第一篇：第6章 多元函數微分學2-10導學(6.1.3 偏導數 6.1.4 高階偏導數)

第6章 多元函數微分學

6.1 多元函數微分的基本概念

6.1.3 偏導數6.1.4 高階偏導數(導學)

一、一元函數導數相關知識

1． 某商店賣兩種牌子的果汁，本地牌子每瓶進價1元，外地牌子每瓶進價1.2元，店主估計，如果本地牌子的每瓶賣x元，外地牌子的每瓶賣y元，則每天可賣出70?5x?4y瓶本地牌子的果汁，80?6x?7y瓶外地牌子的果汁,問：(1)店主每天的收益為多少？（2）收益對不同價格x，y的變化率為多少？

二、多元函數有關問題

1．偏導數符號“?”怎么讀？

2．多元函數的偏導數幾何意義

3．怎樣求偏導數?

4．fx(x,y)與正fx(x0,y0)兩者是怎樣的關系?

三、舉例與練習

1．求u?x2?y2?xy的偏導數。z

2． 求函數z?x2?3xy?2y2在點(2,1)處的兩個偏導數

3． 設z?xy(x?0)，求證x?z1?z??2z y?xlnx?y

?u2?z?u)?()2?()2?1 ?x?y?z4． 設u?x2?y2?z2，求證（?xy22?,x?y?0，求f?(0,0)和f?(0,0)5．函數f(x,y)??x?yxy22?x?y?0?0,6．求函數z?x3y?3x2y3的二階偏導數.四、思考題

1.二元函數f(x,y))在點(x0,y0)處的偏導數fx(x0,y0)與一元函數?(x)?f(x,y0)在點x0處的導數??(x0)是否相同?

2.如果函數z?f(x,y)在(x0,y0)點偏導數存在，試問z?f(x,y)在(x0,y0)點一定連續嗎?

第二篇：多元函數微分學

多元函數的極限與連續

一、平面點集與多元函數

（一）平面點集:平面點集的表示: E?{(x,y)|(x,y)滿足的條件}.1.常見平面點集:

⑴ 全平面和半平面: {(x,y)|x?0}, {(x,y)|x?0}, {(x,y)|x?a}, {(x,y)|y?ax?b}等.⑵ 矩形域: [a,b]?[c,d], {(x,y)|x|?|y|?1}.⑶ 圓域: 開圓, 閉圓, 圓環.圓的個部分.極坐標表示, 特別是 {(r,?)|r?2acos?}和{(r,?)|r?2asin?}.⑷ 角域: {(r,?)|?????}.⑸ 簡單域:X?型域和Y?型域.2.鄰域: 圓鄰域和方鄰域，圓鄰域內有方鄰域，方鄰域內有圓鄰域.空心鄰域和實心鄰域, 空心方鄰域與集

{(x,y)|0?|x?x0|?? , 0?|y?y0|??}的區別.（二）點集的基本概念: 1.內點、外點和界點：集合E的全體內點集表示為intE, 邊界表示為?E.集合的內點?E, 外點?E, 界點不定.2.聚點和孤立點: 孤立點必為界點.例1 確定集E?{(x,y)|3.開集和閉集: 1?(x?1)2?(y?2)2?4 }的內點、外點集、邊界和聚點.intE?E時稱E為開集,E的聚點集?E時稱E為閉集.存在非開非閉集.R2和空集?為既開又閉集.4.開區域、閉區域、區域：以上常見平面點集均為區域.5.有界集與無界集: 6.點集的直徑d(E)：兩點的距離?(P1 , P2).7.三角不等式：

|x1?x2|（或|y1?y2|）?(x1?x2)2?(y1?y2)2? |x1?x2|?|y1?y2|.（三）二元函數: 1.二元函數的定義、記法、圖象： 2.定義域： 例4 求定義域：

ⅰ> f(x,y)?3.有界函數: 4.n元函數: 9?x2?y2x2?y2?1;ⅱ> f(x,y)?lny.ln(y?x2?1)

二、二元函數的極限

（一）.二元函數的極限: 1.二重極限limf(P)?A的定義: 也可記為P?P0P?D(x,y)?(x0,y0)limf(x,y)?A或x?x0y?y0limf(x,y)?A

例1 用“???”定義驗證極限

(x,y)?(2,1)lim(x2?xy?y2)?7.[1]P94 E1.xy2?0.例2 用“???”定義驗證極限 lim2x?0x?y2y?0?x2?y2,(x,y)?(0,0),?xy例3 設f(x,y)??x2?y

2?0 ,(x,y)?(0,0).? 證明(x,y)?(0,0)limf(x,y)?0.(用極坐標變換)

P?P0P?ETh 1 limf(P)?A?對D的每一個子集E ,只要點P0是E的聚點,就有limf(P)?A.P?P0P?D推論1 設E1?D,P0是E1的聚點.若極限limf(P)不存在, 則極限limf(P)也不存在.P?P0P?E1P?P0P?D推論2 設E1,E2?D,P0是E1和E2的聚點.若存在極限limf(P)?A1,limf(P)?A2，P?P0P?E1P?P0P?E2但A1?A2,則極限limf(P)不存在.P?P0P?D推論3 極限limf(P)存在?對D內任一點列{ Pn },Pn?P0但Pn?P0,數列{f(Pn)}P?P0P?D ?xy ,(x,y)?(0,0),?22收斂 例4 設f(x,y)??x?y 證明極限limf(x,y)不存在.(x,y)?(0,0)?0 ,(x,y)?(0,0).?(考慮沿直線y?kx的方向極限).?例5 設f(x,y)???1,0,當0?y?x2,???x???時，證明極限limf(x,y)不

(x,y)?(0,0)其余部分.存在.二重極限具有與一元函數極限類似的運算性質.例6 求下列極限: ⅰ>(x,y)?(0,0)limsinxyx2ylim;ⅱ>;(x,y)?(3,0)yx2?y2 ⅲ>(x,y)?(0,0)limxy?1?1ln(1?x2?y2);ⅳ> lim.22(x,y)?(0,0)xyx?yf(x,y)???的定義: 3． 極限(x,y)?(x0,y0)lim其他類型的非正常極限，(x,y)?無窮遠點的情況.例7 驗證(x,y)?(0,0)lim1???.222x?3yEx

