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第一篇：高等數學教案ch 8 多元函數微分法及其應用

§8? 4 多元復合函數的求導法則

設z?f(u? v)? 而u??(t)? v??(t)? 如何求dz？

設z?f(u? v)? 而u??(x? y)? v??(x? y)? 如何求?z和?z？

?x?y

1? 復合函數的中間變量均為一元函數的情形

定理1 如果函數u??(t)及v??(t)都在點t可導? 函數z?f(u? v)在對應點(u? v)具有連續偏導數? 則復合函數z?f[?(t)? ?(t)]在點t可導? 且有

dz??z?du??z?dv?

dt?udt?vdt

簡要證明1? 因為z?f(u? v)具有連續的偏導數? 所以它是可微的? 即有

dz??zdu??zdv?

?u?v又因為u??(t)及v??(t)都可導? 因而可微? 即有

du?dudt? dv?dvdt?

dtdt代入上式得

dz??z?dudt??z?dvdt?(?z?du??z?dv)dt?

?udt?vdt?udt?vdt從而

dz??z?du??z?dv?

dt?udt?vdt

簡要證明2? 當t取得增量?t時? u、v及z相應地也取得增量?u、?v及?z ? 由z?f(u? v)、u??(t)及v??(t)的可微性? 有

?z??z?u??z?v?o(?)??z[du?t?o(?t)]??z[dv?t?o(?t)]?o(?)

?u?v?udt?vdt

?(?z?du??z?dv)?t?(?z??z)o(?t)?o(?)?

?udt?vdt?u?vo(?t)o(?)?

?z??z?du??z?dv?(?z??z)?

?t?udt?vdt?u?v?t?t令?t?0? 上式兩邊取極限? 即得

注?limdz?zdu?zdv?????

dt?udt?vdt?lim?t?0o(?)?to(?)?t?0??(?u)2?(?v)2?t?0?(du2dv)?()2?0dtdt?

推廣? 設z?f(u? v? w)? u??(t)? v??(t)? w??(t)? 則z?f[?(t)? ?(t)? ?(t)]對t 的導數為?

dz??zdu??zdv??zdw?

dt?udt?vdt?wdt上述dz稱為全導數?

2? 復合函數的中間變量均為多元函數的情形

定理2 如果函數u??(x? y)? v??(x? y)都在點(x? y)具有對x及y的偏導數? 函數z?f(u? v)在對應點(u? v)具有連續偏導數? 則復合函數z?f [?(x? y)? ?(x? y)]在點(x? y)的兩個偏導數存在? 且有

?z??z??u??z??v? ?z??z??u??z??v?

?x?u?x?v?x?y?u?y?v?y

推廣? 設z?f(u? v? w)? u??(x? y)? v??(x? y)? w??(x? y)? 則

?z?z?u?z?v?z?w??????

?z??z??u??z??v??z??w? ?

?x?u?x?v?x?w?x?y?u?y?v?y?w?y

討論?

(1)設z?f(u? v)? u??(x? y)? v??(y)? 則?z?？

?x?z?z?u?zdv????

提示? ?z??z??u? ?

?z?？ ?y?x?u?x?y?u?y?vdy

(2)設z?f(u? x? y)? 且u??(x? y)? 則?z?？

?x?z?？ ?y

?f?u?f?z?f?u?f??

提示? ?z?? ?

??x?u?x?x?y?u?y?y這里?z與?x?f是不同的? ?z是把復合函數z?f[?(x? y)? x? y]中的y看作不變而對x的?x?x偏導數?

?f?f?z是把f(u? x? y)中的u及y看作不變而對x的偏導數? 與也朋類似

?y?y?x的區別?

3．復合函數的中間變量既有一元函數? 又有多元函數的情形

定理3 如果函數u??(x? y)在點(x? y)具有對x及對y的偏導數? 函數v??(y)在點y可導? 函數z?f(u? v)在對應點(u? v)具有連續偏導數? 則復合函數z?f[?(x? y)? ?(y)]在點(x? y)的兩個偏導數存在? 且有

?z?z?u?zdv????

?z??z??u? ?

?x?u?x?y?u?y?vdy

例1 設z?eusin v? u?xy? v?x?y? 求?z和

?x?z?y?

解 ?z??z??u??z??v

?x?u?x?v?x

?eusin v?y?eucos v?1

?ex y[y sin(x?y)?cos(x?y)]?

?z??z??u??z??v

?y?u?y?v?y

?eusin v?x?eucos v?1

?exy[x sin(x?y)?cos(x?y)]?

例2 設u?f(x,y,z)?ex?f?f

解 ?u????z

?x?x?z?x22?y2?z2? 而z?x2siny? 求?u和

?x?u?y?

?2xex?y2?z2?2zex2?y2?z2?2xsiny ? ?2x?(1?2x2siny)ex2?y2?x4si2ny

?u?f?f?z??? ?y?y?z?y?2yex?y2?z2?2zex2?y2?z2?x2cosy

?2(y?x4sinycosy)ex2?y2?x4si2ny?

例3 設z?uv?sin t ? 而u?et? v?cos t? 求全導數dz?

解 dz??z?du??z?dv??z

dt?udt?vdt?t

?v?et?u?(?sin t)?cos t

?etcos t?e tsin t?cos t

?et(cos t?sin t)?cos t ?

例4 設w?f(x?y?z? xyz)? f具有二階連續偏導數?

解令u?x?y?z? v?xyz ? 則w?f(u? v)?

引入記號? f1???x?u?x?f(u,v)?u?v?x求?w?x?2w及?x?z?

??? f12?f(u,v)?u?v??等?

???f22? 同理有f2??f11?f?f

?w???u???v?f1??yzf2??

?f??f??2w??(f1??yzf2?)?1?yf2??yz2?x?z?z?z?z

???xyf12???yf2??yzf21???xy2zf22??

?f11???y(x?z)f12???yf2??xy2zf22???

?f1

1注? ?f1??f1??u?f1??v?f2??f2??u?f2??v???xyf12??? ???xyf22???????f11?????f21?z?u?z?v?z?z?u?z?v?z?

例5 設u?f(x? y)的所有二階偏導數連續? 把下列表達式轉換成極坐標系中的形式?

(1)(?u2?u)?()2? ?x?y2?2u(2)?u?

?22?x?y解由直角坐標與極坐標間的關系式得

u?f(x? y)?f(?cosθ? ?sinθ)?F(?? θ)?

其中x??cosθ? y??sinθ? ??x2?y2? ??arctan應用復合函數求導法則? 得

??u?u???u???u?uysin?ux?uy???co?s????x???x???x?????????2???u?uco?s?u?u???u???uy?ux?sin???????y???y???y?????????2??yx?

兩式平方后相加? 得

(?u)2?(?u)2?(?u)2?12(?u)2?

?x?y?????再求二階偏導數? 得

?2u??u????u??()??()?

2? ???x?x???x?x?x??u?usin???u?usin?sin?(co?s?)?co?s?(co?s?)?

???????????????2?2u?2usin?co?s?2usin?2?u2sin?co?s?usin?2

?2cos??2? ?????????????????2?2?2同理可得

2?2u?2u?2usin?co?s?2uco?s2?u2sin?co?s?ucos?? 2

2?2sin??2??????????????y????2?2?2兩式相加? 得

2?2u?2u11?2u1??u?2u

?u??????[?(?)?]? 2222222?x?y?????????????

全微分形式不變性?

設z?f(u? v)具有連續偏導數? 則有全微分

dz??zdu??zdv?

?u?v如果z?f(u? v)具有連續偏導數? 而u??(x? y)? v??(x? y)也具有連續偏導數? 則

?z?z

dz?dx?dy

?x?y?z?u?z?v?z?u?z?v?)dx?(?)dy

?(?u?x?y?v?x?u?y?y?v?y?z?u?u?z?v?v

?(dx?dy)?(dx?dy)

?u?x?v?x

??zdu??zdv?

?u?v由此可見? 無論z 是自變量u、v的函數或中間變量u、v的函數? 它的全微分形式是一樣的? 這個性質叫做全微分形式不變性?

例6 設z?e usin v? u?x y? v?x?y? 利用全微分形式不變性求全微分?

解 dz??zdu??zdv? e usin vdu? e ucos v dv ?u?v

? e usin v(y dx?x dy)? e ucos v(dx?dy)

?(ye usin v? e ucos v)dx?(xe usin v? e ucos v)dy

?e xy [y sin(x?y)?cos(x?y)]dx? e xy [x sin(x?y)?cos(x?y)]dy ?

§8? 5

隱函數的求導法則一、一個方程的情形

隱函數存在定理1

設函數F(x? y)在點P(x0? y0)的某一鄰域內具有連續偏導數? F(x0? y0)?0? Fy(x0? y0)?0? 則方程F(x? y)?0在點(x0? y0)的某一鄰域內恒能唯一確定一個連續且具有連續導數的函數y?f(x)? 它滿足條件y0?f(x0)? 并有

dydx??FxFy?

求導公式證明? 將y?f(x)代入F(x? y)?0? 得恒等式 F(x? f(x))?0?

等式兩邊對x求導得 ?F?Fdy???0?

?x?ydx由于F y連續? 且Fy(x0? y0)?0? 所以存在(x0? y0)的一個鄰域? 在這個鄰域同Fy ?0? 于是得 dydx??FxFy?

例1 驗證方程x2?y2?1?0在點(0? 1)的某一鄰域內能唯一確定一個有連續導數、當x?0時y?1的隱函數y?f(x)? 并求這函數的一階與二階導數在x?0的值?

解設F(x? y)?x2?y2?1? 則Fx?2x? Fy?2y? F(0? 1)?0? Fy(0? 1)?2?0? 因此由定理1可知? 方程x2?y2?1?0在點(0? 1)的某一鄰域內能唯一確定一個有連續導數、當x?0時y?1的隱函數y?f(x)?

dydx??FxFy??xy? dydxx?0?0?

d2ydx2??y?xy?y2y?x(???y2x)y??y2?x2y3d2y1??3；

dx2y??1?

x?0

隱函數存在定理還可以推廣到多元函數? 一個二元方程F(x? y)?0可以確定一個一元隱函數? 一個三元方程F(x? y? z)?0可以確定一個二元隱函數?

隱函數存在定理2

設函數F(x? y? z)在點P(x0? y0? z0)的某一鄰域內具有連續的偏導數? 且F(x0? y0? z0)?0? Fz(x0? y0? z0)?0 ? 則方程F(x? y? z)?0在點(x0? y0? z0)的某一鄰域內恒能唯一確定一個連續且具有連續偏導數的函數z?f(x? y)? 它滿足條件z0?f(x0? y0)? 并有

?z??x? ?z??y?

?xFz?yFz

公式的證明? 將z?f(x? y)代入F(x? y? z)?0? 得F(x? y? f(x? y))?0?

將上式兩端分別對x和y求導? 得

Fx?Fz??z?0? Fy?Fz??z?0? ??x?y因為F z連續且F z(x0? y0? z0)?0? 所以存在點(x0? y0? z0)的一個鄰域? 使F z?0? 于是得

?z??x? ?z??y?

?xFz?yFz

例2.設x?y?z?4z?0? 22

2解

設F(x? y? z)? x2?y2?z2?4z? 則Fx?2x? Fy?2z?4?

F?z2xx?

??x????xFz2z?42?z2?2z求2?x?

?z??x2(2?x)?x?zx(2?x)?x()22?x?2?z?(2?x)?x?

(2?z)2(2?z)2(2?z)

3二、方程組的情形

在一定條件下? 由個方程組F(x? y? u? v)?0? G(x? y? u? v)?0可以確定一對二元函數u?u(x? y)? v?v(x? y)? 例如方程xu?yv?0和yu?xv?1可以確定兩個二元函數u?yx2?y2? v?xx2?y2?

yx2?y2xx 事實上?

xu?yv?0 ?v?u?yu?x?u?1?u?yy? ?v?yxx?

?2?yx?y2x2?y

2如何根據原方程組求u? v的偏導數？

隱函數存在定理設F(x? y? u? v)、G(x? y? u? v)在點P(x0? y0? u0? v0)的某一鄰域內具有對各個變量的連續偏導數? 又F(x0? y0? u0? v0)?0? G(x0? y0? u0? v0)?0? 且偏導數所組成的函數行列

?F?(F,G)?u式：

J???G?(u,v)?u?F?v ?G?v在點P(x0? y0? u0? v0)不等于零? 則方程組F(x? y? u? v)?0? G(x? y? u? v)?0在點P(x0? y0? u0? v0)的某一鄰域內恒能唯一確定一組連續且具有連續偏導數的函數u?u(x? y)? v?v(x? y)? 它們滿足條件u0?u(x0? y0)? v0?v(x0? y0)? 并有

?(F,G)??

?u??1?xJ?(x,v)FxFvGxGvFuFvGuGvFyFvGyGv?(F,G)???

?v??1?xJ?(u,x)FuFxGuGxFuFvGuGvFuFyGuGy?

?u1?(F,G)?????yJ?(y,v)FuFvGuGv?

?v1?(F,G)?????yJ?(u,y)FuFvGuGv?

隱函數的偏導數: 設方程組F(x? y? u? v)?0? G(x? y? u? v)?0確定一對具有連續偏導數的二元函數u?u(x? y)? v?v(x? y)? 則

?F?F?u?F?v?0,uv?x?x?x 偏導數?u? ?v由方程組?確定? ?u?v?x?x?Gv?0.?Gx?Gu?x?x??F?F?u?F?v?0,uv?y?y?y?u?v 偏導數? 由方程組?確定?

?u?v?y?y?Gv?0.?Gy?Gu?y?y??v 例3 設xu?yv?0? yu?xv?1? 求?u? ?v? ?u和?

?x?x?y?y 解兩個方程兩邊分別對x 求偏導? 得關于?u和?v的方程組

?x?x?u?x?u?y?v?0??x?x? ??u?v?v?x?0?y?x??x

?yv?vyu?xv當x2?y2 ?0時? 解之得?u??xu? ?

?2222?xx?y?xx?y

兩個方程兩邊分別對x 求偏導? 得關于?u和?v的方程組

?y?y?x?u?v?y?v?0??y?y? ??u?v?x?0?u?y?y?y??yuxu?yv?v當x2?y2 ?0時? 解之得?u?xv? ?

??2222?yx?y?yx?y

另解將兩個方程的兩邊微分得

udx?xdu?vdy?ydv?0xdu?ydv?vdy?udx

?? 即????xdv?0?udy?ydu?vdx?ydu?xdv??udy?vdx?

解之得 du??xu?yvx2?y2dx?xv?yux2?y2dy?

dv?yu?xvx2?y2dx?xu?yvx2?y2dy?

xu?yvxv?yu于是

?u??22? ?u?22?

?xx?y?yx?yyu?xvxu?yv

?v?22? ?v??22? ??xx?y?yx?y

例? 設函數x?x(u? v)? y?y(u? v)在點(u? v)的某一領域內連續且有連續偏導數?

又

?(x,y)?(u,v)?0?

x?x(u,v)

(1)證明方程組

? ??y?y(u,v)在點(x? y? u? v)的某一領域內唯一確定一組單值連續且有連續偏導數的反函數u?u(x? y)? v?v(x? y)?

(2)求反函數u?u(x? y)? v?v(x? y)對x? y的偏導數?

解(1)將方程組改寫成下面的形式

F(x,y,u,v)?x?x(u,v)?0

??G(x,y,u,v)?y?y(u,v)?0則按假設

J??(F,G)?(u,v)??(x,y)?(u,v)?0.由隱函數存在定理3? 即得所要證的結論?

(2)將方程組(7)所確定的反函數u?u(x? y)?v?v(x? y)代入(7)? 即得

x?x[u(x,y),v(x,y)]

??y?y[u(x,y),v(x,y)]將上述恒等式兩邊分別對x求偏導數?得

由于J?0? 故可解得

?y?y

?u?1? ?v??1?

?xJ?v?xJ?u?1??x??u??x??v??u?x?v?x??y?u?y?v?0?????u?x?v?x??

同理? 可得

?u1?x???yJ?v?

?v1?x??yJ?u? §8? 6

多元函數微分學的幾何應用

一?

空間曲線的切線與法平面

設空間曲線?的參數方程為

x??(t)? y??(t)? z??(t)這里假定?(t)? ?(t)? ?(t)都在[?? ?]上可導?

在曲線?上取對應于t?t0的一點M0(x0? y0? z0)及對應于t?t0??t的鄰近一點M(x0+?x? y0+?y? z0+?z)? 作曲線的割線MM0? 其方程為

x?x0?x?y?y0?y?z?z0?z? ?當點M沿著?趨于點M0時割線MM0的極限位置就是曲線在點M0處的切線? 考慮

x?x0y?y0z?z0??? ?x?y?z?t?t?t當M?M0? 即?t?0時? 得曲線在點M0處的切線方程為

x?x0y?y0z?z0? ????(t0)??(t0)??(t0)

曲線的切向量? 切線的方向向量稱為曲線的切向量? 向量

T?(??(t0)? ??(t0)? ??(t0))就是曲線?在點M0處的一個切向量?

法平面? 通過點M0而與切線垂直的平面稱為曲線?在點M0 處的法平面? 其法平面方程為

??(t0)(x?x0)???(t0)(y?y0)???(t0)(z?z0)?0?

例1 求曲線x?t? y?t2? z?t3在點(1? 1? 1)處的切線及法平面方程?

解

因為xt??1? yt??2t? zt??3t2? 而點(1? 1? 1)所對應的參數t?1? 所以

T ?(1? 2? 3)?

于是? 切線方程為

y?1z?1?

x?1??

123法平面方程為

(x?1)?2(y?1)?3(z?1)?0? 即x?2y?3z?6?

討論?

1? 若曲線?的方程為

y??(x)? z??(x)?

問其切線和法平面方程是什么形式?

