第一篇：數(shù)學(xué)分析 證明題

第十一章: 函數(shù)項級數(shù)

1.證明：函數(shù)級數(shù)f(x)=?sinnx

n3在（??,??)上一致收斂。

n?x????? 2.證明函數(shù)列fn(x)???1???在?a,b?上的極限函數(shù)為ex。???n???

3.證明函數(shù)項級數(shù)

在R內(nèi)一致收斂。

4.證明函數(shù)

5.證明函數(shù)項級數(shù)在區(qū)間

內(nèi)連續(xù)在R內(nèi)的一致收斂。第十二章 冪級數(shù)

1.證明：冪級數(shù)?xn，x?1的和函數(shù)為

n?1?1。1?x

xn2.證明：冪級數(shù)?2在（?1,1)一致收斂。n?1n?

xn3.證明：冪級數(shù)?的和函數(shù)在R上連續(xù)。

n?1n!?

x24.證明：冪級數(shù)?的和函數(shù)在R上連續(xù)。2nn?1(1?x)?

5.證明：冪級數(shù)?n?1

??3n11xn的收斂域為（-,）33n6.證明：冪級數(shù)?n!xn的收斂半徑為R=0。

n?1

(x?1)n7.證明：冪級數(shù)?n的收斂域為[-1，3）。n?12n?

第十四章多元函數(shù)微分學(xué)

y?2u?2u

1.證明函數(shù)u?arctan滿足方程2?2?0

x?x?y

2.證明極限lim(4x?3y)?19 x?2

y?1

3.證明：lim(3x2?2y)?14

x?2

y?1

x2y

4.證明：函數(shù)f(x,y)=4((x,y)?(0,0))在原點(0,0)不存在極限 2

x?y

?x2y

(x,y)?(0,0)?

5.證明函數(shù)f?x,y???x2?y2在原點（0，0）連續(xù).(x,y)?(0,0)?0?

6.驗證方程F?x,y??xy?2x?2y?0在點0的某鄰域確定唯一一個有連續(xù)導(dǎo)數(shù)的隱函數(shù)y???x?

xy2

7．證明：lim2?0．

x?0x?y2y?0

第十六章 重積分

1.設(shè)f在可求面積的區(qū)域D上連續(xù).證明： 若在D上,f(x,y)?0,f(x,y)?0,則??f(x,y)dxdy?0.D

2.證明若f(x,y)在有界閉區(qū)域D上可積，且k是常數(shù)，則

??kf(x,y)dxdy?k??f(x,y)dxdy

D

D

3.證明：若f(x,y,z)在有界閉體V上連續(xù)，則在有界閉體V內(nèi)至少存在 一點(?,?,?)，使???f(x,y,z)dxdydz?f(?,?,?)V，其中V是V的體積；

V

4.證明 若f(x,y)，g(x,y)在有界閉區(qū)域D上可積，且在區(qū)域D上有

f(x,y)?g(x,y，則)??f(x,y)dxdy???g(x,y)dxdy

D

D

5.證明若f(x,y)?1，則??f(x,y)dxdy???dxdy?D，其中D是區(qū)域D的面積

D

D

6.若函數(shù)f在R可積,則函數(shù)f在R也可積，且

??fd????

R

R

f?.7.若函數(shù)f在有界閉區(qū)域R連續(xù)，則至少存在一點??,???R，使

??f?x,y?d??f??,?R，其中R表示R的面積.R

8.設(shè)f(x,y)在所積分的區(qū)域D上連續(xù)，?adx?af(x,y)dy??ady?yf(x,y)dx． 9.設(shè)y軸將平面有界區(qū)域D分成對稱的兩部分D1和D2，證明： 若f(x,y)關(guān)于x為奇函數(shù)，即f(?x,y)??f(x,y)，則??f(x,y)dxdy?0；

D

bxbb

10.設(shè)y軸將平面有界區(qū)域D分成對稱的兩部分D1和D2，證明：若

f(x,y)關(guān)于x為偶函數(shù)，即f(?x,y)?f(x,y)，則

??f(x,y)dxdy?2??f(x,y)dxdy?2??f(x,y)dxdy．

D

D1

D2

第十七章 曲線積分與曲面積分

1.證明若f(x,y)，g(x,y)在光滑曲線C上可積，且在光滑曲線C上有

f(x,y)?g(x,y)，則?f(x,y)ds??g(x,y)ds

c

c

2.證明若f(x,y)在光滑曲線C上可積，且k≠0的常數(shù)，則kf(x,y)也在光滑曲線C上可積，且 ?kf(x,y)ds?k?f(x,y)ds

c

c

3.若f(x,y)在光滑曲線C上可積，且C?1來表示曲線C的反方向，則 有

?

c

f(x,y)dx????1f(x,y)dx

c

第二篇：數(shù)學(xué)分析

《數(shù)學(xué)分析》考試大綱

一、本大綱適用于報考蘇州科技學(xué)院基礎(chǔ)數(shù)學(xué)專業(yè)的碩士研究生入學(xué)考試。主要考核數(shù)學(xué)分析課程的基本概念、基本理論、基本方法。

二、考試內(nèi)容與要求

(一)實數(shù)集與函數(shù)

1、實數(shù)：實數(shù)的概念，實數(shù)的性質(zhì)，絕對值與不等式;