[1]P99—100 1⑴—⑹，4，5.（二）累次極限:

1.累次極限的定義: 定義.例8 設f(x,y)?xy, 求在點(0 , 0)的兩個累次極限.22x?yx2?y2例9 設f(x,y)?2, 求在點(0 , 0)的兩個累次極限.2x?y例10 設f(x,y)?xsin11?ysin, 求在點(0 , 0)的兩個累次極限與二重極限.yx 2.二重極限與累次極限的關系:

⑴ 兩個累次極限存在時, 可以不相等.(例9)

⑵ 兩個累次極限中的一個存在時, 另一個可以不存在.例如函數f(x,y)?xsin1y在點(0 , 0)的情況.⑶ 二重極限存在時, 兩個累次極限可以不存在.(例10)

⑷ 兩個累次極限存在(甚至相等)??二重極限存在.(參閱例4和例8).綜上, 二重極限、兩個累次極限三者的存在性彼此沒有關系.但有以下確定關系.Th 2 若全面極限(x,y)?(x0,y0)limf(x,y)和累次極限limlimf(x,y)(或另一次序)都存在,則

x?x0y?y0必相等.推論1 二重極限和兩個累次極限三者都存在時, 三者相等.注: 推論1給出了累次極限次序可換的一個充分條件.推論2 兩個累次極限存在但不相等時, 全面極限不存在.注: 兩個累次極限中一個存在,另一個不存在??全面極限不存在.參閱⑵的例.三、二元函數的連續性

（一）二元函數的連續概念：

?xy22 , x?y?0 ,22??x?y例1 設f(x,y)??

?m , x2?y2?0.??1?m2證明函數f(x,y)在點(0 , 0)沿方向y?mx連續.?1 , 0?y?x2, ???x??? ,例1 設f(x,y)??

([1]P101)?0 , 其他.證明函數f(x,y)在點(0 , 0)不全面連續但在點(0 , 0)f對x和y分別連續.2.函數的增量: 全增量、偏增量.用增量定義連續性.3.函數在區域上的連續性.4.連續函數的性質: 運算性質、局部有界性、局部保號性、復合函數連續性.

第三篇：多元函數微分學復習

第六章 多元函數微分學及其應用

6.1 多元函數的基本概念 一、二元函數的極限

定義 f(P)= f(x，y)的定義域為D, oP0(x0,y0)是D的聚點.對常數A，對于任意給定的正數?，總存在正數?，使得當點P(x，y)∈D? U(P0,?)，即

0?|P0P|?

(x?x0)?(y?y0)??22

時，都有

|f(P)–A|=|f(x，y)–A|<

?

成立，那么就稱常數A為函數f(x，y)當(x，y)→(x0，(x,y)?(x0,y0)y0)時的極限，記作

y0)), lim f(x,y)?A或f(x，y)→A((x，y)→(x0,也記作

P?P0limf(P)?A

或

f(P)→A(P→P0)為了區別于一元函數的極限，上述二元函數的極限也稱做二重極限.二、二元函數的連續性

(x,y)?(x0,y0)limf(x,y)?f

(x0,y0)，(?x,?y)?(0,0)lim?z?0

如果函數f(x , y)在D的每一點都連續，那么就稱函數f(x , y)在D上連續，或者稱f(x , y)是D上的連續函數.如果函數f(x , y)在點P0(x0,y0)不連續，則稱P0(x0,y0)為函數f(x , y)的間斷點.多元連續函數的和、差、積仍為連續函數；連續函數的商在分母不為零處仍連續；多元連續函數的復合函數也是連續函數。一切多元初等函數在其定義區域內是連續的.多元初等函數的極限值就是函數在該點的函數值，即

p?p0limf(P)?f(P0).有界性與最大值最小值定理 在有界閉區域D上的多元連續函數，必定在D上有界，且能取得它的最大值和最小值.介值定理 在有界閉區域D上的多元連續函數必取復介于最大值和最小值之間的任何值。

三、例題 例1 設f(x,y)?x?y?g(x?y)，已知f(x,0)?xf(x,0)?x?g(x)?x222，求

f(x,y)的表達式。

2解 由題設，有g(x)?x?x2，于是

。f(x,y)?x?y?[(x?y)?(x?y)]，即 f(x,y)?(x?y)?2y例2 證明極限limxyx?y623不存在。

x?0y?0 證 當(x,y)沿三次拋物線y?kx

3趨于(0,0)時，有

limxyx?yxyx?y。

623623x?0y?0?limx?kx62336x?0y?0x?kx?limk1?k2

x?0y?0其值隨k去不同值而取不同值。故極限lim不存在。

x?0y?0 例3 求極限limxy?1?1x?y2222x?0y?0 解

原式?limxy2222x?0y?0x?y?1xy?1?1?z?x22?12limxx?0y?022y22x?y?0

6.2 偏導數與高階導數 6.2.1 偏導數

一、概念

說明對x求導視z?f(x,y)，y?limf(x??x,y)?f(x,y)?x

?x?0為常數，幾何意義也說明了這個問題

二元函數z=f(x , y)在點M0(偏導數數

x0,y0)的偏導數有下述幾何意義.0fx?(x0,y0)，就是曲面z?f(x,y)與平面y?y0的交線在點M0處的切線M0Tx對x軸的斜率.同樣，偏導fy(x0,y0)的幾何意義是曲面z?f(x,y)與平面x=x0的交線在點M 2 基于如上理由，求

處的切線M0Ty對y軸的斜率.?z?x(x0,y0)時，（因此可能簡化函數）再對xy0可先代入，求導

例 f(x,y)?x?arctany(x?arctany(x??arctany)?)，求fx?(1,0)。

?n重 解 f(x,0)?x，fx?(x,0)?1，fx?(1,0)?1

二、可微，偏導數存在，連續的關系

?偏導數存在可微???連續

三、高階偏導數

設函數z=f(x , y)在區域D內具有偏導數，偏導數連續?可微，??fxy和

??fyx都連續，則

??fxy=

??fyx;

?z?x2?fx(x,y),?z?y?fy(x,y)，則這兩個函數的偏導數稱為函數z=f(x , y)的二階

2偏導數。按照對變量求導次序的不同有下列四個二階偏導數：

???z??z???z??z?f(x,y),??fxy(x,y),?????xx2?x??x??x?y??x??x?y???z???x??y??z????f(x,y),yx??y??y?x2??z????y??z??fyy(x,y).2???y?2

四、偏導數，微分運算公式 1．z 2．dz ?f(x,y)，u?u(x,y)，v?v(x,y)

?z?x??f?u?u?x??f?v?v?x

?z?y??f?u?u?y??f?v?v?y

?fu?du?fv?dv?fu??(u?dx?u?ydy)?fv??(v?dx?v?ydy)xx?(fu??u??fv??v?)dx?(fu??u?y?fv??v?y)dyxx

d(u?v)?du?dvd(u?v)?udv?vdu?z?x??2

?u?vdu?udvd???2v?v?

