第一篇：山東大學考研數(shù)學系數(shù)學分析考試大綱

山東大學數(shù)學與系統(tǒng)科學學院—基礎數(shù)學專業(yè)科目大綱

651—數(shù)學分析考試大綱：

一、考查目標

全國碩士研究生入學統(tǒng)一考試基礎數(shù)學碩士專業(yè)學位（數(shù)學分析）考試是為高等院校和科研究所招收基礎數(shù)學專業(yè)碩士生設置的具有選拔性質(zhì)的考試科目。其目的是科學、公平，有效地測試考生是否具備攻讀基礎數(shù)學專業(yè)碩士所必須的基本素質(zhì)、一般能力和培養(yǎng)潛能，以利用選拔具有發(fā)展?jié)摿Φ膬?yōu)秀人才入學，為國家培養(yǎng)具有良好職業(yè)道德和專業(yè)知識、具有較強分析與解決實際問題能力和高層次數(shù)學專業(yè)人才。考試要求是測試考生掌握數(shù)學分析理論的基本知識與內(nèi)容、分析處理和證明基本問題的方法與技巧。

具體來說，要求考生：

① 掌握了基本的數(shù)學分析知識。

② 掌握實分析理論的基本方法和技巧。

③ 掌握數(shù)學分析的基本原理。

④ 具有運用時分析方法論證和解決問題的基本能力。

二、考試形式和試卷結構

1.試卷滿分及考試時間

試卷滿分為150分，考試時間180分鐘。

2.答題方式

答題方式為閉卷、筆試。不使用計算器。

3.試卷內(nèi)容與題型結構

本試卷基于理解與計算，分析與證明、綜合與提高的原則，題型一般包括計算題及證明題。

三、考查內(nèi)容

1.函數(shù)、集合、映射的概念和基本理論。

2.極限理論與方法。

3.函數(shù)的連續(xù)性和連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)。

4.一元微分學基本理論與應用。

5.一元積分學理論與應用。

6.無窮級數(shù)理論。

7.多元函數(shù)的微分學理論與應用。

8.廣義積分理論。

9.含參變量的積分與廣義積分理論。

10.多重積分理論。

11.線積分與面積分理論與應用。

12.傅里葉級數(shù)與傅里葉積分。

注：參考教材：

《數(shù)學分析》（上下冊）華東師范大學數(shù)學系編（第四版），高等教育出版社.1

第二篇：數(shù)學分析考試大綱

625數(shù)學分析考試大綱

一、考試目的

《數(shù)學分析》作為全日制碩士研究生入學考試的專業(yè)基礎課考試，其目的是考察考生是否具備進行本學科各專業(yè)碩士研究生學習所要求的水平。

二、考試的性質(zhì)與范圍

本考試是一種測試應試者綜合運用所學的數(shù)學分析的知識的尺度參照性水平考試。考試范圍包括數(shù)學分析的基本的概念，理論和方法，考察考生的理解、分析、解決數(shù)學分析問題的能力。

三、考試基本要求

1.熟練掌握數(shù)學分析的基本概念、命題、定理； 2．綜合運用所學的數(shù)學分析的知識的能力

四、考試形式

閉卷考試。

五、考試內(nèi)容（或知識點）

一、數(shù)列極限

數(shù)列、數(shù)列極限的 定義，收斂數(shù)列——唯一性、有界性、保號性、不等式性、迫斂性、四則運算，單調(diào)有界數(shù)列極限存在定理。柯西準則，重要極限。

二、函數(shù)極限

函數(shù)極限。定義，定義，單側極限，函數(shù)極限的性質(zhì)——唯一性、局部有界性、局部保號性、不等式性、迫斂性、四則運算、歸結原則（Heine 定理）。函數(shù)極限的柯西準則。

無窮小量及其階的比較，無窮大量及其階的比較，漸近線。

三、函數(shù)的連續(xù)性

函數(shù)在一點的連續(xù)性、單側連續(xù)性、間斷點及其分類。在區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)，連續(xù)函數(shù)的局部性質(zhì)——有界性、保號性。連續(xù)函數(shù)的四則運算。復合函數(shù)的連續(xù)性。閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)——有界性、取得最大值最小值性、介值性、一致連續(xù)性、反函數(shù)的連續(xù)性，初等函數(shù)連續(xù)性。

四、導數(shù)和微分

導數(shù)定義，單側導數(shù)、導函數(shù)、導數(shù)的幾何意義、費馬(Fermat)定理。和、積、商的導數(shù)、反函數(shù)的導數(shù)、復合函數(shù)的導數(shù)、初等函數(shù)的導數(shù)、參變量函數(shù)的導數(shù)、高階導數(shù)、微分概念、微分的幾何意義、微分的運算法則。

五、微分中值定理

Roll、Lagrange、Cauchy中值定理，不定式極限，洛比達（L’Hospital）法則，泰勒（Taylor）定理。（泰勒公式及其皮亞諾余項、拉格朗日余項、積分型余項）。極值、最大值與最小值。曲線的凸凹性。拐點，函數(shù)圖的討論。

