第一篇：多元函數的基本概念教案
§8? 1 多元函數的基本概念
一、平面點集
n維空間
1．平面點集
由平面解析幾何知道? 當在平面上引入了一個直角坐標系后?平面上的點P與有序二元實數組(x? y)之間就建立了一一對應? 于是? 我們常把有序實數組(x? y)與平面上的點P視作是等同的? 這種建立了坐標系的平面稱為坐標平面?
二元的序實數組(x? y)的全體? 即R2?R?R?{(x? y)|x? y?R}就表示坐標平面?
坐標平面上具有某種性質P的點的集合? 稱為平面點集? 記作
E?{(x? y)|(x? y)具有性質P}?
例如?平面上以原點為中心、r為半徑的圓內所有點的集合是
C?{(x? y)| x2?y2?r2}?
如果我們以點P表示(x? y)? 以|OP|表示點P到原點O的距離? 那么集合C可表成 C?{P| |OP|?r}?
鄰域?
設P0(x0? y0)是xOy平面上的一個點? ?是某一正數? 與點P0(x0? y0)距離小于?的點P(x? y)的全體? 稱為點P0的?鄰域? 記為U(P0? ??? 即
U(P0,?)?{P| |PP0|??}或U(P0,?)?{(x, y)|(x?x0)2?(y?y0)2?? }?
鄰域的幾何意義? U(P0? ?)表示xOy平面上以點P0(x0? y0)為中心、? >0為半徑的圓的內部的點P(x? y)的全體? ?
點P0的去心?鄰域? 記作U(P0, ?)? 即
U(P0, ?)?{P| 0?|P0P|??}?
注? 如果不需要強調鄰域的半徑?? 則用U(P0)表示點P0的某個鄰域? 點P0的去心鄰域記作U(P0)?
點與點集之間的關系?
任意一點P?R2與任意一個點集E?R2之間必有以下三種關系中的一種?
(1)內點? 如果存在點P的某一鄰域U(P)? 使得U(P)?E? 則稱P為E的內點?
(2)外點? 如果存在點P的某個鄰域U(P)? 使得U(P)?E??? 則稱P為E的外點?
(3)邊界點? 如果點P的任一鄰域內既有屬于E的點? 也有不屬于E的點? 則稱P點為E的邊點?
E的邊界點的全體? 稱為E的邊界? 記作?E?
???
E的內點必屬于E? E的外點必定不屬于E? 而E的邊界點可能屬于E? 也可能不屬于E ?
聚點? 如果對于任意給定的??0? 點P的去心鄰域U(P,?)內總有E中的點? 則稱P是E的聚點?
由聚點的定義可知? 點集E的聚點P本身? 可以屬于E? 也可能不屬于E ?
例如? 設平面點集
E?{(x? y)|1?x2?y2?2}?
滿足1?x2?y2?2的一切點(x? y)都是E的內點? 滿足x2?y2?1的一切點(x? y)都是E的邊界點? 它們都不屬于E? 滿足x2?y2?2的一切點(x? y)也是E的邊界點? 它們都屬于E? 點集E以及它的界邊?E上的一切點都是E的聚點?
開集? 如果點集E 的點都是內點? 則稱E為開集?
閉集? 如果點集的余集E c為開集? 則稱E為閉集?
開集的例子? E?{(x? y)|1 閉集的例子? E?{(x? y)|1?x2?y2?2}? 集合{(x? y)|1?x2?y2?2}既非開集? 也非閉集? 連通性? 如果點集E內任何兩點? 都可用折線連結起來? 且該折線上的點都屬于E? 則稱E為連通集? 區域(或開區域)? 連通的開集稱為區域或開區域? 例如E?{(x? y)|1?x2?y2?2}? 閉區域? 開區域連同它的邊界一起所構成的點集稱為閉區域? 例如E ? {(x? y)|1?x2?y2?2}? 有界集? 對于平面點集E? 如果存在某一正數r? 使得 E?U(O? r)? 其中O是坐標原點? 則稱E為有界點集? 無界集? 一個集合如果不是有界集? 就稱這集合為無界集? 例如? 集合{(x? y)|1?x2?y2?2}是有界閉區域? 集合{(x? y)| x?y?1}是無界開區域? 集合{(x? y)| x?y?1}是無界閉區域? 2? n維空間 設n為取定的一個自然數? 我們用Rn表示n元有序數組(x1? x2? ? ? ? ? xn)的全體所構成的集合? 即 Rn?R?R???????R?{(x1? x2? ? ? ? ? xn)| xi?R? i?1? 2? ?????? n}? Rn中的元素(x1? x2? ? ? ? ? xn)有時也用單個字母x來表示? 即x?(x1? x2? ? ? ? ? xn)? 當所有的xi(i?1? 2? ?????? n)都為零時? 稱這樣的元素為Rn中的零元? 記為0或O ? 在解析幾何中? 通過直角坐標? R2(或R3)中的元素分別與平面(或空間)中的點或向量建立一一對應? 因而Rn中的元素x?(x1? x2? ? ? ? ? xn)也稱為Rn中的一個點或一個n維向量? xi稱為點x的 ? 設x?(x1? x2? ? ? ? ? xn)? y?(y1? y2? ? ? ? ? yn)為Rn中任意兩個元素? ??R? 規定 x?y?(x1? y1? x2? y2? ? ? ? ? xn? yn)? ?x?(?x1? ?x2? ? ? ? ? ?xn)? 這樣定義了線性運算的集合Rn稱為n維空間? Rn中點x?(x1? x2? ? ? ? ? xn)和點 y?(y1? y2? ? ? ? ? yn)間的距離? 記作?(x? y)? 規定 ?(x,y)?(x1?y1)2?(x2?y2)2? ? ? ? ?(xn?yn)2? 顯然? n?1? 2? 3時? 上述規定與數軸上、直角坐標系下平面及空間中兩點間的距離一至? Rn中元素x?(x1? x2? ? ? ? ? xn)與零元0之間的距離?(x? 0)記作||x||(在R1、R2、R3中? 通常將||x||記作|x|)? 即 ||x||?x12?x2? ? ? ? ? xn采用這一記號? 結合向量的線性運算? 便得 ||x?y||?(x1?y1)2?(x2?y2)2? ? ? ? ?(xn?yn)2??(x,y)? 在n維空間Rn中定義了距離以后? 就可以定義Rn中變元的極限? 設x?(x1? x2? ? ? ? ? xn)? a?(a1? a2? ? ? ? ? an)?Rn? 如果 ||x?a||?0? 則稱變元x在Rn中趨于固定元a? 記作x?a ? 顯然? x?a ? x1?a1? x2?a2? ? ? ? ? xn?an ? 在Rn中線性運算和距離的引入? 使得前面討論過的有關平面點集的一系列概念? 可以方便地引入到n(n?3)維空間中來? 例如? 設a?(a1? a2? ? ? ? ? an)?Rn? ?是某一正數? 則n維空間內的點集 U(a? ?)?{x| x? Rn? ?(x? a)??} 就定義為Rn中點a的?鄰域? 以鄰域為基礎? 可以定義點集的內點、外點、邊界點和聚點? 以及開集、閉集、區域等一系列概念? 二? 多元函數概念 例１ 圓柱體的體積V 和它的底半徑r、高h之間具有關系 V ??r2h??這里? 當r、h在集合{(r ? h)| r>0? h>0}內取定一對值(r ? h)時? V對應的值就隨之確定?? 例2 一定量的理想氣體的壓強p、體積V和絕對溫度T之間具有關系 P?RTV?? 其中R為常數? 這里? 當V、T在集合{(V ?T)| V>0? T>0}內取定一對值(V? T)時? p的對應值就隨之確定? 例3 設R 是電阻R1、R2并聯后的總電阻? 由電學知道? 它們之間具有關系 R?R1R2R1?R2? 這里? 當R1、R2在集合{(R1? R2)| R1>0? R2>0}內取定一對值(R1 ? R2)時? R的對應值就隨之確定? ? 定義1 設D是R2的一個非空子集? 稱映射f ? D?R為定義在D上的二元函數? 通常記為 z?f(x? y)?(x? y)?D(或z?f(P)? P?D)其中點集D稱為該函數的定義域? x? y稱為自變量? z稱為因變量? 上述定義中? 與自變量x、y的一對值(x? y)相對應的因變量z的值? 也稱為f在點(x? y)處的函數值? 記作f(x? y)? 即z?f(x? y)? 值域? f(D)?{z| z?f(x? y)?(x? y)?D}? 函數的其它符號? z?z(x? y)? z?g(x? y)等? 類似地可定義三元函數u?f(x? y? z)?(x? y? z)?D以及三元以上的函數? 一般地? 把定義1中的平面點集D換成n維空間Rn內的點集D? 映射f ? D?R就稱為定義在D上的n元函數? 通常記為 u?f(x1? x2? ? ? ? ? xn)?(x1? x2? ? ? ? ? xn)?D? 或簡記為 u?f(x)? x?(x1? x2? ? ? ? ? xn)?D? 也可記為 u?f(P)? P(x1? x2? ? ? ? ? xn)?D ? 