3．F(x,y,z)?0 確定z?z(x,y)，Fx?Fz?；

?z?y2??Fy?Fz?6.2.2 求偏導數算例 例1（1）z?arctanx?y1?xy，求

?z?x，?z?y，?z?x22，?z?x?y。

解 ?z?x?1?x?y1???1?xy??11?y2????2?1?(1?xy)?(x?y)(?y)(1?xy)?11?x2

由對稱性 ?z?y2，?z?x22?2?2x(1?x)，求

22；

2?z?x?y22?0；（2）u?lnx?y?z2?u?x22??u?y2??u?z2。

解?u?x?122x222x?y?z?xx?y?z22，2 ?u?x由對稱性 22?2x?y?z?x?2x(x?y?z)22222222222??x?y?z2222222222(x?y?z)22

?u?y222??x?y?z222，?u?z1222(x?y?z)?u?y22?x?y?z2(x?y?z)2

故 ?u?x2??u?z22?x?y?z222。

（3）?xy?22f(x,y)??x?y?0??x?022x?y?0，求

fx?(0,0)，fy?(0,0)

x?y?022 解 fx?(0,0)?lim?x?0?x?0?x22?0，同理fy?(0,0)?0；

?u?x，例2 u?yf(x?y,xy)，求

?u?x?y2。

解 ?u?x22?y?f1??2x?f2??y??2xyf1??yf2?

?u?x?y

??(?2y)?f12??x??2yf2??y2?f21??(?2y)?f22??x? ?2xf1??2xy?f112???2x2yf12???2yf2??2y3f21???xy2f22?? ?2xf1??4xyf11

例3

?z?y?z?f(xy,)?g??，求

?x?yx?x?y2

解

y?y????f1??y?f2????2??g???2??x?x??x?2?z

1?1y?1?????x?f12????????f1??y?f11?f?fx?f?22222?21???x?yx?xx?x??y1yy1??????2f2?????3f22???2g??f12f?f1??xyf11xxxxxy)，求du。例4 u?f(x?y,x?y,x解（1）?z1xx2g??g??

yx2g??1x

y3 du??u?xdx??u?ydy

?u1y??u??f1??f2?(?1)?f3??f1??f2??f3????2?；?xx?x??y

故

y1????du??f1??f2??2f3??dx??f1??f2??f3??dy xx????xdy?ydxd(x?y)?f2?d(x?y)?f3?解（2）du?f1?2x

?f1?(dx?dy)?f2?(dx?dy)?f3??[f1??f2??yx2xdy?ydxx1x2

f3?]dx?[f1??f2??f3?]dy

例5 設z?z(x,y)由方程F(x?zy,y?zx)?0，確定，F有連續一階偏導數，求

?z?x，?z?y。

解（1）方程兩邊對x求導

?z????z??x?z??????0 F1??1??x??F2???x2y?x???????????zyz?F1??2F2??xyF1??F2??zxx??11?xxF1??yF2?F1??F2?yx；

方程兩邊對y求導

??z??y?z??1?z??y??F????F1??1?2?2??0 ??yx?y??????zxz??F?FF??xyF2?122?zyy ??11?yxF1??yF2?F1??F2?yxzy)?F2?d(y?zx2；

解（2）方程兩邊取微分 F1?d(x?)?0)?F2?(dy?zy2F1?(dx?ydz?zdyyzx2xdz?zdxx2)?0

(?F1??

F2?)dx?(1yF1??1xF1??F2?)dy dz?F2??xyF1???yzF2?； 則 ?z?x?F1???1yF1??zx12F2??F2??xyF1??yzxxF1??yF2?F2?；

?z?xxxF1??yF2?dydxx 例6 設y?f(x,t)，t?t(x,y)由F(x,y,t)?0確定F,f可微，求。

解（1）對方程取微分

?(1)?dy?fx?dx?ft?dt?????Fxdx?Fydy?Ftdt?0?(2)dy?fx?dxft??0

由（1）解得dt代入（2）得 Fx?dx?Fy?dy?Ft?

則 ?Fx??Ft?fx?/ft??Fx?ft??Ft?fx?dy?dx?dxFt????Ff?FytFy??ft?解（2）

dy，即

dx??Fx?ft??Ft?fx?Fy?ft??F?

y?f(x,t(x,y))

dy??t?tdy??fx??ft?????dx??x?ydx?

dydxfx??ft??1?ft???t 而?x?tyx?t?x??Fx?Ft?；

?t?y?u?x22??Fy?Ft?，則

dydx??Fx?ft??Ft?fx?Fy?ft??F?2

?y，? 例7 證明：當??y時，方程x2?2xy?u?x?y2?y2?u?y2?0可化成標準形式

?u??22?0，其中u?u(x,y)二階偏導數連續。

證明：將u看成由u(?,?)，而???yx，??y復合成x,y的函數，u?u(?(x,y),?(y))

則 ?u?x?2?u??????x2?u???u???u1?u?u?y??u??????????2?；

???x??y???y???y??x??22y??u1?u???2?2??；

?2?x?yx??x???x?????

?u?x222?u?y??uy???2??223???x???x?u21?u

?u22221??u1?u??u1?u?????1

??222?yx???x?????????x??2則 x?u?x22?2xy?u?x?y2?y2?u??22???y2?u??22?0??u??22?0

小結

① 顯函數（復合）二階混合偏導數

② 隱函數求偏導，會用微分法，用復合法習題 1．z?f(u)，u由方程u??(u)?