2、數(shù)集、確界原理：區(qū)間與鄰域，有界集與無界集，上確界與下確界，確界原理;

3、函數(shù)概念：函數(shù)的定義，函數(shù)的表示法(解析法、列表法、和圖象法)，分段函數(shù)；

4、具有某些特征的函數(shù)：有界函數(shù)，單調(diào)函數(shù)，奇函數(shù)與偶函數(shù)，周期函數(shù)。

要求：了解數(shù)學(xué)的發(fā)展史與實數(shù)的概念，理解絕對值不等式的性質(zhì)，會解絕對值不等式；弄清區(qū)間和鄰域的概念, 理解確界概念、確界原理，會利用定義證明一些簡單數(shù)集的確界；掌握函數(shù)的定義及函數(shù)的表示法，了解函數(shù)的運算；理解和掌握一些特殊類型的函數(shù)。

(二)數(shù)列極限

1、極限概念；

2、收斂數(shù)列的性質(zhì)：唯一性，有界性，保號性，單調(diào)性；

3、數(shù)列極限存在的條件：單調(diào)有界準(zhǔn)則，迫斂性法則，柯西準(zhǔn)則。

要求：逐步透徹理解和掌握數(shù)列極限的概念；掌握并能運用?-N語言處理極限問題；掌握收斂數(shù)列的基本性質(zhì)和數(shù)列極限的存在條件(單調(diào)有界函數(shù)和迫斂性定理)，并能運用；了解數(shù)列極限柯西準(zhǔn)則,了解子列的概念及其與數(shù)列極限的關(guān)系；了解無窮小數(shù)列的概念及其與數(shù)列極限的關(guān)系.(三)函數(shù)極限

1、函數(shù)極限的概念，單側(cè)極限的概念；

2、函數(shù)極限的性質(zhì)：唯一性，局部有界性，局部保號性，不等式性，迫斂性；

3、函數(shù)極限存在的條件：歸結(jié)原則（Heine定理），柯西準(zhǔn)則；

4、兩個重要極限；

5、無窮小量與無窮大量，階的比較。

要求：理解和掌握函數(shù)極限的概念；掌握并能應(yīng)用?-?, ?-X語言處理極限問題；了解函數(shù)的單側(cè)極限，函數(shù)極限的柯西準(zhǔn)則；掌握函數(shù)極限的性質(zhì)和歸結(jié)原則；熟練掌握兩個重要極

限來處理極限問題。

(四)函數(shù)連續(xù)

1、函數(shù)連續(xù)的概念：一點連續(xù)的定義，區(qū)間連續(xù)的定義，單側(cè)連續(xù)的定義，間斷點及其分類；

2、連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)：局部性質(zhì)及運算，閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)（最大最小值性、有界性、介值性、一致連續(xù)性），復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性，反函數(shù)的連續(xù)性；

3、初等函數(shù)的連續(xù)性。

要求：理解與掌握一元函數(shù)連續(xù)性、一致連續(xù)性的定義及其證明，理解與掌握函數(shù)間斷點及其分類，連續(xù)函數(shù)的局部性質(zhì)；理解單側(cè)連續(xù)的概念；能正確敘述和簡單應(yīng)用閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)；了解反函數(shù)的連續(xù)性，理解復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性，初等函數(shù)的連續(xù)性。

（五）導(dǎo)數(shù)與微分

1、導(dǎo)數(shù)概念：導(dǎo)數(shù)的定義、單側(cè)導(dǎo)數(shù)、導(dǎo)函數(shù)、導(dǎo)數(shù)的幾何意義；

2、求導(dǎo)法則：導(dǎo)數(shù)公式、導(dǎo)數(shù)的運算(四則運算)、求導(dǎo)法則（反函數(shù)的求導(dǎo)法則，復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則，隱函數(shù)的求導(dǎo)法則，參數(shù)方程的求導(dǎo)法則）；

3、微分：微分的定義，微分的運算法則，微分的應(yīng)用；

4、高階導(dǎo)數(shù)與高階微分。

要求：理解和掌握導(dǎo)數(shù)與微分概念，了解它的幾何意義；能熟練地運用導(dǎo)數(shù)的運算性質(zhì)和求導(dǎo)法則求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)；理解單側(cè)導(dǎo)數(shù)、可導(dǎo)性與連續(xù)性的關(guān)系，高階導(dǎo)數(shù)的求法；了解導(dǎo)數(shù)的幾何應(yīng)用，微分在近似計算中的應(yīng)用。

（六）微分學(xué)基本定理

1、中值定理：羅爾中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理；

2、幾種特殊類型的不定式極限與羅比塔法則；

3、泰勒公式。

要求：掌握中值定理的內(nèi)容、證明及其應(yīng)用；了解泰勒公式及在近似計算中的應(yīng)用，能夠把某些函數(shù)按泰勒公式展開；能熟練地運用羅必達法則求不定式的極限

（七）導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用

1、函數(shù)的單調(diào)性與極值；

2、函數(shù)凹凸性與拐點.要求：了解和掌握函數(shù)的某些特性(單調(diào)性、極值與最值、凹凸性、拐點)及其判斷方法，能利用函數(shù)的特性解決相關(guān)的實際問題。

