第一篇：811(數學分析)考試大綱

2010年碩士研究生入學考試《數學分析》考試大綱

Ⅰ 考試內容和考試要求

一．函數、極限、連續與一致連續

考試內容：實數的概述，函數的概念，具有某些特殊性質的函數。復合函數、反函數、分段函數的概念。基本初等函數的性質及其圖形，初等函數及函數關系的建立。

函數（數列）的定義和性質，極限的四則運算法則，極限存在的條件，兩個重要的極限，連續和一致連續的定義，連續函數的運算，初等函數的連續性，閉區間上連續函數的性質。考試要求：1.理解函數的概念，掌握函數的表示法，會建立應用問題的函數關系。

2.理解數集的確界原理，會求一個實數集的上、下確界。

3.了解函數的有界性、單調性、周期性和奇偶性。

4.理解復合函數及分段函數的概念，理解反函數的概念。

5.掌握基本初等函數的性質及其圖形，了解初等函數的概念。

6.理解極限的概念，理解函數左極限與右極限的概念以及函數極限存在與左右極限之間的關系，掌握極限的性質及四則運算法則。

7.掌握極限存在的幾個準則（單調有界原理，柯西準則，夾逼準則，歸結原則），并會利用它們判定極限的存在性，掌握利用兩個重要的極限求極限的方法。

8.理解無窮小量、無窮大量的概念，掌握無窮小量的比較方法，會應用等價無窮小量求極限。

9.理解函數連續性的概念（含左連續、右連續），會判別函數間斷點的類型，理解一致連續性的概念。

10.了解連續函數的性質和初等函數的連續性，理解閉區間上連續函數的性質（有界性，最大值和最小值定理，介值定理，一致連續性定理），并會應用這些性質。

二．一元函數的微分學

考試內容：導數的定義及幾何意義，導數的四則運算法則，反函數求導法則，復合函數 求導法則，初等函數的導數、隱函數及其由參數方程式表示的函數的導數。函數的微分的 定義及運算，高階導數及高階微分。

微分中值定理，洛必達法則，函數單調性的判別，函數的極值，函數圖形的凸凹性、拐 點及漸近線，函數圖形的描繪，函數的最大值、最小值。泰勒中值定理。

考試要求：1.理解導數和微分的概念，理解導數與微分的關系及可導及連續性的關系，理解導數的幾何意義，會求平面曲線的切線與法線法則，了解導數的物理意義，會用導數描述一些物理量。

2.掌握導數的四則運算法則和復合函數的求導法則，掌握基本初等函數的導數公式，了解微分的四則運算法則和一階微分形式的不變性，會求函數的微分。

3.了解高階導數的概念，會求簡單函數的高階導數。

4.會求分段函數的導數，會求隱函數和參數方程所確定的函數以及反函數的導數。

5.理解并應用羅爾定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理及泰勒中值定理。

6.掌握用洛必達法則求未定式極限的方法。

7.理解函數的極值概念，掌握用導數判斷函數的單調性和求函數極值的方法，掌握函數最大值和最小值的求法及其應用。

8.會用導數判斷函數圖形的凸凹性，會求函數圖形的拐點及水平、鉛直和斜漸近線，會描繪函數圖形。

三．一元函數積分學

考試內容：原函數與不定積分的概念，基本積分公式和性質，換元積分法、分部積分法、有理函數的積分、三角函數有理式的積分，幾種無理函數的積分。

定積分的定義及其性質，可積的充要條件，可積函數類，牛頓—萊布尼茲公式、換元積 分法、分部積分法、非正常積分。平面圖形的面積，曲線的弧長和曲率，由截面面積求立 體的體積，旋轉體的表面積，定積分在物理上的某些應用及定積分的近似計算。

考試要求：1.理解原函數的概念，理解不定積分和定積分的概念。

2.掌握不定積分的基本公式，掌握不定積分和定積分性質及定積分中值定理，掌握換元積分法與分部積分法。

3.會求有理函數、三角函數、有理式和簡單的無理函數積分。

4.了解可積的充要條件，了解可積函數類。理解積分上限函數，會求它的導數，掌握牛頓—萊布尼茲公式。

5.了解反常積分的概念，會計算反常積分。

6.掌握用定積分表達和計算一些幾何量（平面圖形的面積、平面曲線的弧長、旋轉體的體積及側面積，平行截面面積為已知的立體的體積），會求平

面曲線的曲率，會求函數的平均值，會用定積分表達和計算一些物理量（路程、功、壓力、質心、形心等）。

四．關于實數的基本定理和閉區間上連續函數的性質的證明

考試內容：子列、確界與存在定理，區間套定理，致密性定理，柯西收斂原理，有限覆 蓋定理，有限性定理，最大（小）值定理，零點存在定理，反函數的連續性定理，一致連 續性定理，上、下極限的定義。

考試要求：1.掌握子列、確界與存在定理，區間套定理，致密性定理，柯西收斂原理，有限覆蓋定理及其論證過程，會用這些定理解決分析中的一些較簡單的理論問題。

2.掌握閉區間上連續函數性質定理的論證過程，了解上、下極限的定義。

五．無窮級數

考試內容：數項級數收斂與和的定義性質、柯西準則、正項級數及其收斂性、一般級數的絕對收斂與條件收斂、交錯級數、萊布尼茲定理、阿貝爾定理、狄利克雷定理、絕對收斂與條件收斂級數的性質。