?xyp(t)dt確定的x,y的函數，f,?可微，P,??連續，??(u)?1，求P(y)?z?x?P(x)?z?y

（答案：0）（蔡 P146）

22．z?z(x,y)由z?e?xyz確定，求

?z?x?y；

23．F(x?y,y?z)?1確定了隱函數z?z(x,y)，Fy?y(x),z?z(x)是由方程z?xf(x?y)和

具有連續二階偏導數求

?z?y?x

4．設5．t6．zF(x,y,z)?0確定，f,F有連續偏導數，求

dzdx。

?0，f可微且滿足

kf(tx,ty,tz)?tf(x,y,z)，證明 xfx??yfy??zfz??kf。

。?f(x,y)于(1,1)點可微，且f(1,1)?1，fx?(1,1)?23x?1。，fy?(1,1)?3。?(x)?f(x,f(x,x))求ddx[?(x)]?u?x?2y7．設變換??v?x?ay8．設可把方程6?z?x22??z?x?y2??z?yx22?0化簡為

?z?u?v?z?x222?02，求常數a的值。（a＝3）。

f(u)u有連續二階導數，而?uz?f(esiny)滿足

??z?y2?ez2x，求

f(u)。（f(u)?c1e?c2e）

6.2 偏導數應用

偏導數應用注意四個方面：空間曲面曲線切平面、法線、切線、法平面；方向導數；梯度、散度、旋度；極值與條件極值。

6.3.1 內容小結

1． 空間曲線切線與法平面

?x?x(t)?1）?y?y(t)

?z?z(t)??切向量v?(xt?,yt?,zt?)

切線方程：

x?x0xt??y?y0yt??z?z0zt?

?(x法平面方程：xt?x0)?yt?(y?y0)?zt?(z?z0)?0

?x?x?y?y(x)???y?y(x)2）??z?z(x)?z?z(x)?切線方程：

?v??(1,y?,z?)類似的

x?x01?y?y0y??z?z0z?

法平面方程：x?x0?y?(y?y0)?z?(z?z0)?0

??Fz?z??0??F(x,z,y)?0xx?Fx??Fy?y?3）????v?(1,y?,z?)xx???????G(x,y,z)?0?Gx?Gyyx?Gzzx?02． 空間曲面切平面與法線

?1）F(x,y,z)?0,n?(Fx?,Fy?,Fz?)|P0切平面：Fx?|p0法線：

(x?x0)?Fy?|p0(y?y0)?Fz?|p0(z?z0)?0x?x0Fx?|p0?y?y0Fy?|p0?z?z0Fz?|p0

?2）z?f(x,y)?F?f(x,y)?z?n?(fx?,fy?,?1)

切平面：類似地

fx?(x?x0)?fy?(y?y0)?(z?z0)?0

法線：x?x0fx??y?y0fy??z?z0?1

?x?x(u,v)?3）*?y?y(u,v)

?z?z(u,v)??（參數方程形式）

?切線 ?,yu?,zu?),v2?(xv?,yv?,zv?)v1?(xu??????i?xvj?yu?yv?n?v1?v2?xu??(y,z)?(z,x)?(x,y)????zu??(u,v),?(u,v),?(u,v)?????zvk

3． 方向導數

u?u(x,y,z)?u?l??u?xcos???u?ycos???u?zcos??gradu?l???（梯度在l方向投影）

4． 梯度、散度、旋度

?????????，??

??x?y?z???u?u?u??gradu??u??，????x?y?z??

????divA??A??P?x??Q?y??R?z??

rotA???A?i??xPj??yQk??zR

6.3.2 例題

例1 求曲線x??t,y??t,z?t2?23上與平面x?2y?z?4平行的切線方程。

????解 切向量?2?(1,?2t,3t)，n?(1,2,1)由??n，則??n?0，即，1?4t?3t?0?t1?1,t2??當t?1時 ??(1,?2,3),x1?1,y1??1,z1?1，切線方程為?13?x?11?y?1?2?z?13

當t時 ?2?(1,?21111,),x2?,y1??,z1?333927，x?切線方程為13?y??119?23z?13127

22??x?y?10例2 求空間曲線?22??x?z?10在點(3,1,1)處的切線方程和法平面方程。

解 22??x?y?10?22??x?z?10確定了

y?y(x),z?z(x)，對x求導??2x?2yy??0?2x?2zz??0x?3y?1?3，y???z????z?1?3

xyxz

?于

1法平面方程為x?3?3(y?1)?3(z?1)?0，即x?3y?3z?3?0 例3 求曲面x2M(3,1,1)點：y???3,z???3,v?(1,?3,?3)切線方程為 ??y?z?x的切平面。使之與平面x?y???22z2?2?垂直，同時也與x?y?z?2垂直。

?解 切平面法向量n??(2x?1,2y,2z)，n1?(1,?1,?12)，n2?(1,?1,?1)，依題意

n1?n?0

??既有2x ?1?2y?z?0

（1）

（2）n2?n?0 2x?1?2y?12z?0

聯立（1）（2）和原方程 ?2?2x??4??2得解?y?4??z?0???2?2x??4??2，?y??4??z?0??

? n01??2?2?22???，0?，n02???,?,0? ?2???222????切平面22(x?2?42)?22(y?24)?0

即

x?y?x?y?1?21?222

得

?2?2?2?22?x???(y?)?0 ??2?424??x?2y?3z222即

例4 求u解 令

在(1,1,1)點沿x2?y?z?3的外法線方向的方向導數。

22222F(x,y,z)?x?y?z?3，Fx??2x,Fy??2y,Fz??2z?于P(1,1,1)點n?(2,2,2)，n?(??13,13,13)

?u?n??u?xcos???u?ycos???u?zcos?111?12???2x??4y?6z|??43?(1,1,1)3333???

