第一篇：數學分析教案_(華東師大版)第十七章__多元函數微分學

《數學分析》教案

第十七章 多元函數微分學

教學目的：1.理解多元函數微分學的概念，特別應掌握偏導數、全微分、連續及偏導存在、偏導連續等之間的關系；2.掌握多元函數特別是二元函數可微性及其應用。

教學重點難點：本章的重點是全微分的概念、偏導數的計算以及應用；難點是復合函數偏導數的計算及二元函數的泰勒公式。教學時數：18學時

§ 1 可微性

一． 可微性與全微分：

1．可微性： 由一元函數引入.亦可寫為 , 時

2．全微分:

.例1 考查函數

二.偏導數:

在點

處的可微性.P107例1 1.偏導數的定義、記法:

2.偏導數的幾何意義: P109 圖案17—1.《數學分析》教案

不存在.三.可微條件:

1.必要條件:

Th 1 設為函數定義域的內點.在點可微 , 和

存在 , 且

.(證)由于 , 微分記為

.定理1給出了計算可微函數全微分的方法.兩個偏導數存在是可微的必要條件 , 但不充分.例10

考查函數

在原點的可微性.[1]P110 例5.2.充分條件:

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因此 , 即 , 在點 可微 ，.但

時, 有

, 沿方向

不存在，沿方向

極限

不存在;又 ,因此, 續.由 關于 和 對稱,也在點

不存在 ，時，在點

處不連

處不連續.四.中值定理:

Th 4 設函數 在點 該鄰域 , 則存在 , 使得 的某鄰域內存在偏導數.若 和 ，屬于.(證)例1

2設在區域D內

.證明在D內

.五.連續、偏導數存在及可微之間的關系：

六.可微性的幾何意義與應用：

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簡介二元復合函數 :

.以下列三種情況介紹復合線路圖

;,;

.一.鏈導法則: 以“外二內二”型復合函數為例.Th 設函數

在點

在點

可微, 且

在點 D可微 , 函數

可微 , 則復合函數

,.(證)P118

稱這一公式為鏈導公式.該公式的形式可在復合線路圖中用所謂“分線加，沿線乘”或“并聯加，串聯乘”）來概括.對所謂“外三內二”、“外二內三”、“外一內二”等復合情況，用“并聯加，串 聯乘”的原則可寫出相應的鏈導公式.《數學分析》教案

.P120例2 例7

設函數

可微 ,.求證

.二.復合函數的全微分: 全微分和全微分形式不變性.例8

.P122 例5

.利用全微分形式不變性求 , 并由此導出

和

§ 3 方向導數和梯度

一． 方向導數：

1． 方向導數的定義：

定義 設三元函數 在點 為從點 以表示 出發的射線.的某鄰域 為 上且含于

內有定義.內的任一點 , 與 兩點間的距離.若極限

存在 , 則稱此極限為函數、.在點

沿方向 的方向導數 , 記為

或

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2.方向導數的計算:

Th 若函數 在點 方向導數都存在 , 且

可微 , 則 在點

處沿任一方向 的 +

+ , 其中、和 ，為 的方向余弦.(證)P125

+, 其中 和 對二元函數 是 的方向角.註

由 = 可見 , 為向量

+

+

，= , , , , , ，在方向 上的投影.例2(上述例1)解 ⅰ> 的方向余弦為

= , = , =.=1 , =

+., =

.因此 , =

+

=

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ⅰ>

.ⅱ>（+)=

+

.ⅲ>（）=

+

.ⅳ>.ⅴ>

()=

.證ⅳ> ,..§ 4 Taylor公式和極值問題

一、高階偏導數: 1.高階偏導數的定義、記法：

例9 求二階偏導數和

.P128

例10.求二階偏導數.P1282.關于混合偏導數: P129—131.3

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解 ,.=

+

+

+

= = +2

+

.=

+

+

+

= =

+

+

.=

+ +

.因此 ，+（+.令 , 或

.或 ……, 此時方程

化簡為

二． 中值定理和泰肋公式：

凸區域.5

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例2 P136例5 2． 極值的必要條件：與一元函數比較.Th 3 設 =為函數 的極值點.則當

和存在時 , 有

.(證)函數的駐點、不可導點，函數的可疑點.3.極值的充分條件:

代數準備: 給出二元(實)二次型 矩陣為

.其.ⅰ> 是正定的, 順序主子式全 ，是半正定的, 是負定的，順序主子式全;ⅱ> , 其中

為 階順序主子式.是半負定的，.ⅲ> < 0時, 是不定的.7

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ⅰ>

時 , 時 ，為極小值點;ⅱ> 為極大值點;ⅲ> 時 , 不是極值點;ⅳ> 時 , 可能是極值點 , 也可能不是極值點.例3—7 P138—140 例6—10.四． 函數的最值：

例8 求函數

在域D = 上的最值.解 令

解得駐點為

..在邊界

;

上 , , 駐點為 , 在邊界

在邊界 駐點為 ，上 , , 沒有駐點;

上 , ，.9

第二篇：多元函數微分學

多元函數的極限與連續

一、平面點集與多元函數

（一）平面點集:平面點集的表示: E?{(x,y)|(x,y)滿足的條件}.1.常見平面點集:

⑴ 全平面和半平面: {(x,y)|x?0}, {(x,y)|x?0}, {(x,y)|x?a}, {(x,y)|y?ax?b}等.⑵ 矩形域: [a,b]?[c,d], {(x,y)|x|?|y|?1}.⑶ 圓域: 開圓, 閉圓, 圓環.圓的個部分.極坐標表示, 特別是 {(r,?)|r?2acos?}和{(r,?)|r?2asin?}.⑷ 角域: {(r,?)|?????}.⑸ 簡單域:X?型域和Y?型域.2.鄰域: 圓鄰域和方鄰域，圓鄰域內有方鄰域，方鄰域內有圓鄰域.空心鄰域和實心鄰域, 空心方鄰域與集

