第一篇：(數學分析教案)第二章
第二章 數列極限
（14學時）
§1 數列極限概念
教學目的與要求
1.理解數列極限概念并利用定義證明數列是否收斂.2.掌握無窮小數列概念并利用其證明數列是否收斂于指定的常數.教學重點: 數列極限概念.教學難點: 數列極限概念、利用數列極限定義證明數列是否收斂于指定的常數.學時安排: 4學時
教學方法：講練結合。教學程序：
若函數f的定義域為全體正整數集合N+，則稱
f:N??R
或
f(n), n?N?
為數列．因正整數集N+的元素可按由小到大的順序排列，故數列f(n)也可寫作
a1,a2,?,an,?，或簡單地記為{an}，其中an，稱為該數列的通項．
關于數列極限，先舉一個我國古代有關數列的例子．
例
1古代哲學家莊周所著的《莊子·天下篇》引用過一句話：“一尺之棰，日取其半，萬世不竭”，其含義是：一根長為一尺的木棒，每天截下一半，這樣的過程可以無限制地進行下去．
把每天截下部分的長度列出如下(單位為尺)：
1112n第一天截下2，第二天截下2，??，第n天截下2，??這樣就得到一個數列
?1?111?n?,2,?,n,?222．或?2?.11nn不難看出，數列{2}的通項2隨著n的無限增大而無限地接近于0．一般地說，對于數列{an}，若當n無限增大時an能無限地接近某一個常數a，則稱此數列為收斂數列，常數a稱為它的極限．不具有這種特性的數列就不是收斂數列．
收斂數列的特性是“隨著n的無限增大，an無限地接近某一常數a”．這就是說，當n充分大時，數列的通項an與常數a之差的絕對值可以任意小．下面我們給出收斂數列及其極限的精確定義．
定義1 設{an}為數列，a為定數．若對任給的正數?，總存在正整數N，使得當，n>N時有|an?a|??則稱數列
{an收斂于a，定數a稱為數列{an}的極限，并記作liman?an??，或an?a(n??).讀作“當n趨于無窮大時，an的極限等于a或an趨于a”．
若數列{an}沒有極限，則稱{an}不收斂，或稱{an}為發散數列．
定義1常稱為數列極限的?—N定義．下面舉例說明如何根據??N定義來驗證數列極限．
1?0?n??n例
2證明，這里?為正數 lim證
由于
11?0|?,??n
n???1??11???故對任給的?>0，只要取N=???，則當n?N時，便有
|111???|?0|??.??N?
n
即n
1lim??0這就證明了n??n.例
3證明
3n2lim2?3n??n?3
.分析
由于
3n299|2|?2?
n?3n?3n
(n?3).(1)
9???n因此，對任給的>o，只要，便有
3n2|2?3|??, n?3
(2)
9n??時，(2)式成立．又由于(1)式是在n≥3的條件下成立的，故應取 即當
9N?max{3,}.?
?據分析，當n?N時有（2）式成立.于是本題得證.證
任給??0,取注
本例在求N的過程中，(1)式中運用了適當放大的方法，這樣求N就比較方便．但應注意這種放大必須“適當”，以根據給定的E能確定出N．又(3)式給出的N不一定是正整數．一般地，在定義1中N不一定限于正整數，而只要它是正數即可．
例4 證明n??9N?max{3,}.limqn=0，這里|q|<1．
證
若q=0，則結果是顯然的．現設0<|q|<1．記我們有
h?1?1|q|，則h>0．
|qn?0|?|q|n?
并由(1?h)?1+nh得到
n1,n(1?h)
|q|n?11?.1?nhnh
(4)
對任給的??0,只要取就證明了n??N?1,n?h則當n?N時，由（4）式得|q?0|??.這
limqn?0.注
本例還可利用對數函數y?lgx的嚴格增性來證明(見第一章§4例6的注及(2)式)，簡述如下：
對任給的?>0(不妨設?<1)，為使|q?0|?|q|??，只要
nlg|q|?lg?
即
nnn?lg?lg|q|
（這里也假定0?|q|?1).N?于是，只要取lg?lg|q|即可。
=1，其中a>0．
1n
例5 證明n??limna?1證
(ⅰ)當a?1時，結論顯然成立.(ⅱ)當a?1時，記??a?1，則??0.由
a?(1??)?1?n??1?n(a?1)
n1n得
任給??0，由(5)式可見，當
a?1?1na?1n.(5)
時，就有a?1??，即|a?1|??.所以
1nn?a?1??N1nlimna?1n??.１(ⅲ)當0?a?1時，,1nna－１???1?1?(1??)n?1?n??1?n??1??n?a?a?
則??0.由a?1?11?a11?a???n?a?1?1.1??n?1?a1??n?1?a
（6）
得任給??0，由（6）式可見，當
n?１?a?1?1??N時，就有1?a??，即|a?1|??.1n1n所以n??.關于數列極限的?—N定義，應著重注意下面幾點：
1．?的任意性
定義1中正數?的作用在于衡量數列通項an與定數a的接近程度，?愈小，表示接近得愈好；而正數?可以任意地小，說明an與a可以接近到任何程度．然而，盡管?有其任意性，但一經給出，就暫時地被確定下來，以便依靠它來求出N，又?既時limna?1?任意小的正數，那么2,3?或?2等等同樣也是任意小的正數，因此定義1中不等式|an?a|??中的?可用2,3?或?2等來代替．同時，正由于?是任意小正數，我們可限定?小于一個確定的正數(如在例4的注給出的證明方法中限定?<1)．另外，定義1中的?
2．N的相應性
一般說，N隨?的變小而變大，由此常把N寫作N(?)，來強調N是依賴于?的；但這并不意味著N是由?所唯一確定的，因為對給定的?，比如當N=100時，|an?a｜＜?也可改寫成|an?a|??.n>N時有|an?a|??，則N=101或更大時此不等式自然也成立．這里重要的是能使得當?N的存在性，而不在于它的值的大小．另外，定義1中的，n>N也可改寫成n?N．
3．從幾何意義上看，“當n>N時有|a?a|??”意味著：所有下標大于N的項aｎ都落在鄰域U(a;?)內；而在U(a;?)之外，數列{an}中的項至多只有N個(有限個)．反之，任給?>0，若在U(a;?)之外數列{an}中
N，則當n>N時有an?U(a,?)，即當n>N時有|an?a|
定義1
任給?>0，若在U(a,?)之外數列?an?中的項至多只有有限個，則稱數列?an?收斂于極限a． 'n
由定義1，可知，若存在某?０?0，使得數列{an}中有無窮多個項落在U(a,?0)之外，則{an}一定不以a為極限．
例6 證明{n}和{(?1)}都是發散數列．
2證
對任何a?R，取?0?1，則數列{n}中所有滿足n?a?1的項(有無窮多個)顯然2n都落在U(a;?0)之外，故知{n}不以任何數a為極限，即{n}為發散數列.22nn??1(a;?)(?1)}{(?1)}中的所有奇數00a?1
至于數列{，當時取，則在U之外有
1?0?|a?1|,n2項；當a?1時取則在U（a;?0)之外有{(?1)}中的所有偶數項．所以{(?1)}不以任何數a為極限，即{(?1)}為發散數列．
例7 設n??nnlimxn?limyn?an??，做數列{zn}如下：
{zn}:x1,y1,x2,y2,?,xn,yn,?.證明n??limzn?a.n??
