第一篇：高二數學導數與導函數的概念教案

高二數學導數與導函數的概念教案

教學目標：

1、知識與技能：理解導數的概念、掌握簡單函數導數符號表示和求解方法； 理解導數的幾何意義； 理解導函數的概念和意義；

2、過程與方法：先理解概念背景，培養解決問題的能力；再掌握定義和幾何意義，培養轉化問題的能力；最后求切線方程，培養轉化問題的能力

3、情感態度及價值觀；讓學生感受事物之間的聯系，體會數學的美。教學重點：

1、導數的求解方法和過程；

2、導數符號的靈活運用 教學難點：

1、導數概念的理解；

2、導函數的理解、認識和運用 教學過程：

一、情境引入

在前面我們解決的問題：

1、求函數f(x)?x在點（2，4）處的切線斜率。2?yf(2??x)?f(x)??4??x，故斜率為4 ?x?x2、直線運動的汽車速度V與時間t的關系是V?t?1，求t?to時的瞬時速度。

2?Vv(to??t)?v(to)??2to??t，故斜率為4 ?t?t

二、知識點講解

上述兩個函數f(x)和V(t)中，當?x(?t)無限趨近于0時，個常數。

歸納：一般的，定義在區間（a，b）上的函數f(x)，xo?(a，b)，當?x無限趨近于0時，?V?V()都無限趨近于一?t?x?yf(xo??x)?f(xo)?無限趨近于一個固定的常數A，則稱f(x)在x?xo處可導，并稱A?x?x為f(x)在x?xo處的導數，記作f'(xo)或f'(x)|x?xo，上述兩個問題中：（1）f'(2)?4，（2）V'(to)?2to

三、幾何意義：

我們上述過程可以看出

f(x)在x?x0處的導數就是f(x)在x?x0處的切線斜率。

四、例題選講

例

1、求下列函數在相應位置的導數

2（1）f(x)?x?1，x?2（2）f(x)?2x?1，x?2

用心 愛心 專心

121號編輯

（3）f(x)?3，x?2

例

2、函數f(x)滿足f'(1)?2，則當x無限趨近于0時，f(1?x)?f(1)?

2xf(1?2x)?f(1)?（2）x（1）變式:設f(x)在x=x0處可導，（3）f(x0?4?x)?f(x0)無限趨近于1，則f?(x0)=___________ ?xf(x0?4?x)?f(x0)無限趨近于1，則f?(x0)=________________ ?xf(x0?2?x)?f(x0?2?x)所對應的常數與f?(x0)的關系。

?x（4）（5）當△x無限趨近于0，總結：導數等于縱坐標的增量與橫坐標的增量之比的極限值。例

3、若f(x)?(x?1)，求f'(2)和(f(2))' 注意分析兩者之間的區別。例4：已知函數f(x)?2x，求f(x)在x?2處的切線。

導函數的概念涉及：f(x)的對于區間（a,b）上任意點處都可導，則f(x)在各點的導數也隨x的變化而變化，因而也是自變量x的函數，該函數被稱為f(x)的導函數，記作f'(x)。

五、小結與作業

用心 愛心 專心

121號編輯

第二篇：高二數學2-2導數中構造函數

1．已知f(x)為定義在(??,??)上的可導函數，且f(x)?f(x)對于任意x?R恒成立，則（）A.f(2)?e2?f(0),B.f(2)?e2?f(0),C.f(2)?e2?f(0),D.f(2)?e2?f(0),1．A

【解析】解：因為f(x)為定義在(??,??)上的可導函數，且f(x)?f(x)對于任意x?R恒成立可以特殊函數f(x)=e,然后可知選A

x也可以構造函數g(x)=f(x)/e,2．函數f(x)的定義域為R，f(?1)?2，對任意x?R,f?(x)?2,則f(x)?2x?4的解集為

A．（-1，1）B.（-1，+?）C.(-?,-1)D.(-?,??)

