2tn?1nn?1(?1)2(n?1)??lim?1R?1，.nn??(?1)2n??

-----高等數學教案-----

nn(?1)n1當t??1時，?2t??2收n?1nn?1n??n斂.(?1)n?(?1)?2t??2絕當t?1時，n?1nn?1nn?(?1)n對收斂.因此，?2t的收斂

n?1nn?(?1)n區間為[?1 , 1]，故?2(x?3)n?1n的收斂域為[2 , 4].?2n?11例4.求?nx 的收斂域.n?03?nn

-----高等數學教案-----

1x2(n?1)?1n?1213?x解: lim.n??1x2n?13n321令x?1，得?3?x?3，收3斂半徑為R?3.發散.散.2n?11當x??3時，?nx? ??3n?03n?0??2n?11當x?3時，?nx? ?3發n?03n?0??2n?11因此，?nx 的收斂域為n?03(?3 , 3).?

-----高等數學教案-----7.冪級數的運算: s(x)??anxn?0?nn?0?n和?(x)??bnx的收斂半徑分別為R和R?，則

n?0????anx?nnn?0?bnx?nn?0?(an?bn)x?s(x)??(x)的收斂半徑為R?min?R , R??.8.冪級數的性質:

①?anx的和函數s(x)在其收nn?0?斂域I上連續.-----高等數學教案-----

②?anx的和函數s(x)在其收nn?0?斂域I上可積，并有逐項積分公式

?0s(x)dx??0?anxdxn?0xx??n????0anxdx nn?0?xann?1??x(x?In?0n?1?，ann?1?nx與?anx的收斂半徑相?n?0n?0n?1同.?

-----高等數學教案-----③?anx的和函數s(x)在其收nn?0?斂區間(?R , R)內可導，并有逐項求導公式

???nns?(x)??anx??(anx)?

?n?0?n?0 ??nanx(x?R)，n?1n?1n?1??nanx?n?1與?anx的收斂半徑相

nn?0?同.n1例5.求?x的和函數.n?1n?

-----高等數學教案-----

1n?1R?1.?1解: ??lim，n??1n??n1n1當x??1時，?x??(?1)收nn?1n?1n斂.n11當x?1時，?x??發散.因

n?1nn?1n?n1此，?x的收斂域為[?1 , 1).n?1n?n1令s(x)??x(?1?x?1)，則 n?1n???nn11s?(x)??x??(x)?n?1nn?1n????

-----高等數學教案-----??x n?1n?1?1?(?1?x?1).1?xs(x)?? x 0s?(x)dx?s(0)

??x10dx?0 ??1ln(?1x?x)(?1?x?1).例6.求??1xn?1在其收斂n?1n?1 , 1)上的和函數.解??1xn?1?x??1xn?x?[?ln(1?x)] n?1nn?1n

-----高等數學教案-----

: 域[ ??xln(1?x)x?[?1 , 1).例7.求?(n?1)x在其收斂域

nn?1?(?1 , 1)上的和函數.解: 令s(x)??(n?1)x，則

nn?1??0s(x)dx???0(n?1)xdx

nn?1x?x??x

n?1n?1?x? 1?x(?1?x?1).-----高等數學教案-----

2s(x)?[? 0s(x)dx]?

xx?()? 1?x22x?x?2(1?x)(?1?x?1).2例8.求?nx在其收斂域(?1 , 1)nn?1?上的和函數.解: ?nx??nx??x??x

nnnnn?1n?1n?1nn?1n??????(n?1)x??x

n?1n?1??

-----高等數學教案-----

2x?xx? ?2(1?x)1?xx

.(?1 , 1)?2(1?x)2例9.求?(n?2)x在其收斂區

nn?1?間(?1 , 1)上的和函數.解n?1:

?nn?12?(n?2)x??(n?1)x??x nnn?1??2x?x?2(1?x)x ?1?x

-----高等數學教案-----

3x?2x?2(1?x)2

(?1 , 1).§12.4 函數展開成冪級數

1.設f(x)在x0的某一鄰域U(x0)內具有各階導數，冪級數

??(x0)f2f(x0)?f?(x0)(x?x0)?(x?x0)

2!f(x0)n???(x?x0)??

n!稱為f(x)的泰勒級數.(n)

如果泰勒級數收斂于f(x)，則

-----高等數學教案-----