第一篇：華東師大2006數學分析考研真題
華東師范大學2006年攻讀碩士學位研究生入學試題
考試科目：數學分析
一（30）判別題（正確證明，錯誤舉反例或說理由）
1.設數列{an}滿足條件：???0,?N,使?n?N,|an?aN|??,，則{an}收斂。
2.設f(x)在(a,b)上可導。若
f'(x)在(a,b)上有界，則f(x)在(a,b)上有界.an3.設正數列{an}滿足條件limn??b?0則?(?1)nan收斂。
n?1?4.設f(x)在[a,b]上可積，且?f(x)dx?0，則存在[c,d]?[a,b]，a使得:?x?[c,d],5.設f(x,y)在(x0,f(x)?0.y0)的某鄰域內連續，且在
(x0,y0)處有偏導數fx(x0,y0),fy(x0,y0),則
f(x,y)在(x0,y0)處可微.二.計算題（30分）6.求limn??nan?bn,其中0?a?b.7.求f(x)?
8.求
?x01?costdt的麥克勞林級數展開式。t?10x2ln2xdx.)?9.設z?f(u),方程u??(u?yxP(t定)d義t了隱函數
''u?u(x,y)，其中f(u),?(u)可微，P(t),?(u)連續，且?(u)?1 1 求P(y)
10.求?z?z?P(x).?x?y???(y2?z2)ds,其中??{(x,y,z):x2?y2?z2?1}
三.證明題（90分）11.設??0,f(x)在(??,?)上具有連續的二階導函數
?f'(0),x?0f''(x),f(0)?0.若g(x)??,求證：g(x)在(??,?)上有?f(x),x?0??x連續的導函數.12.設fn(x)是[0,1]上連續函數，且在[0,1]上一致收斂于f(x),求證：
lim?n??1?1n0fn(x)dx??10f(x)dx.limf(n?)?0.求證：13.設f(x)在[0,??)上一致連續，且???0，n??x???limf(x)?0.14.設f(x)在[0,??)上連續有界，求證：
n???limn?n0|f(x)|ndx?sup?|f(x)|:x?[0,??]?
15.設f(x,y,z)是定義在開區域D上的有連續的偏導數的三元函數，且?(x,y,z)?D，fx2(x,y,z)?fy2(x,y,z)?fz2(x,y,z)?0,S是由f(x,y,z?)0定義的封閉的光滑曲面。若P,Q?S,且P與Q之間的距離是S中任意兩點之間距離的最大值,求證：過P的S的切平面與過Q的S的切平面互相平行，且垂直于過P與Q的連線.4
6
第二篇：2001四川大學數學分析考研真題
四川大學2001年攻讀碩士學位研究生入學考試題
一、求極限（每小題8分，共16分）1p?3p???(2n?1)p
1.limn??np?1222lim(????)（其中p是自然數）2.n??n?111 n?n?2n1n2nnn
二、（第一小題5分，第二小題10分，共15分）
1.敘述實數R上的區間套定定理和確界原理；2.用區間套定定理證明確界原理
三、（第一小題10分，第二小題5分，共15分）設
證明:1.對任意x?[a,b]，f(x)在[a,b]上有連續的二階導數且f(a)?f(b)?0，f(x)1b?f''(x)?a(x?a)(x?b)b?a
b4maxf(x)??f''(x)2.axb?a?[a,b]
四、（每小題7分，共14分）
????cos?x1?y(1?x2)??edy，計算?dx.1.利用公式22001?x1?x
2.求0???xsin?x 21?x
五、（10分）證明：若f(x)在R上非恒為零，存在任意階導數，且對任意的x?R，有f(n)(x)?f(n?1)(x)?1
n2，則limn??f(n)(x)?Cex，其中C是常數。
xn?ynx?yn?()
六、（10分）若n?1及x?0，y?0，證明不等式：22
xn
七、（10分）求級數? n(n?1)n?1?
八、（10分）計算曲面積分??Sxzdydz?(x2?z)ydzdx?x2zdxdy，其中S是旋轉拋物面
x2?y2?a2z（a?0）取0?z?1部分，下側為正.
第三篇：湖南大學2011年考研數學分析真題
2011年數學分析真題
limxn存在，且?為1.xn??0,1?,x0?p,xn?1?p??sinxn,?n?0,1,2...?,證明：??n??
方程xsinx?p的唯一根。
2.f?x?在?0,1?上連續，f?1??0，證明:?1??xn?在?0,1?上不一致收斂；?2??f?x?xn? 在?0,1?上一致收斂。
??1?23． 已知?2?求?0In?1?e?x?dx。6n?1n?
