第一篇：第六部分 利用導數、偏導數討論函數的性質概要

第六部分 利用導數、偏導數討論函數的性質

一、填空題

1.若f(x)在[a,b]上可導，且c為f(x)的極值點(a?c?b)，則f(x)在x?c點處的切線方程為.2.函數f(x)?x4?2x2?5在[?2,2]上的最大值為.ex3.曲線f(x)?3的水平漸近線為.x?14.若點(1,(a?b)3)是曲線y?(ax?b)3的拐點，則a，b應滿足關系式.x5.曲線y?共有 條漸近線；

2x?16.設(x0,y0)是二元函數z?f(x,y)的駐點，若f(x,y)具有二階連續的偏導數，且

“"”則當a與b滿足 時(x0,y0)?b，(x0,y0)?a，fyyfxx(x0,y0)??1，fxy(x0,y0)是極大值點。

7.已知(x0,y0)是

''''''f(x,y)的駐點，若fxx(x0,y0)?12，fxy(x0,y0)?a，(x0,y0)?3，fyy則當a滿足條件 時，(x0,y0)一定是f(x,y)的極小值點。

8.z?4(x?y)?x?y 的極值點為.9.y?x?12x?36x的單調減少區間為.3210.a?______, b?______ 時,點(1,3)為曲線y?ax?bx的拐點.322211.e?x?3在(??,??)內的實根的個數是 個；

3212.若(1, 3)為函數y?ax?bx的拐點，則a?，b?.xe2x?113.曲線y?的豎直漸近線為.x(x?1)114.函數的麥克勞林展開式為__________________.1?x

二、單選題

1.若f(x)為二次可微的偶函數，且f??(x)?0，則x?0為f(x)的（）.A 極大值點 B 極小值點 C 極值點 D 不能確定

2.若f(x)二次可微，且(x0,f(x0))是它的一個拐點，則必有（）成立.'A.在x?x0處，導數f(x)取得極值.B.在x?x0處，曲線y?f(x)的切線不存在.C.在x?x0處，函數f(x)達到極值.D.上述三個結論均不一定成立.3.曲線y?(2?x)?13在(2,??)內（）.Ａ.單減下凹

Ｂ.單增上凹

Ｃ.單減上凹

Ｄ.單增下凹 4.函數y?f(x)在點x?x0處取得極大值,則必有（）.A.f'(x0)?0 B.f''(x0)?0 C.f'(x0)?0且 f''(x0)?0 D.f'(x0)?0或不存在

5.設偶函數f(x)具有連續的二階導數,且f''(0)?0,則x?0（）.A.不是f(x)的極值點 B.一定是f(x)的極值點 C.一定不是f(x)的極值點 D.是否為極值點不能確定 6．f(x)?lnx的垂直漸近線為（）2x?1 A.x?

1B.x??1

C.x??1,x?0

D.x?0 x2?y2，原點(0,0)（）

A.是駐點但不是極值點

B.是駐點且為極值點

C.不是駐點但是極大值點

D.不是駐點但是極小值點

7．對于函數f(x,y)?

三、計算題

1.若點(1,3)是曲線y?x3?ax2?bx?14的拐點，求a,b.2.求函數f(x)?eax(a?0)的Maclaurin展式.3.已知點(1,3)是曲線y?ax?bx的拐點，求a與b的值.32f(x)?1, lim[f(x)?x]?2, limf(x)??，x?2x???x???x???x并且當x?(0,1)時f'(x)?0，否則f'(x)?0；當x??1時f“(x)?0，否則f”(x)?0(x?2)。2,2? 4.對函數f(x)有limf(x)?0,lim則：（1）函數的單調區間（注明增減）為

；

（2）函數曲線的凹向區間為

，拐點為

；（3）當x?