{(x,y)|0?|x?x0|?? , 0?|y?y0|??}的區別.（二）點集的基本概念: 1.內點、外點和界點：集合E的全體內點集表示為intE, 邊界表示為?E.集合的內點?E, 外點?E, 界點不定.2.聚點和孤立點: 孤立點必為界點.例1 確定集E?{(x,y)|3.開集和閉集: 1?(x?1)2?(y?2)2?4 }的內點、外點集、邊界和聚點.intE?E時稱E為開集,E的聚點集?E時稱E為閉集.存在非開非閉集.R2和空集?為既開又閉集.4.開區域、閉區域、區域：以上常見平面點集均為區域.5.有界集與無界集: 6.點集的直徑d(E)：兩點的距離?(P1 , P2).7.三角不等式：

|x1?x2|（或|y1?y2|）?(x1?x2)2?(y1?y2)2? |x1?x2|?|y1?y2|.（三）二元函數: 1.二元函數的定義、記法、圖象： 2.定義域： 例4 求定義域：

ⅰ> f(x,y)?3.有界函數: 4.n元函數: 9?x2?y2x2?y2?1;ⅱ> f(x,y)?lny.ln(y?x2?1)

二、二元函數的極限

（一）.二元函數的極限: 1.二重極限limf(P)?A的定義: 也可記為P?P0P?D(x,y)?(x0,y0)limf(x,y)?A或x?x0y?y0limf(x,y)?A

例1 用“???”定義驗證極限

(x,y)?(2,1)lim(x2?xy?y2)?7.[1]P94 E1.xy2?0.例2 用“???”定義驗證極限 lim2x?0x?y2y?0?x2?y2,(x,y)?(0,0),?xy例3 設f(x,y)??x2?y

2?0 ,(x,y)?(0,0).? 證明(x,y)?(0,0)limf(x,y)?0.(用極坐標變換)

P?P0P?ETh 1 limf(P)?A?對D的每一個子集E ,只要點P0是E的聚點,就有limf(P)?A.P?P0P?D推論1 設E1?D,P0是E1的聚點.若極限limf(P)不存在, 則極限limf(P)也不存在.P?P0P?E1P?P0P?D推論2 設E1,E2?D,P0是E1和E2的聚點.若存在極限limf(P)?A1,limf(P)?A2，P?P0P?E1P?P0P?E2但A1?A2,則極限limf(P)不存在.P?P0P?D推論3 極限limf(P)存在?對D內任一點列{ Pn },Pn?P0但Pn?P0,數列{f(Pn)}P?P0P?D ?xy ,(x,y)?(0,0),?22收斂 例4 設f(x,y)??x?y 證明極限limf(x,y)不存在.(x,y)?(0,0)?0 ,(x,y)?(0,0).?(考慮沿直線y?kx的方向極限).?例5 設f(x,y)???1,0,當0?y?x2,???x???時，證明極限limf(x,y)不

(x,y)?(0,0)其余部分.存在.二重極限具有與一元函數極限類似的運算性質.例6 求下列極限: ⅰ>(x,y)?(0,0)limsinxyx2ylim;ⅱ>;(x,y)?(3,0)yx2?y2 ⅲ>(x,y)?(0,0)limxy?1?1ln(1?x2?y2);ⅳ> lim.22(x,y)?(0,0)xyx?yf(x,y)???的定義: 3． 極限(x,y)?(x0,y0)lim其他類型的非正常極限，(x,y)?無窮遠點的情況.例7 驗證(x,y)?(0,0)lim1???.222x?3yEx

[1]P99—100 1⑴—⑹，4，5.（二）累次極限:

1.累次極限的定義: 定義.例8 設f(x,y)?xy, 求在點(0 , 0)的兩個累次極限.22x?yx2?y2例9 設f(x,y)?2, 求在點(0 , 0)的兩個累次極限.2x?y例10 設f(x,y)?xsin11?ysin, 求在點(0 , 0)的兩個累次極限與二重極限.yx 2.二重極限與累次極限的關系:

⑴ 兩個累次極限存在時, 可以不相等.(例9)

⑵ 兩個累次極限中的一個存在時, 另一個可以不存在.例如函數f(x,y)?xsin1y在點(0 , 0)的情況.⑶ 二重極限存在時, 兩個累次極限可以不存在.(例10)

⑷ 兩個累次極限存在(甚至相等)??二重極限存在.(參閱例4和例8).綜上, 二重極限、兩個累次極限三者的存在性彼此沒有關系.但有以下確定關系.Th 2 若全面極限(x,y)?(x0,y0)limf(x,y)和累次極限limlimf(x,y)(或另一次序)都存在,則

x?x0y?y0必相等.推論1 二重極限和兩個累次極限三者都存在時, 三者相等.注: 推論1給出了累次極限次序可換的一個充分條件.推論2 兩個累次極限存在但不相等時, 全面極限不存在.注: 兩個累次極限中一個存在,另一個不存在??全面極限不存在.參閱⑵的例.三、二元函數的連續性

（一）二元函數的連續概念：

?xy22 , x?y?0 ,22??x?y例1 設f(x,y)??

?m , x2?y2?0.??1?m2證明函數f(x,y)在點(0 , 0)沿方向y?mx連續.?1 , 0?y?x2, ???x??? ,例1 設f(x,y)??

([1]P101)?0 , 其他.證明函數f(x,y)在點(0 , 0)不全面連續但在點(0 , 0)f對x和y分別連續.2.函數的增量: 全增量、偏增量.用增量定義連續性.3.函數在區域上的連續性.4.連續函數的性質: 運算性質、局部有界性、局部保號性、復合函數連續性.

