第一篇：數學分析專題選講教案目錄

數學分析專題選講教案目錄

第一專題 極限理論中的若干基本方法

教案1(數學分析專題選講教案1-1)……………………………………….1 教案2(數學分析專題選講教案1-2)……………………………………….8 教案3(數學分析專題選講教案1-3)……………………………………….16 教案4(數學分析專題選講教案1-4)……………………………………….25

第二專題 函數連續性中的若干基本方法

教案5(數學分析專題選講教案2-1)……………………………………….32 教案6(數學分析專題選講教案2-2)……………………………………….44

第三專題 微分中值定理中的若干基本方法

教案7(數學分析專題選講教案3-1)……………………………………….51 教案8(數學分析專題選講教案3-2)……………………………………….58 教案9(數學分析專題選講教案3-3)……………………………………….65 教案10(數學分析專題選講教案3-4)………………………………………69

第四專題 定積分中的若干基本方法

教案11(數學分析專題選講教案4-1)………………………………………77 教案12(數學分析專題選講教案4-2)………………………………………88 教案13(數學分析專題選講教案4-3)………………………………………95 教案14(數學分析專題選講教案4-4)…………………………………….103

第五專題 無窮級數與無窮積分中的若干基本方法

教案15(數學分析專題選講教案5-1)…………………………………….111 教案16(數學分析專題選講教案5-2)…………………………………….119 教案17(數學分析專題選講教案5-3)…………………………………….126

第六專題 多元函數微分學中的若干基本方法

教案18(數學分析專題選講教案6-1)…………………………………….131 教案19(數學分析專題選講教案6-2)…………………………………….141 教案20(數學分析專題選講教案6-3)…………………………………….148

第七專題 函數級數與含參變量無窮積分中的若干基本方法

教案21(數學分析專題選講教案7-1)…………………………………….156 教案22(數學分析專題選講教案7-2)…………………………………….162 教案23(數學分析專題選講教案7-3)…………………………………….169 教案24(數學分析專題選講教案7-4)…………………………………….177

第八專題 多元函數積分學中的若干基本方法

教案25(數學分析專題選講教案8-1)……………………………………185.教案26(數學分析專題選講教案8-2)……………………………………195.教案27(數學分析專題選講教案8-3)……………………………………205.教案28(數學分析專題選講教案8-4)……………………………………217.教案29(數學分析專題選講教案8-5)……………………………………225.附件: 1.數學分析專題選講課程簡介…………………………………………..231 2.數學分析專題選講課程教學大綱……………………………………..232 3.數學分析專題選講課程考試大綱……………………………………..238

第二篇：數學分析選講課程教學標準

《數學分析選講》課程教學標準 第一部分：課程性質、課程目標與要求

《數學分析選講》課程，是我院數學與應用數學、信息與計算科學本科專業的選修課程，是為報考數學專業碩士研究生及對分析感興趣的學生所開的一門選修課。本課程的目的是通過本課程的學習，使學生對已學過的數學分析的知識進行鞏固、加深、提高，并擴大所學的知識，更好地掌握分析的基本思想、基本方法，使對所學的數學分析知識能做到觸類旁通。

教學時間應安排在第五學期或第六學期。這時，學生已學完《數學分析》的課程，正準備碩士研究生的入學考試，且為了學生更好地利用時間，因此可把這門課安排在第四學期至第五學期的暑假及第六學期至第七學期的暑假。

第二部分：教材與學習參考書

本課程擬采用由裴禮文編寫的、高等教育出版社1993年出版的《數學分析中的典型問題與方法》第一版一書，作為本課程的主教材。

為了更好地理解和學習課程內容，建議學習者可以進一步閱讀以下幾本重要的參考書：

1、數學分析講義，陳紀修、於崇華、金路，高等教育出版社，19992、數學分析解題方法600例，李世金、趙潔，東北師范大學出版社，199

2第三部分：教學內容綱要和課時安排

第一章 一元函數的極限

復習數列極限和無窮大量、函數極限、數列的上、下極限的概念和性質，通過例子總結求數列、函數極限的方法，及用定義證明極限存在性。

通過這一章的學習，學習者要準確理解數列極限和無窮大量、函數極限、數列的上、下極限的概念和性質，進一步熟練掌握求數列、函數極限的方法，及用定義證明極限存在性，理解數列的上、下極限的概念和性質。本章的主要教學內容（教學時數安排：10學時）：

§1.1數列極限和無窮大量

§1.2函數極限

§1.3數列的上、下極限

第二章 實數的基本定理及函數的連續性

對實數的基本定理——七大定理（確界存在定理、單調有界定理、閉區間套定理、Weierstress定理、Cauchy收斂原理、有限覆蓋定理、聚點定理）的內容加以復習及沒證明過的定理給予補充證明，及給出例子加以說明它們的應用，同時本章介紹連續性的證明，連續性的應用，一致連續，半連續與函數方程等方面的內容。

通過本章的學習，學習者要理解實數的基本定理及其應用，掌握連續，一致

連續概念及性質，掌握連續性的應用及一致連續的證明，同時理解用連續模來描述一致連續性，理解半連續。

本章的主要教學內容（教學時數安排：12學時）：

§2.1實數的基本定理

§2.2一元函數的連續性

§2.3一致連續

§2.4上、下半連續

第三章 一元微分學

復習一元函數導數的基本概念、微分中值定理、Taylor公式、函數的凸性。給出例子討論微分中值定理的應用、討論帶Lagrange余項與帶Peano余項的Taylor公式在解題中的若干應用、以及用微分方法討論不等式、以及與不等式密切相關函數的凸性的問題。

通過本章的學習，學習者要熟練掌握微分導數的定義；進一步掌握微分中值定理、Taylor公式及其應用；掌握用微分方法討論不等式、以及與不等式密切相關函數的凸性的問題。

本章的主要教學內容（教學時數安排：18學時）：

§3.1導數與微分

§3.2微分學基本定理

§3.3Taylor公式

§3.4導數在研究函數上的應用

§3.5函數的凸性

第四章 一元函數的積分學

本章在復習已學過的一元函數的積分學的基本知識后，主要討論如下幾方面的內容：積分與極限、可積性、積分值的估計、積分不等式與定積分的若干綜合性問題、若干著名的不等式、反常積分。

通過本章內容的學習，學習者進一步熟練掌握一元函數的積分學的基本概念及基本性質；掌握利用積分求極限及求積分的極限；初步掌握定積分的可積性的證明；掌握利用變形求估計及積分估計的應用；掌握證明積分不等式的若干基本方法；掌握幾個著名的不等式的變形與應用；掌握反常積分的計算及其收斂性的判定。

本章的主要教學內容（教學時數安排：14學時）。

§4.1不定積分

§4.2定積分

§4.3反常積分

第五章 級數

本章復習歸納數項級數斂散性的判別法，函數列、函數項級數一致收斂的概念及其判別法，求冪級數收斂半徑、收斂域、級數和的方法，以及級數和的分析性質。并用有一定難度的例子來加深這些方面的訓練，使得學生能夠更好地掌握