4．函數f?x?，g?x?在?a,b?上黎曼可積，?ag?x?dx?1,g?x??0,且????x??0,證明：
??f?x??dx????ag?x?f?x?dx????ag?x???bbb
5．求f?y???0??1?e?xy,y>-2.2xxe
6.函數f(?,?)的所有二階偏導數都連續，并且滿足拉普拉斯方程?2f?2f??0，22????
?2z?2z證明函數z?f(x?y,2xy)也滿足拉普拉斯方程2?2?0。?x?y22
7.計算曲面積分??(6x2?4yx2?z)ds，S為單位球面x2?y2?z2?1。
S
8.設f(x)在?0,1?上黎曼可積，在x?1可導，f(1)?0,f'(1)?a，證明：limnn??2?10xnf(x)dx??a。
9.已知a?b?c，且x??0.a?,y??0,b?,z??0,c?，又設f(x,y,z)?min(x,y,z)，計算?0?0?0f(x,y,z)dzdydx。
abc
第四篇：2010數學分析考研真題答案
2010年碩士研究生入學考試試題答案及評分標準
一、（12分）按數列極限定義證明：lim
證明：2n2?n3?1n22n?0.n??n3?1考試科目代碼：636考試科目名稱：數學分析————4分任給??0,要22n??,只要,即只要n???n2n3?1————10分
取N2n2nn?Nlim?0.————12分 ?,則當時, ,所以, ??33n??n?1n?
1二、（14分）若f(x)在點x0連續，證明f2(x)也在點x0連續.證明：設f(x)在點x0連續,則?0???1,???0,?x?x0??, f(x)?f(0x)??,————4分 f(x?)f0x?————20(x?)1fx()8分 ,同時f(x)?f(0x)?
于是f2(x)?f2(x0)??1?2f(x0)??.————12分 所以f2(x)在點x0連續.————14分
三、（14分）證明f(x)?ax?b(a?0)在(??,??)上一致連續.證明：?x,x?????,???,f(x)?f(x?)?ax?x?,————4分
???0,取???a,當x?x???時,就有f(x)?f(x?)??,————12分所以f(x)?ax?b(a?0)在(??,??)上一致連續.————14分
四、（16分）設f(x)在[0,1]上可導且導函數連續.證明：
limn?xnf(x)dx?f(1).n??0
1第1頁（共5頁）
證明：由于f?(x)在[0,1]上連續,因此存在M?maxf?(x)————2分
0?x?1
?xn?1?11n?1n
f(x)??xf?(x)dx ?0xf(x)dx???0n?1n?1??0
111n?1
f(x)?xf?(x)dx,————8分??0n?1n?1
又因
11M
?0,————12分?xn?1f?(x)dx?M?xn?1dx?
00n?
2所以
11n?n
f(1)??xn?1f?(x)dx??f(1)————16分limn?xf(x)dx?lim
?00n??n??n?1???
五、（16分）證明級數?
sinnx
在區間(0,?)內條件收斂.nn?
1?
sinnxsin2nx1?cos2nx1cos2nx
證明：,————4分 ????
nn2n2n2n
?n??1?
由于數列??單調趨于零,且部分和數列??cos2kx?有界,?2n??k?1?
由Dirichlet判別法知,?
?
cos2nx
收斂,————10分 2nn?1
?
?
sinnx1
又?發散,所以級數?在區間(0,?)內發散————13分
nn?1n?12n
原級數收斂性顯然,因此原級數在區間(0,?)內條件收斂.————16分
六、（14分）證明函數序列sn(x)?(1?x)xn在[0,1]上一致收斂.證明：?sn(x)?在[0,1]上收斂于s(x)?0，由
sn(x)?s()??1??xn, x————5分
n?n?
1?及?(1?xx)?xx???n??n??1?, ??
n
易知sn(x)?s(x)在x?取到最大值，從而————10分
n?1
n??n?1??1?
d?sn,s???1?????n??1?n??0?n?0?.n?1n?1??????
所以, 函數序列sn(x)?(1?x)xn在[0,1]上一致收斂.————14分
nn
?u?x?y
?
七、（16分）通過自變量變換?11,變換方程
?v?x?y?
2?2z?22?z2zx?(x?y)?y?0.?x2?x?y?y2
解：
?z?z1?z?z?z1?z
??2,??,————3分 ?x?ux?v?y?uy2?v
?2z?2z2?2z1?2z2?z
????,————6分 ?x2?u2x2?u?vx4?v2x3?v
?2z?2z2?2z1?2z2?z
?2?2?42?3,————9分 2
?y?uy?u?vy?vy?v?2z?2z?11??2z1?2z,————12分 ??????