（八）實數(shù)完備性定理及應(yīng)用

1、實數(shù)完備性六個等價定理：閉區(qū)間套定理、單調(diào)有界定理、柯西收斂準(zhǔn)則、確界存在定理、聚點定理、有限覆蓋定理；

2、閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)整體性質(zhì)的證明：有界性定理的證明，最大小值性定理的證明，介值性定理的證明，一致連續(xù)性定理的證明；

3、上、下極限。

要求：了解實數(shù)連續(xù)性的幾個定理和閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)的證明；理解聚點的概念，上、下極限的概念。

（九）不定積分

1、不定積分概念；

2、換元積分法與分部積分法；

3、幾類可化為有理函數(shù)的積分；

要求：理解原函數(shù)和不定積分概念；熟練掌握換元積分法、分部積分法、有理式積分法、簡單無理式和三角有理式積分法。

（十）定積分

1、定積分的概念：概念的引入、黎曼積分定義，函數(shù)可積的必要條件；

2、可積性條件：可積的必要條件和充要條件，達布上和與達布下和，可積函數(shù)類(連續(xù)函數(shù)，只有有限個間斷點的有界函數(shù)，單調(diào)函數(shù))；

3、微積分學(xué)基本定理：可變上限積分，牛頓-萊布尼茲公式；

4、非正常積分：無窮積分收斂與發(fā)散的概念，審斂法（柯西準(zhǔn)則，比較法，狄利克雷與阿貝爾判別法）；瑕積分的收斂與發(fā)散的概念，收斂判別法。

要求：理解定積分概念及函數(shù)可積的條件；熟悉一些可積分函數(shù)類，會一些較簡單的可積性證明；掌握定積分與可變上限積分的性質(zhì)；能較好地運用牛頓-萊布尼茲公式，換元積分法，分部積分法計算一些定積分。掌握廣義積分的收斂、發(fā)散、絕對收斂與條件收斂等概念；能用收斂性判別法判斷某些廣義積分的收斂性。

（十一）定積分的應(yīng)用

1、定積分的幾何應(yīng)用：平面圖形的面積，微元法，已知截面面積函數(shù)的立體體積，旋轉(zhuǎn)體的體積平面曲線的弧長與微分，曲率；

2、定積分在物理上的應(yīng)用：功、液體壓力、引力。

要求：重點掌握定積分的幾何應(yīng)用；掌握定積分在物理上的應(yīng)用；在理解并掌握“微元法”。

（十二）數(shù)項級數(shù)

1、級數(shù)的斂散性：無窮級數(shù)收斂，發(fā)散等概念，柯西準(zhǔn)則，收斂級數(shù)的基本性質(zhì)；

2、正項級數(shù)：比較原理，達朗貝爾判別法，柯西判別法，積分判別法；

3、一般項級數(shù)：交錯級數(shù)與萊布尼茲判別法，絕對收斂級數(shù)與條件收斂級數(shù)及其性質(zhì)，阿貝爾判別法與狄利克雷判別法。

要求：理解無窮級數(shù)的收斂、發(fā)散、絕對收斂與條件收斂等概念；掌握收斂級數(shù)的性質(zhì)；能夠應(yīng)用正項級數(shù)與任意項級數(shù)的斂散性判別法判斷級數(shù)的斂散性；熟悉幾何級數(shù)調(diào)和級數(shù)與p級數(shù)。

（十三）函數(shù)項級數(shù)

1、一致收斂性及一致收斂判別法（柯西準(zhǔn)則，優(yōu)級數(shù)判別法，狄利克雷與阿貝爾判別法）；

2、一致收斂的函數(shù)列與函數(shù)項級數(shù)的性質(zhì)（連續(xù)性，可積性，可微性）。

要求：掌握收斂域、極限函數(shù)與和函數(shù)一致斂等概念；掌握極限函數(shù)與和函數(shù)的分析性質(zhì)(會證明)；能夠比較熟練地判斷一些函數(shù)項級數(shù)與函數(shù)列的一致收斂。

（十四）冪級數(shù)

1、冪級數(shù)：阿貝爾定理，收斂半徑與收斂區(qū)間，冪級數(shù)的一致收斂性，冪級數(shù)和函數(shù)的分析性質(zhì)；

2、幾種常見初等函數(shù)的冪級數(shù)展開與泰勒定理。

要求：了解冪級數(shù)，函數(shù)的冪級數(shù)及函數(shù)的可展成冪級數(shù)等概念；掌握冪級數(shù)的性質(zhì)；會求冪級數(shù)的收斂半徑與一些冪級數(shù)的收斂域；會把一些函數(shù)展開成冪級數(shù)，包括會用間接展開法求函數(shù)的泰勒展開式

（十五）付里葉級數(shù)

1、付里葉級數(shù)：三角函數(shù)與正交函數(shù)系, 付里葉級數(shù)與傅里葉系數(shù), 以２? 為周期函數(shù)的付里葉級數(shù), 收斂定理；

2、以2L為周期的付里葉級數(shù)；

3、收斂定理的證明。

要求：理解三角函數(shù)系的正交性與函數(shù)的傅里葉級數(shù)的概念；掌握傅里葉級數(shù)收斂性判別法；能將一些函數(shù)展開成傅里葉級數(shù)；了解收斂定理的證明。

（十六）多元函數(shù)極限與連續(xù)

