第一篇：數學分析試題庫

數學分析

（三）試題（第１套）

一、填空題（每小題３分，共15分）f(x,y)??x2?y2?

１函數

２曲面?：z21ln(x2?y2)的定義域為（）． ?x2?y

2在點M(3,4,5)處的切平面方程是（）．

３D?{(x,y,z)|0?x,y,z?1}，則???(x?2y?3z)dxdydz＝D（）．

４設f(x,y)是連續函數，交換累次積分的次序

?dx?f(x,y)dy＝（）． 10elnx

５、?(2,2)xdx?ydyx?y22(1,1)?（）．

二、是非題（下列各題，你認為是正確的，請在題干的括號內打“√”，錯的打“×”．每題２分，共10分）

limlimf(x,y)(x,y)f(x,y)x00１設在點處的二重極限存在，則累次極限?x0y?y0也存

在．（）

２設f(x,y)在點(x,y)處可微，則f(x,y)在(x,y)連續．（）３設Ｃ為圓周，方向是逆時鐘的，則C

４非正常積分xdy?ydx?2?．（）???

0e?2xydy關于x在 [1,2]上一致收斂．（）

５設D為有界閉區域，函數f(x,y)在D上非負且連續，則??f(x,y)d

Dxdy>0 ．（）

三、單選題（在本題的每個小題的備選答案中，只有一個答案是正確的，請把你認為正確答案的題號，填入題干的括號內，多選不給分．每題３分，共15分）

１函數f(x,y)在有界閉區域D上連續是f(x,y)在D上可積的()．

①必要條件②充分條件

③充分必要條件④既不是充分條件也不是必要條件

2cos(x?y)dxdy??

２二重積分

?

x2?y2?

?2

＝（）．

?

①

2??2rcosrdr

②

??2rcosrdr

③

2??0rcosrdr

?

④?

rcosrdr

３設f(x,y)為整個平面上的連續函數，AB為垂直于y軸的直線段，則（）．①③

?

AB

f(x,y)dx?0f(x,y)ds?0

②④

??

AB

f(x,y)dy?0

?

ABAB

f(x,y)dx?f(x,y)dy?0

４設L是有界閉區域D的邊界曲線的正向，F(x,y),G(x,y)都在D上連續且有連續偏導數，則（）．

①

??（D

?F?G

?)dxdy?Fdx?Gdy?x?yL ?F?G?)dxdy?Gdx?Fdy?x?yL ?G?F?)dxdy?Gdx?Fdy?x?yL ?F?G?)dxdy?Gdx?Fdy?x?yL

x2

②

??（D

③

??（D

④

??（D

５設

f(x)??

dy

ln(1?x?y)dy，則dx＝（）．

①

??

x2

2x

1?x?y②ln(1?x2?y)2x ?

11?x2?y④ln(1?x2?y)

x2

③

四、計算題(每小題5分，共30分)1 設f(x)在實數范圍內具有二階連續導數，F(x,y)?f(x2?y2)?f(xy)．

?2F

求F(x,y)的二階偏導數?x?y．

I?

2計算二重積分

??dxdy

D

其中Ｄ是由直線y?3x,x?3y,x?y?8所圍成三角形區域．

3求拋物面z?x?y被兩個平面z?1,z?2所截部分的體積．

4設D?{(x,y)|0?x?y???}，求

??e

D

?(x2?y2)

dxdy

．

?x2?y2?z2?4dydz?22,x?y?2x?dxdx． 5求由方程組所確定的導數計算

?

AB

xdy

其中曲線AB是半徑為2的圓在第一象限的部分，方

向是A到B的方向．其中A的坐標是(0,2)，B的坐標是(2,0)．

?x2y,?

f(x,y)??x2?y

2?0,?

五、(８分)證明函數

存在，但不可微．

六、(7分)設a

x2?y2?0

x2?y2?0在點(0,0)處連續且偏導數

?0，證明積分?0

??

e?xydy

在[a,b]上一致收斂．

七、（８分）驗證(3xy?4xy?y)dx?(x?4xy?3xy)dy是某函數的全微分，并求它的原函數．

八、（７分）設f(u)具有連續導數，證明對任何光滑閉曲線L，L

f(xy)(ydx?xdy)?0

．

第二篇：數學分析試題庫--判斷題

數學分析題庫（1-22章）

三 判斷題

1.數列{an}收斂的充要條件是數列{an}有界.()2.若?N?0, 當n?N時有an?bn?cn, 且liman?limcn, 則limbn不存在.()

n??n??n??03.若limf(x)?limg(x), 則存在 U0(x0;?)使當x?U(0x?x0x?x0x?;時,有)f(x)?g(x).()4.f(x)為x?x0時的無窮大量的充分必要條件是當x?U0(x0;?)時,f(x)為無界函數.()5.x?0為函數sinxx的第一類間斷點.()6.函數f(x)在[a,b]上的最值點必為極值點.()??12?x7.函數f(x)??e,??0,x?0,在x?0處可導.()

x?0 8.若|f(x)|在[a,b]上連續, 則f(x)在[a,b]上連續.()9.設f為區間I上嚴格凸函數.若x0?I為f的極小值點，則x0為f在I上唯一的極小值點.()10.任一實系數奇次方程至少有兩個實根.()11.limxsinx?01x2?limx?limsinx?0x?01x2?0.（）