這一章節的內容。

通過本章的學習，學習者進一步熟練掌握數項級數的判別法；準確理解函數項級數收斂和一致收斂的概念；熟練掌握函數項級數的一致收斂的判別法；準確理解一致收斂函數項級數的三大性質定理；理解掌握冪級數的性質，掌握冪級數的收斂區間的求法；掌握函數展成冪級數的條件，熟練掌握幾個基本初等函數的冪級數展開式；利用冪級數的性質掌握一些級數求和。

本章的主要教學內容（教學時數安排：10學時）：

§5.1數項級數

§5.2函數項級數

§5.3冪級數

第六章 多元函數的微分學

復習近平面點集、二元函數極限、連續的定義、及偏導數、全微分的定義。歸納二元函數極限的計算方法、證明二元極限不存在的常用方法；二元函數連續性的證明及應用；二元函數偏導數的計算及可微、不可微的證明。

通過本章的學習，準確理解平面點集、二元函數極限、連續的定義、及偏導數、全微分的定義。掌握二元函數極限的計算方法、證明二元極限不存在的常用方法；掌握二元函數連續性的證明及應用；掌握二元函數偏導數的計算及可微、不可微的證明。

本章的主要教學內容（教學時數安排：8學時）：

§6.1多元函數的極限與連續

§6.2多元函數的偏導數

第七章 多元積分學

復習廣義積分、含參量積分的各種斂散性判別法及含參量廣義積分的一致收斂性判別法；含參量積分及含參量廣義積分的連續性、可微性、可積性及其它們的應用；二重積分、三重積分的計算；第一類曲線積分、第一類曲面積分、第二類曲線積分、第二類曲面積分的計算；格林公式、高斯公式、斯托克司公式的應用。

通過本章的學習，掌握廣義積分、含參量積分的各種斂散性判別法及含參量廣義積分的一致收斂性判別法；掌握含參量積分及含參量廣義積分的連續性、可微性、可積性及其它們的應用；掌握二重積分、三重積分的計算；掌握第一類曲線積分、第一類曲面積分、第二類曲線積分、第二類曲面積分的計算；掌握格林公式、高斯公式、斯托克司公式的應用。

本章的主要教學內容（教學時數安排：8學時）：

§7.1含參量積分

§7.2含參量的反常積分

§7.5重積分

第四部分：教學方案簡要說明

課時計劃是每周4學時，總約80學時。教師可根據課時適當調整部分教學內容。本課程教學采用課堂講授為主，由于這門課是在已學完數學分析的基礎上

開設的選修課，因此需要學生課后復習已學過的知識，同時根據學生在論證題比較薄弱的特點，課堂上講授大量有一定難度的論證例題，拓寬學生的解題思路。本課程可以采用多媒體輔助教學。課程教學強調理解與分析，也強調應用和技能。

第五部分：課程作業與考核評價

本課程需要學生自主完成一定量的題目才能較好地達到課程教學目的，一般每次課（4學時）由教師統一布置一些思考作業，總量達到20余次，由于這些思考題有一定的難度，鼓勵學生互相討論完成。

本課程的半期考試采用寫小論文的形式，期末考試采用閉卷考試方式。考試題目的一般類型：（1）是非題或選擇題：基本概念或基本計算、分析；

（2）計算題：求極限、級數和等等；（3）理論分析證明題。

本課程總評成績由期末考試和平時學習情況兩大部分構成，平時學習情況包括：課堂表現、平時作業完成情況、半期考。成績的評定采用百分制。期末考試成績占總評成績的70%，平時學習情況占總評成績的30%。因此科任教師要重視學生平時學習情況的跟蹤、檢查和評價。

制定者：謝碧華執筆

校對者:

審定者：蘇維鋼

批準者：×××

第三篇：數學分析教案

《數學分析Ⅲ》教案編寫目錄（1—16周，96學時）

課時教學計劃（教案21-1）

課題：§21-1二重積分的概念

一、教學目的：

1．理解二重積分的概念，其中包括二重積分的定義、幾何意義和存在性。2．理解二重積分的7條性質。

二、教學重點：二重積分的概念；二重積分的存在性和性質。

三、教學難點：二重積分的定義；二重積分的存在性。

四、教學方法：多媒體、問題討論與黑板講解穿插教學。

五、教學用具：黑板、CAI課件及硬件支持

六、教學過程：

[引例]：

（約5min，語言表述）

由平面圖形的面積和曲頂柱體的體積引出二重積分的概念。?平面圖形的面積

（約40min，投影、圖示與黑板講解）

1．平面圖形面積的定義；

2．平面圖形可求面積的充分必要條件；

?二重積分的定義及其存在性

1.2.? 二重積分的定義；

二重積分存在的充分條件和必要條件。

二重積分的性質

（約25min，圖示與黑板講解）

結合二重積分的定義講解二重積分的7條性質。

? 補充例子：

（約10min，黑板講解）

1．根據二重積分的定義計算二重積分； 2．根據二重積分的性質證明不等式。

七、課程小結：

（約5min，黑板講解）

二重積分的定義；二重積分性質。

八、作業：P217習題

1，2，3，4，5，6，8。

課時教學計劃（教案21-2）

課題：§21-2直角坐標系下二重積分的計算

一、教學目的：

掌握在直角坐標系下二重積分的計算方法。

二、教學重點：直角坐標系下二重積分的計算方法。

三、教學難點：定理21.8，21.9。

四、教學方法：多媒體、問題討論與黑板講解穿插教學。

五、教學用具：黑板、CAI課件及硬件支持

六、教學過程：

[引例]：

由曲頂柱體的體積引出二重積分計算的直觀概念。? 定理21.8，21.9的證明

?

X型、y型區域的講解及其定理21.10的證明

? 直角坐標系下二重積分的計算舉例

教材中例1—例4。

? 補充例子：

利用二重積分計算體積；

七、課程小結：

直角坐標系下二重積分的計算。

八、作業：P222習題

1，2，3，4，5，6，8。

（約5min，語言表述）

15min，投影、圖示與黑板講解）

（約25min，圖示與黑板講解）

（約30min，圖示與黑板講解）

（約20min，黑板講解）

（約5min，黑板講解）

（約

課時教學計劃（教案21-3）

課題：二重積分的概念與計算習題課

一、教學目的：

1．鞏固二重積分的概念，其中包括二重積分的定義、幾何意義和存在性。2．鞏固在直角坐標系下二重積分的計算方法。

二、教學重點：直角坐標系下二重積分的計算方法。

三、教學難點：直角坐標系下二重積分的計算方法。

四、教學方法：多媒體、問題討論與黑板講解穿插教學。

五、教學用具：黑板、CAI課件及硬件支持

六、教學過程：

? 二重積分的概念與性質

（約95min，投影、圖示與黑板講解）

1．二重積分的概念復習； 2．二重積分的性質復習。

?