第三篇：多元函數微分學復習

第六章 多元函數微分學及其應用

6.1 多元函數的基本概念 一、二元函數的極限

定義 f(P)= f(x，y)的定義域為D, oP0(x0,y0)是D的聚點.對常數A，對于任意給定的正數?，總存在正數?，使得當點P(x，y)∈D? U(P0,?)，即

0?|P0P|?

(x?x0)?(y?y0)??22

時，都有

|f(P)–A|=|f(x，y)–A|<

?

成立，那么就稱常數A為函數f(x，y)當(x，y)→(x0，(x,y)?(x0,y0)y0)時的極限，記作

y0)), lim f(x,y)?A或f(x，y)→A((x，y)→(x0,也記作

P?P0limf(P)?A

或

f(P)→A(P→P0)為了區別于一元函數的極限，上述二元函數的極限也稱做二重極限.二、二元函數的連續性

(x,y)?(x0,y0)limf(x,y)?f

(x0,y0)，(?x,?y)?(0,0)lim?z?0

如果函數f(x , y)在D的每一點都連續，那么就稱函數f(x , y)在D上連續，或者稱f(x , y)是D上的連續函數.如果函數f(x , y)在點P0(x0,y0)不連續，則稱P0(x0,y0)為函數f(x , y)的間斷點.多元連續函數的和、差、積仍為連續函數；連續函數的商在分母不為零處仍連續；多元連續函數的復合函數也是連續函數。一切多元初等函數在其定義區域內是連續的.多元初等函數的極限值就是函數在該點的函數值，即

p?p0limf(P)?f(P0).有界性與最大值最小值定理 在有界閉區域D上的多元連續函數，必定在D上有界，且能取得它的最大值和最小值.介值定理 在有界閉區域D上的多元連續函數必取復介于最大值和最小值之間的任何值。

三、例題 例1 設f(x,y)?x?y?g(x?y)，已知f(x,0)?xf(x,0)?x?g(x)?x222，求

f(x,y)的表達式。

2解 由題設，有g(x)?x?x2，于是

。f(x,y)?x?y?[(x?y)?(x?y)]，即 f(x,y)?(x?y)?2y例2 證明極限limxyx?y623不存在。

x?0y?0 證 當(x,y)沿三次拋物線y?kx

3趨于(0,0)時，有

limxyx?yxyx?y。

623623x?0y?0?limx?kx62336x?0y?0x?kx?limk1?k2

x?0y?0其值隨k去不同值而取不同值。故極限lim不存在。

x?0y?0 例3 求極限limxy?1?1x?y2222x?0y?0 解

原式?limxy2222x?0y?0x?y?1xy?1?1?z?x22?12limxx?0y?022y22x?y?0

6.2 偏導數與高階導數 6.2.1 偏導數

一、概念

說明對x求導視z?f(x,y)，y?limf(x??x,y)?f(x,y)?x

?x?0為常數，幾何意義也說明了這個問題

二元函數z=f(x , y)在點M0(偏導數數

x0,y0)的偏導數有下述幾何意義.0fx?(x0,y0)，就是曲面z?f(x,y)與平面y?y0的交線在點M0處的切線M0Tx對x軸的斜率.同樣，偏導fy(x0,y0)的幾何意義是曲面z?f(x,y)與平面x=x0的交線在點M 2 基于如上理由，求

處的切線M0Ty對y軸的斜率.?z?x(x0,y0)時，（因此可能簡化函數）再對xy0可先代入，求導

例 f(x,y)?x?arctany(x?arctany(x??arctany)?)，求fx?(1,0)。

?n重 解 f(x,0)?x，fx?(x,0)?1，fx?(1,0)?1

二、可微，偏導數存在，連續的關系

?偏導數存在可微???連續

三、高階偏導數

設函數z=f(x , y)在區域D內具有偏導數，偏導數連續?可微，??fxy和

??fyx都連續，則

??fxy=

??fyx;

?z?x2?fx(x,y),?z?y?fy(x,y)，則這兩個函數的偏導數稱為函數z=f(x , y)的二階

2偏導數。按照對變量求導次序的不同有下列四個二階偏導數：

???z??z???z??z?f(x,y),??fxy(x,y),?????xx2?x??x??x?y??x??x?y???z???x??y??z????f(x,y),yx??y??y?x2??z????y??z??fyy(x,y).2???y?2

四、偏導數，微分運算公式 1．z 2．dz ?f(x,y)，u?u(x,y)，v?v(x,y)

?z?x??f?u?u?x??f?v?v?x

?z?y??f?u?u?y??f?v?v?y

?fu?du?fv?dv?fu??(u?dx?u?ydy)?fv??(v?dx?v?ydy)xx?(fu??u??fv??v?)dx?(fu??u?y?fv??v?y)dyxx

d(u?v)?du?dvd(u?v)?udv?vdu?z?x??2

?u?vdu?udvd???2v?v?

3．F(x,y,z)?0 確定z?z(x,y)，Fx?Fz?；

?z?y2??Fy?Fz?6.2.2 求偏導數算例 例1（1）z?arctanx?y1?xy，求

?z?x，?z?y，?z?x22，?z?x?y。

解 ?z?x?1?x?y1???1?xy??11?y2????2?1?(1?xy)?(x?y)(?y)(1?xy)?11?x2

由對稱性 ?z?y2，?z?x22?2?2x(1?x)，求

22；

2?z?x?y22?0；（2）u?lnx?y?z2?u?x22??u?y2??u?z2。

解?u?x?122x222x?y?z?xx?y?z22，2 ?u?x由對稱性 22?2x?y?z?x?2x(x?y?z)22222222222??x?y?z2222222222(x?y?z)22

?u?y222??x?y?z222，?u?z1222(x?y?z)?u?y22?x?y?z2(x?y?z)2

故 ?u?x2??u?z22?x?y?z222。

（3）?xy?22f(x,y)??x?y?0??x?022x?y?0，求

fx?(0,0)，fy?(0,0)

x?y?022 解 fx?(0,0)?lim?x?0?x?0?x22?0，同理fy?(0,0)?0；

?u?x，例2 u?yf(x?y,xy)，求

?u?x?y2。

解 ?u?x22?y?f1??2x?f2??y??2xyf1??yf2?