12.數列{an}存在極限?對任意自然數p, 有lim|an?p?an|?0.（）

n??13.limf(x)存在的充要條件是limx?x0x?x0?f(x)與limx?x0?f(x)均存在.（）

14.?111?111lim?2?????lim?lim???lim?0.22?n??nn??n2n??(n?1)2n??(2n)2(n?1)(2n)??（）

15.liman?a, 若an?0,a?0, 則 limn??nn??an?limnn??a?1.（）

16.設f(x),g(x)為定義于D上的有界函數, 且f(x)?g(x),x?D, 則inff(x)?infg(x).x?Dx?D

（）

17.發散數列一定是無界數列.18.x?0是函數f(x)?xsin1x

（）

（）的第二類間斷點.19.若f(x)在[a,b]連續，在內(a,b)可導，且f(a)?f(b)，則不存在??(a,b)，使f?(?)?0.（）

20.若f(x)在點x0既左可導又右可導，則f(x)在x0連續.和.（）

（）

21．定義在關于原點對稱的區間上的任何函數f(x)均可表示為一個偶函數和一個奇函數之22．設函數f(x)在x?x0處的導數不存在，則曲線y=f(x)在?x0,f?x0??處無切線.（）

23．若f(x)與g(x)均在x?x0處取得極大值，則f(x)g(x)在x?x0處也取得極大值.（）

??24.limf(x)?b(b為常數,?可以是x0,x0,x0,?,??,??之一)，則

x??

是變化時的無窮小量()，25.函數f(x)在(a,b)單調增加，則

都存在，且

時，函數的左、右極限

()26.設，為有理數集，則

()27.若函數 在 連續，則

也在連續()28．設f(x)在[a,b]上連續，M與m分別是f(x)的最大值和最小值，則對于任何數c(m?c?M)，均存在??[a,b]，使得f(?)?c.()29．設f(x),g(x)在(a,b)內可導，且f(x)?g(x)，則f'(x)?g'(x).()30．設{xn}的極限存在，{yn}的極限不存在，則

{xn?yn}的極限未必不存在.()31．如是函x?x0f'(x0)?0數f(x)的一個極點，則.()x?cosx32．對于函數x，由于x?cosxlim(x?cosx)'x'x???lim(1?sinx)x??不存在，根據洛必達法制，當x趨于無窮大時，x的極限不存在.()33．無界數列必發散.()34．若對??>0，函數f在[a??,b??]上連續，則f在開區間（a,b）內連續.()35．初等函數在有定義的點是可導的.()

xxx36．f???，若函數?在點0可導，?在點0不可導，則函數f在點0

必不可導.()37．設函數f在閉區間[a,b]上連續，在開區間（a,b）內可導，但f(x)?f(b)，則對?x?(a,b)，有f(x)?0.()38．設數列{an}遞增且（有限）.則有a?sup{an}.()

?39．設函數f(x)在點x0的某鄰域U(x0)內有定義.若對?xn?U(x0),當

'xn?x0時, 數列{f(xn)}都收斂于同一極限.則函數f(x)在點x0連續.()40．設函數y?f(x)在點x0的某鄰域內有定義.若存在實數A,使?x?0時, f(x0??x)?f(x0)?A?x??(?x), 則f?(x0)存在且f?(x0)?A.()41．若f?(x1)?f?(x2)?0, f??(x1)?0?f??(x2),則有f(x1)?f(x2).()42．設 ?f(x)dx?F(x)?c, ?g(x)dx?G(x)?c.則當F(x)?G(x)時, 有f(x)?g(x).()43．設f(x),g(t)在(a,b)內可導，且f(x)?g(x)，則f'(x)?g'(x).()44．存在這樣的函數，它在有限區間中有無窮多個極大點和無窮多個極小點.()45．f?x?在?a,b?上可積,但不一定存在原函數.()

146．利用牛頓一來布尼茲公式可得??11x2??11x?1??2.()47．任意可積函數都有界,但反之不真.()???48．級數?an,若?an?0,則?an必發散.()n?1n?1n?1??49．若級數?an收斂,則?an亦收斂.()n?1n?12bbn??n??50．若在[a,b]上收斂.且每項都連續,則?limfn?x?dx?lima??f?x?dx.()

na51．若?un一致收斂,則limun?0.()n?1n????52．若?un在I上一致收斂,則?un在I上絕對收斂.()n?1n?153．函數f?x?的傅里葉級數不一定收斂于f?x?.()54．設f(x)在[a,b]上可積，記?(x)?且??(x)?f(x).()55．[a,b]上有界函數f(x)可積的充要條件是：???0,有對[a,b]的一個分法T0，使S(T0)?s(T0)??.()

??xaf(t)dt?x?[a,b],則?(x)在[a,b]上可導，56．部分和數列{Sn}有界，且limun?0,則?un收斂.()

n??n?1??57．若?|un|收斂，則一定有?un收斂.()n?1n?1?58．若冪級數?an(x?1)n在x??1處收斂，則在x?3處也收斂.()n?159．若?x?(?r,r),f()(n)(x)存在（n?1，2，?)，則f(x)在(?r,r)上可展成x的冪級數.4 60．在區間套{[an,bn]}內存在唯一一點?,使得??[an,bn]n?1,2,?.()61.函數列?fn?x??在?a,b?上一致收斂是指：對???0和?x??a,b?，?自然數N，當m?n?N時，有fn?x??fm?x???.()62.若?fn?x??在?a,b?上一致收斂于f?x?，則?fn?x??在?a,b?上一致收斂于f?x?.()63.若函數列?fn?x??在?a,b?上一致收斂，則?f2n?x??在?a,b?上一致收斂.()64.若函數列?fn?x??在?a,b?內的任何子閉區間上都一致收斂，則?fn?x??在?a,b?上一致收斂.()65.若函數項級數?un?x?在?a,b?上一致收斂，則?un?x?在?a,b?上也一致收斂.()n?1n?1??66.任一冪級數都有收斂點，它的收斂域是一個區間。