2．B

【解析】設g(x)?f(x)?2x?4,則g?(x)?f?(x)?2?0對任意x?R都成立；所以函數2x'f(2010)?e2010?f(0)f(2010)?e2010?f(0)f(2010)?e2010?f(0)f(2010)?e2010?f(0)'g(x)是定義域R上的增函數，且g(?1)?0.所以不等式f(x)?2x?4，即

g(x)?0?g(?1)，所以x??1.故選B

3．已知可導函數f(x)(x?R)滿足f?(x)?f(x)，則當a?0時，f(a)和eaf(0)的大小關系為c

A．f(a)?eaf(0)B．f(a)?eaf(0)C．f(a)?eaf(0)D．f(a)?eaf(0)

第三篇：導數的概念教案

【教學課題】：§2.1 導數的概念（第一課時）

【教學目的】：能使學生深刻理解在一點處導數的概念，能準確表達其定義；明確其實際背景并給出物理、幾何解釋；能夠從定義出發求某些函數在一點處的導數；明確一點處的導數與單側導數、可導與連續的關系。

【教學重點】：在一點處導數的定義。【教學難點】：在一點處導數的幾種等價定義及其應用。【教學方法】：系統講授，問題教學，多媒體的利用等。【教學過程】：

一）導數的思想的歷史回顧

導數的概念和其它的數學概念一樣是源于人類的實踐。導數的思想最初是由法國數學家費馬（Fermat）為研究極值問題而引入的，但導數作為微積分的最主要的概念，卻是英國數學家牛頓（Newton）和德國數學家萊布尼茲（Leibniz）在研究力學與幾何學的過程中建立起來的。

二）兩個來自物理學與幾何學的問題的解決

問題1（以變速直線運動的瞬時速度的問題的解決為背景）已知：自由落體運動方程為：s(t)?12gt，t?[0,T]，求：落體在t0時刻（t0?[0,T]）的瞬時速度。2t0t

問題解決：設t為t0的鄰近時刻，則落體在時間段[t0,t]（或[t,t0]）上的平均速度為

v?若t?t0時平均速度的極限存在，則極限

s(t)?s(t0)

t?t0v?limt?t0s(t)?s(t0)

t?t0為質點在時刻t0的瞬時速度。

問題2（以曲線在某一點處切線的斜率的問題的解決為背景）已知：曲線y?f(x)上點M(x0,y0)，求：M點處切線的斜率。

下面給出切線的一般定義；設曲線C及曲線C上的一點M，如圖，在M外C上另外取一點N，作割線MN，當N沿著C趨近點M時，如果割線MN繞點M旋轉而趨于極 限位置MT，直線MT就稱為曲線C在點M處的切線。

問題解決：取在C上M附近一點N(x,y)，于是割線PQ的斜率為

tan??y?y0f(x)?f(x0)（?為割線MN的傾角）?x?x0x?x0當x?x0時，若上式極限存在，則極限

k?tan??f(x)?fx(0)（?為割線MT的傾角）limx?x0x?x0為點M處的切線的斜率。

上述兩問題中，第一個是物理學的問題，后一個是幾何學問題，分屬不同的學科，但問 題的解決都歸結到求形如

limx?x0f(x)?f(x0）

（1）

x?x0的極限問題。事實上，在學習物理學時會發現，在計算諸如物質比熱、電流強度、線密度等問題中，盡管其背景各不相同，但最終都化歸為討論形如（1）的極限問題。也正是這類問題的研究，促使“導數”的概念的誕生。

三）導數的定義

定義

設函數y?f(x)在x0的某鄰域內有定義，若極限

x?x0limf(x)?f(x0）

x?x0存在，則稱函數f在點x0處可導，并稱該極限為f在點x0處的導數，記作f'(x0)。即

f'(x0)?limx?x0f(x)?f(x0）

（2）

x?x0也可記作y?x?x，odydx，x?xodf(x)。若上述極限不存在，則稱f在點x0處不可導。

dxx?xof在x0處可導的等價定義：

設x?x0??x,?y?f(x0??x)?f(x0)，若x?x0則等價于?x?0，如果 函數f在點x0處可導，可等價表達成為以下幾種形式： f'(x0)?limx?x0?yf(x)?f(x0）

