第一篇：數學分析學習心得

數學分析學習心得

學院：理學院

專業：計算科學1001

姓名：郭宏巖

數學分析內容簡介

數學分析內容有實數集與函數、數列極限函數極限、函數連續性、導數、微分等。書中內容大都以證明為主，計算部分較少。

課前預習

課本中每節的內容構架都是相似的，大都為引言、定理、定理的證明、例題、課后習題。了解了構架。那么我們就應該預習重點部分，在時間充足的的情況下，再看其他未看內容。

引言，不重要，可以瀏覽一下，也可以不看；定理，是核心的內容，不僅看而且要詳細的記住它，所謂詳細的記住是指：把定理的條件不要記錯，這個對證明很有用；接下來是證明，證明影響你對定理的理解程度和運用的熟練程度。可先了解證明思路證明中的計算可以忽略，這樣在老師的講解下就可以明白；最后是例題和習題，例題是對定理最簡單最貼切的應用，所以課前掌握最好，習題可看可不看。

記錄筆記

在緊張的課堂學習中，要記好自己的筆記讓它清晰工整是不容易的。因為你還在用心聽老師講課，所以要有方法。

首先，學會省略。減輕課堂負擔，在課后補充。比如：定理，你可以把定理的內容在課本上畫下來，在筆記中留出空白。用這段時間理解并記憶定理。計算也可以省略，留到課下自己計算。

其次，學會縮寫。在數學分析中，有很多符號語言，比如：∑（加和）∞（無窮大）∵（因為）th(定理)等。

最后，抓住重點記錄。重點可以分為兩部分：一部分是老師上課所說的重點部分，那一定是精華，所以不要錯過；另一部分是自己不懂或難懂的部分，記錄下來，課下反復思考，復習。

課后復習

課后復習要從兩方面出發：

一方面是老師要求掌握的內容，這些內容是考試內容，對期末復習打下良好的基礎。另一方面是自己難以掌握的內容，這些內容是最容易忘記的也是應用熟練程度最差的。所以也要作為重點復習。

復習要有一定的周期性，不能本周看了，之后就讓它冬眠，這樣大腦會一片空白的。可以根據自己的記憶能力，一星期或兩星期看一次。

讀書方法

讀書要有側重點，數學分析中的定理，有的要著重看它的證明方法，他的方法是獨特的，可以給自己以借鑒；有的要著重看定理的內容，它的定理應用，推廣會更多一些；有的當做了解內容，因為它可能是為其它定理作鋪墊的。

其中的例題一定要看，這個會是定理的淺顯應用，對于初學者來說，能夠為以后做難題提供思路和方法。

數學分析中的創新與應用

在創新方面，一般是定理推廣，它的推廣會被現實生活中應用的更加廣泛。

在應用方面，這個很多，一般是競賽中的應用，比如數學建模。在計算機程序中也有很多應用。

學好數學分析，其天賦是一方面，另一方面就是自己的不斷努力下所積累的做題經驗

和邏輯性思維。只有努力才有收獲！

第二篇：數學分析學習心得

數學分析學習心得

數學分析是數學中最重要的一門基礎課，是幾乎所有后繼課程的基礎，在培養具有良好素養的數學及其應用方面起著特別重要的作用。從近代微積分思想的產生、發展到形成比較系統、成熟的“數學分析”課程大約用了 300 年的時間，經過幾代杰出數學家的不懈努力，已經形成了嚴格的理論基礎和邏輯體系。回顧數學分析的歷史，有以下幾個過程。從資料上得知，過去該課程一般分兩步：初等微積分與高等微積分。初等微積分主要講授初等微積分的運算與應用，高等微積分才開始涉及到嚴格的數學理論，如實數理論、極限、連續等。上世紀 50 年代以來學習蘇聯教材，從而出現了所謂的“大頭分析”體系，即用較大的篇幅講述極限理論，然后把微積分、級數等看成不同類型的極限。這說明了只要真正掌握了極限理論，整個數學分析學起來就快了，而且理論水平比較高。在我國，人們改造“大頭分析”的試驗不斷，大體上都是把極限分成幾步完成。我們的做法是：期望在“初高等微積分”和“大頭分析”之間，走出一條循序漸進的道路，而整個體系在邏輯上又是完整的。這樣我們既能掌握嚴格的分析理論，又能比較容易、快速的接受理論。

