第一篇：數學系第三學期數學分析期末考試題及答案

第三學期《數學分析》期末試題

一、選擇題：（15分，每小題3分）

1、累次極限存在是重極限存在的（）

A充分條件 B必要條件 C充分必要條件 D 無關條件

2、?f(x,y)|(x0,y0)?（）?xAlim?x?0f(x0??x,y0??y)?f(x0,y0)f(x0??x,y0)；

B lim；

?x?0?x?xf(x0??x,y0??y)?f(x0??x,y0)f(x0??x,y0)?f(x0,y0)；

Dlim。

?x?0?x?xClim?x?03、函數f(x,y)在（x0，y0）可偏導，則（D）

A f(x,y)在（x0，y0）可微

；

B f(x,y)在（x0，y0）連續；

C f(x,y)在（x0，y0）在任何方向的方向導數均存在 ；

D 以上全不對。

x2y24、f(x,y)?22的二重極限和二次極限各為（B）2xy?(x?y)A、0，0，0；

B、不存在，0，0，；

C、0，不存在，0；

D、0，0，不存在。

5、設z?e，則xxy?z?z?y?（A）?x?yA、0；

B、1；

C、-1；

D、2。

二、計算題（50分，每小題10分）

xy??

1、證明函數f(x,y)??x2?y2?0?但它在該點不可微；

xxx2?y2?0x2?y2?0

在（0，0）點連續且可偏導，2、設f(x)???e??d?dt,求f?(x),f(x)0t2；

?xy??z?zF?,??03、設有隱函數?zz?,其中F的偏導數連續,求?x、?y；

4、計算?Cex(cosydx?sinydy)，其中C是任一條以為A(0,0)起點、B(a,b)為終點的光滑曲線；

??

5、計算?zdS22z?x?y?，其中為在z?14的部分；

三、驗證或解答（滿分24分，每小題8分）

1、驗證曲線積分原函數；

3、驗證函數 ?(y?z)dx?(z?x)dy?(x?y)dz與路線無關，并求被積表達式的L?2xy,x2?y2?0?22f(x,y)??x?y22??0,x?y?0

在原點（0，0）分別對每個自變數x或y(另一個看作常數)都連續，但是二元函數在原點（0，0）卻不連續.部分題目參考答案：

二、1、證明：0?|xyx?y22|?|xy|（4分）

(x,y)?(0,0)limxyx?y22=0所以函數在（0，0）點連續，（3分）又lim0?0，fx(0,0),fy(0,0)存在切等于0，（4分）但

?x?0?x?x?y不存在，故函數在（0，0）點不可微（3分）

(?x,?y)?(0,0)?x2??y2lim

xxxxx'x由于f(x)??(?e0tx2?t??2d?)dt,f?(x)???(?e0tx??2d?)dt?0?0??e?xdt?xe?x，所

0222112以 f(x)??tedt???e?td(?t2)??e?t2020x0121??e?x?.2

2二、3、[解法 1] 由隱函數、復合函數求導法

?z???xzF1'?x?y?xF1'?yF2''?'?F1??2??F2??2??z??z? zF2'?xyxF1'?yF2'????''F1??2??F2??2??z??z?

F2'?1zF1'?1z?z???y [解法 2] 利用全微分,將隱函數方程兩邊取全微分,得

?x??F1'd???F2'd??z??

y?'zdx?xdz'zdy?ydz?0F??F?0?12?22z?zz，zF1'dx?zF2'dyzF1'?zdz??'''xF1?yF2，故 ?xxF1?yF2'