關于函數定義域的約定? 在一般地討論用算式表達的多元函數u?f(x)時? 就以使這個算式有意義的變元x的值所組成的點集為這個多元函數的自然定義域? 因而? 對這類函數? 它的定義域不再特別標出? 例如? 函數z?ln(x?y)的定義域為{(x? y)|x?y>0}(無界開區域)? 函數z?arcsin(x2?y2)的定義域為{(x? y)|x2?y2?1}(有界閉區域)? 二元函數的圖形? 點集{(x? y? z)|z?f(x? y)?(x? y)?D}稱為二元函數z?f(x? y)的圖形? 二元函數的圖形是一張曲面? 例如 z?ax?by?c是一張平面? 而函數z=x2+y2的圖形是旋轉拋物面? 三? 多元函數的極限 與一元函數的極限概念類似? 如果在P(x? y)?P0(x0? y0)的過程中? 對應的函數 值f(x? y)無限接近于一個確定的常數A? 則稱A是函數f(x? y)當(x? y)?(x0? y0)時的極限? 定義2 設二元函數f(P)?f(x? y)的定義域為D? P0(x0? y0)是D的聚點? 如果存在常數A? 對于任意給定的正數?總存在正數?? 使得當P(x,y)?D?U(P0,?)時? 都有 |f(P)?A|?|f(x? y)?A|?? 成立? 則稱常數A為函數f(x? y)當(x? y)?(x0? y0)時的極限? 記為 (x,y)?(x0,y0)?limf(x,y)?A? 或f(x? y)?A((x? y)?(x0? y0))? 也記作 limf(P)?A或f(P)?A(P?P0)? P?P0 上述定義的極限也稱為二重極限? 例4.設f(x,y)?(x2?y2)sin 證 因為 |f(x,y)?0|?|(x2?y2)sin21?0| ?|x2?y2|?|sin2| ?x2?y2? 2x?yx?y21x?y22? 求證lim(x,y)?(0,0)f(x,y)?0? 可見?? >0? 取???? 則當 0?(x?0)2?(y?0)2??? 即P(x,y)?D?U(O,?)時? 總有 |f(x? y)?0|??? 因此lim(x,y)?(0,0)?f(x,y)?0? 必須注意? ? (1)二重極限存在? 是指P以任何方式趨于P0時? 函數都無限接近于A? (2)如果當P以兩種不同方式趨于P0時? 函數趨于不同的值? 則函數的極限不存在? ?xy x2?y2?0?2 2討論? 函數f(x,y)??x?y在點(0? 0)有無極限？ ? 22??0 x?y?0 提示? 當點P(x? y)沿x軸趨于點(0? 0)時? lim(x,y)?(0,0)f(x,y)?limf(x, 0)?lim0?0? x?0x?0 當點P(x? y)沿y軸趨于點(0? 0)時? lim(x,y)?(0,0)f(x,y)?limf(0, y)?lim0?0y?0y?0? 當點P(x? y)沿直線y?kx有 lim(x,y)?(0,0)y?kxkx2k?lim?x2?y2x?0x2?k2x21?k2xy??因此? 函數f(x? y)在(0? 0)處無極限? 極限概念的推廣? 多元函數的極限? 多元函數的極限運算法則? 與一元函數的情況類似? 例5 求lim(x,y)?(0,2)sin(xy)x? 解? sin(xy)sin(xy)sin(xy)?lim?y?lim?limyxxy(x,y)?(0,2)(x,y)?(0,2)xy(x,y)?(0,2)(x,y)?(0,2)lim?1?2?2? 四? 多元函數的連續性 定義3 設二元函數f(P)?f(x? y)的定義域為D? P0(x0? y0)為D的聚點? 且P0?D ? 如果 lim(x,y)?(x0,y0)f(x,y)?f(x0,y0)? 則稱函數f(x? y)在點P0(x0? y0)連續? 如果函數f(x? y)在D的每一點都連續? 那么就稱函數f(x? y)在D上連續? 或者稱f(x? y)是D上的連續函數? 二元函數的連續性概念可相應地推廣到n元函數f(P)上去? 例6設f(x,y)?sin x? 證明f(x? y)是R2上的連續函數? 證 設P0(x0? y0)? R2? ???0? 由于sin x在x0處連續? 故???0? 當|x?x0|??時? 有 |sin x?sin x0|??? 以上述?作P0的?鄰域U(P0? ?)? 則當P(x? y)?U(P0? ?)時? 顯然 |f(x? y)?f(x0? y0)|?|sin x?sin x0|??? 即f(x? y)?sin x在點P0(x0? y0)連續? 由P0的任意性知? sin x作為x? y的二元函數在R2上連續? 證 對于任意的P0(x0? y0)?R2? 因為 lim(x,y)?(x0,y0)f(x,y)?lim(x,y)?(x0,y0)sinx?sinx0?f(x0,y0)? 所以函數f(x,y)?sin x在點P0(x0? y0)連續? 由P0的任意性知? sin x作為x? y的二元函數在R2上連續? 類似的討論可知? 一元基本初等函數看成二元函數或二元以上的多元函數時? 它們在各自的定義域內都是連續的? 定義4設函數f(x? y)的定義域為D? P0(x0? y0)是D的聚點? 如果函數f(x? y)在點P0(x0? y0)不連續? 則稱P0(x0? y0)為函數f(x? y)的間斷點? ?xy x2?y2?0?22 例如：函數f(x,y)??x?y? 22??0 x?y?0其定義域D?R2? O(0? 0)是D的聚點? f(x? y)當(x? y)?(0? 0)時的極限不存在? 所以點O(0? 0)是該函數的一個間斷點? 又如? 函數z?sin1x2?y2?1? 其定義域為D?{(x? y)|x2?y2?1}? 圓周C?{(x? y)|x2?y2?1}上的點都是D的聚點? 而f(x? y)在C上沒有定義? 當然f(x? y)在C上各點都不連續? 所以圓周C上各點都是該函數的間斷點? 注? 間斷點可能是孤立點也可能是曲線上的點? 可以證明? 多元連續函數的和、差、積仍為連續函數? 連續函數的商在分母不為零處仍連續? 多元連續函數的復合函數也是連續函數? 多元初等函數? 與一元初等函數類似? 多元初等函數是指可用一個式子所表示的多元函數? 這個式子是由常數及具有不同自變量的一元基本初等函數經過有限次的四則運算和復合運算而得到的? 例如x?x2?y21?y2? sin(x?y)? ex2?y2?z2都是多元初等函數? 一切多元初等函數在其定義區域內是連續的? 所謂定義區域是指包含在定義域內的區域或閉區域? 由多元連續函數的連續性? 如果要求多元連續函數f(P)在點P0處的極限? 而該點又在此函數的定義區域內? 則limf(P)?f(P0)? p?p0 例7 求lim(x,y)?(1,2)x?yxy? ? 是初等函數? 它的定義域為：D?{(x? y)|x?0? y?0}? 解? 函數f(x,y)?x?yxyP0(1? 2)為D的內點? 故存在P0的某一鄰域U(P0)?D? 而任何鄰域都是區域? 所以U(P0)是f(x? y)的一個定義區域? 因此 lim(x,y)?(1,2)f(x,y)?f(1,2)?32? 一般地? 求limf(P)時? 如果f(P)是初等函數? 且P0是f(P)的定義域的內點? 則P?P0f(P)在點P0處連續? 于是 limf(P)?f(P0)? P?P0 例8 求lim(x,y)?(0, 0)xy?1?1xy? (xy?1?1)(xy?1?1)xy(xy?1?1)解? lim(x,y)?(0, 0)xy?1?1xy?lim(x,y)?(0, 0)?lim(x,y)?(0, 0)1xy?1?1?1? 2多元連續函數的性質? 性質1(有界性與最大值最小值定理)在有界閉區域D上的多元連續函數? 必定在D上有界? 且能取得它的最大值和最小值? 性質1就是說? 若f(P)在有界閉區域D上連續? 則必定存在常數M?0? 使得對一切P?D? 有|f(P)|?M? 且存在P1、P 2?D? 使得 f(P1)?max{f(P)|P?D}? f(P2)?min{f(P)|P?D}? 性質2(介值定理)在有界閉區域D上的多元連續函數必取得介于最大值和最小值之間的任何值? 第二節 多元函數的基本概念 分布圖示 ★ 領域 ★平面區域的概念 ★ 二元函數的概念 ★ 例 1★ 例★ 例3 ★ 二元函數的圖形 ★ 二元函數的極限 ★ 例 4★ 例★ 例6 ★ 例7 ★ 例8 ★ 例9 ★ 例 10 ★ 二元函數的連續性 ★ 例 11 ★ 二元初等函數 ★ 例 12-13 ★ 閉區域上連續函數的性質 ★ 內容小結 ★ 課堂練習 ★習題6-2 內容提要 一、平面區域的概念：內點、外點、邊界點、開集、連通集、區域、閉區域二、二元函數的概念 定義1 設D是平面上的一個非空點集，如果對于D內的任一點(x,y)，按照某種法則f，都有唯一確定的實數z與之對應，則稱f是D上的二元函數，它在(x,y)處的函數值記為f(x,y)，即z?f(x,y)，其中x，y稱為自變量，z稱為因變量.