六、實數(shù)的完備性

區(qū)間套定理，數(shù)列的柯西（Cauchy）收斂準則，聚點原理，有界數(shù)列存在收斂子列，有限覆蓋定理。

七、不定積分

原函數(shù)與不定積分，換元積分法、分部積分法，有理函數(shù)積分法，三角函數(shù)有理式的積分法，幾種無理根式的積分。

八、定積分

牛頓——萊布尼茨公式，可積的必要條件，可積的充要條件，可積函數(shù)類。絕對可積性，積分中值定理，微積分學基本定理。換元積分法，分部積分法。

九、定積分的應用

簡單平面圖形面積。有平行截面面積求體積，曲線的弧長與微分。微元法、旋轉體體積與側面積，物理應用（引力、功等）。

十、反常積分

無窮限反常積分概念、柯西準則，絕對收斂、無窮限反常積分收斂性判別法：比較判別法，狄利克雷（Dirichlet）判別法，阿貝爾（Abel）判別法。無界函數(shù)反常積分概念，無界函數(shù)反常積分收斂性判別法。

十一、數(shù)項級數(shù)

級數(shù)收斂與和，柯西準則，收斂級數(shù)的基本性質(zhì)，正項級數(shù)比較原則。比式判別法與根式判別法、積分判別法。一般項級數(shù)的絕對收斂與條件收斂，交錯級數(shù)，萊布尼茨判別法，狄利克雷（Dirichlet）判別法，阿貝爾（Abel）判別法。絕對收斂級數(shù)的重排定理。

十二、函數(shù)列與函數(shù)項級數(shù)

函數(shù)列與函數(shù)項級數(shù)的收斂與一致收斂概念，一致收斂的柯西準則。函數(shù)項級數(shù)的維爾斯特拉斯（Weierstrass）優(yōu)級數(shù)判別法，狄利克雷（Dirichlet）判別法，阿貝爾（Abel）判別法，函數(shù)列極限函數(shù)與函數(shù)項級數(shù)和的連續(xù)性、逐項積分與逐項求導。

十三、冪級數(shù)

冪級數(shù)的收斂半徑與收斂區(qū)間，一致收斂性、連續(xù)性、逐項積分與逐項求導，冪級數(shù)的四則運算。

泰勒級數(shù)、泰勒展開的條件，初等函數(shù)的泰勒展開。

十四、傅里葉（Fourier）級數(shù)

三角級數(shù)、三角函數(shù)系的正交性、傅里葉（Fourier）級數(shù)，貝塞爾（Bessel）不等式，黎曼——勒貝格定理，按段光滑且以2π為周期的函數(shù)展開，傅里葉級數(shù)的收斂定理，以2π為周期的函數(shù)的傅里葉級數(shù)，奇函數(shù)與偶函數(shù)的傅里葉級數(shù)。

十五、多元函數(shù)的極限和連續(xù)

平面點集概念（鄰域、內(nèi)點、界點、開集、閉集、開域、閉域），平面點集的基本定理——區(qū)域套定理、聚點原理、有限覆蓋定理。二元函數(shù)概念。二重極限、累次極限，二元函數(shù)的連續(xù)性、復合函數(shù)的連續(xù)性定理、有界閉域上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)。

十六、多元函數(shù)的微分學

偏導數(shù)及其幾何意義，全微分概念，全微分的幾何意義，全微分存在的充分條件，全微分在近似計算中的應用，復合函數(shù)的偏導數(shù)與全微分，一階微分形式不變性，方向?qū)?shù)與梯度，混合偏導數(shù)與其順序無關性，高階導數(shù)，高階微分，二元函數(shù)的泰勒定理，二元函數(shù)的極值。

十七、隱函數(shù)定理

隱函數(shù)概念、隱函數(shù)定理、隱函數(shù)求導。

隱函數(shù)組概念、隱函數(shù)組定理、隱函數(shù)組求導、反函數(shù)組與坐標變換，函數(shù)行列式。幾何應用，條件極值與拉格朗日乘數(shù)法。

十八、含參量積分

含參量積分概念、連續(xù)性、可積性與可微性，積分順序的交換。含參量反常積分的收斂與一致收斂，一致收斂的柯西準則。維爾斯特拉斯（Weierstrass）判別法。連續(xù)性、可積性與可微性，Gamma函數(shù)。

十九、曲線積分

第一型和第二型曲線積分概念與計算，兩類曲線積分的聯(lián)系。

二十、重積分

二重積分定義與存在性，二重積分性質(zhì)，二重積分計算（化為累次積分）。格林（Green）公式，曲線積分與路徑無關條件。二重積分的換元法（極坐標與一般變換）。三重積分定義與計算，三重積分的換元法（柱坐標、球坐標與一般變換）。重積分應用（體積，曲面面積，重心、轉動慣量、引力等）。無界區(qū)域上的收斂性概念。無界函數(shù)反常二重積分。在一般條件下重積分變量變換公式。

二十一、曲面積分

曲面的側。第一型和第二型曲面積分概念與計算，高斯公式。斯托克斯公式。場論初步（梯度場、散度場、旋度場）。

六、考試題型

計算題、證明題。

七、參考書目：本科通用教材

864高等代數(shù)考試大綱

一、考試目的

《高等代數(shù)》作為全日制碩士研究生入學考試的專業(yè)基礎課考試，其目的是考察考生是否具備進行本學科各專業(yè)碩士研究生學習所要求的水平。

二、考試的性質(zhì)與范圍

本考試是一種測試應試者綜合運用所學的高等代數(shù)的知識的尺度參照性水平考試。考試范圍包括高等代數(shù)的基本的概念，理論和方法，考察考生的理解、分析、解決代數(shù)問題的能力。