二重積分的計算

1.2.利用二重積分的定義和限制計算二重積分和某些不等式； 在直角坐標系下計算二重積分。

七、課程小結：

（約5min，黑板講解）

二重積分的定義；二重積分性質；二重積分的計算。

八、作業：P278

總練習題

1，2。

課時教學計劃（教案21-4）

課題：§21-3格林公式、曲線積分與路線的無關性

一、教學目的：

1.理解格林公式；

2.掌握格林公式在計算二重積分和曲線積分的方法。3.掌握曲線積分與路線無關的條件和應用方法。

二、教學重點：格林公式的理解和方法。

三、教學難點：定理21.11，21.12。

四、教學方法：多媒體、問題討論與黑板講解穿插教學。

五、教學用具：黑板、CAI課件及硬件支持

六、教學過程：

? 格林公式，定理21.11的證明

?

例1—例3的講解

? 曲線積分與路線的無關性，定理21.12的證明

例4的講解。

? 補充例子：

利用二重積分計算曲線積分。

七、課程小結：

格林公式與曲線積分與路徑無關的概念。

八、作業：P231習題

1，2，3，4，5，6，8。

15min，投影、圖示與黑板講解）

（約25min，圖示與黑板講解）

（約30min，圖示與黑板講解）

（約20min，黑板講解）

（約5min，黑板講解）

（約

課時教學計劃（教案21-5）

課題：§21-4二重積分的變量變換

一、教學目的：

1.理解二重積分的變量變換的基本思想；

2.3.掌握二重積分變量變換的方法特別是極坐標變換。掌握在極坐標系下計算二重積分的方法。

二、教學重點：二重積分的變量變換。

三、教學難點：引理和定理21.13，21.14。

四、教學方法：多媒體、問題討論與黑板講解穿插教學。

五、教學用具：黑板、CAI課件及硬件支持

六、教學過程：

? 二重積分的變量變換公式

（約15min，投影、圖示與黑板講解）

?

引理證明，定理21.13證明，例1，例2講解

（約25min，圖示與黑板講解）

? ? 用極坐標計算二重積分，定理21.14證明

（約20min，圖示與黑板講解）二重積分在極坐標系下化為累次積分，例3，例4，例5，例6講解

（約35min，圖示與黑板講解）

七、課程小結：

（約5min，黑板講解）

二重積分的變量變換，在極坐標系下計算二重積分的方法。

八、作業：P242習題

1，2，3，4，5。

課時教學計劃（教案21-6）

課題：格林公式、曲線積分與路線的無關性

及積分變換習題課

一、教學目的：

1.2.鞏固格林公式、曲線積分與路線的無關性及積分變換；

鞏固格林公式、曲線積分與路線的無關性及積分變換的計算方法。

二、教學重點：格林公式、曲線積分與路線的無關性及積分變換

三、教學難點：格林公式、曲線積分與路線的無關性及積分變換

四、教學方法：多媒體、問題討論與黑板講解穿插教學。

五、教學用具：黑板、CAI課件及硬件支持

六、教學過程：

? 講解格林公式、曲線積分與路線的無關性的計算題

（約95min，投影、圖示與黑板講解）

?

講解積分變換的計算題

七、課程小結：

（約5min，黑板講解）

二重積分的定義；二重積分性質；二重積分的計算。

八、作業：P243

總練習題

7，8 6

課時教學計劃（教案21-7）

課題：§21-5 三重積分

一、教學目的：

1.2.3.理解三重積分的概念；

掌握化三重積分為累次積分的方法； 掌握三重積分換元法。

二、教學重點：三重積分換元法

三、教學難點：定義和定理21.15

四、教學方法：多媒體、問題討論與黑板講解穿插教學。

五、教學用具：黑板、CAI課件及硬件支持

六、教學過程：

? 三重積分的定義

（約15min，投影、圖示與黑板講解）

?

定理21.15證明，例1，例2講解

（約25min，圖示與黑板講解）

? ? 三重積分還原公式，柱面坐標變換，球面坐標變換（約20min，圖示與黑板講解）例3，例4，例5講解

（約35min，圖示與黑板講解）

七、課程小結：

（約5min，黑板講解）

三重積分的定義，在直角坐標、柱面坐標、球面坐標下計算三重積分的方法。

八、作業：P251習題

1，2，3，4，5。

課時教學計劃（教案21-8）

課題：§21-6 重積分的應用

一、教學目的：

1.2.3.掌握重積分在求曲面面積的應用； 了解重積分在重心的應用； 了解重積分在轉動慣量的應用。

二、教學重點：重積分求曲面面積

三、教學難點：運用重積分公式求解曲面面積

四、教學方法：多媒體、問題討論與黑板講解穿插教學。

五、教學用具：黑板、CAI課件及硬件支持

六、教學過程：

[引例]：

（約5min，語言表述）

由曲面的面積引出重積分的應用。

?

建立曲面面積的計算公式

（約40min，圖示與黑板講解）

? ? 例1講解

（約35min，圖示與黑板講解）簡單介紹重積分在重心、轉動慣量的應用

（約15min，圖示與黑板講解）

七、課程小結：

（約5min，黑板講解）

曲面面積的概念，重積分在計算曲面面積、重心、轉動慣量中的應用。

八、作業：P259 1，2。

課時教學計劃（教案21-9）

課題：§21-8 反常二重積分

一、教學目的：

掌握反常二重積分及其計算

二、教學重點：反常二重積分及其計算

三、教學難點：反常二重積分及其計算

四、教學方法：多媒體、問題討論與黑板講解穿插教學。

五、教學用具：黑板、CAI課件及硬件支持

六、教學過程：

?

無界區域上的二重積分

（約10min，圖示與黑板講解）

? ? ? ? 定理21.16，定理21.17的證明

（約40min，圖示與黑板講解）例1的講解

（約15min，圖示與黑板講解）定理21.18，定理21.19

（約15min，圖示與黑板講解）無界函數上的二重積分及定理21.20

（約15min，圖示與黑板講解）

七、課程小結：

（約5min，黑板講解）

曲面面積的概念，重積分在計算曲面面積、重心、轉動慣量中的應用。

八、作業：P272 1，2，3。

課時教學計劃（教案21-10）

課題：三重積分及重積分的應用習題課

一、教學目的：

1.鞏固三重積分的概念，其中包括三重積分的定義、幾何意義和存在性。2.鞏固在直角坐標系下三重積分的計算方法。3.鞏固化三重積分為累次積分的方法。4.鞏固三重積分換元法。

二、教學重點：直角坐標系下三重積分的計算方法。

三、教學難點：三重積分換元法

四、教學方法：多媒體、問題討論與黑板講解穿插教學。

五、教學用具：黑板、CAI課件及硬件支持

六、教學過程：

? 二重積分的概念與性質

1.三重積分的概念復習； 2.三重積分的性質復習。

?