提示? 曲線方程可看作參數方程? x?x? y??(x)? z??(x)? 切向量為T?(1? ??(x)? ??(x))?

2? 若曲線?的方程為

F(x? y? z)?0? G(x? y? z)?0?

問其切線和法平面方程又是什么形式??

提示? 兩方程確定了兩個隱函數?

y??(x)? z??(x)? 曲線的參數方程為

x?x? y??(x)? z??(x)? ?dy?dzFx?Fy?Fz?0?dydxdx由方程組?可解得dydxdz?Gx?Gy?Gz?0dxdx?和dz??

dx切向量為T?(1, dydz,)? dxdxdy?dz2x?2y?2z?0?dxdx得?dydz?1???0?dxdx

例2 求曲線x2?y2?z2?6? x?y?z?0在點(1? ?2? 1)處的切線及法平面方程? ?

解為求切向量? 將所給方程的兩邊對x求導數?

??解方程組得dydx?z?xdzx?y?? ? ?y?zdxy?zdydx?0在點(1? ?2? 1)處?

? dz??1?

dx從而T ?(1? 0? ?1)?

所求切線方程為

y?2z?1?

x?1??

10?1法平面方程為

(x?1)?0?(y?2)?(z?1)?0? 即x?z?0?

二? 曲面的切平面與法線

設曲面?的方程為

F(x? y? z)?0?

M0(x0? y0? z0)是曲面?上的一點?

并設函數F(x? y? z)的偏導數在該點連續且不同時為零? 在曲面?上? 通過點M0任意引一條曲線?? 假定曲線?的參數方程式為

x??(t)? y??(t)? z??(t)?

t?t0對應于點M0(x0? y0? z0)? 且??(t0)? ??(t0)? ??(t0)不全為零? 曲線在點的切向量為

T ?(??(t0)? ??(t0)? ??(t0))?

考慮曲面方程F(x? y? z)?0兩端在t?t0的全導數?

Fx(x0? y0? z0)??(t0)?Fy(x0? y0? z0)??(t0)?Fz(x0? y0? z0)??(t0)?0?

引入向量

n?(Fx(x0? y0? z0)? Fy(x0? y0? z0)? Fz(x0? y0? z0))?

易見T與n是垂直的? 因為曲線?是曲面?上通過點M0的任意一條曲線? 它們在點M0的切線都與同一向量n垂直? 所以曲面上通過點M0的一切曲線在點M0的切線都在同一個平面上? 這個平面稱為曲面?在點M0的切平面? 這切平面的方程式是

Fx(x0? y0? z0)(x?x0)?Fy(x0? y0? z0)(y?y0)?Fz(x0? y0? z0)(z?z0)?0?

曲面的法線? 通過點M0(x0? y0? z0)而垂直于切平面的直線稱為曲面在該點的法線? 法線方程為

x?x0Fx(x0, y0, z0)?y?y0Fy(x0, y0, z0)?z?z0Fz(x0, y0, z0)?

曲面的法向量? 垂直于曲面上切平面的向量稱為曲面的法向量? 向量

n?(Fx(x0? y0? z0)? Fy(x0? y0? z0)? Fz(x0? y0? z0))就是曲面?在點M0處的一個法向量?

例3 求球面x2?y2?z2?14在點(1? 2? 3)處的切平面及法線方程式?

解

F(x? y? z)? x2?y2?z2?14?

Fx?2x? Fy?2y ? Fz?2z ?

Fx(1? 2? 3)?2? Fy(1? 2? 3)?4? Fz(1? 2? 3)?6?

法向量為n?(2? 4? 6)? 或n?(1? 2? 3)?

所求切平面方程為

2(x?1)?4(y?2)?6(z?3)?0? 即x?2y?3z?14?0?

法線方程為x?1?1y?22?z?33?

討論? 若曲面方程為z?f(x? y)? 問曲面的切平面及法線方程式是什么形式?

提示?

此時F(x? y? z)?f(x? y)?z ?

n?(fx(x0? y0)? fy(x0? y0)? ?1)

例4 求旋轉拋物面z?x2?y2?1在點(2? 1? 4)處的切平面及法線方程?

解

f(x? y)?x2?y2?1?

n?(fx? fy? ?1)?(2x? 2y? ?1)?

n|(2? 1? 4)?(4? 2? ?1)?

所以在點(2? 1? 4)處的切平面方程為

4(x?2)?2(y?1)?(z?4)?0? 即4x?2y?z?6?0?

y?1z?4?法線方程為 x?2??

42?1 §8? 7

方向導數與梯度

一、方向導數

現在我們來討論函數z?f(x? y)在一點P沿某一方向的變化率問題?

設l是xOy平面上以P0(x0? y0)為始點的一條射線? el?(cos ?? cos ?)是與l同方向的單位向量? 射線l的參數方程為

x?x0?t cos ?? y?y0?t cos ?(t?0)?

設函數z?f(x? y)在點P0(x0? y0)的某一鄰域U(P0)內有定義? P(x0?t cos ?? y0?t cos ?)為l上另一點? 且P?U(P0)? 如果函數增量f(x0?t cos ?? y0?t cos ?)?f(x0? y0)與P到P0的距離|PP0|?t的比值

f(x0?tco?s, y0?tcos?)?f(x0,y0)t

當P沿著l趨于P0(即t?t0?)時的極限存在?

則稱此極限為函數f(x? y)在點P0沿方向l的方向導數? 記作?f?l?f?l(x0,y0)? 即

?lim(x0,y0)f(x0?tco?s, y0?tcos?)?f(x0,y0)tt?0??

從方向導數的定義可知? 方向導數

?f?l(x0,y0)就是函數f(x? y)在點P0(x0? y0)處沿方向l的變化率?

方向導數的計算?

定理

如果函數z?f(x? y)在點P0(x0? y0)可微分? 那么函數在該點沿任一方向l 的方向導數都存在? 且有

?f?l(x0,y0)?fx(x0,y0)co?s?fy(x0,y0)cos??

其中cos ?? cos ?是方向l 的方向余弦?

簡要證明? 設?x?t cos ?? ?y?t cos ?? 則

f(x0?tcos?? y0?tcos?)?f(x0? y0)?f x(x0? y0)tcos??f y(x0? y0)tcos??o(t)?

所以

limf(x0?tco?s, y0?tcos?)?f(x0,y0)?t?0t?fx(x0,y0)cos??fy(x0,y0)sin??

這就證明了方向導數的存在? 且其值為

?f?l(x0,y0)?fx(x0,y0)co?s?fy(x0,y0)cos???提示? f(x0??x,y0??y)?f(x0,y0)?fx(x0,y0)?x?fy(x0,y0)?y?o((?x)2?(?y)2)?

?x?t cos ?? ?y?t cos ??(?x)2?(?y)2?t?

討論? 函數z?f(x? y)在點P 沿x軸正向和負向?

沿y軸正向和負向的方向導數如何? 提示?

沿x軸正向時? cos???? cos??0?

?f?l??f?x?

沿x軸負向時? cos???1? cos??0?

?f?f? ????l?x

例1 求函數z?xe2y在點P(1? 0)沿從點P(1? 0)到點Q(2? ?1)的方向的方向導數?

解這里方向l即向量PQ?(1, ?1)的方向? 與l同向的單位向量為

el?(12, ?12)??

?e2y?1?

?z?y?2xe2y?2 因為函數可微分? 且?z所以所求方向導數為

?z?l(1,0)?x(1,0)(1,0)(1,0)(1,0)???1?12?2?(?12)??2?

2對于三元函數f(x? y? z)來說? 它在空間一點P0(x0? y0? z0)沿el?(cos ??? cos ??? cos ?)的方向導數為?

?f?l?lim(x0,y0,z0)f(x0?tco?s, y0?tcos?,z0?tcos?)?f(x0,y0,z0)tt?0??

如果函數f(x? y? z)在點(x0? y0? z0)可微分? 則函數在該點沿著方向el?(cos ??? cos ??? cos ??的方向導數為

?f?l(x0,y0,z0)?fx(x0? y0? z0)cos??fy(x0? y0? z0)cos??fz(x0? y0? z0)cos??

例2求f(x? y? z)?xy?yz?zx在點(1? 1? 2)沿方向l的方向導數? 其中l的方向角分

別為60?? 45?? 60??

解與l同向的單位向量為

el?(cos60?? cos 45?? cos60???(1, 2, 1)???

222????因為函數可微分??且

fx(1? 1? 2)?(y?z)|(1? 1? 2)?3?

fy(1? 1? 2)?(x?z)|(1? 1? 2)?3?

fz(1? 1? 2)?(y?x)|(1? 1? 2)?2? 所以

?f?l1211?3??3??2??(5?32)2222(1,1,2)?

二? 梯度

設函數z?f(x? y)在平面區域D內具有一階連續偏導數? 則對于每一點P0(x0? y0)?D? 都可確定一個向量

fx(x0? y0)i?fy(x0? y0)j?

這向量稱為函數f(x? y)在點P0(x0? y0)的梯度? 記作grad f(x0? y0)? 即

grad f(x0? y0)? fx(x0? y0)i?fy(x0? y0)j?

梯度與方向導數? ?

如果函數f(x? y)在點P0(x0? y0)可微分? el?(cos ??? cos ??)是與方向l同方向的單位向量? 則

?f?l(x0,y0)?fx(x0,y0)co?s?fy(x0,y0)cos??

? grad f(x0? y0)?el

?| grad f(x0? y0)|?cos(grad f(x0? y0)?^ el)?

這一關系式表明了函數在一點的梯度與函數在這點的方向導數間的關系? 特別? 當向量el與grad f(x0? y0)的夾角??0? 即沿梯度方向時? 方向導數

?f?l取得

(x0,y0)最大值? 這個最大值就是梯度的模|grad f(x0? y0)|? 這就是說? 函數在一點的梯度是個向量? 它的方向是函數在這點的方向導數取得最大值的方向? 它的模就等于方向導數的最大值?

討論? ?f?l的最大值?

結論? 函數在某點的梯度是這樣一個向量? 它的方向與取得最大方向導數的方向一致? 而它的模為方向導數的最大值?

我們知道? 一般說來二元函數z?f(x? y)在幾何上表示一個曲面? 這曲面被平面z?c(c是常數)所截得的曲線L的方程為

z?f(x,y)

??z?c這條曲線L在xOy面上的投影是一條平面曲線L*? 它在xOy平面上的方程為

f(x? y)?c?

對于曲線L*上的一切點? 已給函數的函數值都是c? 所以我們稱平面曲線L*為函數z?f(x? y)的等值線?

若f x? f y不同時為零? 則等值線f(x? y)?c上任一點P0(x0? y0)處的一個單位法向量為

n?1fx2(x0,y0)?fy2(x0,y0)(fx(x0,y0),fy(x0,y0))?

這表明梯度grad f(x0? y0)的方向與等值線上這點的一個法線方向相同? 而沿這個方向的方向導數?f就等于|grad f(x0? y0)|? 于是 ?n?fn?

gradf(x0,y0)?

這一關系式表明了函數在一點的梯度與過這點的等值線、方向導數間的關系? 這說是說? 函數在一點的梯度方向與等值線在這點的一個法線方向相同? 它的指向為從數值較低的等值線指向數值較高的等值線? 梯度的模就等于函數在這個法線方向的方向導數?

梯度概念可以推廣到三元函數的情形? 設函數f(x? y? z)在空間區域G內具有一階連續偏導數? 則對于每一點P0(x0? y0? z0)?G? 都可定出一個向量

fx(x0? y0? z0)i?fy(x0? y0? z0)j?fz(x0? y0? z0)k?

這向量稱為函數f(x? y? z)在點P0(x0? y0? z0)的梯度? 記為grad f(x0? y0? z0)? 即

grad f(x0? y0? z0)?fx(x0? y0? z0)i?fy(x0? y0? z0)j?fz(x0? y0? z0)k?

結論? 三元函數的梯度也是這樣一個向量? 它的方向與取得最大方向導數的方向一致? 而它的模為方向導數的最大值?

如果引進曲面

f(x? y? z)?c

為函數的等量面的概念? 則可得函數f(x? y? z)在點P0(x0? y0? z0)的梯度的方向與過點P0的等量面 f(x? y? z)?c在這點的法線的一個方向相同? 且從數值較低的等量面指向數值較高的等量面? 而梯度的模等于函數在這個法線方向的方向導數?

例3 求grad 1x2?y2?

? 解這里f(x,y)?

因為 1x2?y2?f?f2y2x? ?

??2??22222?x?y(x?y)(x?y)2y2xi?j?

(x2?y2)2(x2?y2)21所以

grad 2x?y2??

例4 設f(x? y? z)?x2?y2?z2? 求grad f(1? ?1? 2)?

解 grad f?(fx? fy? fz)?(2x? 2y? 2z)?

于是

grad f(1? ?1? 2)?(2? ?2? 4)?

數量場與向量場? 如果對于空間區域G內的任一點M? 都有一個確定的數量f(M)? 則稱在這空間區域G內確定了一個數量場(例如溫度場、密度場等)? 一個數量場可用一個數量函數f(M)來確定? 如果與點M相對應的是一個向量F(M)? 則稱在這空間區域G內確定了一個向量場(例如力場、速度場等)? 一個向量場可用一個?向量函數F(M)來確定? 而

F(M)?P(M)i?Q(M)j?R(M)k?

其中P(M)? Q(M)? R(M)是點M的數量函數?

利用場的概念? 我們可以說向量函數grad f(M)確定了一個向量場——梯度場? 它是由數量場f(M)產生的? 通常稱函數f(M)為這個向量場的勢? 而這個向量場又稱為勢場? 必須注意? 任意一個向量場不一定是勢場? 因為它不一定是某個數量函數的梯度場??

例5 試求數量場m所產生的梯度場? 其中常數m>0?

rr?x2?y2?z2為原點O與點M(x? y? z)間的距離?

?rmx 解 ?(m)??m? ??23?xrr?xr同理

my?m()??3?yrr? ?(m)??mz? 3?zrrymmxz??2(i?j?k)? 從而

gradrrrrr?yxz記er?i?j?k? 它是與OM同方向的單位向量? 則gradm??mer?

rrrrr2

上式右端在力學上可解釋為? 位于原點O 而質量為m 質點對位于點M而質量為l的質點的引力? 這引力的大小與兩質點的質量的乘積成正比、而與它們的距平方成反比? 這引力的方向由點M指向原點? 因此數量場m的勢場即梯度場

rgradm稱為引力場? 而函數m稱為引力勢?

r §8?8

多元函數的極值及其求法

一、多元函數的極值及最大值、最小值

定義

設函數z?f(x? y)在點(x0? y0)的某個鄰域內有定義? 如果對于該鄰域內任何異于(x0? y0)的點(x? y)? 都有

f(x? y)f(x0? y0))?

則稱函數在點(x0? y0)有極大值(或極小值)f(x0? y0)?

極大值、極小值統稱為極值? 使函數取得極值的點稱為極值點?

例1 函數z?3x2?4y2在點(0? 0)處有極小值?

當(x? y)?(0? 0)時? z?0? 而當(x? y)?(0? 0)時? z?0? 因此z?0是函數的極小值?

例2 函數z??x2?y2在點(0? 0)處有極大值?

當(x? y)?(0? 0)時? z?0? 而當(x? y)?(0? 0)時? z?0? 因此z?0是函數的極大值?

例3 函數z?xy在點(0? 0)處既不取得極大值也不取得極小值?

因為在點(0? 0)處的函數值為零? 而在點(0? 0)的任一鄰域內? 總有使函數值為正的點? 也有使函數值為負的點?

以上關于二元函數的極值概念? 可推廣到n元函數?

設n元函數u?f(P)在點P0的某一鄰域內有定義? 如果對于該鄰域內任何異于P0的點P? 都有

f(P)f(P 0))?

則稱函數f(P)在點P0有極大值(或極小值)f(P0)?

定理1(必要條件)設函數z?f(x? y)在點(x0? y0)具有偏導數? 且在點(x0? y0)處有極值? 則有

fx(x0? y0)?0? fy(x0? y0)?0?

證明不妨設z?f(x? y)在點(x0? y0)處有極大值? 依極大值的定義? 對于點(x0? y0)的某鄰域內異于(x0? y0)的點(x? y)? 都有不等式

f(x? y)

特殊地? 在該鄰域內取y?y0而x?x0的點? 也應有不等式

f(x? y0)

這表明一元函數f(x? y0)在x?x0處取得極大值? 因而必有

fx(x0? y0)?0?

類似地可證

fy(x0? y0)?0?

從幾何上看? 這時如果曲面z?f(x? y)在點(x0? y0? z0)處有切平面? 則切平面

z?z0?fx(x0? y0)(x?x0)? fy(x0? y0)(y?y0)成為平行于xOy坐標面的平面z?z0?

類似地可推得? 如果三元函數u?f(x? y? z)在點(x0? y0? z0)具有偏導數? 則它在點

(x0? y0? z0)具有極值的必要條件為

fx(x0? y0? z0)?0? fy(x0? y0? z0)?0? fz(x0? y0? z0)?0?

仿照一元函數? 凡是能使fx(x? y)?0? fy(x? y)?0同時成立的點(x0? y0)稱為函數z?f(x? y)的駐點?

從定理1可知? 具有偏導數的函數的極值點必定是駐點? 但函數的駐點不一定是極值點?

例如? 函數z?xy在點(0? 0)處的兩個偏導數都是零? 函數在(0? 0)既不取得極大值也不取得極小值?

定理2(充分條件)

設函數z?f(x? y)在點(x0? y0)的某鄰域內連續且有一階及二階連續偏導數? 又fx(x0? y0)?0? fy(x0? y0)?0? 令

fxx(x0? y0)?A? fxy(x0? y0)?B? fyy(x0? y0)?C?

則f(x? y)在(x0? y0)處是否取得極值的條件如下?