證，因n??limxn?limyn?a,故對任給的??0，數列{xn}和{yn}中落在U(a;?)之外的項都至少只有有限個.所以數列{zn}中落在U(a;?)之外的項也至多只有有限個．故由定義1'，證得n??limzn?a．
例8 設{an}為給定的數列，{bn}為對{an}增加、減少或改變有限項之后得到的數列．證明：數列{bn}與{an}同時為收斂或發散，且在收斂時兩者的極限相等．
證
設{an}為收斂數列，且n??liman?a．按定義1，對任給的?>0，數列{an}中落在'U(a;?)之外的項至多只有有限個．而數列{bn}是對{an}增加、減少或改變有限項之后得到{bn}中的每一項都是{an}中確定的一項，的，故從某一項開始，所以{bn}中落在U(a;?)之外的項也至多只有有限個．這就證得n??limbn?a．
現設{an}發散．倘若{bn}收斂，則因{an}可看成是對{bn}增加、減少或改變有限項之后得到的數列，故由剛才所證，{an}收斂，矛盾．所以當{an}發散時，{bn}也發散．
在所有收斂數列中，有一類重要的數列，稱為無窮小數列，其定義如下：
定義2 若n??，則稱{an}為無窮小數列．
由無窮小數列的定義，不難證明如下命題：
定理2.1數列{an}收斂于a的充要條件是：{an?a}為無窮小數列． Ⅳ 小結與提問:本節要求學生理解數列極限概念，利用定義證明數列是否收斂、是否收斂于指定的常數.要求學生課堂上給出n??liman?0liman?a和n??liman不存在的“?—N”定義.Ⅴ 課外作業: P２７ 2、3、4、6、7、8.§２ 收斂數列的性質
教學目的：熟悉收斂數列的性質；掌握求數列極限的常用方法。教學要求：（１）使學生理解并能證明數列性質、極限的唯一性、局部有界性、保號性、保不等式性；
（２）掌握并會證明收斂數列的四則運算定理、迫斂性定理，并會用這些定理求某些收斂數列的極限。
教學重點：迫斂性定理及四則運算法則及其應用。教學難點：數列極限的計算。學時安排: 4學時
教學方法：講練結合。教學程序：
? 引 言
上節引進“數列極限”的定義，并通過例題說明了驗證n??的方法，這是極限較基本的內容，要求掌握。為了學習極限的技巧及其應用極限來解決問題。還需要對數列的性質作進一步討論。
liman?a
一、收斂數列的性質
性質１（極限唯一性）若數列?性質２（有界性）若數列?an?收斂，則它只有一個極限。
nan?收斂，則?an?為有界數列。
(?1)?注：有界性只是數列收斂的必要條件，而非充分重要條件。例如數列?有界，但它不收斂。
性質３（保號性）若n??liman?a?0（或a?0），則對任何a??(0,a)（或a??(a,0)），存在正數Ｎ，使得當n?N時有an?a?（或an?a?）。性質４（保不等式性）設數列?an?與?bn?均收斂，若存在正數N0，使得當n?N0時有an?limbnan?bn，則limn??n??。
liman?limbnn??思考：如果把條件“an?bn”換成“an?bn”，那么能否把結論換成n??？
保不等式性的一個應用：
liman?aliman?aa?0(n?1,2,3,?)n??n例1 設，證明：若，則n??.思考：極限運算與一般函數運算可交換次序嗎？ 性質５（迫斂性）設收斂數列?can?、?bn?都以a為極限，數列?n?滿足：存在正數N0，limcn?ac??n?Na?c?bn0nnn當時有，則數列收斂，且n??.注：迫斂性不僅給出了判定數列收斂的一種方法，而且也提供了一個求數列極限的工具。
下面是其應用一例：
?n?的極限。例2 求數列n性質６（極限的四則運算法則）若
?an?、?bn?為收斂數列，則?an?bn?,?an?bn?,?an?bn?也都收斂，且有
lim(an?bn)?a?b?liman?limbnn??n??n??;lim(an?bn)?a?b?liman?limbnn??n??n??.?an???limbn?0bb?0若再做假設n及n??，則數列?n?也收斂，且有
ananalimn??lim??n??bblimbnnn??.n??n??特別地，若bn?c，則n??，n??.在求數列的極限時，常需要使用極限的四則運算法則。下舉幾例；
lim(an?c)?liman?climcan?climanamnm?am?1nm?1???a1n?a0limk?1n??bnk?bn???b1n?b0，其中m?k,am?0,bk?0.kk?1例3 求alimnn??a?1n例4 求，其中a??1.例5 求n??limn(n?1?n).?111?lim?2????22?n??n(n?1)(2n)??.例6 求二
數列的子列
１． 引言
極限是個有效的分析工具。但當數列?an?的極限不存在時，這個工具隨之失效。這能說明什么呢？難道?n?沒有一點規律嗎？當然不是！出現這種情況原因是我們是從“整個”數列的特征角度對數列進行研究。那么，如果“整體無序”，“部分”是否也無序呢？如果“部分”有序，可否從“部分”來推斷整體的性質呢？簡而言之，能否從“部分”來把握“整體”呢？這個“部分數列”就是要講的“子列”。２． 子列的定義
a定義１
設
?an?為數列，?nk?為正整數集N?的無限子集，且n1?n2?n3???kn??，則數列 an1,an2,?,ank,?
稱為數列?an?的一個子列，簡記為?ank?.an?的子列?ank?的各項都來自?an?且保持這些項在?an?中的的an?中取出無限多項，按照其在?an?中的順序排成一個數列，就注
1由定義可見，?先后次序。簡單地講，從?是?an?的一個子列（或子列就是從?an?中順次取出無窮多項組成的數列）。
注2 子列?a?中的n表示ankknk是?kan?中的第nk項，k表示 ank是ank中的第k項，k???a?中的第k項就是?a?中的第n項，故總有n?a???a?.即即nkna?an，?k.特別地，若nk?k，則nknkn注3 數列?an?本身以及?an?去掉有限項以后得到的子列，稱為?an?的平凡子列；不是平凡子列的子列，稱為?an?的非平凡子列。
an?與它的任一平凡子列如?2k??2k?1?都是?n?的非平凡子列。由上節例知：數列?同為收斂或發散，且在收斂時有相同的極限。a,aa那么數列?an?的收斂性與的非平凡子列的收斂性又有何關系呢？此即下面的結果：
an?收斂??an?的任何非平凡子列都收斂。定理
數列?由此定理可見，若數列?an?的任何非平凡子列都收斂，則所有這些子列必收斂于同一
an?個極限。于是，若數列?n?有一個子列發散，或有兩個子列收斂而極限不相等，則數列?一定發散。這是判斷數列發散的一個很方便的方法。a§3 數列極限存在的條件
教學目的與要求
掌握數列極限存在的單調有界定理、柯西(Cauchy)收斂準則，并會利用它們求極限、證明相關命題
教學重點: 單調有界定理、柯西(Cauchy)收斂準則.教學難點: 單調有界定理、柯西(Cauchy)收斂準則的證明及應用.學時安排: 4學時
教學方法：講練結合。教學程序：
極限理論的兩個基本問題: 極限的存在性問題, 極限的計算問題．本節將重點討論極限的存在性問題．
為了確定某個數列是否存在極限，當然不可能將每個實數依定義一一驗證，根本的辦法是直接從數列本身的特征來作出判斷．
首先討論單調數列，其定義與單調函數相仿．若數列?an?的各項滿足關系式
an?an?1?an?an?1?，?1?????an則稱為遞增（遞減）數列．遞增數列和遞減數列統稱為單調數列．如?n?為遞減數列，n?????1?n?????2n?則不是單調數列.?n?1?為n遞增數列，而???
定理2．9(單調有界定理)在實數系中，有界的單調數列必有極限．
證
不妨設?an?為有上界的遞增數列．由確界原理，數列?an?有上確界，記?an?．下面證明a就是?an?的極限．事實上，任給??0，按上確界的定義，存在a?sup數列?an?中某一項aN，使得a???an．又由?an?的遞增性，當n?N時有
a???aN?an．
另一方面，由于a是?an?的一個上界，故對一切an都有an?a?a??．所以當n?N時有
a???an?a??，liman?a即n??．
同理可證有下界的遞增數列必有極限，且其極限即為它的下確界． 例1 設
an?1?其中實數a?2．證明數列?an?收斂．
111????,n?1,2,?,aaa23n
證
顯然?an?是遞增的，下證?an?有上界．事實上，111111?????1??????n?1?n 1?22?32232n21??1??11??1?1??1?????????????2??23??n?1n? 1?2??2n
，?1,2,?.于是由單調有界定理，?an?收斂．
an?1?例2 證明數列
2,2?2,2?2???2,??????????n個根號收斂，并求其極限．
證
記an?
2?2???2，易見數列?an?是遞增的．現用數學歸納法
來證明?an?有上界．
顯然a1?2?2．假設an?2，則有an?1?2?an?2?2?2，從而對一切n有an?2，即?an?有上界．
由單調有界定理，數列?an?有極限，記為a．由于
an?1?2?an，2對上式兩邊取極限得a?2?a，即有
2?a?1??a?2??0，解得a??1或a?2． 由數列極限的保不等式性，a??1是不可能的，故有：n??__lim2?2???2?2．
例3 設S為有界數集．證明：若supS?a?S，則存在嚴格遞增數列?xn??S，使得n??limxn?a．
__證
因a是S的上確界，故對任給的??0,存在x?S,使得x?a??．又因a?S，故x?a，從而有a???x?a．
現取?1?1，則存在x1?S，使得
a??1?x1?a
再取?2?min?,a?x1??0?1?2??，則存在x2?S，使得
a??2?x2?a，且有x2?a??2?a??a?x1??x1．
一般地，按上述步驟得到xn?1?S之后，取使得
?n?min?,a?xn?1??1?n??，則存在xn?S，a??n?xn?a，且有xn?a??n?a?(a?xn?1)?xn?1.上述過程無限地進行下去，得到數列{xn}?S，它是嚴格遞增數列，且滿足
a??n?xn?a?a??n?|xn?a|??n?limxn?a1,n?1,2,?.n
這就證明了n??.1lim(1?)nn存在.例4 證明n??
證先建
b整理后得不等式.n?1b?a?0，對任一正整數n有
?an?1?(n?1)bn(b?a)，an?1?bn[(n?1)a?nb].（1）
11,b?1?n?1n代入(1)式.由于 以
11(n?1)a?nb?(n?1)(1?)?n(1?)?1n?1n
, 1n?11(1?)?(1?)nn?1n.故有
1{(1?)n}n這就證明了為遞增數列.1a?1,b?1?2n代人(1)式，得
再以a?1?
故有(n?1)a?nb?(n?1)?n(1?n11)?2n2.2n1?11???1??1???1???2n22n????
?4.n?1??1???4n?上式對一切正整數n都成立,即對一切偶數n有?.聯系到該數列的單調性，可知
n??1?????1?1??????1???4n????n??有上界．于是由單調有界定理推知對一切正整數n都有?，即數列?1(1?)nn}是收斂的.數列{
n通常用拉丁字母e代表該數列的極限，即
1lim(1?)n?en
n??, 它是一個無理數(待證)，其前十三位數字是.e?2.7***.以e為底的對數稱為自然對數，通常記
lnx?logex 單調有界定理只是數列收斂的充分條件．
定理2．10(柯西(Cauchy)收斂準則)數列{an}收斂的充要條件是：對任給的??0，存在正整數N，使得當n,m?N時有
m
n．
這個定理從理論上完全解決了數列極限的存在性問題，它的證明將在第七章給出．柯西收斂準則的條件稱為柯西條件，它反映這樣的事實：收斂數列各項的值愈到后面，彼此愈是接近，以至充分后面的任何兩項之差的絕對值可小于預先給定的任意小正數．或者形象地說，a?a??收斂數列的各項越到后面越是“擠”在一起．另外，柯西收斂準則把??N定義中an與a的關系換成了an與am的關系，其好處在于無需借助數列以外的數a，只要根據數列本身的特征就可以鑒別其(收)斂(發)散性．
例5 證明：任一無限十進小數??0.b1b2?bn?的n位不足近似(n?12,?)所組成的數列
bb1b1b2bb,?2,?,1?22???nn,?101010
101010
(2)
滿足柯西條件(從而必收斂)，其中bk為0,1,2,?,9中的一個數，k?1,2,?.bb1b?22???nn.101010不妨設n?m,則有 證 記bm?1bm?1bn911?????(1????)m?1m?2nm?1n?m?1a?anm1010101010||=10
1111?m(1?n?m)?m?m 1010
10an?對任給的??0,，取N?1?，則對一切n?m.?N有
|an?am|?? 這就證明了數列(2)滿足柯西條件．
Ⅳ 小結與提問:本節要求學生理解掌握極限存在的兩個準則，并會利用它們求極限、證明極限的存在性.Ⅴ 課外作業:
P３8 3、4、6、7、9、11、12.