1、平面點集與多元函數(shù)的概念；

2、二元函數(shù)的極限、累次極限；

3、二元函數(shù)的連續(xù)性：二元函數(shù)的連續(xù)性概念、連續(xù)函數(shù)的局部性質(zhì)及初等函數(shù)連續(xù)性。要求：理解平面點集、多元函數(shù)的基本概念；理解二元函數(shù)的極限、累次極限、連續(xù)性概念，會計算一些簡單的二元函數(shù)極限；了解閉區(qū)間套定理，有限覆蓋定理，多元連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)。（十七）多元函數(shù)的微分學(xué)

1、可微性：偏導(dǎo)數(shù)的概念，偏導(dǎo)數(shù)的幾何意義，偏導(dǎo)數(shù)與連續(xù)性；全微分概念；連續(xù)性與可微性，偏導(dǎo)數(shù)與可微性；

2、多元復(fù)合函數(shù)微分法及求導(dǎo)公式；

3、方向?qū)?shù)與梯度；

4、泰勒定理與極值。

要求：理解并掌握偏導(dǎo)數(shù)、全微分、方向?qū)?shù)、高階偏導(dǎo)數(shù)及極值等概念及其計算；弄清全微分、偏導(dǎo)數(shù)、連續(xù)之間的關(guān)系；了解泰勒公式；會求函數(shù)的極值、最值。

（十八）隱函數(shù)定理及其應(yīng)用

1、隱函數(shù)：隱函數(shù)的概念，隱函數(shù)的定理，隱函數(shù)求導(dǎo)舉例；

2、隱函數(shù)組：隱函數(shù)組存在定理，反函數(shù)組與坐標(biāo)變換，雅可比行列式；

3、幾何應(yīng)用：平面曲線的切線與法線，空間曲線的切線與法平面，曲面的切平面和法線；條件極值：條件極值的概念，條件極值的必要條件。

要求：了解隱函數(shù)的概念及隱函數(shù)的存在定理，會求隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)；了解隱函數(shù)組的概念及隱函數(shù)組定理，會求隱函數(shù)組的偏導(dǎo)數(shù)；會求曲線的切線方程，法平面方程，曲面的切平面方程和法線方程；了解條件極值概念及求法。

（十九）重積分

1、二重積分概念：二重積分的概念，可積條件，可積函數(shù)，二重積分的性質(zhì)；

2、二重積分的計算：化二重積分為累次積分，換元法（極坐標(biāo)變換，一般變換）；

3、含參變量的積分；

4、三重積分計算：化三重積分為累次積分, 換元法（一般變換，柱面坐標(biāo)變換，球坐標(biāo)變換）；

5、重積分應(yīng)用：立體體積，曲面的面積，物體的重心，轉(zhuǎn)動慣量；

6、含參量非正常積分概念及其一致斂性：含參變量非正常積分及其一致收斂性概念，一致收斂的判別法(柯西準(zhǔn)則，與函數(shù)項級數(shù)一致收斂性的關(guān)系，一致收斂的M判別法)，含參變量非正常積分的分析性質(zhì)；

7、歐拉積分：格馬函數(shù)及其性質(zhì),貝塔函數(shù)及其性質(zhì)。

要求：了解含參變量定積分的概念與性質(zhì)；熟練掌握二重、三重積分的概念、性質(zhì)、計算及基本應(yīng)用；了解含參變量非正常積分的收斂與一致收斂的概念；理解含參變量非正常積分一致收斂的判別定理，并掌握它們的應(yīng)用；了解歐拉積分。

（二十）曲線積分與曲面積分

1、第一型曲線積分的概念、性質(zhì)與計算，第一型曲面積分的的概念、性質(zhì)與計算；

2、第二型曲線積分的概念、性質(zhì)與計算，變力作功，兩類曲線積分的聯(lián)系；

3、格林公式，曲線積分與路線的無關(guān)性, 全函數(shù)；

4、曲面的側(cè)，第二型曲面積分概念及性質(zhì)與計算，兩類曲面積分的關(guān)系;

5、高斯公式，斯托克斯公式，空間曲線積分與路徑無關(guān)性；

6、場論初步：場的概念，梯度，散度和旋度。

要求：掌握兩類曲線積分與曲面積分的概念、性質(zhì)及計算；了解兩類曲線積分的關(guān)系和兩類曲面積分的關(guān)系；熟練掌握格林公式的證明及其應(yīng)用，會利用高斯公式、斯托克斯公式計算一些曲面積分與曲線積分；了解場論的初步知識。

三、主要參考書

《數(shù)學(xué)分析》（第三版），華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系編，高等教育出版社，2004年。《數(shù)學(xué)分析中的典型問題與方法》，裴禮文，高等教育出版社，1993年。

四、主要題型：

填空題，選擇題，計算題，解答題，證明題，應(yīng)用題。

第三篇：數(shù)學(xué)分析

360《數(shù)學(xué)分析》考試大綱

一． 考試要求：掌握函數(shù)，極限，微分，積分與級數(shù)等內(nèi)容。

二． 考試內(nèi)容：

第一篇 函數(shù)

一元與多元函數(shù)的概念，性質(zhì)，若干特殊函數(shù)，連續(xù)性。第二篇 極限

數(shù)列極限，一元與多元函數(shù)極限的概念及其性質(zhì)，實數(shù)的連續(xù)性（確界原理，單調(diào)有界原理，區(qū)間套定理，聚點定理，有限覆蓋定理等）。