我們都知道，數學對于理學，工學研究是相當重要。在中國科技大學計算機應用碩士培養方案中，必修課：組合數學、算法設計與分析，高級計算機網絡、高級數據庫系統，人工智能高級教程 現代計算機控制理論與技術。山西大學通信與信息系統碩士培養方案中，專業基礎課：（1）矩陣理論（2）隨機過程（3）信息論與編碼（4）現代數字信號處理（5）通信網絡管理：其中有運籌學內容，屬于數學。（6）模糊邏輯與神經網絡是研究非線性的數學。大連理工大學微電子和固體電子碩士培養方案中，必修課：工程數學，專業基礎課： 物理、半導體發光材料、半導體激光器件物理 西北大學經管學院金融碩士培養方案中，學位課： 中級微觀經濟學（數學）中級宏觀經濟學 中國市場經濟研究 經濟分析方法（數學）經濟理論與實踐前沿 金融理論與實踐 必須使用數學的研究專業有：理工科幾乎所有專業，分子生物學，統計專業，（理論、微觀）經濟學，邏輯學而這些數學的基礎課就有一門叫做數學分析的課程！數學是所有學科的基礎，可以說自然學科中的所有的重大發現和成就都離不開數學的貢獻，而數學分析是數學中的基礎！基礎中的基礎！

正因為如此，我深刻地認識到基礎的重要性。經過本學期，我已學習了極限理論，單變量微積分等知識，其中極限續論是理論要求最高的，積分學是計算要求最高的部分。兩者均是我學習中的困難。在本書中，以有界數集的確界定理作為出發點，不加證明地承認該定理，利用它證明了單調有界數列的極限存在定理，然后逐步展開證明了其他幾個基本定理。定理雖易記誦，但對于理解的要求甚高，舉例來說，在課后習題中有這樣一題，證明單調有界函數存在左右極限。這題著實將我難住許久許久，盡管該題在數學分析中只是初級的難度，但初學者的我起初甚是無解。寫到這里，我又發現我的一個問題，當然這個問題也是共性的。許多同學在學習數學分析的過程存在著這樣的問題：上課能聽懂，課后解題卻不知所措。這一問題的產生由于一方面對基本概念、基本定理理解得不夠深入，對定理的條件、結論理解得不夠貼切，對各部分知識之間的聯系區別不甚清楚。在極限續論中，由于內容相當抽象，在老師一次次的詳細講解下，上課基本能聽懂，但這就可能是大學與高中最大的區別，特別是我的專業要求——理論要求，自己不反思，不更深刻去想，去悟，想學好很難，所以另一方面，做題太少，類型太少，并且對做過學過的題目缺少歸納總結，因而不清楚常見的題目都有哪些類型，也不明了各類型題目常常采用什么方法，用什么知識去解釋這些理論問題，總之，是心中無數。著名數學家、教育家喬治·波利亞說過：“解題可以是人的最富有特征性的活動······假如你想要從解題中得到最大的收獲，你就應該在所做的題目中去找出它的特征，那些特征在你以后求解其他問題時，能起到指

導的作用。”特征，的確每位老師在講課時都會將同類題一起講解，這對我們的幫助是相當大的，在寒假，我重溫了一下我的數學分析書和相關資料，從中，我發現在特征中顯現出我曾經并未發現的，并未熟知的，甚至將我某些一學期都未曾搞清的問題駕馭自如，觸類旁通！

盡管我們要把理論學好學扎實，但我自己也要培養實際操作能力，在本書與高等數學中都有積分計算，某些積分計算往往是難到要做好幾小時的，在王老師的推薦下買了吉米多維奇數學分析習題集題解，很有用，這書就好比是字典，題典，有不會，我就向它尋求適當的解法，有時，閑暇之余還會與同寢室同學共同研究方法的優劣，我發現我的解法往往麻煩繁瑣。蔣科偉，呂孫權的做法有時可作為我修改的借鑒，其實，作為一名數學專業的學生來說，應該具有團隊配合的意識，加強對實際應用知識的學習，更多關注學科的變化，培養對問題的思考。在研究積分題的過程中，我鞏固了所學的積分概念，有效地提高我的運算能力，特別是有些難題還迫使我學會綜合分析的思維方法。寫到這我想起高中老師曾講過在不等式證明中的綜合法，原來在高中我已接觸了大學知識，忽然又發現高中老師講過許多上海高考都不考的知識，都是對我大學學習的良好鋪墊，受益匪淺。實踐出真知，至理啊！在自學高等數學期間也有過困難，有時感到學的太多，雜了。遇到困難，幸好有數學分析這門課給與理論支持！在統計班同學考試資料的支持下，我還是多少學到點東西與解題技巧的。這很是讓我感到欣慰啊。