函數項級數與函數列的收斂和一致收斂的概念，一致收斂的審斂法，一致收斂函數列與級數的性質。冪級數的收斂半徑、收斂域、和函數、冪級數的運算、函數展開成冪級數。三角級數和三角函數系的正交性、傅立葉級數、函數的傅立葉級數的展開，收斂性定理，傅立葉級數的和函數。

考試要求：

1.理解級數的收斂與發散、收斂級數的和的概念。

2.掌握級數的基本性質及級數收斂的必要條件，掌握幾何級數及P-級數的收斂與發散的條件，掌握正項級數收斂性的比較判定法和比值判定法。

3.了解絕對收斂與條件收斂的概念以及絕對收斂與收斂的關系，了解交錯級數的萊布尼茨判定法。

4.了解判定級數斂散性的阿貝爾判別法及狄利克雷判別法。

5.理解函數列與函數項級數的收斂與一致收斂的概念，掌握函數列一致收斂的充要條件，函數項級數一致收斂的充要條件、柯西準則和函數項級數一致收斂的優級數判別法（維爾斯特拉斯判別法）。了解阿貝爾判別法和狄利克雷判別法。一致收斂的函數項級數（函數列）的和函數（極限函數）的性質。

6.會求冪級數的收斂半徑、收斂區間、收斂域。了解冪級數在收斂區間內的基本性質（和

函數的連續性、逐項求導和逐項積分），會求簡單冪級數在其收斂區間內的和函數。掌握e，xsinx，cosx，(1?x)?的麥克勞林展開式，會將一些較簡單的函數展開成冪級數。

7.了解傅立葉級數的概念和狄利克雷收斂定理，會將定義在[?l,l]上的函數展開為傅立葉級數，會將定義在[0,l]上的函數展開為正弦級數與余弦級數，會寫出傅立葉級數的和函數的表達式。

六．多元函數的極限、連續

考試內容：平面點集的概念，平面點集的基本定理、二元函數的概念，二重極限的二次極限，二元函數的連續性，有界閉區域上連續函數的性質。

考試要求：了解平面點集的概念及幾何意義，理解多元函數的概念，會求簡單的二重極限與二次極限，了解二元函數的連續性及有界閉區域上連續函數的性質。七．多元函數的微分學

考試內容：偏導數與全微分的概念，高階偏導數和復合函數的鏈式規則，由方程所確定的函數的求導法則，空間曲線的切線和法平面，曲面的切平面與法線，方向導數，梯度，泰勒公式。多元函數的極值與條件極值，隱函數的存在定理，函數的線性相關。考試要求：

1.理解多元函數的偏導數和全微分的概念，會求全微分，了解全微分存在的必要條件及充分條件，了解全微分形式的不變性。2.掌握多元復合函數的一階、二階偏導數的求法。3.理解方向導數、梯度的概念及計算方法。

4.了解隱函數的存在定理，會求多元隱函數的偏導數。

5.了解空間曲線的切線和法平面及曲面的切平面和法線的概念，會求它們的方程。6.了解二元函數的二階泰勒公式。

7.理解多元函數極值和條件極值的概念，掌握多元函數極值存在的必要條件，了解二元函數極值存在的充分條件，會求二元函數的極值，會用拉格朗日乘數法求條件極值，會求簡單多元函數的最大值和最小值，并會解決一些簡單的應用問題。八．多元函數的積分學

考試內容：二重積分和三重積分的定義和性質，二重積分的計算，三重積分的計算，重積分的應用，n重積分，含參量正常積分、反常積分、歐拉積分。第一類曲線積分與

第二類曲線積分的定義、性質，兩類曲線積分的計算，兩類曲線積分的聯系。第一類曲面積分與第二類曲面積分的定義、性質，兩類曲面積分的計算，兩類曲面積分的聯系。格林公式、高斯公式、斯托克斯公式，曲線積分與路徑無關，二元函數的全微分求積，場的概念，向量場的散度與旋度，保守場、算子。線面積分應用。考試要求：

1.理解二重積分和三重積分的概念，了解重積分的性質，了解二重積分的中值定理。

2.掌握二重積分的計算方法（直角坐標、極坐標）。會計算三重積分(直角坐標、柱面坐標、球面坐標)。

3.理解兩類曲線積分的概念，了解兩類曲線積分的性質及兩類曲線積分的關系。4.掌握兩類曲線積分的計算方法。

5.掌握格林公式并會運用平面曲線積分與路徑無關的條件，會求二元函數的全微分的原函數。

6.理解兩類曲面積分的概念，性質及兩類曲面積分的關系，掌握計算兩類曲面積分的方法，掌握用高斯公式計算曲面積分的方法，并會用斯托克斯公式計算曲線積分。

7.了解散度、旋度和場的概念，并會計算散度、旋度。

8.會用重積分，曲線積分及曲面積分求一些幾何量和物理量（平面圖形的面積、體積、曲面的面積、質量及流量等）。9.了解含參量的正常積分及歐拉積分。

Ⅱ 考核形式

1.試卷滿分為150分，考試時間180分鐘。2.答題方式為閉卷、筆試。Ⅲ 考試教材

推薦教材：華東師范大學數學系編，數學分析（第三版）。

高等教育出版社，2001。

第二篇：數學分析考試大綱

625數學分析考試大綱

一、考試目的

《數學分析》作為全日制碩士研究生入學考試的專業基礎課考試，其目的是考察考生是否具備進行本學科各專業碩士研究生學習所要求的水平。

二、考試的性質與范圍

本考試是一種測試應試者綜合運用所學的數學分析的知識的尺度參照性水平考試。考試范圍包括數學分析的基本的概念，理論和方法，考察考生的理解、分析、解決數學分析問題的能力。