例5 設f(x,y)在?f?L3?|p0??f?x1??11??1?p0點可微，L1??，?,L2????2222????7。，?f?L1?1,?f?L2?0

?試確定L3使52?f?ycos?1?1，?f?L2??f?xcos?2??f?ycos?2?0，則 解 ?f?L1cos?1? ??f??x????f???x12??f?y12?1??f?x?12?y,?f?12

1??f1??0?????y2?2?? 設L3?(cos?3,cos?3)

從而?f?L3??f?xcos?3?75?f?xcos?3?75235 即

1245cos?3? 此時cos12cos?3?45或cos752

cos?3?sin?3??，解得cos??3?或cos?3??3??3?35

?34?即L3??,?55??例6 或L32?43???,? ?55?2 u?lnx?y?z2，求div2(gradu)。

解 div(gradu)???(?u)??u?12ln(x?y?z)222?u?x22??u?y222??u?z22。

u?，2?u?x22?xx?y?z222222，2222?u?x22?x?y?z?x?2x(x?y?z)??x?y?z222(x?y?z)

由對稱性 ?u?y22?x?y?z222222(x?y?z)2，?u?z22?x?y?z222222(x?y?z)2

從而 div(gradu)?1x?y?z222

例7 設a, b, c為常數，F證明(u,v)有連續一階偏導數。

證 x?ay?b,)?0上任一點切平面都通過某定點。z?cz?c11x?ay?b?，Fy??F2??，F???F??Fx??F1???F?z1222z?cz?c(z?c)(z?c)F（則切平面方程為 F1??取1z?c(X?x)?F2??1z?c(Y?y)?1(z?c)2?F?(x?a)?F2?(y?b)?(z?y)?0

x?a,Y?b,Z?c，則對任一的(x,y,z)點上式均滿足，即過任一點的切平面都過(a,b,c)點。

。(x?az,y?bz)?0上任一點切平面都通過某定直線平行（F具有連續偏導數）

?例8 設a,b為常數，證明曲面F證

?Fx??F1?，Fy??F2?，Fz???aF1??bF2?，即n?(F1?,F2?,?aF1??bF2?)，????取l?(a,b,1)，則n?l?0，n?l，曲面平行l，取直線

x?x0a??y?y0b?z?z01，則曲面上任一點的切平面都與上述直線平行。例9 求二元函數u5方向導數最大？這個最大的方向導數值是多少？u沿那個方向減少得最快，沿哪個方向u的值不變？

解 ?x?xy?y22在點M(?1,1)沿方向n?1(2,1)的方向導數，并指出u在該點沿哪個方向的gradu|(?1,1)?(2x?y,2y?x)|(?1,1)?(?3,3)，u?M在點M(?1,1)沿n?方向的方向導數為

?u?n1?3?2??(gradu)?n|M?(?3,3)??,???5?5?5，方向導數取得最大值的方向為梯度方向，其最大值為為求使u變化的變化率為零的方向，令l

?gradu|M?32，u沿負梯度方向減少最快。

?(cos?,sin?)，則，?u?l?u?lM?????(gradu|M)?l??3cos??3sin??32sin????4???4或?令?0，得??????4，故在點(?1,1)處沿???4和???4函數u得值不變化。

例10 一條鯊魚在發現血腥味時，總是沿血腥味最濃的方向追尋。在海上進行試驗表明，如果血源在海平面上，建立坐標系味：坐標原點在血源處，xOy2坐標面為海平面，Oz軸鉛直向下，則點(x,224y,z)處血源的濃度C（每百萬份水中所含血的份數）的近似值C?e?(x?y?2z)/10。

（1）求鯊魚從點?1,1,??1??（單位為海里）出發向血源前進的路線?2???的方程；

（2）若鯊魚以40海里/小時的速度前進，鯊魚從?1,1,1??點出發需要用多少時間才能到達血源處？ 2?解（1）鯊魚追蹤最強的血腥味，所以每一瞬時它都將按血液濃度變化最快，即C的梯度方向前進。由梯度的計算公式，得

2224??C?C?C??4?(x?y?2z)/10?gradC??，?10e(?2x.?2y,?4z)????x?y?z?設曲線?的方程為x?x(t)，y?y(t)，z?z(t)，則?的切線向量??(dx,dy,dz)必與gradC平行，從而有 dx?2x?dy?2y?dz?4z

解初始值問題

dy?dx???2y??2x?y|?1?x?1dz?dx????2x?4z??z|?1x?1?2?

得

y?x

解初始值問題

得

z?12x2，所以所求曲線?的方程為

x?x，y?x，z? 12（2）曲線?的長度 x2(0?x?1)s??101?y??z?dx?xx?ln(3?1)??22?10?x2?xdx???22x?2?ln(x?2?x?1)?

?0?3212ln2（海里）

3?1)?1?。ln2?（小時）

2?因此到達血源處所用的時間為T6.4 多元函數的極值

1?3?ln(?40?2

一、無條件極值 限于二元函數z?f(x,y)

1． ??z?0???x?求駐點??z??0???y駐點P

2． 于駐點P處計算A??z?x22，B??z?x?y2，C??z?y22。B2?AC?0是極值點，A?0可取得極小值，A?0可取極大值。

3． 條件極值：??minu?f(x,y,z)?S.t.?(x,y,z)?0，令

L?f(x,y,z)???(x,y,z)求無條件極值。

例1 求內接于橢球面，且棱平行對稱軸的體積最大的長方體。

解 設橢球面方程為 xa22?yb22?zc22?1，長方體于第一卦限上的點的坐標為(x,y,z)，則

V?8xyz，s.t.xa 22?yb22?zc22?1，令

2?xa222?x2?yz? L?8xyz??????1?a2b2c2?????8yz?LxL??8xz?y??8xy?Lz及?0?(1)?0?(2)?0?(3)2?yb2?zc22xa22?yb22?zc22?1

由（1）（2）（3）得xa22?b3yb22?zc22?tc3，代入（3）得t?13，從而 x?a3，y?2，z2??2，此時V?8abc33?839abc。

例2 求由方程2x?2y?z?8xz?z?8?0所確定的二元函數z?f(x,y)的極值。解

方程兩邊對x,y求偏導數得：

4x?2z?z?x?8z?8x?z?x??z?x?0

?（1）

4y?2z?z?y?8x?z?y??z?y?0

?（2）

?4x?8z?016和原方程聯立得駐點(?2,0)，(,0)?0，得??x74y?0?y?方程（1）對x,y再求偏導，方程（2）對y求偏導 令?z?0，?z。

?z?z?z?z?z??z?4?2??8?8?8x??0 ??2z222?x?x?x?x?x?x??2?z?z?y?x?2z22222?（3）

?z?x?y2?82?z?y?8x2?z?x?y22??z?x?y2?0

?（4）

??z??z?z?z?