時，函數取得極大值

；

（4）圖形的漸近線是

；（5）f(0)?5?1?31?7?,f???,f(1)?,f????0,繪出y?f(x)描述圖形.4?2?42?4?32 5.設點(1,3)是曲線y?x?ax?bx?14的拐點,求a,b之值,并求出該曲線的單調區間和極值.6.求函數f(x)?e7.求函數y?e?x22ax(a?0)的Maclaurin展式.的單調區間、凹凸區間、極值點及拐點.8.用微分作圖法作函數y?21314x?x的圖形？ 31

29.設y?ln(（1）函數的凸凹區間及拐點.（2）該曲線在拐點處的切線方程.1?x),求： 10.求曲線y?(1?x)e1?1x的漸近線.11.設y?x2e?x，求該曲線的單調區間、極值、凹向、拐點及漸近線。

12.在拋物線y?1?x2(x?0)上求一點P，使過該點的切線與兩坐標軸所圍的平面圖形的面積最小。

13.設y?f(x)?12?e?x22，求

（1）y?f(x)在_________單調增加,在__________單調減少.(2)y?f(x)在_________向上凹,在__________向下凹.(3)拐點坐標_____________________.(4)y?f(x)在點___________處取極大值____________.(5)y?f(x)的漸近線方程________________________.14.已知曲線y?x(12lnx?3)(x?0),求：(1)單調區間和極值,(2)凹向區間與拐點。

第二篇：偏導數求二元函數最值

偏導數求二元函數最值

用偏導數可以求多元函數的極值及最值，不過要比一元函數復雜很多。

這個在高等數學教材里都有，極值求法與一元函數類似。不過極值點的判斷要比一元函數復雜很多。

求閉區域上的最值要更麻煩一些。為什么呢？你可以回憶一下閉區間上一元函數的最值，我們做法是先求極值，再與端點的函數值比大小。但多元函數就麻煩了，因為一元函數的區間端點只有兩個值，可以全求出來比就行了。但多元函數閉區域的邊界是無窮多個值，不可能全求出來了，因此邊界上我們還需要再求最大最小值，這個叫做條件最值。

如果能代入的話，就是代入求（將條件最值轉化為無條件最值）。如果有些函數很復雜不能代入，有另一個方法，叫做拉格朗日乘數法，就是解決條件最值的問題的。

第三篇：構造函數,利用導數證明不等式

構造函數，利用導數證明不等式

湖北省天門中學薛德斌2010年10月

例

1、設當x??a,b?時，f/(x)?g/(x)，求證：當x??a,b?時，f(x)?f(a)?g(x)?g(a)．

例

2、設f(x)是R上的可導函數，且當x?1時(x?1)f/(x)?0．

求證：（1）f(0)?f(2)?2f(1)；（2）f(2)?2f(1)．

例

3、已知m、n?N，且m?n，求證：(1?m)?(1?n)．

?nm

例

4、（2010年遼寧卷文科）已知函數f(x)?(a?1)lnx?ax2?1，其中a??2，證明：? x1,x2?(0,??)，|f(x1)?f(x2)|?4|x1?x2|.例

5、（2010年全國Ⅱ卷理科）設函數f?x??x?aIn?1?x?有兩個極值點x1、x2，且

2x1?x2，證明：f?x2??

1?2In2.4a?0，b?0，例

6、已知函數f(x)?xlnx，求證：f(a)?(a?b)ln2?f(a?b)?f(b).x?ln(1?x)?x； 1?x

11112n?c??????ln（2）設c?0，求證：.2?cn?1?cn?2?c2n?cn?c例

7、（1）已知x?0，求證：

第四篇：利用導數求函數的單調性解讀

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利用導數求函數的單調性

例 討論下列函數的單調性：

1．f(x)?ax?a?x（a?0且a?1）；

2．f(x)?loga(3x2?5x?2)（a?0且a?1）； 3．f(x)?bx(?1?x?1,b?0)． 2x?1分析：利用導數可以研究函數的單調性，一般應先確定函數的定義域，再求導數f?(x)，通過判斷函數定義域被導數為零的點所劃分的各區間內f?(x)的符號，來確定函數f(x)在該區間上的單調性．當給定函數含有字母參數時，分類討論難于避免，不同的化歸方法和運算程序往往使分類方法不同，應注意分類討論的準確性．