(1)AC?B2>0時具有極值? 且當A<0時有極大值? 當A>0時有極小值?

(2)AC?B2<0時沒有極值?

(3)AC?B2?0時可能有極值? 也可能沒有極值?

在函數f(x? y)的駐點處如果 fxx? fyy?fxy2>0? 則函數具有極值? 且當fxx<0時有極大值? 當fxx>0時有極小值?

極值的求法?

f(?3? 2)?31?

應注意的問題?

不是駐點也可能是極值點?

例如? ? 函數z??x2?y2在點(0? 0)處有極大值? 但(0? 0)不是函數的駐點? 因此? 在考慮函數的極值問題時? 除了考慮函數的駐點外? 如果有偏導數不存在的點? 那么對這些點也應當考慮?

最大值和最小值問題? 如果f(x? y)在有界閉區域D上連續? 則f(x? y)在D上必定能取得最大值和最小值? 這種使函數取得最大值或最小值的點既可能在D的內部? 也可能在D的邊界上? 我們假定? 函數在D上連續、在D內可微分且只有有限個駐點? 這時如果函數在D的內部取得最大值(最小值)? 那么這個最大值(最小值)也是函數的極大值(極小值)? 因此? 求最大值和最小值的一般方法是? 將函數f(x? y)在D內的所有駐點處的函數值及在D的邊界上的最大值和最小值相互比較? 其中最大的就是最大值? 最小的就是最小值? 在通常遇到的實際問題中? 如果根據問題的性質? 知道函數f(x? y)的最大值(最小值)一定在D的內部取得? 而函數在D內只有一個駐點? 那么可以肯定該駐點處的函數值就是函數f(x? y)在D上的最大值(最小值)?

例5 某廠要用鐵板做成一個體積為8m3的有蓋長方體水箱? 問當長、寬、高各取多少時? 才能使用料最省?

解設水箱的長為xm? 寬為ym? 則其高應為A?2(xy?y?8xym? 此水箱所用材料的面積為

8888?x?)?2(xy??)(x?0, y?0)? xyxyxyy令Ax?2(y?82)?0? Ay?2(x?82)?0? 得x?2? y?2?

根據題意可知? 水箱所用材料面積的最小值一定存在? 并在開區域D?{(x?

y)|x>0? y>0}內取得? 因為函數A在D內只有一個駐點? 所以此駐點一定是A的最小值點? 即當水箱的長為2m、寬為2m、高為8?2m時? 水箱所用的材料最省?

2?2? 因此A在D內的唯一駐點(2? 2)處取得最小值? ?即長為2m、寬為2m、高為8?2m時? 所用材料最省? ?

2?從這個例子還可看出?

在體積一定的長方體中? 以立方體的表面積為最小??

例6 有一寬為24cm的長方形鐵板? 把它兩邊折起來做成一斷面為等腰梯形的水槽? 問怎樣折法才能使斷面的面積最大？?

解設折起來的邊長為xcm? 傾角為?? 那末梯形斷面的下底長為24?2x? 上底長為24?2x?cos?? 高為x?sin?? 所以斷面面積

A?1(24?2x?2xcos??24?2x)?xsin??

2即A?24x?sin??2x2sin??x2sin? cos?(0

可見斷面面積A是x和?的二元函數? 這就是目標函數? 面求使這函數取得最大值的點(x? ?)?

令Ax?24sin??4xsin??2xsin? cos??0?

A??24xcos??2x2 cos??x2(cos2??sin2?)?0?

由于sin? ?0? x?0? 上述方程組可化為

2224co?s?2xco?s?x(cos??sin?)?0?解這方程組? 得??60?? x?8cm?

根據題意可知斷面面積的最大值一定存在? 并且在D?{(x? y)|0

二、條件極值

拉格朗日乘數法

對自變量有附加條件的極值稱為條件極值?

例如? 求表面積為a2而體積為最大的長方體的體積問題? 設長方體的三棱的長為x? y? z? 則體積V?xyz? 又因假定表面積為a2? 所以自變量x? y? z還必須滿足附加條件2(xy?yz?xz)?a2?

這個問題就是求函數V?xyz在條件2(xy?yz?xz)?a2下的最大值問題? 這是一個條件極值問題?

對于有些實際問題? 可以把條件極值問題化為無條件極值問題?

例如上述問題? ? 由條件2(xy?yz?xz)?a2? 解得z?

V?xya2?2xy()? 2(x?y)a2?2xy2(x?y)?12?2x?xcos??0? 于是得

只需求V的無條件極值問題?

在很多情形下? 將條件極值化為無條件極值并不容易? 需要另一種求條件極值的專用方法? 這就是拉格朗日乘數法?

現在我們來尋求函數z?f(x? y)在條件?(x? y)?0下取得極值的必要條件?

如果函數z?f(x? y)在(x0? y0)取得所求的極值? 那么有

?(x0? y0)?0?

假定在(x0? y0)的某一鄰域內f(x? y)與?(x? y)均有連續的一階偏導數? 而?y(x0? y0)?0?

由隱函數存在定理? 由方程?(x? y)?0確定一個連續且具有連續導數的函數y??(x)? 將其代入目標函數z?f(x? y)? 得一元函數

z?f [x? ?(x)]?

于是x?x0是一元函數z?f [x? ?(x)]的極值點? 由取得極值的必要條件? 有

dzdxx?x0?fx(x0,y0)?fy(x0,y0)dydxx?x0?0?

即

fx(x0,y0)?fy(x0,y0)?x(x0,y0)?0?

?y(x0,y0)從而函數z?f(x? y)在條件?(x? y)?0下在(x0? y0)取得極值的必要條件是

fx(x0,y0)?fy(x0,y0)?x(x0,y0)?0與?(x0? y0)?0同時成立?

?y(x0,y0)

設fy(x0,y0)?y(x0,y0)???? 上述必要條件變為

?fx(x0,y0)???x(x0,y0)?0??fy(x0,y0)???y(x0,y0)?0??(x,y)?000??

拉格朗日乘數法? 要找函數z?f(x? y)在條件?(x? y)?0下的可能極值點? 可以先構成輔助函數

F(x? y)?f(x? y)???(x? y)?

其中?為某一常數?

然后解方程組

?Fx(x,y)?fx(x,y)???x(x,y)?0??Fy(x,y)?fy(x,y)???y(x,y)?0? ??(x,y)?0?

由這方程組解出x? y及?? 則其中(x? y)就是所要求的可能的極值點?

這種方法可以推廣到自變量多于兩個而條件多于一個的情形?

至于如何確定所求的點是否是極值點? 在實際問題中往往可根據問題本身的性質來判定?

例7 求表面積為a2而體積為最大的長方體的體積?

解設長方體的三棱的長為x? y? z? 則問題就是在條件

2(xy?yz?xz)?a2

下求函數V?xyz的最大值?

構成輔助函數

F(x? y? z)?xyz??(2xy ?2yz ?2xz ?a2)?

解方程組

?Fx(x,y,z)?yz?2?(y?z)?0??Fy(x,y,z)?xz?2?(x?z)?0?

?Fz(x,y,z)?xy?2?(y?x)?0?2??2xy?2yz?2xz?a得x?y?z?6a?

6這是唯一可能的極值點?

因為由問題本身可知最大值一定存在? ?所以最大值就在這個可能的值點處取得? 此時V?6a3?

第二篇：第八章多元函數的微分法及其應用

第八章多元函數的微分法及其應用

§ 1多元函數概念

一、設.二、求下列函數的定義域：

1、2、三、求下列極限：

1、（0）

2、()

四、證明極限不存在.證明：當沿著x軸趨于（0，0）時，極限為零，當沿著趨于（0，0）時，極限為 ,二者不相等，所以極限不存在五、證明函數在整個xoy面上連續。

證明：當時。當時，所以函數在（0，0）也連續。所以函數

在整個xoy面上連續。

六、設且當y=0時，求f(x)及z的表達式.解：f(x)=，z

§ 2偏導數

1、設z=,驗證

證明：，2、求空間曲線在點（）處切線與y軸正向夾角()

3、設 ,求(1)

4、設 , 求，解：，5、設，證明 :

6、判斷下面的函數在(0,0)處是否連續？是否可導（偏導）？說明理由

連續；不存在，7、設函數 f(x,y)在點（a,b）處的偏導數存在，求

（2fx(a,b)）

§ 3全微分

1、單選題

（1）二元函數f(x,y)在點(x,y)處連續是它在該點處偏導數存在的__________

(A)必要條件而非充分條件（B）充分條件而非必要條件

（C）充分必要條件（D）既非充分又非必要條件

（2）對于二元函數f(x,y)，下列有關偏導數與全微分關系中正確的是___

(A)偏導數不連續，則全微分必不存在（B）偏導數連續，則全微分必存在（C）全微分存在，則偏導數必連續（D）全微分存在，而偏導數不一定存在2、求下列函數的全微分：

1）

2）解：

3）解：

3、設，求

解：

4、設求：

5、討論函數在（0，0）點處的連續性、偏導數、可微性

解：所以在（0，0）點處連續。，所以可微。

§4多元復合函數的求導法則

1、設，求

解： =

2、設，求

3、設，可微，證明

4、設，其中具有二階連續偏導數，求，解：，=,5、設，其中具有二階連續偏導數、具有二階連續導數，求

解：，6、設，，求

解：。

7、設，且變換可把方程=0化為，其中具有二階連續偏導數，求常數的值

證明：

得：a=

38、設函數f(x,y)具有連續的一階偏導數，f(1,1)=1, ,又，求和(1),(a+ab+ab2+b3)

§ 5隱函數的求導公式

1、設，求

解：令，2、設由方程確定，其中可微，證明

3、設由方程所確定，其中可微，求

4、設，求，(，)

5、設由方程所確定，可微，求

解：令，則

6、設由方程所確定，求()

7、設z=z(x,y)由方程所確定，求，,§ 6微分法在幾何中的應用

1、求螺旋線在對應于處的切線及法平面方程

解：切線方程為

法平面方程

2、求曲線在（3，4，5）處的切線及法平面方程

解：切線方程為，法平面方程：

3、求曲面在（1，-1，2）處的切平面及法線方程

解：切平面方程為

及法線方程

4、設可微，證明由方程所確定的曲面在任一點處的切平面與一定向量平行

證明：令，則，所以在（）處的切平面與定向量（）平行。

5、證明曲面）上任意一點處的切平面在三個坐標軸上的截距的平方和為

證明：令，則

在任一點處的切平面方程為

在在三個坐標軸上的截距分別為在三個坐標軸上的截距的平方和為

證明曲面上任意一點處的切平面都通過原點

7、設F(x,y,z)具有連續偏導數，且對任意實數t, 總有

k為自然數，試證：曲面F(x,y,z)=0上任意一點的切平面都相交于一定點

證明：兩邊對t 求導，并令t=

1設是曲面上任意一點，則過這點的切平面為：

+ + =0

此平面過原點（0，0，0）

§ 7方向導數與梯度

1、設函數，1）求該函數在點（1，3）處的梯度。

2）在點（1，3）處沿著方向的方向導數，并求方向導數達到最大和最小的方向

解：梯度為, 方向導數達到最大值的方向為，方向導數達到

最小值的方向為。

2、求函數在（1，2，-1）處沿方向角為的方向導數，并求在該點處方向導數達到最大值的方向及最大方向導數的值。

解：：方向導數為，該點處方向導數達到最大值的方向即為梯度的方向，此時最大值為

3、求函數在（1，1，-1）處沿曲線在（1，1，1）處的切線正方向（對應于t增大的方向）的方向導數。

解：：，該函數在點（1，1，-1）處的方

向導數為，4、求函數在（1，1，-1）處的梯度。

解：：，§ 8多元函數的極值及求法

1、求函數的極值。

答案：（，）極小值點

2．求函數的極值

答案：極小值

3.函數在點（1，1）處取得極值，求常數a(-5)

4、求函數在條件下的條件極值

解：，極小值為

5、欲造一個無蓋的長方體容器，已知底部造價為3元/平方，側面造價均為1元/平方，現想用36元造一個容積最大的容器，求它的尺寸。

（長和寬2米，高3米）

6、在球面（）上求一點，使函數達到極大值，并求此時的極大值。利用此極大值證明有

證明：令

令，解得駐點。所以函數在處達到極大值。極大值為。即，令得。

7、求橢球面被平面x+y+z=0截得的橢圓的長半軸與短半軸的長度

解：，長半軸，短半軸

第八章自測題

一、選擇題：（每題2分，共14分）

1、設有二元函數則[]

A、存在；

B、不存在；

C、存在，且在(0,0)處不連續；

D、存在，且在(0,0)處連續。

2、函數在各一階偏導數存在且連續是在連續的[]

A、必要條件；B、充分條件；

C、充要條件；D、既非必要也非充分條件。

3、函數在(0,0)點處[]

A、極限值為1；B、極限值為-1；

C、連續；D、無極限。

4、在處，存在是函數在該點可微分的[]

（A）必要條件；（B）充分條件；

（C）充要條件；（D）既非必要亦非充分條件。

5、點是函數的[]

（A）極小值點；（B）駐點但非極值點；

（C）極大值點；（D）最大值點。

6、曲面在點P(2,1,0)處的切平面方程是[]

（A）；（B）；

（C）；（D）

7、已知函數均有一階連續偏導數，那么 []

(A);(B);

(C);(D)

二、填空題：（每題３分，共18分）

1、（0）

２、設，則（）

３、設則(0)

４、設，則在點處的全微分.５、曲線在點處的切線方程為(６、曲線在點(1,1,1)處的切線方程為()

三、計算題（每題6分）

1、設，求的一階偏導數。

2、設，求此函數在點處的全微分。并求該函數在該點處沿著從P 到方向的方向導數(，)

３、設具有各二階連續偏導數，求

解：

４、設求和。

不存在，故不存在，同理，也不存在。

當時，有

５、設由方程所確定，求()

６、設，具有連續的二階偏導數，可導，求

７、設確定函數，求。

８、設，式中二階可導，求

解：記，則，)

類似地，有

四、（１０分）試分解正數為三個正數之和，而使它們的倒數和為最小。設三個正數為，則，記，令

則由

解出。

五、證明題：（１０分）

試證：曲面上任一點處的切平面都平行于一條直線，式中連續可導。證明：曲面在任一點處的切平面的法向量為

定直線L的方向向量若為，則，即

則曲面上任一點的切平面平行于以(1,1,1)為方向的定直線。

第三篇：第十一章多元函數微分法及其應用

第十一章多元函數微分法及其應用

教學目標：

1、理解鄰域、內點、聚點、邊界點和區域的概念，二元函數的概念，掌握多元函數極限和連續性的概念；

2、理解偏導數的概念和幾何意義，掌握偏導數的計算方法，理解函數偏導數存在與連續的關系；

3、理解全微分的概念，可微分的充分條件和必要條件，可微和連續的關系；

4、了解二元函數的泰勒公式；

5、掌握多元復合函數的求導法則；

6、掌握隱函數的求導法則；

7、掌握空間曲線的切線和法平面，空間曲線的法線和切平面的求法；

8、會求二元函數的無條件極值及利用拉格朗日乘數法求條件極值。

教學重點：

1、偏導數的計算方法；

2、多元復合函數的求導法則；

3、隱函數的求導法則；

4、掌握空間曲線的切線和法平面，空間曲面的法線和切平面的求法；

5、會求二元函數的無條件極值及利用拉格朗日乘數法求條件極值。

教學難點：

1、函數偏導數存在與連續的關系；

2、二元函數的泰勒公式；

3、二元函數的無條件極值及利用拉格朗日乘數法求條件極值。

教學方法

講授法與多媒體相結合。

教學內容

§1 多元函數的基本功能

一、平面點集

1、平面點集

平面解析幾何使二元實數組?x,y?與平面上的點P一一對應，于是二元有序實數組?x,y?的全體：R2?R?R???x,y??x,y?R?就表示坐標平面。

坐標平面上具有某種性質P的點的集合，稱為平面點集，記為E?

??x,y??x,y具有性質P?。例如，xoy平面上以原點為中心、r為半徑的圓內所有點的

第四篇：第九章多元函數微分法及其應用教案

多元函數微分法及其應用

第九章

多元函數微分法及其應用

【教學目標與要求】

1、理解多元函數的概念和二元函數的幾何意義。

2、了解二元函數的極限與連續性的概念，以及有界閉區域上的連續函數的性質。

3、理解多元函數偏導數和全微分的概念，會求全微分，了解全微分存在的必要條件和充分條件，了解全微分形式的不變性。

4、理解方向導數與梯度的概念并掌握其計算方法。

5、掌握多元復合函數偏導數的求法。

6、會求隱函數（包括由方程組確定的隱函數）的偏導數。

7、了解曲線的切線和法平面及曲面的切平面和法線的概念，會求它們的方程。

8、了解二元函數的二階泰勒公式。

9、理解多元函數極值和條件極值的概念，掌握多元函數極值存在的必要條件，了解二元函數極值存在的充分條件，會求二元函數的極值，會用拉格郎日乘數法求條件極值，會求簡多元函數的最大值和最小值，并會解決一些簡單的應用問題。

【教學重點】

1、二元函數的極限與連續性；

2、函數的偏導數和全微分；

3、方向導數與梯度的概念及其計算；

4、多元復合函數偏導數；

5、隱函數的偏導數；多元函數極值和條件極值的求法；

6、曲線的切線和法平面及曲面的切平面和法線；

【教學難點】

1、二元函數的極限與連續性的概念；

2、全微分形式的不變性；

3、復合函數偏導數的求法；

4、二元函數的二階泰勒公式；

5、隱函數（包括由方程組確定的隱函數）的偏導數；

6、拉格郎日乘數法，多元函數的最大值和最小值。

【教學課時分配】(18學時)第1 次課

§１

第2 次課

§2

第3 次課

§3 第4 次課

§4

第5次課

§5

第6次課

§6 第7次課

§7

第8次課

§8

第9次課

習題課

【參考書】

[1]同濟大學數學系.《高等數學（下）》，第五版.高等教育出版社.[2] 同濟大學數學系.《高等數學學習輔導與習題選解》，第六版.高等教育出版社. [3] 同濟大學數學系.《高等數學習題全解指南（下）》，第六版.高等教育出版社

多元函數微分法及其應用

§9? 1 多元函數的基本概念

一、平面點集n維空間

1．區域

由平面解析幾何知道? 當在平面上引入了一個直角坐標系后?平面上的點P與有序二元實數組(x? y)之間就建立了一一對應? 于是? 我們常把有序實數組(x? y)與平面上的點P視作是等同的? 這種建立了坐標系的平面稱為坐標平面?