4?2??2z?8x??0

222??y??y?y?y??將駐點(?2,0)代入（此時z?1）

?（5）

4?2A?16A?A?0

A?C?415415

2B?16B?B?0

B?0

24?2C?16C?C?0

B?AC?0，z?1是極小值（因A>0）

將駐點?8?（4）（5）（此時z??,0?代入（3）

7?7??16），同上過程有

A?? 415，B?0，C??415，2B?AC?0，A?0，z??87是極大值。

習題： 1 設u?F(x,y,z)在條件?(x,y,z)?0和?(x,y,z)?0限制下，在P0(x0,y0,z0)處取得極值m??Fx???1??Lx??2???0xx

。證明F(x,y,z)?m，?(x,y,z)?0，?(x,y,z)?0在P0點法線共面。

正：L ?F(x,y,z)?m??1???2?L??Fy???1????2???0yyy

??Fz???1??Lz??2???0 zzFx???x??y??z??x???0y??zx?y?z?5r2222由于(1,?1,?2)?0，從而原方程有非零解，及系數矩陣為0Fy?Fz?，即三法向量共面。

2． 設f(x,y,z)?lnx?lny?3lnz。點

3(x,y,z)在第一卦限球面

3上，①求f(x,y,z)的最大值。②證明 對任意正數a,b,c成立abc

?a?b?c??27??5??。

習題課

y?e?例1 設f(x?y,lnx)??1?，求f(x,y)?yxxeln(x)??解 令x?y?u，lnx?v。

y?e?f(u,v)?f(x?y,lnx)??1??yxx?eln(x)?

xx??x?yxueveu2v?ex?yxlnx?(x?y)ee2lnxx?ylnx

所以

f(x,y)?xeyex2y.例2 討論limxyx?y是否存在.x?0y?0 解

當點 P(x,y)沿直線y?kx趨向（0，0）時，limxyx?y2y?kxx?0?limx?kxx?kxx?0?limkx1?kx?0?0

(k??1)，當點P(x,y)沿直線y?x?xlim2xyx?y趨向（0，0）時，y?x?xx?0?lim2x(x?x)x?(x?x)22?lim(x?1)1y?x?xx?0x?0??1，所以limxyx?y不存在.x?0y?0 例3 ?22?(x?y)sinz?f(x,y)????0在（0，0）處是否連續？

1x?y22(x?y?0)，22(x?y?0),22（1）（2）（3）（4）fx(0,0),fy(0,0)是否存在？

偏導數fx(x,y),fy(x,y)在（0，0）處是否連續？

f(x,y)在（0，0）處是否可微？

f(x,y)在（0，0）處是否連續，只要看limf(x,y)＝f(0,0)是否成立.因為

x?0y?0解

（1）函數 limf(x,y)?lim(x?y)sinx?0y?0221x?y22

x?0y?0

?lim?sin??021??0?f(0,0).所以

f(x,y)在（0，0）處連續.（2）如同一元函數一樣，分段函數在分界點處的偏導數應按定義來求.因為

(?x)sin?x?021(?x)?x1(?x)22?0 limf(?x,0)?f(0,0)?x?lim?x?0?lim?xsin?x?0?0,所以

(3)fx(0,0)?0，類似地可求得fy(0,0)?0.當(x,y)?(0,0)時

fx(x,y)?2xsin

1x?y1x?y2222?(x?y)cosxx?y22221x?y22?1????2?22x?x2?y23?????

?2xsin?cos1x?y2.因為 ?limfx(x,y)?lim?2xsinx?0x?0?y?0y?0?1x?y22?xx?y22cos??不存在.22x?y??1所以 fx(x,y)在（0，0）處不連續。同理fy(x,y)在（0，0）處也不連續

（4）由于由fx(x,y),fy(x,y)在（0，0）處不連續，所以只能按定義判別f(x,y)在（0，0）處是否可微.fx(0,0)?0，fy(0,0)?0，故

?x?0?y?0lim?z?[fx(0,0)?x?fy(0,0)?y](?x)?(?y)222

[(?x)?(?y)]sin?lim?x?0?y?02221(?x)?(?y)22?0(?x)?(?y)(?x)?(?y)sin122 ?lim1(?x)?(?y)22

?x?0?y?0?lim?sin?x?0?y?0??0由全微分定義知f(x,y)在（0，0）處可微，且df(0,0)?0.?f(x,y,z)，z?g(x,y)，y?h(x,t)，t 例4 設u??(x)，求

dudx.解

對于復合函數求導來說，最主要的是搞清變量之間的關系.哪些是自變量，哪些是中間變量，可借助于“樹圖”來分析.圖9－1 由上圖可見，u最終是x的函數，y，z，t都是中間變量.所以

dudx???f?x?f?x???f??h?hd???f??g?g??h?hd??????????y??x?tdx??z??x?y??x?tdx?f?h?y?x??f?hd??y?tdx??f?g?z?x??f?g?h?z?y?x???????.?f?g?hd??z?y?tdx 從最后結論可以看出:若對x求導數(或求偏導數),有幾條線通到”樹梢”上的x,結果中就應有幾項,而每一項又都是一條線上的函數對變量的導數或偏導數的乘積.簡言之,按線相乘,分線相加 例5 z?1?2x??f?x???y??1f2，f 可導，求zx.解 zx???1???f???2x???.y??

例6 已知y?ety?x，而t是由方程y?t?x?1確定的x，y的函數，求

ty222dydx.解

將兩個方程對x求導數，得

y??e(t?y?y?t)?12yy??2tt??2x?0

解方程可得

2dydx?t?xye2ty2tyt?(y?t)e.例7 求曲面x?2y?3z?21平行于平面x?4y?6z?0的切平面方程.解

曲面在點(x,y,z)的法向量為 n ＝(Fx,Fy,Fz)?(2x,4y,6z)，2x14y42已知平面的法向量為n1＝(1，4，6),因為切平面與已知平面平行，所以n//n1,從而有

??6z6（1）

又因為點在曲面上，應滿足曲面方程

x?2y?3z?212

（2）

由（1）、（2）解得切點為(1,2,2)及(?1,?2,?2), 所求切平面方程為：

或(x?1)?4(y?2)?6(z?2)?0(x?1)?4(y?2)?6(z?2)?012,1,1)。

這里特別要指出的是不要將n//n1不經意的寫成n=n1,從而得出切點為(例8 在橢球面2x222的錯誤結論.222?2y?z?1上求一點，使函數f(x,y,z)?x?y?zel在該點沿l＝(1,–1,0)方向的方向導數最大.1?1???,?,0?，2??2所以 ?f?l ??f?x?12??f?y12??f?z2?0