現在是科技的時代，在掌握好基本運算后我們接觸了數學軟件——Mathematica。該軟件是應用廣泛的數學軟件，它不僅可以進行各種數值運算，而且可以進行符號運算、函數作圖等。此軟件使我理解導數、微分概念，理解泰勒公式，函數的N次近似多項式及余項概念，了解N次近似多項式隨N增大一般是逐步逼近原函數的結果。熟悉了Mathematica數學軟件的求導數和求微分命令，以及求n階泰勒公式命令和求函數的n次近似多項式命令。不僅如此，我還通過它理解了不定積分、變上限函數和定積分概念，了解定積分的簡單近似計算方法。這些正如諾基亞的廣告詞：科技以人為本。有了這些，對于我們來說，計算不再是困難，在高等數學的計算部分的自學中也可操作自如，再加上我的英語基礎較好，在寒假下載了MATHEMATICA6操作軟件，初試時還是有難度的，但在王老師下發的操作資料中還是有很強的輔助作用的。現在數學給了我自信，讓我尋找其中的樂趣！

在這第一學期，王老師對我的幫助太大了！原來的我雖然數學基礎較好，但初學分析我是真的一籌莫展，這時，王老師對我學習中的的問題耐心又仔細地回答，讓我在一次次郁悶中尋找到真知！正因為老師的不辭辛勞的幫助，讓我取得現有的成績，這還僅僅是一部分，老師對我思想與在帶班級上也給出過幫助，讓我各方面都在原有的基礎上得到巨大的提高，使我更能看清自己的能力與潛力，老師謝謝你對我在一學期的幫助，我會繼續努力的，盡管我離班級學習最好的同學差距甚遠，但我不會放棄努力與奮斗的目標，我會達到更高的數學領地，取得更好的成績.

第三篇：數學分析的學習心得

數學分析的學習心得

摘要：

《數學分析》的主要內容是微積分學，微積分學的理論基礎是極限理論，極限理論的理論基礎是實數理論。實數系最重要的特征是連續性，有了實數的連續性，才能討論極限，連續，微分和積分。正是在討論函數的各種極限運算的合法性的過程中，人們逐漸建立起了嚴密的數學分析理論體系。通過《數學分析》思想方法與解題研究，讓我體會到數學內涵之深邃！三學期的數學分析已經接近尾聲了，數學分析作為數學專業的基礎學科之一。本篇文章主要談了一些我在三學期中學習數學分析的一些知識總結和學習體會。

關鍵字：數學分析、微積分、思想

正文：《數學分析》是數學學科的一門傳統課程。在當今世界的數學內部學科趨于統一性和數學在其他學科的廣泛應用性的今天，《數學分析》以其追求內容結構的清晰刻畫和作為數學應用的基礎，是大學數學各個專業的主干基礎課程。它是數學在其它學科應用的必需基礎課程，又是數學修養的核心課程。回顧數學分析的歷史，有以下幾個過程。從資料上得知，過去該課程一般分兩步：初等微積分與高等微積分。初等微積分主要講授初等微積分的運算與應用，高等微積分才開始涉及到嚴格的數學理論，如實數理論、極限、連續等。

《數學分析》又稱高級微積分，分析學中最古老、最基本的分支。一般指以微積分學和無窮級數一般理論為主要內容，并包括它們的理論基礎（實數、函數和極限的基本理論）的一個較為完整的數學學科。它也是大學數學專業的一門基礎課程。數學中的分析分支是專門研究實數與復數及其函數的數學分支。它的發展由微積分開始，并擴展到函數的連續性、可微分及可積分等各種特性。這些特性，有助我們應用在對物理世界的研究，研究及發現自然界的規律。

微積分學是微分學(Differential Calculus)和積分學(Integral Calculus)的統稱，英語簡稱Calculus，意為計算，這是因為早期微積分主要用于天文、力學、幾何中的計算問題。后來人們也將微積分學稱為分析學（Analysis)，或稱無窮小分析，專指運用無窮小或無窮大等極限過程分析處理計算問題的學問。

經過三學期的學習，我對《數學分析》里面的知識有了個初步的認識和接觸，特別是數學的一些思想，也從中收獲不少。下面就對三學期的學習做一個回顧和總結。

《數學分析》的主要內容是微積分學，微積分學的理論基礎是極限理論，極限理論的理論基礎是實數理論。實數系最重要的特征是連續性，有了實數的連續性，才能討論極限，連續，微分和積分。正是在討論函數的各種極限運算的合法性的過程中，人們逐漸建立起了嚴密的數學分析理論體系。

數學分析內容有實數集與函數、數列極限函數極限、函數連續性、導數、微分以及數項級數、冪級數、傅里葉級數等。還有不同于上冊書中的多元函數的微分學等。書中內容大都以證明為主，計算部分較少。