二元的序實數組(x? y)的全體? 即R2?R?R?{(x? y)|x? y?R}就表示坐標平面?

坐標平面上具有某種性質P的點的集合? 稱為平面點集? 記作

E?{(x? y)|(x? y)具有性質P}?

例如?平面上以原點為中心、r為半徑的圓內所有點的集合是

C?{(x? y)| x2?y2?r2}?

如果我們以點P表示(x? y)? 以|OP|表示點P到原點O的距離? 那么集合C可表成 C?{P| |OP|?r}?

鄰域?

設P0(x0? y0)是xOy平面上的一個點? ?是某一正數? 與點P0(x0? y0)距離小于?的點P(x? y)的全體? 稱為點P0的?鄰域? 記為U(P0? ??? 即

2U(P0,?)?{(x, y)|(x?x0)?(y?y0)?? }?

0,?)?{P| |PP0|??}或U(P鄰域的幾何意義?

U(P0? ?)表示xOy平面上以點P0(x0? y0)為中心、? >0為半徑的圓的內部的點P(x? y)的全體? ?

點P0的去心?鄰域? 記作U(P0, ?)? 即

U(P0, ?)?{P| 0?|P0P|??}?

注? 如果不需要強調鄰域的半徑?? 則用U(P0)表示點P0的某個鄰域? 點P0的去心鄰域記作???U(P0)?

點與點集之間的關系?

任意一點P?R2與任意一個點集E?R2之間必有以下三種關系中的一種?

(1)內點? 如果存在點P的某一鄰域U(P)? 使得U(P)?E? 則稱P為E的內點?

(2)外點? 如果存在點P的某個鄰域U(P)? 使得U(P)?E??? 則稱P為E的外點?

(3)邊界點? 如果點P的任一鄰域內既有屬于E的點? 也有不屬于E的點? 則稱P點為E的邊點?

E的邊界點的全體? 稱為E的邊界? 記作?E?

E的內點必屬于E? E的外點必定不屬于E? 而E的邊界點可能屬于E? 也可能不屬于E ?

聚點?

如果對于任意給定的??0? 點P的去心鄰域U(P,?)內總有E中的點? 則稱P是E的聚點

多元函數微分法及其應用

由聚點的定義可知? 點集E的聚點P本身? 可以屬于E? 也可能不屬于E ?

例如? 設平面點集

E?{(x? y)|1?x2?y2?2}?

滿足1?x2?y2?2的一切點(x? y)都是E的內點? 滿足x2?y2?1的一切點(x? y)都是E的邊界點? 它們都不屬于E? 滿足x2?y2?2的一切點(x? y)也是E的邊界點? 它們都屬于E? 點集E以及它的界邊?E上的一切點都是E的聚點?

開集? 如果點集E 的點都是內點? 則稱E為開集?

閉集? 如果點集的余集E c為開集? 則稱E為閉集?

開集的例子? E?{(x? y)|1

閉集的例子? E?{(x? y)|1?x2?y2?2}?

集合{(x? y)|1?x2?y2?2}既非開集? 也非閉集?

連通性? 如果點集E內任何兩點? 都可用折線連結起來? 且該折線上的點都屬于E? 則稱E為連通集?

區域(或開區域)? 連通的開集稱為區域或開區域? 例如E?{(x? y)|1?x2?y2?2}?

閉區域? 開區域連同它的邊界一起所構成的點集稱為閉區域? 例如E ? {(x? y)|1?x2?y2?2}?

有界集? 對于平面點集E? 如果存在某一正數r? 使得

E?U(O? r)?

其中O是坐標原點? 則稱E為有界點集?

無界集? 一個集合如果不是有界集? 就稱這集合為無界集?

例如? 集合{(x? y)|1?x2?y2?2}是有界閉區域? 集合{(x? y)| x?y?1}是無界開區域?

集合{(x? y)| x?y?1}是無界閉區域?

2? n維空間

設n為取定的一個自然數? 我們用Rn表示n元有序數組(x1? x2? ? ? ? ? xn)的全體所構成的集合? 即

Rn?R?R???????R?{(x1? x2? ? ? ? ? xn)| xi?R? i?1? 2? ?????? n}?

Rn中的元素(x1? x2? ? ? ? ? xn)有時也用單個字母x來表示? 即x?(x1? x2? ? ? ? ? xn)? 當所有的xi(i?1? 2? ?????? n)都為零時? 稱這樣的元素為Rn中的零元? 記為0或O ? 在解析幾何中? 通過直角坐標? R2(或R3)中的元素分別與平面(或空間)中的點或向量建立一一對應? 因而Rn中的元素x?(x1? x2? ? ? ? ? xn)也稱為Rn中的一個點或一個n維向量? xi稱為點x的第i個坐標或n維向量x的第i個分量? 特別地? Rn中的零元0稱為Rn中的坐標原點或n維零向量?

二? 多元函數概念

例１圓柱體的體積V 和它的底半徑r、高h之間具有關系

V ??r2h??這里? 當r、h在集合{(r ? h)| r>0? h>0}內取定一對值(r ? h)時? V對應的值就隨之確定??

例2 一定量的理想氣體的壓強p、體積V和絕對溫度T之間具有關系

p?RT??V其中R為常數? 這里? 當V、T在集合{(V ?T)| V>0? T>0}內取定一對值(V? T)時? p的對應值就隨之

多元函數微分法及其應用

確定?

定義

1設D是R2的一個非空子集? 稱映射f ? D?R為定義在D上的二元函數? 通常記為

z?f(x? y)?(x? y)?D(或z?f(P)? P?D)其中點集D稱為該函數的定義域? x? y稱為自變量? z稱為因變量?

上述定義中? 與自變量x、y的一對值(x? y)相對應的因變量z的值? 也稱為f在點(x? y)處的函數值? 記作f(x? y)? 即z?f(x? y)?

值域? f(D)?{z| z?f(x? y)?(x? y)?D}?

函數的其它符號? z?z(x? y)? z?g(x? y)等?

類似地可定義三元函數u?f(x? y? z)?(x? y? z)?D以及三元以上的函數?

一般地? 把定義1中的平面點集D換成n維空間Rn內的點集D? 映射f ? D?R就稱為定義在D上的n元函數? 通常記為

u?f(x1? x2? ? ? ? ? xn)?(x1? x2? ? ? ? ? xn)?D?

或簡記為

u?f(x)? x?(x1? x2? ? ? ? ? xn)?D?

也可記為

u?f(P)? P(x1? x2? ? ? ? ? xn)?D ?

關于函數定義域的約定? 在一般地討論用算式表達的多元函數u?f(x)時? 就以使這個算式有意義的變元x的值所組成的點集為這個多元函數的自然定義域? 因而? 對這類函數? 它的定義域不再特別標出? 例如?

函數z?ln(x?y)的定義域為{(x? y)|x?y>0}(無界開區域)?

函數z?arcsin(x2?y2)的定義域為{(x? y)|x2?y2?1}(有界閉區域)?

二元函數的圖形? 點集{(x? y? z)|z?f(x? y)?(x? y)?D}稱為二元函數z?f(x? y)的圖形? 二元函數的圖形是一張曲面?

三? 多元函數的極限

與一元函數的極限概念類似? 如果在P(x? y)?P0(x0? y0)的過程中? 對應的函數值f(x? y)無限接近于一個確定的常數A? 則稱A是函數f(x? y)當(x? y)?(x0? y0)時的極限?

定義2 ：設二元函數f(P)?f(x? y)的定義域為D? P0(x0? y0)是D的聚點? 如果存在常數A? 對于任意給定的正數?總存在正數?? 使得當P(x,y)?D?U(P0,?)時? 都有

|f(P)?A|?|f(x? y)?A|??

成立? 則稱常數A為函數f(x? y)當(x? y)?(x0? y0)時的極限? 記為

(x,y)?(x0,y0)?limf(x,y)?A? 或f(x? y)?A((x? y)?(x0? y0))?

P?P0也記作

limf(P)?A或f(P)?A(P?P0)?

上述定義的極限也稱為二重極限?

例4.設f(x,y)?(x2?y2)sin

證

因為

1? 求證limf(x,y)?0?

(x,y)?(0,0)x2?y多元函數微分法及其應用

|f(x,y)?0|?|(x2?y2)sin可見?? >0? 取??1?0| ?|x2?y2|?|sin1| ?x2?y2?

x2?y2x2?y222??? 則當0?(x?0)?(y?0)??? 即P(x,y)?D?U(O,?)時? 總有

|f(x? y)?0|???

因此

必須注意?(x,y)?(0,0)limf(x,y)?0?

(1)二重極限存在? 是指P以任何方式趨于P0時? 函數都無限接近于A?

(2)如果當P以兩種不同方式趨于P0時? 函數趨于不同的值? 則函數的極限不存在?

討論?

?xy x2?y2?0? 函數f(x,y)??x2?y2在點(0? 0)有無極限？ ?22??0 x?y?0

提示? 當點P(x? y)沿x軸趨于點(0? 0)時?

(x,y)?(0,0)limf(x,y)?limf(x, 0)?lim0?0?

x?0x?0當點P(x? y)沿y軸趨于點(0? 0)時?

(x,y)?(0,0)limf(x,y)?limf(0, y)?lim0?0?

y?0y?0當點P(x? y)沿直線y?kx有

2xykxk? ?lim?lim?

(x,y)?(0,0)x2?y2x?0x2?k2x21?k2 y?kx因此? 函數f(x? y)在(0? 0)處無極限?

極限概念的推廣? 多元函數的極限?

多元函數的極限運算法則?

與一元函數的情況類似?

例5 求sin(xy)?

x(x,y)?(0,2)lim 解? sin(xy)sin(xy)sin(xy)?lim?y?lim?limy?1?2?2?

xxy(x,y)?(0,2)(x,y)?(0,2)xy(x,y)?(0,2)(x,y)?(0,2)lim

四? 多元函數的連續性

定義3 設二元函數f(P)?f(x? y)的定義域為D? P0(x0? y0)為D的聚點? 且P0?D ? 如果

多元函數微分法及其應用

(x,y)?(x0,y0)limf(x,y)?f(x0,y0)?

則稱函數f(x? y)在點P0(x0? y0)連續?

如果函數f(x? y)在D的每一點都連續? 那么就稱函數f(x? y)在D上連續? 或者稱f(x? y)是D上的連續函數?

二元函數的連續性概念可相應地推廣到n元函數f(P)上去?

例6設f(x,y)?sin x? 證明f(x? y)是R2上的連續函數?

證設P0(x0? y0)? R2? ???0? 由于sin x在x0處連續? 故???0? 當|x?x0|??時? 有

|sin x?sin x0|???

以上述?作P0的?鄰域U(P0? ?)? 則當P(x? y)?U(P0? ?)時? 顯然

|f(x? y)?f(x0? y0)|?|sin x?sin x0|???

即f(x? y)?sin x在點P0(x0? y0)連續? 由P0的任意性知? sin x作為x? y的二元函數在R2上連續?

類似的討論可知? 一元基本初等函數看成二元函數或二元以上的多元函數時? 它們在各自的定義域內都是連續的?

定義4設函數f(x? y)的定義域為D? P0(x0? y0)是D的聚點? 如果函數f(x? y)在點P0(x0? y0)不連續? 則稱P0(x0? y0)為函數f(x? y)的間斷點?

例如

?xy x2?y2?0? 函數f(x,y)??x2?y2?

?x2?y2?0?0 其定義域D?R2? O(0? 0)是D的聚點? f(x? y)當(x? y)?(0? 0)時的極限不存在? 所以點O(0? 0)是該函數的一個間斷點?

又如? 函數z?sin1? 其定義域為D?{(x? y)|x2?y2?1}? 圓周C?{(x? y)|x2?y2?1}上的點2x?y?12都是D的聚點? 而f(x? y)在C上沒有定義? 當然f(x? y)在C上各點都不連續? 所以圓周C上各點都是該函數的間斷點?

注? 間斷點可能是孤立點也可能是曲線上的點?

可以證明? 多元連續函數的和、差、積仍為連續函數? 連續函數的商在分母不為零處仍連續? 多元連續函數的復合函數也是連續函數?

多元初等函數? 與一元初等函數類似? 多元初等函數是指可用一個式子所表示的多元函數? 這個式子是由常數及具有不同自變量的一元基本初等函數經過有限次的四則運算和復合運算而得到的?

x?x2?y2x2?y2?z2e

例如? sin(x?y)? 都是多元初等函數?

1?y

2一切多元初等函數在其定義區域內是連續的? 所謂定義區域是指包含在定義域內的區域或閉區域?

多元函數微分法及其應用

例7 求 x?y? ?(x,y)?(1,2)xylim

一般地? 求limf(P)時? 如果f(P)是初等函數? 且P0是f(P)的定義域的內點? 則f(P)在點P0P?P0處連續? 于是

limf(P)?f(P0)?

P?P0 例8 求(x,y)?(0, 0)limxy?1?1?

五、多元連續函數的性質?

性質1(有界性與最大值最小值定理)在有界閉區域D上的多元連續函數? 必定在D上有界? 且能取得它的最大值和最小值?

性質1就是說? 若f(P)在有界閉區域D上連續? 則必定存在常數M?0? 使得對一切P?D? 有|f(P)|?M? 且存在P1、P 2?D? 使得

f(P1)?max{f(P)|P?D}?

f(P2)?min{f(P)|P?D}?

性質2(介值定理)在有界閉區域D上的多元連續函數必取得介于最大值和最小值之間的任何值?

小結

1.區域的概念； 2.多元函數的定義；

3.多元函數的極限及其求解； 4.多元函數的連續性。

教學方式及教學過程中應注意的問題

在教學過程中要注意區域的定義和多元函數的定義，多元函數的極限和連續性的理解是本節的重點，要結合實例，反復講解。

師生活動設計

課后習題：7，8，9 講課提綱、板書設計作業 P63: 5（2）（4）（6），6（2）（3）（5）（6）

§9? 2

偏導數

一、偏導數的定義及其計算法

對于二元函數z?f(x? y)? 如果只有自變量x 變化? 而自變量y固定? 這時它就是x的一元函數?

多元函數微分法及其應用

這函數對x的導數? 就稱為二元函數z?f(x? y)對于x的偏導數?

定義

設函數z?f(x? y)在點(x0? y0)的某一鄰域內有定義? 當y固定在y0而x在x0處有增量?x時? 相應地函數有增量

f(x0??x? y0)?f(x0? y0)?

如果極限

?x?0limf(x0??x,y0)?f(x0,y0)

?x存在? 則稱此極限為函數z?f(x? y)在點(x0? y0)處對x的偏導數? 記作

?f?zx?x0? x?x? z?xy?y0?xy?y00x例如

x?x0y?y0? 或fx(x0,y0)?

fx(x0,y0)?lim?x?0f(x0??x,y0)?f(x0,y0)?

?x類似地? 函數z?f(x? y)在點(x0? y0)處對y 的偏導數定義為

?y?0limf(x0,y0??y)?f(x0,y0)?

?y記作 ?f?z? ?x0?yx?yy?y0x?x0?

y?y0zyx?x0y?y0? 或fy(x0? y0)?

偏導函數?

如果函數z?f(x? y)在區域D內每一點(x? y)處對x的偏導數都存在? 那么這個偏導數就是x、y的函數? 它就稱為函數z?f(x? y)對自變量x的偏導函數? 記作

?z? ?f? z? 或f(x,y)?

xx?x?xf(x??x,y)?f(x,y)偏導函數的定義式? fx(x,y)?lim?

?x?x?0

類似地? 可定義函數z?f(x? y)對y的偏導函數? 記為

?z?f? ? zy ? 或fy(x,y)?

?y?y?y?0偏導函數的定義式? fy(x,y)?limf(x,y??y)?f(x,y)?

討論? 下列求偏導數的方法是否正確？?

fx(x0,y0)?fx(x,y)x?x0? fy(x0,y0)?fy(x,y)x?x0? ?y?y0y?y0

多元函數微分法及其應用

fx(x0,y0)?[df(x,y)]df(x,y)]f(x,y)?[? y000y?y0?

0x?x0dydx

偏導數的概念還可推廣到二元以上的函數??例如三元函數u?f(x? y? z)在點(x? y? z)處對x的偏導數定義為

fx(x,y,z)?lim?x?0f(x??x,y,z)?f(x,y,z)?

?x其中(x? y? z)是函數u?f(x? y? z)的定義域的內點? 它們的求法也仍舊是一元函數的微分法問題?

例1 求z?x2?3xy?y2在點(1? 2)處的偏導數?

例2 求z?x2sin 2y的偏導數?

例3 設z?xy(x?0,x?1)? 求證?

x?z?1?z?2z?

y?xlnx?y 例4 求r?x2?y2?z2的偏導數?

例5 已知理想氣體的狀態方程為pV=RT(R為常數)? ?求證? ?p?V?T????1?

?V?T?pRT? ?p??RT? ??VV2VRT?V?R

V?? ?

p?TppV?TV??

T?? ?pRR 證因為p?所以?p?V?TR?V??RT??1?

