第一篇：2015年中國石油大學華東考研真題704(數學分析)考試大綱

2015年碩士研究生入學考試大綱 考試科目名稱：數學分析

一、考試要求：

1.極限與連續(xù)：

①.掌握數列極限和函數極限的基本理論與性質，會用極限的定義與性質證明或計算一般極限方面的命題．

②.掌握函數連續(xù)性定義與性質，會用函數連續(xù)性定義與性質證明相關的命題和結論．

③.了解實數的基本定理，會用實數的基本定理證明相關的命題和結論．

2.一元函數微積分及其應用：

①.掌握一元函數微分學的基本理論與性質，會用導數的定義與性質討論或 證明相關的命題和結論．掌握一元函數常見的求導方法，會求一元函數各階導數．

②.掌握導數與微分中值定理及其應用，會用微分中值定理證明相關的命題 和結論．會用導數與微分的基本性質討論函數的單調性，凹凸性，極值．掌握羅比塔法則，會利用羅比塔法則計算或討論相關的命題和結論．

③.掌握原函數、不定積分、定積分的概念與性質，掌握常見的不定積分 與定積分計算方法，掌握變上限定積分定義的函數及其求導方法，掌握牛頓－萊布尼茲公式.④.會利用定積分表達或計算一些幾何量與物理量，如平面圖形的面積、平面曲線的弧長、旋轉體的體積及表面積、質心、變力做功、壓力等．

3.多元函數微積分學：

①.掌握多元函數的極限和連續(xù)的基本理論與性質，偏導數和全微分，鏈式法則，隱函數存在定理及隱函數求導法則，極值和條件極值．

②.掌握二重積分、三重積分、曲線積分、曲面積分的概念與性質，掌握格林公式、高斯公式、斯托克司公式，會利用有關的性質與公式計算或證明相關的命題和結論．會利用重積分、曲線積分表達或計算一些幾何量與物理量，空間曲線的弧長、立體的體積、質心、引力等． 4.級數理論與廣義積分：

①.掌握數項級數、函數項級數、冪級數、傅里葉級數的基本理論與性質，掌握函數項級數、冪級數、傅里葉級數的各種收斂理論與性質，會利用常見的判別方法判斷各類級數的斂散性，會利用常見冪級數、傅里葉級數計算數項級數的和．

②.掌握一元函數的廣義積分的基本理論與性質，會利用常見的判別方法討論無窮限廣義積分，無界函數廣義積分，含參變量的廣義積分的斂散性．

③.理解廣義重積分的基本理論與性質，會計算簡單的廣義重積分．

二、考試內容：

1）極限與連續(xù)：

a: 數列極限、函數極限的定義與性質，利用定義與性質證明或計算一般極限方面的命題．

b:函數連續(xù)、一致連續(xù)的定義與性質，利用定義與性質證明或計算一般極限方面的命題．

c: 實數基本定理，閉區(qū)間上函數連續(xù)的性質及其應用． 2)一元函數微積分及其應用：

a: 一元函數各階導數的定義與性質，導數與微分中值定理及其應用：微分中值定理，泰勒公式，函數的單調性，凹凸性，極值，羅比塔法則．利用有關定義微分學的基本理論與性質，討論或證明相關的命題和結論

b: 一元函數積分及其應用：不定積分，定積分，平面圖形的面積，曲線的長，旋轉體的體積及表面積、質心．

c: 原函數、不定積分、定積分的概念與性質，不定積分與定積分計算方法，變上限定積分定義的函數及其求導.利用有關定義微分學的基本理論與性質，討論或證明相關的命題和結論

3)多元函數微積分學：

a: 多元函數的極限和連續(xù)的基本理論與性質，偏導數和全微分，鏈式法則，隱函數存在定理及隱函數求導法則，極值和條件極值．利用有關定義、基本理論與性質，討論或證明相關的命題和結論． b: 二重積分、三重積分、曲線積分，曲面積分的定義與性質，格林公式，高斯公式.利用有關定義、基本理論與性質，討論或證明相關的命題和結論．

c: 計算多元函數的偏導數和全微分、二重積分、三重積分、曲線積分，曲面積分．

4)級數理論與廣義積分：

a: 數項級數、函數項級數、冪級數、傅里葉級數的基本理論與性質，數項級數、函數項級數、冪級數、傅里葉級數斂散性的判別.利用有關定義、基本理論與性質，討論或證明相關的命題和結論．

b: 冪級數的收斂域，將函數展成冪級數或傅里葉級數，計算數項級數的和． c: 一元函數的廣義積分與廣義重積分的基本理論與性質，判別廣義積分的斂散性．利用有關定義、基本理論與性質，討論或證明相關的命題和結論．計算一元函數的廣義積分與簡單的廣義重積分．討論含參變量的廣義積分的性質．