任何一門數學課的內容都是由基本概念(定義)、基本理論(性質與定理)、基本運算(計算)及應用四部分組成，要學數學就要在這四個部分上認真鉆研刻苦努力，多下功夫。

首先基本概念要清楚，要讀懂，要理解透徹、敘述準確，不能似是而非、一知半解。數學分析的推理完全靠基本概念，基本概念不清楚，很多內容就學不懂，無法掌握和運用。例如，冪級數中的冪級數的收斂區間、收斂域的區分，多元函數微積分中的可微性，復合函數微積分及泰勒公式與極值問題等，對于我們這些初學者來說往往掌握不深不透，這就要通過復習與作習題的過程中逐步深入、反復思考、徹底讀懂。讀書要有側重點，數學分析中的定理，有的要著重看它的證明方法，他的方法是獨特的，可以給自己以借鑒；有的要著重看定理的內容，它的定理應用，推廣會更多一些；有的當做了解內容，因為它可能是為其它定理作鋪墊的。其中的例題一定要看，這個會是定理的淺顯應用，對于初學者來說，能夠為以后做難題提供思路和方法。

其次通過這三學期的學習我明白了要學好數學分析就要認真對待學習的各個環節。首先是聽課，聽課要精神高度集中，因為一節課的內容是很多的，如能預習效果會更好，要抓住老師講課中對問題的分析，作好筆記，學會自己動手，邊聽邊記，特別要記下沒有聽懂的部分。第二個環節是復習整理筆記及作題，課下結合教材和筆記進行復習，要對筆記進行整理按自己的思路，整理出這一次課的內容在復習好并掌握了內容后再作習題，切忌邊翻書邊看例題，照貓畫虎式地完成練習冊上的習題，這樣做是收不到任何效果的。要用作題來檢驗自己的學習，是真懂了還是沒完全懂。對于沒有徹底讀懂的地方再反復思考，直到完全讀懂。接著是階段總結。每學完一章，自己要作總結。總結包括一章中的基本概念，核心內容；本章解決了什么問題，是怎樣解決的；依靠哪些重要理論和結論，解決問題的思路是什么？理出條理，歸納出要點與核心內容以及自己對問題的理解體會。

最后是全課程的總結。在考試前要作總結，這個總結將全書內容加以整理概括，分析所學的內容，掌握各章之間的聯系。這個總結很重要，是對全課程核心內容、重要理論與方法的綜合整理。在總結的基礎上，自己對全書內容要有更深一層的了解，要對一些稍有難度的題加以分析解決以檢驗自己對全部內容的掌握。

通過《數學分析》思想方法與解題研究，讓我體會到數學內涵之深邃！三學期的數學分析已經接近尾聲了，數學分析作為數學專業的基礎學科之一，學好數學分析對我們是至關重要的。

以前學習數學，更多注重解題結果，現在明白，解題過程更重要！因為過程可以反映一個人對題意理解后的解題思路。每道題就像人生中遇到的一個經歷要相信經歷都是有價值的！既要從中鍛煉自己的能力，更要從中吸取成功與失敗的經驗！題目就是已知條件，我們要做的就是用現有的已知去走出自己開拓的路，每個人都偶有自己的想法，相信每個人所走的路都各有特色，這正反映在解題過程中。然而，不急不躁，淡定從容也是解好題的關鍵。題需多練，這樣才會熟練，并且經驗越多，從而做起題來能夠得心應手。

在學習數學分析的過程我常常存在著這樣的問題：上課能聽懂，課后解題卻不知所措。通過反思我得出結論：這一問題的產生由于一方面對基本概念、基本定理理解得不夠深入，對定理的條件、結論理解得不夠貼切，對各部分知識之間的聯系區別不甚清楚，并且當老師在證明有些定理時根本就跟不上老師的思路導致昏昏欲睡。在極限續論中，由于內容相當抽象，在老師一次次的詳細講解下，上課基本能聽懂，但這就可能是大學與高中最大的區別，特別是我的專業要求——理論要求，自己不反思，不更深刻去想，去悟，想學好很難，所以另一方面，做題太少，類型太少，并且對做過學過的題目缺少歸納總結，因而不清楚常見的題目都有哪些類型，也不明了各類型題目常常采用什么方法，用什么知識去解釋這些理論問題，總之，是心中無數。在這第一學期，同學對我的幫助太大了！原來的我雖然數學基礎較好，但初學數學分析我是真的一籌莫展，這時，室友劉同學對我學習中的的問題耐心又仔細地回答，讓我在一次次郁悶中尋找到真知！正因為同學的無私幫助，讓我取得現有的成績，這還僅僅是一部分，老師對我思想與在帶班級上也給出過幫助，讓我各方面都在原有的基礎上得到巨大的提高，使我更能看清自己的能力與潛力，老師謝謝你對我在一學期的幫助，我會繼續努力的，盡管我離班級學習最好的同學差距甚遠，但我不會放棄努力與奮斗的目標，我會達到更高的數學領地，取得更好的成績。