（）67.任一冪級數在它的收斂區間內是絕對收斂的。

（）68.冪級數的收斂區間就是它的收斂域。

（）69.任一個n次多項式pn?x?都可展成冪級數。

（）

70.任一冪級數在它的收斂區間內總可逐項求導。

（）71．若f(x)是以2?為周期的連續函數 , 在[ ?? , ? ]上按段光滑,且 則f(x)的Fourier級數在(?? , ??)內收斂于f(x).（）

72.設以2 ?為周期的函數f在區間[ ?? , ? ]上按段光滑, 則在每一點x?[ ?? , ? ], f的Fourier級數收斂于f在點x的左、右極限的算術平均值.（）

73.若f(x)是以2?為周期的連續的奇函數，則f(x)的傅立葉系數的計算公式是 an?0(n?0,1,2,?),bn?1???0f(x)sinxdx(n?1,2,?);（）

74.若函數 f(x,y)在(x0,y0)連續，則其二重極限必存在。（）75.若f(x,y0)在 x0和f(x0,y)在y0都連續，則 f(x,y)在點(x0,y0)處必連續.（）76.點列?Pn(xn,yn)?收斂于P0(x0,y0)的充要條件是limxn?x0, limyn?y0.（）

n??n??77.平面上的有界無限點列必存在收斂的子列。（）

78.若函數 f(x,y)在 點(x0,y0)處的兩個累次極限都不存在，則二重極限必不存在.（）

79.若函數 f(x,y)在 點(x0,y0)處的兩個累次極限都存在且相等，則二重極限必存在.（）80.若函數 f(x,y)在(x0,y0)處存在偏導數，則f(x,y)在(x0,y0)處一定可微.（）81.若函數 f(x,y)在(x0,y0)處存在偏導數，則f(x,y)在(x0,y0)處一定連續.（）82.函數的極值點一定是它的穩定點。（）83.若函數 f(x,y)在 點(x0,y0)處的方向導數存在，則函數在該點一定可微.（）84.函數 f(x,y)在 點(x0,y0)處的方向導數存在，則函數在該點一定連續.（）85.若函數 f(x,y)在 點(x0,y0)處取得極值，則當固定y?y0時，一元函數f(x,y0)必定在x?x0取得相同的極值.（）86.?(x?y)ds?1, 其中L是以O(0 , 0)、A(1 , 0)和B(0 , 1)為頂點的三角形；（）

L87.?|y|ds?4，其中L為單位圓周 x2?y2?1.（）

L88.?(x?y?z)ds? L2222?3a?b(2a?4?b)，L為螺旋線.x?acost，22222y?asint，z?bt，0?t?2?.（）

89.? xds? L213?a, 其中L為球面x2?y2?z2?a2和平面x?y?z?0的交線.（）

22390.?(x?y)dx?(x?y)dy?2, 其中L是以點A(1 , 0)、B(2 , 0)、C(2 , 1)和

L22D(1 , 1)為頂點的正方形，方向為逆時針方向.（）91.??(x?y)dxdy?D2??D(x?y)dxdy, D為X軸、Y軸與直線x?y?1所圍區域.（）

392.0???xy(x?y)dxdy?1, D為閉矩形 [ 0 , 1 ]?[ 0 , 1 ].()

D32393.??(x?3xy?y)dxdy?2, D為閉矩形[ 0 , 1 ]?[ 0 , 1 ].()

D94.?dx?f(x,y)dy? aa b x? b ady?f(x,y)dx(a?b).（）

y b95.? 2? 0dx? sinx 0 f(x,y)dy?2? 1 0dy? ?-arcsinx arcsinx f(x,y)dx?a4? 0 ?1dy? 2?-arcsinx ?-arcsinx f(x,y)dx.（）

96.??y(x?z)dydz?xdzdx?(y?xz)dxdy?S22，其中S為由

x?y?z?0,x?y?z?a六個平面所圍的立方體表面并取外側為正向.（）

97.??(x?y)dydz?(y?z)dzdx?(z?x)dxdy=-8，其中S是以原點為中心，邊長為2的S立方體表面并取外側為正向.（）98.??xydydz?yzdzdx?xzdxdyS?18，其中S是由平面x?y?z?0,x?y?z?1所圍的四面體面并取外側為正向.（）99.??yzdzdxS??4,其中S是球面x?y?z?1的上半部分并取外側為正向.（）

222 6 100.??xdydz?ydzdx?zdxdy?S222733?R(a?b?c)，其中S是由球面

2222(x?a)?(y?b)?(z?c)?R，并取外側為正向.（）

第三篇：數學分析

360《數學分析》考試大綱

一． 考試要求：掌握函數，極限，微分，積分與級數等內容。

二． 考試內容：

第一篇 函數

一元與多元函數的概念，性質，若干特殊函數，連續性。第二篇 極限

數列極限，一元與多元函數極限的概念及其性質，實數的連續性（確界原理，單調有界原理，區間套定理，聚點定理，有限覆蓋定理等）。

第三篇 微分

一元與多元函數導數（偏導數）與微分的概念，性質，公式，法則及應用；函數的單調性與凸性，極值與拐點，漸進線，函數作圖；隱函數。

第三篇 積分

不定積分的概念，性質，公式，法則；定積分的概念，性質，公式，法則及應用；反常積分與含參積分；重積分與曲線曲面積分。第四篇 級數

數項級數，函數項級數，冪級數與傅立葉級數的概念，性質，公式，法則及應用。

參考書目：華東師范大學數學系，數學分析（上，下，第三版），高等教育出版社，2001年。

第四篇：數學分析

《數學分析》考試大綱

一、本大綱適用于報考蘇州科技學院基礎數學專業的碩士研究生入學考試。主要考核數學分析課程的基本概念、基本理論、基本方法。

二、考試內容與要求

(一)實數集與函數

1、實數：實數的概念，實數的性質，絕對值與不等式;