三、試卷結構：

a)考試時間：180分鐘，滿分：150分 b)題型結構

a:基本概念與理論（含填空、選擇與判斷題）(約40分)b:證明題(約60分)c:計算題(約50分)石油大學華東專業(yè)課考研復習資料聯(lián)系扣扣2410194465

四、參考書目

1.《數學分析》（上、下冊），復旦大學數學系：陳傳璋，金福臨，朱學炎，歐陽光中編，高等教育出版社，2004年7月，第二版．

2.《數學分析》（上、下冊），郭大鈞，陳玉妹，裘卓明編著，山東科技出版社，2002年8月，第二版．

負責人：

；聯(lián)系電話：

教學秘書：

；聯(lián)系電話：

計算數學系

2013-9-23

第二篇：華東師大2006數學分析考研真題

華東師范大學2006年攻讀碩士學位研究生入學試題

考試科目：數學分析

一（30）判別題（正確證明，錯誤舉反例或說理由）

1.設數列{an}滿足條件：???0,?N,使?n?N,|an?aN|??,，則{an}收斂。

2.設f(x)在(a,b)上可導。若

f'(x)在(a,b)上有界，則f(x)在(a,b)上有界.an3.設正數列{an}滿足條件limn??b?0則?(?1)nan收斂。

n?1?4.設f(x)在[a,b]上可積，且?f(x)dx?0，則存在[c,d]?[a,b]，a使得:?x?[c,d],5.設f(x,y)在(x0,f(x)?0.y0)的某鄰域內連續(xù)，且在

(x0,y0)處有偏導數fx(x0,y0),fy(x0,y0),則

f(x,y)在(x0,y0)處可微.二.計算題（30分）6.求limn??nan?bn,其中0?a?b.7.求f(x)?

8.求

?x01?costdt的麥克勞林級數展開式。t?10x2ln2xdx.)?9.設z?f(u),方程u??(u?yxP(t定)d義t了隱函數

''u?u(x,y)，其中f(u),?(u)可微，P(t),?(u)連續(xù)，且?(u)?1 1 求P(y)

10.求?z?z?P(x).?x?y???(y2?z2)ds,其中??{(x,y,z):x2?y2?z2?1}

三.證明題（90分）11.設??0,f(x)在(??,?)上具有連續(xù)的二階導函數

?f'(0),x?0f''(x),f(0)?0.若g(x)??,求證：g(x)在(??,?)上有?f(x),x?0??x連續(xù)的導函數.12.設fn(x)是[0,1]上連續(xù)函數，且在[0,1]上一致收斂于f(x),求證：

lim?n??1?1n0fn(x)dx??10f(x)dx.limf(n?)?0.求證：13.設f(x)在[0,??)上一致連續(xù)，且???0，n??x???limf(x)?0.14.設f(x)在[0,??)上連續(xù)有界，求證：

n???limn?n0|f(x)|ndx?sup?|f(x)|:x?[0,??]?

15.設f(x,y,z)是定義在開區(qū)域D上的有連續(xù)的偏導數的三元函數，且?(x,y,z)?D，fx2(x,y,z)?fy2(x,y,z)?fz2(x,y,z)?0,S是由f(x,y,z?)0定義的封閉的光滑曲面。若P,Q?S,且P與Q之間的距離是S中任意兩點之間距離的最大值,求證：過P的S的切平面與過Q的S的切平面互相平行，且垂直于過P與Q的連線.4

6

第三篇：2010數學分析考研真題答案

2010年碩士研究生入學考試試題答案及評分標準

一、（12分）按數列極限定義證明：lim

證明：2n2?n3?1n22n?0.n??n3?1考試科目代碼：636考試科目名稱：數學分析————4分任給??0,要22n??,只要,即只要n???n2n3?1————10分

取N2n2nn?Nlim?0.————12分 ?,則當時, ,所以, ??33n??n?1n?

