第一篇：數學分析教案 (華東師大版)第十九章 含參量積分

《數學分析》教案

第十九章 含參量積分

教學目的：1.掌握含參量正常積分的概念、性質及其計算方法；2.掌握兩種含參量反常積分的概念、性質及其計算方法；3.掌握歐拉積分的形式及有關計算。教學重點難點：本章的重點是含參量積分的性質及含參量反常積分的一致收斂性的判定；難點是一致收斂性的判定。教學時數：12學時

§ 1含參量正常積分

一.含參積分: 以實例

和

引入.定義含參積分 和

.含參積分提供了表達函數的又一手段.我們稱由含參積分表達的函數為含參積分.1.含參積分的連續性:

Th19.5 若函數

在

Th19.8 若函數 和 在

在矩形域

上連續 , 則函數

上連續.(證)P172

在矩形域

上連續, 函數 在

上連續.上連續 , 則函數(證)P173

2.含參積分的可微性及其應用:

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1.含參無窮積分: 函數 可以是無窮區間).以 分表示的函數

.定義在

上（為例介紹含參無窮積 2.含參無窮積分的一致收斂性: 逐點收斂(或稱點態收斂)的定義: 使

., , 引出一致收斂問題.定義(一致收斂性)設函數 , 使

分在

(關于)一致收斂.定義在 對

上.若對

成立, 則稱含參無窮積Th 19.5(Cauchy收斂準則)積分收斂，在

上一致

對 成立.例1 證明含參量非正常積分

其中.但在區間

在

上一致收斂 ，內非一致收斂.P180

3.含參無窮積分與函數項級數的關系:

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Th 19.8 設函數 和

在

則函數 在

在

上連續.若積分

在.上收斂, 積分上可微,且

一致收斂.3.可積性: 積分換序定理.Th 19.9 設函數

在

有

例3 計算積分

P186

.在

上一致收斂, 則函數

上連續.若積分

在

上可積 , 且四.含參瑕積分簡介:

§ 3 Euler積分

本節介紹用含參廣義積分表達的兩個特殊函數 , 即 和.它們統稱為Euler積分.在積分計算等方面, 它們是很有用的兩個特殊函數.一.Gamma函數 —— Euler第二型積分：

1.Gamma函數: 考慮無窮限含參積分

，《數學分析》教案

但 在區間

內閉一致收斂.即在任何 時, 對積分, 有

上 , , 而積分

一致收斂.因為

收斂.對積分 , 積分, 而積分

收斂.由M—判法, 它上一致收斂.們都一致收斂，在區間

作類似地討論, 可得積分斂.于是可得如下結論: 的連續性:

也在區間

內閉一致收

在區間 在區間

內連續.的可導性: 內可導, 且

同理可得: 在區間

.內任意階可導, 且

3.凸性與極值: ，.在區間 在區間

內嚴格下凸.(參下段)，內唯一的極限小值點(亦為最小值點)介于1與2 之間.4.的遞推公式

函數表:

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5.時, 有意義.用其作為

內., 又可把 依此 , 可把 延拓到函數的延拓:

時 該式右端在 的定義, 即把 延拓到了 , 利用延拓后的 內.時也

時, 依式

延拓到 內除去 的所有點.經過如此延拓后的 例1 求

.)解 的圖象如 P192圖表19—2., ，.(查表得)，..6.函數的其他形式和一個特殊值:

函數.倘能如此, 可某些積分可通過換元或分部積分若干次后化為 查 函數表求得該積分的值.常見變形有: ⅰ> 令 , 有

= ，

考慮.《數學分析》教案

: 非負，和 , 時為正常積分;

時, 點

為瑕點.由被積函數(由Cauchy判法)積分

收斂.(易見

時積分

發散).數非負, : 時為正常積分;

時, 點

為瑕點.由被積函

和 ,(由Cauchy判法)積分

收斂.(易見

時積分

發散).綜上, 時積分

，收斂.設D

于是, 積分 定義了D內的一個二元函數.稱該函數為Beta函數, 記為 , 即

不難驗證，=

函數在D內閉一致收斂.又被積函數在D內連續, 因此 , 函數是D內的二元連續函數.2.函數的對稱性:

.證 =

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, 因此得 ,.ⅱ> 令 , 可得 ，.特別地 , ，.ⅲ> 令 , 有

=

= , 即 ，ⅳ> 令 , 可得

.ⅴ> ,.三.函數和

函數的關系:

函數和

函數之間有關系式

，3

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解 ，.例4 求積分

解 令 , 有

.I

.例5 計算積分.解

判斂 ,把該積分化為 , 該積分收斂.(亦可不進行

函數在其定義域內的值 , 即判得其收斂.)