三、考試基本要求

1.熟練掌握數學分析的基本概念、命題、定理； 2．綜合運用所學的數學分析的知識的能力

四、考試形式

閉卷考試。

五、考試內容（或知識點）

一、數列極限

數列、數列極限的 定義，收斂數列——唯一性、有界性、保號性、不等式性、迫斂性、四則運算，單調有界數列極限存在定理。柯西準則，重要極限。

二、函數極限

函數極限。定義，定義，單側極限，函數極限的性質——唯一性、局部有界性、局部保號性、不等式性、迫斂性、四則運算、歸結原則（Heine 定理）。函數極限的柯西準則。

無窮小量及其階的比較，無窮大量及其階的比較，漸近線。

三、函數的連續性

函數在一點的連續性、單側連續性、間斷點及其分類。在區間上連續的函數，連續函數的局部性質——有界性、保號性。連續函數的四則運算。復合函數的連續性。閉區間上連續函數的性質——有界性、取得最大值最小值性、介值性、一致連續性、反函數的連續性，初等函數連續性。

四、導數和微分

導數定義，單側導數、導函數、導數的幾何意義、費馬(Fermat)定理。和、積、商的導數、反函數的導數、復合函數的導數、初等函數的導數、參變量函數的導數、高階導數、微分概念、微分的幾何意義、微分的運算法則。

五、微分中值定理

Roll、Lagrange、Cauchy中值定理，不定式極限，洛比達（L’Hospital）法則，泰勒（Taylor）定理。（泰勒公式及其皮亞諾余項、拉格朗日余項、積分型余項）。極值、最大值與最小值。曲線的凸凹性。拐點，函數圖的討論。

六、實數的完備性

區間套定理，數列的柯西（Cauchy）收斂準則，聚點原理，有界數列存在收斂子列，有限覆蓋定理。

七、不定積分

原函數與不定積分，換元積分法、分部積分法，有理函數積分法，三角函數有理式的積分法，幾種無理根式的積分。

八、定積分

牛頓——萊布尼茨公式，可積的必要條件，可積的充要條件，可積函數類。絕對可積性，積分中值定理，微積分學基本定理。換元積分法，分部積分法。

九、定積分的應用

簡單平面圖形面積。有平行截面面積求體積，曲線的弧長與微分。微元法、旋轉體體積與側面積，物理應用（引力、功等）。

十、反常積分

無窮限反常積分概念、柯西準則，絕對收斂、無窮限反常積分收斂性判別法：比較判別法，狄利克雷（Dirichlet）判別法，阿貝爾（Abel）判別法。無界函數反常積分概念，無界函數反常積分收斂性判別法。

十一、數項級數

級數收斂與和，柯西準則，收斂級數的基本性質，正項級數比較原則。比式判別法與根式判別法、積分判別法。一般項級數的絕對收斂與條件收斂，交錯級數，萊布尼茨判別法，狄利克雷（Dirichlet）判別法，阿貝爾（Abel）判別法。絕對收斂級數的重排定理。

十二、函數列與函數項級數

函數列與函數項級數的收斂與一致收斂概念，一致收斂的柯西準則。函數項級數的維爾斯特拉斯（Weierstrass）優級數判別法，狄利克雷（Dirichlet）判別法，阿貝爾（Abel）判別法，函數列極限函數與函數項級數和的連續性、逐項積分與逐項求導。

十三、冪級數

冪級數的收斂半徑與收斂區間，一致收斂性、連續性、逐項積分與逐項求導，冪級數的四則運算。

泰勒級數、泰勒展開的條件，初等函數的泰勒展開。

十四、傅里葉（Fourier）級數

三角級數、三角函數系的正交性、傅里葉（Fourier）級數，貝塞爾（Bessel）不等式，黎曼——勒貝格定理，按段光滑且以2π為周期的函數展開，傅里葉級數的收斂定理，以2π為周期的函數的傅里葉級數，奇函數與偶函數的傅里葉級數。

十五、多元函數的極限和連續

平面點集概念（鄰域、內點、界點、開集、閉集、開域、閉域），平面點集的基本定理——區域套定理、聚點原理、有限覆蓋定理。二元函數概念。二重極限、累次極限，二元函數的連續性、復合函數的連續性定理、有界閉域上連續函數的性質。

十六、多元函數的微分學

偏導數及其幾何意義，全微分概念，全微分的幾何意義，全微分存在的充分條件，全微分在近似計算中的應用，復合函數的偏導數與全微分，一階微分形式不變性，方向導數與梯度，混合偏導數與其順序無關性，高階導數，高階微分，二元函數的泰勒定理，二元函數的極值。

十七、隱函數定理

隱函數概念、隱函數定理、隱函數求導。

隱函數組概念、隱函數組定理、隱函數組求導、反函數組與坐標變換，函數行列式。幾何應用，條件極值與拉格朗日乘數法。

十八、含參量積分

含參量積分概念、連續性、可積性與可微性，積分順序的交換。含參量反常積分的收斂與一致收斂，一致收斂的柯西準則。維爾斯特拉斯（Weierstrass）判別法。連續性、可積性與可微性，Gamma函數。

十九、曲線積分

第一型和第二型曲線積分概念與計算，兩類曲線積分的聯系。

二十、重積分

二重積分定義與存在性，二重積分性質，二重積分計算（化為累次積分）。格林（Green）公式，曲線積分與路徑無關條件。二重積分的換元法（極坐標與一般變換）。三重積分定義與計算，三重積分的換元法（柱坐標、球坐標與一般變換）。重積分應用（體積，曲面面積，重心、轉動慣量、引力等）。無界區域上的收斂性概念。無界函數反常二重積分。在一般條件下重積分變量變換公式。