第二篇：數學分析教案
《數學分析Ⅲ》教案編寫目錄（1—16周，96學時）
課時教學計劃（教案21-1）
課題：§21-1二重積分的概念
一、教學目的：
1．理解二重積分的概念，其中包括二重積分的定義、幾何意義和存在性。2．理解二重積分的7條性質。
二、教學重點：二重積分的概念；二重積分的存在性和性質。
三、教學難點：二重積分的定義；二重積分的存在性。
四、教學方法：多媒體、問題討論與黑板講解穿插教學。
五、教學用具：黑板、CAI課件及硬件支持
六、教學過程：
[引例]：
（約5min，語言表述）
由平面圖形的面積和曲頂柱體的體積引出二重積分的概念。?平面圖形的面積
（約40min，投影、圖示與黑板講解）
1．平面圖形面積的定義；
2．平面圖形可求面積的充分必要條件；
?二重積分的定義及其存在性
1.2.? 二重積分的定義；
二重積分存在的充分條件和必要條件。
二重積分的性質
（約25min，圖示與黑板講解）
結合二重積分的定義講解二重積分的7條性質。
? 補充例子：
（約10min，黑板講解）
1．根據二重積分的定義計算二重積分； 2．根據二重積分的性質證明不等式。
七、課程小結：
（約5min，黑板講解）
二重積分的定義；二重積分性質。
八、作業：P217習題
1，2，3，4，5，6，8。
課時教學計劃（教案21-2）
課題：§21-2直角坐標系下二重積分的計算
一、教學目的：
掌握在直角坐標系下二重積分的計算方法。
二、教學重點：直角坐標系下二重積分的計算方法。
三、教學難點：定理21.8，21.9。
四、教學方法：多媒體、問題討論與黑板講解穿插教學。
五、教學用具：黑板、CAI課件及硬件支持
六、教學過程：
[引例]：
由曲頂柱體的體積引出二重積分計算的直觀概念。? 定理21.8，21.9的證明
?
X型、y型區域的講解及其定理21.10的證明
? 直角坐標系下二重積分的計算舉例
教材中例1—例4。
? 補充例子：
利用二重積分計算體積；
七、課程小結：
直角坐標系下二重積分的計算。
八、作業：P222習題
1，2，3，4，5，6，8。
（約5min，語言表述）
15min，投影、圖示與黑板講解）
（約25min，圖示與黑板講解）
（約30min，圖示與黑板講解）
（約20min，黑板講解）
（約5min，黑板講解）
（約
課時教學計劃（教案21-3）
課題：二重積分的概念與計算習題課
一、教學目的：
1．鞏固二重積分的概念，其中包括二重積分的定義、幾何意義和存在性。2．鞏固在直角坐標系下二重積分的計算方法。
二、教學重點：直角坐標系下二重積分的計算方法。
三、教學難點：直角坐標系下二重積分的計算方法。
四、教學方法：多媒體、問題討論與黑板講解穿插教學。
五、教學用具：黑板、CAI課件及硬件支持
六、教學過程：
? 二重積分的概念與性質
（約95min，投影、圖示與黑板講解）
1．二重積分的概念復習； 2．二重積分的性質復習。
?
二重積分的計算
1.2.利用二重積分的定義和限制計算二重積分和某些不等式； 在直角坐標系下計算二重積分。
七、課程小結：
（約5min，黑板講解）
二重積分的定義；二重積分性質；二重積分的計算。
八、作業：P278
總練習題
1，2。
課時教學計劃（教案21-4）
課題：§21-3格林公式、曲線積分與路線的無關性
一、教學目的：
1.理解格林公式；
2.掌握格林公式在計算二重積分和曲線積分的方法。3.掌握曲線積分與路線無關的條件和應用方法。
二、教學重點：格林公式的理解和方法。
三、教學難點：定理21.11，21.12。
四、教學方法：多媒體、問題討論與黑板講解穿插教學。
五、教學用具：黑板、CAI課件及硬件支持
六、教學過程：
? 格林公式，定理21.11的證明
?
例1—例3的講解
? 曲線積分與路線的無關性，定理21.12的證明
例4的講解。
? 補充例子：
利用二重積分計算曲線積分。
七、課程小結：
格林公式與曲線積分與路徑無關的概念。
八、作業：P231習題
1，2，3，4，5，6，8。
15min，投影、圖示與黑板講解）
（約25min，圖示與黑板講解）
（約30min，圖示與黑板講解）
（約20min，黑板講解）
（約5min，黑板講解）
（約
課時教學計劃（教案21-5）
課題：§21-4二重積分的變量變換
一、教學目的：
1.理解二重積分的變量變換的基本思想；
2.3.掌握二重積分變量變換的方法特別是極坐標變換。掌握在極坐標系下計算二重積分的方法。
二、教學重點：二重積分的變量變換。
三、教學難點：引理和定理21.13，21.14。
四、教學方法：多媒體、問題討論與黑板講解穿插教學。
五、教學用具：黑板、CAI課件及硬件支持
六、教學過程：
? 二重積分的變量變換公式
（約15min，投影、圖示與黑板講解）
?
引理證明，定理21.13證明，例1，例2講解
（約25min，圖示與黑板講解）
? ? 用極坐標計算二重積分，定理21.14證明
（約20min，圖示與黑板講解）二重積分在極坐標系下化為累次積分，例3，例4，例5，例6講解
（約35min，圖示與黑板講解）
七、課程小結：
（約5min，黑板講解）
二重積分的變量變換，在極坐標系下計算二重積分的方法。
八、作業：P242習題
1，2，3，4，5。
課時教學計劃（教案21-6）
課題：格林公式、曲線積分與路線的無關性
及積分變換習題課
一、教學目的：
1.2.鞏固格林公式、曲線積分與路線的無關性及積分變換；
鞏固格林公式、曲線積分與路線的無關性及積分變換的計算方法。
二、教學重點：格林公式、曲線積分與路線的無關性及積分變換
三、教學難點：格林公式、曲線積分與路線的無關性及積分變換
四、教學方法：多媒體、問題討論與黑板講解穿插教學。
五、教學用具：黑板、CAI課件及硬件支持
六、教學過程：
? 講解格林公式、曲線積分與路線的無關性的計算題
（約95min，投影、圖示與黑板講解）
?
講解積分變換的計算題
七、課程小結：
（約5min，黑板講解）
二重積分的定義；二重積分性質；二重積分的計算。
八、作業：P243
總練習題
7，8 6
課時教學計劃（教案21-7）
課題：§21-5 三重積分
一、教學目的：
1.2.3.理解三重積分的概念；
掌握化三重積分為累次積分的方法； 掌握三重積分換元法。
二、教學重點：三重積分換元法
三、教學難點：定義和定理21.15
四、教學方法：多媒體、問題討論與黑板講解穿插教學。
五、教學用具：黑板、CAI課件及硬件支持
六、教學過程：
? 三重積分的定義
（約15min，投影、圖示與黑板講解）
?
定理21.15證明，例1，例2講解
（約25min，圖示與黑板講解）
? ? 三重積分還原公式，柱面坐標變換，球面坐標變換（約20min，圖示與黑板講解）例3，例4，例5講解
（約35min，圖示與黑板講解）
七、課程小結：
（約5min，黑板講解）
三重積分的定義，在直角坐標、柱面坐標、球面坐標下計算三重積分的方法。
八、作業：P251習題
1，2，3，4，5。
課時教學計劃（教案21-8）
課題：§21-6 重積分的應用
一、教學目的：
1.2.3.掌握重積分在求曲面面積的應用； 了解重積分在重心的應用； 了解重積分在轉動慣量的應用。
二、教學重點：重積分求曲面面積
三、教學難點：運用重積分公式求解曲面面積
四、教學方法：多媒體、問題討論與黑板講解穿插教學。
五、教學用具：黑板、CAI課件及硬件支持
六、教學過程：
[引例]：
（約5min，語言表述）
由曲面的面積引出重積分的應用。
?
建立曲面面積的計算公式
（約40min，圖示與黑板講解）
? ? 例1講解
（約35min，圖示與黑板講解）簡單介紹重積分在重心、轉動慣量的應用
（約15min，圖示與黑板講解）
七、課程小結：
（約5min，黑板講解）
曲面面積的概念，重積分在計算曲面面積、重心、轉動慣量中的應用。
八、作業：P259 1，2。
課時教學計劃（教案21-9）
課題：§21-8 反常二重積分
一、教學目的：
掌握反常二重積分及其計算
二、教學重點：反常二重積分及其計算
三、教學難點：反常二重積分及其計算
四、教學方法：多媒體、問題討論與黑板講解穿插教學。
五、教學用具：黑板、CAI課件及硬件支持
六、教學過程：
?
無界區域上的二重積分
（約10min，圖示與黑板講解）
? ? ? ? 定理21.16，定理21.17的證明
（約40min，圖示與黑板講解）例1的講解
（約15min，圖示與黑板講解）定理21.18，定理21.19
（約15min，圖示與黑板講解）無界函數上的二重積分及定理21.20
（約15min，圖示與黑板講解）
七、課程小結：
（約5min，黑板講解）
曲面面積的概念，重積分在計算曲面面積、重心、轉動慣量中的應用。
八、作業：P272 1，2，3。
課時教學計劃（教案21-10）
課題：三重積分及重積分的應用習題課
一、教學目的：
1.鞏固三重積分的概念，其中包括三重積分的定義、幾何意義和存在性。2.鞏固在直角坐標系下三重積分的計算方法。3.鞏固化三重積分為累次積分的方法。4.鞏固三重積分換元法。
二、教學重點：直角坐標系下三重積分的計算方法。
三、教學難點：三重積分換元法
四、教學方法：多媒體、問題討論與黑板講解穿插教學。
五、教學用具：黑板、CAI課件及硬件支持
六、教學過程：
? 二重積分的概念與性質
1.三重積分的概念復習； 2.三重積分的性質復習。
?