解：

1．函數定義域為R．

f?(x)?axlna?a?x?lna?(?x)??lna(ax?a?x).當a?1時，lna?0,ax?a?x?0,?f?(x)?0.∴函數f(x)在(??,??)上是增函數． 當0?a?1時，lna?0,a?ax?x?0,?f?(x)?0.∴函數f(x)在(??,??)上是減函數． 2．函數的定義域是x?1或x??2.3f?(x)?logae(6x?5)logae2??(3x?5x?2)?

3x2?5x?2(3x?1)(x?2)1時，logae?0,6x?5?0,(3x?1)(x?2)?0，3①若a?1，則當x?∴f(x)?0，∴函數f(x)在?，???上是增函數；

當x??2時，f?(x)?0，∴函數f(x)在???,?2?上是減函數 ②若0?a?1，則當x??1?3??1時，f?(x)?0，3∴函數f(x)在?，???上是減函數； ?1?3??清華園教育網

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www.tmdps.cn 當x??2時，f?(x)?0，∴函數f(x)在???,?2?上是增函數 3．函數f(x)是奇函數，只需討論函數在（0，1）上的單調性

x??(x2?1)?x?(x2?1)?當0?x?1時，f?(x)?b? 22(x?1)b(x2?1)

??2

(x?1)2若b?0，則f?(x)?0，函數f(x)在（0，1）上是減函數； 若b?0，則f?(x)?0，函數f(x)在（0，1）上是增函數．

又函數f(x)是奇函數，而奇函數在對稱的兩個區間上有相同的單調性．所以當b?0時，函數f(x)在（－1，1）上是減函數，當b?0時，函數f(x)在（－1，1）上是增函數． 說明：分類討論是重要的數學解題方法．它把數學問題劃分成若干個局部問題，在每一個局部問題中，原先的“不確定因素”不再影響問題的解決，當這些局部問題都解決完時，整個問題也就解決了．在判斷含參數函數的單調性時，不僅要考慮到參數的取值范圍，而且要結合函數的定義域來確定f?(x)的符號，否則會產生錯誤判斷．

分類討論必須給予足夠的重視，真正發揮數學解題思想作為聯系知識與能力中的作用，從而提高簡化計算能力．

利用導數求函數的單調區間

例

求下列函數的單調區間： 1．f(x)?x?2x?3； 2．f(x)?2x?x2； 3．f(x)?x?42b(b?0).x分析：為了提高解題的準確性，在利用求導的方法確定函數的單調區間時，也必須先求出函數的定義域，然后再求導判斷符號，以避免不該出現的失誤．

4解：1．函數f(x)的定義域為R，f?(x)?x?4x?4(x?1)(x?1)x

令f?(x)?0，得?1?x?0或x?1．

∴函數f(x)的單調遞增區間為（－1，0）和(1,??)； 令f?(x)?0，得x??1或0?x?1，清華園教育網

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www.tmdps.cn ∴函數f(x)的單調遞減區間為(??,?1)和（0，1）． 2．函數定義域為0?x?2.f?(x)?(2x?x2)?22x?x2?1?x2x?x2.令f?(x)?0，得0?x?1． ∴函數f(x)的遞增區間為（0，1）； 令f?(x)?0，得1?x?2，∴函數f(x)的單調遞減區間為（1，2）． 3．函數定義域為x?0,f?(x)?1?b1?(x?b)(x?b).22xx令f?(x)?0，得x?b或x??b．