?u?x?y

??(?2y)?f12??x??2yf2??y2?f21??(?2y)?f22??x? ?2xf1??2xy?f112???2x2yf12???2yf2??2y3f21???xy2f22?? ?2xf1??4xyf11

例3

?z?y?z?f(xy,)?g??，求

?x?yx?x?y2

解

y?y????f1??y?f2????2??g???2??x?x??x?2?z

1?1y?1?????x?f12????????f1??y?f11?f?fx?f?22222?21???x?yx?xx?x??y1yy1??????2f2?????3f22???2g??f12f?f1??xyf11xxxxxy)，求du。例4 u?f(x?y,x?y,x解（1）?z1xx2g??g??

yx2g??1x

y3 du??u?xdx??u?ydy

?u1y??u??f1??f2?(?1)?f3??f1??f2??f3????2?；?xx?x??y

故

y1????du??f1??f2??2f3??dx??f1??f2??f3??dy xx????xdy?ydxd(x?y)?f2?d(x?y)?f3?解（2）du?f1?2x

?f1?(dx?dy)?f2?(dx?dy)?f3??[f1??f2??yx2xdy?ydxx1x2

f3?]dx?[f1??f2??f3?]dy

例5 設z?z(x,y)由方程F(x?zy,y?zx)?0，確定，F有連續一階偏導數，求

?z?x，?z?y。

解（1）方程兩邊對x求導

?z????z??x?z??????0 F1??1??x??F2???x2y?x???????????zyz?F1??2F2??xyF1??F2??zxx??11?xxF1??yF2?F1??F2?yx；

方程兩邊對y求導

??z??y?z??1?z??y??F????F1??1?2?2??0 ??yx?y??????zxz??F?FF??xyF2?122?zyy ??11?yxF1??yF2?F1??F2?yxzy)?F2?d(y?zx2；

解（2）方程兩邊取微分 F1?d(x?)?0)?F2?(dy?zy2F1?(dx?ydz?zdyyzx2xdz?zdxx2)?0

(?F1??

F2?)dx?(1yF1??1xF1??F2?)dy dz?F2??xyF1???yzF2?； 則 ?z?x?F1???1yF1??zx12F2??F2??xyF1??yzxxF1??yF2?F2?；

?z?xxxF1??yF2?dydxx 例6 設y?f(x,t)，t?t(x,y)由F(x,y,t)?0確定F,f可微，求。

解（1）對方程取微分

?(1)?dy?fx?dx?ft?dt?????Fxdx?Fydy?Ftdt?0?(2)dy?fx?dxft??0

由（1）解得dt代入（2）得 Fx?dx?Fy?dy?Ft?

則 ?Fx??Ft?fx?/ft??Fx?ft??Ft?fx?dy?dx?dxFt????Ff?FytFy??ft?解（2）

dy，即

dx??Fx?ft??Ft?fx?Fy?ft??F?

y?f(x,t(x,y))

dy??t?tdy??fx??ft?????dx??x?ydx?

dydxfx??ft??1?ft???t 而?x?tyx?t?x??Fx?Ft?；

?t?y?u?x22??Fy?Ft?，則

dydx??Fx?ft??Ft?fx?Fy?ft??F?2

?y，? 例7 證明：當??y時，方程x2?2xy?u?x?y2?y2?u?y2?0可化成標準形式

?u??22?0，其中u?u(x,y)二階偏導數連續。

證明：將u看成由u(?,?)，而???yx，??y復合成x,y的函數，u?u(?(x,y),?(y))

則 ?u?x?2?u??????x2?u???u???u1?u?u?y??u??????????2?；

???x??y???y???y??x??22y??u1?u???2?2??；

?2?x?yx??x???x?????

?u?x222?u?y??uy???2??223???x???x?u21?u

?u22221??u1?u??u1?u?????1

??222?yx???x?????????x??2則 x?u?x22?2xy?u?x?y2?y2?u??22???y2?u??22?0??u??22?0

小結

① 顯函數（復合）二階混合偏導數

② 隱函數求偏導，會用微分法，用復合法習題 1．z?f(u)，u由方程u??(u)?

?xyp(t)dt確定的x,y的函數，f,?可微，P,??連續，??(u)?1，求P(y)?z?x?P(x)?z?y

（答案：0）（蔡 P146）

22．z?z(x,y)由z?e?xyz確定，求

?z?x?y；

23．F(x?y,y?z)?1確定了隱函數z?z(x,y)，Fy?y(x),z?z(x)是由方程z?xf(x?y)和

具有連續二階偏導數求

?z?y?x

4．設5．t6．zF(x,y,z)?0確定，f,F有連續偏導數，求

dzdx。

?0，f可微且滿足

kf(tx,ty,tz)?tf(x,y,z)，證明 xfx??yfy??zfz??kf。

。?f(x,y)于(1,1)點可微，且f(1,1)?1，fx?(1,1)?23x?1。，fy?(1,1)?3。?(x)?f(x,f(x,x))求ddx[?(x)]?u?x?2y7．設變換??v?x?ay8．設可把方程6?z?x22??z?x?y2??z?yx22?0化簡為

?z?u?v?z?x222?02，求常數a的值。（a＝3）。

f(u)u有連續二階導數，而?uz?f(esiny)滿足

??z?y2?ez2x，求

f(u)。（f(u)?c1e?c2e）

6.2 偏導數應用

偏導數應用注意四個方面：空間曲面曲線切平面、法線、切線、法平面；方向導數；梯度、散度、旋度；極值與條件極值。

6.3.1 內容小結

1． 空間曲線切線與法平面

?x?x(t)?1）?y?y(t)

?z?z(t)??切向量v?(xt?,yt?,zt?)