三、考試基本要求

1.熟練掌握高等代數(shù)的基本概念、命題、定理； 2．綜合運用所學的高等代數(shù)的知識的能力

四、考試形式 閉卷

五、考試內(nèi)容（或知識點）1．多項式

數(shù)域，一元多項式，整除的概念，最大公因式，因式分解定理，重因式，多項式函數(shù)，復系數(shù)與實系數(shù)多項式的因式分解，有理系數(shù)多項式，多元多項式，對稱多項式。

2、行列式

排列，n級行列式的定義，n級行列式的性質(zhì)，n級行列式的展開，行列式按一行（列）展開，克拉默（Cramer）法則，拉普拉斯（Laplace）定理，行列式的乘法規(guī)則。

3． 線性方程組

消元法，n維向量空間，線性相關性，矩陣的秩，線性方程組有解判別定理，線性方程組解的結構。

4． 矩陣

矩陣的概念，矩陣的運算，矩陣乘積的行列式與秩，矩陣的逆，矩陣的分塊，初等矩陣，分塊乘法的初等變換及應用。

5． 二次型

二次型的矩陣表示，標準型，唯一性，正定（半正定）二次型。

6． 線性空間

集合、映射，線性空間的定義與簡單性質(zhì)，維數(shù)、基與坐標，基變換與坐標變換，線性子空間，子空間的交與和，子空間的直和，線性空間的同構。

7． 線性變換

線性變換的定義，線性變換的運算，線性變換的矩陣，特征值與特征向量，對角矩陣，線性變換的值域與核，不變子空間，若當（Jordan）標準形介紹，最小多項式。

8． λ-矩陣

λ-矩陣的定義，λ-矩陣在初等變換下的標準型，不變因子，矩陣相似的條件，初等因子，若當（Jordan）標準形的理論推導，矩陣的有理標準形。

9． 歐幾里得空間 定義與基本性質(zhì)，標準正交基，同構，正交變換，子空間，對稱矩陣的標準形，向量到子空間的距離與最小二乘法。

10． 雙線性函數(shù)

線性函數(shù)，對偶空間，雙線性函數(shù)，對稱（反對稱）雙線性函數(shù)。

六、考試題型

計算題、證明題

七、參考書目：本科通用教

第三篇：中科院數(shù)學分析考研大綱范文

中科院研究生院碩士研究生入學考試

《數(shù)學分析》考試大綱

本《數(shù)學分析》考試大綱適用于中國科學院研究生院數(shù)學和系統(tǒng)科學等學科各專業(yè)碩士研究生入學考試。數(shù)學分析是一門具有公共性質(zhì)的重要的數(shù)學基礎課程，由分析基礎、一元微分學和積分學、級數(shù)、多元微分學和積分學等部分組成。要求考生能準確理解基本概念，熟練掌握各種運算和基本的計算、論證技巧，具有綜合運用所學知識分析和解決問題的能力。

一、考試基本要求

要求考生比較系統(tǒng)地理解數(shù)學分析的基本概念和基本理論，掌握數(shù)學分析的基本思想和方法。要求考生具有抽象思維能力、邏輯推理能力、運算能力和綜合運用所學的知識分析問題和解決問題的能力。

二、考試方法和考試時間

數(shù)學分析考試采用閉卷筆試形式，試卷滿分為150分，考試時間為180分鐘。

三、考試內(nèi)容和考試要求

（一）考試內(nèi)容

1.分析基礎

(1)實數(shù)概念、確界

(2)函數(shù)概念

(3)序列極限與函數(shù)極限

(4)無窮大與無窮小

(5)上極限與下極限

(6)連續(xù)概念及基本性質(zhì)，一致連續(xù)性

（7）收斂原理

2.一元微分學

(1)導數(shù)概念及幾何意義

(2)求導公式求導法則

(3)高階導數(shù)

(4)微分

(5)微分中值定理

(6)L’Hospital法則

(7)Taylor公式

(8)應用導數(shù)研究函數(shù)

3.一元積分學

(1)不定積分法與可積函數(shù)類

(2)定積分的概念、性質(zhì)與計算

(3)定積分的應用

(4)廣義積分

4.級數(shù)

(1)數(shù)項級數(shù)的斂散判別與性質(zhì)

(2)函數(shù)項級數(shù)與一致收斂性

(3)冪級數(shù)

(4)Fourier級數(shù)

5.多元微分學

(1)歐氏空間

(2)多元函數(shù)的極限

(3)多元連續(xù)函數(shù)

(4)偏導數(shù)與微分

(5)隱函數(shù)定理

(6)Taylor公式

(7)多元微分學的幾何應用

(8)多元函數(shù)的極值

6.多元積分學

(1)重積分的概念與性質(zhì)