二十一、曲面積分

曲面的側。第一型和第二型曲面積分概念與計算，高斯公式。斯托克斯公式。場論初步（梯度場、散度場、旋度場）。

六、考試題型

計算題、證明題。

七、參考書目：本科通用教材

864高等代數考試大綱

一、考試目的

《高等代數》作為全日制碩士研究生入學考試的專業基礎課考試，其目的是考察考生是否具備進行本學科各專業碩士研究生學習所要求的水平。

二、考試的性質與范圍

本考試是一種測試應試者綜合運用所學的高等代數的知識的尺度參照性水平考試。考試范圍包括高等代數的基本的概念，理論和方法，考察考生的理解、分析、解決代數問題的能力。

三、考試基本要求

1.熟練掌握高等代數的基本概念、命題、定理； 2．綜合運用所學的高等代數的知識的能力

四、考試形式 閉卷

五、考試內容（或知識點）1．多項式

數域，一元多項式，整除的概念，最大公因式，因式分解定理，重因式，多項式函數，復系數與實系數多項式的因式分解，有理系數多項式，多元多項式，對稱多項式。

2、行列式

排列，n級行列式的定義，n級行列式的性質，n級行列式的展開，行列式按一行（列）展開，克拉默（Cramer）法則，拉普拉斯（Laplace）定理，行列式的乘法規則。

3． 線性方程組

消元法，n維向量空間，線性相關性，矩陣的秩，線性方程組有解判別定理，線性方程組解的結構。

4． 矩陣

矩陣的概念，矩陣的運算，矩陣乘積的行列式與秩，矩陣的逆，矩陣的分塊，初等矩陣，分塊乘法的初等變換及應用。

5． 二次型

二次型的矩陣表示，標準型，唯一性，正定（半正定）二次型。

6． 線性空間

集合、映射，線性空間的定義與簡單性質，維數、基與坐標，基變換與坐標變換，線性子空間，子空間的交與和，子空間的直和，線性空間的同構。

7． 線性變換

線性變換的定義，線性變換的運算，線性變換的矩陣，特征值與特征向量，對角矩陣，線性變換的值域與核，不變子空間，若當（Jordan）標準形介紹，最小多項式。

8． λ-矩陣

λ-矩陣的定義，λ-矩陣在初等變換下的標準型，不變因子，矩陣相似的條件，初等因子，若當（Jordan）標準形的理論推導，矩陣的有理標準形。

9． 歐幾里得空間 定義與基本性質，標準正交基，同構，正交變換，子空間，對稱矩陣的標準形，向量到子空間的距離與最小二乘法。

10． 雙線性函數

線性函數，對偶空間，雙線性函數，對稱（反對稱）雙線性函數。

六、考試題型

計算題、證明題

七、參考書目：本科通用教

第三篇：《數學分析》考試大綱

漳州師范學院2013年碩士研究生入學考試

《數學分析》考試大綱

一、考試基本要求：

以檢驗考生理解《數學分析》的基本概念，基本理論，掌握《數學分析》的基本方法和基本技巧的熟練程度為主。

二、考試方法和時間：

考試方法為筆試，考試時間為3小時。

三、考核知識點：

1．數列極限、函數極限的定義及性質；??N、???方法的證明；數列極限、函數極限的各種計算方法。

2．連續性的定義及性質；連續性、一致連續性的證明及其應用。

3．微分和導數的概念及導數的幾何意義；微分中值定理、Taylor公式、不等式的證明及導數在研究函數中的應用。

4．不定積和定積分的定義；積分中值定理、牛頓－萊布尼茲公式、定積分的計算和有關的證明。

5．數項級數收斂、發散的判別法, 函數項級數一致收斂的判別法；冪級數的收斂半徑、收斂域、級數和函數的求法及函數的Taylor展開。

6．平面點集；二元函數極限、連續的定義及多元函數極限的求法；多元函數偏導數及全微分的定義、計算及有關的證明。

7．廣義積分、含參量積分的各種斂散性判別法及含參量廣義積分的一致收斂性判別法；含參量積分及含參量廣義積分的連續性、可微性、可積性及其它們的應用。

8．二重積分、三重積分的計算；第一類曲線積分、第一類曲面積分、第二類曲線積分、第二類曲面積分的計算；格林公式、高斯公式、斯托克斯公式的應用。

四、參考書目：

復旦大學數學系歐陽光中等編，數學分析(上、下冊)（第三版），高等教育出版社，2007年。

漳州師范學院數學與信息科學系

2012年9月

第四篇：01數學分析考試大綱

01 《數學分析》考試大綱

一、總要求

考生應按本大綱的要求，了解或理解數學分析中的函數、極限和連續、實數的基本理論、一元函數微分學、一元函數積分學、多元函數微積分學、無窮級數的基本概念與基本理論；學會、掌握或熟練掌握上述各部分的基本方法。應注意各部分知識的結構及知識的內在聯系；應具備有一定的抽象思維能力、邏輯推理能力、運算能力、空間想象能力；能運用基本概念、基本理論和基本方法正確地推理證明，準確地計算；能綜合運用所學知識分析并解決簡單的實際問題。