第三篇 微分

一元與多元函數(shù)導(dǎo)數(shù)（偏導(dǎo)數(shù)）與微分的概念，性質(zhì)，公式，法則及應(yīng)用；函數(shù)的單調(diào)性與凸性，極值與拐點，漸進線，函數(shù)作圖；隱函數(shù)。

第三篇 積分

不定積分的概念，性質(zhì)，公式，法則；定積分的概念，性質(zhì)，公式，法則及應(yīng)用；反常積分與含參積分；重積分與曲線曲面積分。第四篇 級數(shù)

數(shù)項級數(shù)，函數(shù)項級數(shù)，冪級數(shù)與傅立葉級數(shù)的概念，性質(zhì)，公式，法則及應(yīng)用。

參考書目：華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系，數(shù)學(xué)分析（上，下，第三版），高等教育出版社，2001年。

第四篇：602數(shù)學(xué)分析

大連理工大學(xué)2018年碩士研究生入學(xué)考試大綱

科目代碼：602科目名稱：數(shù)學(xué)分析

試題分為兩大類，第一類為簡單證明和計算題，主要考查考生基本概念、基本定義、基本公式和基本計算方法的掌握程度，約占40%。第二類為證明題、邏輯推理題以及計算題，主要考查考生分析問題和解決問題的能力，約占60%。具體復(fù)習(xí)大綱如下：

一、數(shù)列極限

1、數(shù)列極限的概念，ε-N語言。

2、數(shù)列極限的性質(zhì)和運算法則。

3、數(shù)列極限的存在性、求極限的一些方法。

4、基本列的定義，Cauchy原理及其應(yīng)用。

5、無窮大和無窮小的概念以及無窮大與無窮小的聯(lián)系。

6、數(shù)集的上、下確界，數(shù)列的上、下極限。

7、實數(shù)的六個等價定理。

8、Stolz定理。

二、函數(shù)極限與連續(xù)

1、集合的勢，可數(shù)集與不可數(shù)集。

2、函數(shù)極限定義，ε—δ語言，函數(shù)極限的其他形式。

3、函數(shù)極限的性質(zhì)，函數(shù)極限與數(shù)列極限的關(guān)系。

4、無窮小與無窮大的級的概念，o與O的運算規(guī)則。

5、函數(shù)在一點連續(xù)的定義及其性質(zhì)，初等函數(shù)的連續(xù)性、間斷點分類。

6、一致連續(xù)的定義，連續(xù)與一致連續(xù)的區(qū)別、一致連續(xù)的判別。

7、有界閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的各種性質(zhì)及其應(yīng)用。

8、函數(shù)上、下極限的概念與性質(zhì)。

三、函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用

1、導(dǎo)數(shù)的定義，導(dǎo)數(shù)的幾何意義，導(dǎo)數(shù)及高階導(dǎo)數(shù)的運算規(guī)則，導(dǎo)數(shù)和高階導(dǎo)數(shù)的計算。

2、微分的定義及其運算規(guī)則，一階微分形式的不變性。

3、微分學(xué)的中值定理及其應(yīng)用。

4、函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)的極值和最值，函數(shù)的凹凸性等。

5、L’Hospital法則及應(yīng)用。

6、Taylor定理、各種余項的Taylor展開（包括積分余項的Taylor展式）以及函數(shù)的Maclaurin展式，Taylor展開的應(yīng)用。

7、函數(shù)作圖。

四、不定積分

1、原函數(shù)的定義及不定積分的運算規(guī)則，基本公式。

2、不定積分的換元法與分部積分法。

3、有理函數(shù)及可有理化函數(shù)的不定積分。

五、定積分

1、定積分的定義，幾何含義與物理含義。

2、定積分的性質(zhì)與積分均值定理。

3、微積分基本定理。

4、可積的充分必要條件。

5、曲線的各種表示方式，光滑曲線的定義及切向量，光滑曲線的弧長。

6、定積分的計算，分部積分和換元公式。

7、面積原理，定積分在物理，幾何中的應(yīng)用。

六、多元函數(shù)極限與連續(xù)

1、Eculid空間的性質(zhì)、點列極限的概念和性質(zhì)。

2、開集與閉集、列緊與緊致、連通性。

3、多變元函數(shù)極限，累次極限、重極限。

4、多變元函數(shù)的連續(xù)與一致連續(xù)、連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)及其應(yīng)用。

5、連續(xù)映射

七、多元函數(shù)微分學(xué)及其應(yīng)用

1、偏導(dǎo)數(shù)、方向?qū)?shù)的定義及計算。

2、多元函數(shù)微分的概念，可微、連續(xù)和偏導(dǎo)之間的關(guān)系。

3、復(fù)合求導(dǎo)，高階偏導(dǎo)數(shù)。

4、隱函數(shù)定理、隱映射與逆映射定理及其應(yīng)用。

5、多元Taylor展式。

6、多元函數(shù)極值求法、條件極值。

7、曲面的各種表示方法，曲面的法向量，切平面方程。

八、重積分

1、重積分定義、幾何意義與物理意義，重積分的可積性條件，重積分的性質(zhì)。

2、重積分的計算。3．重積分的應(yīng)用。

九、曲線積分和曲面積分

1、第一、第二型曲線積分的定義和計算及其物理意義。2．Green公式。

3、第一型曲面積分和第二型曲面積分的定義和計算及其物理意義。

4、Gauss公式和Stokes公式。

5、場論初步，梯度，散度，旋度的定義和物理意義。

6、有勢場和勢函數(shù)

