第一篇：2005四川大學數(shù)學分析考研真題
四川大學2005年攻讀碩士學位研究生入學考試題
一、（本題滿分15分）設求極限lim?sinn??k?1nkn
21n?xn?e成立.求：limxn
二、（本題滿分15分）已知數(shù)列{xn}滿足：對一切n都有：(1?)n??n
?(x?y)edxdy
三、（本題滿分15分）計算二重積分：??D2，其中D由x?y?1，y?x，x?0所圍成.四、（本題滿分15分）若??
求證：存在??a?b?c???，f(x)在[a,c]上連續(xù)，且f(x)在(a,c)上二階可導，?(a,c)使得：
f(a)f(b)f(c)1???f''(?)成立.(a?b)(a?c)(b?c)(b?a)(c?a)(c?b)2
五、（本題滿分15分）設對所有x?(0,??)，級數(shù)
?????axnn?0?n都收斂，且?n!an?0?n收斂.證明：0
?(?axenn?0n?x)dx??n!an n?0
第二篇：2001四川大學數(shù)學分析考研真題
四川大學2001年攻讀碩士學位研究生入學考試題
一、求極限（每小題8分，共16分）1p?3p???(2n?1)p
1.limn??np?1222lim(????)（其中p是自然數(shù)）2.n??n?111 n?n?2n1n2nnn
二、（第一小題5分，第二小題10分，共15分）
1.敘述實數(shù)R上的區(qū)間套定定理和確界原理；2.用區(qū)間套定定理證明確界原理
三、（第一小題10分，第二小題5分，共15分）設
證明:1.對任意x?[a,b]，f(x)在[a,b]上有連續(xù)的二階導數(shù)且f(a)?f(b)?0，f(x)1b?f''(x)?a(x?a)(x?b)b?a
b4maxf(x)??f''(x)2.axb?a?[a,b]
四、（每小題7分，共14分）
????cos?x1?y(1?x2)??edy，計算?dx.1.利用公式22001?x1?x
2.求0???xsin?x 21?x
五、（10分）證明：若f(x)在R上非恒為零，存在任意階導數(shù)，且對任意的x?R，有f(n)(x)?f(n?1)(x)?1
n2，則limn??f(n)(x)?Cex，其中C是常數(shù)。
xn?ynx?yn?()
六、（10分）若n?1及x?0，y?0，證明不等式：22
xn
七、（10分）求級數(shù)? n(n?1)n?1?
八、（10分）計算曲面積分??Sxzdydz?(x2?z)ydzdx?x2zdxdy，其中S是旋轉拋物面
x2?y2?a2z（a?0）取0?z?1部分，下側為正.
第三篇：華東師大2006數(shù)學分析考研真題
華東師范大學2006年攻讀碩士學位研究生入學試題
考試科目：數(shù)學分析
一（30）判別題（正確證明，錯誤舉反例或說理由）
1.設數(shù)列{an}滿足條件：???0,?N,使?n?N,|an?aN|??,，則{an}收斂。
2.設f(x)在(a,b)上可導。若
f'(x)在(a,b)上有界，則f(x)在(a,b)上有界.an3.設正數(shù)列{an}滿足條件limn??b?0則?(?1)nan收斂。
n?1?4.設f(x)在[a,b]上可積，且?f(x)dx?0，則存在[c,d]?[a,b]，a使得:?x?[c,d],5.設f(x,y)在(x0,f(x)?0.y0)的某鄰域內連續(xù)，且在
(x0,y0)處有偏導數(shù)fx(x0,y0),fy(x0,y0),則
f(x,y)在(x0,y0)處可微.二.計算題（30分）6.求limn??nan?bn,其中0?a?b.7.求f(x)?
8.求
?x01?costdt的麥克勞林級數(shù)展開式。t?10x2ln2xdx.)?9.設z?f(u),方程u??(u?yxP(t定)d義t了隱函數(shù)
''u?u(x,y)，其中f(u),?(u)可微，P(t),?(u)連續(xù)，且?(u)?1 1 求P(y)
10.求?z?z?P(x).?x?y???(y2?z2)ds,其中??{(x,y,z):x2?y2?z2?1}
三.證明題（90分）11.設??0,f(x)在(??,?)上具有連續(xù)的二階導函數(shù)
?f'(0),x?0f''(x),f(0)?0.若g(x)??,求證：g(x)在(??,?)上有?f(x),x?0??x連續(xù)的導函數(shù).12.設fn(x)是[0,1]上連續(xù)函數(shù)，且在[0,1]上一致收斂于f(x),求證：
lim?n??1?1n0fn(x)dx??10f(x)dx.limf(n?)?0.求證：13.設f(x)在[0,??)上一致連續(xù)，且???0，n??x???limf(x)?0.14.設f(x)在[0,??)上連續(xù)有界，求證：
n???limn?n0|f(x)|ndx?sup?|f(x)|:x?[0,??]?