切線方程：

x?x0xt??y?y0yt??z?z0zt?

?(x法平面方程：xt?x0)?yt?(y?y0)?zt?(z?z0)?0

?x?x?y?y(x)???y?y(x)2）??z?z(x)?z?z(x)?切線方程：

?v??(1,y?,z?)類似的

x?x01?y?y0y??z?z0z?

法平面方程：x?x0?y?(y?y0)?z?(z?z0)?0

??Fz?z??0??F(x,z,y)?0xx?Fx??Fy?y?3）????v?(1,y?,z?)xx???????G(x,y,z)?0?Gx?Gyyx?Gzzx?02． 空間曲面切平面與法線

?1）F(x,y,z)?0,n?(Fx?,Fy?,Fz?)|P0切平面：Fx?|p0法線：

(x?x0)?Fy?|p0(y?y0)?Fz?|p0(z?z0)?0x?x0Fx?|p0?y?y0Fy?|p0?z?z0Fz?|p0

?2）z?f(x,y)?F?f(x,y)?z?n?(fx?,fy?,?1)

切平面：類似地

fx?(x?x0)?fy?(y?y0)?(z?z0)?0

法線：x?x0fx??y?y0fy??z?z0?1

?x?x(u,v)?3）*?y?y(u,v)

?z?z(u,v)??（參數方程形式）

?切線 ?,yu?,zu?),v2?(xv?,yv?,zv?)v1?(xu??????i?xvj?yu?yv?n?v1?v2?xu??(y,z)?(z,x)?(x,y)????zu??(u,v),?(u,v),?(u,v)?????zvk

3． 方向導數

u?u(x,y,z)?u?l??u?xcos???u?ycos???u?zcos??gradu?l???（梯度在l方向投影）

4． 梯度、散度、旋度

?????????，??

??x?y?z???u?u?u??gradu??u??，????x?y?z??

????divA??A??P?x??Q?y??R?z??

rotA???A?i??xPj??yQk??zR

6.3.2 例題

例1 求曲線x??t,y??t,z?t2?23上與平面x?2y?z?4平行的切線方程。

????解 切向量?2?(1,?2t,3t)，n?(1,2,1)由??n，則??n?0，即，1?4t?3t?0?t1?1,t2??當t?1時 ??(1,?2,3),x1?1,y1??1,z1?1，切線方程為?13?x?11?y?1?2?z?13

當t時 ?2?(1,?21111,),x2?,y1??,z1?333927，x?切線方程為13?y??119?23z?13127

22??x?y?10例2 求空間曲線?22??x?z?10在點(3,1,1)處的切線方程和法平面方程。

解 22??x?y?10?22??x?z?10確定了

y?y(x),z?z(x)，對x求導??2x?2yy??0?2x?2zz??0x?3y?1?3，y???z????z?1?3

xyxz

?于

1法平面方程為x?3?3(y?1)?3(z?1)?0，即x?3y?3z?3?0 例3 求曲面x2M(3,1,1)點：y???3,z???3,v?(1,?3,?3)切線方程為 ??y?z?x的切平面。使之與平面x?y???22z2?2?垂直，同時也與x?y?z?2垂直。

?解 切平面法向量n??(2x?1,2y,2z)，n1?(1,?1,?12)，n2?(1,?1,?1)，依題意

n1?n?0

??既有2x ?1?2y?z?0

（1）

（2）n2?n?0 2x?1?2y?12z?0

聯立（1）（2）和原方程 ?2?2x??4??2得解?y?4??z?0???2?2x??4??2，?y??4??z?0??

? n01??2?2?22???，0?，n02???,?,0? ?2???222????切平面22(x?2?42)?22(y?24)?0

即

x?y?x?y?1?21?222

得

?2?2?2?22?x???(y?)?0 ??2?424??x?2y?3z222即

例4 求u解 令

在(1,1,1)點沿x2?y?z?3的外法線方向的方向導數。

22222F(x,y,z)?x?y?z?3，Fx??2x,Fy??2y,Fz??2z?于P(1,1,1)點n?(2,2,2)，n?(??13,13,13)

?u?n??u?xcos???u?ycos???u?zcos?111?12???2x??4y?6z|??43?(1,1,1)3333???

例5 設f(x,y)在?f?L3?|p0??f?x1??11??1?p0點可微，L1??，?,L2????2222????7。，?f?L1?1,?f?L2?0

?試確定L3使52?f?ycos?1?1，?f?L2??f?xcos?2??f?ycos?2?0，則 解 ?f?L1cos?1? ??f??x????f???x12??f?y12?1??f?x?12?y,?f?12

1??f1??0?????y2?2?? 設L3?(cos?3,cos?3)

從而?f?L3??f?xcos?3?75?f?xcos?3?75235 即

1245cos?3? 此時cos12cos?3?45或cos752

cos?3?sin?3??，解得cos??3?或cos?3??3??3?35

?34?即L3??,?55??例6 或L32?43???,? ?55?2 u?lnx?y?z2，求div2(gradu)。

解 div(gradu)???(?u)??u?12ln(x?y?z)222?u?x22??u?y222??u?z22。

u?，2?u?x22?xx?y?z222222，2222?u?x22?x?y?z?x?2x(x?y?z)??x?y?z222(x?y?z)