1二、（14分）若f(x)在點x0連續(xù)，證明f2(x)也在點x0連續(xù).證明：設f(x)在點x0連續(xù),則?0???1,???0,?x?x0??, f(x)?f(0x)??,————4分 f(x?)f0x?————20(x?)1fx()8分 ,同時f(x)?f(0x)?

于是f2(x)?f2(x0)??1?2f(x0)??.————12分 所以f2(x)在點x0連續(xù).————14分

三、（14分）證明f(x)?ax?b(a?0)在(??,??)上一致連續(xù).證明：?x,x?????,???,f(x)?f(x?)?ax?x?,————4分

???0,取???a,當x?x???時,就有f(x)?f(x?)??,————12分所以f(x)?ax?b(a?0)在(??,??)上一致連續(xù).————14分

四、（16分）設f(x)在[0,1]上可導且導函數連續(xù).證明：

limn?xnf(x)dx?f(1).n??0

1第1頁（共5頁）

證明：由于f?(x)在[0,1]上連續(xù),因此存在M?maxf?(x)————2分

0?x?1

?xn?1?11n?1n

f(x)??xf?(x)dx ?0xf(x)dx???0n?1n?1??0

111n?1

f(x)?xf?(x)dx,————8分??0n?1n?1

又因

11M

?0,————12分?xn?1f?(x)dx?M?xn?1dx?

00n?

2所以

11n?n

f(1)??xn?1f?(x)dx??f(1)————16分limn?xf(x)dx?lim

?00n??n??n?1???

五、（16分）證明級數?

sinnx

在區(qū)間(0,?)內條件收斂.nn?

1?

sinnxsin2nx1?cos2nx1cos2nx

證明：,————4分 ????

nn2n2n2n

?n??1?

由于數列??單調趨于零,且部分和數列??cos2kx?有界,?2n??k?1?

由Dirichlet判別法知,?

?

cos2nx

收斂,————10分 2nn?1

?

?

sinnx1

又?發(fā)散,所以級數?在區(qū)間(0,?)內發(fā)散————13分

nn?1n?12n

原級數收斂性顯然,因此原級數在區(qū)間(0,?)內條件收斂.————16分

六、（14分）證明函數序列sn(x)?(1?x)xn在[0,1]上一致收斂.證明：?sn(x)?在[0,1]上收斂于s(x)?0，由

sn(x)?s()??1??xn, x————5分

n?n?

1?及?(1?xx)?xx???n??n??1?, ??

n

易知sn(x)?s(x)在x?取到最大值，從而————10分

n?1

n??n?1??1?

d?sn,s???1?????n??1?n??0?n?0?.n?1n?1??????

所以, 函數序列sn(x)?(1?x)xn在[0,1]上一致收斂.————14分

nn

?u?x?y

?

七、（16分）通過自變量變換?11,變換方程

?v?x?y?

2?2z?22?z2zx?(x?y)?y?0.?x2?x?y?y2

解：

?z?z1?z?z?z1?z

??2,??,————3分 ?x?ux?v?y?uy2?v

?2z?2z2?2z1?2z2?z

????,————6分 ?x2?u2x2?u?vx4?v2x3?v

?2z?2z2?2z1?2z2?z

?2?2?42?3,————9分 2

?y?uy?u?vy?vy?v?2z?2z?11??2z1?2z,————12分 ??????

?x?y?u2?x2y2??u?vx2y2?v2

代入原方程,得

?x

注意到v?

?y

?

x2y2

?11??z?2z

?2????0,?u?v?xy??v

u11x?yu

???,即xy?,于是就有

vxyxyxy

?x

?y

x2y2

???x?y?x?y

??xy

?11?2

??????x?y??4xy?

??xy??

u??

?v2?u2?4??uv?uv?4?.v??

從而得變換后的方程

?2z2?z

.————16分 ?

?u?vu4?uv?v

?x2?y2?z2?2az,若從z軸的正向

八、（16分）計算?ydx?zdy?xdz,其中L為曲線?