?x?y?u2?x2y2??u?vx2y2?v2
代入原方程,得
?x
注意到v?
?y
?
x2y2
?11??z?2z
?2????0,?u?v?xy??v
u11x?yu
???,即xy?,于是就有
vxyxyxy
?x
?y
x2y2
???x?y?x?y
??xy
?11?2
??????x?y??4xy?
??xy??
u??
?v2?u2?4??uv?uv?4?.v??
從而得變換后的方程
?2z2?z
.————16分 ?
?u?vu4?uv?v
?x2?y2?z2?2az,若從z軸的正向
八、（16分）計算?ydx?zdy?xdz,其中L為曲線?
L
?x?z?a(a?0)
看去，L的方向為逆時針方向.解：設?是L所圍的平面x?z?a?a?0?的部分，方向由右手法則確定（即取上側）.?上任一點的單位法向量?
cos?,cos?,cos???,————6分
由Stokes公式,?
L
ydx?zd?y
co?s
?
x?d??z
??x
yco?s??yzcos?
dS————13分
?zx
?dS?a2.————16分
?
九、（16分）設D是兩條直線y?x,y?4x和兩條雙曲線xy?1,xy?4所圍成的區域,F(u)是具有連續導數的一元函數,記f(u)?F?(u).證明
4F(xy)
dy?ln2?f(u)du,??D1y
其中?D的方向為逆時針方向.證明：由Green公式,得?
F(xy)
dy???f?xy?dxdy————4分
?DDy
y,則此變換將區域D變為 x
作變換u?xy,v?,vDuv???u————9分 ?1?u?4,1?v??
4變換的Jacobi行列式為J?
??x,y?
1?,于是————11分
?u,v2v
f?u?F(xy)
dy?fxydxdy?????Dy??D??D2vdudv
uv
??f?u?du?
?ln2?f?u?du
12v
所以
4F(xy)
?dy?ln2?f(u)du.————16分
?D1y
十、（16分）證明含參變量積分I??
??0
e?tcos2xtdt滿足方程
dI
?2xI?0.dx
證明：記 f?x,t??e?tcos2xt，則 fx?x,t???2te?tsin2xt.這時有————2分
fx?x,t???2te?tsin2xt?2te?t,???x???,0?t???,而反常積分I??
??0
te?tdt收斂,由Weierstrass判別法,?
??0
fx?x,t?dx??2?
??0
te?tsin2xtdt
關于x在???,???上一致收斂.應用積分號下求導定理,得到————8分
??dI
??2?te?tsin2xtdt?e?tsin2xt
0dx
??
?2x?
??0
e?tcos2xtdt
??2xI.————14分
所以
dI
?2xI?0.————16分dx
第五篇：上海大學數學分析2013考研真題
上海大學2013年碩士研究生入學考試數學分析 一：計算題（共7題，75分）
1?x2?xsin?1；設函數f(x)??2x?0?x?0x?0,求f?(x)并討論一下f??(0)的存在性。
（7分）
2.計算：I?n（7分）n3.計算：?（復旦版106頁原題）（7分）(n?1)!i?1
4.求f(x,y)?x2?y2在x?y?1的條件極值（10分）
5.已知公式F?km1m2為兩個物體之間吸引力大小的計算公式，現在有2r
一水平圓形導線L：x2?y2?R2，圓心為O點，半徑為R，導線的密
R處有一質量為1的質點，求導度函數為?(x,y)?在A(0,0,)
線L對質點A的引力。（15分）
2226.求：??yzdzdx，S為球面x?y?z?1的上半部分，取外側為正方向。
S
（15分）
7.：（1）試計算2x2?3y2?z2?9在點A(1,?1,2)處的法向量n1。
（2）試計算3x2?y2?z2?0在點A(1,?1,2)處的法向量n2。
?2x2?3y2?z2?9（3）試計算曲線?222在點A(1,?1,2)處的切向量。（14分）?3x?y?z?0
二．證明題（共五題，每題15分）
1.設A,B都是非空有界數集，定義數集A?B??zz?x?y,x?A,y?B?，證明：sup(A?B)?supA?supB.22.證明y?x在?1,???上不一致收斂。
3.已知f(x)在區間?a,b?內有連續導函數，定義二元函數
?f(x)?f(y)?x?yF(x,y)???f?(x)?x?yx?y，證明F(x,y)在區域D??a,b???a,b?內連續。
4.二元函數f(x,y)在閉區域D??a,b???c,d?上連續，用有限覆蓋定理證明f(x,y)在D上有界。
5.f(x,y)
1x為1連x續函數且f(x,y)?f(y,x)，證明
?dx?f(x,y)dy??dx?f(1?x,1?y)dy 0000
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