由對稱性 ?u?y22?x?y?z222222(x?y?z)2，?u?z22?x?y?z222222(x?y?z)2

從而 div(gradu)?1x?y?z222

例7 設a, b, c為常數，F證明(u,v)有連續一階偏導數。

證 x?ay?b,)?0上任一點切平面都通過某定點。z?cz?c11x?ay?b?，Fy??F2??，F???F??Fx??F1???F?z1222z?cz?c(z?c)(z?c)F（則切平面方程為 F1??取1z?c(X?x)?F2??1z?c(Y?y)?1(z?c)2?F?(x?a)?F2?(y?b)?(z?y)?0

x?a,Y?b,Z?c，則對任一的(x,y,z)點上式均滿足，即過任一點的切平面都過(a,b,c)點。

。(x?az,y?bz)?0上任一點切平面都通過某定直線平行（F具有連續偏導數）

?例8 設a,b為常數，證明曲面F證

?Fx??F1?，Fy??F2?，Fz???aF1??bF2?，即n?(F1?,F2?,?aF1??bF2?)，????取l?(a,b,1)，則n?l?0，n?l，曲面平行l，取直線

x?x0a??y?y0b?z?z01，則曲面上任一點的切平面都與上述直線平行。例9 求二元函數u5方向導數最大？這個最大的方向導數值是多少？u沿那個方向減少得最快，沿哪個方向u的值不變？

解 ?x?xy?y22在點M(?1,1)沿方向n?1(2,1)的方向導數，并指出u在該點沿哪個方向的gradu|(?1,1)?(2x?y,2y?x)|(?1,1)?(?3,3)，u?M在點M(?1,1)沿n?方向的方向導數為

?u?n1?3?2??(gradu)?n|M?(?3,3)??,???5?5?5，方向導數取得最大值的方向為梯度方向，其最大值為為求使u變化的變化率為零的方向，令l

?gradu|M?32，u沿負梯度方向減少最快。

?(cos?,sin?)，則，?u?l?u?lM?????(gradu|M)?l??3cos??3sin??32sin????4???4或?令?0，得??????4，故在點(?1,1)處沿???4和???4函數u得值不變化。

例10 一條鯊魚在發現血腥味時，總是沿血腥味最濃的方向追尋。在海上進行試驗表明，如果血源在海平面上，建立坐標系味：坐標原點在血源處，xOy2坐標面為海平面，Oz軸鉛直向下，則點(x,224y,z)處血源的濃度C（每百萬份水中所含血的份數）的近似值C?e?(x?y?2z)/10。

（1）求鯊魚從點?1,1,??1??（單位為海里）出發向血源前進的路線?2???的方程；

（2）若鯊魚以40海里/小時的速度前進，鯊魚從?1,1,1??點出發需要用多少時間才能到達血源處？ 2?解（1）鯊魚追蹤最強的血腥味，所以每一瞬時它都將按血液濃度變化最快，即C的梯度方向前進。由梯度的計算公式，得

2224??C?C?C??4?(x?y?2z)/10?gradC??，?10e(?2x.?2y,?4z)????x?y?z?設曲線?的方程為x?x(t)，y?y(t)，z?z(t)，則?的切線向量??(dx,dy,dz)必與gradC平行，從而有 dx?2x?dy?2y?dz?4z

解初始值問題

dy?dx???2y??2x?y|?1?x?1dz?dx????2x?4z??z|?1x?1?2?

得

y?x

解初始值問題

得

z?12x2，所以所求曲線?的方程為

x?x，y?x，z? 12（2）曲線?的長度 x2(0?x?1)s??101?y??z?dx?xx?ln(3?1)??22?10?x2?xdx???22x?2?ln(x?2?x?1)?

?0?3212ln2（海里）

3?1)?1?。ln2?（小時）

2?因此到達血源處所用的時間為T6.4 多元函數的極值

1?3?ln(?40?2

一、無條件極值 限于二元函數z?f(x,y)

1． ??z?0???x?求駐點??z??0???y駐點P

2． 于駐點P處計算A??z?x22，B??z?x?y2，C??z?y22。B2?AC?0是極值點，A?0可取得極小值，A?0可取極大值。

3． 條件極值：??minu?f(x,y,z)?S.t.?(x,y,z)?0，令

L?f(x,y,z)???(x,y,z)求無條件極值。

例1 求內接于橢球面，且棱平行對稱軸的體積最大的長方體。

解 設橢球面方程為 xa22?yb22?zc22?1，長方體于第一卦限上的點的坐標為(x,y,z)，則

V?8xyz，s.t.xa 22?yb22?zc22?1，令

2?xa222?x2?yz? L?8xyz??????1?a2b2c2?????8yz?LxL??8xz?y??8xy?Lz及?0?(1)?0?(2)?0?(3)2?yb2?zc22xa22?yb22?zc22?1

由（1）（2）（3）得xa22?b3yb22?zc22?tc3，代入（3）得t?13，從而 x?a3，y?2，z2??2，此時V?8abc33?839abc。

例2 求由方程2x?2y?z?8xz?z?8?0所確定的二元函數z?f(x,y)的極值。解

方程兩邊對x,y求偏導數得：

4x?2z?z?x?8z?8x?z?x??z?x?0

?（1）

4y?2z?z?y?8x?z?y??z?y?0

?（2）

?4x?8z?016和原方程聯立得駐點(?2,0)，(,0)?0，得??x74y?0?y?方程（1）對x,y再求偏導，方程（2）對y求偏導 令?z?0，?z。

?z?z?z?z?z??z?4?2??8?8?8x??0 ??2z222?x?x?x?x?x?x??2?z?z?y?x?2z22222?（3）

?z?x?y2?82?z?y?8x2?z?x?y22??z?x?y2?0

?（4）

??z??z?z?z?