2、數集、確界原理：區間與鄰域，有界集與無界集，上確界與下確界，確界原理;

3、函數概念：函數的定義，函數的表示法(解析法、列表法、和圖象法)，分段函數；

4、具有某些特征的函數：有界函數，單調函數，奇函數與偶函數，周期函數。

要求：了解數學的發展史與實數的概念，理解絕對值不等式的性質，會解絕對值不等式；弄清區間和鄰域的概念, 理解確界概念、確界原理，會利用定義證明一些簡單數集的確界；掌握函數的定義及函數的表示法，了解函數的運算；理解和掌握一些特殊類型的函數。

(二)數列極限

1、極限概念；

2、收斂數列的性質：唯一性，有界性，保號性，單調性；

3、數列極限存在的條件：單調有界準則，迫斂性法則，柯西準則。

要求：逐步透徹理解和掌握數列極限的概念；掌握并能運用?-N語言處理極限問題；掌握收斂數列的基本性質和數列極限的存在條件(單調有界函數和迫斂性定理)，并能運用；了解數列極限柯西準則,了解子列的概念及其與數列極限的關系；了解無窮小數列的概念及其與數列極限的關系.(三)函數極限

1、函數極限的概念，單側極限的概念；

2、函數極限的性質：唯一性，局部有界性，局部保號性，不等式性，迫斂性；

3、函數極限存在的條件：歸結原則（Heine定理），柯西準則；

4、兩個重要極限；

5、無窮小量與無窮大量，階的比較。

要求：理解和掌握函數極限的概念；掌握并能應用?-?, ?-X語言處理極限問題；了解函數的單側極限，函數極限的柯西準則；掌握函數極限的性質和歸結原則；熟練掌握兩個重要極

限來處理極限問題。

(四)函數連續

1、函數連續的概念：一點連續的定義，區間連續的定義，單側連續的定義，間斷點及其分類；

2、連續函數的性質：局部性質及運算，閉區間上連續函數的性質（最大最小值性、有界性、介值性、一致連續性），復合函數的連續性，反函數的連續性；

3、初等函數的連續性。

要求：理解與掌握一元函數連續性、一致連續性的定義及其證明，理解與掌握函數間斷點及其分類，連續函數的局部性質；理解單側連續的概念；能正確敘述和簡單應用閉區間上連續函數的性質；了解反函數的連續性，理解復合函數的連續性，初等函數的連續性。

（五）導數與微分

1、導數概念：導數的定義、單側導數、導函數、導數的幾何意義；

2、求導法則：導數公式、導數的運算(四則運算)、求導法則（反函數的求導法則，復合函數的求導法則，隱函數的求導法則，參數方程的求導法則）；

3、微分：微分的定義，微分的運算法則，微分的應用；

4、高階導數與高階微分。

要求：理解和掌握導數與微分概念，了解它的幾何意義；能熟練地運用導數的運算性質和求導法則求函數的導數；理解單側導數、可導性與連續性的關系，高階導數的求法；了解導數的幾何應用，微分在近似計算中的應用。

（六）微分學基本定理

1、中值定理：羅爾中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理；

2、幾種特殊類型的不定式極限與羅比塔法則；

3、泰勒公式。

要求：掌握中值定理的內容、證明及其應用；了解泰勒公式及在近似計算中的應用，能夠把某些函數按泰勒公式展開；能熟練地運用羅必達法則求不定式的極限

（七）導數的應用

1、函數的單調性與極值；

2、函數凹凸性與拐點.要求：了解和掌握函數的某些特性(單調性、極值與最值、凹凸性、拐點)及其判斷方法，能利用函數的特性解決相關的實際問題。

（八）實數完備性定理及應用

1、實數完備性六個等價定理：閉區間套定理、單調有界定理、柯西收斂準則、確界存在定理、聚點定理、有限覆蓋定理；

2、閉區間上連續函數整體性質的證明：有界性定理的證明，最大小值性定理的證明，介值性定理的證明，一致連續性定理的證明；

3、上、下極限。

要求：了解實數連續性的幾個定理和閉區間上連續函數的性質的證明；理解聚點的概念，上、下極限的概念。

（九）不定積分

1、不定積分概念；

2、換元積分法與分部積分法；

3、幾類可化為有理函數的積分；

要求：理解原函數和不定積分概念；熟練掌握換元積分法、分部積分法、有理式積分法、簡單無理式和三角有理式積分法。

（十）定積分

1、定積分的概念：概念的引入、黎曼積分定義，函數可積的必要條件；

2、可積性條件：可積的必要條件和充要條件，達布上和與達布下和，可積函數類(連續函數，只有有限個間斷點的有界函數，單調函數)；

3、微積分學基本定理：可變上限積分，牛頓-萊布尼茲公式；

4、非正常積分：無窮積分收斂與發散的概念，審斂法（柯西準則，比較法，狄利克雷與阿貝爾判別法）；瑕積分的收斂與發散的概念，收斂判別法。

要求：理解定積分概念及函數可積的條件；熟悉一些可積分函數類，會一些較簡單的可積性證明；掌握定積分與可變上限積分的性質；能較好地運用牛頓-萊布尼茲公式，換元積分法，分部積分法計算一些定積分。掌握廣義積分的收斂、發散、絕對收斂與條件收斂等概念；能用收斂性判別法判斷某些廣義積分的收斂性。