L

?x?z?a(a?0)

看去，L的方向為逆時針方向.解：設?是L所圍的平面x?z?a?a?0?的部分，方向由右手法則確定（即取上側）.?上任一點的單位法向量?

cos?,cos?,cos???,————6分

由Stokes公式,?

L

ydx?zd?y

co?s

?

x?d??z

??x

yco?s??yzcos?

dS————13分

?zx

?dS?a2.————16分

?

九、（16分）設D是兩條直線y?x,y?4x和兩條雙曲線xy?1,xy?4所圍成的區(qū)域,F(u)是具有連續(xù)導數的一元函數,記f(u)?F?(u).證明

4F(xy)

dy?ln2?f(u)du,??D1y

其中?D的方向為逆時針方向.證明：由Green公式,得?

F(xy)

dy???f?xy?dxdy————4分

?DDy

y,則此變換將區(qū)域D變?yōu)?x

作變換u?xy,v?,vDuv???u————9分 ?1?u?4,1?v??

4變換的Jacobi行列式為J?

??x,y?

1?,于是————11分

?u,v2v

f?u?F(xy)

dy?fxydxdy?????Dy??D??D2vdudv

uv

??f?u?du?

?ln2?f?u?du

12v

所以

4F(xy)

?dy?ln2?f(u)du.————16分

?D1y

十、（16分）證明含參變量積分I??

??0

e?tcos2xtdt滿足方程

dI

?2xI?0.dx

證明：記 f?x,t??e?tcos2xt，則 fx?x,t???2te?tsin2xt.這時有————2分

fx?x,t???2te?tsin2xt?2te?t,???x???,0?t???,而反常積分I??

??0

te?tdt收斂,由Weierstrass判別法,?

??0

fx?x,t?dx??2?

??0

te?tsin2xtdt

關于x在???,???上一致收斂.應用積分號下求導定理,得到————8分

??dI

??2?te?tsin2xtdt?e?tsin2xt

0dx

??

?2x?

??0

e?tcos2xtdt

??2xI.————14分

所以

dI

?2xI?0.————16分dx

第四篇：2001四川大學數學分析考研真題

四川大學2001年攻讀碩士學位研究生入學考試題

一、求極限（每小題8分，共16分）1p?3p???(2n?1)p

1.limn??np?1222lim(????)（其中p是自然數）2.n??n?111 n?n?2n1n2nnn

二、（第一小題5分，第二小題10分，共15分）

1.敘述實數R上的區(qū)間套定定理和確界原理；2.用區(qū)間套定定理證明確界原理

三、（第一小題10分，第二小題5分，共15分）設

證明:1.對任意x?[a,b]，f(x)在[a,b]上有連續(xù)的二階導數且f(a)?f(b)?0，f(x)1b?f''(x)?a(x?a)(x?b)b?a

b4maxf(x)??f''(x)2.axb?a?[a,b]

四、（每小題7分，共14分）

????cos?x1?y(1?x2)??edy，計算?dx.1.利用公式22001?x1?x

2.求0???xsin?x 21?x

五、（10分）證明：若f(x)在R上非恒為零，存在任意階導數，且對任意的x?R，有f(n)(x)?f(n?1)(x)?1

n2，則limn??f(n)(x)?Cex，其中C是常數。

xn?ynx?yn?()

六、（10分）若n?1及x?0，y?0，證明不等式：22

xn

七、（10分）求級數? n(n?1)n?1?

八、（10分）計算曲面積分??Sxzdydz?(x2?z)ydzdx?x2zdxdy，其中S是旋轉拋物面

x2?y2?a2z（a?0）取0?z?1部分，下側為正.