三重積分的計算

1.化三重積分為累次積分；

2.在柱面坐標、球面坐標下計算三重積分； 3.計算曲面面積。

七、課程小結：

三重積分的定義；三重積分性質；三重積分的計算。

八、作業：P278

總練習題

15min，投影、圖示與黑板講解）

（約80min，投影、圖示與黑板講解）

（約5min，黑板講解）

（約

課時教學計劃（教案22-1）

課題：§22-1第一型曲面積分

一、教學目的：

1.2.第一型曲面積分的概念。第一型曲面積分的計算。

二、教學重點：第一型曲面積分計算

三、教學難點：第一型曲面積分計算

四、教學方法：多媒體、問題討論與黑板講解穿插教學。

五、教學用具：黑板、CAI課件及硬件支持

六、教學過程：

[引例]：

（約5min，語言表述）

由求曲面的質量引出第一型曲面積分的概念。

? 第一型曲面積分的概念

（約25min，投影、圖示與黑板講解）

?

第一型曲面積分的計算

1.2.定理22.1第一型曲面積分計算公式

（約30min，投影、圖示與黑板講解）例1，例2的求解

（約35min，投影、圖示與黑板講解）

七、課程小結：

（約5min，黑板講解）

第一型曲面積分的定義；第一型曲面積分的計算。

八、作業：P282 1，2，3，4

課時教學計劃（教案22-2）

課題：§22-2第二型曲面積分

一、教學目的：

1.2.第二型曲面積分的概念。第二型曲面積分的計算。

二、教學重點：第二型曲面積分計算

三、教學難點：第二型曲面積分計算

四、教學方法：多媒體、問題討論與黑板講解穿插教學。

五、教學用具：黑板、CAI課件及硬件支持

六、教學過程：

[引例]：

（約5min，語言表述）

由求流量問題引出第二型曲面積分的概念。

? 第二型曲面積分的概念

（約25min，投影、圖示與黑板講解）

?

第二型曲面積分的計算

1.2.3.定理22.2第二型曲面積分計算公式

（約30min，投影、圖示與黑板講解）例1，例2的求解

（約35min，投影、圖示與黑板講解）

簡單介紹兩類曲面積分的聯系

七、課程小結：

（約5min，黑板講解）

第二型曲面積分的定義；第二型曲面積分的計算。

八、作業：P289 1，2 12 課時教學計劃（教案22-3）

課題：第一、二型曲面積分復習課

一、教學目的：

1.2.鞏固第一型曲面積分、第二型曲面積分的概念。鞏固第一型曲面積分、第二型曲面積分的計算。

二、教學重點：第一、二型曲面積分計算

三、教學難點：第一、二型曲面積分計算

四、教學方法：多媒體、問題討論與黑板講解穿插教學。

五、教學用具：黑板、CAI課件及硬件支持

六、教學過程：

? 第一、二型曲面積分的概念

（約10min，投影、圖示與黑板講解）

?

第一、二型曲面積分的計算

1.2.習題鞏固第一、二型曲面積分計算公式

（約75min，投影、圖示與黑板講解）簡單介紹兩類曲面積分的聯系

（約10min，投影、圖示與黑板講解）

七、課程小結：

（約5min，黑板講解）

第一、二型曲面積分的定義；第一、二型曲面積分的計算。

八、作業：P305 1，2

課時教學計劃（教案22-4）

課題：§22-3高斯公式與斯托克斯公式

一、教學目的：

1.2.掌握高斯公式 掌握斯托克斯公式

二、教學重點：高斯公式與斯托克斯公式

三、教學難點：高斯公式與斯托克斯公式

四、教學方法：多媒體、問題討論與黑板講解穿插教學。

五、教學用具：黑板、CAI課件及硬件支持

六、教學過程：

? 高斯公式的重要意義

（約5min，投影、圖示與黑板講解）

?

高斯公式

1.2.? 定理22.3證明

（約25min，投影、圖示與黑板講解）例1的求解

（約15min，投影、圖示與黑板講解）

斯托克斯公式的重要意義

（約5min，投影、圖示與黑板講解）

?

斯托克說公式

1.2.3.定理22.4證明

（約15min，投影、圖示與黑板講解）例2的求解

（約10min，投影、圖示與黑板講解）

定理22.5及例3

（約20min，投影、圖示與黑板講解）

七、課程小結：

（約5min，黑板講解）

高斯公式與斯托克斯公式；高斯公式與斯托克斯公式的計算

八、作業：P296 1，2，3，4 14 課時教學計劃（教案22-5）

課題：§22-4場論初步

一、教學目的：

1.2.了解場的概念 掌握梯度場、散度場

二、教學重點：梯度場、散度場

三、教學難點：梯度場、散度場

四、教學方法：多媒體、問題討論與黑板講解穿插教學。

五、教學用具：黑板、CAI課件及硬件支持

六、教學過程：

? 場的概念、向量場線

（約15min，投影、圖示與黑板講解）

?

梯度場的定義及其基本性質

（約20min，投影、圖示與黑板講解）?

例1求解

（約15min，投影、圖示與黑板講解）

? 散度場的定義及其基本性質

（約20min，投影、圖示與黑板講解）

?

例2求解

（約15min，投影、圖示與黑板講解）?

了解其他場

（約10min，投影、圖示與黑板講解）

七、課程小結：

（約5min，黑板講解）

場的概念；梯度場、散度場。

八、作業：P296 1，2，3，4。

課時教學計劃（教案22-6）

課題：高斯公式與斯托克斯公式和場論初步復習課

一、教學目的：

1.2.鞏固高斯公式與斯托克斯公式 鞏固梯度場、散度場

二、教學重點：高斯公式與斯托克斯公式

三、教學難點：高斯公式與斯托克斯公式

四、教學方法：多媒體、問題討論與黑板講解穿插教學。

五、教學用具：黑板、CAI課件及硬件支持

六、教學過程：

? 高斯公式與斯托克斯公式

（約15min，投影、圖示與黑板講解）

?

高斯公式與斯托克斯公式的計算

（約65min，投影、圖示與黑板講解）?

復習場論知識

（約15min，黑板講解）

七、課程小結：

（約5min，黑板講解）

高斯公式與斯托克斯公式；高斯公式與斯托克斯公式的計算； 場的概念；梯度場、散度場。

八、作業：P305 3，4。

第四篇：數學分析 教案

第九章

空間解析幾何

教學目標：

1．理解空間直角坐標系的概念,掌握兩點間的距離公式.2．理解向量的概念、向量的模、單位向量、零向量與向量的方向角、方向余弦概念.3．理解向量的加法、數乘、點積與叉積的概念.4．理解基本單位向量，熟練掌握向量的坐標表示，熟練掌握用向量的坐標表示進行向量的加法、數乘、點積與叉積的運算.5．理解平面的點法式方程和空間直線的點向式方程（標準方程）、參數方程，了解平面和空間直線的一般式方程.6．理解曲面及其方程的關系，知道球面、柱面和旋轉曲面的概念，掌握球面、以坐標軸為旋轉軸、準線在坐標面上的旋轉曲面及以坐標軸為軸的圓柱面和圓錐面的方程及其圖形.7．了解空間曲線及其方程，會求空間曲線在坐標面內的投影.8．了解橢球面、橢圓拋物面等二次曲面的標準方程及其圖形.教學重點：向量的概念，向量的加法、數乘、點積與叉積的概念，用向量的坐標表示進行向量的加法、數乘、點積與叉積的運算，平面的點法式方程，空間直線的標準式方程和參數方程，球面、以坐標軸為軸的圓柱面和圓錐面方程及其圖形，空間曲線在坐標面內的投影.教學難點：向量的概念，向量的點積與叉積的概念與計算，利用向量的點積與叉積去建立平面方程與空間直線方程的方法，利用曲面的方程畫出空間圖形.教學方法：講授為主的綜合法 教學學時：14學時 教學手段：板書