十、數(shù)項級數(shù)

1、級數(shù)收斂的定義及基本性質(zhì)。

2、正項級數(shù)的判別法。

3、絕對收斂與條件收斂。

4、一般項級數(shù)收斂性的判別。

5、級數(shù)的乘積。

6、無窮乘積。

十一、函數(shù)項級數(shù)和函數(shù)列

1、函數(shù)項級數(shù)、函數(shù)列的逐點收斂與一致收斂。

2、函數(shù)項級數(shù)和函數(shù)列一致收斂性的判別。

3、極限函數(shù)與和函數(shù)的性質(zhì)。

4、冪級數(shù)的性質(zhì)和函數(shù)的冪級數(shù)展開。

5、多項式可一致逼近連續(xù)函數(shù)定理。

6、冪級數(shù)的應(yīng)用。

十二、廣義積分和含參變量的積分

1、廣義積分和含參量廣義積分的定義與性質(zhì)。

2、廣義積分的收斂性判別、絕對收斂和條件收斂。

3、含參量廣義積分一致收斂。

4、含參量廣義積分的性質(zhì)，極限各種換序。

5、Euler積分，Gamma函數(shù)和B函數(shù)

十三、Fourier積分

1、Fourier級數(shù)的定義和函數(shù)的Fourier級數(shù)展開。

2、Fourier級數(shù)的收斂性。

3、Fourier級數(shù)的Cesaro求和。

4、平方平均逼近和Weierstrass第二逼近定理。

5、Fourier積分與Fourier變換。附復(fù)習(xí)資料

1、《數(shù)學(xué)分析教程》，編者：常庚哲、史濟懷，中國科學(xué)技術(shù)大學(xué)出版社，2013年，第三版

2、《數(shù)學(xué)分析》，編者：李成章、黃玉民，科學(xué)出版社，2005年，第二版

第五篇：617 數(shù)學(xué)分析

617 數(shù)學(xué)分析

三、考試形式一）試卷滿分及考試時間 本試卷滿分為150分，考試時間為180分鐘。

（二）答題方式 答題方式為閉卷、筆試。試卷由試題和答題紙組成，所有題目的答案必須寫在答題紙相應(yīng)的位置上。考生不得攜帶具有存儲功能的計算器。

（三）試卷結(jié)構(gòu) 一元函數(shù)微積分學(xué)、多元函數(shù)微積分學(xué)、級數(shù)理論及其他（隱函數(shù)理論、場論等）考核的比例均約為1/3，分值均約為50分。

四、考試內(nèi)容(一)變量與函數(shù)

1、實數(shù)：實數(shù)的概念、性質(zhì)，區(qū)間，鄰域；

2、函數(shù)：變量，函數(shù)的定義，函數(shù)的表示法，幾何特征（有界函數(shù)、單調(diào)函數(shù)、奇偶函數(shù)、周期函數(shù)），運算（四則運算、復(fù)合函數(shù)、反函數(shù)），基本初等函數(shù)，初等函數(shù)。(二)極限與連續(xù)

1、數(shù)列極限：定義（?-N語言），性質(zhì)（唯一性，有界性，保號性，不等式性、迫斂性），數(shù)列極限的運算，數(shù)列極限存在的條件（單調(diào)有界準(zhǔn)則（重要的數(shù)列極限n??迫斂性法則，柯西收斂準(zhǔn)則）；

2、無窮小量與無窮大量：定義，性質(zhì)，運算，階的比較；

lim(1?n)?e1n），3、函數(shù)極限：概念（在一點的極限，單側(cè)極限，在無限遠處的極限，函數(shù)值趨于無窮大的情形（?-?, ?-X語言））；性質(zhì)（唯一性，局部有界性，局部保號性，不等式性，迫斂性）；函數(shù)極限存在的條件（迫斂性法則，歸結(jié)原則（Heine定理），柯西收斂準(zhǔn)則）；運算；

sinx1?1lim(1?)x?ex?0x??xx4、兩個常用不等式和兩個重要函數(shù)極限（，）；

lim5、連續(xù)函數(shù)：概念（在一點連續(xù)，單側(cè)連續(xù)，在區(qū)間連續(xù)），不連續(xù)點及其分類；連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)與運算（局部性質(zhì)及運算，閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)（有界性、最值性、零點存在性，介值性、一致連續(xù)性），復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性，反函數(shù)的連續(xù)性）；初等函數(shù)的連續(xù)性。

（三）實數(shù)的基本定理及閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)性質(zhì)的證明

1、概念：子列，上、下確界，區(qū)間套，區(qū)間覆蓋；

2、關(guān)于實數(shù)的基本定理：六個等價定理（確界存在定理、單調(diào)有界定理、區(qū)間套定理、致密性定理、柯西收斂原理、有限覆蓋定理）；

3、閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)性質(zhì)的證明：有界性定理的證明，最值性定理的證明，零點存在定理的證明，反函數(shù)連續(xù)性定理的證明；一致連續(xù)性定理的證明。