三重積分的計算
1.化三重積分為累次積分；
2.在柱面坐標、球面坐標下計算三重積分； 3.計算曲面面積。
七、課程小結：
三重積分的定義；三重積分性質；三重積分的計算。
八、作業：P278
總練習題
15min，投影、圖示與黑板講解）
（約80min，投影、圖示與黑板講解）
（約5min，黑板講解）
（約
課時教學計劃（教案22-1）
課題：§22-1第一型曲面積分
一、教學目的：
1.2.第一型曲面積分的概念。第一型曲面積分的計算。
二、教學重點：第一型曲面積分計算
三、教學難點：第一型曲面積分計算
四、教學方法：多媒體、問題討論與黑板講解穿插教學。
五、教學用具：黑板、CAI課件及硬件支持
六、教學過程：
[引例]：
（約5min，語言表述）
由求曲面的質量引出第一型曲面積分的概念。
? 第一型曲面積分的概念
（約25min，投影、圖示與黑板講解）
?
第一型曲面積分的計算
1.2.定理22.1第一型曲面積分計算公式
（約30min，投影、圖示與黑板講解）例1，例2的求解
（約35min，投影、圖示與黑板講解）
七、課程小結：
（約5min，黑板講解）
第一型曲面積分的定義；第一型曲面積分的計算。
八、作業：P282 1，2，3，4
課時教學計劃（教案22-2）
課題：§22-2第二型曲面積分
一、教學目的：
1.2.第二型曲面積分的概念。第二型曲面積分的計算。
二、教學重點：第二型曲面積分計算
三、教學難點：第二型曲面積分計算
四、教學方法：多媒體、問題討論與黑板講解穿插教學。
五、教學用具：黑板、CAI課件及硬件支持
六、教學過程：
[引例]：
（約5min，語言表述）
由求流量問題引出第二型曲面積分的概念。
? 第二型曲面積分的概念
（約25min，投影、圖示與黑板講解）
?
第二型曲面積分的計算
1.2.3.定理22.2第二型曲面積分計算公式
（約30min，投影、圖示與黑板講解）例1，例2的求解
（約35min，投影、圖示與黑板講解）
簡單介紹兩類曲面積分的聯系
七、課程小結：
（約5min，黑板講解）
第二型曲面積分的定義；第二型曲面積分的計算。
八、作業：P289 1，2 12 課時教學計劃（教案22-3）
課題：第一、二型曲面積分復習課
一、教學目的：
1.2.鞏固第一型曲面積分、第二型曲面積分的概念。鞏固第一型曲面積分、第二型曲面積分的計算。
二、教學重點：第一、二型曲面積分計算
三、教學難點：第一、二型曲面積分計算
四、教學方法：多媒體、問題討論與黑板講解穿插教學。
五、教學用具：黑板、CAI課件及硬件支持
六、教學過程：
? 第一、二型曲面積分的概念
（約10min，投影、圖示與黑板講解）
?
第一、二型曲面積分的計算
1.2.習題鞏固第一、二型曲面積分計算公式
（約75min，投影、圖示與黑板講解）簡單介紹兩類曲面積分的聯系
（約10min，投影、圖示與黑板講解）
七、課程小結：
（約5min，黑板講解）
第一、二型曲面積分的定義；第一、二型曲面積分的計算。
八、作業：P305 1，2
課時教學計劃（教案22-4）
課題：§22-3高斯公式與斯托克斯公式
一、教學目的：
1.2.掌握高斯公式 掌握斯托克斯公式
二、教學重點：高斯公式與斯托克斯公式
三、教學難點：高斯公式與斯托克斯公式
四、教學方法：多媒體、問題討論與黑板講解穿插教學。
五、教學用具：黑板、CAI課件及硬件支持
六、教學過程：
? 高斯公式的重要意義
（約5min，投影、圖示與黑板講解）
?
高斯公式
1.2.? 定理22.3證明
（約25min，投影、圖示與黑板講解）例1的求解
（約15min，投影、圖示與黑板講解）
斯托克斯公式的重要意義
（約5min，投影、圖示與黑板講解）
?
斯托克說公式
1.2.3.定理22.4證明
（約15min，投影、圖示與黑板講解）例2的求解
（約10min，投影、圖示與黑板講解）
定理22.5及例3
（約20min，投影、圖示與黑板講解）
七、課程小結：
（約5min，黑板講解）
高斯公式與斯托克斯公式；高斯公式與斯托克斯公式的計算
八、作業：P296 1，2，3，4 14 課時教學計劃（教案22-5）
課題：§22-4場論初步
一、教學目的：
1.2.了解場的概念 掌握梯度場、散度場
二、教學重點：梯度場、散度場
三、教學難點：梯度場、散度場
四、教學方法：多媒體、問題討論與黑板講解穿插教學。
五、教學用具：黑板、CAI課件及硬件支持
六、教學過程：
? 場的概念、向量場線
（約15min，投影、圖示與黑板講解）
?
梯度場的定義及其基本性質
（約20min，投影、圖示與黑板講解）?
例1求解
（約15min，投影、圖示與黑板講解）
? 散度場的定義及其基本性質
（約20min，投影、圖示與黑板講解）
?
例2求解
（約15min，投影、圖示與黑板講解）?
了解其他場
（約10min，投影、圖示與黑板講解）
七、課程小結：
（約5min，黑板講解）
場的概念；梯度場、散度場。
八、作業：P296 1，2，3，4。
課時教學計劃（教案22-6）
課題：高斯公式與斯托克斯公式和場論初步復習課
一、教學目的：
1.2.鞏固高斯公式與斯托克斯公式 鞏固梯度場、散度場
二、教學重點：高斯公式與斯托克斯公式
三、教學難點：高斯公式與斯托克斯公式
四、教學方法：多媒體、問題討論與黑板講解穿插教學。
五、教學用具：黑板、CAI課件及硬件支持
六、教學過程：
? 高斯公式與斯托克斯公式
（約15min，投影、圖示與黑板講解）
?
高斯公式與斯托克斯公式的計算
（約65min，投影、圖示與黑板講解）?
復習場論知識
（約15min，黑板講解）
七、課程小結：
（約5min，黑板講解）
高斯公式與斯托克斯公式；高斯公式與斯托克斯公式的計算； 場的概念；梯度場、散度場。
八、作業：P305 3，4。
第三篇：數學分析 教案
第九章
空間解析幾何
教學目標：
1．理解空間直角坐標系的概念,掌握兩點間的距離公式.2．理解向量的概念、向量的模、單位向量、零向量與向量的方向角、方向余弦概念.3．理解向量的加法、數乘、點積與叉積的概念.4．理解基本單位向量，熟練掌握向量的坐標表示，熟練掌握用向量的坐標表示進行向量的加法、數乘、點積與叉積的運算.5．理解平面的點法式方程和空間直線的點向式方程（標準方程）、參數方程，了解平面和空間直線的一般式方程.6．理解曲面及其方程的關系，知道球面、柱面和旋轉曲面的概念，掌握球面、以坐標軸為旋轉軸、準線在坐標面上的旋轉曲面及以坐標軸為軸的圓柱面和圓錐面的方程及其圖形.7．了解空間曲線及其方程，會求空間曲線在坐標面內的投影.8．了解橢球面、橢圓拋物面等二次曲面的標準方程及其圖形.教學重點：向量的概念，向量的加法、數乘、點積與叉積的概念，用向量的坐標表示進行向量的加法、數乘、點積與叉積的運算，平面的點法式方程，空間直線的標準式方程和參數方程，球面、以坐標軸為軸的圓柱面和圓錐面方程及其圖形，空間曲線在坐標面內的投影.教學難點：向量的概念，向量的點積與叉積的概念與計算，利用向量的點積與叉積去建立平面方程與空間直線方程的方法，利用曲面的方程畫出空間圖形.教學方法：講授為主的綜合法 教學學時：14學時 教學手段：板書
學法建議：解析幾何的實質是建立點與實數有序數組之間的關系，把代數方程與曲線、曲面對應起來，從而能用代數方法研究幾何圖形建議在本章的學習中，應注意對空間圖形想象能力的培養，有些空間圖形是比較難以想像和描繪的，這是學習本章的一個難點.為了今后學習多元函數重積分的需要，同學們應自覺培養這方面的能力.參考資料： 使用教材：《高等數學》（第三版），高職高專十一五規劃教材，高等教育出版社，2011年5月，侯**主編.參考教材： 1.《高等數學》，21世紀高職高專精品教材，北京理工大學出版社，2005年5月，宋立溫等主編.2.《高等數學》，教育部高職高專規劃教材，高等教育出版社，2006年4月，盛祥耀主編.3.《高等數學》，第五版.同濟大學數學教研室編，高等教育出版社.4.《高等數學應用205例》，李心燦編，1986年，高等教育出版社.5.《高等數學》，宋立溫等主編，21世紀高職高專精品教材，北京理工大學出版社，2005年5月.第一節 空間直角坐標系與向量的概念
教學目標：
1．理解空間直角坐標系的概念,掌握兩點間的距離公式.2．理解向量的概念、向量的模、單位向量、零向量與向量的方向角、方向余弦概念.3．理解向量的加法、數乘、點積與叉積的概念.4．理解基本單位向量，熟練掌握向量的坐標表示，熟練掌握用向量的坐標表示進行向量的加法、數乘的運算.教學重點：向量的概念，向量的加法、數乘的概念，用向量的坐標表示進行向量的加法、數乘的運算.教學難點：向量的概念.教學方法：講授為主的綜合法 教學學時：2學時 教學手段：板書
一、引入新課（3分鐘）
(提問)舉幾個既有大小又有方向的量.(溫故知新,進行一些必要知識鋪墊。)
二、講授新課（72分鐘）
（一）空間直角坐標系（17分鐘）