學法建議：解析幾何的實質是建立點與實數有序數組之間的關系，把代數方程與曲線、曲面對應起來，從而能用代數方法研究幾何圖形建議在本章的學習中，應注意對空間圖形想象能力的培養，有些空間圖形是比較難以想像和描繪的，這是學習本章的一個難點.為了今后學習多元函數重積分的需要，同學們應自覺培養這方面的能力.參考資料： 使用教材：《高等數學》（第三版），高職高專十一五規劃教材，高等教育出版社，2011年5月，侯**主編.參考教材： 1.《高等數學》，21世紀高職高專精品教材，北京理工大學出版社，2005年5月，宋立溫等主編.2.《高等數學》，教育部高職高專規劃教材，高等教育出版社，2006年4月，盛祥耀主編.3.《高等數學》，第五版.同濟大學數學教研室編，高等教育出版社.4.《高等數學應用205例》，李心燦編，1986年，高等教育出版社.5.《高等數學》，宋立溫等主編，21世紀高職高專精品教材，北京理工大學出版社，2005年5月.第一節 空間直角坐標系與向量的概念

教學目標：

1．理解空間直角坐標系的概念,掌握兩點間的距離公式.2．理解向量的概念、向量的模、單位向量、零向量與向量的方向角、方向余弦概念.3．理解向量的加法、數乘、點積與叉積的概念.4．理解基本單位向量，熟練掌握向量的坐標表示，熟練掌握用向量的坐標表示進行向量的加法、數乘的運算.教學重點：向量的概念，向量的加法、數乘的概念，用向量的坐標表示進行向量的加法、數乘的運算.教學難點：向量的概念.教學方法：講授為主的綜合法 教學學時：2學時 教學手段：板書

一、引入新課（3分鐘）

(提問)舉幾個既有大小又有方向的量.(溫故知新,進行一些必要知識鋪墊。)

二、講授新課（72分鐘）

（一）空間直角坐標系（17分鐘）

在空間,使三條數軸相互垂直且相交于一點O，這三條數軸分別稱為x軸、y軸和z軸，一般是把x軸和y軸放置在水平面上，z軸垂直于水平面.z軸的正向按下述法則規定如下：伸出右手，讓四指與大拇指垂直，并使四指先指向x軸的正向，然后讓四指沿握拳方向旋轉090指向y軸的正向，這時大拇指所指的方向就是z軸的正向(該法則稱為右手法則).這樣就組成了右手空間直角坐標系Oxyz.在此空間直角坐標系中，x軸稱為橫軸，y軸稱為縱軸，簡稱坐標面.x軸與yz軸稱為豎軸，O稱為坐標原點;每兩軸所確定的平面稱為坐標平面，軸所確定的坐標面稱為xOy坐標面，類似地有yOz坐標面，zOx坐標面。這些坐標面把空間分為八個部分，每一部分稱為一個卦限.在空間直角坐標系中建立了空間的一點M與一組有序數(x,y,z)之間的一一對應關系。有序數組(x,y,z)稱為點M的坐標；x,y,z分別稱為x坐標，y坐標，z坐標.(提問)根據點的坐標的規定，點（0,0,c）在哪條坐標軸上，點（a，b，0）(a,0,c)在哪個坐標面上？（目的在于檢驗學生能否正確理解點與有序數組的對應關系，并在問題中正確應用.）

（二）向量的基本概念及線性運算（15分鐘）1.向量的基本概念

（此部分內容在高中階段已學，故可由教師引導，師生共同回憶完成）⑴向量的定義：既有大小，又有方向的量，稱為向量或矢量．

?⑵向量的模：向量的大小稱為向量的模，用a或AB表示向量的模． ⑶單位向量 模為1的向量稱為單位向量． ⑷零向量 模為０的向量稱為零向量，零向量的方向是任意的.⑸向量的相等 大小相等且方向相同的向量稱為相等的向量.⑹自由向量 在空間任意地平行移動后不變的向量,稱為自由向量.2.向量的線性運算 ⑴ 向量的加法

① 三角形法則 若將向量a的終點與向量b的起點放在一起，則以a的起點為起點，以b的終點為終點的向量稱為向量a與b的和向量，記為a?b.這種求向量和的方法稱為向量加法的三角形法則.②平行四邊形法則 將兩個向量a和b的起點放在一起，并以a和b為鄰邊作平行四邊形，則從起點到對角頂點的向量稱為a?b.這種求向量和的方法稱為向量加法的平行四邊形法則.向量的加法滿足下列運算律.交換律：a?b=b?a； 結合律：（a?b）+c=a+（b+c）.⑵ 向量與數的乘法運算

實數?與向量a的乘積是一個向量，稱為向量a與數?的乘積，記作?a，并且規定：

①?a?? a；

②當??0時，?a與a的方向相同；當??0時，?a與a的方向相反； ③當??0時，?a是零向量.設?,?都是實數，向量與數的乘法滿足下列運算律：

結合律：?(?a)?(??)a??(?a)；

分配律：(???)a??a??a , ?(a+b)=?a+?b.向量的加法運算和向量與數的乘法運算統稱為向量的線性運算.⑶ 求與a同向的單位向量的方法 設向量a是一個非零向量，則與a同向的單位向量

ea?a.a ⑷ 負向量 當???1時，記(-1)a=-a，則-a與a的方向相反，模相等，-a稱為向量a的負向量.⑸ 向量的減法 兩向量的減法（即向量的差）規定為 a-b=a +(-1)b.向量的減法也可按三角形法則進行，只要把a與b的起點放在一起，a-b即是以b的終點為起點，以a的終點為終點的向量.（三）向量的坐標表示（40分鐘）

1、向徑及其坐標表示

⑴ 基本單位向量 i,j,k分別為與x軸,y軸,z軸同向的單位向量.⑵ 向徑及其坐標表示

向徑 終點為P的向量OP稱為點P的向徑,記為OP.點P(a1,a2,a3)的向徑OP的坐標表達式為OP=a1i?a2j?a3k或簡記為 OP={a1,a2,a3}.講解例1（教師分析，師生共同完成本題目的求解，目的在于檢驗學生能否正確應用向徑的坐標表示.）