點集D稱為該函數的定義域，數集{z|z?f(x,y),(x,y)?D}稱為該函數的值域.類似地，可定義三元及三元以上函數.當n?2時, n元函數統稱為多元函數.二元函數的幾何意義 三、二元函數的極限 定義2 設函數z?f(x,y)在點P0(x0,y0)的某一去心鄰域內有定義，如果當點P(x,y)無限趨于點P0(x0,y0)時，函數f(x,y)無限趨于一個常數A，則稱A為函數z?f(x,y)當(x,y)?(x0,y0)時的極限.記為 x?x0y?y0limf(x,y)?A.或 f(x,y)?A（(x,y)?(x0,y0)）也記作 limf(P)?A 或 f(P)?A(P?P0) P?P0 二元函數的極限與一元函數的極限具有相同的性質和運算法則，在此不再詳述.為了區別于一元函數的極限，我們稱二元函數的極限為二重極限.四、二元函數的連續性 定義3 設二元函數z?f(x,y)在點(x0,y0)的某一鄰域內有定義，如果 x?x0y?y0limf(x,y)?f(x0,y0)，則稱z?f(x,y)在點(x0,y0)處連續.如果函數z?f(x,y)在點(x0,y0)處不連續，則稱函數z?f(x,y)在(x0,y0)處間斷.與一元函數類似，二元連續函數經過四則運算和復合運算后仍為二元連續函數.由x和y的基本初等函數經過有限次的四則運算和復合所構成的可用一個式子表示的二元函數稱為二元初等函數.一切二元初等函數在其定義區域內是連續的.這里定義區域是指包含在定義域內的區域或閉區域.利用這個結論，當要求某個二元初等函數在其定義區域內一點的極限時，只要算出函數在該點的函數值即可.特別地，在有界閉區域D上連續的二元函數也有類似于一元連續函數在閉區間上所滿足的定理.下面我們不加證明地列出這些定理.定理1（最大值和最小值定理）在有界閉區域D上的二元連續函數, 在D上至少取得它的最大值和最小值各一次.定理2（有界性定理）在有界閉區域D上的二元連續函數在D上一定有界.定理3（介值定理）在有界閉區域D上的二元連續函數, 若在D上取得兩個不同的函數值, 則它在D上取得介于這兩值之間的任何值至少一次.例題選講 多元函數的概念 例1（E01）某公司的總體成本（以千元計）為 C(x,y,z,w)?5x?4y?2z?ln(w?1)，其中x是員工工資，y是原料的開銷，z是廣告宣傳的開銷，w是機器的開銷，求 2C(2,3,0,10)。 解 用2替換x，3 替換y，0 替換z，10 替換w，則 C(2,3,0，10)?5?22?4?3?0?ln(10?1) ?29.6（千元）。例2（E02）求二元函數f(x,y)?arcsin(3?x2?y2)x?y2的定義域.22??3?x?y?1解 ? 2??x?y?0?2?x2?y2?4 ?2x?y?所求定義域為 D?{(x,y)|2?x2?y2?4,x?y2}.x2?y2例3（E03）已知函數f(x?y,x?y)?2, 求f(x,y).x?y2解 設u?x?y,v?x?y,則 x?u?vu?v,y?, 2222?u?v??u?v??????2uv2??2??故得 f(u,v)??, 2222u?v?u?v??u?v???????2??2?即有 f(x,y)? 二元函數的極限 2xy.22x?y例4（E04）求極限 lim(x2?y2)sinx?0y?01.22x?y解 令u?x2?y2,則 lim(x2?y2)sinx?0y?011=0.?limusinux2?y2u?0 例5 求極限 limx?0y?0sin(x2y)x?y22.22sinx(y)sinx(y)x2ysin(x2y)sinu2u?xy?1, ?22, 其中lim解 lim22?lim2limx?0x?0x?yx?0u?0uxyx?yx2yy?0y?0y?0x2yx2?y2?12xy1?x?x2x2?y22x?0????0，sin(x2y)所以 lim22?0.x?0x?yy?0 例6（E05）求極限 lim解 當xy?0時，0?x?yx?y11x?y???0(x??,y??), ??2y2x2xyx2?y2x2?y2x?y.x??x2?y2y??所以 lim x?y?0.x??x2?y2y??例76求極限 limx?0y?0xy3?2x4x?y24.12(x?y4)y1x2222解 0???2x?y?2x?0(當x?0,y?0)?2x?xy2y2x2?y4x2?y4x2?y42所以 limxy3?2x4x?02?0.y?0x?y4 例8 求 lim(x2?y2)xyx?0.y?0xlim?0xyln(x2?y2)解 lim?0(x2?y2)xy?ey?0x.因為 y?0xyln(x2?y2)?0?xy2222x2?y2?(x?y)ln(x?y)?(x2?y2)ln(x2?y2).2222令t?而 lx?im0(x?y)lnx(?y)x2??y2tlim?0?tlnt?0，y?0所以 lx?i0mxylnx(2?y2)?0,故 limx?0(x2?y2)xy?e0?1.y?0y?0 例9（E06）證明 limxyxy??00x2?y2 不存在.證 取y?kx(k為常數),則 limxyx?0x2?y2?limx?kxx?0?k2, y?0y?kxx2?k2x21?k易見題設極限的值隨k的變化而變化,故題設極限不存在.例10 證明 limx3yx?06y?0x?y2不存在.x3yx3?kx3k?lim證 取y?kx,lim6?,其值隨k的不同而變化,2x?0x?y2x?0x6?k2x61?k33y?0y?kx 故極限不存在.二元函數的連續性 ?x3?y3,(x,y)?(0,0)?例11(E07)討論二元函數f(x,y)??x2?y2在(0,0)處的連續性.?0,(x,y)?(0,0)?解 由f(x,y)表達式的特征，利用極坐標變換： 令x??cos?,y??sin?,則 (x,y)?(0,0)limf(x,y)?lim?(sin3??cos3?)?0?f(0,0)，??0所以函數在(0,0)點處連續.?y例12 求lim?ln(y?x)?x?0?1?x2y?1???.?????1.???y??1lny(?x)???ln1(?0)?解 lim??x?021?x???1?0?y?1 ex?y.例13 求limx?0x?yy?1ex?ye0?1ex?y??2.解 因初等函數f(x,y)?在(0,1)處連續，故limx?0x?y0?1x?yy?1 課堂練習 y??1.設f?x?y,??x2?y2, 求f(x,y).x??2.若點(x,y)沿著無數多條平面曲線趨向于點(x0,y0)時, 函數f(x,y)都趨向于A, 能否斷定 (x,y)?(x0,y0)limf(x,y)?A? ?xy222,x?y?0?23.討論函數f(x,y)??x?y4的連續性.?2x?y2?0?0, 第二節 多元函數的基本概念 分布圖示 ★ 領域★平面區域的概念 ★ 多元函數的概念★ 例1★ 例 2★ 二元函數的圖形 ★ 二元函數的極限★ 例3★ 例 4★ 例5★ 例6★ 例7 ★ 二元函數的連續性★ 例 8 ★ 二元初等函數★ 例 9-10 ★ 閉區域上連續函數的性質 ★ 內容小結★ 課堂練習 ★習題6-2 內容提要： 一、平面區域的概念：內點、外點、邊界點、開集、連通集、區域、閉區域 二、多元函數的概念 定義1 設D是平面上的一個非空點集，如果對于D內的任一點(x,y)，按照某種法則f，都有唯一確定的實數z與之對應，則稱f是D上的二元函數，它在(x,y)處的函數值記為f(x,y)，即z?f(x,y)，其中x，y稱為自變量，z稱為因變量.點集D稱為該函數的定義域，數集{z|z?f(x,y),(x,y)?D}稱為該函數的值域.類似地，可定義三元及三元以上函數.當n?2時, n元函數統稱為多元函數.二元函數的幾何意義三、二元函數的極限 定義2 設函數z?f(x,y)在點P0(x0,y0)的某一去心鄰域內有定義，如果當點P(x,y)無限趨于點P0(x0,y0)時，函數f(x,y)無限趨于一個常數A，則稱A為函數z?f(x,y)當(x,y)?(x0,y0)時的極限.記為 x?x0y?y0limf(x,y)?A.或f(x,y)?A（(x,y)?(x0,y0)） 也記作 limf(P)?A或f(P)?A(P?P0)P?P0 二元函數的極限與一元函數的極限具有相同的性質和運算法則，在此不再詳述.