（2）重積分的計算

（3）二重、三重廣義積分

（4）含參變量的正常積分和廣義積分

（5）曲線積分與Green公式

（6）曲面積分

（7）Gauss公式、Stokes公式及線積分與路徑無關

（8）場論初步

（二）考試要求

1．分析基礎

(1)了解實數(shù)公理，理解上確界和下確界的意義。掌握絕對值不等

式及平均值不等式。

(2)熟練掌握函數(shù)概念（如定義域、值域、反函數(shù)等）。

(3)掌握序列極限的意義、性質(zhì)（特別，單調(diào)序列的極限存在性定

理）和運算法則，熟練掌握求序列極限的方法。(4)掌握函數(shù)極限的意義、性質(zhì)和運算法則（自變量趨于有限數(shù)和趨于無限兩種情形），熟練掌握求函數(shù)極限的 方法，了解廣義極限和單側極限的意義。

(5)熟練掌握求序列極限和函數(shù)極限的常用方法（如初等變形、變

量代換、兩邊夾法則等），掌握由遞推公式給出的序列求極限的基本技巧，以及應用Stolz公式求序列極限的方法。

(6)理解無窮大量和無窮小量的意義，了解同階和高（低）階無窮

大（小）量的意義。

(7)了解上極限和下極限的意義和性質(zhì)。

(8)熟練掌握函數(shù)在一點及在一個區(qū)間上連續(xù)的概念，理解函數(shù)兩

類間斷點的意義，掌握初等函數(shù)的連續(xù)性，理解區(qū)間套定理和介值定理。理解一致連續(xù)和不一致連續(xù)的概念。

(9)掌握序列收斂的充分必要條件及函數(shù)極限（當自變量趨于有限

數(shù)及趨于無窮兩種情形）存在的充分必要條件。

2．一元微分學

(1)掌握導數(shù)的概念和幾何意義，了解單側導數(shù)的意義，解依據(jù)定

義求函數(shù)在給定點的導數(shù)。

(2)解應用求導公式和法則熟練計算函數(shù)導數(shù)（包括用參數(shù)式給出的函數(shù)的導數(shù)）、隱函數(shù)的導數(shù)以及函數(shù)的高階導數(shù)。

(3)理解函數(shù)微分的概念和函數(shù)可微的充分必要條件，了解一階微

分的不變性，能利用微分作近似計算。

(4)理解并掌握微分中值定理（Rolle定理，Lagrange定理和Cauchy

中值定理），并能應用它們解決函數(shù)零點存在性及不等式證明等問題。

(5)熟練掌握應用L’Hospital法則求函數(shù)極限的方法。

(6)理解Taylor公式（Lagrange余項和Peano余項）的意義，并熟

記五個基本公式（在x=0點的帶有Peano余項的Taylor公式），能將給定函數(shù)在指定點展成Taylor級數(shù)，掌握應用Taylor公式解決不等式證明、求函數(shù)極限等問題的基本技巧。

(7)熟練掌握應用導數(shù)判斷函數(shù)升降、凹凸性以及畫出函數(shù)圖像的方法，以及求一元函數(shù)極值和最值的方法。

3．一元積分學

(1)理解不定積分概念和基本性質(zhì)，熟記基本積分表，理解并掌握

換元法和分部積分法的意義和方法，解應用他們熟練計算不復雜的不定積分。

(2)了解可積分函數(shù)類的意義及其積分法，熟練掌握有理函數(shù)、三

角函數(shù)有理式及簡單的根式的有理式的積分方法。

(3)理解定積分的概念，掌握定積分的基本性質(zhì)及函數(shù)在有限區(qū)間

上可積的充分必要條件，熟練掌握定積分的計算方法。了解變限定積分的性質(zhì)，掌握積分中值定理。

(4)熟練應用定積分計算平面曲線弧長、平面圖形面積、立體體積、旋轉曲面表面積，并解應用于求均勻平面圖形重心坐標等簡單物理、力學問題。

(5)理解廣義積分及其收斂、絕對收斂和發(fā)散的意義，掌握廣義積

分收斂的判定法則。

4．級數(shù)

(1)掌握數(shù)項級數(shù)收斂、發(fā)散和絕對收斂的概念、級數(shù)收斂的充分

必要條件（Cauchy準則），收斂和絕對收斂級數(shù)的性質(zhì)以及級數(shù)加法和乘法的運算法則。

(2)熟練掌握正項級數(shù)斂散判別法（比較判別法、D’Alembert判別

法、Cauchy根式判別法以及Cauchy積分判別法），掌握一般項級數(shù)斂散判別方法。能計算一些特殊數(shù)項級數(shù)的和。

(3)理解函數(shù)項級數(shù)收斂的意義并能確定其收斂域。理解函數(shù)序列

一致收斂以及函數(shù)項級數(shù)一致收斂的意義，掌握函數(shù)項級數(shù)一致收斂的判別法則（Cauchy一致收斂準則，Weierstrass判別法，Abel判別法，Dirichlet判別法）及一致收斂級數(shù)的性質(zhì)。

(4)理解冪級數(shù)的概念并能確定其收斂半徑。掌握冪級數(shù)的基本性

質(zhì)和運算法則，熟記五個基本冪級數(shù)展開式

（）。能求出給定函數(shù)在指定點的冪級數(shù)展開式及應用冪級數(shù)運算求一些級數(shù)的和。

(5)理解函數(shù)Fourier展開式的意義，掌握求Fourier展開式的基本

方法。了解Fourier級數(shù)的收斂性定理、逐項積分和逐項求導定理以及Parseval等式，并能應用Fourier級數(shù)求某些級數(shù)的和（例如