2、向量M1M2的坐標表示

設以M1(x1,y1,z1)為起點,以M2(x2,y2,z2)為終點的向量M1M2的坐標表達式為 M1M2=(x2?x1)i?(y2?y1)j?(z2?z1)k.講解例2（教師分析，師生共同完成本題目的求解，目的在于檢驗學生能否正確應用向量M1M2的坐標表示.）

3、向量a?a1i?a2j?a3k的模 a=a1?a2?a3.4、空間兩點間距離公式

?222點M1(x1,y1,z1)與點M2(x2,y2,z2)間的距離記為d(M1M2),則d(M1M2)?M1M2, 而M1M2=(x2?x1)i?(y2?y1)j?(z2?z1)k 所以d(M1M2)?(x2?x1)2?(y2?y1)2?(z2?z1)2

講解例

3、例4（學生講解，考察學生對所學知識進行運用的情況）5.坐標表示下的向量運算

設a?a1i?a2j?a3k，b?b1i?b2j?b3k，則有（1）a?b?(a1?b1)i?(a2?b2)j?(a3?b3)k；（2）a?b?(a1?b1)i?(a2?b2)j?(a3?b3)k；（3）?a??(a1i?a2j?a3k)??a1i??a2j??a3k；（4）a?b?a1?b1,a2?b2,a3?b3（5）a∥b?a=?b?a1a2a3??.b1b2b3引導學生看書、探究證明方法.由老師分析歸納證明思路，指出定理的作用與用法.講解例5（師生共同完成，讓學生熟悉解題過程，旨在規范學生解題步驟，培養科學的學習方法與態度）

三、課堂練習（9分鐘）教材169頁1—5題.（檢驗學習效果，讓學生在會的基礎上，訓練解題速度。旨在訓練學生總結數學思想的能力，并在學習中注意這些數學思想的應用）

四、內容小結（4分鐘）

（教師引導學生一起完成，讓學生學會總結歸納）

（一）空間直角坐標系

（二）向量的基本概念及線性運算 1.向量的基本概念 2.向量的線性運算

（三）向量的坐標表示 1.向徑及其坐標表示 2.向量M1M2的坐標表示

3.向量a?a1i?a2j?a3k的模 a=a1?a2?a3.4.空間兩點間距離公式 5.坐標表示下的向量運算

五、布置作業(2分鐘)1.教材169頁2、4、6題

2.預習第二節向量的點積與叉積

222第二節 向量的點積與叉積

教學目標：熟練掌握用向量的坐標表示進行向量點積與叉積的運算.教學重點：向量點積與叉積的概念.教學難點：用向量的坐標表示進行向量點積與叉積的運算.教學方法：講授為主的綜合法 教學學時：2學時 教學手段：板書

一、引入新課（5分鐘）

(提問)1.向徑及其坐標表示2.向量M1M2的坐標表示3.向量a?a1i?a2j?a3k的模

222?a2?a34.空間兩點間距離公式 a=a1(溫故知新,為用向量的坐標表示進行向量點積與叉積的運算做一些必要的知識鋪墊。)

二、講授新課（64分鐘）

（一）向量的點積（34分鐘）

1、引例

已知力F與x軸正向夾角為?，其大小為F,在力F的作用下，一質點M沿x軸由x=a移動到x=b,求力F所做的功？（創設學習的情景，激發學生學習數學的興趣）

分析：在力F使質點M沿x軸由x=a移動到x=b,所做的功等于F的模與位移的模及其夾角余弦的積.解略.這個特殊問題中得出的關系是否具有普遍意義？引起思維的碰撞，引出向量的點積的定義.2、定義 設向量a,b之間的夾角為?(0???π)，則稱abcos?為向量a與b的數 量積，記作a·b，即 a·b=abcos?.向量的點積又稱“點積”或“內積”.講解例1.（教師分析，師生共同完成本題目的求解，目的在于檢驗學生能否正確理解向量的點積的定義.）

向量的點積還滿足下列運算律: 交換律：a·b= b·a；

分配律：(a+b)·c= a·c+b·c；

結合律：?(a·b)=(?a)·b(其中?為常數).3、點積的坐標表示

（1）設a?a1i?a2j?a3k，b?b1i?b2j?b3k,則a·b=a1b1?a2b2?a3b3.（由學生自行得出點積的坐標表示公式，進一步加深對向量點積的定義的理解）（2）定理1：a⊥b?a?b?0?a1b1?a2b2?a3b3?0

講解例2.（學生講解，考察學生對兩向量正交充分必要條件的理解與應用能力）

4、向量a與b的夾角余弦

設a?a1i?a2j?a3k，b?b1i?b2j?b3k,則 cos??a1b1?a2b2?a3b3a?b =(0???π).222222aba1?a2?a3b1?b2?b35、向量的方向余弦

設 向 量 a?a1i?a2j?a3k與 x 軸 ,y 軸 ,z 軸 的 正 向 夾 角 分 別 為

?,?,?(0??,?,??π),稱其為向量a的三個方向角，并稱cos? ,cos?,cos?為a的方向余弦，向量a的方向余弦的坐標表示為

cos??且cos2??cos2a1a?a?a212223, cos??a2a?a?a212223, cos??a3a?a?a212223，??cos2??1.講解例4（（師生共同完成.利用數學建模解決物理問題，讓學生熟悉建模過程，規范解題步驟.數學來源于生活、服務生活，培養學生學數學、用數學的意識.）

（二）向量的叉積（30分鐘）1.引例

設點O為一杠桿的支點，力F作用于杠桿上點P處，求力F對支點O的力矩.分析：力F對支點O的力矩等于F的模與向量OP的模及其夾角正弦的積.解略.（這個特殊問題中得出的關系是否具有普遍意義？引起思維的碰撞，引出向量的叉積的定義.）

2.叉積的定義

(1)定義 兩個向量a與b的叉積是一個向量，記作a×b，它的模和方向分別規定如下：

①a×b=absin? 其中?是向量a與b的夾角；

②a×b的方向為既垂直于a又垂直于b，并且按順序a,b,a×b符合右手法則.（2）向量的叉積滿足如下運算律.反交換律：a×b=-b×a；

分配律：(a+b)×c=a×c+b×c；

結合律：?(a×b)=(?a)×b=a×(?b)(其中?為常數).講解例5（學生講解，考察學生對向量叉積定義的理解與應用能力）（3）定理2：a∥b?a?b?0.3.叉積的坐標表示

設a?a1i?a2j?a3k，b?b1i?b2j?b3k，則

a×b=(a2b3?a3b2)i?(a1b3?a3b1)j?(a1b2?a2b1)k.可將a×b表示成一個三階行列式的形式，計算時，只需將其按第一行展開即可.即

i j k a×b= a1 a2 a3.b1 b2 b3

講解例6（師生共同完成，加深學生對叉積的坐標表示公式的記憶，讓學生熟悉解題過程，旨在規范學生解題步驟，培養科學的學習方法與態度）

講解例8(師生共同完成，訓練學生解決實際問題的能力)