最后謝謝老師在這一年多的付出，讓我受益頗多。

參考文獻：

1、《數學分析》 第四版 上冊 華東師范大學數學系編 高等教育出版社

2、《數學分析》 第四版 下冊 華東師范大學數學系編 高等教育出版社

3、《百度文科》

第四篇：數學分析學習心得和讀書體會

從分析學發展史看大學數學學習中的嚴密化

數學作為一門古老的學科，已經被人類研究有數千年的歷史。那么為什么這門艱深的學問能夠以“科學皇冠上的明珠”這樣一個身份對人們產生經久不衰的吸引力呢？我認為，數學最為迷人之處，就是其所特有的精準與和諧。簡單的說，嚴密性造就了數學的美，也構成數學的基石。可以說，數學的發展史，就是它本身嚴密性不斷加深加強的歷史。這一點，我們這些大學新生就有著切身的體會。比方說現在提出這樣幾個問題：

1、3-5=？

2、自然數多還是整數多？整數多還是分數多？

3、若y=f（x），那么當 x→0，y/x=？

對于這幾個問題，我們在不同的學習階段都會給出不同的答案。對于第一個問題，小學生可能根本無法解答，對于一個中學生就沒有絲毫的難度；對于第二題，小學生會說自然數比整數多，中學生則可能表現出迷惑；而對于最后一題，即使是高中生也不見得會給出合乎邏輯的答案，卻又是大學數學的基礎題。也就是說，在過去的學習過程當中，無論是從小學數學到中學數學，還是從中學數學到大學數學，無不伴隨著數學學科從方法、技巧乃至于思想上嚴密性和邏輯性上的提升。一些即便在原來看來是無懈可擊的結論與定理，稍有疏忽也許就成為了謬誤。

進入大學數學的學習階段之后，這一點更有了在根本上的飛躍，這就需要我們擺脫過去直觀的思考方式，建立更加抽象而嚴密的思維體系。就這一點來說，我們到現在為止的學習教程于數學本身的發展史是相契合的。我們以數學分析的發展為例。

早在古希臘時期，對實數及其極限的分析和計算就已經成為了數學家的課題。古代數學家圍繞原始的極限思想做出了大量的研究，并取得了許多成果，例如窮竭法（《幾何原本》Euclid），割圓術（《九章算術》劉徽）等等。但直到

十六世紀中葉，微積分才正式進入了醞釀階段。事實上微分和積分原本被稱為無

窮小演算，其最初的目的就是“試圖去計算曲線所包圍的平面圖形的面積以及曲

面所包圍的立體的體積”（《Encounter with Mathematics》P160 Lars Garding）。但

是，這種幾何直觀的概念給理論本身的嚴密性帶來了先天上的不足，無論是最初的Kepler和Cavalieri，還是后來的Pascal和Fermata，乃至最終創建微積分理論的兩位巨人Newton和Leibniz，這些優秀的數學家都沒能對此拿出真正意義上嚴格的解決方案。盡管圍繞建立在不可靠基礎之上的微積分理論人們還是做出了大量