5．多元微分學

(1)理解歐氏空間的概念及歐氏空間中向量的內(nèi)積與模、開集與閉

集、開區(qū)域與閉區(qū)域的意義，了解完備性定理及緊性定理。

(2)理解多元函數(shù)的概念。掌握多元函數(shù)的全面極限、累次極限和特

殊路徑極限的意義，并能根據(jù)定義計算多元函數(shù)極限，或證明二元極限不存在，能計算多元函數(shù)的全面極限和累次極限。

(3)理解多元連續(xù)函數(shù)的概念，掌握其性質(zhì)，并能判斷多元函數(shù)的連

續(xù)性。了解多元函數(shù)的一致連續(xù)性。

(4)理解偏導數(shù)的概念，掌握其計算法則，能熟練計算函數(shù)的偏導數(shù)

和復合函數(shù)的導函數(shù)，能計算函數(shù)在給定方向上的導函數(shù)。

(5)理解多元函數(shù)的微分的概念，并能判斷函數(shù)的可微性。

(6)理解隱函數(shù)存在定理和反函數(shù)存在定理，熟練掌握隱函數(shù)的微分

法。

(7)理解Taylor公式的意義，并能求出二元函數(shù)的具有指定階數(shù)的Taylor公式。

(8)能應用偏導數(shù)求空間曲線的切線、法平面及空間曲面的法線和切

平面的方程。

(9)理解多元函數(shù)的極限和最值的意義、極值的必要條件和充分條

件，掌握求多元函數(shù)極值、條件極值及在閉區(qū)域上的最值的方法，并用于解決實際問題。

6．多元積分學

(1)理解重積分的概念、可積的充分必要條件及重積分的性質(zhì)。

(2)掌握二重積分和三重積分化累次積分的方法以及二重、三重積

分的變量代換方法（特別，平面極坐標變換，空間柱坐標和球坐標變換），能熟練計算二重和三重積分，并用于計算平面圖形面）。

積、柱體體積、曲面面積及曲面所圍的立體體積。了解n重（n>3）積分的計算方法（化為累次積分及變量代換）。

(3)了解二重、三重廣義積分的意義（無界域情形和不連續(xù)函數(shù)情

形），掌握它們的基本判斂法和基本計算方法。

(4)了解含參變量的正常積分的基本性質(zhì)（連續(xù)性，積分號下取極

限、求導和求積分），了解含參變量的廣義積分一致收斂性的意義及其基本性質(zhì)（連續(xù)性，積分號下取極限、求導及求積分），掌握其一致收斂判別法，了解 和 函數(shù)。

(5)理解第一型和第二型曲線積分的意義、性質(zhì)、實際背景及二者的聯(lián)系，能熟練計算曲線積分。

(6)理解并掌握Green公式的意義，并能應用它計算曲線積分。

(7)理解第一型和第二型曲面積分的意義、性質(zhì)、實際背景及二者的聯(lián)系，能熟練計算曲面積分。

(8)理解并掌握Gauss公式和Stokes公式的意義，并能用于曲面積

分或曲線積分的計算。了解空間曲線積分與路徑無關的充分必要條件及其對曲線積分計算的應用。

(9)了解場的概念和保守場的意義，能計算場的梯度、散度和旋度。

四、參考書目

現(xiàn)行（公開發(fā)行）綜合性大學（師范大學）數(shù)學系用數(shù)學分析教程。

編制單位：中國科學院研究生院數(shù)學科學學院

中國科學院數(shù)學與系統(tǒng)科學研究院

編制日期：2008年7月6日

第四篇：《數(shù)學分析》考試大綱

漳州師范學院2013年碩士研究生入學考試

《數(shù)學分析》考試大綱

一、考試基本要求：

以檢驗考生理解《數(shù)學分析》的基本概念，基本理論，掌握《數(shù)學分析》的基本方法和基本技巧的熟練程度為主。

二、考試方法和時間：

考試方法為筆試，考試時間為3小時。

三、考核知識點：

1．數(shù)列極限、函數(shù)極限的定義及性質(zhì)；??N、???方法的證明；數(shù)列極限、函數(shù)極限的各種計算方法。

2．連續(xù)性的定義及性質(zhì)；連續(xù)性、一致連續(xù)性的證明及其應用。

3．微分和導數(shù)的概念及導數(shù)的幾何意義；微分中值定理、Taylor公式、不等式的證明及導數(shù)在研究函數(shù)中的應用。

4．不定積和定積分的定義；積分中值定理、牛頓－萊布尼茲公式、定積分的計算和有關的證明。

5．數(shù)項級數(shù)收斂、發(fā)散的判別法, 函數(shù)項級數(shù)一致收斂的判別法；冪級數(shù)的收斂半徑、收斂域、級數(shù)和函數(shù)的求法及函數(shù)的Taylor展開。