三、課堂練習（15分鐘）

教材174頁思考題1—3題.（檢驗學習效果，讓學生在會的基礎上，訓練解題速度.）

四、內容小結（4分鐘）

（教師引導學生一起完成，讓學生學會總結歸納，訓練學生總結數學思想的能力，并在學習中注意這些數學思想的應用.）

（一）向量的點積定義、坐標表示；

（二）向量的叉積定義、坐標表示及記憶方法.五、布置作業(2分鐘)1.教材174頁2、4、6、8題 2.預習第三節平面與直線

第五篇：《數學分析》教案

《數學分析》教案

S F 01(數)

C h0 數學分析課程簡介

C h 1 實數集與函數

計劃課時： Ch 0

2時

Ch 1

6時

P 1—8

說 明：

1．這是給數學系2001屆學生講授《數學分析》課編制的教案.該課程開設兩學期, 總課時為1 8 0 學時, 是少課時型教案（后來又開設了一學期，增加了8 0 學時）.按照學分制的要求, 只介紹數學分析最基本的內容.本教案共2 7 9頁，分2 1章.2.取材的教材: [1] 華東師范大學數學系編，數學分析，高等教育出版社，1996；

[2] 鄭英元，毛羽輝，宋國東，數學分析習題課教程，高等教育出版社，1991； [3] 馬振民，數學分析的方法與技巧選講，蘭州大學出版社，1999； [4] 馬振民，呂克璞，微積分習題類型分析, 蘭州大學出版社，1999； [5] W.Rudin, Principles of mathematical analysis, 1964.Ch 0

數學分析課程簡介(2 時)一.數學分析(mathematical analysis)簡介:

1.背景: 從切線、面積、計算sin32?、實數定義等問題引入.2.極限(limit)—— 變量數學的基本運算：

3.數學分析的基本內容：數學分析以極限為基本思想和基本運算研究實變實值

函數.主要研究微分(differential)和積分(integration)兩種特殊的極限運算,利用這兩種運算從微觀和宏觀兩個方面研究函數, 并依據這些運算引進并研究一些非初等函數.數學分析基本上是連續函數的微積分理論.微積運算是高等數學的基本運算.數學分析與微積分(calculus)的區別..二． 數學分析的形成過程：

1． 孕育于古希臘時期： 在我國，很早就有極限思想.紀元前三世紀, Archimedes 就有了積分思想.2.十七世紀以前是一個漫長的醞釀時期,是微積分思想的發展、成果的積累時期: 3． 十七世紀下半葉到十九時紀上半葉 —— 微積分的創建時期: 參閱《數學分

析選講》講稿(1997.8.10.)第三講P72.4.十九時紀上半葉到二十時紀上半葉 —— 分析學理論的完善和重建時期：參閱 《數學分析選講》講稿第三講P72—75.三.數學分析課的特點:

邏輯性很強, 很細致, 很深刻;先難后易, 是說開頭四章有一定的難度, 倘能努力學懂前四章(或前四章的8000), 后面的學習就會容易一些;只要在課堂上專心聽講, 一般是可以聽得懂的, 但即便能聽懂,習題還是難以順利完成.這是因為數學分析技巧性很強, 只了解基本的理論和方法, 不輔以相應的技巧, 是很難順利應用理論和方法的.論證訓練是數學分析課基本的,也是重要的內容之一, 也是最難的內容之一.一般懂得了證明后，能把證明準確、嚴密、簡練地用數學的語言和符號書寫出來，似乎是更難的一件事.因此, 理解證明的思維方式, 學習基本的證明方法, 掌握敘述和書寫證明的一般語言和格式, 是數學分析教學貫穿始終的一項任務.有鑒于此, 建議的學習方法是: 預習, 課堂上認真聽講, 必須記筆記, 但要注意以聽為主, 力爭在課堂上能聽懂七、八成.課后不要急于完成作業, 先認真整理筆記, 補充課堂講授中太簡或跳過的推導, 閱讀教科書, 學習證明或推導的敘述和書寫.基本掌握了課堂教學內容后, 再去做作業.在學習中, 要養成多想問題的習慣.四.課堂講授方法:

1.關于教材: 沒有嚴格意義上的教科書.這是大學與中學教學不同的地方, 本課程主要從以下教科書中取材:

[1] 華東師范大學數學系編，數學分析，高等教育出版社，1996；

[2] 鄭英元，毛羽輝，宋國東，數學分析習題課教程，高等教育出版社，1991；

[3] 馬振民，數學分析的方法與技巧選講，蘭州大學出版社，1999；

[4] 馬振民，呂克璞，微積分習題類型分析, 蘭州大學出版社，1999；

[5] W.Rudin, Principles of mathematical analysis, 1964.本課程基本按[1]的邏輯順序, 主要在[1]、[4]、[3]中取材.在講授中, 有時會指出所講內容的出處.本課程為適應課時少和學分制的要求，只介紹數學分析最基本的內容.因此刪去了[1]中第八、十五、十九和二十二等四章，相應的內容作為選修課將在學完數學分析課之后開設.2.內容多, 課時緊: 大學課堂教學與中學不同的是, 這里每次課介紹的內容很多, 因此, 內容重復的次數少, 講課只注重思想性與基本思路, 具體內容或推導, 特別是同類型或較簡的推理論證及推導計算, 可能講得很簡, 留給課后的學習任務一般很重.3.講解的重點: 概念的意義與理解, 幾何直觀, 理論的體系, 定理的意義、條件、結論.定理證明的分析與思路, 具有代表性的證明方法, 解題的方法與技巧.某些精細概念之間的本質差別.在第一、二章教學中, 可能會寫出某些定理證明, 以后一般不會做特別具體的證明敘述.五.要求、輔導及考試：

1.學習方法: 盡快適應大學的學習方法, 盡快進入角色.課堂上以聽為主, 但要做課堂筆記.課后一定要認真復習消化, 補充筆記.一般課堂教學與課外復習的時間比例應為1 : 3(國外這個比例通常是 1 : 4.參《西北師大報》№191，2000.9.30.第二版:

本科節段如何培養高素質創新人材 ——

伯利克大學的啟示.注: 伯利克大學乃美國加州大學伯利克分校.)對將來從事數學教學工作的師范大學本科生來說, 課堂聽講的內容應該更為豐富:

要認真評價教師的課堂教學, 把教師在課堂上的成功與失敗變為自己的經驗.這對未來的教學工作是很有用的.2.作業:

作業以[1]的練習題中劃線以上的部分習題和[4]中的計算題為主要內容.大體上每兩周收一次作業, 一次收清.每次重點檢查作業總數的三分之一.作業的收交和完成情況有一個較詳細的登記, 缺交作業將直接影響學期總評成績.作業要按數學排版格式書寫恭整.要求活頁作業, 最好用西北師大稿紙.要有作業封面, 尺寸為19.5?27.5cm.作業布置方式: [1]P…, [4]P…

3.輔導: 大體每周一次, 第一學期要求輔導時不缺席.4.考試: 按學分制的要求, 只以最基本的內容進行考試, 大體上考課堂教學和所布置作業的內容, 包括[1]和[4]中的典型例題.考試題為標準化試題.Ch 1 實數集與函數(6時)