????RT??V?T?ppVV2pR

例5 說明的問題? 偏導數的記號是一個整體記號? 不能看作分子分母之商?

二元函數z?f(x? y)在點(x0? y0)的偏導數的幾何意義? ?

fx(x0? y0)?[f(x? y0)]x?是截線z?f(x? y0)在點M0處切線Tx對x軸的斜率?

fy(x0? y0)?[f(x0? y)]y?是截線z?f(x0? y)在點M0處切線Ty對y軸的斜率?

偏導數與連續性? 對于多元函數來說? 即使各偏導數在某點都存在? 也不能保證函數在該點連續? 例如

?xy x2?y2?0?

f(x,y)??x2?y2

?x2?y2?0?0 在點(0? 0)有? fx(0? 0)?0? fy(0? 0)?0? 但函數在點(0? 0)并不連續?

多元函數微分法及其應用

提示?

f(x, 0)?0? f(0, y)?0?

fx(0, 0)?d[f(x, 0)]?0? f(0, 0)?d[f(0, y)]?0?

ydydxf(x,y)?limf(x, 0)?lim0?0?

x?0x?0

當點P(x? y)沿x軸趨于點(0? 0)時? 有

(x,y)?(0,0)lim

當點P(x? y)沿直線y?kx趨于點(0? 0)時? 有

2xykxk? ?lim?lim?

(x,y)?(0,0)x2?y2x?0x2?k2x21?k2 y?kx因此?(x,y)?(0,0)limf(x,y)不存在? 故函數f(x? y)在(0? 0)處不連續?

類似地? 可定義函數z?f(x? y)對y的偏導函數? 記為

?z?f? ? zy ? 或fy(x,y)?

?y?y?y?0偏導函數的定義式? fy(x,y)?lim

二?

高階偏導數

f(x,y??y)?f(x,y)?

設函數z?f(x? y)在區域D內具有偏導數

?z?f(x,y)? ?z?f(x,y)?

?yy?xx那么在D內fx(x? y)、fy(x? y)都是x? y 的函數? 如果這兩個函數的偏導數也存在? 則稱它們是函數z?f(x? y)的二偏導數? 按照對變量求導次序的為同有下列四個二階偏導數

如果函數z?f(x? y)在區域D內的偏導數fx(x? y)、fy(x? y)也具有偏導數?

則它們的偏導數稱為函數z?f(x? y)的二階偏導數? 按照對變量求導次序的不同有下列四個二階偏導數

?(?z)??2z?f(x,y)?(?z)??2z?f(x,y)? ?

?x?x?x2xx?y?x?x?yxy22??z?z??z?()??fyx(x,y)?()?z?fyy(x,y)?

?x?y?y?x?y?y?y2

多元函數微分法及其應用

22??z?z??z?()??fxy(x,y)?()?z?fyx(x,y)稱為混合偏導數? ?其中?y?x?x?y?x?y?y?x22?(?z)??2z?(?z)??2z??z?z??z?z?

()?? ? ?()??x?x?x2?y?x?x?y?x?y?y?x?y?y?y2 同樣可得三階、四階、以及n 階偏導數? ? 二階及二階以上的偏導數統稱為高階偏導數?

22?2z?3z?z?z?

例6 設z?xy?3xy?xy?1? 求2、3、和

?y?x?x?y?x?x323由例6觀察到的問題? ?2z??2z

?y?x?x?y22?z?z在區域D內連續? 那么在該區

定理如果函數z?f(x? y)的兩個二階混合偏導數及

?y?x?x?y域內這兩個二階混合偏導數必相等?

類似地可定義二元以上函數的高階偏導數?

例7 驗證函數z?lnx2?y2滿足方程

?2z??2z?0?

?x2?y2 證因為z?lnx2?y2?ln(x2?y2)? 所以

12?z?x? ?z?y?

?xx2?y2?yx2?y22(x2?y2)?x?2xy2?x2?z

??222?

2222?x(x?y)(x?y)2(x2?y2)?y?2yx2?y2?z

??222?

?y2(x2?y2)2(x?y)22x2?y2y2?x2?z?z因此 2?2?2?222?0?

22?x?y(x?y)(x?y)222?u?u?u1 例8．證明函數u?滿足方程2?2?2?0?

r?x?y?z

多元函數微分法及其應用

其中r?x2?y2?z2?

?u??1??r??1?x??x?

?xr2?xr2rr3?2u??1?3x??r??1?3x?

234?x35?xrrrr 證?

23y2?2u??1?3z2?u1同理

??3?5? 2?zr3r5?y2rr22223y2?u?u?u13x113z2因此2?2?2?(?3?5)?(?3?5)?(?3?5)

?x?y?zrrrrrr3(x2?y2?z2)33?3r2?0??

??3?? 535rrrrr3?x??(r3)r3?x?3r2?r2?u??(?x)???x?x?

??提示?

?x2?xr3r6r6

小結

1.偏導數的概念及有關結論：定義，記號，幾何意義，偏導數的存在與連續性； 2.偏導數的計算方法：求導的先后順序。

教學方式及教學過程中應注意的問題

在教學過程中要注意偏導數的定義以及偏導數的求法，特別是求導先后順序問題是本節的重點，要結合實例，反復講解。

師生活動設計

1.設z?f(u)，方程u??(u)??xyp(t)dt確定u是x,y的函數，其中f(u),?(u)可微，?z?z?p(x)。?x?yp(t),??(u)連續，且??(u)?1，求p(y)2.課后習題：5，6 講課提綱、板書設計

作業 P69: 1（4）（6）（8）,4，6（3），8

多元函數微分法及其應用

§9? 3全微分及其應用

一、全微分的定義

根據一元函數微分學中增量與微分的關系??有

偏增量與偏微分?

f(x??x? y)?f(x? y)?fx(x? y)?x?

f(x??x? y)?f(x? y)為函數對x的偏增量? f x(x? y)?x為函數對x的偏微分?

f(x? y??y)?f(x? y)?fy(x? y)?y??

f(x? y??y)?f(x? y)為函數)對y的偏增量? f y(x? y)?y為函數對y的偏微分?

全增量?

?z? f(x??x? y??y)?f(x? y)?

計算全增量比較復雜?

我們希望用?x、?y的線性函數來近似代替之?

定義

如果函數z?f(x? y)在點(x? y)的全增量

?z? f(x??x? y??y)?f(x? y)可表示為

?z?A?x?B?y?o(?)(??(?x)2?(?y)2)?

其中A、B不依賴于?x、?y 而僅與x、y 有關? 則稱函數z?f(x? y)在點(x? y)可微分? 而稱A?x?B?y為函數z?f(x? y)在點(x? y)的全微分? 記作dz? 即

dz?A?x?B?y?

如果函數在區域D內各點處都可微分? 那么稱這函數在D內可微分?

可微與連續? 可微必連續? 但偏導數存在不一定連續?

這是因為?? 如果z?f(x? y)在點(x? y)可微??則

?z? f(x??x? y??y)?f(x? y)?A?x?B?y?o(?)??

多元函數微分法及其應用

于是 lim?z?0?

??0從而

(?x,?y)?(0,0)limf(x??x,y??y)?lim[f(x,y)??z]?f(x,y)??

??0因此函數z?f(x? y)在點(x? y)處連續??

定理1(必要條件)

如果函數z?f(x? y)在點(x? y)可微分? 則函數在該點的偏導數y)在點(x? y)的全微分為

dz??z、?z必定存在? 且函數z?f(x? ?x?y?z?x??z?y?

?x?y

證設函數z?f(x? y)在點P(x? y)可微分? 于是? 對于點P的某個鄰域內的任意一點P ?(x??x? y??y)? 有?z?A?x?B?y?o(?)? 特別當?y?0時有

f(x??x? y)?f(x? y)?A?x?o(|?x|)?

上式兩邊各除以?x? 再令?x?0而取極限? 就得

f(x??x,y)?f(x,y)?A?

?x?x?0?z存在? 且?z?A??同理可證偏導數?z存在? 且?z?B? 所以從而偏導數

?y?y?x?x?z?z?y?

dz??x??x?y

lim

簡要證明??設函數z?f(x? y)在點(x? y)可微分? 于是有?z?A?x?B?y?o(?)? 特別當?y?0時有

f(x??x? y)?f(x? y)?A?x?o(|?x|)?

上式兩邊各除以?x? 再令?x?0而取極限? 就得

f(x??x,y)?f(x,y)o(|?x|)?lim[A?]?A?

?x?x?x?0?x?0?z存在? 且?z?A??同理?z存在? 且?z?B? 所以dz??z?x??z?y?

從而

?y?x?y?y?x?x?z、?z存在是可微分的必要條件? 但不是充分條件?? 偏導數?x?y

lim

例如????xy x2?y2?0? 函數f(x,y)??x2?y2在點(0??0)處雖然有f x(0? 0)?0及f y(0? 0)?0??但函數在?0 x2?y2?0?(0??0)不可微分??即?z?[fx(0? 0)?x?fy(0? 0)?y]不是較?高階的無窮小?? 這是因為當(?x? ?y)沿直線y?x趨于(0? 0)時??

多元函數微分法及其應用

?z?[fx(0, 0)??x?fy(0, 0)??y]???x??y??2x??x2?1?0?? 22(?x)?(?y)(?x)?(?x)2 定理2(充分條件)

如果函數z?f(x? y)的偏導數?z、?z在點(x? y)連續? 則函數在該點可微分?

?x?y

定理1和定理2的結論可推廣到三元及三元以上函數?

按著習慣???x、?y分別記作dx、dy? 并分別稱為自變量的微分??則函數z?f(x? y)的全微分可寫作?

dz??zdx??zdy?

?x?y

二元函數的全微分等于它的兩個偏微分之和這件事稱為二元函數的微分符合疊加原理?

疊加原理也適用于二元以上的函數? 例如函數u?f(x? y? z)的全微分為

du??udx??udy??udz?

?x?y?z

例1 計算函數z?x2y ?y2的全微分?

例2 計算函數z?exy在點(2? 1)處的全微分?

例3 計算函數u?x?sinyyz?e的全微分?

2小結

1.全微分的定義；

2.可微、可導、連續性之間的關系。

教學方式及教學過程中應注意的問題

在教學過程中要注意全微分的定義，可微、可導、連續性之間的關系是本節的重點，要結合實例，反復講解。

師生活動設計

1.函數z?f(x,y)在(x0,y0)可微的充分條件是（）

(A)f(x,y)在(x0,y0)連續;

(B)fx?(x,y),fy?(x,y)在(x0,在y0()x0,y0)的某領域內存在；(C)?z?fx?(x,y)?x?fy?(x,y)?y

當(?x)2?(?y)2?0時是無窮小量；

時是無窮小量(D)?z?fx?(x,y)?x?fy?(x,y)?y(?x)?(?y)22

當(?x)2?(?y)2?0

多元函數微分法及其應用

2.課后習題：5 講課提綱、板書設計作業 P75: 1（1）（3），3

§9? 4 多元復合函數的求導法則

dz？

dt?z和?z？

設z?f(u? v)? 而u??(x? y)? v??(x? y)? 如何求

?x?y

設z?f(u? v)? 而u??(t)? v??(t)? 如何求

1? 復合函數的中間變量均為一元函數的情形

定理1 如果函數u??(t)及v??(t)都在點t可導? 函數z?f(u? v)在對應點(u? v)具有連續偏導數? 則復合函數z?f[?(t)? ?(t)]在點t可導? 且有

dz??z?du??z?dv?

dt?udt?vdt

簡要證明1? 因為z?f(u? v)具有連續的偏導數? 所以它是可微的? 即有

dz??zdu??zdv? ?u?v又因為u??(t)及v??(t)都可導? 因而可微? 即有

du?代入上式得 dudt? dv?dvdt?

dtdt?z?dudt??z?dvdt?(?z?du??z?dv)dt?

?udt?vdt?udt?vdtdz??z?du??z?dv?

從而

dt?udt?vdt

dz?

簡要證明2? 當t取得增量?t時? u、v及z相應地也取得增量?u、?v及?z ? 由z?f(u? v)、u??(t)及v??(t)的可微性? 有

?z?u??z?v?o(?)??z[du?t?o(?t)]??z[dv?t?o(?t)]?o(?)

?u?v?udt?vdt?zdu??z?dv)?t?(?z??z)o(?t)?o(?)?

?(??udt?vdt?u?v

?z?

多元函數微分法及其應用

?z??z?du??z?dv?(?z??z)o(?t)?o(?)?

?t?udt?vdt?u?v?t?t令?t?0? 上式兩邊取極限? 即得

dz??z?du??z?dv?

dt?udt?vdto(?)o(?)(?u)2?(?v)2注?lim?lim??0?(du)2?(dv)2?0?

?tdtdt?t?0?t?t?0?推廣? 設z?f(u? v? w)? u??(t)? v??(t)? w??(t)? 則z?f[?(t)? ?(t)? ?(t)]對t 的導數為?

上述dz??zdu??zdv??zdw?

dt?udt?vdt?wdtdz稱為全導數?

dt2? 復合函數的中間變量均為多元函數的情形

?z??z??u??z??v? ?z??z??u??z??v? ?x?u?x?v?x?y?u?y?v?y?z??z??u??z??v??z??w? ?z??z??u??z??v??z??w?

?x?u?x?v?x?w?x?y?u?y?v?y?w?y

推廣? 設z?f(u? v? w)? u??(x? y)? v??(x? y)? w??(x? y)? 則

討論?

?z?？?z?？

?y?x?z??z??u? ?z??z??u??z?dv?

提示?

?x?u?x?y?u?y?vdy?z?？?z?？

(2)設z?f(u? x? y)? 且u??(x? y)? 則

?y?x?z??f?u??f? ?z??f?u??f?

提示?

?x?u?x?x?y?u?y?y?z與?f是不同的? ?z是把復合函數z?f[?(x? y)? x? y]中的y看作不變而對x的偏導數? ?f這里?x?x?x?x?z?f是把f(u? x? y)中的u及y看作不變而對x的偏導數? 與也朋類似的區別?

?y?y

(1)設z?f(u? v)? u??(x? y)? v??(y)? 則

3．復合函數的中間變量既有一元函數? 又有多元函數的情形

定理3 如果函數u??(x? y)在點(x? y)具有對x及對y的偏導數? 函數v??(y)在點y可導? 函數z?f(u? v)在對應點(u? v)具有連續偏導數? 則復合函數z?f[?(x? y)? ?(y)]在點(x? y)的兩個偏導數存在?

多元函數微分法及其應用

且有

?z??z??u? ?z??z??u??z?dv? ?x?u?x?y?u?y?vdy?z和?z? 例1 設z?eusin v? u?xy? v?x?y? 求

?x?y

2例2 設u?f(x,y,z)?ex?y2?z2? 而z?x2siny? 求

?u和?u?

?x?y

例3 設z?uv?sin t ? 而u?et? v?cos t? 求全導數

dz?

dt?2w?w

例4 設w?f(x?y?z? xyz)? f具有二階連續偏導數? 求及? ?x?x?z

例5 設u?f(x? y)的所有二階偏導數連續? 把下列表達式轉換成極坐標系中的形式?

22?u?u?u?u22(1)()?()?

(2)2?2?

?x?y?x?y解由直角坐標與極坐標間的關系式得

u?f(x? y)?f(?cosθ? ?sinθ)?F(?? θ)?

其中x??cosθ? y??sinθ? ??x2?y2? ??arctany? x應用復合函數求導法則? 得

?u??u????u????ux??uy??ucos???uysin??

?x???x???x??????2??????u??u????u????uy??ux??usin???ucos??

????y???y???y??????2??

兩式平方后相加? 得

(?u)2?(?u)2?(?u)2?1(?u)2?

?x?y???2??再求二階偏導數? 得

?2u??(?u)?????(?u)??? ?x2???x?x???x?x?(?ucos???usin?)?cos? ????????(?ucos???usin?)?sin?

? ????????

多元函數微分法及其應用

??2ucos2??2?2usin?cos???2usin?2

???????2??2?22?u2sin?cos??usin??

????????2同理可得

22222?u?u?usin?cos??ucos?2

?sin??2?2??????y2??2???22?u2sin?cos??ucos??

????????2兩式相加? 得

2222?u?u?u11??2?2???2u

2?x?y??????221??u?(?)?u]?

?2[???????2?全微分形式不變性?

設z?f(u? v)具有連續偏導數? 則有全微分

dz??zdu??zdv?

?u?v如果z?f(u? v)具有連續偏導數? 而u??(x? y)? v??(x? y)也具有連續偏導數? 則

?zdx??zdy

?x?y?z?u??z?v)dx?(?z?u??z?v)dy

?（?u?x?v?x?u?y?v?y?z(?udx??udy)??z(?vdx??vdy)

?u?x?y?v?x?y

dz?

??zdu??zdv?

?u?v由此可見? 無論z 是自變量u、v的函數或中間變量u、v的函數? 它的全微分形式是一樣的? 這個性質叫做全微分形式不變性?

例6 設z?e usin v? u?x y? v?x?y? 利用全微分形式不變性求全微分?

解 dz??zdu??zdv? e usin vdu? e ucos v dv ?u?v

多元函數微分法及其應用

? e usin v(y dx?x dy)? e ucos v(dx?dy)

?(ye usin v? e ucos v)dx?(xe usin v? e ucos v)dy

?e xy [y sin(x?y)?cos(x?y)]dx? e xy [x sin(x?y)?cos(x?y)]dy ?

小結

1.復合函數求導的鏈式法則“分段用乘，分叉用加，單路全導，叉路偏導”； 2.全微分形式不變性。

教學方式及教學過程中應注意的問題

在教學過程中要注意復合函數求導的鏈式法則“分段用乘，分叉用加，單路全導，叉路偏導”，全微分形式不變性，要結合實例，反復講解。

師生活動設計

作業 P82: 2，4，6，9，10

§9? 5 隱函數的求導法則一、一個方程的情形

隱函數存在定理1

Fdy??x?