6．平面點集；二元函數(shù)極限、連續(xù)的定義及多元函數(shù)極限的求法；多元函數(shù)偏導數(shù)及全微分的定義、計算及有關的證明。

7．廣義積分、含參量積分的各種斂散性判別法及含參量廣義積分的一致收斂性判別法；含參量積分及含參量廣義積分的連續(xù)性、可微性、可積性及其它們的應用。

8．二重積分、三重積分的計算；第一類曲線積分、第一類曲面積分、第二類曲線積分、第二類曲面積分的計算；格林公式、高斯公式、斯托克斯公式的應用。

四、參考書目：

復旦大學數(shù)學系歐陽光中等編，數(shù)學分析(上、下冊)（第三版），高等教育出版社，2007年。

漳州師范學院數(shù)學與信息科學系

2012年9月

第五篇：01數(shù)學分析考試大綱

01 《數(shù)學分析》考試大綱

一、總要求

考生應按本大綱的要求，了解或理解數(shù)學分析中的函數(shù)、極限和連續(xù)、實數(shù)的基本理論、一元函數(shù)微分學、一元函數(shù)積分學、多元函數(shù)微積分學、無窮級數(shù)的基本概念與基本理論；學會、掌握或熟練掌握上述各部分的基本方法。應注意各部分知識的結構及知識的內(nèi)在聯(lián)系；應具備有一定的抽象思維能力、邏輯推理能力、運算能力、空間想象能力；能運用基本概念、基本理論和基本方法正確地推理證明，準確地計算；能綜合運用所學知識分析并解決簡單的實際問題。

本大綱對內(nèi)容的要求由低到高，對概念和理論分為“了解”和“理解”兩個層次；對方法和運用分為“會”、“掌握”、和“熟練掌握”三個層次。

二、教材 《數(shù)學分析》（上、下），華東師范大學數(shù)學系編（第三版），高等教育出版社

三、內(nèi)容

一、函數(shù)、極限和連續(xù)（1）函數(shù) 1．知識范圍（1）函數(shù)的概念

函數(shù)的定義

函數(shù)的表示法

分段函數(shù)（2）函數(shù)的簡單性質(zhì)

單調(diào)性` 奇偶性 有界性

周期性（3）反函數(shù)

反函數(shù)的定義 反函數(shù)的圖像（4）函數(shù)的四則運算與復合運算（5）基本初等函數(shù)

冪函數(shù)

指數(shù)函數(shù) 對數(shù)函數(shù)

三角函數(shù)

反三角函數(shù)（6）初等函數(shù) 2．要求

（1）理解函數(shù)的概念。學會函數(shù)的定義域、表達式及函數(shù)值。會求分段函數(shù)的定義域、函數(shù)值，并會作出簡單的分段函數(shù)的圖像。

（2）理解和掌握函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、有界性、周期性，會判斷函數(shù)的類型。（3）理解和掌握函數(shù)的四則運算與復合運算，熟練掌握復合函數(shù)的復合過程。（4）掌握基本初等函數(shù)的簡單性質(zhì)及圖像。（5）掌握初等函數(shù)的概念。

（6）會建立簡單實際問題的函數(shù)關系式。

（二）極限 1．知識范圍

（1）數(shù)列極限的概念

數(shù)列、數(shù)列極限的ε-N定義（2）數(shù)列極限的性質(zhì)

唯一性，有界性，四則運算定理，夾逼定理，單調(diào)有界定理（3）函數(shù)極限的概念

函數(shù)在一點處極限的定義，左、右極限及其與極限的關系，x趨于無窮時函數(shù)的極 限，函數(shù)的幾何意義

（4）函數(shù)極限的定理

唯一性定理，夾逼定理，四則運算定理（5）無窮小量和無窮大量

無窮小量與無窮大量的定義，無窮小量與無窮大量的關系，無窮小量與無窮大量的性質(zhì)，兩個無窮小量的階的比較

（6）兩個重要的極限 2．要求

（1）理解極限的概念，能根據(jù)極限的概念分析函數(shù)的變化趨勢。會求函數(shù)在一點處的左、右極限，理解函數(shù)在一點處極限存在的充分必要條件

（2）理解極限的有關性質(zhì)，掌握極限的四則運算法則

（3）理解無窮小量、無窮大量的概念，掌握無窮小量的性質(zhì)、無窮小量與無窮大量的關系。會進行無窮小量的階的比較。會運用等價無窮小量代換求極限。

（4）熟練掌握用兩個重要的極限求極限的方法

（三）連續(xù) 1．知識范圍

（1）函數(shù)連續(xù)的概念

函數(shù)在一點處連續(xù)的定義，左連續(xù)與右連續(xù)，函數(shù)在一點處連續(xù)的充分必要條件，函數(shù)的間斷點及其分類

（2）函數(shù)在一點處連續(xù)的性質(zhì)

連續(xù)函數(shù)的四則運算，復合函數(shù)連續(xù)性，反函數(shù)的連續(xù)性（3）閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)

有界性定理，最大值與最小值定理，介值性定理（4）初等函數(shù)的連續(xù)性 2．要求

（1）理解函數(shù)在一點連續(xù)與間斷的概念，掌握判斷函數(shù)在一點的連續(xù)性，理解函數(shù)在一點連續(xù)與極限存在的關系

（2）會求函數(shù)的間斷點及確定其類型

（3）掌握在閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)，會運用介值定理推證一些簡單命題（4）理解初等函數(shù)在其定義區(qū)間上的連續(xù)性，并會利用連續(xù)性求極限 二、一元函數(shù)微分學