為了區別于一元函數的極限，我們稱二元函數的極限為二重極限.四、二元函數的連續性 定義3 設二元函數z?f(x,y)在點(x0,y0)的某一鄰域內有定義，如果 x?x0y?y0limf(x,y)?f(x0,y0),則稱z?f(x,y)在點(x0,y0)處連續.如果函數z?f(x,y)在點(x0,y0)處不連續，則稱函數z?f(x,y)在(x0,y0)處間斷.與一元函數類似，二元連續函數經過四則運算和復合運算后仍為二元連續函數.由x和y的基本初等函數經過有限次的四則運算和復合所構成的可用一個式子表示的二元函數稱為二元初等函數.一切二元初等函數在其定義區域內是連續的.這里定義區域是指包含在定義域內的區域或閉區域.利用這個結論，當要求某個二元初等函數在其定義區域內一點的極限時，只要算出函數在該點的函數值即可.特別地，在有界閉區域D上連續的二元函數也有類似于一元連續函數在閉區間上所滿足的定理.下面我們不加證明地列出這些定理.定理1（最大值和最小值定理）在有界閉區域D上的二元連續函數, 在D上至少取得它的最大值和最小值各一次.定理2（有界性定理）在有界閉區域D上的二元連續函數在D上一定有界.定理3（介值定理）在有界閉區域D上的二元連續函數, 若在D上取得兩個不同的函數值, 則它在D上取得介于這兩值之間的任何值至少一次.例題選講： 多元函數的概念 例1某公司的總成本（以千元計）為 C(x,y,z,w)?5x?4y?2z?ln(w?1) 其中x是員工工資，y是原料的開銷，z是廣告宣傳的開銷，w是機器的開銷.求2C(2,3,0,10).解 用2替換x，3替換y，0替換z，10替換w，則C(2,3,0，10)?5?2?4?3?0?ln(10?1) ?29.6（千元）。 例2（E02）求二元函數f(x,y)?2arcsin(3?x2?y2) x?y2的定義域.22??3?x?y?1解? 2??x?y?0 ?2?x2?y2?4 ?2?x?y 所求定義域為D? {(x,y)|2?x2?y2?4,x?y2}.例3（E03）已知函數f(x?y,x?y)?解設u?x?y,v?x?y,則 x2?y2x2?y2, 求f(x,y).x?u?vu?v,y?, 22 22?u?v??u?v??????2uv2??2??故得f(u,v)??, 2222u?v?u?v??u?v???????2??2? 即有f(x,y)?2xy.x2?y2 二元函數的極限 例4（E04）求極限 lim(x2?y2)sinx?0y?01.22x?y 解令u?x2?y2,則 lim(x2?y2)sinx?0 y?011=0.?limusin22u?0ux?y 例5 求極限limx?0 y?0sin(x2y)x?y22.22sinx(y)sinx(y)x2ysin(x2y)sinu2u?xy?1, ?22, 其中lim解li22?li2limx?0x?0x?yx?0u?0uxyx?yx2yy?0y?0y?0x2y x2?y2?12xy1?x?x2x2?y22x?0????0, sin(x2y)所以lim22?0.x?0x?yy?0 例6求極限 limx?y.x??x2?y2 y?? 解當xy?0時，0?x?yx?y11x?y???0(x??,y??), ??2y2x2xyx2?y2x2?y2 所以limx?y x???0.y??x2?y2 例7（E05）證明limxy x?0x2?y2不存在.y?0 證取y?kx(k為常數),則 limxy x?0x2?y2?limx?kxk x?0?2,y?0y?kxx2?k2x21?k易見題設極限的值隨k的變化而變化,故題設極限不存在.例8 證明limx3y x?06不存在.y?0x?y2 證取y?kx3,limx3y x?0x6?y2?limx3?kx3k x?0x6?2,其值隨k的不同而變化,y?0y?kx3?k2x61?k 限不存在.二元函數的連續性 ?x3?y3 例9討論二元函數f(x,y)???x2?y2,(x,y)?(0,0)在(0,0)處的連續性.??0,(x,y)?(0,0) 解由f(x,y)表達式的特征，利用極坐標變換： 令x??cos?,y??sin?,則 (x,ylim)?(0,0)f(x,y)?lim??0?(sin3??cos3?)?0?f(0,0), 所以函數在(0,0)點處連續.例10（E06）求lim??ln(y?x)y? x?0?.y?1????x2? ? 解l? x?i0m?lny(?x)?y???1???1.y?1??x???ln1(?0)????02? ? 例11求limex?y x?0x?y.y?1故極 ex?ye0?1ex?y??2.解因初等函數f(x,y)?在(0,1)處連續，故limx?0x?y0?1x?y y?1 課堂練習 y??1.設f?x?y,??x2?y2, 求f(x,y).x?? 2.若點(x,y)沿著無數多條平面曲線趨向于點(x0,y0)時, 函數f(x,y)都趨向于A, 能否斷定 (x,y)?(x0,y0)limf(x,y)?A? ?xy2,x2?y2?0?243.討論函數f(x,y)??x?y的連續性.?2x?y2?0?0, 多元函數的極限與連續 一、平面點集與多元函數 （一）平面點集:平面點集的表示: E?{(x,y)|(x,y)滿足的條件}.1.常見平面點集: ⑴ 全平面和半平面: {(x,y)|x?0}, {(x,y)|x?0}, {(x,y)|x?a}, {(x,y)|y?ax?b}等.⑵ 矩形域: [a,b]?[c,d], {(x,y)|x|?|y|?1}.⑶ 圓域: 開圓, 閉圓, 圓環.圓的個部分.極坐標表示, 特別是 {(r,?)|r?2acos?}和{(r,?)|r?2asin?}.⑷ 角域: {(r,?)|?????}.⑸ 簡單域:X?型域和Y?型域.2.鄰域: 圓鄰域和方鄰域，圓鄰域內有方鄰域，方鄰域內有圓鄰域.空心鄰域和實心鄰域, 空心方鄰域與集 {(x,y)|0?|x?x0|?? , 0?|y?y0|??}的區別.（二）點集的基本概念: 1.內點、外點和界點：集合E的全體內點集表示為intE, 邊界表示為?E.集合的內點?E, 外點?E, 界點不定.2.聚點和孤立點: 孤立點必為界點.例1 確定集E?{(x,y)|3.開集和閉集: 1?(x?1)2?(y?2)2?4 }的內點、外點集、邊界和聚點.intE?E時稱E為開集,E的聚點集?E時稱E為閉集.存在非開非閉集.R2和空集?為既開又閉集.4.開區域、閉區域、區域：以上常見平面點集均為區域.5.有界集與無界集: 6.點集的直徑d(E)：兩點的距離?(P1 , P2).7.三角不等式： |x1?x2|（或|y1?y2|）?(x1?x2)2?(y1?y2)2? |x1?x2|?|y1?y2|.（三）二元函數: 1.二元函數的定義、記法、圖象： 2.定義域： 例4 求定義域： ⅰ> f(x,y)?3.有界函數: 4.n元函數: 9?x2?y2x2?y2?1;ⅱ> f(x,y)?lny.ln(y?x2?1) 二、二元函數的極限 （一）.二元函數的極限: 1.二重極限limf(P)?A的定義: 也可記為P?P0P?D(x,y)?(x0,y0)limf(x,y)?A或x?x0y?y0limf(x,y)?A 例1 用“???”定義驗證極限 (x,y)?(2,1)lim(x2?xy?y2)?7.[1]P94 E1.xy2?0.例2 用“???”定義驗證極限 lim2x?0x?y2y?0?x2?y2,(x,y)?(0,0),?xy例3 設f(x,y)??x2?y 2?0 ,(x,y)?(0,0).? 證明(x,y)?(0,0)limf(x,y)?0.(用極坐標變換) P?P0P?ETh 1 limf(P)?A?對D的每一個子集E ,只要點P0是E的聚點,就有limf(P)?A.P?P0P?D推論1 設E1?D,P0是E1的聚點.若極限limf(P)不存在, 則極限limf(P)也不存在.P?P0P?E1P?P0P?D推論2 設E1,E2?D,P0是E1和E2的聚點.若存在極限limf(P)?A1,limf(P)?A2，P?P0P?E1P?P0P?E2但A1?A2,則極限limf(P)不存在.P?P0P?D推論3 極限limf(P)存在?對D內任一點列{ Pn },Pn?P0但Pn?P0,數列{f(Pn)}P?P0P?D ?xy ,(x,y)?(0,0),?22收斂 例4 設f(x,y)??x?y 證明極限limf(x,y)不存在.(x,y)?(0,0)?0 ,(x,y)?(0,0).?(考慮沿直線y?kx的方向極限).?例5 設f(x,y)???1,0,當0?y?x2,???x???時，證明極限limf(x,y)不 (x,y)?