在空間,使三條數軸相互垂直且相交于一點O，這三條數軸分別稱為x軸、y軸和z軸，一般是把x軸和y軸放置在水平面上，z軸垂直于水平面.z軸的正向按下述法則規定如下：伸出右手，讓四指與大拇指垂直，并使四指先指向x軸的正向，然后讓四指沿握拳方向旋轉090指向y軸的正向，這時大拇指所指的方向就是z軸的正向(該法則稱為右手法則).這樣就組成了右手空間直角坐標系Oxyz.在此空間直角坐標系中，x軸稱為橫軸，y軸稱為縱軸，簡稱坐標面.x軸與yz軸稱為豎軸，O稱為坐標原點;每兩軸所確定的平面稱為坐標平面，軸所確定的坐標面稱為xOy坐標面，類似地有yOz坐標面，zOx坐標面。這些坐標面把空間分為八個部分，每一部分稱為一個卦限.在空間直角坐標系中建立了空間的一點M與一組有序數(x,y,z)之間的一一對應關系。有序數組(x,y,z)稱為點M的坐標；x,y,z分別稱為x坐標，y坐標，z坐標.(提問)根據點的坐標的規定，點（0,0,c）在哪條坐標軸上，點（a，b，0）(a,0,c)在哪個坐標面上？（目的在于檢驗學生能否正確理解點與有序數組的對應關系，并在問題中正確應用.）
（二）向量的基本概念及線性運算（15分鐘）1.向量的基本概念
（此部分內容在高中階段已學，故可由教師引導，師生共同回憶完成）⑴向量的定義：既有大小，又有方向的量，稱為向量或矢量．
?⑵向量的模：向量的大小稱為向量的模，用a或AB表示向量的模． ⑶單位向量 模為1的向量稱為單位向量． ⑷零向量 模為０的向量稱為零向量，零向量的方向是任意的.⑸向量的相等 大小相等且方向相同的向量稱為相等的向量.⑹自由向量 在空間任意地平行移動后不變的向量,稱為自由向量.2.向量的線性運算 ⑴ 向量的加法
① 三角形法則 若將向量a的終點與向量b的起點放在一起，則以a的起點為起點，以b的終點為終點的向量稱為向量a與b的和向量，記為a?b.這種求向量和的方法稱為向量加法的三角形法則.②平行四邊形法則 將兩個向量a和b的起點放在一起，并以a和b為鄰邊作平行四邊形，則從起點到對角頂點的向量稱為a?b.這種求向量和的方法稱為向量加法的平行四邊形法則.向量的加法滿足下列運算律.交換律：a?b=b?a； 結合律：（a?b）+c=a+（b+c）.⑵ 向量與數的乘法運算
實數?與向量a的乘積是一個向量，稱為向量a與數?的乘積，記作?a，并且規定：
①?a?? a；
②當??0時，?a與a的方向相同；當??0時，?a與a的方向相反； ③當??0時，?a是零向量.設?,?都是實數，向量與數的乘法滿足下列運算律：
結合律：?(?a)?(??)a??(?a)；
分配律：(???)a??a??a , ?(a+b)=?a+?b.向量的加法運算和向量與數的乘法運算統稱為向量的線性運算.⑶ 求與a同向的單位向量的方法 設向量a是一個非零向量，則與a同向的單位向量
ea?a.a ⑷ 負向量 當???1時，記(-1)a=-a，則-a與a的方向相反，模相等，-a稱為向量a的負向量.⑸ 向量的減法 兩向量的減法（即向量的差）規定為 a-b=a +(-1)b.向量的減法也可按三角形法則進行，只要把a與b的起點放在一起，a-b即是以b的終點為起點，以a的終點為終點的向量.（三）向量的坐標表示（40分鐘）
1、向徑及其坐標表示
⑴ 基本單位向量 i,j,k分別為與x軸,y軸,z軸同向的單位向量.⑵ 向徑及其坐標表示
向徑 終點為P的向量OP稱為點P的向徑,記為OP.點P(a1,a2,a3)的向徑OP的坐標表達式為OP=a1i?a2j?a3k或簡記為 OP={a1,a2,a3}.講解例1（教師分析，師生共同完成本題目的求解，目的在于檢驗學生能否正確應用向徑的坐標表示.）
2、向量M1M2的坐標表示
設以M1(x1,y1,z1)為起點,以M2(x2,y2,z2)為終點的向量M1M2的坐標表達式為 M1M2=(x2?x1)i?(y2?y1)j?(z2?z1)k.講解例2（教師分析，師生共同完成本題目的求解，目的在于檢驗學生能否正確應用向量M1M2的坐標表示.）
3、向量a?a1i?a2j?a3k的模 a=a1?a2?a3.4、空間兩點間距離公式
?222點M1(x1,y1,z1)與點M2(x2,y2,z2)間的距離記為d(M1M2),則d(M1M2)?M1M2, 而M1M2=(x2?x1)i?(y2?y1)j?(z2?z1)k 所以d(M1M2)?(x2?x1)2?(y2?y1)2?(z2?z1)2
講解例
3、例4（學生講解，考察學生對所學知識進行運用的情況）5.坐標表示下的向量運算
設a?a1i?a2j?a3k，b?b1i?b2j?b3k，則有（1）a?b?(a1?b1)i?(a2?b2)j?(a3?b3)k；（2）a?b?(a1?b1)i?(a2?b2)j?(a3?b3)k；（3）?a??(a1i?a2j?a3k)??a1i??a2j??a3k；（4）a?b?a1?b1,a2?b2,a3?b3（5）a∥b?a=?b?a1a2a3??.b1b2b3引導學生看書、探究證明方法.由老師分析歸納證明思路，指出定理的作用與用法.講解例5（師生共同完成，讓學生熟悉解題過程，旨在規范學生解題步驟，培養科學的學習方法與態度）
三、課堂練習（9分鐘）教材169頁1—5題.（檢驗學習效果，讓學生在會的基礎上，訓練解題速度。旨在訓練學生總結數學思想的能力，并在學習中注意這些數學思想的應用）
四、內容小結（4分鐘）
（教師引導學生一起完成，讓學生學會總結歸納）
（一）空間直角坐標系
（二）向量的基本概念及線性運算 1.向量的基本概念 2.向量的線性運算
（三）向量的坐標表示 1.向徑及其坐標表示 2.向量M1M2的坐標表示
3.向量a?a1i?a2j?a3k的模 a=a1?a2?a3.4.空間兩點間距離公式 5.坐標表示下的向量運算
五、布置作業(2分鐘)1.教材169頁2、4、6題
2.預習第二節向量的點積與叉積
222第二節 向量的點積與叉積
教學目標：熟練掌握用向量的坐標表示進行向量點積與叉積的運算.教學重點：向量點積與叉積的概念.教學難點：用向量的坐標表示進行向量點積與叉積的運算.教學方法：講授為主的綜合法 教學學時：2學時 教學手段：板書
一、引入新課（5分鐘）
(提問)1.向徑及其坐標表示2.向量M1M2的坐標表示3.向量a?a1i?a2j?a3k的模
222?a2?a34.空間兩點間距離公式 a=a1(溫故知新,為用向量的坐標表示進行向量點積與叉積的運算做一些必要的知識鋪墊。)
二、講授新課（64分鐘）
（一）向量的點積（34分鐘）
1、引例
已知力F與x軸正向夾角為?，其大小為F,在力F的作用下，一質點M沿x軸由x=a移動到x=b,求力F所做的功？（創設學習的情景，激發學生學習數學的興趣）
分析：在力F使質點M沿x軸由x=a移動到x=b,所做的功等于F的模與位移的模及其夾角余弦的積.解略.這個特殊問題中得出的關系是否具有普遍意義？引起思維的碰撞，引出向量的點積的定義.2、定義 設向量a,b之間的夾角為?(0???π)，則稱abcos?為向量a與b的數 量積，記作a·b，即 a·b=abcos?.向量的點積又稱“點積”或“內積”.講解例1.（教師分析，師生共同完成本題目的求解，目的在于檢驗學生能否正確理解向量的點積的定義.）
向量的點積還滿足下列運算律: 交換律：a·b= b·a；
分配律：(a+b)·c= a·c+b·c；
結合律：?(a·b)=(?a)·b(其中?為常數).3、點積的坐標表示
（1）設a?a1i?a2j?a3k，b?b1i?b2j?b3k,則a·b=a1b1?a2b2?a3b3.（由學生自行得出點積的坐標表示公式，進一步加深對向量點積的定義的理解）（2）定理1：a⊥b?a?b?0?a1b1?a2b2?a3b3?0
講解例2.（學生講解，考察學生對兩向量正交充分必要條件的理解與應用能力）
4、向量a與b的夾角余弦
設a?a1i?a2j?a3k，b?b1i?b2j?b3k,則 cos??a1b1?a2b2?a3b3a?b =(0???π).222222aba1?a2?a3b1?b2?b35、向量的方向余弦
設 向 量 a?a1i?a2j?a3k與 x 軸 ,y 軸 ,z 軸 的 正 向 夾 角 分 別 為
?,?,?(0??,?,??π),稱其為向量a的三個方向角，并稱cos? ,cos?,cos?為a的方向余弦，向量a的方向余弦的坐標表示為
cos??且cos2??cos2a1a?a?a212223, cos??a2a?a?a212223, cos??a3a?a?a212223，??cos2??1.講解例4（（師生共同完成.利用數學建模解決物理問題，讓學生熟悉建模過程，規范解題步驟.數學來源于生活、服務生活，培養學生學數學、用數學的意識.）
（二）向量的叉積（30分鐘）1.引例
設點O為一杠桿的支點，力F作用于杠桿上點P處，求力F對支點O的力矩.分析：力F對支點O的力矩等于F的模與向量OP的模及其夾角正弦的積.解略.（這個特殊問題中得出的關系是否具有普遍意義？引起思維的碰撞，引出向量的叉積的定義.）