∴函數f(x)的單調遞增區間為(??,?b)和(b,??)； 令f?(x)?0，得?b?x?b且x?0，∴函數f(x)的單調遞減區間是(?b,0)和(0,b)．

說明：依據導數在某一區間內的符號來確定函數的單調區間，體現了形象思維的直觀性和運動性．解決這類問題，如果利用函數單調性定義來確定函數的單調區間，運算顯得繁瑣，區間難以找準．學生易犯的錯誤是將兩個以上各自獨立單調遞增（或遞減）區間寫成并集的形式，如將例1函數f(x)的單調遞增區間和遞減區間分別寫成(?1,0)?(1,??)和(??,?1)?(0,1)的錯誤結果．這里我們可以看出，除函數思想方法在本題中的重要作用之外，還要注意轉化的思想方法的應用．

求解析式并根據單調性確定參數

例

已知f(x)?x?c，且f[f(x)]?f(x?1).1．設g(x)?f[f(x)]，求g(x)的解析式；

2．設?(x)?g(x)??f(x)，試問：是否存在實數?，使?(x)在???,?1?內為減函數，且在（－1，0）內是增函數．

分析：根據題設條件可以求出?(x)的表達式，對于探索性問題，一般先對結論做肯定

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www.tmdps.cn 存在的假設，然后由此肯定的假設出發，結合已知條件進行推理論證，由推證結果是否出現矛盾來作出判斷．解題的過程實質是一種轉化的過程，由于函數?(x)是可導函數，因此選擇好解題的突破口，要充分利用函數的單調性構造等價的不等式，確定適合條件的參數?的取值范圍，使問題獲解．

解：1．由題意得f[f(x)]?f(x2?c)?(x2?c)2?c，f(x2?1)?(x2?1)2?c.?f[f(x)]?f(x2?1)，∴(x2?c)2?c?(x2?1)2?c,?x2?c?x2?1,?c?1.∴f(x)?x2?1,g(x)?f[f(x)]?f(x2?1)?(x2?1)2?1.2．?(x)?g(x)??f(x)?x4?(2??)x2?(2??)． 若滿足條件的?存在，則??(x)?4x3?2(2??)x.∵函數?(x)在???,?1?內是減函數，∴當x??1時，??(x)?0，即4x3?2(2??)x?0對于x?(??,?1)恒成立． ∴2(2??)??4x2,?x??1,??4x2??4.∴2(2??)??4，解得??4．

又函數?(x)在（－1，0）上是增函數，∴當?1?x?0時，??(x)?0 即4x?2(2??)x?0對于x?(?1,0)恒成立，∴2(2??)??4x,??1?x?0,??4?4x?0.∴2(2??)??4，解得??4．

故當??4時，?(x)在???,?1?上是減函數，在（－1，0）上是增函數，即滿足條件的?存在．

說明：函數思維實際上是辯證思維的一種特殊表現形式，它包含著運動、變化，也就存在著量與量之間的相互依賴、相互制約的關系．因此挖掘題目中的隱含條件則是打開解題思路的重要途徑，具體到解題的過程，學生很大的思維障礙是迷失方向，不知從何處入手去溝通已知與未知的關系，使分散的條件相對集中，促成問題的解決．不善于應用f(x)?a恒成立?[f(x)]max?a和f(x)?a恒成立?[f(x)]min?a，究其原因是對函數的思想方法理解不深．

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利用導數比較大小

例

已知a、b為實數，且b?a?e，其中e為自然對數的底，求證：a?b． 分析：通過考察函數的單調性證明不等式也是常用的一種方法．根據題目自身的特點，適當的構造函數關系，在建立函數關系時，應盡可能選擇求導和判斷導數都比較容易的函數，一般地，證明f(x)?g(x),x?(a,b)，可以等價轉化為證明F(x)?f(x)?g(x)?0，如果