(0,0)其余部分.存在.二重極限具有與一元函數極限類似的運算性質.例6 求下列極限: ⅰ>(x,y)?(0,0)limsinxyx2ylim;ⅱ>;(x,y)?(3,0)yx2?y2 ⅲ>(x,y)?(0,0)limxy?1?1ln(1?x2?y2);ⅳ> lim.22(x,y)?(0,0)xyx?yf(x,y)???的定義: 3． 極限(x,y)?(x0,y0)lim其他類型的非正常極限，(x,y)?無窮遠點的情況.例7 驗證(x,y)?(0,0)lim1???.222x?3yEx [1]P99—100 1⑴—⑹，4，5.（二）累次極限: 1.累次極限的定義: 定義.例8 設f(x,y)?xy, 求在點(0 , 0)的兩個累次極限.22x?yx2?y2例9 設f(x,y)?2, 求在點(0 , 0)的兩個累次極限.2x?y例10 設f(x,y)?xsin11?ysin, 求在點(0 , 0)的兩個累次極限與二重極限.yx 2.二重極限與累次極限的關系: ⑴ 兩個累次極限存在時, 可以不相等.(例9) ⑵ 兩個累次極限中的一個存在時, 另一個可以不存在.例如函數f(x,y)?xsin1y在點(0 , 0)的情況.⑶ 二重極限存在時, 兩個累次極限可以不存在.(例10) ⑷ 兩個累次極限存在(甚至相等)??二重極限存在.(參閱例4和例8).綜上, 二重極限、兩個累次極限三者的存在性彼此沒有關系.但有以下確定關系.Th 2 若全面極限(x,y)?(x0,y0)limf(x,y)和累次極限limlimf(x,y)(或另一次序)都存在,則 x?x0y?y0必相等.推論1 二重極限和兩個累次極限三者都存在時, 三者相等.注: 推論1給出了累次極限次序可換的一個充分條件.推論2 兩個累次極限存在但不相等時, 全面極限不存在.注: 兩個累次極限中一個存在,另一個不存在??全面極限不存在.參閱⑵的例.三、二元函數的連續性 （一）二元函數的連續概念： ?xy22 , x?y?0 ,22??x?y例1 設f(x,y)?? ?m , x2?y2?0.??1?m2證明函數f(x,y)在點(0 , 0)沿方向y?mx連續.?1 , 0?y?x2, ???x??? ,例1 設f(x,y)?? ([1]P101)?0 , 其他.證明函數f(x,y)在點(0 , 0)不全面連續但在點(0 , 0)f對x和y分別連續.2.函數的增量: 全增量、偏增量.用增量定義連續性.3.函數在區域上的連續性.4.連續函數的性質: 運算性質、局部有界性、局部保號性、復合函數連續性. 第六章 多元函數微分學及其應用 6.1 多元函數的基本概念 一、二元函數的極限 定義 f(P)= f(x，y)的定義域為D, oP0(x0,y0)是D的聚點.對常數A，對于任意給定的正數?，總存在正數?，使得當點P(x，y)∈D? U(P0,?)，即 0?|P0P|? (x?x0)?(y?y0)??22 時，都有 |f(P)–A|=|f(x，y)–A|< ? 成立，那么就稱常數A為函數f(x，y)當(x，y)→(x0，(x,y)?(x0,y0)y0)時的極限，記作 y0)), lim f(x,y)?A或f(x，y)→A((x，y)→(x0,也記作 P?P0limf(P)?A 或 f(P)→A(P→P0)為了區別于一元函數的極限，上述二元函數的極限也稱做二重極限.二、二元函數的連續性 (x,y)?(x0,y0)limf(x,y)?f (x0,y0)，(?x,?y)?(0,0)lim?z?0 如果函數f(x , y)在D的每一點都連續，那么就稱函數f(x , y)在D上連續，或者稱f(x , y)是D上的連續函數.如果函數f(x , y)在點P0(x0,y0)不連續，則稱P0(x0,y0)為函數f(x , y)的間斷點.多元連續函數的和、差、積仍為連續函數；連續函數的商在分母不為零處仍連續；多元連續函數的復合函數也是連續函數。一切多元初等函數在其定義區域內是連續的.多元初等函數的極限值就是函數在該點的函數值，即 p?p0limf(P)?f(P0).有界性與最大值最小值定理 在有界閉區域D上的多元連續函數，必定在D上有界，且能取得它的最大值和最小值.介值定理 在有界閉區域D上的多元連續函數必取復介于最大值和最小值之間的任何值。 三、例題 例1 設f(x,y)?x?y?g(x?y)，已知f(x,0)?xf(x,0)?x?g(x)?x222，求 f(x,y)的表達式。 2解 由題設，有g(x)?x?x2，于是 。f(x,y)?x?y?[(x?y)?(x?y)]，即 f(x,y)?(x?y)?2y例2 證明極限limxyx?y623不存在。 x?0y?0 證 當(x,y)沿三次拋物線y?kx 3趨于(0,0)時，有 limxyx?yxyx?y。 623623x?0y?0?limx?kx62336x?0y?0x?kx?limk1?k2 x?0y?0其值隨k去不同值而取不同值。故極限lim不存在。 x?0y?0 例3 求極限limxy?1?1x?y2222x?0y?0 解 原式?limxy2222x?0y?0x?y?1xy?1?1?z?x22?12limxx?0y?022y22x?y?0 6.2 偏導數與高階導數 6.2.1 偏導數 一、概念 說明對x求導視z?f(x,y)，y?limf(x??x,y)?f(x,y)?x ?x?0為常數，幾何意義也說明了這個問題 二元函數z=f(x , y)在點M0(偏導數數 x0,y0)的偏導數有下述幾何意義.0fx?(x0,y0)，就是曲面z?f(x,y)與平面y?y0的交線在點M0處的切線M0Tx對x軸的斜率.同樣，偏導fy(x0,y0)的幾何意義是曲面z?f(x,y)與平面x=x0的交線在點M 2 基于如上理由，求 處的切線M0Ty對y軸的斜率.?z?x(x0,y0)時，（因此可能簡化函數）再對xy0可先代入，求導 例 f(x,y)?x?arctany(x?arctany(x??arctany)?)，求fx?(1,0)。 ?n重 解 f(x,0)?x，fx?(x,0)?1，fx?(1,0)?1 二、可微，偏導數存在，連續的關系 ?偏導數存在可微???連續 三、高階偏導數 設函數z=f(x , y)在區域D內具有偏導數，偏導數連續?可微，??fxy和 ??fyx都連續，則 ??fxy= ??fyx; ?z?x2?fx(x,y),?z?y?fy(x,y)，則這兩個函數的偏導數稱為函數z=f(x , y)的二階 2偏導數。按照對變量求導次序的不同有下列四個二階偏導數： ???z??z???z??z?f(x,y),??fxy(x,y),?????xx2?x??x??x?y??x??x?y???z???x??y??z????f(x,y),yx??y??y?x2??z????y??z??fyy(x,y).2???y?2 四、偏導數，微分運算公式 1．z 2．dz ?f(x,y)，u?u(x,y)，v?v(x,y) ?z?x??f?u?u?x??f?v?v?x ?z?y??f?u?u?y??f?v?v?y ?fu?du?fv?dv?fu??(u?dx?u?ydy)?fv??(v?dx?v?ydy)xx?(fu??u??fv??v?)dx?(fu??u?y?fv??v?y)dyxx d(u?v)?du?dvd(u?v)?udv?vdu?z?x??2 ?u?vdu?udvd???2v?v? 3．F(x,y,z)?0 確定z?z(x,y)，Fx?Fz?； ?z?y2??Fy?Fz?6.2.2 求偏導數算例 例1（1）z?arctanx?y1?xy，求 ?z?x，?z?y，?z?x22，?z?x?y。 解 ?z?x?1?x?y1???1?xy??11?y2????2?1?(1?xy)?(x?y)(?y)(1?xy)?11?x2 由對稱性 ?z?y2，?z?x22?2?2x(1?x)，求 22； 2?z?x?y22?0；（2）u?lnx?y?z2?u?x22??u?y2??u?z2。 解?u?x?122x222x?y?z?xx?y?z22，2 ?u?x由對稱性 22?2x?y?z?x?2x(x?y?z)22222222222??x?y?z2222222222(x?y?z)22 ?u?y222??x?y?z222，?u?z1222(x?y?z)?u?y22?x?y?z2(x?y?z)2 故 ?u?x2??u?z22?x?y?z222。 （3）?xy?22f(x,y)??x?y?0??x?022x?y?0，求 fx?(0,0)，fy?(0,0) x?y?022 解 fx?(0,0)?lim?x?0?x?0?x22?0，同理fy?(0,0)?0； ?u?x，例2 u?yf(x?y,xy)，求 ?u?x?y2。 