（十一）定積分的應用

1、定積分的幾何應用：平面圖形的面積，微元法，已知截面面積函數的立體體積，旋轉體的體積平面曲線的弧長與微分，曲率；

2、定積分在物理上的應用：功、液體壓力、引力。

要求：重點掌握定積分的幾何應用；掌握定積分在物理上的應用；在理解并掌握“微元法”。

（十二）數項級數

1、級數的斂散性：無窮級數收斂，發散等概念，柯西準則，收斂級數的基本性質；

2、正項級數：比較原理，達朗貝爾判別法，柯西判別法，積分判別法；

3、一般項級數：交錯級數與萊布尼茲判別法，絕對收斂級數與條件收斂級數及其性質，阿貝爾判別法與狄利克雷判別法。

要求：理解無窮級數的收斂、發散、絕對收斂與條件收斂等概念；掌握收斂級數的性質；能夠應用正項級數與任意項級數的斂散性判別法判斷級數的斂散性；熟悉幾何級數調和級數與p級數。

（十三）函數項級數

1、一致收斂性及一致收斂判別法（柯西準則，優級數判別法，狄利克雷與阿貝爾判別法）；

2、一致收斂的函數列與函數項級數的性質（連續性，可積性，可微性）。

要求：掌握收斂域、極限函數與和函數一致斂等概念；掌握極限函數與和函數的分析性質(會證明)；能夠比較熟練地判斷一些函數項級數與函數列的一致收斂。

（十四）冪級數

1、冪級數：阿貝爾定理，收斂半徑與收斂區間，冪級數的一致收斂性，冪級數和函數的分析性質；

2、幾種常見初等函數的冪級數展開與泰勒定理。

要求：了解冪級數，函數的冪級數及函數的可展成冪級數等概念；掌握冪級數的性質；會求冪級數的收斂半徑與一些冪級數的收斂域；會把一些函數展開成冪級數，包括會用間接展開法求函數的泰勒展開式

（十五）付里葉級數

1、付里葉級數：三角函數與正交函數系, 付里葉級數與傅里葉系數, 以２? 為周期函數的付里葉級數, 收斂定理；

2、以2L為周期的付里葉級數；

3、收斂定理的證明。

要求：理解三角函數系的正交性與函數的傅里葉級數的概念；掌握傅里葉級數收斂性判別法；能將一些函數展開成傅里葉級數；了解收斂定理的證明。

（十六）多元函數極限與連續

1、平面點集與多元函數的概念；

2、二元函數的極限、累次極限；

3、二元函數的連續性：二元函數的連續性概念、連續函數的局部性質及初等函數連續性。要求：理解平面點集、多元函數的基本概念；理解二元函數的極限、累次極限、連續性概念，會計算一些簡單的二元函數極限；了解閉區間套定理，有限覆蓋定理，多元連續函數的性質。（十七）多元函數的微分學

1、可微性：偏導數的概念，偏導數的幾何意義，偏導數與連續性；全微分概念；連續性與可微性，偏導數與可微性；

2、多元復合函數微分法及求導公式；

3、方向導數與梯度；

4、泰勒定理與極值。

要求：理解并掌握偏導數、全微分、方向導數、高階偏導數及極值等概念及其計算；弄清全微分、偏導數、連續之間的關系；了解泰勒公式；會求函數的極值、最值。

（十八）隱函數定理及其應用

1、隱函數：隱函數的概念，隱函數的定理，隱函數求導舉例；

2、隱函數組：隱函數組存在定理，反函數組與坐標變換，雅可比行列式；

3、幾何應用：平面曲線的切線與法線，空間曲線的切線與法平面，曲面的切平面和法線；條件極值：條件極值的概念，條件極值的必要條件。

要求：了解隱函數的概念及隱函數的存在定理，會求隱函數的導數；了解隱函數組的概念及隱函數組定理，會求隱函數組的偏導數；會求曲線的切線方程，法平面方程，曲面的切平面方程和法線方程；了解條件極值概念及求法。

（十九）重積分

1、二重積分概念：二重積分的概念，可積條件，可積函數，二重積分的性質；

2、二重積分的計算：化二重積分為累次積分，換元法（極坐標變換，一般變換）；

3、含參變量的積分；

4、三重積分計算：化三重積分為累次積分, 換元法（一般變換，柱面坐標變換，球坐標變換）；

5、重積分應用：立體體積，曲面的面積，物體的重心，轉動慣量；

6、含參量非正常積分概念及其一致斂性：含參變量非正常積分及其一致收斂性概念，一致收斂的判別法(柯西準則，與函數項級數一致收斂性的關系，一致收斂的M判別法)，含參變量非正常積分的分析性質；

7、歐拉積分：格馬函數及其性質,貝塔函數及其性質。

要求：了解含參變量定積分的概念與性質；熟練掌握二重、三重積分的概念、性質、計算及基本應用；了解含參變量非正常積分的收斂與一致收斂的概念；理解含參變量非正常積分一致收斂的判別定理，并掌握它們的應用；了解歐拉積分。

（二十）曲線積分與曲面積分

1、第一型曲線積分的概念、性質與計算，第一型曲面積分的的概念、性質與計算；

2、第二型曲線積分的概念、性質與計算，變力作功，兩類曲線積分的聯系；

3、格林公式，曲線積分與路線的無關性, 全函數；

4、曲面的側，第二型曲面積分概念及性質與計算，兩類曲面積分的關系;