4?2??2z?8x??0

222??y??y?y?y??將駐點(?2,0)代入（此時z?1）

?（5）

4?2A?16A?A?0

A?C?415415

2B?16B?B?0

B?0

24?2C?16C?C?0

B?AC?0，z?1是極小值（因A>0）

將駐點?8?（4）（5）（此時z??,0?代入（3）

7?7??16），同上過程有

A?? 415，B?0，C??415，2B?AC?0，A?0，z??87是極大值。

習題： 1 設u?F(x,y,z)在條件?(x,y,z)?0和?(x,y,z)?0限制下，在P0(x0,y0,z0)處取得極值m??Fx???1??Lx??2???0xx

。證明F(x,y,z)?m，?(x,y,z)?0，?(x,y,z)?0在P0點法線共面。

正：L ?F(x,y,z)?m??1???2?L??Fy???1????2???0yyy

??Fz???1??Lz??2???0 zzFx???x??y??z??x???0y??zx?y?z?5r2222由于(1,?1,?2)?0，從而原方程有非零解，及系數矩陣為0Fy?Fz?，即三法向量共面。

2． 設f(x,y,z)?lnx?lny?3lnz。點

3(x,y,z)在第一卦限球面

3上，①求f(x,y,z)的最大值。②證明 對任意正數a,b,c成立abc

?a?b?c??27??5??。

習題課

y?e?例1 設f(x?y,lnx)??1?，求f(x,y)?yxxeln(x)??解 令x?y?u，lnx?v。

y?e?f(u,v)?f(x?y,lnx)??1??yxx?eln(x)?

xx??x?yxueveu2v?ex?yxlnx?(x?y)ee2lnxx?ylnx

所以

f(x,y)?xeyex2y.例2 討論limxyx?y是否存在.x?0y?0 解

當點 P(x,y)沿直線y?kx趨向（0，0）時，limxyx?y2y?kxx?0?limx?kxx?kxx?0?limkx1?kx?0?0

(k??1)，當點P(x,y)沿直線y?x?xlim2xyx?y趨向（0，0）時，y?x?xx?0?lim2x(x?x)x?(x?x)22?lim(x?1)1y?x?xx?0x?0??1，所以limxyx?y不存在.x?0y?0 例3 ?22?(x?y)sinz?f(x,y)????0在（0，0）處是否連續？

1x?y22(x?y?0)，22(x?y?0),22（1）（2）（3）（4）fx(0,0),fy(0,0)是否存在？

偏導數fx(x,y),fy(x,y)在（0，0）處是否連續？

f(x,y)在（0，0）處是否可微？

f(x,y)在（0，0）處是否連續，只要看limf(x,y)＝f(0,0)是否成立.因為

x?0y?0解

（1）函數 limf(x,y)?lim(x?y)sinx?0y?0221x?y22

x?0y?0

?lim?sin??021??0?f(0,0).所以

f(x,y)在（0，0）處連續.（2）如同一元函數一樣，分段函數在分界點處的偏導數應按定義來求.因為

(?x)sin?x?021(?x)?x1(?x)22?0 limf(?x,0)?f(0,0)?x?lim?x?0?lim?xsin?x?0?0,所以

(3)fx(0,0)?0，類似地可求得fy(0,0)?0.當(x,y)?(0,0)時

fx(x,y)?2xsin

1x?y1x?y2222?(x?y)cosxx?y22221x?y22?1????2?22x?x2?y23?????

?2xsin?cos1x?y2.因為 ?limfx(x,y)?lim?2xsinx?0x?0?y?0y?0?1x?y22?xx?y22cos??不存在.22x?y??1所以 fx(x,y)在（0，0）處不連續。同理fy(x,y)在（0，0）處也不連續

（4）由于由fx(x,y),fy(x,y)在（0，0）處不連續，所以只能按定義判別f(x,y)在（0，0）處是否可微.fx(0,0)?0，fy(0,0)?0，故

?x?0?y?0lim?z?[fx(0,0)?x?fy(0,0)?y](?x)?(?y)222

[(?x)?(?y)]sin?lim?x?0?y?02221(?x)?(?y)22?0(?x)?(?y)(?x)?(?y)sin122 ?lim1(?x)?(?y)22

?x?0?y?0?lim?sin?x?0?y?0??0由全微分定義知f(x,y)在（0，0）處可微，且df(0,0)?0.?f(x,y,z)，z?g(x,y)，y?h(x,t)，t 例4 設u??(x)，求

dudx.解

對于復合函數求導來說，最主要的是搞清變量之間的關系.哪些是自變量，哪些是中間變量，可借助于“樹圖”來分析.圖9－1 由上圖可見，u最終是x的函數，y，z，t都是中間變量.所以

dudx???f?x?f?x???f??h?hd???f??g?g??h?hd??????????y??x?tdx??z??x?y??x?tdx?f?h?y?x??f?hd??y?tdx??f?g?z?x??f?g?h?z?y?x???????.?f?g?hd??z?y?tdx 從最后結論可以看出:若對x求導數(或求偏導數),有幾條線通到”樹梢”上的x,結果中就應有幾項,而每一項又都是一條線上的函數對變量的導數或偏導數的乘積.簡言之,按線相乘,分線相加 例5 z?1?2x??f?x???y??1f2，f 可導，求zx.解 zx???1???f???2x???.y??

例6 已知y?ety?x，而t是由方程y?t?x?1確定的x，y的函數，求

ty222dydx.解

將兩個方程對x求導數，得

y??e(t?y?y?t)?12yy??2tt??2x?0

解方程可得

2dydx?t?xye2ty2tyt?(y?t)e.例7 求曲面x?2y?3z?21平行于平面x?4y?6z?0的切平面方程.解

曲面在點(x,y,z)的法向量為 n ＝(Fx,Fy,Fz)?(2x,4y,6z)，2x14y42已知平面的法向量為n1＝(1，4，6),因為切平面與已知平面平行，所以n//n1,從而有

??6z6（1）

又因為點在曲面上，應滿足曲面方程

x?2y?3z?212

（2）

由（1）、（2）解得切點為(1,2,2)及(?1,?2,?2), 所求切平面方程為：

或(x?1)?4(y?2)?6(z?2)?0(x?1)?4(y?2)?6(z?2)?012,1,1)。

這里特別要指出的是不要將n//n1不經意的寫成n=n1,從而得出切點為(例8 在橢球面2x222的錯誤結論.222?2y?z?1上求一點，使函數f(x,y,z)?x?y?zel在該點沿l＝(1,–1,0)方向的方向導數最大.1?1???,?,0?，2??2所以 ?f?l ??f?x?12??f?y12??f?z2?0