解 ?u?x22?y?f1??2x?f2??y??2xyf1??yf2? ?u?x?y ??(?2y)?f12??x??2yf2??y2?f21??(?2y)?f22??x? ?2xf1??2xy?f112???2x2yf12???2yf2??2y3f21???xy2f22?? ?2xf1??4xyf11 例3 ?z?y?z?f(xy,)?g??，求 ?x?yx?x?y2 解 y?y????f1??y?f2????2??g???2??x?x??x?2?z 1?1y?1?????x?f12????????f1??y?f11?f?fx?f?22222?21???x?yx?xx?x??y1yy1??????2f2?????3f22???2g??f12f?f1??xyf11xxxxxy)，求du。例4 u?f(x?y,x?y,x解（1）?z1xx2g??g?? yx2g??1x y3 du??u?xdx??u?ydy ?u1y??u??f1??f2?(?1)?f3??f1??f2??f3????2?；?xx?x??y 故 y1????du??f1??f2??2f3??dx??f1??f2??f3??dy xx????xdy?ydxd(x?y)?f2?d(x?y)?f3?解（2）du?f1?2x ?f1?(dx?dy)?f2?(dx?dy)?f3??[f1??f2??yx2xdy?ydxx1x2 f3?]dx?[f1??f2??f3?]dy 例5 設z?z(x,y)由方程F(x?zy,y?zx)?0，確定，F有連續一階偏導數，求 ?z?x，?z?y。 解（1）方程兩邊對x求導 ?z????z??x?z??????0 F1??1??x??F2???x2y?x???????????zyz?F1??2F2??xyF1??F2??zxx??11?xxF1??yF2?F1??F2?yx； 方程兩邊對y求導 ??z??y?z??1?z??y??F????F1??1?2?2??0 ??yx?y??????zxz??F?FF??xyF2?122?zyy ??11?yxF1??yF2?F1??F2?yxzy)?F2?d(y?zx2； 解（2）方程兩邊取微分 F1?d(x?)?0)?F2?(dy?zy2F1?(dx?ydz?zdyyzx2xdz?zdxx2)?0 (?F1?? F2?)dx?(1yF1??1xF1??F2?)dy dz?F2??xyF1???yzF2?； 則 ?z?x?F1???1yF1??zx12F2??F2??xyF1??yzxxF1??yF2?F2?； ?z?xxxF1??yF2?dydxx 例6 設y?f(x,t)，t?t(x,y)由F(x,y,t)?0確定F,f可微，求。 解（1）對方程取微分 ?(1)?dy?fx?dx?ft?dt?????Fxdx?Fydy?Ftdt?0?(2)dy?fx?dxft??0 由（1）解得dt代入（2）得 Fx?dx?Fy?dy?Ft? 則 ?Fx??Ft?fx?/ft??Fx?ft??Ft?fx?dy?dx?dxFt????Ff?FytFy??ft?解（2） dy，即 dx??Fx?ft??Ft?fx?Fy?ft??F? y?f(x,t(x,y)) dy??t?tdy??fx??ft?????dx??x?ydx? dydxfx??ft??1?ft???t 而?x?tyx?t?x??Fx?Ft?； ?t?y?u?x22??Fy?Ft?，則 dydx??Fx?ft??Ft?fx?Fy?ft??F?2 ?y，? 例7 證明：當??y時，方程x2?2xy?u?x?y2?y2?u?y2?0可化成標準形式 ?u??22?0，其中u?u(x,y)二階偏導數連續。 證明：將u看成由u(?,?)，而???yx，??y復合成x,y的函數，u?u(?(x,y),?(y)) 則 ?u?x?2?u??????x2?u???u???u1?u?u?y??u??????????2?； ???x??y???y???y??x??22y??u1?u???2?2??； ?2?x?yx??x???x????? ?u?x222?u?y??uy???2??223???x???x?u21?u ?u22221??u1?u??u1?u?????1 ??222?yx???x?????????x??2則 x?u?x22?2xy?u?x?y2?y2?u??22???y2?u??22?0??u??22?0 小結 ① 顯函數（復合）二階混合偏導數 ② 隱函數求偏導，會用微分法，用復合法習題 1．z?f(u)，u由方程u??(u)? ?xyp(t)dt確定的x,y的函數，f,?可微，P,??連續，??(u)?1，求P(y)?z?x?P(x)?z?y （答案：0）（蔡 P146） 22．z?z(x,y)由z?e?xyz確定，求 ?z?x?y； 23．F(x?y,y?z)?1確定了隱函數z?z(x,y)，Fy?y(x),z?z(x)是由方程z?xf(x?y)和 具有連續二階偏導數求 ?z?y?x 4．設5．t6．zF(x,y,z)?0確定，f,F有連續偏導數，求 dzdx。 ?0，f可微且滿足 kf(tx,ty,tz)?tf(x,y,z)，證明 xfx??yfy??zfz??kf。 。?f(x,y)于(1,1)點可微，且f(1,1)?1，fx?(1,1)?23x?1。，fy?(1,1)?3。?(x)?f(x,f(x,x))求ddx[?(x)]?u?x?2y7．設變換??v?x?ay8．設可把方程6?z?x22??z?x?y2??z?yx22?0化簡為 ?z?u?v?z?x222?02，求常數a的值。（a＝3）。 f(u)u有連續二階導數，而?uz?f(esiny)滿足 ??z?y2?ez2x，求 f(u)。（f(u)?c1e?c2e） 6.2 偏導數應用 偏導數應用注意四個方面：空間曲面曲線切平面、法線、切線、法平面；方向導數；梯度、散度、旋度；極值與條件極值。 6.3.1 內容小結 1． 空間曲線切線與法平面 ?x?x(t)?1）?y?y(t) ?z?z(t)??切向量v?(xt?,yt?,zt?) 切線方程： x?x0xt??y?y0yt??z?z0zt? ?(x法平面方程：xt?x0)?yt?(y?y0)?zt?(z?z0)?0 ?x?x?y?y(x)???y?y(x)2）??z?z(x)?z?z(x)?切線方程： ?v??(1,y?,z?)類似的 x?x01?y?y0y??z?z0z? 法平面方程：x?x0?y?(y?y0)?z?(z?z0)?0 ??Fz?z??0??F(x,z,y)?0xx?Fx??Fy?y?3）????v?(1,y?,z?)xx???????G(x,y,z)?0?Gx?Gyyx?Gzzx?02． 空間曲面切平面與法線 ?1）F(x,y,z)?0,n?(Fx?,Fy?,Fz?)|P0切平面：Fx?|p0法線： (x?x0)?Fy?|p0(y?y0)?Fz?|p0(z?z0)?0x?x0Fx?|p0?y?y0Fy?|p0?z?z0Fz?|p0 ?2）z?f(x,y)?F?f(x,y)?z?n?(fx?,fy?,?1) 切平面：類似地 fx?(x?x0)?fy?(y?y0)?(z?z0)?0 法線：x?x0fx??y?y0fy??z?z0?1 ?x?x(u,v)?3）*?y?y(u,v) ?z?z(u,v)??（參數方程形式） ?切線 ?,yu?,zu?),v2?(xv?,yv?,zv?)v1?(xu??????i?xvj?yu?yv?n?v1?v2?xu??(y,z)?(z,x)?(x,y)????zu??(u,v),?(u,v),?(u,v)?????zvk 3． 方向導數 u?u(x,y,z)?u?l??u?xcos???u?ycos???u?zcos??gradu?l???（梯度在l方向投影） 4． 梯度、散度、旋度 ?????????，?? ??x?y?z???u?u?u??gradu??u??，????x?y?z?? ????divA??A??P?x??Q?y??R?z?? rotA???A?i??xPj??yQk??zR 6.3.2 例題 例1 求曲線x??t,y??t,z?t2?23上與平面x?2y?z?4平行的切線方程。 ????解 切向量?2?(1,?2t,3t)，n?(1,2,1)由??n，則??n?0，即，1?4t?3t?0?t1?1,t2??當t?1時 ??(1,?2,3),x1?1,y1??1,z1?1，切線方程為?13?x?11?y?1?2?z?13 當t時 ?2?(1,?21111,),x2?,y1??,z1?333927，x?