工作并取得了許多驚人的成就，微積分也迅速滲透到了力學，天文，航海等各種

學科乃至于生活生產的方方面面。然而，后來因為基礎概念的不明確導致理論根

基上的動搖，從而引起所謂“第二次數學危機”的爆發，使得幾何直觀的理論基

礎帶來的麻煩完全超過了人們從它那里獲得的便利。

現在我們知道，當對數學的學習進入了高等數學階段時，有關于實數和實數

集完備概念的建立就成為擺在我們面前的頭號問題。原則上，我們在高中階段所

學習的一些導數知識即可視作微分的入門。但是當時的數學學習依然沒有能夠擺

脫所謂的“導數是函數曲線上確定一點切線的斜率”這類不嚴密的幾何直觀概念，這使得我們對完全理解其所敘述的數學模型中出現的各種概念和理論造成了困

難。介于此，在正式進入數學分析的領域之前，我們迫切需要對實數的基本理論

進行系統的學習和掌握，構建起新的思維體系。

幸運的是，這些問題都已經由前人所解決了。正如上文所提及的那樣，盡管

成就卓著，建立在不牢固基礎之上的分析學出現了越來越多的謬誤，例如Fourier

經過推理竟然認為數列an??(?1)i?1的極限為1/2（如果把這個數列寫成i?1n

{1,0,1,0??}的話，我們很容易看出這是典型的非收斂數列）。這些荒謬的結論

使得當時的分析學漸漸為眾多人所攻訐。人們最終還是發現微積分和分析學的不

嚴密性到達了了一個非解決不可的程度。之前就有一些數學家試圖對此作出嚴謹

而符合邏輯的解釋，諸如Taylor,Euler,Maclauin等人，卻始終沒有找到合適的途徑。

事實上，在集合論出現之前，對這一問題做出真正意義上嚴密的解答是相當困難的。此后，Cauchy在他的著作中首次提出了用數列的無限趨近來定義極限，導數

差量商形式的表達等重要思想，為后人鋪平了道路。利用他的思想，后來的Heine,Cantor等人用今天我們所熟悉的柯西收斂準則的想法證實了“無理數是實數

迫近的極限”（《Cours d’analyse algébrique》Cauchy）這一猜想，由此最終得到六條

實數完備性定理（事實上我們已經知道這六條定理是完全等價的），為建立實數

理論打下了基礎。與此同時Weierstrass（此君即實數定理中的聚點定理和

Weierstrass function：f(x)??ancos(bn?x)的發現者）提出了現在廣泛使用的ε-δ

n?0?

定義法，終于使分析學完全擺脫了幾何直觀的含糊概念。

由此看來，數學分析發展過程與我們的數學學習過程是極為相似的，從最初

用“從特殊跳到一般的不可靠的推理方法”（Abel）建立直觀的理論概念，經過

不斷深入的學習和研究，最終獲得從一般到特殊的構筑的嚴密理論基礎，這其中

伴隨著我們的恰恰是對數學根基和本源不斷深入的探尋和挖掘。從這個意義上來

說，我想我們的數學學習實際不是在向上而始終是在向下行進著的。換句話說，越是深入的學習，我們也就越接近數學的的本質。事實上，過去的經驗已經證明，越是看似簡單而顯而易見的東西，越是需要深層次理解和剖析，因為它可能涉及

到的恰恰是根本上的思想變化，我們以這樣一個問題為例：

證明：若一個數列存在極限，那么該數列的極限是唯一的。

如果讓一位知識基礎比較好的高中生來做，乍一看這個問題，他會覺得需要

這個結論是如此顯而易見，以至于對它的證明也是多此一舉的，然而細想之下，他才會發現就是這樣一個看似簡單的問題，他也沒有足夠的數學思維與工具對其

進行嚴密而精確的闡述。

事實上這是大學數學中的一個非常基本的定理，我們只需構造收斂數列{an}

兩個不相同極限，然后利用簡單的歸謬法推出矛盾就可以給出完全嚴格的證明。

只要是保證沒有極其離譜的上課走神或是翹課，凡是入校超過兩個月的大學

生都能夠輕松解決這類問題。很難說這樣一名大學新生相比一名學習扎實的高考

生在知識水平上有著多大的差異。正如在數學分析的發展過程中，盡管它是由后

人完全奠定了基礎，但是這樣就可以說之前的數學家在思維水平或是智商上有著

什么缺陷嗎？答案顯然是否定的，我們只能說是這是數學發展帶來思想體系上的深刻變革而導致的必然結局。同樣的，從中學到大學的數學學習，我們所感受到的種種不同也正是因為思考方式的升級所帶來的結果。當我們進入這一片全新的領域的時候，原本一些看似正確的觀念也許就會顯得不合時宜，這時候就需要我們自己去理解，去辨別，并在需要的時候將那些陳舊的觀念加以改造或摒棄，這

樣對我們分析學乃至于整體的大學數學學習才會是有利的。

僅僅是簡單的了解了一下分析學的發展歷史，我們就看到了它與我們學習教

程進程驚人的相似和吻合。在這里我可以大膽地說，數學的進步就是思想的進步，而我們學習數學實際上就是學習思想。對過去經驗結論不加辨別的使用，不僅大

大降低了數學學科的嚴謹性，而且有時甚至會得到似是而非甚至于完全荒謬的結

果，分析學的發展歷史就是最好的證明。

在這一番思考的最后，我想以分析學嚴密化的先驅Cauchy 的話作為結尾：

認為只有在幾何證明里或者在感覺的證明里才有必然，錯誤往往來源于此。

參 考 書 目

Morris Kline：Mathematics Thought From Ancient To Modern Times，1972，Chap.40 and 41

混合班1004朱恒

3100103211

第五篇：陳紀修 學習心得數學分析

陳紀修教授《數學分析》九講學習筆記與心得

陳紀修教授《數學分析》九講學習筆記與心得

云南分中心 ? 昆明學院 ? 周興偉

此次聽陳教授的課，收益頗多。陳教授的這些講座，不僅是在教我們如何處理《數學分析》中一些教學重點和教學難點，更是幾堂非常出色的示范課。我們不妨來溫習一下。

第一講、微積分思想產生與發展的歷史

法國著名的數學家H.龐加萊說過：“如果我們想要預見數學的將來，適當的途徑是研究這門科學的歷史和現狀。” 那么，如果你要學好并用好《數學分析》，那么，掌故微積分思想產生與發展的歷史是非常必要的。陳教授就是以這一專題開講的。