zF2'?z?'?yxF1?yF2'.由此可見,用全微分來求隱函數的偏導數也是一個途徑.?Y?Xxxxecosy?esiny?esiny,故被積表?y?xYX

二、4、解 令=，=，則 ==xxxe(cosydx?sinxdy)d(ecosy)e達式一定有原函數，注意到=(cosydx?sinxdy),知

xxu(x,y)ecosye = 是(cosydx?sinxdy)的一個原函數，故由定理21.13，有

?Cex(cosydx?sinydy)=

a,b)excosy|((0,0)a =ecosb?1.2??1????22Dxy??(x,y)x?y?????2?????，而

二、5、解 曲面?在x0y平面上的投影區域?z?z?2x,?2y?x?y，于是曲面的面積微元

?dS?1??z?1?4x2?4y2d?x???zy?d??22

所以 ???zdS???(x2?y2)1?4x2?4y2d??Dxy

?2?0d??r21?4x2rdr120

（在極坐標系下計算）

?2??1401t1?4t2(r?t)2

??8?12(u4?u2)du?1?2?60(u?1?4t).三、1、解

由于P?y?z,Q?z?x,R?x?y,所以曲線積分與路線無關.現在求 u(x,y,z)??P?Q?Q?R?R?P??????1,?y?x?z?y?x?zM0M??(y?z)dx?(z?x)dy?(x?y)dz.取M0M為沿平行于x軸的直線到M1(x,y0,z0)，再沿平行于y軸的直線到M2(x,y,z0)，最后沿平行于z軸的直線到M(x,y,z).于是

xyzu(x,y,z)??(y0?z0)ds??(z0?x)dt??(x?y)drx0y0z0?(y0?z0)x?(y0?z0)x0?(z0?x)y?(z0?x)y0?(x?y)z?(x?y)z0 ?xy?yz?xz?c其中c??x0y0?x0z0?y0z0是一個常數，若取M0為原點，則得u(x,y,z)?xy?xz?yz.?y?R,?x?R,分別有limf(x,y)?lim

三、3、證明

x?02xy?0?f(0,y)x?0x2?y2，與limf(x,y)?limy?02xy?0?f(x,0)y?0x2?y2，即f(x,y)在原點（0，0）分別對x或y都連續

2xy2x2limf(x,y)?lim2?lim2?1?0?f(0,0)x?0x?0x?y2x?02xy?0y?0當x?y時，卻有，即f(x,y)在原點（0，0）不連續（其實f(x,y)在原點（0，0）并不存在極限，當然不連續）.

第二篇：數學系第三學期數學分析期末考試題及答案

第三學期《數學分析》期末試題

一、選擇題：（15分，每小題3分）

1、累次極限存在是重極限存在的（）

A充分條件B必要條件C充分必要條件D 無關條件

2、?f(x,y)?x

|(x0,y0)?（）

Alim

f(x0??x,y0??y)?f(x0,y0)

?x

?x?0

；B lim

f(x0??x,y0)

?x；

?x?0

Clim

f(x0??x,y0??y)?f(x0??x,y0)

?x

?x?0

；Dlim

f(x0??x,y0)?f(x0,y0)

?x。

?x?03、函數f(x,y)在（x0，y0）可偏導，則（D）

A f(x,y)在（x0，y0）可微；B f(x,y)在（x0，y0）連續；

C f(x,y)在（x0，y0）在任何方向的方向導數均存在 ；D 以上全不對。

4、f(x,y)?

xy

xy?(x?y)的二重極限和二次極限各為（B）

A、0，0，0；B、不存在，0，0，；C、0，不存在，0；D、0，0，不存在。

x5、設z?ey，則x

?z?x

?y

?z?y

?（A）

A、0；B、1；C、-1；D、2。

二、計算題（50分，每小題10分）

?

?

1、證明函數f(x,y)??

??

xyx?y0

2x?yx?y

?0?0

在（0，0）點連續且可偏導，2

但它在該點不可微；

xx

f(x)?

2、設

??e

0t

??

2d?dt,求f?(x),f(x)；

?z?xy??z

F?,??03、設有隱函數?zz?,其中F的偏導數連續,求?x、?y；

4、計算?C的光滑曲線；

e(cosydx?sinydy)

x，其中C是任一條以為A(0,0)起點、B(a,b)為終點

5、??計算

?

zdS

z?x?y，其中?為在2

2z?

4的部分；

三、驗證或解答（滿分24分，每小題8分）

1、驗證曲線積分?(y?z)dx?(z?x)dy?(x?y)dz與路線無關，并求被積表達式的L

原函數；

??