切線方程為13?y??119?23z?13127 22??x?y?10例2 求空間曲線?22??x?z?10在點(3,1,1)處的切線方程和法平面方程。 解 22??x?y?10?22??x?z?10確定了 y?y(x),z?z(x)，對x求導??2x?2yy??0?2x?2zz??0x?3y?1?3，y???z????z?1?3 xyxz ?于 1法平面方程為x?3?3(y?1)?3(z?1)?0，即x?3y?3z?3?0 例3 求曲面x2M(3,1,1)點：y???3,z???3,v?(1,?3,?3)切線方程為 ??y?z?x的切平面。使之與平面x?y???22z2?2?垂直，同時也與x?y?z?2垂直。 ?解 切平面法向量n??(2x?1,2y,2z)，n1?(1,?1,?12)，n2?(1,?1,?1)，依題意 n1?n?0 ??既有2x ?1?2y?z?0 （1） （2）n2?n?0 2x?1?2y?12z?0 聯立（1）（2）和原方程 ?2?2x??4??2得解?y?4??z?0???2?2x??4??2，?y??4??z?0?? ? n01??2?2?22???，0?，n02???,?,0? ?2???222????切平面22(x?2?42)?22(y?24)?0 即 x?y?x?y?1?21?222 得 ?2?2?2?22?x???(y?)?0 ??2?424??x?2y?3z222即 例4 求u解 令 在(1,1,1)點沿x2?y?z?3的外法線方向的方向導數。 22222F(x,y,z)?x?y?z?3，Fx??2x,Fy??2y,Fz??2z?于P(1,1,1)點n?(2,2,2)，n?(??13,13,13) ?u?n??u?xcos???u?ycos???u?zcos?111?12???2x??4y?6z|??43?(1,1,1)3333??? 例5 設f(x,y)在?f?L3?|p0??f?x1??11??1?p0點可微，L1??，?,L2????2222????7。，?f?L1?1,?f?L2?0 ?試確定L3使52?f?ycos?1?1，?f?L2??f?xcos?2??f?ycos?2?0，則 解 ?f?L1cos?1? ??f??x????f???x12??f?y12?1??f?x?12?y,?f?12 1??f1??0?????y2?2?? 設L3?(cos?3,cos?3) 從而?f?L3??f?xcos?3?75?f?xcos?3?75235 即 1245cos?3? 此時cos12cos?3?45或cos752 cos?3?sin?3??，解得cos??3?或cos?3??3??3?35 ?34?即L3??,?55??例6 或L32?43???,? ?55?2 u?lnx?y?z2，求div2(gradu)。 解 div(gradu)???(?u)??u?12ln(x?y?z)222?u?x22??u?y222??u?z22。 u?，2?u?x22?xx?y?z222222，2222?u?x22?x?y?z?x?2x(x?y?z)??x?y?z222(x?y?z) 由對稱性 ?u?y22?x?y?z222222(x?y?z)2，?u?z22?x?y?z222222(x?y?z)2 從而 div(gradu)?1x?y?z222 例7 設a, b, c為常數，F證明(u,v)有連續一階偏導數。 證 x?ay?b,)?0上任一點切平面都通過某定點。z?cz?c11x?ay?b?，Fy??F2??，F???F??Fx??F1???F?z1222z?cz?c(z?c)(z?c)F（則切平面方程為 F1??取1z?c(X?x)?F2??1z?c(Y?y)?1(z?c)2?F?(x?a)?F2?(y?b)?(z?y)?0 x?a,Y?b,Z?c，則對任一的(x,y,z)點上式均滿足，即過任一點的切平面都過(a,b,c)點。 。(x?az,y?bz)?0上任一點切平面都通過某定直線平行（F具有連續偏導數） ?例8 設a,b為常數，證明曲面F證 ?Fx??F1?，Fy??F2?，Fz???aF1??bF2?，即n?(F1?,F2?,?aF1??bF2?)，????取l?(a,b,1)，則n?l?0，n?l，曲面平行l，取直線 x?x0a??y?y0b?z?z01，則曲面上任一點的切平面都與上述直線平行。例9 求二元函數u5方向導數最大？這個最大的方向導數值是多少？u沿那個方向減少得最快，沿哪個方向u的值不變？ 解 ?x?xy?y22在點M(?1,1)沿方向n?1(2,1)的方向導數，并指出u在該點沿哪個方向的gradu|(?1,1)?(2x?y,2y?x)|(?1,1)?(?3,3)，u?M在點M(?1,1)沿n?方向的方向導數為 ?u?n1?3?2??(gradu)?n|M?(?3,3)??,???5?5?5，方向導數取得最大值的方向為梯度方向，其最大值為為求使u變化的變化率為零的方向，令l ?gradu|M?32，u沿負梯度方向減少最快。 ?(cos?,sin?)，則，?u?l?u?lM?????(gradu|M)?l??3cos??3sin??32sin????4???4或?令?0，得??????4，故在點(?1,1)處沿???4和???4函數u得值不變化。 例10 一條鯊魚在發現血腥味時，總是沿血腥味最濃的方向追尋。在海上進行試驗表明，如果血源在海平面上，建立坐標系味：坐標原點在血源處，xOy2坐標面為海平面，Oz軸鉛直向下，則點(x,224y,z)處血源的濃度C（每百萬份水中所含血的份數）的近似值C?e?(x?y?2z)/10。 （1）求鯊魚從點?1,1,??1??（單位為海里）出發向血源前進的路線?2???的方程； （2）若鯊魚以40海里/小時的速度前進，鯊魚從?1,1,1??點出發需要用多少時間才能到達血源處？ 2?解（1）鯊魚追蹤最強的血腥味，所以每一瞬時它都將按血液濃度變化最快，即C的梯度方向前進。由梯度的計算公式，得 2224??C?C?C??4?(x?y?2z)/10?gradC??，?10e(?2x.?2y,?4z)????x?y?z?設曲線?的方程為x?x(t)，y?y(t)，z?z(t)，則?的切線向量??(dx,dy,dz)必與gradC平行，從而有 dx?2x?dy?2y?dz?4z 解初始值問題 dy?dx???2y??2x?y|?1?x?1dz?dx????2x?4z??z|?1x?1?2? 得 y?x 解初始值問題 得 z?12x2，所以所求曲線?的方程為 x?x，y?x，z? 12（2）曲線?的長度 x2(0?x?1)s??101?y??z?dx?xx?ln(3?1)??22?10?x2?xdx???22x?2?ln(x?2?x?1)? ?0?3212ln2（海里） 3?1)?1?。ln2?（小時） 2?因此到達血源處所用的時間為T6.4 多元函數的極值 1?3?ln(?40?2 一、無條件極值 限于二元函數z?f(x,y) 1． ??z?0???x?求駐點??z??0???y駐點P 2． 于駐點P處計算A??z?x22，B??z?x?y2，C??z?y22。B2?AC?0是極值點，A?0可取得極小值，A?0可取極大值。 3． 條件極值：??minu?f(x,y,z)?S.t.?(x,y,z)?0，令 L?f(x,y,z)???(x,y,z)求無條件極值。 例1 求內接于橢球面，且棱平行對稱軸的體積最大的長方體。 解 設橢球面方程為 xa22?yb22?zc22?1，長方體于第一卦限上的點的坐標為(x,y,z)，則 V?8xyz，s.t.xa 22?yb22?zc22?1，令 2?xa222?x2?yz? L?8xyz??????1?a2b2c2?????8yz?LxL??8xz?y??8xy?Lz及?0?(1)?0?(2)?0?(3)2?yb2?zc22xa22?yb22?zc22?1 由（1）（2）（3）得xa22?b3yb22?zc22?tc3，代入（3）得t?13，從而 x?a3，y?2，z2??2，此時V?8abc33?839abc。 例2 求由方程2x?2y?z?8xz?z?8?0所確定的二元函數z?f(x,y)的極值。解 方程兩邊對x,y求偏導數得： 4x?2z?z?x?8z?8x?z?x??z?x?0 ?（1） 4y?2z?z?y?8x?z?y??z?y?0 ?（2） ?4x?8z?016和原方程聯立得駐點(?2,0)，(,0)?0，得??x74y?0?y?方程（1）對x,y再求偏導，方程（2）對y求偏導 令?z?0，?z。 ?z?z?z?z?z??z?4?2??8?8?8x??0 ??2z222?x?x?x?x?x?x??2?z?z?y?x?2z22222?