2.叉積的定義
(1)定義 兩個向量a與b的叉積是一個向量，記作a×b，它的模和方向分別規定如下：
①a×b=absin? 其中?是向量a與b的夾角；
②a×b的方向為既垂直于a又垂直于b，并且按順序a,b,a×b符合右手法則.（2）向量的叉積滿足如下運算律.反交換律：a×b=-b×a；
分配律：(a+b)×c=a×c+b×c；
結合律：?(a×b)=(?a)×b=a×(?b)(其中?為常數).講解例5（學生講解，考察學生對向量叉積定義的理解與應用能力）（3）定理2：a∥b?a?b?0.3.叉積的坐標表示
設a?a1i?a2j?a3k，b?b1i?b2j?b3k，則
a×b=(a2b3?a3b2)i?(a1b3?a3b1)j?(a1b2?a2b1)k.可將a×b表示成一個三階行列式的形式，計算時，只需將其按第一行展開即可.即
i j k a×b= a1 a2 a3.b1 b2 b3
講解例6（師生共同完成，加深學生對叉積的坐標表示公式的記憶，讓學生熟悉解題過程，旨在規范學生解題步驟，培養科學的學習方法與態度）
講解例8(師生共同完成，訓練學生解決實際問題的能力)
三、課堂練習（15分鐘）
教材174頁思考題1—3題.（檢驗學習效果，讓學生在會的基礎上，訓練解題速度.）
四、內容小結（4分鐘）
（教師引導學生一起完成，讓學生學會總結歸納，訓練學生總結數學思想的能力，并在學習中注意這些數學思想的應用.）
（一）向量的點積定義、坐標表示；
（二）向量的叉積定義、坐標表示及記憶方法.五、布置作業(2分鐘)1.教材174頁2、4、6、8題 2.預習第三節平面與直線
第四篇：《數學分析》教案
《數學分析》教案
S F 01(數)
C h0 數學分析課程簡介
C h 1 實數集與函數
計劃課時： Ch 0
2時
Ch 1
6時
P 1—8
說 明：
1．這是給數學系2001屆學生講授《數學分析》課編制的教案.該課程開設兩學期, 總課時為1 8 0 學時, 是少課時型教案（后來又開設了一學期，增加了8 0 學時）.按照學分制的要求, 只介紹數學分析最基本的內容.本教案共2 7 9頁，分2 1章.2.取材的教材: [1] 華東師范大學數學系編，數學分析，高等教育出版社，1996；
[2] 鄭英元，毛羽輝，宋國東，數學分析習題課教程，高等教育出版社，1991； [3] 馬振民，數學分析的方法與技巧選講，蘭州大學出版社，1999； [4] 馬振民，呂克璞，微積分習題類型分析, 蘭州大學出版社，1999； [5] W.Rudin, Principles of mathematical analysis, 1964.Ch 0
數學分析課程簡介(2 時)一.數學分析(mathematical analysis)簡介:
1.背景: 從切線、面積、計算sin32?、實數定義等問題引入.2.極限(limit)—— 變量數學的基本運算：
3.數學分析的基本內容：數學分析以極限為基本思想和基本運算研究實變實值
函數.主要研究微分(differential)和積分(integration)兩種特殊的極限運算,利用這兩種運算從微觀和宏觀兩個方面研究函數, 并依據這些運算引進并研究一些非初等函數.數學分析基本上是連續函數的微積分理論.微積運算是高等數學的基本運算.數學分析與微積分(calculus)的區別..二． 數學分析的形成過程：
1． 孕育于古希臘時期： 在我國，很早就有極限思想.紀元前三世紀, Archimedes 就有了積分思想.2.十七世紀以前是一個漫長的醞釀時期,是微積分思想的發展、成果的積累時期: 3． 十七世紀下半葉到十九時紀上半葉 —— 微積分的創建時期: 參閱《數學分
析選講》講稿(1997.8.10.)第三講P72.4.十九時紀上半葉到二十時紀上半葉 —— 分析學理論的完善和重建時期：參閱 《數學分析選講》講稿第三講P72—75.三.數學分析課的特點:
邏輯性很強, 很細致, 很深刻;先難后易, 是說開頭四章有一定的難度, 倘能努力學懂前四章(或前四章的8000), 后面的學習就會容易一些;只要在課堂上專心聽講, 一般是可以聽得懂的, 但即便能聽懂,習題還是難以順利完成.這是因為數學分析技巧性很強, 只了解基本的理論和方法, 不輔以相應的技巧, 是很難順利應用理論和方法的.論證訓練是數學分析課基本的,也是重要的內容之一, 也是最難的內容之一.一般懂得了證明后，能把證明準確、嚴密、簡練地用數學的語言和符號書寫出來，似乎是更難的一件事.因此, 理解證明的思維方式, 學習基本的證明方法, 掌握敘述和書寫證明的一般語言和格式, 是數學分析教學貫穿始終的一項任務.有鑒于此, 建議的學習方法是: 預習, 課堂上認真聽講, 必須記筆記, 但要注意以聽為主, 力爭在課堂上能聽懂七、八成.課后不要急于完成作業, 先認真整理筆記, 補充課堂講授中太簡或跳過的推導, 閱讀教科書, 學習證明或推導的敘述和書寫.基本掌握了課堂教學內容后, 再去做作業.在學習中, 要養成多想問題的習慣.四.課堂講授方法:
1.關于教材: 沒有嚴格意義上的教科書.這是大學與中學教學不同的地方, 本課程主要從以下教科書中取材:
[1] 華東師范大學數學系編，數學分析，高等教育出版社，1996；
[2] 鄭英元，毛羽輝，宋國東，數學分析習題課教程，高等教育出版社，1991；
[3] 馬振民，數學分析的方法與技巧選講，蘭州大學出版社，1999；
[4] 馬振民，呂克璞，微積分習題類型分析, 蘭州大學出版社，1999；
[5] W.Rudin, Principles of mathematical analysis, 1964.本課程基本按[1]的邏輯順序, 主要在[1]、[4]、[3]中取材.在講授中, 有時會指出所講內容的出處.本課程為適應課時少和學分制的要求，只介紹數學分析最基本的內容.因此刪去了[1]中第八、十五、十九和二十二等四章，相應的內容作為選修課將在學完數學分析課之后開設.2.內容多, 課時緊: 大學課堂教學與中學不同的是, 這里每次課介紹的內容很多, 因此, 內容重復的次數少, 講課只注重思想性與基本思路, 具體內容或推導, 特別是同類型或較簡的推理論證及推導計算, 可能講得很簡, 留給課后的學習任務一般很重.3.講解的重點: 概念的意義與理解, 幾何直觀, 理論的體系, 定理的意義、條件、結論.定理證明的分析與思路, 具有代表性的證明方法, 解題的方法與技巧.某些精細概念之間的本質差別.在第一、二章教學中, 可能會寫出某些定理證明, 以后一般不會做特別具體的證明敘述.五.要求、輔導及考試：
1.學習方法: 盡快適應大學的學習方法, 盡快進入角色.課堂上以聽為主, 但要做課堂筆記.課后一定要認真復習消化, 補充筆記.一般課堂教學與課外復習的時間比例應為1 : 3(國外這個比例通常是 1 : 4.參《西北師大報》№191，2000.9.30.第二版:
本科節段如何培養高素質創新人材 ——
伯利克大學的啟示.注: 伯利克大學乃美國加州大學伯利克分校.)對將來從事數學教學工作的師范大學本科生來說, 課堂聽講的內容應該更為豐富:
要認真評價教師的課堂教學, 把教師在課堂上的成功與失敗變為自己的經驗.這對未來的教學工作是很有用的.2.作業:
作業以[1]的練習題中劃線以上的部分習題和[4]中的計算題為主要內容.大體上每兩周收一次作業, 一次收清.每次重點檢查作業總數的三分之一.作業的收交和完成情況有一個較詳細的登記, 缺交作業將直接影響學期總評成績.作業要按數學排版格式書寫恭整.要求活頁作業, 最好用西北師大稿紙.要有作業封面, 尺寸為19.5?27.5cm.作業布置方式: [1]P…, [4]P…
3.輔導: 大體每周一次, 第一學期要求輔導時不缺席.4.考試: 按學分制的要求, 只以最基本的內容進行考試, 大體上考課堂教學和所布置作業的內容, 包括[1]和[4]中的典型例題.考試題為標準化試題.Ch 1 實數集與函數(6時)
§ 1
實數集與確界（3時）
一．
實數集R：回顧中學中關于實數集的定義.1.四則運算封閉性: 2.三歧性(即有序性): 3.Rrchimedes性: ?a,b?R, b?a?0, ?n?N, ? na?b.4.稠密性: 有理數和無理數的稠密性, 給出稠密性的定義.5.實數集的幾何表示 ─── 數軸: 6.兩實數相等的充要條件: a?b, ? ???0, a?b ? ?.7.區間和鄰域:
二.幾個重要不等式:
1.絕對值不等式: 定義 a ?max??a , a ?.[1]P2 的六個不等式.2.其他不等式:
⑴ a2?b2?2ab, sinx ? 1.sinx ? x.⑵
均值不等式: 對?aa?1,a2,?,n?R, 記
M(aa1?a2???anni)? n? 1n?ai,(算術平均值)
i?11n
G(ai)?na?1a2?an??n???ai??,(幾何平均值)?i?1?