（3）

?f'(x0)?lim?x?0?xx?x0?f'(x0)?lim?x?0f(x0??x)?f(x0）

（4）

?x?f'(x0)?lim四）

f(x0?)?f(x0）?0

（5）

利用導數定義求導數的幾個例子

例1 求f(x)?x2在點x?1處的導數，并求曲線在點(1,1)處的切線方程。解 由定義

?yf(1??x)?f(1)(1??x)2?1f(1)?lim?lim?lim

?x?0?x?x?0?x?0?x?x'2?x??x2?lim?lim(2??x)?2 ?x?0?x?0?x于是曲線在(1,1)處的切線斜率為2，所以切線方程為y?1?2(x?1)，即y?2x?1。

例2 設函數f(x)為偶函數，f?(0)存在，證明：f?(0)?0。

(x)

?f(?x)?f(??x)證

?f(x)?f? 又f(0)?lim

?lim?x?0'?x?0f(0??x)?f(0)f(?x)?f(0)?lim ?x?0?x?xf(??x)?f(0)f[0?(??x)]?f(0)??lim??f?(0)

?x?0?x??x?f?(0)?0

注意：f'(x0)?limf(x0?)?f(x0）這種形式的靈活應用。此題的?0為??x。

1?xsin,x?0?x例3 討論函數f(x)?? 在x?0處的連續性，可導性。?0,x?0?解

首先討論f(x)在x?0處的連續性：limf(x)?limxsinx?0x?01?0?f(0)x即f(x)在x?0處連續。

再討論f(x)在x?0處的可導性：

?x?0limf(0??x)?f(0)?lim?x?0?x

?xsin1?01?x

此極限不存在 ?limsin?x?0?x?x即f(x)在x?0處不可導。

問

怎樣將此題的f(x)在x?0的表達式稍作修改，變為f(x)在x?0處可導？

1?n?1xsinx,?0?x答 f(x)?? n?1,2,3?，即可。

?0,x?0?四）可導與連續的關系

由上題可知；在一點處連續不一定可導。反之，若設f(x)在點x0可導，則

?y?f'(x0)

?x?0?xlim由極限與無窮小的關系得：

?y?f'(x0)?x?o(?x)，所以當?x?0，有?y?0。即f在點x0連續。

故在一點處連續與可導的關系是：連續不一定可導，可導一定連續。

五）單側導數的概念

例4 證明函數f(x)?|x|在x?0處不可導。證明 ?lim?x?0f(x)?f(0)xf(x)?f(0)?x?lim?1lim?lim??1，x?0?xx?0?x?0?xx?0x?0?limx?0f(x)?f(0)極限不存在。

x?0故f(x)?|x|在x?0處不可導。

在函數分段點處或區間端點等處，不得不考慮單側導數：

定義

設函數y?f(x)在點x0的某右鄰域(x0,x0??)上有定義，若右極限

?x?0lim?f(x0??x)?f(x0）?y?lim?（0??x??）?x?0?x?x存在，則稱該極限為f在點x0的右導數，記作f?'(x0)。

?左導數

f?'(x0)?yli?m。?x?0?x左、右導數統稱為單側導數。

導數與左、右導數的關系：若函數y?f(x)在點x0的某鄰域內有定義，則f'(x0)存在?f?'(x0)，f?'(x0)都存在，且f?'(x0)=f?'(x0)。例5 設f(x)??解 由于 ?1?cosx, x?0，討論f(x)在x?0處的可導性。

x?0?x , f?'(0)?lim??x?0f(x0??x)?f(x0)1?cos?x?lim??0 ?x?0?x?xf(x0??x)?f(x0)?x?lim??1 ?x?0?x?xf?'(0)?lim??x?0從而f?'(0)?f?'(0)，故f(x)在x?0處不可導。