（3） ?z?x?y2?82?z?y?8x2?z?x?y22??z?x?y2?0 ?（4） ??z??z?z?z? 4?2??2z?8x??0 222??y??y?y?y??將駐點(?2,0)代入（此時z?1） ?（5） 4?2A?16A?A?0 A?C?415415 2B?16B?B?0 B?0 24?2C?16C?C?0 B?AC?0，z?1是極小值（因A>0） 將駐點?8?（4）（5）（此時z??,0?代入（3） 7?7??16），同上過程有 A?? 415，B?0，C??415，2B?AC?0，A?0，z??87是極大值。 習題： 1 設u?F(x,y,z)在條件?(x,y,z)?0和?(x,y,z)?0限制下，在P0(x0,y0,z0)處取得極值m??Fx???1??Lx??2???0xx 。證明F(x,y,z)?m，?(x,y,z)?0，?(x,y,z)?0在P0點法線共面。 正：L ?F(x,y,z)?m??1???2?L??Fy???1????2???0yyy ??Fz???1??Lz??2???0 zzFx???x??y??z??x???0y??zx?y?z?5r2222由于(1,?1,?2)?0，從而原方程有非零解，及系數矩陣為0Fy?Fz?，即三法向量共面。 2． 設f(x,y,z)?lnx?lny?3lnz。點 3(x,y,z)在第一卦限球面 3上，①求f(x,y,z)的最大值。②證明 對任意正數a,b,c成立abc ?a?b?c??27??5??。 習題課 y?e?例1 設f(x?y,lnx)??1?，求f(x,y)?yxxeln(x)??解 令x?y?u，lnx?v。 y?e?f(u,v)?f(x?y,lnx)??1??yxx?eln(x)? xx??x?yxueveu2v?ex?yxlnx?(x?y)ee2lnxx?ylnx 所以 f(x,y)?xeyex2y.例2 討論limxyx?y是否存在.x?0y?0 解 當點 P(x,y)沿直線y?kx趨向（0，0）時，limxyx?y2y?kxx?0?limx?kxx?kxx?0?limkx1?kx?0?0 (k??1)，當點P(x,y)沿直線y?x?xlim2xyx?y趨向（0，0）時，y?x?xx?0?lim2x(x?x)x?(x?x)22?lim(x?1)1y?x?xx?0x?0??1，所以limxyx?y不存在.x?0y?0 例3 ?22?(x?y)sinz?f(x,y)????0在（0，0）處是否連續？ 1x?y22(x?y?0)，22(x?y?0),22（1）（2）（3）（4）fx(0,0),fy(0,0)是否存在？ 偏導數fx(x,y),fy(x,y)在（0，0）處是否連續？ f(x,y)在（0，0）處是否可微？ f(x,y)在（0，0）處是否連續，只要看limf(x,y)＝f(0,0)是否成立.因為 x?0y?0解 （1）函數 limf(x,y)?lim(x?y)sinx?0y?0221x?y22 x?0y?0 ?lim?sin??021??0?f(0,0).所以 f(x,y)在（0，0）處連續.（2）如同一元函數一樣，分段函數在分界點處的偏導數應按定義來求.因為 (?x)sin?x?021(?x)?x1(?x)22?0 limf(?x,0)?f(0,0)?x?lim?x?0?lim?xsin?x?0?0,所以 (3)fx(0,0)?0，類似地可求得fy(0,0)?0.當(x,y)?(0,0)時 fx(x,y)?2xsin 1x?y1x?y2222?(x?y)cosxx?y22221x?y22?1????2?22x?x2?y23????? ?2xsin?cos1x?y2.因為 ?limfx(x,y)?lim?2xsinx?0x?0?y?0y?0?1x?y22?xx?y22cos??不存在.22x?y??1所以 fx(x,y)在（0，0）處不連續。同理fy(x,y)在（0，0）處也不連續 （4）由于由fx(x,y),fy(x,y)在（0，0）處不連續，所以只能按定義判別f(x,y)在（0，0）處是否可微.fx(0,0)?0，fy(0,0)?0，故 ?x?0?y?0lim?z?[fx(0,0)?x?fy(0,0)?y](?x)?(?y)222 [(?x)?(?y)]sin?lim?x?0?y?02221(?x)?(?y)22?0(?x)?(?y)(?x)?(?y)sin122 ?lim1(?x)?(?y)22 ?x?0?y?0?lim?sin?x?0?y?0??0由全微分定義知f(x,y)在（0，0）處可微，且df(0,0)?0.?f(x,y,z)，z?g(x,y)，y?h(x,t)，t 例4 設u??(x)，求 dudx.解 對于復合函數求導來說，最主要的是搞清變量之間的關系.哪些是自變量，哪些是中間變量，可借助于“樹圖”來分析.圖9－1 由上圖可見，u最終是x的函數，y，z，t都是中間變量.所以 dudx???f?x?f?x???f??h?hd???f??g?g??h?hd??????????y??x?tdx??z??x?y??x?tdx?f?h?y?x??f?hd??y?tdx??f?g?z?x??f?g?h?z?y?x???????.?f?g?hd??z?y?tdx 從最后結論可以看出:若對x求導數(或求偏導數),有幾條線通到”樹梢”上的x,結果中就應有幾項,而每一項又都是一條線上的函數對變量的導數或偏導數的乘積.簡言之,按線相乘,分線相加 例5 z?1?2x??f?x???y??1f2，f 可導，求zx.解 zx???1???f???2x???.y?? 例6 已知y?ety?x，而t是由方程y?t?x?1確定的x，y的函數，求 ty222dydx.解 將兩個方程對x求導數，得 y??e(t?y?y?t)?12yy??2tt??2x?0 解方程可得 2dydx?t?xye2ty2tyt?(y?t)e.例7 求曲面x?2y?3z?21平行于平面x?4y?6z?0的切平面方程.解 曲面在點(x,y,z)的法向量為 n ＝(Fx,Fy,Fz)?(2x,4y,6z)，2x14y42已知平面的法向量為n1＝(1，4，6),因為切平面與已知平面平行，所以n//n1,從而有 ??6z6（1） 又因為點在曲面上，應滿足曲面方程 x?2y?3z?212 （2） 由（1）、（2）解得切點為(1,2,2)及(?1,?2,?2), 所求切平面方程為： 或(x?1)?4(y?2)?6(z?2)?0(x?1)?4(y?2)?6(z?2)?012,1,1)。 這里特別要指出的是不要將n//n1不經意的寫成n=n1,從而得出切點為(例8 在橢球面2x222的錯誤結論.222?2y?z?1上求一點，使函數f(x,y,z)?x?y?zel在該點沿l＝(1,–1,0)方向的方向導數最大.1?1???,?,0?，2??2所以 ?f?l ??f?x?12??f?y12??f?z2?0 2(x?y)2(x?y)在條件2x由題意，要考查函數 ?2y?z?1下的最大值，為此構造拉格朗日函數 222F(x,y,z)?2(x?y)??(2x?2y?z?1)，14 ?Fx?2?4?x?0,??Fy??2?4?y?0, ??Fz?2?z?0,?222?2x?2y?z?1.解得可能取極值的點為 1??1,?,0? ?2??2 及 ?11???，0?.?22??2，因為所要求的最大值一定存在，比較 ?f?l1??1?,?,0?22???f?l?11???，0??22?2??2知??1?2,?1?,0?2?為所求的點.例9 求函數z?x?y222在圓(x2?2)?(y?22)?9上的最大值與最小值.?0,zy?0，解得點(0,0).顯然z(0,0)=0為最小值.解 先求函數z再求z2?x?y2在圓內的可能極值點.為此令zx?x?y在圓上的最大、最小值.為此做拉格朗日函數 22F(x,y)?x?y??[(x?2)?(y?22)?9]，2?Fx?2x?2?(x?2)?0,???Fy?2y?2?(y?2)?0,?22(x?2)?(y?2)?9.??，代入（3）解得 (1)(2)(3)由（1）、（2）可知x?y x?y?522，和 x?y??22，?5252z?,?22????25???22???1.z??,??22???2)?(y?2?5252,?22?為z?25，最小值為z?0.比較z(0,0)、z? ??22??、z???三值可知：在(x?,??22????2)?92上，最大值第二篇：02 第二節 多元函數的基本概念
第三篇：多元函數
第四篇：多元函數微分學
第五篇：多元函數微分學復習
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