15.設f(x,y,z)是定義在開區(qū)域D上的有連續(xù)的偏導數(shù)的三元函數(shù)，且?(x,y,z)?D，fx2(x,y,z)?fy2(x,y,z)?fz2(x,y,z)?0,S是由f(x,y,z?)0定義的封閉的光滑曲面。若P,Q?S,且P與Q之間的距離是S中任意兩點之間距離的最大值,求證：過P的S的切平面與過Q的S的切平面互相平行，且垂直于過P與Q的連線.4
6
第四篇：2010數(shù)學分析考研真題答案
2010年碩士研究生入學考試試題答案及評分標準
一、（12分）按數(shù)列極限定義證明：lim
證明：2n2?n3?1n22n?0.n??n3?1考試科目代碼：636考試科目名稱：數(shù)學分析————4分任給??0,要22n??,只要,即只要n???n2n3?1————10分
取N2n2nn?Nlim?0.————12分 ?,則當時, ,所以, ??33n??n?1n?
1二、（14分）若f(x)在點x0連續(xù)，證明f2(x)也在點x0連續(xù).證明：設f(x)在點x0連續(xù),則?0???1,???0,?x?x0??, f(x)?f(0x)??,————4分 f(x?)f0x?————20(x?)1fx()8分 ,同時f(x)?f(0x)?
于是f2(x)?f2(x0)??1?2f(x0)??.————12分 所以f2(x)在點x0連續(xù).————14分
三、（14分）證明f(x)?ax?b(a?0)在(??,??)上一致連續(xù).證明：?x,x?????,???,f(x)?f(x?)?ax?x?,————4分
???0,取???a,當x?x???時,就有f(x)?f(x?)??,————12分所以f(x)?ax?b(a?0)在(??,??)上一致連續(xù).————14分
四、（16分）設f(x)在[0,1]上可導且導函數(shù)連續(xù).證明：
limn?xnf(x)dx?f(1).n??0
1第1頁（共5頁）
證明：由于f?(x)在[0,1]上連續(xù),因此存在M?maxf?(x)————2分
0?x?1
?xn?1?11n?1n
f(x)??xf?(x)dx ?0xf(x)dx???0n?1n?1??0
111n?1
f(x)?xf?(x)dx,————8分??0n?1n?1
又因
11M
?0,————12分?xn?1f?(x)dx?M?xn?1dx?
00n?
2所以
11n?n
f(1)??xn?1f?(x)dx??f(1)————16分limn?xf(x)dx?lim
?00n??n??n?1???
五、（16分）證明級數(shù)?
sinnx
在區(qū)間(0,?)內條件收斂.nn?
1?
sinnxsin2nx1?cos2nx1cos2nx
證明：,————4分 ????
nn2n2n2n
?n??1?
由于數(shù)列??單調趨于零,且部分和數(shù)列??cos2kx?有界,?2n??k?1?
由Dirichlet判別法知,?
?
cos2nx
收斂,————10分 2nn?1
?
?
sinnx1
又?發(fā)散,所以級數(shù)?在區(qū)間(0,?)內發(fā)散————13分
nn?1n?12n
原級數(shù)收斂性顯然,因此原級數(shù)在區(qū)間(0,?)內條件收斂.————16分
六、（14分）證明函數(shù)序列sn(x)?(1?x)xn在[0,1]上一致收斂.證明：?sn(x)?在[0,1]上收斂于s(x)?0，由
sn(x)?s()??1??xn, x————5分
n?n?
1?及?(1?xx)?xx???n??n??1?, ??
n
易知sn(x)?s(x)在x?取到最大值，從而————10分
n?1
n??n?1??1?
d?sn,s???1?????n??1?n??0?n?0?.n?1n?1??????
所以, 函數(shù)序列sn(x)?(1?x)xn在[0,1]上一致收斂.————14分
nn
?u?x?y
?
七、（16分）通過自變量變換?11,變換方程
?v?x?y?
2?2z?22?z2zx?(x?y)?y?0.?x2?x?y?y2
解：
?z?z1?z?z?z1?z
??2,??,————3分 ?x?ux?v?y?uy2?v
?2z?2z2?2z1?2z2?z
????,————6分 ?x2?u2x2?u?vx4?v2x3?v
?2z?2z2?2z1?2z2?z
?2?2?42?3,————9分 2
?y?uy?u?vy?vy?v?2z?2z?11??2z1?2z,————12分 ??????