?dxFy

求導公式證明? 將y?f(x)代入F(x? y)?0? 得恒等式F(x? f(x))?0?

多元函數微分法及其應用

等式兩邊對x求導得

?F??F?dy?0?

?x?ydx由于F y連續? 且Fy(x0? y0)?0? 所以存在(x0? y0)的一個鄰域? 在這個鄰域同Fy ?0? 于是得

Fdy??x?

dxFy

例1 驗證方程x2?y2?1?0在點(0? 1)的某一鄰域內能唯一確定一個有連續導數、當x?0時y?1的隱函數y?f(x)? 并求這函數的一階與二階導數在x?0的值?

Fdydy??x??x? ?0?

dxFyydxx?0x)y?x(?d2yy?xy?yy2?x2????????13?

2223dxyyyy

d2y??1?

dx2x?0

隱函數存在定理還可以推廣到多元函數? 一個二元方程F(x? y)?0可以確定一個一元隱函數? 一個三元方程F(x? y? z)?0可以確定一個二元隱函數?

隱函數存在定理2

FyFx?z?z???

???

?xFz?yFz

公式的證明? 將z?f(x? y)代入F(x? y? z)?0? 得F(x? y? f(x? y))?0?

將上式兩端分別對x和y求導? 得

Fx?Fz??z?0? F?F??z?0?

?yz?y?x因為F z連續且F z(x0? y0? z0)?0? 所以存在點(x0? y0? z0)的一個鄰域? 使F z?0? 于是得

多元函數微分法及其應用

FyFx?z?z

??? ???

?xFz?yFz?2z

例2.設x?y?z?4z?0? 求2?

?x22

2解

設F(x? y? z)? x2?y2?z2?4z? 則Fx?2x? Fy?2z?4?

?z??Fx??2x?x?

?xFz2z?42?z

?z(2?x)?x(x)(2?x)?x22?2z??x?2?z?(2?x)?x?

?x2(2?z)2(2?z)2(2?z)

3二、方程組的情形

在一定條件下? 由個方程組F(x? y? u? v)?0? G(x? y? u? v)?0可以確定一對二元函數u?u(x? y)? v?v(x? y)? 例如方程xu?yv?0和yu?xv?1可以確定兩個二元函數u?yx?

v??

x2?y2x2?y2 事實上?

xu?yv?0 ?v?yxuyu?x?xu?1x?y?x? ?

v???u?2?

yyyx2?y2x2?y2x?y

2如何根據原方程組求u? v的偏導數？

隱函數存在定理

3設F(x? y? u? v)、G(x? y? u? v)在點P(x0? y0? u0? v0)的某一鄰域內具有對各個變量的連續偏導數? 又F(x0? y0? u0? v0)?0? G(x0? y0? u0? v0)?0? 且偏導數所組成的函數行列式?

?F?(F,G)?u

J???(u,v)?G?u?F?v ?G?v在點P(x0? y0? u0? v0)不等于零? 則方程組F(x? y? u? v)?0? G(x? y? u? v)?0在點P(x0? y0? u0? v0)的某一鄰域內恒能唯一確定一組連續且具有連續偏導數的函數u?u(x? y)? v?v(x? y)? 它們滿足條件u0?u(x0? y0)? v0?v(x0? y0)? 并有

Fx?u??1?(F,G)??Gx

?xJ?(x,v)FuGuFvFuGv?v??1?(F,G)??Gu?

Fv?xJ?(u,x)FuGvGuFxGx?

FvGv

多元函數微分法及其應用

?u??1?(F,G)???v??1?(F,G)???

?yJ?(y,v)?yJ?(u,y)FuFvFuFvGuGvGuGvFyFvGyGvFuFyGuGy

隱函數的偏導數: 設方程組F(x? y? u? v)?0? G(x? y? u? v)?0確定一對具有連續偏導數的二元函數u?u(x? y)? v?v(x? y)? 則

?F?F?u?F?v?0,?xu?xv?x?u?v 偏導數? 由方程組?確定?

?u?v?x?x?Gx?Gu?Gv?0.?x?x??F?F?u?F?v?0,?yu?yv?y?v?u 偏導數? 由方程組?確定?

?u?v?y?y?Gy?Gu?Gv?0.?y?y??u? ?v? ?u和?v?

例3 設xu?yv?0? yu?xv?1? 求?x?x?y?y?u和?v的方程組解兩個方程兩邊分別對x 求偏導? 得關于

?x?x?u?x?u?y?v?0??x?x? ??u?v?y?v?x?0?x??x當x2?y2 ?0時? 解之得?u??xu?yv? ?v?yu?xv?

?xx2?y2?xx2?y2?u和?v的方程組

?y?y

兩個方程兩邊分別對x 求偏導? 得關于

?x?u?v?y?v?0??y?y? ??u?v?u?y?x?0?y?y?當x2?y2 ?0時? 解之得?u?xv?yu? ?v??xu?yv?

?yx2?y2?yx2?y例? 設函數x?x(u? v)? y?y(u? v)在點(u? v)的某一領域內連續且有連續偏導數? 又

多元函數微分法及其應用

(1)證明方程組

??(x,y)?0? ?(u,v)?x?x(u,v)y?y(u,v)?在點(x? y? u? v)的某一領域內唯一確定一組單值連續且有連續偏導數的反函數u?u(x? y)? v?v(x? y)?

(2)求反函數u?u(x? y)? v?v(x? y)對x? y的偏導數?

解(1)將方程組改寫成下面的形式

??F(x,y,u,v)?x?x(u,v)?0?

G(x,y,u,v)?y?y(u,v)?0??(F,G)?(x,y)??0.?(u,v)?(u,v)則按假設

J?由隱函數存在定理3? 即得所要證的結論?

(2)將方程組(7)所確定的反函數u?u(x? y)?v?v(x? y)代入(7)? 即得

??x?x[u(x,y),v(x,y)]? y?y[u(x,y),v(x,y)]?將上述恒等式兩邊分別對x求偏導數?得

?1??x??u??x??v?

??u?x?v?x? ?y?y?0???u???v??u?x?v?x由于J?0? 故可解得

同理? 可得

?u?1?y?v??1?y? ?

?xJ?v?xJ?u?u??1?x?v?1?x? ? ?yJ?v?yJ?u小結

1.隱函數（組）存在定理；

2.隱函數（組）求導方法：方法（1）利用復合函數求導法則直接計算；（2）利用微分形式不變性；（3）代公式。

教學方式及教學過程中應注意的問題

多元函數微分法及其應用

在教學過程中要注意隱函數（組）存在定理和求導方法，要結合實例，反復講解。

師生活動設計

1.設函數u?f(x,y,z)有連續的一階偏導數，又函數y?y(x)及z?z(x)分別由下列兩式確定：exy?xy?2，e?x?x?z0dusintdt，求。

dxt2.設y?y(x)，z?z(x)由方程z?xf(x?y)和F(x,y,z)?0所確定的函數，求

dz。dx講課提綱、板書設計

作業 P89: 3，4，6，7，10（2）（4）

§9? 6多元函數微分學的幾何應用

一.一元向量值函數及其導數

?x??(t)?空間曲線?的參數方程為：?y??(t)，t?[?,?]

?z??(t)?此方程也可以寫成向量形式。若記

????????r?xi?yj?zk，f(t)??(t)i??(t)j??(t)k，于是

??r?f(t)，t?[?,?]，這就確定了一個從實數到向量的一個映射。

?定義1：設數集D?R，則映射f:D?Rn為一元向量值函數，記作

多元函數微分法及其應用

r?f(t)，t?D

其中數集D稱為函數的定義域，t稱為自變量，r稱為因變量。

在R中，f(t)可表示為： 3??

???f(t)?f1(t)i?f2(t)j?f3(t)k，t?D ?或者

f(t)?(f1(t),f2(t),f3(t))，t?D 下面研究向量值函數的極限，連續性，導數。1.向量值函數極限：

定義2：設向量值函數f(t)在點t0的某一去心領域內有定義，若存在一個常向量r0，對于任意給定的正數?，總存在正數?，使得當t滿足0?|t?t0|??時，對應的函數值f(t)都滿足不等式

??????

|f(t)?r0|??

??則稱常向量r0為向量值函數f(t)當t?t0時的極限，記作

??limf(t)?r0

?等價于limf(t)?(limf1(t),limf2(t),limf3(t))

t?t0t?t0t?t0t?t0t?t02.向量值函數連續：

???設向量值函數f(t)在點t0的某一領域內有定義，若limf(t)?f(t0)，則稱向量值函數f(t)?

t?t0在點t0處連續。

等價于f1(t),f2(t),f3(t)都在點t0處連續。

向量值函數f(t)，t?D，若f(t)在D上每一點都連續，則稱f(t)是D上的連續函數。3.向量值函數導數：

定義3：設向量值函數f(t)在點t0的某一領域內有定義，如果 ??

???f(t0??t)?f(t0)?rlim?lim存在，?t?0?t?t?0?t

多元函數微分法及其應用

??dr|t?t。則稱此極限向量為向量值函數f(t)在點t0處的導數或導向量，記作f?(t0)或

dt0???向量值函數f(t)，t?D，若f(t)在D上每一點都可導，則稱f?(t)是D上的導函數。???????等價于：f1(t),f2(t),f3(t)都在點t處可導，即f?(t)?f1(t)i?f2(t)j?f3(t)k。

4.導函數的性質。

5.導函數的幾何意義：向量值函數f(t)在點t0處的導數表示在此處的一個切向量。

????例1.設f(t)?(cost)i?(sint)j?tk，求limf(t)。?t???42例2.空間曲線?的向量方程為f(t)?(t?1,4t?3,2t?6t)，t?R，求曲線?在與點

2t0?2相應的點處的單位且向量。

二.空間曲線的切線與法平面

設空間曲線?的參數方程為

?x??(t)?

?y??(t)，t?[?,?]

?z??(t)?這里假定?(t)? ?(t)? ?(t)都在[?? ?]上可導?

記：f(t)?(?(t),?(t),?(t))，t?[?,?]。由向量值函數的導向量的幾何意義知： ???向量T?f?(t0)?(??(t0),??(t0),??(t0))，于是

曲線?在點M0處的切線方程為

x?x0y?y0z?z0??? ??(t0)??(t0)??(t0)

法平面? 通過點M0而與切線垂直的平面稱為曲線?在點M0 處的法平面? 其法平面方程為

??(t0)(x?x0)???(t0)(y?y0)???(t0)(z?z0)?0?

例3 求曲線x?t? y?t2? z?t3在點(1? 1? 1)處的切線及法平面方程?

解

因為xt??1? yt??2t? zt??3t2? 而點(1? 1? 1)所對應的參數t?1? 所以

T ?(1? 2? 3)?

于是? 切線方程為

多元函數微分法及其應用

法平面方程為 x?1?y?1?z?1?

12(x?1)?2(y?1)?3(z?1)?0? 即x?2y?3z?6?

討論?

1? 若曲線?的方程為

y??(x)? z??(x)?

問其切線和法平面方程是什么形式?

提示? 曲線方程可看作參數方程? x?x? y??(x)? z??(x)? 切向量為T?(1? ??(x)? ??(x))?

2? 若曲線?的方程為

F(x? y? z)?0? G(x? y? z)?0?

問其切線和法平面方程又是什么形式??

提示? 兩方程確定了兩個隱函數?

y??(x)? z??(x)? 曲線的參數方程為

x?x? y??(x)? z??(x)? ?dy?dz?0F?F?Fxyz?dydzdxdx由方程組?可解得和?? dydxdx?Gx?Gy?Gzdz?0dxdx?切向量為T?(1, dydz,)? dxdx

例4 求曲線x2?y2?z2?6? x?y?z?0在點(1? ?2? 1)處的切線及法平面方程? ?

解為求切向量? 將所給方程的兩邊對x求導數? 得

dy?dz?02x?2y?2z?dxdx??

?dy?1??dz?0?dxdx解方程組得

dydyz?xdzx?y?0? dz??1????? ? 在點(1? ?2? 1)處? dxdxy?zdxy?zdx從而T ?(1? 0? ?1)?

所求切線方程為

法平面方程為

(x?1)?0?(y?2)?(z?1)?0? 即x?z?0? x?1?y?2?z?1?

10?多元函數微分法及其應用

三? 曲面的切平面與法線

設曲面?的方程為

F(x? y? z)?0?

M0(x0? y0? z0)是曲面?上的一點?

并設函數F(x? y? z)的偏導數在該點連續且不同時為零? 在曲面?上? 通過點M0任意引一條曲線?? 假定曲線?的參數方程式為

x??(t)? y??(t)? z??(t)?

t?t0對應于點M0(x0? y0? z0)? 且??(t0)? ??(t0)? ??(t0)不全為零? 曲線在點的切向量為

T ?(??(t0)? ??(t0)? ??(t0))?

考慮曲面方程F(x? y? z)?0兩端在t?t0的全導數?

Fx(x0? y0? z0)??(t0)?Fy(x0? y0? z0)??(t0)?Fz(x0? y0? z0)??(t0)?0?

引入向量

n?(Fx(x0? y0? z0)? Fy(x0? y0? z0)? Fz(x0? y0? z0))?

Fx(x0? y0? z0)(x?x0)?Fy(x0? y0? z0)(y?y0)?Fz(x0? y0? z0)(z?z0)?0?

曲面的法線? 通過點M0(x0? y0? z0)而垂直于切平面的直線稱為曲面在該點的法線? 法線方程為

x?x0y?y0z?z0?

??Fx(x0, y0, z0)Fy(x0, y0, z0)Fz(x0, y0, z0)

曲面的法向量? 垂直于曲面上切平面的向量稱為曲面的法向量? 向量

n?(Fx(x0? y0? z0)? Fy(x0? y0? z0)? Fz(x0? y0? z0))就是曲面?在點M0處的一個法向量?

例5 求球面x2?y2?z2?14在點(1? 2? 3)處的切平面及法線方程式?

解

F(x? y? z)? x2?y2?z2?14?

Fx?2x? Fy?2y ? Fz?2z ?

Fx(1? 2? 3)?2? Fy(1? 2? 3)?4? Fz(1? 2? 3)?6?

法向量為n?(2? 4? 6)? 或n?(1? 2? 3)?

所求切平面方程為

2(x?1)?4(y?2)?6(z?3)?0? 即x?2y?3z?14?0?

多元函數微分法及其應用

法線方程為x?1?y?2?z?3?

123

討論? 若曲面方程為z?f(x? y)? 問曲面的切平面及法線方程式是什么形式?

提示?

此時F(x? y? z)?f(x? y)?z ?

n?(fx(x0? y0)? fy(x0? y0)? ?1)

例6.求旋轉拋物面z?x2?y2?1在點(2? 1? 4)處的切平面及法線方程?

小結

1.一元向量值函數的定義以及極限，連續性，導數；

2.空間曲線的切線與法平面； 3.曲面的切平面與法線。

教學方式及教學過程中應注意的問題

在教學過程中要注意一元向量值函數的定義以及極限，連續性，導數，空間曲線的切線與法平面、曲面的切平面與法線的定義及其求解方法，要結合實例，反復講解。

師生活動設計

1.證明曲面F(x?my,z?ny)?0的所有切平面恒與定直線平行，其中F(u,v)可微。

?x2?y2?z2?3x?02.求曲線?在點(1,1,1)的切線與法平面。

?2z?3y?5z?4?0講課提綱、板書設計

作業 P100: 3，4，5，8，9，10

§9? 7 方向導數與梯度

一、方向導數

現在我們來討論函數z?f(x? y)在一點P沿某一方向的變化率問題?

設l是xOy平面上以P0(x0? y0)為始點的一條射線? el?(cos ?? cos ?)是與l同方向的單位向量? 射線l的參數方程為

多元函數微分法及其應用

x?x0?t cos ?? y?y0?t cos ?(t?0)?

f(x0?tcos?, y0?tcos?)?f(x0,y0)

t當P沿著l趨于P0(即t?t0?)時的極限存在?

則稱此極限為函數f(x? y)在點P0沿方向l的方向導數? 記作?f?l(x0,y0)? 即

?f?l(x0,y0)?lim?t?0f(x0?tcos?, y0?tcos?)?f(x0,y0)?

從方向導數的定義可知? 方向導數率?

方向導數的計算?

?f?l(x0,y0)就是函數f(x? y)在點P0(x0? y0)處沿方向l的變化

定理

如果函數z?f(x? y)在點P0(x0? y0)可微分? 那么函數在該點沿任一方向l 的方向導數都存在? 且有

?f?l(x0,y0)?fx(x0,y0)cos??fy(x0,y0)cos??

其中cos ?? cos ?是方向l 的方向余弦?

簡要證明? 設?x?t cos ?? ?y?t cos ?? 則

f(x0?tcos?? y0?tcos?)?f(x0? y0)?f x(x0? y0)tcos??f y(x0? y0)tcos??o(t)?

所以

lim?t?0f(x0?tcos?, y0?tcos?)?f(x0,y0)?fx(x0,y0)cos??fy(x0,y0)sin??

t這就證明了方向導數的存在? 且其值為

?f?l(x0,y0)?fx(x0,y0)cos??fy(x0,y0)cos???提示? f(x0??x,y0??y)?f(x0,y0)?fx(x0,y0)?x?fy(x0,y0)?y?o((?x)2?(?y)2)?

?x?t cos ?? ?y?t cos ??(?x)2?(?y)2?t?

討論? 函數z?f(x? y)在點P 沿x軸正向和負向?

沿y軸正向和負向的方向導數如何?

多元函數微分法及其應用

提示?

?f?f??

?l?x?f?f 沿x軸負向時? cos???1? cos??0? ??? ?

?l?x 沿x軸正向時? cos???? cos??0?

例1 求函數z?xe2y在點P(1? 0)沿從點P(1? 0)到點Q(2? ?1)的方向的方向導數?