I

.例6 , 求積分 ，5

第二篇：數學分析教案 (華東師大版)第二十章曲線積分

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第二十章 曲線積分

教學目的：1.理解第一、二型曲線積分的有關概念；2.掌握兩種類型曲線積分的計算方法，同時明確它們的聯系。

教學重點難點：本章的重點是曲線積分的概念、計算；難點是曲線積分的計算。教學時數：10學時

§ 1 第一型曲線積分

一.第一型線積分的定義:

1.幾何體的質量: 已知密度函數 , 分析線段的質量 2.曲線的質量:

3.第一型線 積分的定義: 定義及記法.線積分,.4.第一型線積分的性質: P198

二.第一型線積分的計算:

1.第一型曲線積分的計算: 回顧“光滑曲線”概念.Th20.1 設有光滑曲線 義在上的連續函數.則

.(證)P199 ，.是定若曲線方程為 : , 則

.《數學分析》教案

, 即

.2.穩流場通過曲線(從一側到另一側)的流量: 解釋穩流場.(以磁場為例)..求在單位時間內通過曲線AB從左處的切向量為 , 設有流速場

側到右側的流量E.設曲線AB上點

(是切向量方向與X軸正向的夾角.切向量方向按如下方法確定: 法線方 向是指從曲線的哪一側到哪一側, 在我們現在的問題中是指從左側到右側的方向.切向量方向與法線向按右手法則確定, 即以右手拇指所指為法線方向, 則食指所指為切線方向.).在弧段

上的流量 ，.因此 ，.由 , 得

.于是通過曲線AB從左側到右側的總流量E為

.3.第二型曲線積分的定義: 閉路積分的記法.按這一定義 , 有

沿平面曲線 從點A到點B所作的功為 力場

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A , B;函數 和

在L上連續, 則沿L的自然方向(即從點A到點B的方向)有

.(證略)例1 計算積分).積分從點A到點B或閉合, 路徑為

ⅰ> 直線段AB

ⅱ> 拋物線

ⅲ> A(1, 1)路徑.P205例1 例2 計算積分

ⅰ> 沿拋物線

ⅱ> 沿直線

;, L的兩個端點為A(1, 1), B(2 ，D(2 , 1)B(2 , 3)A(1, 1), 折線閉合, 這里L :

從點O(0 , 0)到點B(1 , 2);

從點O(0 , 0)到點B(1 , 2);ⅲ> 沿折線閉合路徑O(0,0)A(1,0)B(1,2)O(0,0).P205例1 , 其中L是螺 例3 計算第二型曲線積分 I = 旋線, 從

到 的一段.P207例3 例4 求在力場

ⅰ> 質點由點A

L :

第三篇：數學分析教案 (華東師大版)第十章定積分的應用

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第十章 定積分的應用

教學要求：

1.理解微元法的思想，并能夠應用微元法或定積分定義將某些幾何、物理等實際問題化成定積分；

2.熟練地應用本章給出的公式，計算平面區域的面積、平面曲線的弧長，用截面面積計算體積、旋轉體的體積和它的側面積、變力作功等。

教學重點：熟練地應用本章給出的公式，計算平面區域的面積、平面曲線的弧長，用截面面積計算體積、旋轉體的體積和它的側面積、變力作功等

教學時數：10學時

§ 1平面圖形的面積（2 時）

教學要求：

1.理解微元法的思想，并能夠應用微元法或定積分定義將某些幾何、物理等實際問題化成定積分；

2.熟練地應用本章給出的公式，計算平面區域的面積。教學重點：熟練地應用本章給出的公式，計算平面區域的面積

一、組織教學：

二、講授新課：

（一）直角坐標系下平面圖形的面積 ： 1.簡單圖形：

型和

型平面圖形.型和

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例

5求由雙紐線

所圍平面圖形的面積.解 傾角為 的兩條直線之間).以

軸對稱;以

或

.(可見圖形夾在過極點，代 方程不變，圖形關于 代 , 方程不變, 圖形關于 軸對稱.參閱P242 圖10-6 因此.三、小結：

§ 2 由平行截面面積求體積（2 時）

教學要求：熟練地應用本章給出的公式，用截面面積計算體積。教學重點：熟練地應用本章給出的公式，用截面面積計算體積

（一）已知截面面積的立體的體積: 設立體之截面面積為 推導出該立體之體積

..祖暅原理: 夫冪勢即同 , 則積不容異.(祖暅系祖沖之之子 齊梁時人 , 大約在五世紀下半葉到六世紀初)例1

求由兩個圓柱面

和

所圍立體體積.P244 例1()

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和 在區間

上連續可導且

..則

上以

和

為端點的弧段的弧長為為證明這一公式 , 先證以下不等式 : 對 , ,有

Ch 1 §1 Ex 第5題(P4).其幾何意義是: 在以點 超過第三邊.事實上，和

為頂點的三角形中,兩邊之差不.為證求弧長公式, 在折線總長表達式中, 先用Lagrange中值定理, 然后對式插項進行估計.如果曲線方程為極坐標形式 出其參數方程