2、說明對任意

3、驗證函數

??0,?e

?(??x)

sintdx關于t?(0,??)

均一致收斂；

?2xy2

2,x?y?0?22

f(x,y)??x?y

22?0,x?y?0?

在原點（0，0）分別對每個自變數x或y(另一個看作常數)都連續，但是二元函數在原點（0，0）卻不連續.?x?y?z?0

?33

3x?y?z?10?

四、（11分）求由方程組確定的隱函數y?y(x),z?z(x)在點P(1,1,?2)

處的一階導數。

部分題目參考答案：

二、1、證明：0?|

xyx?y

|?0?x

xy|（4分）

(x,y)?(0,0)

lim

xyx?y

=0所以函數在（0，0）

點連續，（3分）又lim

?x?y?x??y

?x?0

?0，fx(0,0),fy(0,0)存在切等于0，（4分）但

(?x,?y)?(0,0)

lim不存在，故函數在（0，0）點不可微（3分）

二、2、解

xx

??

xx

??

x

由于f(x)??(?e

x

d?)dt,f?(x)??

?(?e

t

d?)dt?0?0?

'x

?e

?x

dt?xe

?x，所

t

x

以 f(x)??te?dt??

t

2?e

?t

d(?t)??

x

e

?t

??

e

?x

?

.二、3、[解法 1]由隱函數、復合函數求導法

F1?

??

'

1?

zF

1'

'

'

?z?x

x?y?'?'?

F1??2??F2??2??z??z?

1xF1?yF

2zF2

'

'

'

?z?y

F2?

??

'

'

y??x?'?

F1??2??F2??2??z??z?

?

xF1?yF2

[解法 2]利用全微分,將隱函數方程兩邊取全微分,得

dz?

?x??y?zdx?xdzzdy?ydz''''

F1d???F2d???0F1??F??0222

zz????zz，zF1dx?zF2dyxF1?yF2

'

'

'

'

?z，故

?x

?

zF1

'

'

'

?z?y

xF1?yF2

?

zF2

'

'

'

xF1?yF2

.由此可見,用全微分來求隱函數的偏導數也是一個途徑.?Y

?X

二、4、解令X=

ecosy

x，Y=

?esiny

x，則

?x

x

=?y=?esiny,故被積表

=

e(cosydx?sinxdy)

x

x

達式知

e(cosydx?sinxdy)

x

一定有原函數，注意到

d(ecosy),xx

u(x,y)=ecosy 是e(cosydx?sinxdy)的一個原函數，故由定理21.13，有

?

C

e(cosydx?sinydy)

x

=

ecosy|(0,0)

x(a,b)

a

=ecosb?1.二、5、解曲面?在x0y平面上的投影區域

Dxy

??1????2

2??(x,y)x?y????

?2?????，而

?z?x

?2x,?z?y

?2y，于是曲面的面積微元

dS?

??2

?

所以

??

?

zdS?

??

Dxy

(x?y

??

?

2?0

d?

?

r

（在極坐標系下計算）

?

81?

?2?

?

(r

?

t)

?

u?u)du?

(u?.?P?y

?Q?x

?Q?z

?R?y

?R?x

?P?z

三、1、解由于P?y?z,Q?z?x,R?x?y,所以曲線積分與路線無關.現在求 u(x,y,z)?

??????1,??

M0M

(y?z)dx?(z?x)dy?(x?y)dz.取M0M為沿平行于x軸的直線到M1(x,y0,z0)，再沿平行于y軸的直線到

M2(x,y,z0)，最后沿平行于z軸的直線到M(x,y,z).于是

y

xz

u(x,y,z)?

?(y

x0

?z0)ds?

?(z

y0

?x)dt?

?(x?y)dr

z0

?(y0?z0)x?(y0?z0)x0?(z0?x)y?(z0?x)y0?(x?y)z?(x?y)z0 ?xy?yz?xz?c

其中c??x0y0?x0z0?y0z0是一個常數，若取M

u(x,y,z)?xy?xz?yz.為原點，則得

x?1時e

?(??x)

sint?e

?(??x)

?e

??