解這里方向l即向量PQ?(1, ?1)的方向? 與l同向的單位向量為 ?el?(1, ?1)? 因為函數可微分? 且所以所求方向導數為

?z?x(1,0)?e2y?1? ?z(1,0)?y(1,0)?2xe2y(1,0)?2???z?1?1?2?(?1)??2?

?l(1,0)22

2對于三元函數f(x? y? z)來說? 它在空間一點P0(x0? y0? z0)沿el?(cos ??? cos ??? cos ?)的方向導數為?

?f?l(x0,y0,z0)?lim?t?0f(x0?tcos?, y0?tcos?,z0?tcos?)?f(x0,y0,z0)?

如果函數f(x? y? z)在點(x0? y0? z0)可微分? 則函數在該點沿著方向el?(cos ??? cos ??? cos ??的方向導數為

?f?l(x0,y0,z0)?fx(x0? y0? z0)cos??fy(x0? y0? z0)cos??fz(x0? y0? z0)cos??

例2求f(x? y? z)?xy?yz?zx在點(1? 1? 2)沿方向l的方向導數? 其中l的方向角分別為60?? 45?? 60??

二? 梯度

設函數z?f(x? y)在平面區域D內具有一階連續偏導數? 則對于每一點P0(x0? y0)?D? 都可確定一個向量

fx(x0? y0)i?fy(x0? y0)j?

這向量稱為函數f(x? y)在點P0(x0? y0)的梯度? 記作grad f(x0? y0)? 即

grad f(x0? y0)? fx(x0? y0)i?fy(x0? y0)j?

梯度與方向導數? ?

多元函數微分法及其應用

如果函數f(x? y)在點P0(x0? y0)可微分? el?(cos ??? cos ??)是與方向l同方向的單位向量? 則

?f?l(x0,y0)?fx(x0,y0)cos??fy(x0,y0)cos??

? grad f(x0? y0)?el

?| grad f(x0? y0)|?cos(grad f(x0? y0)?^ el)?

這一關系式表明了函數在一點的梯度與函數在這點的方向導數間的關系? 特別? 當向量el與grad f(x0? y0)的夾角??0? 即沿梯度方向時? 方向導數

?f?l取得最大值? 這個最大值就是梯度

(x0,y0)的模|grad f(x0? y0)|? 這就是說? 函數在一點的梯度是個向量? 它的方向是函數在這點的方向導數取得最大值的方向? 它的模就等于方向導數的最大值?

討論? ?f的最大值?

??l

結論? 函數在某點的梯度是這樣一個向量? 它的方向與取得最大方向導數的方向一致? 而它的模為方向導數的最大值?

我們知道? 一般說來二元函數z?f(x? y)在幾何上表示一個曲面? 這曲面被平面z?c(c是常數)所截得的曲線L的方程為

??z?f(x,y)?

?z?c這條曲線L在xOy面上的投影是一條平面曲線L*? 它在xOy平面上的方程為

f(x? y)?c?

對于曲線L*上的一切點? 已給函數的函數值都是c? 所以我們稱平面曲線L*為函數z?f(x? y)的等值線?

若f x? f y不同時為零? 則等值線f(x? y)?c上任一點P0(x0? y0)處的一個單位法向量為

n?1(fx(x0,y0),fy(x0,y0))?

22fx(x0,y0)?fy(x0,y0)這表明梯度grad f(x0? y0)的方向與等值線上這點的一個法線方向相同? 而沿這個方向的方向導數?f就等于|grad f(x0? y0)|? 于是 ?n?f

gradf(x0,y0)?n?

這一關系式表明了函數在一點的梯度與過這點的等值線、方向導數間的關系? 這說是說? 函數在一點的梯度方向與等值線在這點的一個法線方向相同? 它的指向為從數值較低的等值線指

多元函數微分法及其應用

向數值較高的等值線? 梯度的模就等于函數在這個法線方向的方向導數?

梯度概念可以推廣到三元函數的情形? 設函數f(x? y? z)在空間區域G內具有一階連續偏導數? 則對于每一點P0(x0? y0? z0)?G? 都可定出一個向量

fx(x0? y0? z0)i?fy(x0? y0? z0)j?fz(x0? y0? z0)k?

這向量稱為函數f(x? y? z)在點P0(x0? y0? z0)的梯度? 記為grad f(x0? y0? z0)? 即

grad f(x0? y0? z0)?fx(x0? y0? z0)i?fy(x0? y0? z0)j?fz(x0? y0? z0)k?

結論? 三元函數的梯度也是這樣一個向量? 它的方向與取得最大方向導數的方向一致? 而它的模為方向導數的最大值?

如果引進曲面

f(x? y? z)?c

例3 求grad 1?

x2?y2 例4 設f(x? y? z)?x2?y2?z2? 求grad f(1? ?1? 2)?

數量場與向量場? 如果對于空間區域G內的任一點M? 都有一個確定的數量f(M)? 則稱在這空間區域G內確定了一個數量場(例如溫度場、密度場等)? 一個數量場可用一個數量函數f(M)來確定? 如果與點M相對應的是一個向量F(M)? 則稱在這空間區域G內確定了一個向量場(例如力

?場、速度場等)? 一個向量場可用一個向量函數F(M)來確定? 而

F(M)?P(M)i?Q(M)j?R(M)k?

其中P(M)? Q(M)? R(M)是點M的數量函數?

例5 試求數量場間的距離?

m所產生的梯度場? 其中常數m>0? r?x2?y2?z2為原點O與點M(x? y? z)r小結

1.方向導數的定義，幾何意義以及求法； 2.梯度的定義及物理意義。

教學方式及教學過程中應注意的問題

多元函數微分法及其應用

在教學過程中要注意方向導數和梯度的定義，幾何意義以及求法，要結合實例，反復講解。

師生活動設計

1.函數u?ln(x2?y2?z2)在點M(1,2,?2)處的梯度gradu|M? 2.函數u?ln(x?（96考研）y2?z2)在點A(1,0,1)處沿點A指向B(3,?2,2)方向的方向導數是多少？講課提綱、板書設計

作業 P108: 1，4，6，7，8

§9? 8 多元函數的極值及其求法

一、多元函數的極值及最大值、最小值

定義

設函數z?f(x? y)在點(x0? y0)的某個鄰域內有定義? 如果對于該鄰域內任何異于(x0? y0)的點(x? y)? 都有

f(x? y)f(x0? y0))?

則稱函數在點(x0? y0)有極大值(或極小值)f(x0? y0)?

極大值、極小值統稱為極值? 使函數取得極值的點稱為極值點?

例1 函數z?3x2?4y2在點(0? 0)處有極小值?

當(x? y)?(0? 0)時? z?0? 而當(x? y)?(0? 0)時? z?0? 因此z?0是函數的極小值?

例2 函數z??x2?y2在點(0? 0)處有極大值?

當(x? y)?(0? 0)時? z?0? 而當(x? y)?(0? 0)時? z?0? 因此z?0是函數的極大值?

例3 函數z?xy在點(0? 0)處既不取得極大值也不取得極小值?

因為在點(0? 0)處的函數值為零? 而在點(0? 0)的任一鄰域內? 總有使函數值為正的點? 也有使函數值為負的點?

以上關于二元函數的極值概念? 可推廣到n元函數?

設n元函數u?f(P)在點P0的某一鄰域內有定義? 如果對于該鄰域內任何異于P0的點P? 都有

f(P)f(P 0))?

則稱函數f(P)在點P0有極大值(或極小值)f(P0)?

定理1(必要條件)設函數z?f(x? y)在點(x0? y0)具有偏導數? 且在點(x0? y0)處有極值? 則有

fx(x0? y0)?0? fy(x0? y0)?0?

證明不妨設z?f(x? y)在點(x0? y0)處有極大值? 依極大值的定義? 對于點(x0? y0)的某鄰域內異

多元函數微分法及其應用

于(x0? y0)的點(x? y)? 都有不等式

f(x? y)

特殊地? 在該鄰域內取y?y0而x?x0的點? 也應有不等式

f(x? y0)

這表明一元函數f(x? y0)在x?x0處取得極大值? 因而必有

fx(x0? y0)?0?

類似地可證

fy(x0? y0)?0?

從幾何上看? 這時如果曲面z?f(x? y)在點(x0? y0? z0)處有切平面? 則切平面

z?z0?fx(x0? y0)(x?x0)? fy(x0? y0)(y?y0)成為平行于xOy坐標面的平面z?z0?

類似地可推得? 如果三元函數u?f(x? y? z)在點(x0? y0? z0)具有偏導數? 則它在點(x0? y0? z0)具有極值的必要條件為

fx(x0? y0? z0)?0? fy(x0? y0? z0)?0? fz(x0? y0? z0)?0?

仿照一元函數? 凡是能使fx(x? y)?0? fy(x? y)?0同時成立的點(x0? y0)稱為函數z?f(x? y)的駐點?

從定理1可知? 具有偏導數的函數的極值點必定是駐點? 但函數的駐點不一定是極值點?

例如? 函數z?xy在點(0? 0)處的兩個偏導數都是零? 函數在(0? 0)既不取得極大值也不取得極小值?

定理2(充分條件)

設函數z?f(x? y)在點(x0? y0)的某鄰域內連續且有一階及二階連續偏導數? 又fx(x0? y0)?0? fy(x0? y0)?0? 令

fxx(x0? y0)?A? fxy(x0? y0)?B? fyy(x0? y0)?C?

則f(x? y)在(x0? y0)處是否取得極值的條件如下?

(1)AC?B2>0時具有極值? 且當A<0時有極大值? 當A>0時有極小值?

(2)AC?B2<0時沒有極值?

(3)AC?B2?0時可能有極值? 也可能沒有極值?

??在函數f(x? y)的駐點處如果 fxx? fyy?fxy2>0? 則函數具有極值? 且當fxx<0時有極大值? 當fxx>0時有極小值?

極值的求法?

第一步解方程組

fx(x? y)?0? fy(x? y)?0?

多元函數微分法及其應用

求得一切實數解? 即可得一切駐點?

第二步對于每一個駐點(x0? y0)? 求出二階偏導數的值A、B和C?

第三步定出AC?B2的符號? 按定理2的結論判定f(x0? y0)是否是極值、是極大值還是極小值?

例4 求函數f(x? y)?x3?y3?3x2?3y2?9x 的極值?

?fx(x,y)?3x2?6x?9?0 解解方程組??

2f(x,y)??3y?6y?0?y求得x?1? ?3? y?0? 2? 于是得駐點為(1? 0)、(1? 2)、(?3? 0)、(?3? 2)?

再求出二階偏導數

fxx(x? y)?6x?6? fxy(x? y)?0? fyy(x? y)??6y?6?

在點(1? 0)處? AC?B2?12?6>0? 又A>0? 所以函數在(1? 0)處有極小值f(1? 0)??5?

在點(1? 2)處? AC?B2?12?(?6)<0? 所以f(1? 2)不是極值?

在點(?3? 0)處? AC?B2??12?6<0? 所以f(?3? 0)不是極值?

在點(?3? 2)處? AC?B2??12?(?6)>0? 又A<0? 所以函數的(?3? 2)處有極大值f(?3? 2)?31?

應注意的問題?

不是駐點也可能是極值點?

例5 某廠要用鐵板做成一個體積為8m3的有蓋長方體水箱? 問當長、寬、高各取多少時? 才能使用料最省?

解設水箱的長為xm? 寬為ym? 則其高應為

8m? 此水箱所用材料的面積為 xy

多元函數微分法及其應用

A?2(xy?y?8?x?8)?2(xy?8?8)(x?0, y?0)?

xyxyxy88令Ax?2(y?2)?0? Ay?2(x?2)?0? 得x?2? y?2?

根據題意可知? 水箱所用材料面積的最小值一定存在? 并在開區域D?{(x? y)|x>0? y>0}內取得? 因為函數A在D內只有一個駐點? 所以此駐點一定是A的最小值點? 即當水箱的長為2m、8?2m時? 水箱所用的材料最省?

因此A在D內的唯一駐點(2? 2)處取得最小2?28?2m時? 所用材料最省??值? 即長為2m、寬為2m、高為2?2寬為2m、高為

例6 有一寬為24cm的長方形鐵板? 把它兩邊折起來做成一斷面為等腰梯形的水槽? 問怎樣折法才能使斷面的面積最大？?

解設折起來的邊長為xcm? 傾角為?? 那末梯形斷面的下底長為24?2x? 上底長為24?2x?cos?? 高為x?sin?? 所以斷面面積

A?(24?2x?2xcos??24?2x)?xsin??

即A?24x?sin??2x2sin??x2sin? cos?(0

可見斷面面積A是x和?的二元函數? 這就是目標函數? 面求使這函數取得最大值的點(x? ?)? 令Ax?24sin??4xsin??2xsin? cos??0?

A??24xcos??2x2 cos??x2(cos2??sin2?)?0?

由于sin? ?0? x?0? 上述方程組可化為

?12?12?2x?xcos??0?

2224cos??2xcos??x(cos??sin?)?0?解這方程組? 得??60?? x?8cm?

根據題意可知斷面面積的最大值一定存在? 并且在D?{(x? y)|0

二、條件極值

拉格朗日乘數法

對自變量有附加條件的極值稱為條件極值?

這個問題就是求函數V?xyz在條件2(xy?yz?xz)?a2下的最大值問題? 這是一個條件極值問題?

對于有些實際問題? 可以把條件極值問題化為無條件極值問題?

多元函數微分法及其應用

例如上述問題? 由條件2(xy?yz?xz)?a2?

a2?2xyxya2?2xy解得z?? 于是得V?()? ?

2(x?y)2(x?y)只需求V的無條件極值問題?

在很多情形下? 將條件極值化為無條件極值并不容易? 需要另一種求條件極值的專用方法? 這就是拉格朗日乘數法?

現在我們來尋求函數z?f(x? y)在條件?(x? y)?0下取得極值的必要條件?

如果函數z?f(x? y)在(x0? y0)取得所求的極值? 那么有

?(x0? y0)?0?

假定在(x0? y0)的某一鄰域內f(x? y)與?(x? y)均有連續的一階偏導數? 而?y(x0? y0)?0?

由隱函數存在定理? 由方程?(x? y)?0確定一個連續且具有連續導數的函數y??(x)? 將其代入目標函數z?f(x? y)? 得一元函數

z?f [x? ?(x)]?

于是x?x0是一元函數z?f [x? ?(x)]的極值點? 由取得極值的必要條件? 有

dzdxx?x0?fx(x0,y0)?fy(x0,y0)dydxx?x0?0?

即

fx(x0,y0)?fy(x0,y0)?x(x0,y0)?0?

?y(x0,y0)從而函數z?f(x? y)在條件?(x? y)?0下在(x0? y0)取得極值的必要條件是

fx(x0,y0)?fy(x0,y0)?x(x0,y0)?0與?(x0? y0)?0同時成立?

?y(x0,y0)

設fy(x0,y0)???? 上述必要條件變為 ?y(x0,y0)?fx(x0,y0)???x(x0,y0)?0?

?fy(x0,y0)???y(x0,y0)?0?

???(x0,y0)?0

拉格朗日乘數法? 要找函數z?f(x? y)在條件?(x? y)?0下的可能極值點? 可以先構成輔助函數

F(x? y)?f(x? y)???(x? y)?

其中?為某一常數?

然后解方程組

?Fx(x,y)?fx(x,y)???x(x,y)?0?

?Fy(x,y)?fy(x,y)???y(x,y)?0?

???(x,y)?0

多元函數微分法及其應用

由這方程組解出x? y及?? 則其中(x? y)就是所要求的可能的極值點?

這種方法可以推廣到自變量多于兩個而條件多于一個的情形?

至于如何確定所求的點是否是極值點? 在實際問題中往往可根據問題本身的性質來判定?

例7 求表面積為a2而體積為最大的長方體的體積?

解設長方體的三棱的長為x? y? z? 則問題就是在條件

2(xy?yz?xz)?a2

下求函數V?xyz的最大值?

構成輔助函數

F(x? y? z)?xyz??(2xy ?2yz ?2xz ?a2)?

解方程組

?Fx(x,y,z)?yz?2?(y?z)?0??Fy(x,y,z)?xz?2?(x?z)?0?F(x,y,z)?xy?2?(y?x)?0?

?z2??2xy?2yz?2xz?a得x?y?z?6a?

66a3?

36這是唯一可能的極值點?

因為由問題本身可知最大值一定存在? ?所以最大值就在這個可能的值點處取得? 此時V?小結

1.函數的極值問題：第一步，在定義域內找到所有的駐點，第二步，判斷駐點是否為極值點；

2.函數的條件極值問題； 3.函數的最值問題。

教學方式及教學過程中應注意的問題

在教學過程中要注意函數的條件極值及最值問題：第一步，在定義域內找到所有的駐點，第二步，判斷駐點是否為極值點，進而確定最值，要結合實例，反復講解。

師生活動設計

x2y2??1(x?0,y?0)圓周上求一點C，使1.已知平面上兩定點A(1,3),B(4,2)，試在橢圓94得?ABC面積S?最大。

2.求平面上以a,b,c,d為邊的面積最大的四邊形。

講課提綱、板書設計

作業 P118: 3，4，8，9，10

多元函數微分法及其應用

習題課

一、基本概念

1.多元函數的定義、極限、連續（1）定義域及對應規律

（2）判斷極限不存在及求極限的方法（3）函數的連續性及其性質 2.幾個基本概念的關系

連續??可微??偏導數存在偏導數連續?可微

?方向導數存在?