2(x?y)2(x?y)在條件2x由題意，要考查函數

?2y?z?1下的最大值，為此構造拉格朗日函數

222F(x,y,z)?2(x?y)??(2x?2y?z?1)，14

?Fx?2?4?x?0,??Fy??2?4?y?0, ??Fz?2?z?0,?222?2x?2y?z?1.解得可能取極值的點為 1??1,?,0? ?2??2 及

?11???，0?.?22??2，因為所要求的最大值一定存在，比較

?f?l1??1?,?,0?22???f?l?11???，0??22?2??2知??1?2,?1?,0?2?為所求的點.例9 求函數z?x?y222在圓(x2?2)?(y?22)?9上的最大值與最小值.?0,zy?0，解得點(0,0).顯然z(0,0)=0為最小值.解

先求函數z再求z2?x?y2在圓內的可能極值點.為此令zx?x?y在圓上的最大、最小值.為此做拉格朗日函數

22F(x,y)?x?y??[(x?2)?(y?22)?9]，2?Fx?2x?2?(x?2)?0,???Fy?2y?2?(y?2)?0,?22(x?2)?(y?2)?9.??，代入（3）解得

(1)(2)(3)由（1）、（2）可知x?y x?y?522，和

x?y??22，?5252z?,?22????25???22???1.z??,??22???2)?(y?2?5252,?22?為z?25，最小值為z?0.比較z(0,0)、z?

??22??、z???三值可知：在(x?,??22????2)?92上，最大值

第四篇：多元函數的微分學內容小結（本站推薦）

第二章 多元函數的微分學內容小結

多元函數微分學是一元函數微分學的推廣和發展，兩者的處理方法有很多相似之處．由于

自變量個數的增加，多元函數的微分學又產生了很多新內容，如偏導數、全微分、方向導數、條

件極值等．本章以二元函數為主講述有關內容．

一、多元函數的定義、極限、連續及其性質

二、偏導數與全微分

3．全微分 三、二元函數的極值

四、多元微分學的幾何應用

五、方向導數與梯度

第五篇：數學分析教案 (華東師大版)第十六章多元函數的極限與連續

《數學分析》教案

第十六章 多元函數的極限與連續

教學目的：1.明確認識多元函數與一元函數的相同和不同之處，進而掌握多元函數研究問題的手法與特點；2.明確研究多元函數的目的及多元函數的用途。教學重點難點：本章的重點是平面點集的有關概念與二元函數的連續性；難點是二元函數極限的討論。教學時數：16學時

§ 1平面點集與多元函數

一.平面點集:平面點集的表示:1.常見平面點集:

⑴ 全平面和半平面 : , , ，滿足的條件}.余集

.等.⑵ 矩形域: , }.⑶ 圓域: 開圓 , 閉圓 , 圓環.圓的個部分.極坐標表示, 特別是

和.型域..⑷ 角域: ⑸ 簡單域:

型域和

2.鄰域: 圓鄰域和方鄰域，圓鄰域內有方鄰域，方鄰域內有圓鄰域.空心鄰域和實心鄰域 , 空心方鄰域與集

： 兩點的距離

.《數學分析》教案

（或），..三.點列的極限: 設 定義 的定義(用鄰域語言).例4

為點集., ,.例

5設 的一個聚點.則存在

中的點列 , 使

四.中的完備性定理:

1.Cauchy收斂準則:

先證{

}為Cauchy列

和

均為Cauchy列.2.閉集套定理: P116.3.聚點原理: 列緊性 , Weierstrass聚點原理.4.有限復蓋定理: 五.二元函數:

1.二元函數的定義、記法、圖象：

2.定義域：

例6

求定義域：

ⅰ>

;ⅱ>

.《數學分析》教案

例3

證明.(用極坐標變換)P94例2.2.相對極限及方向極限:

相對極限

和方向極限的定義.3.全面極限與相對極限的關系:

Th 1 ,對D的每一個子集E ,只要點

是E的聚點 , 就有.推論1 設 則極限也不存在.，是 的聚點.若極限

不存在 , 推論2 設 ， , 但

是 的聚點.若存在極限, 則極限不存在.對D內任一點列，但

和

推論3 極限,數列

通常為證明極限

收斂.存在，不存在, 可證明沿某個方向的極限不存在 , 或證明沿某兩個方向的極限不相等, 或證明方向極限與方向有關.但應注意 , 沿任何方向的極限存在且相等

全面極限存在(以下例5).的兩個累次極限.《數學分析》教案

2.全面極限與累次極限的關系:

⑴ 兩個累次極限存在時, 可以不相等.(例9)

⑵ 兩個累次極限中的一個存在時, 另一個可以不存在.例如函數

在點 的情況.⑶ 全面極限存在時, 兩個累次極限可以不存在.例如例8中的函數,全面極限存在 , 但兩個累次極限均不存在.⑷ 兩個累次極限存在(甚至相等)

全面極限存在.(參閱例7).綜上 , 全面極限、兩個累次極限三者的存在性彼此沒有關系.但有以下確定關系.Th 2 若全面極限

和累次極限

(或另一次序)都存在 , 則必相等.(證)P98.推論1 全面極限和兩個累次極限三者都存在時 , 三者相等.系1給出了累次極限次序可換的一個充分條件.推論2 兩個累次極限存在但不相等時 , 全面極限不存在.但兩個累次極限中一個存在 , 另一個不存在

全面極限不存在.§ 3 二元函數的連續性

一． 二元函數的連續（相對連續）概念：由一元函數連續概念引入.1.連續的定義:

《數學分析》教案

2.一致連續性.(證)3.介值性與零點定理.(證)