本大綱對內容的要求由低到高，對概念和理論分為“了解”和“理解”兩個層次；對方法和運用分為“會”、“掌握”、和“熟練掌握”三個層次。

二、教材 《數學分析》（上、下），華東師范大學數學系編（第三版），高等教育出版社

三、內容

一、函數、極限和連續（1）函數 1．知識范圍（1）函數的概念

函數的定義

函數的表示法

分段函數（2）函數的簡單性質

單調性` 奇偶性 有界性

周期性（3）反函數

反函數的定義 反函數的圖像（4）函數的四則運算與復合運算（5）基本初等函數

冪函數

指數函數 對數函數

三角函數

反三角函數（6）初等函數 2．要求

（1）理解函數的概念。學會函數的定義域、表達式及函數值。會求分段函數的定義域、函數值，并會作出簡單的分段函數的圖像。

（2）理解和掌握函數的單調性、奇偶性、有界性、周期性，會判斷函數的類型。（3）理解和掌握函數的四則運算與復合運算，熟練掌握復合函數的復合過程。（4）掌握基本初等函數的簡單性質及圖像。（5）掌握初等函數的概念。

（6）會建立簡單實際問題的函數關系式。

（二）極限 1．知識范圍

（1）數列極限的概念

數列、數列極限的ε-N定義（2）數列極限的性質

唯一性，有界性，四則運算定理，夾逼定理，單調有界定理（3）函數極限的概念

函數在一點處極限的定義，左、右極限及其與極限的關系，x趨于無窮時函數的極 限，函數的幾何意義

（4）函數極限的定理

唯一性定理，夾逼定理，四則運算定理（5）無窮小量和無窮大量

無窮小量與無窮大量的定義，無窮小量與無窮大量的關系，無窮小量與無窮大量的性質，兩個無窮小量的階的比較

（6）兩個重要的極限 2．要求

（1）理解極限的概念，能根據極限的概念分析函數的變化趨勢。會求函數在一點處的左、右極限，理解函數在一點處極限存在的充分必要條件

（2）理解極限的有關性質，掌握極限的四則運算法則

（3）理解無窮小量、無窮大量的概念，掌握無窮小量的性質、無窮小量與無窮大量的關系。會進行無窮小量的階的比較。會運用等價無窮小量代換求極限。

（4）熟練掌握用兩個重要的極限求極限的方法

（三）連續 1．知識范圍

（1）函數連續的概念

函數在一點處連續的定義，左連續與右連續，函數在一點處連續的充分必要條件，函數的間斷點及其分類

（2）函數在一點處連續的性質

連續函數的四則運算，復合函數連續性，反函數的連續性（3）閉區間上連續函數的性質

有界性定理，最大值與最小值定理，介值性定理（4）初等函數的連續性 2．要求

（1）理解函數在一點連續與間斷的概念，掌握判斷函數在一點的連續性，理解函數在一點連續與極限存在的關系

（2）會求函數的間斷點及確定其類型

（3）掌握在閉區間上連續函數的性質，會運用介值定理推證一些簡單命題（4）理解初等函數在其定義區間上的連續性，并會利用連續性求極限 二、一元函數微分學

（一）導數與微分 1．知識范圍（1）導數的概念

導數的定義，左導數，右導數，導數的幾何意義與物理意義，可導與連續的關系（2）求導法則與導數的基本公式

導數的四則運算，反函數的導數，導數的基本公式（3）求導方法

復合函數的求導法，隱函數的求導法，對數求導法，由參數方程確定的函數的求導法，求分段函數的導數

（4）高階導數的概念 高階導數的定義及計算（5）微分

微分的定義，微分與導數的關系，微分法則，一階微分形式的不變性

2．要求

（1）理解導數的概念及其幾何意義，可導性與連續性的關系，會運用定義求函數在一點處的導數

（2）會求曲線上一點處的切線方程與法線方程

（3）熟練掌握導數的基本公式、四則運算法則及復合函數和反函數求導方法

（4）掌握隱函數的求導法、對數求導法以及由參數方程確定的函數的求導方法，會求分段函數的導數

（5）理解高階導數的概念，會求簡單函數的n階導數

（6）理解函數和微分概念，掌握微分法則，掌握微分與可導的關系，會求一階微分

（二）中值定理及導數的應用 1．知識范圍（1）中值定理

羅爾中值定理

拉格朗日中值定理 柯西中值定理（2）洛必達法則

（3）函數增減性的判定法

（4）函數的極值與極值點

最大值與最小值（5）曲線的凹凸性、拐點（6）曲線的漸近線（7）泰勒公式 2．要求

（1）理解羅爾中值定理、格朗日中值定理、柯西中值定理它們的幾何意義，會用它們證明根的存在性和簡單的不等式，（2）熟練掌握用洛必達法則求“”“0??”“???”“1”“00”“?”型未定式的極限的方法