H(ai)?n1?1n?nna?1???111?1.(調和平均值)1a2ann?i?1aii?1ai有平均值不等式:
H(ai)? G(ai)? M(ai),等號當且僅當a1?a2???an時成立.⑶
Bernoulli 不等式:(在中學已用數學歸納法證明過)?x??1,有不等式(1?x)n?1?nx, n?N.當x??1 且 x?0, n?N且n?2時, 有嚴格不等式(1?x)n?1?nx.(現采用《數學教學研究》1991.№ 1馬德堯文 “均值不等式妙用兩則”中的證明)證 由 1?x?0且1?x?0, ?(1?x)n?n?1?(1?x)n?1?1???1? ?n n(1?x)n?n(1?x).?(1?x)n?1?nx.⑷ 利用二項展開式得到的不等式: 對?h?0, 由二項展開式(1?h)n?1?nh?n(n?1)2!h?2n(n?1)(n?2)3!h???h，3n 有(1?h)n?上式右端任何一項.三.有界數集與確界原理: 1.有界數集:
定義(上、下有界, 有界)，閉區間、(a,b)(a,b為有限數）、鄰域等都是有界數集，集合 E??y y?sinx, x?(?? , ??)?也是有界數集.無界數集: 定義,(?? , ??),(?? , 0),(0 , ??)等都是無界數集，??1?, x?(0 , 1)?也是無界數集.x?集合 E??y y?2.確界: 給出直觀和刻畫兩種定義.n?(?1)
例
1⑴
S??1?n???,則supS?______, infS?_______.?
⑵ E??y y?sinx, x?(0,?)?.則
supE?________, infE?_________.例2 非空有界數集的上（或下）確界是唯一的.例3 設S和A是非空數集，且有S?A.則有 supS?supA, infS?infA..例4 設A和B是非空數集.若對?x?A和?y?B,都有x?y, 則有
supA?infB.證 ?y?B, y是A的上界, ? supA?y.? supA是B的下界, ? supA?infB.例5 A和B為非空數集, S?A?B.試證明: infS?min? infA , infB ?.證
?x?S,有x?A或x?B, 由infA和infB分別是A和B的下界,有
x?infA或x?infB.? x?min? infA , infB ?.即min? infA , infB ?是數集S的下界, ? infS?min? infA , infB ?.又S?A, ? S的下界就是A的下界,infS是S的下界, ? infS是A的下界, ? infS?infA;同理有infS?infB.于是有 infS?min? infA , infB ?.綜上, 有 infS?min? infA , infB ?.3.數集與確界的關系: 確界不一定屬于原集合.以例1⑵為例做解釋.4.確界與最值的關系: 設 E為數集.⑴
E的最值必屬于E, 但確界未必, 確界是一種臨界點.⑵
非空有界數集必有確界(見下面的確界原理), 但未必有最值.⑶
若maxE存在, 必有 maxE?supE.對下確界有類似的結論.四.確界原理:
Th(確界原理).Ex
[1]P4 3，4，9，10；
P9
2，4，7⑴⑶.§ 2 初等函數(3時)
一.函數:
1.函數:
[1]P10—12的五點說明.2.定義域: 定義域和存在域.3.函數的表示法:
4.反函數:
一 一 對應, 反函數存在定理.5.函數的代數運算:
?1?x, x?1,?f(x)??2, x?1，?2?x, x?1
二.分段函數: 以函數介紹概念.??2?x, x?1,和g(x)??2為例
??x, x?1例1 f(x)?3?2x?1, 去掉絕對值符號.x ? 1,?x, ?1?x, x ?1.例
2f(x)??
求 f(0), f(1), f(2).例
3設 f(x)???x?3, x?10,?f?f(x?5)?, x?10.求 f(5).(答案為8)
三.函數的復合:
例4 y?f(u)?定義域.例
5⑴
f(1?x)?x?x?1, f(x)?_____________.??1?12??x?2.則f(x)?()x?x222u, u ?g(x)?1?x.求
2?f?g?(x)?f?g(x).?并求
⑵
f?x?2
A.x, B.x?1, C.x?2, D.x?2.[4]P407 E62.2四.初等函數:
1.基本初等函數:
2.初等函數: 3.初等函數的幾個特例: 設函數f(x)和g(x)都是初等函數, 則
⑴ f(x)是初等函數, 因為 f(x)??f(x)?2.⑵ ?(x)?max?f(x), g(x)? 和 ?(x)?min?f(x), g(x)?都是初等函數, 因為 ?(x)?max?f(x), g(x)?? ?(x)?min?f(x), g(x)? ? ⑶ 冪指函數 ?f(x)? ?f(x)?g(x)1212?f(x)?g(x)??f(x)?g(x)?f(x)?g(x)? , f(x)?g(x)?.g(x)?f(x)?0?是初等函數,因為
g(x)?eln?f(x)??eg(x)lnf(x).五.有界函數: 有界函數概念.例6
驗證函數 f(x)?225x2x?32在R內有界.2解法一 由2x?3?(2x)?(3)?25x2x?322x?3?26x, 當x?0時,有
f(x)??5x2x?32?5x26x?526?3.f(0)?0?3，?
對 ?x?R, 總有 f(x)?3, 即f(x)在R內有界.解法二
令 y?5x2x?32, ? 關于x的二次方程 2yx22?5x?3y?0有實數根.22
? ??5?24y?0, ? y?2524?4, ? y?2.解法三
令 x?????tgt, t???,?對應x?(?? , ??).于是 2?22?3f(x)?5x2x?325??2???332tgt2?533tgt2?tgt??3?2?2tgt?1?5sint126costsect?
? 526sin2t, ? f(x)?526sin2t?526.關于奇偶函數、周期函數和單調函數，參閱[1]P22—25，[4]P19—24.Ex [1]P19—20 1⑸，3，4，6；
P25 1，2，5，8，12；
[4]P34—36 54，55，56，67，68，71，81.
第五篇：數學分析教案第一章
數學分析(mathematical analysis)課程簡介
(計劃課時:2時)
一、背景:從切線、面積等問題引入.1極限(limit)—— 變量數學的基本運算.2數學分析的基本內容：數學分析以極限作為工具來研究函數的一門學科（僅在實數范圍內進行討論）.主要研究微分(differential)和積分(integration)兩種特殊的極限運算,利用這兩種運算從微觀和宏觀兩個方面研究函數,并依據這些運算引進并研究一些非初等函數.數學分析基本上是連續函數的微積分理論.3 數學分析的形成過程：孕育于古希臘時期:在我國很早就有極限思想.紀元前三世紀, Archimedes就有了積分思想.十七世紀以前是一個漫長的醞釀時期,是微積分思想的發展、成果的積累時期:十七世紀下半葉到十九時紀上半葉——微積分的創建時期:十九時紀上半葉到二十時紀上半葉——分析學理論的完善和重建時期.二、數學分析課的特點: 邏輯性很強, 很細致, 很深刻;先難后易, 是說開頭四章有一定的難度, 若能努力學懂前四章(或前四章的80%),后面的學習就會容易一些;只要在課堂上專心聽講,一般是可以聽得懂的,但即便能聽懂,習題還是難以順利完成.這是因為數學分析技巧性很強,只了解基本的理論和方法,不輔以相應的技巧,是很難順利應用理論和方法的.論證訓練是數學分析課基本的,也是重要的內容之一,也是最難的內容之一.一般懂得了證明后,能把證明準確、嚴密、簡練地用數學的語言和符號書寫出來，似乎是更難的一件事.因此, 理解證明的思維方式,學習基本的證明方法, 掌握敘述和書寫證明的一般語言和格式, 是數學分析教學貫穿始終的一項任務.有鑒于此, 建議的學習方法是:課前要復習,做好必要的聽課準備;課堂上認真聽講, 必須記筆記, 但要注意以聽為主,力爭在課堂上能聽懂七、八成.課后不要急于完成作業, 先認真整理筆記, 補充課堂講授中太簡或跳過的推導,閱讀教科書,學習證明或推導敘述和書寫的格式與方法.基本掌握了課堂教學內容后, 再去做作業.在學習中,要養成多想問題的習慣,善于論證進行肯定，尤其要善于舉反例進行否定;對概念不能有一點含糊,那是一個數學名詞的固定含義,那是推理論證的根據.數學分析是數學系最重要的一門專業基礎課，因為它不僅是大學數學系學生進校后首先面臨的一門重要課程，而且大學本科乃至研究生階段的很多后繼課程在本質上都可以看作是它的延伸、深化或應用,至于它的基本概念、思想和方法，更可以說是無處不在.本課程的主要任務是：使學生獲得極限論、單多元微積分、級數論等方面的系統知識；為后繼數學專業課程（如微分方程、實變函數和復變函數、概率論、統計及有關的泛函分析、微分幾何等選修課程）及普通物理課程等提供所需的基礎理論和知識；提高學生思維能力，開發學生智能，加強“三基”（基礎知識、基本理論、基本技能）訓練及培養學生獨立工作能力.數學分析是數學專業各個方向上考研必考的專業基礎課(另一門是高等代數).三、課堂講授方法:
1.關于教材與參考書目: 沒有嚴格意義上的教科書.這是大學與中學教學不同的地方, 本課程主要從以下教科書中取材: [1] 華東師范大學數學系編，數學分析(上下冊)(第三版)，高等教育出版社，2001.6.[2] 數學分析講義(上下冊)(第三版).劉玉璉 傅沛仁編.高等教育出版社，2001.[3] 數學分析新講（一、二、三冊).張筑生編.北京大學出版社，1991.[4] 微積分學教程(共八冊).Γ.Μ.菲赫金哥爾茨著.人民教育出版社，1978.[5] 數學分析中的反例.王俊青編.電子科技大學出版社，1996.[6] 數學分析中的典型問題與方法.裴禮文編.高等教育出版社，2002.[7] 數學分析習題集題解(共六冊).Б.Л.吉米多維奇編.費定輝等譯，山東科技出版社，1983.本課程基本按[1]的邏輯順序, 主要在[1]、[2]、[3]中取材.在講授中, 有時會指出所講內容的出處.本課程為適應課時少和學分制的要求,只介紹數學分析最基本的內容.因此刪去了[1]中第十九和二十三等兩章, 相應的內容作為選修課將在學完數學分析課之后開設.2.內容多,課時緊:大學課堂教學與中學不同的是,這里每次課介紹的內容很多,因此,內容重復的次數少,講課只注重思想性與基本思路,具體內容或推導,特別是同類型或較簡的推理論證及推導計算,可能講得很簡,留給課后的學習任務一般很重.3.講解的重點:概念的意義與理解,幾何直觀,理論的體系,定理的意義、條件、結論.定理證明的分析與思路,具有代表性的證明方法,解題的方法與技巧.某些精細概念之間的本質差別.在第一、二章教學中,可能會寫出某些定理證明,以后一般不會做特別具體的證明敘述.四、要求、輔導及考試：