在學校中，我不僅講授《數學分析》，也講授《數學史》，所以我非常贊同陳教授在教學中滲透數學史的想法，這應該也是提高學生數學素養的有效途徑。

在這一講中，陳教授脈絡清晰，分析精當，這是我自嘆不如的。講《數學史》也有些年頭，但僅滿足于史料的堆砌，沒有對一些精彩例子加以剖析。如陳教授對祖暅是如何用 “祖暅原理”求出球的體積的分析，這不僅對提高學生的學習興趣是有益的（以疑激趣、以奇激趣），而且有利于提高學生的民族自豪感（陳教授也提到了這一點）。

在這一講中，陳教授對weierstrass的“ε?N”、“ε?δ”語言的評述是“它實現了靜態語言對動態極限過程的刻畫”。這句話是非常精當的，如果意識不到這一點，你就很難理解這一點。在此我還想明確一點：《數學分析》的研究對象是函數，主要是研究其分析性質，即連續性、可微性及可積性，而使用的工具就是極限。如果仔細盤點一下，在《數學分析》中，無論是數、函數、數列、函數列，數項級數，函數項級數等相關問題，無不用到這一語言，你應該能理解陳教授的“對于數學類學生來說，沒有“ε?N”、“ε?δ”語言，在《數學分析》中幾乎是寸步難行的”這一觀點。

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第二講、實數系的基本定理

在這一講中，陳教授從《實變函數》中對集合基數的討論展開，對實數系的連續性作了有趣的討論。首先是從紳士開party的禮帽問題，帶我們走進了“無窮的世界”。

我在開《數學賞析》時有一個專題就是“無窮的世界”，我給學生講禮帽問題、也講希爾伯特無窮旅館問題，但遺憾的是，當我剖析“若無窮旅館住滿了人，再來兩個時，可將住１號房間的移往３號房間，住２號房間的移往４號房間，從而空出兩個房間”時，學生對我“能移”表示懷疑。這一點我往往只能遺憾的說“跳不出有限的圈子，用有限的眼光來看無限，只能是‘只在此山中，云深不知處’”。當然，我還是會進一步考慮如何來講好這一講。若陳教授或其他老師有好的建議，能指點一下，則不勝感激。

對于集合[0,1]與(0,1)的對等關系，包括Q與Ｒ的對等關系，或者說他們之間雙射的構造。關鍵在于“求同存異”，找一個可數集來“填補”他們之間的差距，這相當于希爾伯特無窮旅館問題中來了兩個人和來了可數個人。

對于實數集中的有理數，“廖若晨星”是非常形象的描述。一聲集合的哨響，我們發現，有理數在實數軸上幾乎是沒有位置的（mQ=0），用一系列的帽子來蓋住這些點，而這些帽子的大小是ε，這是非常精彩的結果。

從可數集到不可數集，再加上無最大基數定理，讓我們看到了“無窮的層次性”，由此我們不難理解“人外有人，天外有天，無窮之外有無窮”。我們不能不發出“哀吾生之須臾，羨長江之無窮”的感慨。

陳教授對單調確界原理的證明非常清晰明了，幾何直觀的描述形象直觀。

第三講 《數學分析》課程中最重要的兩個常數

法國著名雕塑家羅丹曾經說過“生活中從不缺少美，而是缺少發現美的眼睛”。我想說：“數學中并不缺少美，缺少的是揭示數學美的老師”。陳教授是一個出色的老師，他不僅發現了數學的美，而且為我們展示了數學的美。

著名的歐拉公式：e?i?1?0，實現了有理數、無理數、超越數、實數、虛數

陳紀修教授《數學分析》九講學習筆記與心得

完美統一，獲得“最美的數學定理”稱號。歐拉建立了在他那個時代，數學中最重要的幾個常數（0,1,i,e,?）之間的絕妙的有趣的聯系，被認為是數學奇異美的典例。

在本講中，陳教授以李大潛院士訪問法國“引入”的一個有趣例子開講，讓我們體會了數學中的美，這個不等式還有許多有意思的地方，無論是不等式的形式，還是他的證明，都非常深刻地體現了數學的美。Pi是無理數的證明，吸引了與會學員的眼球，贊嘆之余，有學員問這一證法的出處，我也還真想知道，請陳教授不吝指教。