第五篇：中國石油大學(華東)2014年碩士研究生入學物理化學考試大綱

中國石油大學（華東）

2014年碩士研究生入學考試大綱

考試科目名稱：物理化學考試時間：180分鐘，滿分：150分

一、考試要求：

閉卷考試，書寫規(guī)范、工整，所有答案均寫在答題紙上，否則無效。

二、考試內容：

1．氣體p-V-T性質：

（1）： 理解理想氣體模型、實際氣體和理想氣體p-V-T性質的差別。

（2）： 掌握理想氣體狀態(tài)方程、范德華方程、分壓、分容概念及應用、氣體液化與臨

界性質、臨界參數、對比參數、對應狀態(tài)原理、壓縮因子等概念。

2．熱力學第一定律：

（1）： 理解系統(tǒng)和環(huán)境、狀態(tài)和狀態(tài)性質、過程和途徑、可逆過程、功和熱的概念。

（2）： 掌握熱力學第一定律、焓、Cp、Cv、Θ?fHΘ

m?rHm、、相變焓等重要概念以及?rHΘ

m、?相變HΘm與溫度關系的重要關系式。熟練掌握單純pVT變化過程、相變過程、化學反應過程的Q、W、ΔU、ΔH的計算。

（3）： 會設計過程計算復雜情況下的熱、功、溫度、熱力學能及焓的變化。

（4）： 掌握化學反應焓、相變焓和溫度的關系、熱力學第一定律對理想氣體的應用、節(jié)流過程特點。知道溶解焓、稀釋焓、離子生成焓的概念。

3．熱力學第二定律：

（1）： 掌握卡諾循環(huán)、熱機效率概念。會在p-V，T-S，H-S等圖上表示卡諾循環(huán)。

（2）： 理解第二定律的表述、實質、卡諾定理及其推論。掌握熵的概念、實質、統(tǒng)計

意義、克勞修斯不等式、熵增原理、熵判據、ΔF、ΔG判據。

（3）： 理解第三定律、規(guī)定熵、標準熵的概念及其數值求取。

ΔH、ΔS、ΔF、（4）： 熟練掌握單純pVT變化過程、相變過程、化學反應過程的ΔU、ΔG的計算。掌握熱力學基本關系式、麥克斯韋關系式及其應用，能夠較熟練地做有關證明題。熟練克拉佩龍及克勞修斯-克拉佩龍方程的各種形式和應用。

4．多組分體系熱力學：

（1）： 熟練掌握拉烏爾定律和亨利定律。

（2）： 掌握偏摩爾量和化學勢的定義，理解其物理意義、偏摩爾量間關系。

（3）： 掌握理想氣體、理想溶液、稀溶液中化學勢的表達、各種標準態(tài)的選取和化學

勢在化學平衡、相平衡中的應用、理想溶液、稀溶液定義、特點及微觀說明。

（4）： 理解并會計算理想溶液的混合性質，會用吉布斯-杜亥姆公式。理解稀溶液的依

數性質，熟練它們的應用和計算。

（5）： 掌握逸度、活度概念和路易斯-蘭德爾規(guī)則，會計算活度系數。

5．化學平衡：

（1）： 掌握?fGm和?rGΘm及化學反應親和勢概念、化學反應等溫方程及其應用、理想

氣體化學反應的各種平街常數及其相互關系。

（2）： 掌握溫度、壓力、濃度、惰性氣體等因素對化學平衡的影響、多相化學平衡。

（3）： 熟練計算化學反應的?rGm、不同溫度的平衡常數和平衡組成，會推導

KΘ?f?T?關系式。

（4）： 理解實際氣體化學平衡、同時平衡、反應耦合。

（5）： 知道溶液中平衡常數和?rGΘ

m的關系，化學平衡近似計算，反應有利溫度。

（6）： 利用紅外光譜、核磁共振譜并結合理化性質推斷結構。

6．相平衡：

（1）： 掌握相、自由度、物種數、組分數的概念及求法。

（2）： 理解相律的推導和表達，能熟練進行相數、自由度、組分數的計算。

（3）： 熟練相圖分析(單組分相圖，二組分理想溶液、真實溶液、部分互溶，完全不互

溶體系的氣-液平衡、液-液平衡相圖，二組分固態(tài)不互溶及生成穩(wěn)定、不穩(wěn)定化合物的固-液平衡相圖，水-鹽體系相圖，三組分一對液體部分互溶的液-液平衡相圖：點、線、面、自由度、相、動態(tài)分析、冷卻曲線、方程計算等)。