1.學習方法:盡快適應大學的學習方法,盡快進入角色.課堂上以聽為主,但要做課堂筆記.課后一定要認真復習消化,補充筆記.一般課堂教學與課外復習的時間比例應為1:3(國外這個比例通常是1: 4)對將來從事數學教學工作的師范大學本科生來說,課堂聽講的內容應該更為豐富:要認真評價教師的課堂教學,把教師在課堂上的成功與失敗變為自己的經驗.這對未來的教學工作是很有用的.2.作業:作業以[1]的練習題中劃線以上的部分習題為主要內容,同時可參考[7]與[1]中劃線以下部分的習題.大體上每個練習收一次作業,每次收作業總數的三分之一.作業的收交和完成情況有一個較詳細的登記,缺交作業將直接影響學期總評成績.作業要按數學排版格式書寫恭整.要求活頁作業, 要有作業封面, 尺寸為19.5?27.5cm.3.輔導:大體每周一次, 第一學期要求輔導時不缺席.4.考試:按學分制的要求, 只以最基本的內容進行考試, 大體上考課堂教學和所布置作業的內容, 包括[1]中的典型例題.開設三學期考三次.考試題為標準化試題.五.內容安排
1.課時分配: 第一學期16×6=96;第二學期18×6=108;第三學期18×4=72.2.內容分配: 第一學期一元函數微分學;第二學期一元函數積分學與級數論;第三學期二元函數微積分學.第一章 實數集與函數（計劃課時：6 時）P1—22
§1 實 數（1時）
一．實數及其性質：回顧中學中關于實數集的定義.1.實數用無限小數表示的方法: 為了把有限小數(包括整數)表示為無限小數, 規定: 對于正有限小數(包括正整數)x,x?a0.a1a2?an時,其中0?ai?9,i?1,2,?,n,an?0,a0為非負整數,記x?a0.a1a2?(an?1)9999?;而當x?a0為正整數時,則記x?(a0?1).9999?;對于負有限小數(包括負整數)y,則先將?y表示為無限小數,再在所得無限小數之前加負號;又規定數0表示為0.000?.例如2.011?2.010999?,?8??7.999?.2.實數的大小: 定義1:(實數大小的概念)見[1]P1.定義2:(不足近似與過剩近似的概念)見[1]P2.命題: 設x?a0.a1a2?與y?b0.b1b2?為兩個實數,則x?y??n,使得xn?yn.例1 設x、y為實數，x?y.證明：存在有理數r滿足x?r?y.[1]P17E1.3.實數的性質: ⑴.四則運算封閉性: ⑵.三歧性(即有序性): ⑶.Rrchimedes性:?a,b?R,b?a?0,?n?N,?na?b.⑷.稠密性: 有理數和無理數的稠密性, 給出稠密性的定義.⑸.實數集的幾何表示 ─── 數軸: ⑺.兩實數相等的充要條件: a?b ? ???0, a?b ? ?.二.區間和鄰域的概念:見[1]P5 三.幾個重要不等式: 1.絕對值不等式: 定義 a ?max??a , a ?.[1]P2 的六個不等式.2.其它不等式:
⑴ a?b?2ab, sinx ? 1.sinx ? x.⑵ 均值不等式: 對?a1,a2,?,an?R, 記
?22 3 a1?a2???an1n
M(ai)? ? ?ai,(算術平均值)
nni?G(ai)?na1a2?an???
H(ai)???a?i??,(幾何平均值)?i?1??11n1?ni?1ai?n1?i?1ainn1nn111????a1a2an.(調和平均值)有平均值不等式:
H(ai)? G(ai)? M(ai),等號當且僅當a1?a2???an時成立.⑶
Bernoulli 不等式: ?x??1,有不等式(1?x)n?1?nx, n?N.當x??1 且 x?0, n?N且n?2時, 有嚴格不等式(1?x)n?1?nx.nn證
由 1?x?0且1?x?0, ?(1?x)?n?1?(1?x)?1?1???1?
nn
?n n(1?x)?n(1?x).?(1?x)?1?nx.⑷
利用二項展開式得到的不等式: 對?h?0, 由二項展開式
(1?h)?1?nh?nnn(n?1)2n(n?1)(n?2)3h?h???hn, 2!3!
有(1?h)?上式右端任何一項.Ex [1]P4: 3，4，5，6；
§2 確界原理（2時）
一、有界數集:定義(上、下有界,有界), 閉區間、(a,b)(a,b為有限數）、鄰域等都是有界數集，如集合 E?y y?sinx, x?(?? , ??)也是有界數集.??
二、無界數集: 定義,(?? , ??),(?? , 0),(0 , ??)等都是無界數集,如集 合 E??y y???1?, x?(0 , 1)?也是無界數集.x?
三、確界:給出直觀和刻畫兩種定義.?(?1)n?例1 ⑴S??1? infS?_______.?,則supS?______,n??⑵E?y y?sinx, x?(0,?).則supE?________, infE?_________.例2 非空有界數集的上（或下）確界是唯一的.例3 設S和A是非空數集，且有S?A.則有 supS?supA, infS?infA..例4 設A和B是非空數集.若對?x?A和?y?B,都有x?y, 則有supA?infB.證?y?B,y是A的上界,? supA?y.? supA是B的下界,? supA?infB.例5 A和B為非空數集, S?A?B.試證明: infS?min? infA , infB ?.證
?x?S,有x?A或x?B, 由infA和infB分別是A和B的下界,有x?infA或??x?infB.? x?min? infA , infB ?.即min? infA , infB ?是數集S的下界, ? infS?min? infA , infB ?.又S?A, ? S的下界就是A的下界,infS是S的下界, ? infS是A的下界, ? infS?infA;同理有infS?infB.于是有
infS?min? infA , infB ?.綜上, 有 infS?min? infA , infB ?.四、數集與確界的關系: 確界不一定屬于原集合.以例1⑵為例做解釋.五、確界與最值的關系:設E為數集.⑴E的最值必屬于E, 但確界未必, 確界是一種臨界點.⑵非空有界數集必有確界(見下面的確界原理), 但未必有最值.⑶若maxE存在, 必有 maxE?supE.對下確界有類似的結論.六、確界原理: Th(確界原理).Ex
[1]P9:
2，4，5.§3 函數概念(2時)
一.函數的定義:
1.函數: [1]P10—11的四點說明.2.定義域: 定義域和存在域.3.函數的表示法: 4.反函數: 一 一對應, 反函數存在定理.5.函數的代數運算:
?1?x, x?1,???2?x, x?1, x?1, 和g(x)??2二.分段函數: 以函數f(x)??2, 為例介紹
??x2, ?x, x?1x?1?概念.f(x)?3?2x?1, 去掉絕對值符號.例2 f(x)??x?1,?x，求 f(0), f(1), f(2).?1?x, x?1.x?10,?x?3, 例3 設 f(x)??
求 f(5).(答案為8)??ff(x?5), x?10.? 三.復合函數: 例4 y?f(u)?u, u?g(x)?1?x2.求 ?f?g?(x)?f?g(x).?并求定義域.例5 ⑴
f(1?x)?x?x?1, f(x)?_______________.⑵
f?x?2??1?12)??x?2.則f(x)?(x?x2222A.x, B.x?1,C.x?2, D.x?2.四.初等函數: 1.基本初等函數: 2.初等函數: 3.初等函數的幾個特例: 設函數f(x)和g(x)都是初等函數, 則
⑴ f(x)是初等函數, 因為 f(x)?
?f(x)?2.⑵
?(x)?ma?xf(x), g(x)? 和 ?(x)?min?f(x), g(x)?都是初等函數, 因為 ?(x)?max?f(x), g(x)??12?f(x)?g(x)?f(x)?g(x)? ，?(x)?min?f(x), g(x)? ?12?f(x)?g(x)?f(x)?g(x)?.⑶
冪指函數 ?f(x)?g(x)?f(x)?0?是初等函數,因為
?f(x)?g(x)?eln?f(x)?g(x)?eg(x)lnf(x).五.介紹一些特殊函數: 1.符號函數 2.Dirichlet函數 3.Riemann函數 4.取整函數
5.非負小數部分函數
Ex
[1]P15 1(4)(5)，2, 3，4，5, 6, 7，8；
§4 具有某些特性的函數(1時)
一、有界函數: 有界與無界函數的概念.例1 驗證函數 f(x)?5x2x2?3在R內有界.解法一
由2x2?3?(2x)2?(3)2?22x?3?26x, 當x?0時,有
f(x)?5x5x5x2x2?3?2x2?3?26x?526?3.f(0)?0?3，?對 ?x?R, 總有 f(x)?3, 即f(x)在R內有界.解法二
令 y?5x2x2?3 ? 關于x的二次方程 2yx2?5x?3y?0有實數根.? ??52?24y2?0, ? y2?2524?4, ? y ?2.解法三
令 x?3????tgt, t???,?對應x?(?? , ??).于是 2?22?5x53tgt5sint1????
222253tgt2f(x)?2x?32??3?32tgt?16costsec?2tgt?t??3??
?526sin2t, ? f(x)?526sin2t?526.例2 見[1]P17.例3 見[1]P17.二、關于單調函數、奇偶函數和周期函數(略)，參閱[1]P17—19，Ex
[1]P20 1，2, 3，4，5, 6, 7；
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