1e

x

?e

?x

1x

??,又

三、2、解當

?x

收斂，所

??

?(??x)

以

?e

sintdt

關于t?(0,??)一致收斂.而積分0

??

?e

?(??x)

sintdt

是定積分，所以

?e

?(??x)

sintdx關于t?(0,??)

一致收斂.2xyx?y

?y?R,?x?R,分別有limf(x,y)?lim

三、3、證明

limf(x,y)?lim

y?0

x?0x?0

?0?f(0,y)，與

2xyx?y

y?0

?0?f(x,0)，即f(x,y)在原點（0，0）分別對x或y都連續 2xy

2x2x

2limf(x,y)?lim

當x?y時，卻有

x?0

y?0x?0y?0

x?y

?lim

x?0

?1?0?f(0,0)，即f(x,y)在原點（0，0）不連續（其實f(x,y)在原點（0，0）并不存在極限，當然不連續）.四、解方程兩邊對x求導有

1?y?(x)?z?(x)?0??(1)?

?222

?3x?3yy?(x)?3zz?(x)?0??(2)

(1)?3z

?(2)有:y?(x)??

zz

?x?y

z?(x)?

x?yz?y

222，代入（1）有：，所以

y?(1)??1，z?(1)?0.

第三篇：數學分析期末考試題

數學分析期末考試題

一、敘述題：（每小題5分，共15分）

1、正交多項式

2、正項級數的比較判別法

3、Rn上的基本列

二、計算題：（每小題7分，共35分）

?

1、?

40xtan2xdx2、計算

?1?0.5xlnxdx的cauchy主值 23n?(?2)n3、求?(x?1)n的收斂半徑和收斂域 nn?

14、設z?x2?y2sin(xy)，求函數的梯度

5、求u?x2?y2?z2在（1，1，1）點的全微分

三、討論與驗證題：（每小題10分，共30分）

(y2?x)

21、討論f(x,y)?4（x，y）沿任何直線趨于（0，0）時的極限,(x,y)?(0,0)，2y?x

和函數的二重極限

2、討論1的斂散性 ?qnlnnn?2?

3、討論函數項fn(x)?nx(1?x2)n(0?x?1)的一致收斂性。

四、證明題：（每小題10分，共20分）

?1?

1、證明Riemann函數R(x)??p??0

yx?q為既約分數在[0，1]上可積 px為無理數

2、設z?x(x?0,x?1)，證明它滿足方程x?z1?z??z y?xlnx?y

參考答案

一、1、設?gn(x)?是定義在[a,b]上的多項式，若對任意的m和n，gm(x)，gn(x)在[a,b]上可積，且有?的正交多項式連續。

2、設

b

a

m?n??b0

gm(x)gn(x)dx??則稱?gn(x)?是[a,b]上

2g(x)dxm?n???an

?x,?y

nn?

1n?1

??

n

是兩個正項級數，若存在常數A?0，成立xn?Ayn,n?1,2?則

?

?

?

（1）當

?y

n?1

?

n

收斂時，?x

n?1

n

也收斂（2）當

?x

n?1

n

發散時，也

?y

n?1

n

發散

n3、如果R上的點列?xk?滿足：對于任意給定的??0，存在正整數K,對任意的k,l?K，成立xl?xk??，則稱?xk?為基本列。

?

?

?

二、1、?

xtanxdx??4xsecxdx??4xdx?

1dx?0（7分）

0.5xlnx

?

?

?

2?ln2（7分）3222、解：(cpv)?

nn

43?(?2)

3、：lim，由于x??時，級數收斂，?3，收斂半徑為1/3（4分）

n??3n

x??

4、：

42級數發散，所以級數的收斂域為[?,?)（3分）33

3?z?z=2x?y3cos(xy)=2ysin(xy)?xy2cos(xy)（4分）?x?y

gradu?(2x?y3cos(xy),2ysin(xy)?xy2cos(xy))（3分）

5、ux?

xx?y?z

3uy?

yx?y?z

uz?

zx?y?z

（4分）

du?(dx?dy?dz)（3分）

(y2?x)2

2三、1、解、由于沿y?kx趨于（0，0）時，lim，而沿y?x趨于 ?