（四）導(dǎo)數(shù)與微分

1、導(dǎo)數(shù)：來源背景，定義（在一點導(dǎo)數(shù)的定義、單側(cè)導(dǎo)數(shù)、導(dǎo)函數(shù)），導(dǎo)數(shù)的幾何意義，簡單函數(shù)的導(dǎo)數(shù)（常數(shù)、正弦函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)），求導(dǎo)法則（四則運算，反函數(shù)的求導(dǎo)法則，復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則，隱函數(shù)的求導(dǎo)法則，參數(shù)方程所表示函數(shù)的求導(dǎo)法則）；

2、微分：定義，運算法則，簡單應(yīng)用；

3、高階導(dǎo)數(shù)與高階微分：定義，運算法則。

（五）微分學(xué)基本定理及導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用

1、中值定理：費馬（Fermat）定理，中值定理（羅爾（Rolle）中值定理、拉格朗日（Lagrange）中值定理、柯西(Cauchy)中值定理）；

2、泰勒公式及應(yīng)用（近似計算，誤差估計）；

3、導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用：函數(shù)的單調(diào)性、極值和最值，函數(shù)凸性與拐點，平面曲線的曲率，七種待定型與洛必達（L’Hospital）法則；

（六）不定積分

1、不定積分:概念，基本公式，運算法則，計算（換元積分法、分部積分法、有理函數(shù)積分法，其他類型積分）。

（七）定積分

1、定積分：來源背景，概念，函數(shù)可積的必要條件，達布上、下和，定積分存在的充要條件，可積函數(shù)類（閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)，分段連續(xù)函數(shù)，單調(diào)有界函數(shù))，定積分的性質(zhì)，定積分的計算（基本公式、換元公式、分部積分公式）；

2、變上限定積分：定義，性質(zhì)。

（八）定積分的應(yīng)用

1、定積分在幾何上的應(yīng)用：平面圖形的面積，曲線的弧長，截面已知的立體體積，旋轉(zhuǎn)體的體積，旋轉(zhuǎn)曲面的面積；

2、定積分在物理上的應(yīng)用：功、壓力、引力；

3、微元法。

（九）數(shù)項級數(shù)

1、預(yù)備知識：上、下極限；

2、級數(shù)的斂散性：無窮級數(shù)收斂、發(fā)散等概念，柯西收斂原理，收斂級數(shù)的基本性質(zhì)；

3、正項級數(shù)：定義，斂散判別（基本定理，比較判別法，柯西判別法，達朗貝爾判別法，柯西積分判別法）；

4、任意項級數(shù)：絕對收斂級數(shù)與條件收斂級數(shù)的概念和性質(zhì)，交錯級數(shù)與萊布尼茲判別法，阿貝爾（Abel）判別法與狄利克雷（Dirichlet）判別法。

（十）反常積分

1、反常積分：無窮限的反常積分的概念、性質(zhì)，斂散判別法（柯西收斂原理，比較判別法，狄利克雷判別法、阿貝爾判別法）；無界函數(shù)的反常積分的概念、性質(zhì)，斂散判別法。

（十一）函數(shù)項級數(shù)、冪級數(shù)

1、函數(shù)項級數(shù)的一致收斂性：函數(shù)項級數(shù)以及函數(shù)列的概念，函數(shù)項級數(shù)以及函數(shù)列一致收斂的概念，一致收斂判別法（柯西收斂原理，優(yōu)級數(shù)判別法，狄利克雷判別法與阿貝爾判別法）；一致收斂的函數(shù)列與函數(shù)項級數(shù)的性質(zhì)（連續(xù)性，可積性，可微性）；

2、冪級數(shù)：阿貝爾第一、第二定理，收斂半徑與收斂區(qū)間，冪級數(shù)的一致收斂性，冪級數(shù)和函數(shù)的分析性質(zhì)（連續(xù)性，可積性，可微性），泰勒（Taylor）級數(shù)與幾種常見的初等函數(shù)的冪級數(shù)展開。

（十二）傅里葉級數(shù)

1、傅里葉級數(shù)：引進，三角函數(shù)系的正性, 傅里葉系數(shù)與傅里葉級數(shù)，以2?為周期的函數(shù)的傅里葉級數(shù)展開，以2L（L?0）為周期的函數(shù)的傅里葉級數(shù)展開，奇偶函數(shù)的傅里葉級數(shù)展開，傅里葉級數(shù)收斂定理的證明。

（十三）多元函數(shù)的極限與連續(xù)

1、平面點集：鄰域，點列的極限，開集，閉集，區(qū)域，平面點集的幾個基本定理；

2、二元函數(shù)：概念，二重極限和二次極限，連續(xù)性（連續(xù)的概念、連續(xù)函數(shù)的局部性質(zhì)及有界閉區(qū)域上連續(xù)函數(shù)的整體性質(zhì)）。

（十四）偏導(dǎo)數(shù)和全微分

1、偏導(dǎo)數(shù)和全微分：偏導(dǎo)數(shù)的概念，幾何意義；全微分的概念；二元函數(shù)的連續(xù)性、可微性，偏導(dǎo)存在的關(guān)系；復(fù)合函數(shù)微分法（鏈?zhǔn)椒▌t）；由方程組所確定的函數(shù)（隱函數(shù)）的求導(dǎo)法；

2、偏導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用：空間曲線的切線與法平面，曲面的切平面與法線；方向?qū)?shù)與梯度；泰勒公式。