.于是

連續可導, 則可寫.§ 4 旋轉曲面的面積(1 時)教學要求：旋轉曲面的面積。

教學重點：熟練地應用本章給出的公式，計算旋轉曲面的面積

第四篇：數學分析 重積分

《數學分析》教案

第二十一章 重積分

教學目的：1.理解并掌握二重積分的有關概念及可積條件，進而會計算二重積分；2.理解三重積分的概念，掌握三重積分的計算方法，并能應用其解決有關 的數學、物理方面的計算問題；

教學重點難點：本章的重點是重積分的計算和格林公式；難點是化重積分為累次積分。

教學時數：22學時

§ 1 二重積分概念

一.矩形域上的二重積分 : 從曲頂柱體的體積引入.用直線網分割.定義 二重積分.例1 用定義計算二重積分

.用直線網

分割該正方形 , 在每個正方形上取其右上頂點為介點.解

.二.可積條件 : D

.大和與小和.Th 1 ，.《數學分析》教案

性質6

.性質7 中值定理.Th 若區域D 的邊界是由有限條連續曲線()組成 , 例3 去掉積分

在D上連續 , 則

在D上可積.或

中的絕對值.§ 2 二重積分的計算

二.化二重積分為累次積分:

1.矩形域

上的二重積分:

用“ 體積為冪在勢上的積分”推導公式.2.簡單域上的二重積分: 簡推公式, 一般結果]P219Th9.例1 ，.解法一 P221例3 解法二 為三角形, 三個頂點為 ,.例2 ,.P221例2.例3 求底半徑為 的兩直交圓柱所圍立體的體積.P222例4.《數學分析》教案

解法一(直接計算積分)曲線AB的方程為

.方向為自然方向的反向.因此

.解法二(用Green公式)補上線段BO和OA(O為坐標原點), 成閉路.設所圍

區域為D, 注意到 D為反向, 以及, 有

.例2 計算積分 I =, 其中L為任一不包含原點的閉區域D的邊界(方向任意)P227例2 解 導數)..（和

在D上有連續的偏,.于是, I =.二.曲線積分與路線無關性:

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;.例6 驗證式 P231例4

是恰當微分, 并求其原函數.§ 4 二重積分的變量變換:（4時）

1.二重積分的變量變換公式: 設變換 的Jacobi , 則

, 其中 是在該變換的逆變換

下平面上的區域 在

平面上的象.由條件

一般先引出變換

.而 , 這里的逆變換是存在的., 由此求出變換

.例1 ,.P235 例1.註

當被積函數形如 區域為直線型時, 可試用線性變換 , 積分.《數學分析》教案

極坐標變換: ,.廣義極坐標變換: ,.例4.P240例3.例5(Viviani問題)求球體 被圓柱面

所割下立體的體積.P240例4.例6 應用二重積分求廣義積分

.P241例5.例7 求橢球體

四.積分換序: 例8 連續.對積分的體積.P241例6.換序..例9 連續.對積分

換序..例10 計算積分

..§ 5 三重積分簡介

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例2 , :.解.法一(內二外一), 其中 為橢圓域 , 即橢圓域, 其面積為.因此

.同理得 ,.因此.法二(內一外二)上下對稱，為 的偶函數，1

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Th 21.13 P247.1.柱坐標: P248.例4 ，:

.P248例3 2.球坐標: P249.P 250例4.§ 6 重積分的應用

一、曲面的面積

設曲面方程為

.有連續的一階偏導數.推導曲面面積公式 , 或.例1 P253例1`.3-

第五篇：數學分析教案 (華東師大版)第八章 不定積分

《數學分析》教案

第八章 不定積分

教學要求：

1.積分法是微分法的逆運算。要求學生：深刻理解不定積分的概念，掌握原函數與不定積分的概念及其之間的區別；掌握不定積分的線性運算法則，熟練掌握不定積分的基本積分公式。

2.換元積分公式與分部積分公式在本章中處于十分重要的地位。要求學生：牢記換元積分公式和選取替換函數（或湊微分）的原則，并能恰當地選取替換函數（或湊微分），熟練地應用換元積分公式；牢記分部積分公式，知道求哪些函數的不定積分運用分部積分公式，并能恰當地將被積表達式分成兩部分的乘積，熟練地應用分部積分公式；獨立地完成一定數量的不定積分練習題，從而逐步達到快而準的求出不定積分。

3.有理函數的不定積分是求無理函數和三角函數有理式不定積分的基礎。要求學生：掌握化有理函數為分項分式的方法；會求四種有理最簡真分式的不定積分，知道有理函數的不定積分（原函數）還是初等函數；學會求某些有理函數的不定積分的技巧；掌握求某些簡單無理函數和三角函數有理式不定積分的方法，從理論上認識到這些函數的不定積分都能用初等函數表示出來。