六）小結: 本課時的主要內容要求：

① 深刻理解在一點處導數的概念，能準確表達其定義；

② 注意f'(x0)?limf(x0?)?f(x0）這種形式的靈活應用。

?0③ 明確其實際背景并給出物理、幾何解釋； ④ 能夠從定義出發求某些函數在一點處的導數；

⑤ 明確導數與單側導數、可導與連續的關系。

第四篇：§1.1.1-1.1.2《變化率與導數概念》導學案

sx-14-(2-2)-01

5§1.1.1-1.1.2《變化率與導數概念》導學案

編寫：袁再華審核：沈瑞斌編寫時間:2014.4.25

班級＿＿＿＿＿組名＿＿＿＿＿＿＿姓名＿＿＿＿＿＿＿

【學習目標】

1.通過實例，了解變化率在實際生活中的需要，探究和體驗平均變化率的實際意義和數學意義；

2.掌握平均變化率的概念及其計算步驟，體會逼近的思想方法；

3.在了解瞬時速度的基礎上抽象出瞬時變化率，建立導數的概念,掌握用導數的定義求導數的一般方法.【學習重難點】

重點：導數的概念。難點：平均變化率、瞬時變化率的理解。

【知識鏈接】：

請閱讀本章導言

【學習過程】：

一、知識點一.變化率

閱讀教材 P2-3頁內容，回答下列問題：

問題1：在氣球膨脹率問題中，氣球的體積V(單位:L)與半徑r(單位:dm)之間的函數關系

是

__________.如果將半徑r表示為體積V的函數,那么___________.(1)當V從0增加到1時,氣球半徑r增加了___________.氣球的平均膨脹率為___________.(2)當V從1增加到2時,氣球半徑增加了___________.氣球的平均膨脹率為___________.由以上可以看出，隨著氣球體積逐漸增大，它的平均膨脹率逐漸．

思考：當空氣容量從V1增加到V2時,氣球的平均膨脹率是多少?

問題2：在高臺跳水運動中,運動員相對于水面的高度h(單位：m)與起跳后的時間t（單位：s）存在函數關系為h(t)=-4.9t+6.5t+10, 計算運動員在下列各時間段的平均速度v 2（1）在0?t?0.5這段時間里，=_______________________________

（2）在1?t?2這段時間里，v=__________________

二、知識點二.平均變化率概念

問題1：函數f(x)從x1到x2的平均變化率用式子表示為。問題2：設?x?x2?x1,?y?f(x2)?f(x1)，這里?x看作是對于x1的一個“增量”

可用

x1+?x代替x2,同樣?y?f(x2)?f(x1))，則平均變化率為

問題3：觀察課本P4圖1.1-1函數f(x)的圖象，平均變化率?y?___________.?x?yf(x2)?f(x1)?表示什么?____________________________.?xx2?x1

問題4：求函數平均變化率的一般步驟：

① 求自變量的增量Δx=；

② 求函數的增量Δy=；

③求平均變化率?y??x

2問題5：已知質點運動規律為s?t?3，求時間在（3，3+?t）中相應的平均速度

溫馨提醒：①?x是一個整體符號，而不是Δ與x相乘；②x2= x1+Δx，Δy=y2-y1；③Δx

可正可負

但不能為零。

思考：在高臺跳水運動中,計算運動員在0?t?65這段時間里的平均速度，并思考以49

下問題： ⑴運動員在這段時間內是靜止的嗎？

⑵你認為用平均速度描述運動員的運動狀態有什么問題嗎？

三．知識點三.導數的概念

問題1：閱讀教材P4-5內容.我們把物體在某一時刻的速度稱為____________。一般地，若物體的運動規律為s?f(t)，則物體在時刻t的瞬時速度v 就是物體在t到t??t這段時間內，當t_________時的平均速度，即v?lim?s=___________________ ?t?0?t

問題2：在高臺跳水運動中,運動員相對于水面的高度h(單位：m)與起跳后的時間t（單

位：s）存在函數關系為h?t???4.9t?6.5t?10，運動員在t0=2的瞬時速度怎2

樣表示？

問題3：函數y=f(x)在x=x0處的瞬時變化率表示為我們稱它為函數y?f(x)在x?x0處的______，記作f'(x0)或________，即

溫馨提示：

函數y=f(x)在x=x0處的導數即為函數y=f(x)在x=x0處的瞬時變化率,其定義的代數形式：f'(x0)=limf(x)?f(x0)?y?lim；x?x0?xx?x0x?x0

2問題4：求函數y=2x在x=-1,x=-2時的導數,并說說你對所求結果的認識。

溫馨提示：求函數y?f?x?在x?x0處的導數步驟：

(1)求增量?y?f(x0??x)?f(x0);