（十五）極值和條件極值

1、極值：概念，判別（必要條件、充分條件），應(yīng)用，最小二乘法；

2、條件極值：概念，拉格朗日乘數(shù)法，應(yīng)用。（十六）隱函數(shù)存在定理

1、隱函數(shù)：概念，存在定理；

2、隱函數(shù)組：隱函數(shù)組存在定理，反函數(shù)組與坐標(biāo)變換，雅可比行列式。（十七）含參變量積分與含參變量廣義積分

1、含參變量的正常積分：定義，性質(zhì)（連續(xù)性、可微性、可積性）；

2、含參變量的反常積分：定義，一致收斂的定義，一致收斂積分的判別法（柯西收斂原理、魏爾斯特拉斯判別法、阿貝爾判別法、狄立克雷判別法），一致收斂積分的性質(zhì)（連續(xù)性、可微性、可積性）；

3、歐拉積分：?函數(shù)和?函數(shù)的定義、性質(zhì)。（十八）重積分的計算及應(yīng)用

1、二重積分：二重積分的概念，性質(zhì)，計算（化二重積分為二次積分，換元法（極坐標(biāo)變換，一般變換）；

2、三重積分：計算（化三重積分為三次積分, 換元法（一般變換，柱面坐標(biāo)變換，球面坐標(biāo)變換））；

3、重積分的應(yīng)用：立體體積，曲面的面積，物體的質(zhì)心，矩，引力，轉(zhuǎn)動慣量；（十九）曲線積分與曲面積分

1、曲線積分：第一型曲線積分及第二型曲線積分的來源背景、概念、性質(zhì)、應(yīng)用與計算，兩類曲線積分的聯(lián)系；

2、曲面積分：第一型曲面積分及第二型曲面積分的來源背景、概念、性質(zhì)、應(yīng)用與計算，兩類曲面積分的聯(lián)系。

（二十）各種積分間的聯(lián)系和場論初步

1、各種積分間的聯(lián)系公式：格林（Green）公式，高斯（Gauss）公式，斯托克斯(Stokes)公式；

2、曲線積分與路徑無關(guān)性：四個等價條件。

3、場論初步：場的概念，梯度，散度和旋度，保守場，哈密頓算子（算子?）。856 高等代數(shù)

三、考試形式

（一）試卷滿分及考試時間 本試卷滿分為150分，考試時間為180分鐘。

（二）答題方式

答題方式為閉卷、筆試。試卷由試題和答題紙組成，所有題目的答案必須寫在答題紙相應(yīng)的位置上。考生不得攜帶具有存儲功能的計算器。

（三）試卷結(jié)構(gòu)

基本概念理解與計算考核的比例約為16.7%，分值為25分； 分析判斷考核的比例約為23.3%，分值為35分； 綜合運用考核的比例約為60%，分值為90分。

四、考試內(nèi)容

（一）多項式理論

1、一元多項式的一般理論 概念、運算、導(dǎo)數(shù)及基本性質(zhì)；

2、整除理論

整除的概念、最大公因式、互素的概念與性質(zhì)；

3、因式分解理論

不可約多項式、因式分解、重因式、實系數(shù)與復(fù)系數(shù)多項式的因式分解、有理系數(shù)多項式不可約的判定等；

4、根的理論

多項式函數(shù)、多項式的根、有理系數(shù)多項式的有理根的求法、根與系數(shù)的關(guān)系等；

5、多元多項式的一般理論 多元多項式概念、對稱多項式。

（二）矩陣理論

1、行列式理論與計算

行列式的概念、性質(zhì)以及計算；Cramer法則。

2、線性方程組

向量、向量組的線性關(guān)系；線性方程組的解的結(jié)構(gòu)。

3、矩陣

矩陣的各種運算及運算規(guī)律，逆矩陣的求法，分塊矩陣的相應(yīng)運算及性質(zhì)。4．二次型

二次型基本概念，配方法、合同法化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形，正定二次型與正定矩陣的判定與證明。

（三）線性空間論

1、線性空間

線性空間的定義與性質(zhì)；線性相關(guān)性及有關(guān)結(jié)論；秩與極大線性無關(guān)組；線性空間的基與維數(shù)；基變換與坐標(biāo)變換公式；線性子空間；子空間的和與直和；線性空間的同構(gòu)。

2、線性變換

線性變換及其基本性質(zhì)；線性變換的運算；線性變換的矩陣；相似矩陣；矩陣的特征值與特征向量；線性變換的特征值與特征向量；哈密頓凱萊定理；相似對角化；線性變換的值域與核；不變子空間；不變子空間與線性變換的矩陣的化簡；若爾當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形；最小多項式。

3、矩陣

矩陣的概念； 矩陣的等價； 矩陣在初等變換下的標(biāo)準(zhǔn)形、不變因子與行列式因式； 矩陣的初等因子；求 矩陣的標(biāo)準(zhǔn)形的方法；矩陣相似的充分必要條件；若爾當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形；有理標(biāo)準(zhǔn)形。

4、歐幾里得空間

內(nèi)積和歐幾里得空間；長度、夾角與正交；度量矩陣；標(biāo)準(zhǔn)正交基；正交矩陣；歐氏空間的同構(gòu)；正交變換；正交子空間與正交補；實對稱矩陣的標(biāo)準(zhǔn)形；對稱變換；向量到子空間的距離；最小二乘法。