本講最后將函數sinx/x展成無窮乘積形式，并妙用此形式求出p級數中p為偶數值時的和，對我而言是耳目一新的。在我記憶中好像菲爾金哥爾茨的《微積分學教程》(第二卷)中也有求出的方法，而p為奇數的情形好像至今尚未解決。對p=2的情形，歐拉至少用兩種方法得到結果，其中一種方法妙用了L’Hospital法則(《數學譯林》09.3)。

第四講 級數與反常積分收斂的A.D判別法

恰逢這個學期講《數學分析》(3)，在講授含參變量反常積分時，先復習了反常積分，再復習了函數項級數，并將幾個判別法列表比較，尤其是A.D判別法，能與陳教授不謀而合，真是倍感榮幸。

陳教授對Abel引理的直觀刻畫，也是深得學員好評。我對陳教授從Abel引理分析?anbn收斂條件的分析而得到Dilichlet判別法和Abel判別法的相關條件深感佩服，尤其是分析得絲絲入扣。

第五講 函數項級數與含參變量反常積分的一致收斂

一致收斂性無疑是《數學分析》中的一個重要概念。陳教授對“點點收斂”與“一致收斂”的剖析是非常到位的，學生在學習時如果是只能注意到在定義的陳述“?x”的位置不相同，而不明其所以時，這樣的教學肯定是失敗的。陳教授例子選擇精當，語言使用精辟，問題分析精準。

請注意陳教授的這句話：“毛病出在點態收斂的情況下，在某些點附近，N無法控制”（類似的話在第九講中說過）。

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第六講 Weierstrass函數：處處連續處處不可導的函數

陳教授分析了為何在Weierstrass之前的數學家不能構造出這樣的函數。原來在此之前，數學家們所掌握的函數是不足以構造出這樣的函數的。

Weierstrass在1872年構造出了如下處處連續處處不可導的函數：

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陳教授選用1930年Van Der Waerden給出的例子進行了剖析。所講自是精當，本人很是受益。

第七講 條件極值問題與Lagrange乘數法

本講陳教授從一個幾何問題入手，得到一個條件極值問題。考慮了條件極值的必要條件，引入Lagrange乘數法，化條件極值問題為無極條件極值問題。這部分內容中，本人認為幾何解釋最有啟發性。

對于具體使用Lagrange乘數法的例子中，如何解方程組，陳教授給了很好的建議。第二個例子，即求平面x+y+z=0與橢球面x2+y2+4z2=1相交而成的橢圓面積。這個例子我很喜歡，只可惜不能用來做期末考題（不要問我為什么！）。

第八講 重積分的變量代換

本講陳教授從定積分的換元的計算公式分析入手，對二重積分的相應的代換公式作出類比猜想（在教學中注重滲透數學思想方法，如此妙哉！）再作分析，然后得出代換公式。

為證明代換公式，陳教授引入本原映射，化“矩形”為“梯形”，化變換T為兩個本原變換的復合，實現了化復雜為簡單，化困難為容易。

第九講 《數學分析》課程中的否定命題

《數學分析》教學中，說說“反話”很重要！（請不要誤解！）

兩個命題A與B如果既不能同時成立，也不能同時不成立，就稱A與B互為否定命題。

陳紀修教授《數學分析》九講學習筆記與心得

若A與B互為否定命題，則A與B一定滿足：一個成立，另一個必然不成立；一個不成立，另一個必定成立。（廢話！）

有界與無界、收斂于a與不收斂于a、收斂與不收斂、（注意前邊兩對的區別！）、可導與不可導、Cauchy收斂準則及其否定命題，等等。這些“反話”不說，大量的題做不了。

我在講《數學分析》(1)時會有一講（幾個概念的否定敘述）就是來講否定命題的。

陳教授在這部分的例子非常好，分析得也清楚！

陳教授的九講，給了我們太多的啟示：

一、在我們的教學中，不僅要教其所以然，而且要教其所以然。陳教授的這九講，應該是我們講授《數學分析》的經典案例，當然，我們不一定是講這一些內容！正確的思想從哪里來，是從天上掉下來的嗎？不是！

二、在我們的教學，不僅要傳授知識，而且要傳授思想方法，也就是教學中要注

重思想方法的滲透。

三、在我們的教學中，不僅要傳授知識，而且要培養學生的數學素養，讓他們了解數學的過去、現在，以便開創數學的將來。

四、在我們的教學中，或許會遇的許多困難：教學時數少，教學對象差等等，但我們應從我們自身積極的尋找對策。陳教授就是這樣的。

以上所述，僅憑個人聽課記錄，又僅憑個人理解。若是有誤，請陳教授見諒并斧正。

最后，向陳紀修教授致以崇高的敬意！

滇源后學：周興偉