2(x?y)2(x?y)在條件2x由題意，要考查函數

?2y?z?1下的最大值，為此構造拉格朗日函數

222F(x,y,z)?2(x?y)??(2x?2y?z?1)，14

?Fx?2?4?x?0,??Fy??2?4?y?0, ??Fz?2?z?0,?222?2x?2y?z?1.解得可能取極值的點為 1??1,?,0? ?2??2 及

?11???，0?.?22??2，因為所要求的最大值一定存在，比較

?f?l1??1?,?,0?22???f?l?11???，0??22?2??2知??1?2,?1?,0?2?為所求的點.例9 求函數z?x?y222在圓(x2?2)?(y?22)?9上的最大值與最小值.?0,zy?0，解得點(0,0).顯然z(0,0)=0為最小值.解

先求函數z再求z2?x?y2在圓內的可能極值點.為此令zx?x?y在圓上的最大、最小值.為此做拉格朗日函數

22F(x,y)?x?y??[(x?2)?(y?22)?9]，2?Fx?2x?2?(x?2)?0,???Fy?2y?2?(y?2)?0,?22(x?2)?(y?2)?9.??，代入（3）解得

(1)(2)(3)由（1）、（2）可知x?y x?y?522，和

x?y??22，?5252z?,?22????25???22???1.z??,??22???2)?(y?2?5252,?22?為z?25，最小值為z?0.比較z(0,0)、z?

??22??、z???三值可知：在(x?,??22????2)?92上，最大值

第四篇：多元函數的微分學內容小結（本站推薦）

第二章 多元函數的微分學內容小結

多元函數微分學是一元函數微分學的推廣和發展，兩者的處理方法有很多相似之處．由于

自變量個數的增加，多元函數的微分學又產生了很多新內容，如偏導數、全微分、方向導數、條

件極值等．本章以二元函數為主講述有關內容．

一、多元函數的定義、極限、連續及其性質

二、偏導數與全微分

3．全微分 三、二元函數的極值

四、多元微分學的幾何應用

五、方向導數與梯度

第五篇：2016考研：多元函數微分學大綱解析解讀

2016考研:多元函數微分學大綱解析(1多元函數微分學考察方式

針對 2015年對多元函數微分學的考察方式,結合 2016大綱,同學們在 2016年考研備考中 應該注意下面問題

1.結合大綱:深刻理解概念

深刻理解概念就是要說清楚多元函數微分學與一元函數微分學的區別以及大家需要注意的 地方。那么,在多元函數微分學的知識體系中,最重要的就是對基本概念的理解。也就是要 理解多元函數的極限,連續,可導與可微。重點是可導的概念。我以二元函數為例。二元函 數有兩個變量, 那么可導就是說的偏導數。至于可微的思想可以直接平移一元的。雖然有些 變化,但是基本的形式是一樣的。最后,三者關系。這是相當重要的一個點。具體來說,可 微可以推出可導和連續, 而反之不成立。希望大家不僅要記住結論, 還要知道為什么是這樣 的關系。大家通過自己推一推就可以準確的把握這三個概念了。在大家深刻理解了這些概念 后,后面的內容就偏向計算了。

2.深挖大綱:培養計算能力

這章考查的重點還是計算。計算實質上就是多元函數微分學的應用。它主要包括偏導數的計 算;方向導數與梯度;二元函數極值(無條件與條件。其實考查計算對大家來說是最容易 的考法。因為大家只要懂方法就夠了,不用理解方法怎么來的。具體來說,計算偏導數,特 別是高階偏導數, 大家只要掌握了鏈式法則就夠了。同時掌握下高階導數與求導次序無關的 條件。至于計算方向導數與梯度,大家就需要知道它的含義, 然后記住兩個公式就行了。最 后是二元函數的極值。它分為無條件極值和有條件極值。先說無條件極值。大家可以把它跟 一元函數極值做個類比。這樣會學的輕松些。至于條件極值, 大家只要會了拉格朗日乘數法 就行了。所以, 這章對大家的計算能力要求很高。大家一定要沉下心仔細體會方法,然后多 做練習就夠了。

總之, 通過 2016年考研數學大綱的解析, 希望大家在備考 2016年的時候經過這兩個步驟能 夠學習好多元函數微分學,為以后的高等數學的復習打好基礎!(2 2016考研大綱解析之單調性

針對 2015年對單調性應用的考查方式,結合 2016年考綱,同學們考研備考中應該注意下 面問題

一.注意考綱要求

2016年的考綱在單調性應用方面沒有太大變化。考試對數學一,數學二,數學三的要求 大致相同。考試都要求用導數來判斷函數的單調性問題。但是通過對歷年考題分析, 我發現 單調性應用的真正隱含難點在于利用單調性解決不等式的證明和方程根個數問題。希望引起 同學們的注意。

二.注意考綱的題型分析

通過對往年真題的分析, 我發現有關單調性的應用是每年必考的一個考點。題型往往具有靈 活性,選擇,填空,大題都有出現。

三.深挖考綱的復習方法

首先, 這部分內容容易引起一些同學的輕視。因為一提到單調性, 同學們都覺得很簡單。其 實不然。我前面提到了, 雖然考綱沒說, 但是單調性真正的難點是不等式的證明和方程根個 數判斷。然后, 怎么復習不等式證明和方程根個數問題呢?我認為同學們應該知道單調性是 基本方法。接著要知道不等式證明要會構造輔助函數, 方程根問題應該和零點問題聯系起來。最后,同學們要通過多做題來熟練知識點。

總之,同學們根據 2016年數學考試大綱的分析來挖掘出單調性應用的真正重難點,即不等 式的證明和方程根個數問題。同學們還要明確解題的基本思路,多做練習, 多總結。祝大家 馬到成功。

(3 2016年大綱解析之多元積分

在 2015年的考研數學一中, 大題 19題考查了空間第二型曲線積分問題, 并且用參數方程的 方法可能更加簡單一點。本來第二型曲線積分一般轉化為第二型曲面積分來解決。針對 2016年考綱,同學們在 2016年考研備考中應該注意下面問題