（一）導數(shù)與微分 1．知識范圍（1）導數(shù)的概念

導數(shù)的定義，左導數(shù)，右導數(shù)，導數(shù)的幾何意義與物理意義，可導與連續(xù)的關系（2）求導法則與導數(shù)的基本公式

導數(shù)的四則運算，反函數(shù)的導數(shù)，導數(shù)的基本公式（3）求導方法

復合函數(shù)的求導法，隱函數(shù)的求導法，對數(shù)求導法，由參數(shù)方程確定的函數(shù)的求導法，求分段函數(shù)的導數(shù)

（4）高階導數(shù)的概念 高階導數(shù)的定義及計算（5）微分

微分的定義，微分與導數(shù)的關系，微分法則，一階微分形式的不變性

2．要求

（1）理解導數(shù)的概念及其幾何意義，可導性與連續(xù)性的關系，會運用定義求函數(shù)在一點處的導數(shù)

（2）會求曲線上一點處的切線方程與法線方程

（3）熟練掌握導數(shù)的基本公式、四則運算法則及復合函數(shù)和反函數(shù)求導方法

（4）掌握隱函數(shù)的求導法、對數(shù)求導法以及由參數(shù)方程確定的函數(shù)的求導方法，會求分段函數(shù)的導數(shù)

（5）理解高階導數(shù)的概念，會求簡單函數(shù)的n階導數(shù)

（6）理解函數(shù)和微分概念，掌握微分法則，掌握微分與可導的關系，會求一階微分

（二）中值定理及導數(shù)的應用 1．知識范圍（1）中值定理

羅爾中值定理

拉格朗日中值定理 柯西中值定理（2）洛必達法則

（3）函數(shù)增減性的判定法

（4）函數(shù)的極值與極值點

最大值與最小值（5）曲線的凹凸性、拐點（6）曲線的漸近線（7）泰勒公式 2．要求

（1）理解羅爾中值定理、格朗日中值定理、柯西中值定理它們的幾何意義，會用它們證明根的存在性和簡單的不等式，（2）熟練掌握用洛必達法則求“”“0??”“???”“1”“00”“?”型未定式的極限的方法

（3）熟練掌握利用導數(shù)判定函數(shù)單調(diào)性及求函數(shù)單調(diào)增、減區(qū)間的方法，會用函數(shù)的單調(diào)性證明簡單不等式

（4）理解函數(shù)極值的概念。掌握求函數(shù)的極值和最值的方法，并會解簡單的應用問題

（5）會判斷曲線的凹凸性，會求曲線的拐點（6）會作簡單函數(shù)的圖形

（7）理解函數(shù)的泰勒公式，泰勒公式的拉格朗日型余項，掌握幾個基本初等函數(shù)的泰勒公式 三、一元函數(shù)積分學

（一）不定積分 1．知識范圍

（1）不定積分的概念

原函數(shù)與不定積分的定義

原函數(shù)存在定理

不定積分的性質(zhì)（2）基本積分公式（3）換元積分法

第一換元法，第二換元法（4）分部積分法

（5）一些簡單的有理函數(shù)和可化為有理函數(shù)的積分 2．要求

00?0（1）理解原函數(shù)與不定積分的概念及其關系，掌握不定積分的性質(zhì)，了解原函數(shù)存在性定理

（2）熟練掌握不定積分的基本公式

（3）熟練掌握不定積分的第一換元法，掌握第二換元法（4）熟練掌握不定積分的分部積分法（5）會求簡單有理函數(shù)的不定積分

（二）定積分 1．知識范圍

（1）定積分的概念

定積分的定義及幾何意義，可積的必要條件和充分條件 可積函數(shù)類（2）定積分的性質(zhì)（3）微積分學基本定理

（4）換元積分法與分部積分法（5）泰勒公式的積分型余項

（6）廣義積分的概念

廣義積分的收斂性判別法（7）定積分的應用 2．要求

（1）理解定積分的概念及其幾何意義，掌握定積分的積分和、上和、下和的概念，定積分可積的充分條件、必要條件和充要條件

（2）掌握定積分的基本性質(zhì)

（3）掌握變上限定積分是變上限的函數(shù)，掌握對變上限定積分的求導方法（4）掌握牛頓---萊布尼茨公式

（5）掌握定積分的換元積分法和分部積分法

（6）理解無窮限廣義積分和無界函數(shù)廣義積分的概念及幾何意義

（7）掌握非負函數(shù)廣義積分收斂性的比較判別法，了解阿貝爾和狄里克萊判別法（8）掌握定積分在幾何計算平面圖形的面積、旋轉體的體積、曲線的弧長、旋轉曲面的面積、和物理上計算壓力、功、重心等簡單應用

四、實數(shù)完備性理論的知識 1．知識范圍

（1）實數(shù)完備性的基本定理

（2）閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)性質(zhì)的證明 2．要求

（1）了解實數(shù)系的構造理論（2）理解實數(shù)完備性定理的各個定理：區(qū)間套定理 柯西收斂準則，有限覆蓋定理，聚點定理，確界原理，單調(diào)有界性定理和這些定理的等價性