（3）熟練掌握利用導數判定函數單調性及求函數單調增、減區間的方法，會用函數的單調性證明簡單不等式

（4）理解函數極值的概念。掌握求函數的極值和最值的方法，并會解簡單的應用問題

（5）會判斷曲線的凹凸性，會求曲線的拐點（6）會作簡單函數的圖形

（7）理解函數的泰勒公式，泰勒公式的拉格朗日型余項，掌握幾個基本初等函數的泰勒公式 三、一元函數積分學

（一）不定積分 1．知識范圍

（1）不定積分的概念

原函數與不定積分的定義

原函數存在定理

不定積分的性質（2）基本積分公式（3）換元積分法

第一換元法，第二換元法（4）分部積分法

（5）一些簡單的有理函數和可化為有理函數的積分 2．要求

00?0（1）理解原函數與不定積分的概念及其關系，掌握不定積分的性質，了解原函數存在性定理

（2）熟練掌握不定積分的基本公式

（3）熟練掌握不定積分的第一換元法，掌握第二換元法（4）熟練掌握不定積分的分部積分法（5）會求簡單有理函數的不定積分

（二）定積分 1．知識范圍

（1）定積分的概念

定積分的定義及幾何意義，可積的必要條件和充分條件 可積函數類（2）定積分的性質（3）微積分學基本定理

（4）換元積分法與分部積分法（5）泰勒公式的積分型余項

（6）廣義積分的概念

廣義積分的收斂性判別法（7）定積分的應用 2．要求

（1）理解定積分的概念及其幾何意義，掌握定積分的積分和、上和、下和的概念，定積分可積的充分條件、必要條件和充要條件

（2）掌握定積分的基本性質

（3）掌握變上限定積分是變上限的函數，掌握對變上限定積分的求導方法（4）掌握牛頓---萊布尼茨公式

（5）掌握定積分的換元積分法和分部積分法

（6）理解無窮限廣義積分和無界函數廣義積分的概念及幾何意義

（7）掌握非負函數廣義積分收斂性的比較判別法，了解阿貝爾和狄里克萊判別法（8）掌握定積分在幾何計算平面圖形的面積、旋轉體的體積、曲線的弧長、旋轉曲面的面積、和物理上計算壓力、功、重心等簡單應用

四、實數完備性理論的知識 1．知識范圍

（1）實數完備性的基本定理

（2）閉區間上連續函數性質的證明 2．要求

（1）了解實數系的構造理論（2）理解實數完備性定理的各個定理：區間套定理 柯西收斂準則，有限覆蓋定理，聚點定理，確界原理，單調有界性定理和這些定理的等價性

（3）理解閉區間上連續函數性質的證明

（4）了解實數完備性定理在證明數學命題中的應用

五、多元函數微分學

（一）多元函數微分學 1．知識范圍（1）多元函數

平面點集，R上的完備性定理，多元函數的定義，二元函數的定義域，二元函數的幾何意義，二元函數極限，累次極限，二元函數的連續性概念，有界閉區域上連續函數的性質 2 4（2）可微性，偏導數與全微分，偏導數，全微分的概念，可微性的幾何意義與應用

（3）復合函數的求導法則 復合函數的全微分（4）方向導數與梯度

（5）高階偏導數，中值定理和泰勒公式，極值問題

（6）隱函數概念，隱函數存在性條件的分析，隱函數定理 隱函數的求導，隱函數組概念 隱函數組定理，反函數組與坐標變換

（7）平面曲線的切線與法線 空間曲線的切線與法平面 曲面的切平面與法線（8）條件極值 2．要求

（1）了解平面點集，R上的完備性定理，多元函數的定義，二元函數的定義域，二元函數的幾何意義，二元函數極限，累次極限，二元函數的連續性概念，有界閉區域上連續函數的性質

（2）掌握偏導數、全微分的概念，可微性的幾何意義與應用

（3）熟練掌握一階、二階偏導數的計算，掌握復合函數偏導數和全微分的計算（4）掌握方向導數，梯度的計算，了解隱函數定理，掌握隱函數及隱函數組的的微分的計算

（5）掌握平面曲線的切線與法線 空間曲線的切線與法平面 曲面的切平面與法線的方程的計算

（6）了解二元函數泰勒公式，熟練掌握二元函數的無條件極值的計算，掌握條件極值的拉格朗日乘數法

六、多元函數積分學 1．知識范圍

（1）二重積分的概念，二重積分的可積條件，一般區域上的二重積分，二重積分的計算，二重積分的換元法，含參量積分的導數

（2）三重積分的概念，化三重積分為累次積分，三重積分的換元法（3）重積分的應用，曲面的面積，重積分在物理學上的應用

（4）第一型曲線積分和第一型曲面積分的概念，第一型曲線積分和第一型曲面積分的計算

（5）第二型曲線積分和第二型曲面積分的概念，第二型曲線積分和第二型曲面積分的計算

（6）格林公式，曲線積分與路徑的無關性（7）高斯公式，斯托克斯公式 2．要求

（1）了解二重積分的概念、二重積分的可積條件、一般區域上的二重積分，熟練掌握直角坐標系下二重積分的計算，掌握二重積分的換元法、含參量積分的導數

（2）了解三重積分的概念，掌握直角坐標下化三重積分為累次積分

（3）了解第一型曲線積分和第一型曲面積分的概念，掌握第一型曲線積分和第一型曲面積分的計算，了解第二型曲線積分和第二型曲面積分的概念，掌握第二型曲線積分和第二型曲面積分的計算

（4）了解格林公式，曲線積分與路徑的無關性（5）了解高斯公式，知道斯托克斯公式

七、無窮級數

（一）數項級數 5 1．知識范圍

（1）數項級數的概念，級數的收斂與發散，級數的基本知識，級數收斂的必要條件

（2）正項級數斂散性判別法，比較判別法，比值判別法

（3）任意項級數，交錯級數，絕對收斂，條件收斂，萊布尼茲判別法

2．要求

（1）了解數項級數的概念，級數的收斂與發散，級數的基本知識，級數收斂的必要條件

（2）熟練掌握正項級數斂散性的比較判別法和比值判別法（3）了解任意項級數、交錯級數、絕對收斂、條件收斂的概念（4）掌握交錯級數收斂的萊布尼茲判別法.（三）冪級數 1．知識范圍