5、高斯公式，斯托克斯公式，空間曲線積分與路徑無關性；

6、場論初步：場的概念，梯度，散度和旋度。

要求：掌握兩類曲線積分與曲面積分的概念、性質及計算；了解兩類曲線積分的關系和兩類曲面積分的關系；熟練掌握格林公式的證明及其應用，會利用高斯公式、斯托克斯公式計算一些曲面積分與曲線積分；了解場論的初步知識。

三、主要參考書

《數學分析》（第三版），華東師范大學數學系編，高等教育出版社，2004年。《數學分析中的典型問題與方法》，裴禮文，高等教育出版社，1993年。

四、主要題型：

填空題，選擇題，計算題，解答題，證明題，應用題。

第五篇：數學分析教案

《數學分析Ⅲ》教案編寫目錄（1—16周，96學時）

課時教學計劃（教案21-1）

課題：§21-1二重積分的概念

一、教學目的：

1．理解二重積分的概念，其中包括二重積分的定義、幾何意義和存在性。2．理解二重積分的7條性質。

二、教學重點：二重積分的概念；二重積分的存在性和性質。

三、教學難點：二重積分的定義；二重積分的存在性。

四、教學方法：多媒體、問題討論與黑板講解穿插教學。

五、教學用具：黑板、CAI課件及硬件支持

六、教學過程：

[引例]：

（約5min，語言表述）

由平面圖形的面積和曲頂柱體的體積引出二重積分的概念。?平面圖形的面積

（約40min，投影、圖示與黑板講解）

1．平面圖形面積的定義；

2．平面圖形可求面積的充分必要條件；

?二重積分的定義及其存在性

1.2.? 二重積分的定義；

二重積分存在的充分條件和必要條件。

二重積分的性質

（約25min，圖示與黑板講解）

結合二重積分的定義講解二重積分的7條性質。

? 補充例子：

（約10min，黑板講解）

1．根據二重積分的定義計算二重積分； 2．根據二重積分的性質證明不等式。

七、課程小結：

（約5min，黑板講解）

二重積分的定義；二重積分性質。

八、作業：P217習題

1，2，3，4，5，6，8。

課時教學計劃（教案21-2）

課題：§21-2直角坐標系下二重積分的計算

一、教學目的：

掌握在直角坐標系下二重積分的計算方法。

二、教學重點：直角坐標系下二重積分的計算方法。

三、教學難點：定理21.8，21.9。

四、教學方法：多媒體、問題討論與黑板講解穿插教學。

五、教學用具：黑板、CAI課件及硬件支持

六、教學過程：

[引例]：

由曲頂柱體的體積引出二重積分計算的直觀概念。? 定理21.8，21.9的證明

?

X型、y型區域的講解及其定理21.10的證明

? 直角坐標系下二重積分的計算舉例

教材中例1—例4。

? 補充例子：

利用二重積分計算體積；

七、課程小結：

直角坐標系下二重積分的計算。

八、作業：P222習題

1，2，3，4，5，6，8。

（約5min，語言表述）

15min，投影、圖示與黑板講解）

（約25min，圖示與黑板講解）

（約30min，圖示與黑板講解）

（約20min，黑板講解）

（約5min，黑板講解）

（約

課時教學計劃（教案21-3）

課題：二重積分的概念與計算習題課

一、教學目的：

1．鞏固二重積分的概念，其中包括二重積分的定義、幾何意義和存在性。2．鞏固在直角坐標系下二重積分的計算方法。

二、教學重點：直角坐標系下二重積分的計算方法。

三、教學難點：直角坐標系下二重積分的計算方法。

四、教學方法：多媒體、問題討論與黑板講解穿插教學。

五、教學用具：黑板、CAI課件及硬件支持

六、教學過程：

? 二重積分的概念與性質

（約95min，投影、圖示與黑板講解）

1．二重積分的概念復習； 2．二重積分的性質復習。

?

二重積分的計算

1.2.利用二重積分的定義和限制計算二重積分和某些不等式； 在直角坐標系下計算二重積分。

七、課程小結：

（約5min，黑板講解）

二重積分的定義；二重積分性質；二重積分的計算。

八、作業：P278

總練習題

1，2。

課時教學計劃（教案21-4）

課題：§21-3格林公式、曲線積分與路線的無關性

一、教學目的：

1.理解格林公式；

2.掌握格林公式在計算二重積分和曲線積分的方法。3.掌握曲線積分與路線無關的條件和應用方法。

二、教學重點：格林公式的理解和方法。

三、教學難點：定理21.11，21.12。

四、教學方法：多媒體、問題討論與黑板講解穿插教學。

五、教學用具：黑板、CAI課件及硬件支持

六、教學過程：

? 格林公式，定理21.11的證明

?

例1—例3的講解

? 曲線積分與路線的無關性，定理21.12的證明

例4的講解。

? 補充例子：

利用二重積分計算曲線積分。

七、課程小結：

格林公式與曲線積分與路徑無關的概念。

八、作業：P231習題

1，2，3，4，5，6，8。

15min，投影、圖示與黑板講解）

（約25min，圖示與黑板講解）

（約30min，圖示與黑板講解）

（約20min，黑板講解）

（約5min，黑板講解）

（約

課時教學計劃（教案21-5）

課題：§21-4二重積分的變量變換

一、教學目的：

1.理解二重積分的變量變換的基本思想；

2.3.掌握二重積分變量變換的方法特別是極坐標變換。掌握在極坐標系下計算二重積分的方法。

二、教學重點：二重積分的變量變換。

三、教學難點：引理和定理21.13，21.14。

四、教學方法：多媒體、問題討論與黑板講解穿插教學。

五、教學用具：黑板、CAI課件及硬件支持

六、教學過程：

? 二重積分的變量變換公式

（約15min，投影、圖示與黑板講解）

?