baF?(x)?0，則函數F(x)在(a,b)上是增函數，如果F(a)?0，由增函數的定義可知，當x?(a,b)時，有F(x)?0，即f(x)?g(x)．

解：證法一：

?b?a?e，∴要證ab?ba，只要證blna?alnb，設f(b)?blna?alnb(b?e)，則f?(b)?lna?a． b?b?a?e，∴lna?1，且

a?1，∴f?(b)?0.b∴函數f(b)?b?lna?alnb在(e,??)上是增函數． ∴f(b)?f(a)?alna?alna?0，即blna?alnb?0，∴blna?alnb,?a?b.證法二：要證a?b，只要證b?lna?alnb(e?a?b)，即證babalnalnblnx1?lnx?(x?e)，則f?(x)??0，設f(x)?2abxx∴函數f(x)在(e,??)上是減函數． 又?e?a?b,?f(a)?f(b)，即

lnalnb?,?ab?ba.ab說明：“構造”是一種重要而靈活的思維方式，應用好構造思想解題的關鍵是：一要有明確的方向，即為什么目的而構造；二是要弄清條件的本質特點，以便重新進行邏輯組合．解決這種問題常見的思維誤區是不善于構造函數或求導之后得出f?(x)?g?(x)?f(x)?g(x)的錯誤結論．

判斷函數在給定區間上的單調性

例

函數y?log1?1??2?1??在區間(0,??)上是（）x?清華園教育網

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A．增函數，且y?0

B．減函數，且y?0

C．增函數，且y?0

D．減函數，且y?0

分析：此題要解決兩個問題：一是要判斷函數值y的大小；二是要判斷此函數的單調性． 解：解法一：令u?1?1，且x?(0,??),?u?1，x則y?log1u?0，排除A、B．

2由復合函數的性質可知，u在(0,??)上為減函數．

又y?log1u亦為減函數，故y?log1?1?2?2?1?排除D，選C． ?在(0,??)上為增函數，x?解法二：利用導數法

y??1?1??log1e???2??log2e?0 1xx(1?x)??21?x1（x?(0,??)），故y在(0,??)上是增函數． 由解法一知y?0．所以選C．

說明：求函數的值域，是中學教學中的難關．一般可以通過圖象觀察或利用不等式性質求解，也可以用函數的單調性求出最大、最小值等（包括初等方法和導數法）．對于復合函數的單調性問題，簡單的復合函數是可以利用復合函數的性質進行判斷，但是利用導數法判斷一些較復雜的復合函數還是有很大優勢的．

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第五篇：第6章 多元函數微分學2-10導學(6.1.3 偏導數 6.1.4 高階偏導數)

第6章 多元函數微分學

6.1 多元函數微分的基本概念

6.1.3 偏導數6.1.4 高階偏導數(導學)

一、一元函數導數相關知識

1． 某商店賣兩種牌子的果汁，本地牌子每瓶進價1元，外地牌子每瓶進價1.2元，店主估計，如果本地牌子的每瓶賣x元，外地牌子的每瓶賣y元，則每天可賣出70?5x?4y瓶本地牌子的果汁，80?6x?7y瓶外地牌子的果汁,問：(1)店主每天的收益為多少？（2）收益對不同價格x，y的變化率為多少？

二、多元函數有關問題

1．偏導數符號“?”怎么讀？

2．多元函數的偏導數幾何意義

3．怎樣求偏導數?

4．fx(x,y)與正fx(x0,y0)兩者是怎樣的關系?

三、舉例與練習

1．求u?x2?y2?xy的偏導數。z

2． 求函數z?x2?3xy?2y2在點(2,1)處的兩個偏導數

3． 設z?xy(x?0)，求證x?z1?z??2z y?xlnx?y

?u2?z?u)?()2?()2?1 ?x?y?z4． 設u?x2?y2?z2，求證（?xy22?,x?y?0，求f?(0,0)和f?(0,0)5．函數f(x,y)??x?yxy22?x?y?0?0,6．求函數z?x3y?3x2y3的二階偏導數.四、思考題

1.二元函數f(x,y))在點(x0,y0)處的偏導數fx(x0,y0)與一元函數?(x)?f(x,y0)在點x0處的導數??(x0)是否相同?

2.如果函數z?f(x,y)在(x0,y0)點偏導數存在，試問z?f(x,y)在(x0,y0)點一定連續嗎?