（4）： 理解精餾原理和各類氣-液平衡體系的精餾特點。

（5）： 熟練杠桿規(guī)則及其計算。

7．電化學：

（1）： 明確電化學和熱力學之間的關系。

（2）： 熟悉陽極、陰極、正極、負極、標準氫電極、電極電勢的規(guī)定。

（3）： 理解電解質溶液導電機理。

（4）： 掌握法拉第定律和離子遷移數的希托夫法測定。

（5）： 熟練掌握電導率、摩爾電導率、離子獨立運動定律，離子摩爾電導率、離子遷

移率的概念、影響因素和計算。

（6）： 掌握電導測定應用、電解質平均活度和平均活度系數、德拜-許克爾極限公式及

有關計算，理解可逆電池概念。

Θ

（7）: 熟練掌握各類可逆電極、電極反應、原電池熱力學、能斯特方程、E和E的測

定及應用、原電池的書寫和設計。

（8）: 掌握鹽橋的作用、濃差電池、極化、極化曲線、極化造成的影響和極化原因及

影響極化的因素。

（9）: 知道電解時電極反應的影響因素、電動勢產生的機理、液接電勢的計算。

8．統(tǒng)計熱力學初步：

（1）： 熟悉統(tǒng)計系統(tǒng)分類和統(tǒng)計熱力學基本假設。

（2）： 明白能級、簡并度、能級分布、狀態(tài)分布、能級分布的微態(tài)數、系統(tǒng)的總微態(tài)

數、數學幾率、熱力學幾率、最可幾分布、平蘅分布的概念。

（3）： 理解定域子系及離域子系能級分布熱力學幾率計算方法。

（4）： 掌握粒子配分函數、玻爾茲曼分布、配分函數析因子性質、能量零點的選擇對

配分函數的影響、玻爾茲曼熵定理、各種運動形式對熱容的貢獻，熟悉平動、轉動、振動、電子、核、振動特征溫度、轉動特征溫度的表達式。

（5）： 知道熱力學能、熵與配分函數的關系，殘余熵概念，理想氣體化學平衡常數與

配分函數的關系。

9．表面現(xiàn)象：

（1）： 掌握表面張力及其影響因素，曲界面壓力差、毛細現(xiàn)象，彎曲液面上的飽和蒸

氣壓極其應用（液體的過冷、過熱、過飽和現(xiàn)象及毛細凝結現(xiàn)象等）、單分了層吸附理論、溶液的表面吸附、表面活性物質基本性質。

（2）： 熟悉潤濕現(xiàn)象、物理吸附、化學吸附、吸附熱、Freundlich吸附等溫式。

（3）： 知道吸附等壓，等量線概念、溶液中吸附、多分子層吸附。

10．化學動力學基礎：

（1）： 掌握反應速率定義、反應級數、反應分子數、基元反應，質量作用定律、反應

速率測定、速率方程微分和積分形式，零級、一級、二級、n級反應的特點，確定速率方程的方法、溫度對反應速率的影響等。

（2）： 明確活化能、表觀活化能、碰撞理論活化能、過渡狀態(tài)理論活化能、阿累尼烏

斯活化能以及活化能對反應速率的影響、影響活化能的因素。

（3）： 熟練動力學計算。掌握平行，對峙，連串，鏈反應的特點，會推導有關公式。

（4）： 掌握復雜反應近似處理方法、反應速率理論要點及其與阿累尼烏斯公式的關系。

明白單分子反應、爆炸反應的分類和影響因素。

11．各類特殊反應：

（1）： 掌握催化劑基本特征、催化反應一般機理、氣-固相催化與吸附、光化反應定律、機理和速率方程，溫度對光化反應速率影響。

（2）： 明白溶液中反應、酶催化反應。知道酸堿催化、絡合催化。

12．膠體化學：

（1）： 掌握分散體系分類，膠體的基本性質、光學性質、動力性質、電學性質（膠團

結構）以及膠體穩(wěn)定和聚沉的影響因素。

（2）： 熟悉乳狀掖的類型，穩(wěn)定原因及破壞方法，高分子溶液的滲透壓、黏度和唐南

平衡、鹽析；凝膠，凍膠，觸變的概念。

（3）： 知道溶膠制備、懸浮液的斯托克斯公式、泡沫和氣溶膠的性質。

三、參考書目：

1)《物理化學》(第五版)傅獻彩等編，北京：高等教育出版社2005年版；

2)《物理化學》(第五版)天津大學物化教研室編，北京：高等教育出版社

2009年版