引理證明，定理21.13證明，例1，例2講解

（約25min，圖示與黑板講解）

? ? 用極坐標計算二重積分，定理21.14證明

（約20min，圖示與黑板講解）二重積分在極坐標系下化為累次積分，例3，例4，例5，例6講解

（約35min，圖示與黑板講解）

七、課程小結：

（約5min，黑板講解）

二重積分的變量變換，在極坐標系下計算二重積分的方法。

八、作業：P242習題

1，2，3，4，5。

課時教學計劃（教案21-6）

課題：格林公式、曲線積分與路線的無關性

及積分變換習題課

一、教學目的：

1.2.鞏固格林公式、曲線積分與路線的無關性及積分變換；

鞏固格林公式、曲線積分與路線的無關性及積分變換的計算方法。

二、教學重點：格林公式、曲線積分與路線的無關性及積分變換

三、教學難點：格林公式、曲線積分與路線的無關性及積分變換

四、教學方法：多媒體、問題討論與黑板講解穿插教學。

五、教學用具：黑板、CAI課件及硬件支持

六、教學過程：

? 講解格林公式、曲線積分與路線的無關性的計算題

（約95min，投影、圖示與黑板講解）

?

講解積分變換的計算題

七、課程小結：

（約5min，黑板講解）

二重積分的定義；二重積分性質；二重積分的計算。

八、作業：P243

總練習題

7，8 6

課時教學計劃（教案21-7）

課題：§21-5 三重積分

一、教學目的：

1.2.3.理解三重積分的概念；

掌握化三重積分為累次積分的方法； 掌握三重積分換元法。

二、教學重點：三重積分換元法

三、教學難點：定義和定理21.15

四、教學方法：多媒體、問題討論與黑板講解穿插教學。

五、教學用具：黑板、CAI課件及硬件支持

六、教學過程：

? 三重積分的定義

（約15min，投影、圖示與黑板講解）

?

定理21.15證明，例1，例2講解

（約25min，圖示與黑板講解）

? ? 三重積分還原公式，柱面坐標變換，球面坐標變換（約20min，圖示與黑板講解）例3，例4，例5講解

（約35min，圖示與黑板講解）

七、課程小結：

（約5min，黑板講解）

三重積分的定義，在直角坐標、柱面坐標、球面坐標下計算三重積分的方法。

八、作業：P251習題

1，2，3，4，5。

課時教學計劃（教案21-8）

課題：§21-6 重積分的應用

一、教學目的：

1.2.3.掌握重積分在求曲面面積的應用； 了解重積分在重心的應用； 了解重積分在轉動慣量的應用。

二、教學重點：重積分求曲面面積

三、教學難點：運用重積分公式求解曲面面積

四、教學方法：多媒體、問題討論與黑板講解穿插教學。

五、教學用具：黑板、CAI課件及硬件支持

六、教學過程：

[引例]：

（約5min，語言表述）

由曲面的面積引出重積分的應用。

?

建立曲面面積的計算公式

（約40min，圖示與黑板講解）

? ? 例1講解

（約35min，圖示與黑板講解）簡單介紹重積分在重心、轉動慣量的應用

（約15min，圖示與黑板講解）

七、課程小結：

（約5min，黑板講解）

曲面面積的概念，重積分在計算曲面面積、重心、轉動慣量中的應用。

八、作業：P259 1，2。

課時教學計劃（教案21-9）

課題：§21-8 反常二重積分

一、教學目的：

掌握反常二重積分及其計算

二、教學重點：反常二重積分及其計算

三、教學難點：反常二重積分及其計算

四、教學方法：多媒體、問題討論與黑板講解穿插教學。

五、教學用具：黑板、CAI課件及硬件支持

六、教學過程：

?

無界區域上的二重積分

（約10min，圖示與黑板講解）

? ? ? ? 定理21.16，定理21.17的證明

（約40min，圖示與黑板講解）例1的講解

（約15min，圖示與黑板講解）定理21.18，定理21.19

（約15min，圖示與黑板講解）無界函數上的二重積分及定理21.20

（約15min，圖示與黑板講解）

七、課程小結：

（約5min，黑板講解）

曲面面積的概念，重積分在計算曲面面積、重心、轉動慣量中的應用。

八、作業：P272 1，2，3。

課時教學計劃（教案21-10）

課題：三重積分及重積分的應用習題課

一、教學目的：

1.鞏固三重積分的概念，其中包括三重積分的定義、幾何意義和存在性。2.鞏固在直角坐標系下三重積分的計算方法。3.鞏固化三重積分為累次積分的方法。4.鞏固三重積分換元法。

二、教學重點：直角坐標系下三重積分的計算方法。

三、教學難點：三重積分換元法

四、教學方法：多媒體、問題討論與黑板講解穿插教學。

五、教學用具：黑板、CAI課件及硬件支持

六、教學過程：

? 二重積分的概念與性質

1.三重積分的概念復習； 2.三重積分的性質復習。

?

三重積分的計算

1.化三重積分為累次積分；

2.在柱面坐標、球面坐標下計算三重積分； 3.計算曲面面積。

七、課程小結：

三重積分的定義；三重積分性質；三重積分的計算。

八、作業：P278

總練習題

15min，投影、圖示與黑板講解）

（約80min，投影、圖示與黑板講解）

（約5min，黑板講解）

（約

課時教學計劃（教案22-1）

課題：§22-1第一型曲面積分

一、教學目的：

1.2.第一型曲面積分的概念。第一型曲面積分的計算。

二、教學重點：第一型曲面積分計算

三、教學難點：第一型曲面積分計算

四、教學方法：多媒體、問題討論與黑板講解穿插教學。

五、教學用具：黑板、CAI課件及硬件支持

六、教學過程：

[引例]：

（約5min，語言表述）

由求曲面的質量引出第一型曲面積分的概念。

? 第一型曲面積分的概念

（約25min，投影、圖示與黑板講解）

?