§ 1

實數集與確界（3時）

一．

實數集R：回顧中學中關于實數集的定義.1.四則運算封閉性: 2.三歧性(即有序性): 3.Rrchimedes性: ?a,b?R, b?a?0, ?n?N, ? na?b.4.稠密性: 有理數和無理數的稠密性, 給出稠密性的定義.5.實數集的幾何表示 ─── 數軸: 6.兩實數相等的充要條件: a?b, ? ???0, a?b ? ?.7.區間和鄰域:

二.幾個重要不等式:

1.絕對值不等式: 定義 a ?max??a , a ?.[1]P2 的六個不等式.2.其他不等式:

⑴ a2?b2?2ab, sinx ? 1.sinx ? x.⑵

均值不等式: 對?aa?1,a2,?,n?R, 記

M(aa1?a2???anni)? n? 1n?ai,(算術平均值)

i?11n

G(ai)?na?1a2?an??n???ai??,(幾何平均值)?i?1?

H(ai)?n1?1n?nna?1???111?1.(調和平均值)1a2ann?i?1aii?1ai有平均值不等式:

H(ai)? G(ai)? M(ai),等號當且僅當a1?a2???an時成立.⑶

Bernoulli 不等式:(在中學已用數學歸納法證明過)?x??1,有不等式(1?x)n?1?nx, n?N.當x??1 且 x?0, n?N且n?2時, 有嚴格不等式(1?x)n?1?nx.(現采用《數學教學研究》1991.№ 1馬德堯文 “均值不等式妙用兩則”中的證明)證 由 1?x?0且1?x?0, ?(1?x)n?n?1?(1?x)n?1?1???1? ?n n(1?x)n?n(1?x).?(1?x)n?1?nx.⑷ 利用二項展開式得到的不等式: 對?h?0, 由二項展開式(1?h)n?1?nh?n(n?1)2!h?2n(n?1)(n?2)3!h???h，3n 有(1?h)n?上式右端任何一項.三.有界數集與確界原理: 1.有界數集:

定義(上、下有界, 有界)，閉區間、(a,b)(a,b為有限數）、鄰域等都是有界數集，集合 E??y y?sinx, x?(?? , ??)?也是有界數集.無界數集: 定義,(?? , ??),(?? , 0),(0 , ??)等都是無界數集，??1?, x?(0 , 1)?也是無界數集.x?集合 E??y y?2.確界: 給出直觀和刻畫兩種定義.n?(?1)

例

1⑴

S??1?n???,則supS?______, infS?_______.?

⑵ E??y y?sinx, x?(0,?)?.則

supE?________, infE?_________.例2 非空有界數集的上（或下）確界是唯一的.例3 設S和A是非空數集，且有S?A.則有 supS?supA, infS?infA..例4 設A和B是非空數集.若對?x?A和?y?B,都有x?y, 則有

supA?infB.證 ?y?B, y是A的上界, ? supA?y.? supA是B的下界, ? supA?infB.例5 A和B為非空數集, S?A?B.試證明: infS?min? infA , infB ?.證

?x?S,有x?A或x?B, 由infA和infB分別是A和B的下界,有

x?infA或x?infB.? x?min? infA , infB ?.即min? infA , infB ?是數集S的下界, ? infS?min? infA , infB ?.又S?A, ? S的下界就是A的下界,infS是S的下界, ? infS是A的下界, ? infS?infA;同理有infS?infB.于是有 infS?min? infA , infB ?.綜上, 有 infS?min? infA , infB ?.3.數集與確界的關系: 確界不一定屬于原集合.以例1⑵為例做解釋.4.確界與最值的關系: 設 E為數集.⑴

E的最值必屬于E, 但確界未必, 確界是一種臨界點.⑵

非空有界數集必有確界(見下面的確界原理), 但未必有最值.⑶

若maxE存在, 必有 maxE?supE.對下確界有類似的結論.四.確界原理:

Th(確界原理).Ex

[1]P4 3，4，9，10；

P9

2，4，7⑴⑶.§ 2 初等函數(3時)

一.函數:

1.函數:

[1]P10—12的五點說明.2.定義域: 定義域和存在域.3.函數的表示法:

4.反函數:

一 一 對應, 反函數存在定理.5.函數的代數運算:

?1?x, x?1,?f(x)??2, x?1，?2?x, x?1

二.分段函數: 以函數介紹概念.??2?x, x?1,和g(x)??2為例

??x, x?1例1 f(x)?3?2x?1, 去掉絕對值符號.x ? 1,?x, ?1?x, x ?1.例

2f(x)??

求 f(0), f(1), f(2).例

3設 f(x)???x?3, x?10,?f?f(x?5)?, x?10.求 f(5).(答案為8)

三.函數的復合:

例4 y?f(u)?定義域.例

5⑴

f(1?x)?x?x?1, f(x)?_____________.??1?12??x?2.則f(x)?()x?x222u, u ?g(x)?1?x.求

2?f?g?(x)?f?g(x).?并求

⑵

f?x?2

A.x, B.x?1, C.x?2, D.x?2.[4]P407 E62.2四.初等函數:

1.基本初等函數:

2.初等函數: 3.初等函數的幾個特例: 設函數f(x)和g(x)都是初等函數, 則

⑴ f(x)是初等函數, 因為 f(x)??f(x)?2.⑵ ?(x)?max?f(x), g(x)? 和 ?(x)?min?f(x), g(x)?都是初等函數, 因為 ?(x)?max?f(x), g(x)?? ?(x)?min?f(x), g(x)? ? ⑶ 冪指函數 ?f(x)? ?f(x)?g(x)1212?f(x)?g(x)??f(x)?g(x)?f(x)?g(x)? , f(x)?g(x)?.g(x)?f(x)?0?是初等函數,因為

g(x)?eln?f(x)??eg(x)lnf(x).五.有界函數: 有界函數概念.例6

驗證函數 f(x)?225x2x?32在R內有界.2解法一 由2x?3?(2x)?(3)?25x2x?322x?3?26x, 當x?0時,有

f(x)??5x2x?32?5x26x?526?3.f(0)?0?3，?

對 ?x?R, 總有 f(x)?3, 即f(x)在R內有界.解法二

令 y?5x2x?32, ? 關于x的二次方程 2yx22?5x?3y?0有實數根.22

? ??5?24y?0, ? y?2524?4, ? y?2.解法三

令 x?????tgt, t???,?對應x?(?? , ??).于是 2?22?3f(x)?5x2x?325??2???332tgt2?533tgt2?tgt??3?2?2tgt?1?5sint126costsect?

? 526sin2t, ? f(x)?526sin2t?526.關于奇偶函數、周期函數和單調函數，參閱[1]P22—25，[4]P19—24.Ex [1]P19—20 1⑸，3，4，6；

P25 1，2，5，8，12；

[4]P34—36 54，55，56，67，68，71，81.