一.注意考綱的要求

2016年的考綱對多元積分的要求沒有太大變化。多元積分部分只對數學一有要求。而這部 分對數學一要求也相當高。考綱要求理解和掌握三重積分, 曲線, 曲面積分的各種計算方法。大家重點還是要關注格林公式, 高斯公式, 積分與路徑無關。但是三重積分的計算方法也一 定要熟練。同時,物理應用(質量,質心,形心也要清楚原理。

二.注意考綱的題型分析

結合考綱, 我們發現有關多元函數積分計算是每年的必考題。題型一般都是以大題為主。是 學生失分的重要領域。希望引起學生注意。

三.考綱要求的復習方法

首先, 同學們還要清楚多元函數積分學所包含的內容以及三重積分, 曲線, 曲面積分所表示 的物理意義。然后,同學們應該透過歷年真題來把握出題的重點。總體來說,格林公式,高 斯公式, 積分與路徑無關是考查的重點。因為格林公式與二重積分聯系, 高斯公式與三重積 分聯系,它們考查的都是復合的知識點;而積分與路徑無關往往與微分方程聯系。最后,同 學們也要注意一些冷的考法。即單純考三重積分或者考查斯托克斯公式。單獨考的時候, 題 目一般比較難,所以希望同學們可以找相應的題目練習下。

總之, 通過 2016年考研大綱的解析, 希望大家在備考 2016年的時候經過這三個步驟能夠學習好多元函數積分學,為以后的高等數學的復習打好基礎!(4 2016年大綱解析之微分方程復習

在 2015年的考研數學中,數學三 12題考查的是二階常系數微分方程, 18題考查的是變量 可分離微分方程。數學二中, 12題考查的是二階常系數微分方程, 20題考查的是一階線性 微分方程。所以通過對 2015年的分析,我們發現微分方程一般不會單獨出題,這個知識點 只會融入到其他知識點的考核中。

結合考綱,同學們在 2016年考研備考中應該注意下面問題 1.微分方程的學習技巧

大家在學習這章的時候, 首先把導數中的基本求導公式以及常見函數的導數記牢。然后把不 定積分中的基本積分公式和積分方法要掌握。最后, 回到微分方程中, 大家要注意這章那些 該學以及學到什么程度。同時大家要清楚自己考的是數幾。數一, 數二, 數三對這部分的要 求以及考的程度是不一樣的。所以請大家還是要回歸到考試大綱,認真看下考綱的要求。

2.明晰微分方程的知識體系

首先, 大家要清楚基礎階段和強化階段要復習的內容。在基礎階段, 大家只需要知道微 分方程的定義, 性質,了解微分方程的分類以及掌握每種微分方程的解法。在強化階段,大 家就需要綜合應用了。比如微分方程與級數的結合, 微分方程在物理和幾何方面的應用。然 后,大家要自己總結知識體系。考研中, 微分方程不會都考, 只會考查考綱中列出的幾種類 型。大家也只用掌握這幾種類型就夠了。總之,不管是一階微分方程還是二階微分方程,從 本質上說大家只要掌握微分方程的類型是什么以及怎么求就夠了。

3.習題總結

在大家知道了知識體系以及怎么學習后,現在就是多做習題。這一章其實對理論要求 很少,重點在計算。所以大家的重點就是用習題來熟練要考的微分方程類型。每一類做 10道題目,然后總結下做題體會, 這樣該類方程的解法也就清楚了, 所以根本就不用記, 熟練 后自然就記住了。

總之, 通過 2016年考研大綱的解析, 希望大家在備考 2016年的時候經過這兩個個步驟 能夠學習好微分方程,為以后的高等數學的復習打好基礎!(5 2016年數學大綱解析之導數

2015年的考研數學中,數學三選擇題第二題考查的是拐點,填空題十二題考查的是極值, 十一題考查的是全微分,十七題考查的是經濟學應用。所以說導數是 2015年數學三考查的 重點。

針對 2015年對導數的考查方式,結合 2016年考綱,同學們備考中應該注意下面問題

1.考綱要求:狠抓基礎概念

我強調狠抓基礎概念是出于兩個方面的考慮。第一:導數這章內容相對比較簡單。比如求導 公式, 大家在高中就接觸過。第二:考研中考得最多的就是對導數概念的理解以及對導數應 用中極值概念的理解。從這些概念本身來看,相對來說比較簡單,但是考法卻是比較深入。假如很多同學僅僅是知其然而不知其所以然, 那么做題是很容易出錯的。所以, 我希望同學 們要加深對本章概念的理解,千萬不要一知半解就開始盲目的做題。

2.考綱點出:明晰考查的重點

在大家對概念有了比較深入的了解之后。接著, 就需要了解考試重點了。本章相對比較簡單, 而且重難點分明。具體來說,分為三個模塊。第一個模塊:可導與可微。其中導數定義是重 點。導數的定義幾乎是每年必考, 而且考察的往往都是變形的形式, 但實質上都是在考察你 對極限理解。第二個模塊:導數計算。復合函數求導是重點, 并在此基礎上掌握冪指函數求 導, 隱函數求導及參數方程求導。高階導數部分, 大家要掌握常見函數高階導數的一些公式。第三個模塊:導數的應用。其中極值本身的概念也是一個很大的考點, 包括極值的必要的條 件以及極值的第一和第二充分條件。每年考研都會有一些相關的選擇題。同理, 題目考察拐 點的時候, 同時也考察了凹凸性,導函數的單調性等概念。因此, 拐點的概念是考察的一個 方向，同時拐點的必要條件及第一和第二充分條件也是重要考點。請大家注意:只要學好極 值,拐點自然也就學好了。因為拐點的相關知識點可以在某種程度上看做是極值點的平移。總之, 通過 2016年數學考綱的解析, 希望大家在備考 2016年的時候能夠經過這兩個步 驟學好導數,為以后的高等數學的復習打好基礎。祝大家馬到成功!凱程教育:凱程考研成立于 2005年,國內首家全日制集訓機構考研,一直從事高端全日制 輔導,由李海洋教授、張鑫教授、盧營教授、王洋教授、楊武金教授、張釋然教授、索玉柱 教授、方浩教授等一批高級考研教研隊伍組成, 為學員全程高質量授課、答疑、測試、督導、報考指導、方法指導、聯系導師、復試等全方位的考研服務。