二、多元函數微分法 1.分析復合結構??顯示結構

?隱式結構自變量個數 = 變量總個數 – 方程總個數自變量與因變量由所求對象判定 2.正確使用求導法則

“分段用乘,分叉用加,單路全導,叉路偏導” 注意正確使用求導符號

3.利用一階微分形式不變性

三、多元函數微分法的應用 1.在幾何中的應用

求曲線在切線及法平面(關鍵: 抓住切向量)求曲面的切平面及法線(關鍵: 抓住法向量)2.極值與最值問題

（1）極值的必要條件與充分條件

多元函數微分法及其應用

（2）求條件極值的方法

(消元法, 拉格朗日乘數法)（3）求解最值問題

3.在微分方程變形等中的應用

四、例題 xy1.討論二重極限 limx?0x?yy?0

22?xy ,x2?y2?0?2322.證明： f(x,y)??(x?y)2?0,x2?y2?0 ?在點(0,0)處連續且偏導數存在 , 但不可微.3.設z?xf(x?y)，F(x,y,z)?0，其中f與F分別具有一階導數或偏導數，求

2dz dx?u?2u4.設u?f(x,y,z)有二階連續偏導數，且z?xsint，t?ln(x?y)，求 ,?x?x?y5.求旋轉拋物面z?x2?y2與平面x?y?2z?2之間的最短距離.6.在曲面z?xy上求一點 , 使該點處的法線垂直于平面x?3y?z?9，并寫出該法線方程.作業：P73： 5，6，10，15，17

第五篇：第六章定積分的應用(三峽大學高等數學教案)[范文模版]

高等數學教案

定積分的應用

教學目的第六章

定積分的應用

1、理解元素法的基本思想；

2、掌握用定積分表達和計算一些幾何量（平面圖形的面積、平面曲線的弧長、旋轉體的體積及側面積、平行截面面積為已知的立體體積）。

3、掌握用定積分表達和計算一些物理量（變力做功、引力、壓力和函數的平均值等）。教學重點：

1、計算平面圖形的面積、平面曲線的弧長、旋轉體的體積及側面積、平行截面面積為已知的立體體積。

2、計算變力所做的功、引力、壓力和函數的平均值等。教學難點：

1、截面面積為已知的立體體積。

2、引力。

§6? 1 定積分的元素法

回憶曲邊梯形的面積?

設y?f(x)?0(x?[a? b])? 如果說積分?

A??af(x)dx

b是以[a? b]為底的曲邊梯形的面積? 則積分上限函數

A(x)??af(t)dt

x就是以[a? x]為底的曲邊梯形的面積? 而微分dA(x)?f(x)dx 表示點x處以dx為寬的小曲邊梯形面積的近似值?A?f(x)dx??f(x)dx稱為曲邊梯形的面積元素?

以[a? b]為底的曲邊梯形的面積A就是以面積元素f(x)dx為被積表達式? 以 [a? b]為積分區間的定積分?

A??af(x)dx ?

一般情況下? 為求某一量U? 先將此量分布在某一區間[a? b]上? 分布在[a? x]上的量用函數U(x)表示? 再求這一量的元素dU(x)? 設dU(x)?u(x)dx? 然后以u(x)dx為被積表達式? 以[a? b]為積分區間求定積分即得

U??af(x)dx?

用這一方法求一量的值的方法稱為微元法(或元素法)?

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定積分的應用

§6? 2 定積分在幾何上的應用

一、平面圖形的面積

1．直角坐標情形

設平面圖形由上下兩條曲線y?f上(x)與y?f下(x)及左右兩條直線x?a與x?b所圍成? 則面積元素為[f上(x)? f下(x)]dx? 于是平面圖形的面積為

S??a[f上(x)?f下(x)]dx? ?

類似地??由左右兩條曲線x??左(y)與x??右(y)及上下兩條直線y?d與y?c所圍成設平面圖形的面積為?

S??c[?右(y)??左(y)]dy?

例1 計算拋物線y2?x、y?x2所圍成的圖形的面積??

解(1)畫圖??

(2)確定在x軸上的投影區間: [0? 1]??(3)確定上下曲線???f上(x)?x, f下(x)?x2?

(4)計算積分 db1??

S??(x?x)dx?[2x2?1x3]1?0033321

3例2 計算拋物線y2?2x與直線y?x?4所圍成的圖形的面積??

解(1)畫圖??

(2)確定在y軸上的投影區間: [?2? 4]??(3)確定左右曲線???左(y)?1y2, ?右(y)?y?4?

2(4)計算積分?4?18?

S???2(y?4?1y2)dy?[1y2?4y?1y3]426?222y 例3 求橢圓x2?2?1所圍成的圖形的面積?

ab 解設整個橢圓的面積是橢圓在第一象限部分的四倍? 橢圓在第一象限部分在x 軸上的投影區間為[0? a]? 因為面積元素為ydx?

所以 2S?4?0ydx? a橢圓的參數方程為: x?a cos t ? y?b sin t ?

于是

S?4?0ydx?4??bsintd(acost)

2a0三峽大學高等數學課程建設組

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定積分的應用

??4ab??sintdt?2ab?02(1?cos2t)dt?2ab???ab??

2202?

2．極坐標情形

曲邊扇形及曲邊扇形的面積元素?

由曲線???(?)及射線? ??? ? ??圍成的圖形稱為曲邊扇形? 曲邊扇形的面積元素為 dS?1[?(?)]2d?? 2曲邊扇形的面積為

?S???1[?(?)]2d?? 2

例4.計算阿基米德螺線??a?(a >0)上相應于?從0變到2? 的一段弧與極軸所圍成的圖形的面積?

2?2??4a2?3?

解: S??01(a?)2d??1a2[1?3]02332

例5.計算心形線??a(1?cos?)(a>0)所圍成的圖形的面積?

?? 解: S?2?01[a(1?cos?]2d??a2?0(1?2cos??1cos2?)d?

22232

?a2[3??2sin??1sin2?]?0?a??

242

二、體積

1．旋轉體的體積

旋轉體就是由一個平面圖形繞這平面內一條直線旋轉一周而成的立體? 這直線叫做旋轉軸?

常見的旋轉體? 圓柱、圓錐、圓臺、球體?

旋轉體都可以看作是由連續曲線y?f(x)、直線x?a、a?b 及x軸所圍成的曲邊梯形繞x軸旋轉一周而成的立體?

設過區間[a? b]內點x 且垂直于x軸的平面左側的旋轉體的體積為V(x)? 當平面左右平移dx后? 體積的增量近似為?V??[f(x)]2dx ?

于是體積元素為

dV ? ?[f(x)]2dx ?

旋轉體的體積為

V??a?[f(x)]2dx?

例

1連接坐標原點O及點P(h? r)的直線、直線x?h 及x 軸圍成一個直角三角形? 將它繞x軸旋轉構成一個底半徑為r、高為h的圓錐體? 計算這圓錐體的體積?

解: 直角三角形斜邊的直線方程為y?rx?

所求圓錐體的體積為

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定積分的應用

22hr?r?1?hr2?

V??0?(x)dx?2[1x3]0h3h32y2x 例2? 計算由橢圓2?2?1所成的圖形繞x軸旋轉而成的旋轉體(旋轉橢球體)的體積?

解: 這個旋轉橢球體也可以看作是由半個橢圓 h

y?ba2?x2

a及x軸圍成的圖形繞x軸旋轉而成的立體? 體積元素為dV? ? y 2dx ?

于是所求旋轉橢球體的體積為

22a2 V???b2(a2?x2)dx??b2[a2x?1x3]a?a??ab?

?a33aa

例3 計算由擺線x?a(t?sin t)? y?a(1?cos t)的一拱? 直線y?0所圍成的圖形分別繞x軸、y軸旋轉而成的旋轉體的體積?

解

所給圖形繞x軸旋轉而成的旋轉體的體積為

Vx??0?y2dx???0a2(1?cost)2?a(1?cost)dt

??a3?0(1?3cost?3cos2t?cos3t)dt

?5? 2a 3?

所給圖形繞y軸旋轉而成的旋轉體的體積是兩個旋轉體體積的差? 設曲線左半邊為x=x1(y)、右半邊為x=x2(y)? 則

22(y)dy??0?x1(y)dy

Vy??0?x22a2a2?2?a2?

???2?a2(t?sint)2?asintdt???0a2(t?sint)2?asintdt

???a3?0(t?sint)2sintdt?6? 3a 3 ?

2．平行截面面積為已知的立體的體積

設立體在x軸的投影區間為[a? b]? 過點x 且垂直于x軸的平面與立體相截? 截面面積為A(x)? 則體積元素為A(x)dx ? 立體的體積為

V??aA(x)dx?

例4 一平面經過半徑為R的圓柱體的底圓中心? 并與底面交成角?? 計算這平面截圓柱所得立體的體積?

解? 取這平面與圓柱體的底面的交線為x軸? 底面上過圓中心、且垂直于x軸的直線為y軸? 那么底圓的方程為x 2 ?y 2?R 2? 立體中過點x且垂直于x軸的截面是一個直角三角形? 兩個直角邊分別為R2?x2及R2?x2tan?? 因而截面積為

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b2???高等數學教案

定積分的應用

A(x)?1(R2?x2)tan?? 于是所求的立體體積為

2RR2R3tan??

V???R1(R2?x2)tan?dx?1tan?[R2x?1x3]?R?223

3例5? 求以半徑為R的圓為底、平行且等于底圓直徑的線段為頂、高為h的正劈錐體的體積?

解: 取底圓所在的平面為x O y平面? 圓心為原點? 并使x軸與正劈錐的頂平行? 底圓的方程為x 2 ?y 2?R 2? 過x軸上的點x(?R

A(x)?h?y?hR2?x2?

于是所求正劈錐體的體積為

V???RhR2?x2dx?2R2h?2co2s?d??1?R2h??

02R?

三、平面曲線的弧長

設A? B 是曲線弧上的兩個端點? 在弧AB上任取分點A?M0? M1? M2? ? ? ? ? Mi?1? Mi? ? ? ?? Mn?1? Mn?B ? 并依次連接相鄰的分點得一內接折線? 當分點的數目無限增加且每個小段Mi?1Mi都縮向一點時? 如果此折線的長?|Mi?1Mi|的極限存在? 則稱此極限為曲線弧AB的弧長? 并稱此曲線i?1n弧AB是可求長的?

定理

光滑曲線弧是可求長的?

1．直角坐標情形

設曲線弧由直角坐標方程

y?f(x)(a?x?b)給出? 其中f(x)在區間[a? b]上具有一階連續導數? 現在來計算這曲線弧的長度?

取橫坐標x為積分變量? 它的變化區間為[a? b]? 曲線y?f(x)上相應于[a? b]上任一小區間[x? x?dx]的一段弧的長度? 可以用該曲線在點(x? f(x))處的切線上相應的一小段的長度來近似代替? 而切線上這相應的小段的長度為

(dx)2?(dy)2?1?y?2dx?

從而得弧長元素(即弧微分)

ds?1?y?2dx?

以1?y?2dx為被積表達式? 在閉區間[a? b]上作定積分? 便得所求的弧長為

s??a1?y?2dx?

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定積分的應用

在曲率一節中? 我們已經知道弧微分的表達式為ds?1?y?2dx??這也就是弧長元素??因此

例1? 計算曲線y?2x2上相應于x從a到b的一段弧的長度?

3解? y??x2? 從而弧長元素 13ds?1?y?2dx?1?xdx?

因此? 所求弧長為

s??ab2221?xdx?[2(1?x)2]ba?[(1?b)?(1?a)]?

3333

3例2? 計算懸鏈線y?cchx上介于x??b與x?b之間一段弧的長度?

解? y??shx? 從而弧長元素為

cds?1?sh2xdx?chxdx?

cc因此? 所求弧長為

bbb?

s???bchxdx?2?0chxdx?2c[shxdx]b0?2cshcccc

2．參數方程情形

設曲線弧由參數方程x??(t)、y??(t)(??t??)給出? 其中?(t)、?(t)在[?? ?]上具有連續導數?

dy??(t)因為? dx???(t)d t ? 所以弧長元素為 ?dx??(t)??2(t)ds?1?2??(t)dt???2(t)???2(t)dt?

??(t)所求弧長為

s?????2(t)???2(t)dt?

例3? 計算擺線x?a(??sin?)? y?a(1?cos?)的一拱(0 ?? ?2?)的長度??

解? 弧長元素為

?ds?a2(1?cos?)2?a2sin2?d??a2(1?cos?)d??2asind??

2所求弧長為

2?s??02asin?d??2a[?2cos?]0?8a?

222?三峽大學高等數學課程建設組

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定積分的應用

3．極坐標情形

設曲線弧由極坐標方程

???(?)(? ? ? ? ?)給出? 其中r(?)在[?? ?]上具有連續導數? 由直角坐標與極坐標的關系可得

x??(?)cos???

y??(?)sin?(? ?? ? ?)? 于是得弧長元素為

ds?x?2(?)?y?2(?)d???2(?)???2(?)d??

從而所求弧長為

s?????2(?)???2(?)d??

例4?

求阿基米德螺線??a?(a>0)相應于? 從0到2? 一段的弧長?

解?

弧長元素為

ds?a2?2?a2d??a1??2d??

于是所求弧長為

2?s??0a1??2d??a[2?1?4?2?ln(2??1?4?2)]?

作業：P284：2（2）（4），3，4，5（1），10，12，15（2），18，22，23，29，30

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§6? 3 功

水壓力和引力

一、變力沿直線所作的功

例

1把一個帶?q電量的點電荷放在r軸上坐標原點O處? 它產生一個電場? 這個電場對周圍的電荷有作用力? 由物理學知道? 如果有一個單位正電荷放在這個電場中距離原點O為r的地方? 那么電場對它的作用力的大小為

F?kq(k是常數)?

r2當這個單位正電荷在電場中從r?a處沿r軸移動到r?b(a

解: 在r軸上? 當單位正電荷從r移動到r+dr時?

電場力對它所作的功近似為k即功元素為dW?k于是所求的功為 qdr?

r2qdr?

r2bkq2W??a11dr?kq[?1]ba?kq(?)?

rabr

例2?

在底面積為S的圓柱形容器中盛有一定量的氣體? 在等溫條件下? 由于氣體的膨脹?

把容器中的一個活塞(面積為S)從點a處推移到點b處? 計算在移動過程中? 氣體壓力所作的功?

解? 取坐標系如圖? 活塞的位置可以用坐標x來表示? 由物理學知道? 一定量的氣體在等溫條件下? 壓強p與體積V的乘積是常數k ? 即

pV?k 或p?k?

在點x處? 因為V?xS? 所以作在活塞上的力為

F?p?S?k?S?k?

xSx當活塞從x移動到x?dx時? 變力所作的功近似為kdx? x即功元素為dW?kdx?

x于是所求的功為

bbW??akdx?k[lnx]ba?kln?

例3? 一圓柱形的貯水桶高為5m? 底圓半徑為3m? 桶內盛滿了水? 試問要把桶內的水全部吸出需作多少功？

解? 作x軸如圖? 取深度x 為積分變量? 它的變化區間為[0? 5]? 相應于[0? 5]上任小區間[x? x?dx]的一薄層水的高度為dx? 水的比重為9?8kN/m3? 因此如x的單位為m? 這薄層水的重力為9?8??32dx? 這薄層水吸出桶外需作的功近似地為

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定積分的應用

dW?88?2??x?dx?

此即功元素? 于是所求的功為

225(kj)?

xW??088.2?xdx?88.2?[]50?88.2??22

5二、水壓力

從物理學知道? 在水深為h處的壓強為p??h ? 這里 ? 是水的比重? 如果有一面積為A 的平板水平地放置在水深為h處? 那么?平板一側所受的水壓力為

P?p?A?

如果這個平板鉛直放置在水中? 那么? 由于水深不同的點處壓強p不相等? 所以平板所受水的壓力就不能用上述方法計算?

例4? 一個橫放著的圓柱形水桶? 桶內盛有半桶水? 設桶的底半徑為R? 水的比重為 ? ?

計算桶的一個端面上所受的壓力?

解? 桶的一個端面是圓片? 與水接觸的是下半圓? 取坐標系如圖?

在水深x處于圓片上取一窄條? 其寬為dx ? 得壓力元素為

dP?2?xR2?x2dx?

所求壓力為

P??02 ? xR?xdx????(R03R?2rR3?

???[2(R2?x2)2]033R22R2122?x)d(R2?x2)

三、引力

從物理學知道? 質量分別為m

1、m 2? 相距為r的兩質點間的引力的大小為

F?Gm1m2?

r2其中G為引力系數? 引力的方向沿著兩質點連線方向?

如果要計算一根細棒對一個質點的引力? 那么? 由于細棒上各點與該質點的距離是變化的? 且各點對該質點的引力的方向也是變化的? 就不能用上述公式來計算?

例5? 設有一長度為l、線密度為?的均勻細直棒? 在其中垂線上距棒a單位處有一質量為m的質點M? 試計算該棒對質點M的引力?

解? 取坐標系如圖? 使棒位于y軸上? 質點M位于x軸上? 棒的中點為原點O? 由對稱性知? 引力在垂直方向上的分量為零? 所以只需求引力在水平方向的分量? 取y為積分變量? 它的變化區間為[?l, l]? 在[?l, l]上y點取長為dy 的一小段? 其質量為?dy? 與M相距r?a2?y2? 于2222是在水平方向上? 引力元素為

dFx?Gm?dyam?dy?a??

??Ga2?y2a2?y2(a2?y2)3/2三峽大學高等數學課程建設組

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定積分的應用

引力在水平方向的分量為

Fx???2lG?2l2Gm?lam?dy1????

223/222a(a?y)4a?l

作業：P292：3（2），6

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高等數學教案ch 8 多元函數微分法及其應用

第一篇：高等數學教案ch 8 多元函數微分法及其應用

第二篇：第八章多元函數的微分法及其應用

第三篇：第十一章多元函數微分法及其應用

第四篇：第九章多元函數微分法及其應用教案

第五篇：第六章定積分的應用(三峽大學高等數學教案)[范文模版]

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