?yf(x0??x)?f(x0)?;??xy?x

?.?x?0時）?x(2)算比值(3)求y?x?x0

問題5：閱讀教材P6頁例1，計算 21mv2。求物體開始運動后第5s時的動能。2

第五篇：高二數學導數測試題

高二數學導數測試題

一、選擇題（每小題5分，共70分．每小題只有一項是符合要求的）

1．設函數可導，則等于（）．

A．

B．

C．

D．以上都不對

２．已知物體的運動方程是（表示時間，表示位移），則瞬時速度為0的時刻是（）．

A．0秒、2秒或4秒

B．0秒、2秒或16秒

C．2秒、8秒或16秒

D．0秒、4秒或8秒

３．若曲線與在處的切線互相垂直，則等于（）．

A．

B．

C．

D．或0

４．若點在曲線上移動，經過點的切線的傾斜角為，則角的取值范圍是（）．

A．

B．

C．

D．

５．設是函數的導數，的圖像如圖

0

所示，則的圖像最有可能的是（）．

C

0

D

0

A

0

B

0

６．函數在區間內是增函數，則實數的取值范圍是（）．

A．

B．

C．

D．

７．已知函數的圖像與軸切于點，則的極大值、極小值分別為（）．

A．，0

B．0，C．，0

D．0，8．由直線，曲線及軸所圍圖形的面積是（）．

A.B.C.D.9．函數在內有極小值，則（）．

A．

B．

C．

D．

10．的圖像與直線相切，則的值為（）．

A．

B．

C．

D．1

11.已知函數，則（）

A.B.C.D.12．函數在區間上的最大值是（）

A.32

B.C.24

D.17

13．已知（m為常數）在上有最大值3，那么此函數在上的最小值為

（）

A．

B．

C．

D．

14.=

（）

A．

B．2e

C．

D．

二、填空題（每小題5分,共30分）

15．由定積分的幾何意義可知=_________．

16．函數的單調遞增區間是

．

17．已知函數，若在區間內恒成立，則實數的范圍為______________．

18．設是偶函數，若曲線在點處的切線的斜率為1，則該曲線在處的切線的斜率為_________．

19．已知曲線交于點P，過P點的兩條切線與x軸分別交于A，B兩點，則△ABP的面積為；

20.三、解答題（50分）

21．求垂直于直線并且與曲線相切的直線方程．

22.已知函數.（Ⅰ）求函數的定義域及單調區間；

（Ⅱ）求函數在區間[1，4]上的最大值與最小值.23．某廠生產某種電子元件，如果生產出一件正品，可獲利200元，如果生產出一件件次品則損失100元，已知該廠制造電子元件過程中，次品率與日產量的函數關系是．

（1）將該廠的日盈利額Ｔ（元）表示為日產量（件）的函數；

（2）為獲最大盈利，該廠的日產量應定為多少件？

24．設函數為實數.（Ⅰ）已知函數在處取得極值，求的值；

（Ⅱ）已知不等式對任意都成立，求實數的取值范圍.高二數學導數測試題參考答案

一、選擇題:CDABC

BADAB

BCDD

二、填空題

15．16．

17．18．

19．20.1

三、解答題

21．解：設切點為，函數的導數為

切線的斜率，得，代入到

得，即，．

22.解：（Ⅰ）函數的定義域為。，令，即，解得。

當x變化時，的變化情況如下表：

x

＋

0

－

－

0

＋

↗

↘

↘

↗

因此函數在區間內是增函數，在區間內是減函數，在區間內是減函數，在區間內是增函數。

（Ⅱ）在區間[1，4]上，當x=1時，f(x)=5；當x=2時，f(x)=4；當x=4時，f(x)=5。

因此，函數在區間[1，4]上的最大值為5，最小值為4。

23：解：（1）次品率，當每天生產件時，有件次品，有件正品，所以，（2）由（1）得．

由得或（舍去）．

當時，；當時，．所以當時，最大．

即該廠的日產量定為16件，能獲得最大利潤．

24．解:

（Ⅰ），由于函數在時取得極值，所以，即

．

（Ⅱ）方法一：由題設知：對任意都成立，即對任意都成立．

設,則對任意，為單調遞增函數．

所以對任意，恒成立的充分必要條件是．

即，于是的取值范圍是．

方法二：由題設知：對任意都成立

即對任意都成立．

于是對任意都成立，即．

．

于是的取值范圍是．