（1）冪級數收斂區間（2）冪級數的性質（3）冪級數的運算

（4）泰勒級數與初等函數的冪級數展開式 2．要求

（1）了解冪級數、冪級數的收斂半徑、收斂區間的概念

（2）了解冪級數在收斂區間內的性質（和、差、逐項求導、逐項積分）（3）掌握冪級數的收斂半徑、收斂區間的的求法

（4）會運用基本初等函數的麥克勞林公式將一些簡單的初等函數展開為冪級數

第五篇：《數學分析》考試大綱

《數學分析》考試大綱

課程編號：04006 適應專業：數學與應用數學專業（師范、信息技術教育方向本科）

一、課程性質與目的要求

數學分析是數學與應用數學專業的一門重要基礎理論課。其目的是為學生提供函數、極限、微積分等連續量方面的必不可少的數學理論基礎知識。通過本課程的的學習，使學生具有一定的邏輯推理能力和計算能力，為后繼課程的學習和以后的工作打下較好的基礎。

二、學習用書

1、《數學分析》（上、下冊），華東師范大學數學系編，高等教育出版社。

2、《數學分析》（上、下冊），劉玉璉等編，高等教育出版社。

3、《數學分析簡明教程》（上、下冊），鄧東皋、尹小玲編著，高等教育出版社。

4、《微積分學教程》，菲赫金哥爾茨著，人民教育出版社。

5、《數學分析習題集》，吉米多維奇著。

三、課程內容與考核要求

第一章 函數

1、考核知識點：函數、函數的四大特性、復合函數與反函數。

2、考核要求：

（1）掌握求函數定義域及函數值域的方法。

（2）了解函數的有界性、單調性、奇偶性及周期性。

（3）給出簡單函數會求復合函數或給出復合函數會分解為簡單函數。（4）了解反函數存在的條件，并會求函數的反函數。

第二章 極限

1、考核知識點：數列極限；收斂數列的性質；數列收斂的判別法；函數極限；函數極限的性質；兩個重要極限；無窮小與無窮大。

2、考核要求：

（1）掌握數列極限的??N定義，并能用這個定義來證明數列斂散性。（2）了解收斂數列的性質，掌握數列收斂判別法。

（3）掌握函數極限概念，包括單側極限，了解函數極限的性質，函數極限與單側極限的關系，函數極限存在的條件。（4）掌握兩個重要極限，并能靈活使用。

（5）了解無窮小量與無窮大量的概念，并能進行無窮小量階的比較。

第三章 連續函數

1、考核知識點：函數在一點的連續性性；函數在區間的連續性；函數的間斷點。

2、考核要求：

（1）掌握函數在一點連續和在區間連續的概念。

（2）了解連續函數的局部性質，掌握反函數、復合函數及初等函數的連續性。（3）了解函數的間斷點，能夠求函數間斷點并加以分類。

（4）掌握閉區間上連續函數的性質（有界性、最值性、介值性）。

《數學分析》考試大綱第1頁

共4頁

第四章 實數的連續性

1、考核知識點：實數連續性定理；一致連續性。

2、考核要求：

（1）了解實數連續性定理（閉區間套定理、確界定理、有限覆蓋定理、聚點定理、致密性定理、柯西收斂準則）的條件與結論，以及有關概念。（2）掌握上確界、下確界的概念，并能求集合的上、下確界。（3）掌握一致連續性的定義，并會證明函數的一致連續性。

第五章 導數與微分

1、考核知識點：導數的定義；求導公式與求導法則；隱函數的求導；參數方程給出的函數的求導；函數的微分；微分與導數的關系；高階導數與高階微分；微分在近似計算中的應用。

2、考核要求：

（1）掌握導數與微分的概念，求導公式與求導法則，特別是復合函數的求導法則，及微分的運算法則。

（2）掌握導數的幾何意義，會求曲線的切線方程與法線方程。（3）掌握隱函數與參數方程的求導法則，對數求導法。

（4）掌握高階導數與高階微分的概念，會求函數的高階導數，特別是會使用萊布尼茲公式求函數乘積的高階導數。（5）了解微分在近似計算中的應用。

第六章 微分學基本定理及其應用

1、考核知識點：羅爾中值定理；拉格朗日中值定理；柯西中值定理；洛必達法則；泰勒公式；導數地研究函數上的應用。

2、考核要求：

（1）掌握羅爾中值定理、拉格朗日中值定理的條件與結論，并能用微分中值定理解決相應的問題。

（2）了解柯西中值定理及泰勒公式。

（3）握洛必達法則，熟練使用洛必達法則求函數未定式的極限。（4）掌握常用的幾個初等函數的泰勒展開式。

（5）用導數來判斷函數的單調性，以及函數極值的求法，包括函數的最大值與最小值。

（6）掌握函數凹凸性判定及函數拐點的求法。（7）會求曲線的漸近線，了解函數的作圖。

第七章 不定積分

1、考核知識點：原函數與不定積分的概念；分部積分法與換元積分法；有理函數的不定積分；簡單無理函數與三角函數的不定積分。

2、考核要求：

（1）掌握原函數與不定積分的概念，掌握不定積分與導數（微分）的關系。（2）掌握基本積分表、第一換元積分法、第二換元積分法、分部積分法。（3）掌握有理函數與可化為有理函數的積分。

（4）掌握某些簡單無理函數及三角函數有理式的積分。

第八章 定積分

1、考核知識點：定積分的概念；可積條件；定積分的性質；微積分學基本定理；定積分的計算；定積分的應用。

2、考核要求：

（1）掌握定積分的概念，掌握小和與大和的概念及它們的性質。

《數學分析》考試大綱第2頁

共4頁（2）掌握可積的必要條件與可積函數類。（3）掌握可積的充分必要條件（可積準則）。（4）掌握定積分的性質及積分上限函數的性質，掌握定積分的基本公式即牛頓—萊布尼茲公式。