（3）理解閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)性質(zhì)的證明

（4）了解實數(shù)完備性定理在證明數(shù)學命題中的應用

五、多元函數(shù)微分學

（一）多元函數(shù)微分學 1．知識范圍（1）多元函數(shù)

平面點集，R上的完備性定理，多元函數(shù)的定義，二元函數(shù)的定義域，二元函數(shù)的幾何意義，二元函數(shù)極限，累次極限，二元函數(shù)的連續(xù)性概念，有界閉區(qū)域上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì) 2 4（2）可微性，偏導數(shù)與全微分，偏導數(shù)，全微分的概念，可微性的幾何意義與應用

（3）復合函數(shù)的求導法則 復合函數(shù)的全微分（4）方向?qū)?shù)與梯度

（5）高階偏導數(shù)，中值定理和泰勒公式，極值問題

（6）隱函數(shù)概念，隱函數(shù)存在性條件的分析，隱函數(shù)定理 隱函數(shù)的求導，隱函數(shù)組概念 隱函數(shù)組定理，反函數(shù)組與坐標變換

（7）平面曲線的切線與法線 空間曲線的切線與法平面 曲面的切平面與法線（8）條件極值 2．要求

（1）了解平面點集，R上的完備性定理，多元函數(shù)的定義，二元函數(shù)的定義域，二元函數(shù)的幾何意義，二元函數(shù)極限，累次極限，二元函數(shù)的連續(xù)性概念，有界閉區(qū)域上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)

（2）掌握偏導數(shù)、全微分的概念，可微性的幾何意義與應用

（3）熟練掌握一階、二階偏導數(shù)的計算，掌握復合函數(shù)偏導數(shù)和全微分的計算（4）掌握方向?qū)?shù)，梯度的計算，了解隱函數(shù)定理，掌握隱函數(shù)及隱函數(shù)組的的微分的計算

（5）掌握平面曲線的切線與法線 空間曲線的切線與法平面 曲面的切平面與法線的方程的計算

（6）了解二元函數(shù)泰勒公式，熟練掌握二元函數(shù)的無條件極值的計算，掌握條件極值的拉格朗日乘數(shù)法

六、多元函數(shù)積分學 1．知識范圍

（1）二重積分的概念，二重積分的可積條件，一般區(qū)域上的二重積分，二重積分的計算，二重積分的換元法，含參量積分的導數(shù)

（2）三重積分的概念，化三重積分為累次積分，三重積分的換元法（3）重積分的應用，曲面的面積，重積分在物理學上的應用

（4）第一型曲線積分和第一型曲面積分的概念，第一型曲線積分和第一型曲面積分的計算

（5）第二型曲線積分和第二型曲面積分的概念，第二型曲線積分和第二型曲面積分的計算

（6）格林公式，曲線積分與路徑的無關性（7）高斯公式，斯托克斯公式 2．要求

（1）了解二重積分的概念、二重積分的可積條件、一般區(qū)域上的二重積分，熟練掌握直角坐標系下二重積分的計算，掌握二重積分的換元法、含參量積分的導數(shù)

（2）了解三重積分的概念，掌握直角坐標下化三重積分為累次積分

（3）了解第一型曲線積分和第一型曲面積分的概念，掌握第一型曲線積分和第一型曲面積分的計算，了解第二型曲線積分和第二型曲面積分的概念，掌握第二型曲線積分和第二型曲面積分的計算

（4）了解格林公式，曲線積分與路徑的無關性（5）了解高斯公式，知道斯托克斯公式

七、無窮級數(shù)

（一）數(shù)項級數(shù) 5 1．知識范圍

（1）數(shù)項級數(shù)的概念，級數(shù)的收斂與發(fā)散，級數(shù)的基本知識，級數(shù)收斂的必要條件

（2）正項級數(shù)斂散性判別法，比較判別法，比值判別法

（3）任意項級數(shù)，交錯級數(shù)，絕對收斂，條件收斂，萊布尼茲判別法

2．要求

（1）了解數(shù)項級數(shù)的概念，級數(shù)的收斂與發(fā)散，級數(shù)的基本知識，級數(shù)收斂的必要條件

（2）熟練掌握正項級數(shù)斂散性的比較判別法和比值判別法（3）了解任意項級數(shù)、交錯級數(shù)、絕對收斂、條件收斂的概念（4）掌握交錯級數(shù)收斂的萊布尼茲判別法.（三）冪級數(shù) 1．知識范圍

（1）冪級數(shù)收斂區(qū)間（2）冪級數(shù)的性質(zhì)（3）冪級數(shù)的運算

（4）泰勒級數(shù)與初等函數(shù)的冪級數(shù)展開式 2．要求

（1）了解冪級數(shù)、冪級數(shù)的收斂半徑、收斂區(qū)間的概念

（2）了解冪級數(shù)在收斂區(qū)間內(nèi)的性質(zhì)（和、差、逐項求導、逐項積分）（3）掌握冪級數(shù)的收斂半徑、收斂區(qū)間的的求法

（4）會運用基本初等函數(shù)的麥克勞林公式將一些簡單的初等函數(shù)展開為冪級數(shù)