1(x,kx)?(0,0)y4?x

2（0，0）時極限為0，所以重極限不存在（5分）

1???

??|1dx?2p?12、函數非負遞減，（3分）且?(1?p)lnx??2xlnpxxlnqx???lnlnx|2?

分）由此僅p?1，收斂（2分）。

3、limfn(x)?0?f(x)（3分），取

n??

p?1p?

1，（511

fn(xn)?f(xn)?(1?2)n?1(n??)，所以函數列不一致收斂（7分）nn

四、證明題（每小題10分，共20分）

xn?

1、證明：由Riemann函數的性質，???0在[0,1]上使得R(x)?

?的點至多只有有限個,（3''

分）不妨設是k個，記為0?p1???pk?1作[0,1]的分點0?x0???x2k?1?1，使滿足pi?[xi?1,xi],xi?xi?1?

2k?1i?

1k?1j?0

k?1j?1

'

?

2k,i?1,2,?k，由于

??i?xi???2j?1?x2j?1???2j?x2j，而在右邊的第一個和式中，有?x2j?1?

?

且

?

2k

且?2j?1?1，在第二個和式中有?2j?以函數可積（7分）

2、證明：

??x

j?1

k?1

2j

?1，因此得到??i?xi??，所

i?1

n

?u?ux?z1?zxy?11y

?yxy?1，?xylnx（6分）??yx?xlnx?z?x?yy?xlnx?yylnx

（4分）

第四篇：山東大學考研數學系數學分析考試大綱

山東大學數學與系統科學學院—基礎數學專業科目大綱

651—數學分析考試大綱：

一、考查目標

全國碩士研究生入學統一考試基礎數學碩士專業學位（數學分析）考試是為高等院校和科研究所招收基礎數學專業碩士生設置的具有選拔性質的考試科目。其目的是科學、公平，有效地測試考生是否具備攻讀基礎數學專業碩士所必須的基本素質、一般能力和培養潛能，以利用選拔具有發展潛力的優秀人才入學，為國家培養具有良好職業道德和專業知識、具有較強分析與解決實際問題能力和高層次數學專業人才。考試要求是測試考生掌握數學分析理論的基本知識與內容、分析處理和證明基本問題的方法與技巧。

具體來說，要求考生：

① 掌握了基本的數學分析知識。

② 掌握實分析理論的基本方法和技巧。

③ 掌握數學分析的基本原理。

④ 具有運用時分析方法論證和解決問題的基本能力。

二、考試形式和試卷結構

1.試卷滿分及考試時間

試卷滿分為150分，考試時間180分鐘。

2.答題方式

答題方式為閉卷、筆試。不使用計算器。

3.試卷內容與題型結構

本試卷基于理解與計算，分析與證明、綜合與提高的原則，題型一般包括計算題及證明題。

三、考查內容

1.函數、集合、映射的概念和基本理論。

2.極限理論與方法。

3.函數的連續性和連續函數的性質。

4.一元微分學基本理論與應用。

5.一元積分學理論與應用。

6.無窮級數理論。

7.多元函數的微分學理論與應用。

8.廣義積分理論。

9.含參變量的積分與廣義積分理論。

10.多重積分理論。

11.線積分與面積分理論與應用。

12.傅里葉級數與傅里葉積分。

注：參考教材：

《數學分析》（上下冊）華東師范大學數學系編（第四版），高等教育出版社.1

第五篇：一年級數學分析期末

2016-2017學年第一學期北師大版一年級

數學期末質量分析

一、基本情況

一年級數學期末參試人數為22人，平均分94.68，及格人數21人，及格率95.45%；優秀人數20人，優秀率90.9%；良好人數21人，良好率95.45%。整體來說，學生通過一學期的學習，成績有了很大進步。