教學重點：深刻理解不定積分的概念；熟練地應用換元積分公式；熟練地應用分部積分公式；

教學時數：18學時

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可見，若 { │ 有原函數 Ｒ}.，則 的全體原函數所成集合為

原函數的存在性: 連續函數必有原函數.(下章給出證明).可見, 初等函數在其定義域內有原函數;若 則 在區間 上有介值性.在區間 上有原函數, 例2.已知 為 的一個原函數，=5.求

.2.不定積分—— 原函數族：定義； 不定積分的記法；幾何意義.例3

;

.（二）不定積分的基本性質: 以下設 和

有原函數.⑴

(先積分后求導, 形式不變應記牢！).⑵

..(先求導后積分, 多個常數需當心！)⑶

時，（被積函數乘系數，積分運算往外挪！）

⑷

由⑶、⑷可見, 不定積分是線性運算, 即對, 有

《數學分析》教案

教學要求： 換元積分公式與分部積分公式在本章中處于十分重要的地位。要求學生：牢記換元積分公式和選取替換函數（或湊微分）的原則，并能恰當地選取替換函數（或湊微分），熟練地應用換元積分公式；牢記分部積分公式，知道求哪些函數的不定積分運用分部積分公式，并能恰當地將被積表達式分成兩部分的乘積，熟練地應用分部積分公式；獨立地完成一定數量的不定積分練習題，從而逐步達到快而準的求出不定積分。

教學重點：熟練地應用換元積分公式；熟練地應用分部積分公式；

一、新課引入：由直接積分的局限性引入

二、講授新課：

（一）.第一類換元法 ——湊微分法：

由

引出湊微公式.Th1 若

連續可導, 則

該定理即為：若函數

能分解為

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.湊法2.特別地, 有

.例9

.和.例10

例11.例12

=

湊法3

.例13 ⑴

⑵

例14

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.例23.例24.例25

例26

三、小結

.（二）第二類換元法 —— 拆微法： 從積分 出發，從兩個方向用湊微法計算，即

=

=

=

引出拆微原理.Th2 設

是單調的可微函數,并且

又

具有原

函數.則有換元公式

(證)

《數學分析》教案

解 令 形, 有

有

.利用例22的結果, 并用輔助三角 =

=

例31

⑶正割代換: 正割代換簡稱為“割換”.是針對型如 根式施行的, 目的是去掉根號.方法是: 利用三角公式

有的 令

變量還愿時, 常用輔助三角形法.例32

解

.例33

.解法一

（用割換）

解法二

（湊微）

.《數學分析》教案

本題還可用割換計算, 但較繁.3.雙曲代換: 利用雙曲函數恒等式 掉型如 如:

的根式., 令 , 可去

.化簡時常用到雙曲函數的一些恒等式, 例40

.本題可用切換計算,但歸結為積分題課例3., 該積分計算較繁.參閱后面習例41

解

.例42

.解

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解法三(用初等化簡, 并湊微)

例45

解 =.代換法是一種很靈活的方法.三、小結

（三）.分部積分法:導出分部積分公式.介紹使用分部積分公式的一般原則.1.冪

X 型函數的積分: 分部積分追求的目標之一是: 對被積函數兩因子之一爭取求導, 以使該因子有較大簡化, 特別是能降冪或變成代數函數.代價是另一因子用其原函數代替(一般會變繁), 但總體上應使積分簡化或能直接積出.對“冪

” 型的積分, 使用分部積分法可使“冪”降次, 或對“

”求導以使其成為代數函數.例46

(冪對搭配，取對為u)

例47(冪三搭配，取冪為u)例48(冪指搭配，取冪為u)例49(冪指搭配，取冪為u)

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例56

=，解得.例57

= =，解得

三、小結

.§ 3 有理函數和可化為有理函數的積分(2學時)

教學要求：有理函數的不定積分是求無理函數和三角函數有理式不定積分的基礎。要求學生：掌握化有理函數為分項分式的方法；會求四種有理最簡真分式的不定積分，知道有理函數的不定積分（原函數）還是初等函數；學會求某些有理函數的不定積分的技巧；掌握求某些簡單無理函數和三角函數有理式不定積分的方法，從理論上認識到這些函數的不定積分都能用初等函數表示出來。

教學重點：使學生掌握化有理函數為分項分式的方法；求四種有理最簡真分式的不定積分，學會求某些有理函數的不定積分的技巧；求某些簡單無理函數和三角函數有理式不定積分的方法，從理論上認識到這些函數的不定積分都能用初等函數表示出來。

《數學分析》教案

例5

求

例6 設

且具有連續導函數.計算積分

例7 , 求積分

二.含有二次三項式的積分:

例8

=

=

.例9

=

=.9-