（5）掌握定積分的換元法與分部積分法。

（6）掌握微元法，會用定積分計算平面圖形的面積、平面曲線的弧長，應用截面面積求立體體積、旋轉體的側面積、定積分在物理上的某些應用。（7）了解定積分的近似計算。

第九章 級數

1、考核知識點：數項級數；數項級數的斂散性及收斂級數的性質；正項級數；一般項級數；函數級數及其一致收斂性；函數列的一致收斂性；和函數的分析性質；冪級數的收斂半徑與收斂區間；冪級數和函數的分析性質；泰勒級數；初等函數的冪級數展開式；傅立葉級數。

2、考核要求：

（1）掌握級數的概念、級數的收斂性及其性質。

（2）掌握正項級數收斂性的判別法、交錯級數收斂的判別法、一般項級數收斂性判別法。

（3）了解絕對收斂級數的性質。

（4）掌握函數級數的收斂域，一致收斂的概念，包括函數列的一致收斂性的概念。（5）掌握函數級數及函數列一致收斂性的判別法。掌握和函數的分析性質。

（6）掌握冪級數的收斂半徑和收斂區間，掌握冪級數和函數的分析性質，并能求冪級數的和函數。

（7）了解泰勒級數，掌握一些基本初等函數的冪級數展開式。（8）了解冪級數的應用。

（9）了解三角級數、三角函數系的正交性。

（10）掌握以2?（或以2l）為周期的函數的傅立葉級數。

（11）掌握奇函數與偶函數的傅立葉級數。

第十章 多元函數微分學

1、考核知識點：平面點集；坐標平面的連續性；多元函數的概念；二元函數的極限與連續性；偏導數；全微分；可微的幾何意義；復合函數微分法；方向導數；高階偏導數；二元函數的泰勒公式；二元函數的極值。

2、考核要求：

（1）了解平面點集、坐標平面的連續性（閉矩形套定理、有限覆蓋定理、聚點定理、柯西收斂準則、致密性定理）；多元函數的概念。

（2）掌握二元函數的極限（二重極限）與二次極限，二元函數的連續性。

（3）掌握在有界閉區域上連續的二元函數的性質（有界性、最值性、介值性）（4）掌握多元函數的偏導數與全微分，并能熟練求函數偏導數與全微分。（5）掌握復合函數的偏導數與全微分。

（6）掌握可微的幾何意義，會求曲面在某點的切平面與法線方程。（7）會求方向導數和高階偏導數。（8）了解二元函數泰勒公式。

（9）掌握求二元函數極值的方法。

第十一章 隱函數

1、考核知識點： 隱函數；隱函數組；函數行列式；條件極值；隱函數存在定理在幾何方面上的應用。

《數學分析》考試大綱第3頁

共4頁

2、考核要求：

（1）了解隱函數的概念及隱函數存在定理的條件與結論，了解隱函數組的概念及隱函數組存在定理。

（2）掌握求隱函數或隱函數組的偏導數（或導數）的方法。（3）了解函數行列式概念及其性質。

（4）掌握函數的條件極值與拉格朗日乘數法。

（5）會求空間曲線的切線與法平面方程，以及曲面的切平面與法線方程。

第十二章 廣義積分與含參變量的積分

1、考核知識點：無窮積分；瑕積分；含參變量的有限積分；含參變量的無窮積分；?函數與B函數。

2、考核要求：

（1）掌握無窮積分及瑕積分的收斂與發散的概念，無窮積分及瑕積分的性質。（2）了解無窮積分與級數的關系，無窮積分與瑕積分的關系。（3）掌握無窮積分及瑕積分斂散性的判別法。（4）掌握含參變量有限積分在閉區間的分析性質。（5）掌握含參變量無窮積分的一致收斂及其判別法。（6）掌握含參變量無窮積分的分析性質。

（7）了解?函數與B函數的定義及其性質、它們之間的關系。

第十三章 重積分

1、考核知識點：二重積分的概念；二重積分的性質；二重積分的計算；三重積分的概念；三重積分的計算。

2、考核要求：

（1）掌握二重積分的定義、二重積分存在條件、二重積分的性質。

（2）掌握二重積分的計算，化二重積分為累次積分，二重積分的換元法。（3）掌握三重積分的定義。

（4）掌握三重積分的計算，化三重積分為累次積分。

第十四章 曲線積分與曲面積分

1、考核知識點：第一型曲線積分；第二型曲線積分；格林公式；曲線積分與路線無關的條件；第一型曲面積分；第二型曲面積分；奧高公式；斯托克斯公式。

2、考核要求：

（1）了解第一型曲線積分與第二型曲線積分的概念。（2）了解第一型曲面積分與第二型曲面積分的概念。（3）掌握第一型曲線積分與第二型曲線積分的計算。（4）掌握兩類曲線積分的關系。

（5）掌握格林公式，會用格林公式求閉曲線的積分。（6）掌握曲線積分與路徑的無關的條件。

（7）掌握第一型曲面積分與第二型曲面積分的計算。（8）掌握用奧高公式計算閉曲面上的積分。

（9）了解曲線積分與曲面積分的關系，會使用斯托克斯公式。

注：

1、本考試大綱是按劉玉璉、傅沛仁編《數學分析講義》的順序編寫的。

2、本考試大綱主要針對數學與應用數學師范本科專業來編寫，對于數學與應用數學專業信息技術教育方向可作適當調整。

《數學分析》考試大綱第4頁

共4頁