二、學生答題分析

1、學生答題的總體情況: 大部分學生基礎知識扎實，學習效果較好，特別是在計算部分、立體圖形的認識、整時、半時的認讀,數數、分類上失分較少。但也反映出教學中存在的問題，學生在提出問題、分析問題、并解決問題上存在困難，不能用自己學到的知識解決生活中的實際問題。同學之間還存在較大的差距，如何扎實做好培優輔差工作，如何加強班級管理，提高學習風氣，在今后教育教學工作中應該引起足夠的重視。

2、本次檢測結合試卷剖析，學生主要存在以下幾個方面的普遍錯誤類型：

第一、不良習慣造成錯誤。學生在答題過程中，不認真聽老師讀題，造成抄寫數字錯誤、加減號看錯等。

第二、審題不認真造成錯誤。學生在答題過程中，審題存在較大的問題，有的題目需要學生在審題時必須通過分析才能找出答案，但學生經常大意。

三、存在問題

本次檢測，學生主要存在的問題有：

1．第一題填空樂園。學生在數一串珠子時，從左數，黑珠子是第幾，黑珠子右邊有幾顆珠子，存在數錯的情況。

2．第三題畫一畫，圈一圈。第一小題，比較兩個物體的多少，要求劃出錯誤的答案，學生有劃錯的情況。第二小題讓小狗跳臺階，每次跳三下，有些孩子不會3個3個地數數，而失分。

3．第四題我是計算小能手。第一小題學生做口算時分不清加減號，把加法當減法導致計算錯誤。第三小題學生對一共有多少不知用什么方法計算，導致錯誤。

4.第五題解決問題，學生對一共有多少、還剩多少區分不清，不清楚用什么方法導致錯誤。

四、今后教學改進措施

通過本次測試情況分析我們的教學現狀，在今后的教學與評價過程中應作如下幾方面的工作：

1.培養學生良好學習習慣。如：認真思考、勤于動腦、認真聽講、積極發言、獨立完成作業、書寫整齊的習慣。加大學生在校輔導力度，避免回家家長代做作業的情況，切實保證作業的質量。加大對學生的教育，認真對待考試，不亂寫，勤于動腦，發揮最好水平。

2．加強與其他老師的互相交流。對教學中出現的問題要多向有經驗的教師請教，多聽他們的課，學習他們在教學上的優點，克服自己的不足，改進自己的教學工作。

3.做好培優輔差工作，與后進生多溝通，多談心，消除他們的心理障礙；幫助后進生形成良好的學習習慣；加強方法指導；嚴格要求后進生，從最基礎的知識抓起，彌補知識漏洞。

4.嚴格遵循課標，靈活處理教材。在新課標理念指導下，把教材當作學生從事數學學習的基本素材，重視現實生活中所蘊藏著的更為豐富的教學資源，善于駕馭教材，能從學生的年齡特點和生活經驗出發，組織學生開展有效地數學學習活動。

5.營造和諧的環境，引導學生主動學習。教師要發揚教學民主，保護每個學生的自尊心，尊重每個學生獨特的富有個性的見解，引導學生的主動參與、親身實踐、獨立思考、合作探究，改變單一的記憶、接受、模仿的被動學習方式，發展學生搜集和處理信息的能力。

6.結合具體的教學內容，滲透數學思想方法。在課堂教學中，教師要意識滲透數學思想方法，引導學生自覺地檢查自己的思維活動，反思自己是怎樣發現和解決問題的。7.在教學過程中，及時將知識加以明晰，進行完整的歸納，讓學生形成清晰完整、準確的知識體系。在教學中應在學生理解意義的基礎上聯系，對比找出應用題的不同點，給學生總結規律性的方法，強化理解，記憶訓練的東西一定要到位，要落到實處。

通過這次的檢測反思，使我認識到在今后的教學中應做到：

1、加大題型的訓練，多加強學生語言口頭能力的培養和書寫能力的訓練。

2、以后多出一些新穎，多樣化的題目讓學生練習。

3、培養學生分析問題，選擇計算方法的能力。

4、培養他們認識做題的好習慣。

5、多鼓勵學生，培養他們愛學習，愛數學的自信心。

6、多培養學生的觀察能力，發展空間觀念，讓學生樂于交流，學會傾聽的好習慣。

2017年1月9日