第一型曲面積分的計算

1.2.定理22.1第一型曲面積分計算公式

（約30min，投影、圖示與黑板講解）例1，例2的求解

（約35min，投影、圖示與黑板講解）

七、課程小結：

（約5min，黑板講解）

第一型曲面積分的定義；第一型曲面積分的計算。

八、作業：P282 1，2，3，4

課時教學計劃（教案22-2）

課題：§22-2第二型曲面積分

一、教學目的：

1.2.第二型曲面積分的概念。第二型曲面積分的計算。

二、教學重點：第二型曲面積分計算

三、教學難點：第二型曲面積分計算

四、教學方法：多媒體、問題討論與黑板講解穿插教學。

五、教學用具：黑板、CAI課件及硬件支持

六、教學過程：

[引例]：

（約5min，語言表述）

由求流量問題引出第二型曲面積分的概念。

? 第二型曲面積分的概念

（約25min，投影、圖示與黑板講解）

?

第二型曲面積分的計算

1.2.3.定理22.2第二型曲面積分計算公式

（約30min，投影、圖示與黑板講解）例1，例2的求解

（約35min，投影、圖示與黑板講解）

簡單介紹兩類曲面積分的聯系

七、課程小結：

（約5min，黑板講解）

第二型曲面積分的定義；第二型曲面積分的計算。

八、作業：P289 1，2 12 課時教學計劃（教案22-3）

課題：第一、二型曲面積分復習課

一、教學目的：

1.2.鞏固第一型曲面積分、第二型曲面積分的概念。鞏固第一型曲面積分、第二型曲面積分的計算。

二、教學重點：第一、二型曲面積分計算

三、教學難點：第一、二型曲面積分計算

四、教學方法：多媒體、問題討論與黑板講解穿插教學。

五、教學用具：黑板、CAI課件及硬件支持

六、教學過程：

? 第一、二型曲面積分的概念

（約10min，投影、圖示與黑板講解）

?

第一、二型曲面積分的計算

1.2.習題鞏固第一、二型曲面積分計算公式

（約75min，投影、圖示與黑板講解）簡單介紹兩類曲面積分的聯系

（約10min，投影、圖示與黑板講解）

七、課程小結：

（約5min，黑板講解）

第一、二型曲面積分的定義；第一、二型曲面積分的計算。

八、作業：P305 1，2

課時教學計劃（教案22-4）

課題：§22-3高斯公式與斯托克斯公式

一、教學目的：

1.2.掌握高斯公式 掌握斯托克斯公式

二、教學重點：高斯公式與斯托克斯公式

三、教學難點：高斯公式與斯托克斯公式

四、教學方法：多媒體、問題討論與黑板講解穿插教學。

五、教學用具：黑板、CAI課件及硬件支持

六、教學過程：

? 高斯公式的重要意義

（約5min，投影、圖示與黑板講解）

?

高斯公式

1.2.? 定理22.3證明

（約25min，投影、圖示與黑板講解）例1的求解

（約15min，投影、圖示與黑板講解）

斯托克斯公式的重要意義

（約5min，投影、圖示與黑板講解）

?

斯托克說公式

1.2.3.定理22.4證明

（約15min，投影、圖示與黑板講解）例2的求解

（約10min，投影、圖示與黑板講解）

定理22.5及例3

（約20min，投影、圖示與黑板講解）

七、課程小結：

（約5min，黑板講解）

高斯公式與斯托克斯公式；高斯公式與斯托克斯公式的計算

八、作業：P296 1，2，3，4 14 課時教學計劃（教案22-5）

課題：§22-4場論初步

一、教學目的：

1.2.了解場的概念 掌握梯度場、散度場

二、教學重點：梯度場、散度場

三、教學難點：梯度場、散度場

四、教學方法：多媒體、問題討論與黑板講解穿插教學。

五、教學用具：黑板、CAI課件及硬件支持

六、教學過程：

? 場的概念、向量場線

（約15min，投影、圖示與黑板講解）

?

梯度場的定義及其基本性質

（約20min，投影、圖示與黑板講解）?

例1求解

（約15min，投影、圖示與黑板講解）

? 散度場的定義及其基本性質

（約20min，投影、圖示與黑板講解）

?

例2求解

（約15min，投影、圖示與黑板講解）?

了解其他場

（約10min，投影、圖示與黑板講解）

七、課程小結：

（約5min，黑板講解）

場的概念；梯度場、散度場。

八、作業：P296 1，2，3，4。

課時教學計劃（教案22-6）

課題：高斯公式與斯托克斯公式和場論初步復習課

一、教學目的：

1.2.鞏固高斯公式與斯托克斯公式 鞏固梯度場、散度場

二、教學重點：高斯公式與斯托克斯公式

三、教學難點：高斯公式與斯托克斯公式

四、教學方法：多媒體、問題討論與黑板講解穿插教學。

五、教學用具：黑板、CAI課件及硬件支持

六、教學過程：

? 高斯公式與斯托克斯公式

（約15min，投影、圖示與黑板講解）

?

高斯公式與斯托克斯公式的計算

（約65min，投影、圖示與黑板講解）?

復習場論知識

（約15min，黑板講解）

七、課程小結：

（約5min，黑板講解）

高斯公式與斯托克斯公式；高斯公式與斯托克斯公式的計算； 場的概念；梯度場、散度場。

八、作業：P305 3，4。