?x?y?u2?x2y2??u?vx2y2?v2
代入原方程,得
?x
注意到v?
?y
?
x2y2
?11??z?2z
?2????0,?u?v?xy??v
u11x?yu
???,即xy?,于是就有
vxyxyxy
?x
?y
x2y2
???x?y?x?y
??xy
?11?2
??????x?y??4xy?
??xy??
u??
?v2?u2?4??uv?uv?4?.v??
從而得變換后的方程
?2z2?z
.————16分 ?
?u?vu4?uv?v
?x2?y2?z2?2az,若從z軸的正向
八、（16分）計算?ydx?zdy?xdz,其中L為曲線?
L
?x?z?a(a?0)
看去，L的方向為逆時針方向.解：設?是L所圍的平面x?z?a?a?0?的部分，方向由右手法則確定（即取上側）.?上任一點的單位法向量?
cos?,cos?,cos???,————6分
由Stokes公式,?
L
ydx?zd?y
co?s
?
x?d??z
??x
yco?s??yzcos?
dS————13分
?zx
?dS?a2.————16分
?
九、（16分）設D是兩條直線y?x,y?4x和兩條雙曲線xy?1,xy?4所圍成的區(qū)域,F(u)是具有連續(xù)導數(shù)的一元函數(shù),記f(u)?F?(u).證明
4F(xy)
dy?ln2?f(u)du,??D1y
其中?D的方向為逆時針方向.證明：由Green公式,得?
F(xy)
dy???f?xy?dxdy————4分
?DDy
y,則此變換將區(qū)域D變?yōu)?x
作變換u?xy,v?,vDuv???u————9分 ?1?u?4,1?v??
4變換的Jacobi行列式為J?
??x,y?
1?,于是————11分
?u,v2v
f?u?F(xy)
dy?fxydxdy?????Dy??D??D2vdudv
uv
??f?u?du?
?ln2?f?u?du
12v
所以
4F(xy)
?dy?ln2?f(u)du.————16分
?D1y
十、（16分）證明含參變量積分I??
??0
e?tcos2xtdt滿足方程
dI
?2xI?0.dx
證明：記 f?x,t??e?tcos2xt，則 fx?x,t???2te?tsin2xt.這時有————2分
fx?x,t???2te?tsin2xt?2te?t,???x???,0?t???,而反常積分I??
??0
te?tdt收斂,由Weierstrass判別法,?
??0
fx?x,t?dx??2?
??0
te?tsin2xtdt
關于x在???,???上一致收斂.應用積分號下求導定理,得到————8分
??dI
??2?te?tsin2xtdt?e?tsin2xt
0dx
??
?2x?
??0
e?tcos2xtdt
??2xI.————14分
所以
dI
?2xI?0.————16分dx
第五篇：湖南大學2011年考研數(shù)學分析真題
2011年數(shù)學分析真題
limxn存在，且?為1.xn??0,1?,x0?p,xn?1?p??sinxn,?n?0,1,2...?,證明：??n??
方程xsinx?p的唯一根。
2.f?x?在?0,1?上連續(xù)，f?1??0，證明:?1??xn?在?0,1?上不一致收斂；?2??f?x?xn? 在?0,1?上一致收斂。
??1?23． 已知?2?求?0In?1?e?x?dx。6n?1n?
4．函數(shù)f?x?，g?x?在?a,b?上黎曼可積，?ag?x?dx?1,g?x??0,且????x??0,證明：
??f?x??dx????ag?x?f?x?dx????ag?x???bbb
5．求f?y???0??1?e?xy,y>-2.2xxe
6.函數(shù)f(?,?)的所有二階偏導數(shù)都連續(xù)，并且滿足拉普拉斯方程?2f?2f??0，22????
?2z?2z證明函數(shù)z?f(x?y,2xy)也滿足拉普拉斯方程2?2?0。?x?y22
7.計算曲面積分??(6x2?4yx2?z)ds，S為單位球面x2?y2?z2?1。
S
8.設f(x)在?0,1?上黎曼可積，在x?1可導，f(1)?0,f'(1)?a，證明：limnn??2?10xnf(x)dx??a。
9.已知a?b?c，且x??0.a?,y??0,b?,z??0,c?，又設f(x,y,z)?min(x,y,z)，計算?0?0?0f(x,y,z)dzdydx。
abc
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