第一篇：函數與導數綜合問題

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函數與導數綜合問題

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來源：《數學金刊·高考版》2013年第06期

深化導數在函數、不等式、解析幾何等問題中的綜合應用，加強導數的應用意識.本考點試題的命制往往融函數、導數、不等式、方程等知識于一體，通過演繹證明、運算推理等理性思維，解決單調性、極值、最值、切線、方程的根、參數的取值范圍等問題，這類題難度很大，綜合性強，內容新，背景新，方法新，是高考命題的豐富寶藏.解題中需用到函數與方程思想、分類討論思想、數形結合思想、轉化與劃歸思想.

第二篇：高中數學構造函數解決導數問題專題復習

高中數學構造函數解決導數問題專題復習

【知識框架】

【考點分類】

考點一、直接作差構造函數證明；

兩個函數，一個變量，直接構造函數求最值；

【例1-1】（14順義一模理18）已知函數（）

（Ⅰ）當時，求曲線在處的切線方程；

（Ⅱ）若在區間上函數的圖象恒在直線下方，求的取值范圍．

【例1-2】（13海淀二模文18）已知函數.（Ⅰ）當時，若曲線在點處的切線與曲線在點處的切線平行，求實數的值；

（Ⅱ）若，都有，求實數的取值范圍.【練1-1】（14西城一模文18）已知函數，其中．

（Ⅰ）當時，求函數的圖象在點處的切線方程；

（Ⅱ）如果對于任意，都有，求的取值范圍．

【練1-2】已知函數是常數．

（Ⅰ）求函數的圖象在點處的切線的方程；

（Ⅱ）證明函數的圖象在直線的下方；

（Ⅲ）討論函數零點的個數．

【練1-3】已知曲線.(Ⅰ)若曲線C在點處的切線為，求實數和的值；

(Ⅱ)對任意實數，曲線總在直線:的上方，求實數的取值范圍.【練1-4】已知函數，求證：在區間上，函數的圖像在函數的圖像的下方；

【練1-5】.已知函數；

（1）當時，求在區間上的最大值和最小值；

（2）若在區間上，函數的圖像恒在直線下方，求的取值范圍。

【練1-6】已知函數；

（1）求的極小值；

（2）如果直線與函數的圖像無交點，求的取值范圍；

答案：

考點二、從條件特征入手構造函數證明

【例2-1】若函數

在上可導且滿足不等式，恒成立，且常數，滿足，求證：。

【例2-2】設是上的可導函數，分別為的導函數，且滿足，則當時，有（）

A.B.C.D.【練2-1】設是上的可導函數，，求不等式的解集。

【練2-2】已知定義在的函數滿足，且，若，求關于的不等式的解集。

【練2-3】已知定義域為的奇函數的導函數為，當時，若，則下列關于的大小關系正確的是（）D

A.B.C.D.【練2-4】已知函數為定義在上的可導函數，且對于任意恒成立，為自然對數的底數，則（）C

A.B.C.D.【練2-5】

設是上的可導函數，且，求的值。

【練2-6】函數為定義在上的可導函數，導函數為，且，下面的不等式在內恒成立的是（）

A.B.C.D.【練2-7】已知函數為定義在上的可導函數，導函數為，當時，且，若存在，使，求的值。

（二）關系式為“減”型

（1），構造；

（2），構造；

（3），構造；

（注意對的符號進行討論）

考點三、變形構造函數

【例3-1】證明：對任意的正整數，不等式都成立。

【例3-2】已知函數；

（1）求函數的單調區間與極值；

（2）若對于任意，恒成立，求實數的取值范圍；

【練3-1】設為曲線在點處的切線。

（1）求的方程；

（2）證明：除切點之外，曲線在直線的下方；

【練3-2】已知函數；

（1）若曲線在點處的切線方程為，求的值；

（2）當時，求證：；

【練3-3】已知函數，其中；

（1）求的單調區間；

（2）若對任意的，總存在，使得，求實數的值；

【練3-4】，（1）討論的單調情況；

（2）設，對．求證：．

【練3-5】已知函數；

（1）求的單調區間；

（2）當時，設斜率為的直線與函數相交于兩點，求證：

考點四、消參構造函數

【例4-1】已知函數和的圖像有公共點，且在點處的切線相同；

（1）若點的坐標為，求的值；

（2）已知，求切點的坐標。

【例4-2】（2009全國卷2理22）設函數有兩個極值點，且

（Ⅰ）求的取值范圍，并討論的單調性；

（Ⅱ）證明：

第三篇：構造函數解導數

合理構造函數解導數問題

構造函數是解導數問題的基本方法，但是有時簡單的構造函數對問題求解帶來很大麻煩甚至是解決不了問題的，那么怎樣合理的構造函數就是問題的關鍵。

例1：已知函數f?x??ln?ax?1??x3?x2?ax.(1)若2為y?f?x?的極值點，求實數a的值； 3(2)若y?f?x?在?1,???上增函數，求實數a的取值范圍；(3)若a??1時，方程f?1?x???1?x??3b有實根，求實數b的取值范圍。x

變量分離直接構造函數 抓住問題的實質，化簡函數

1、已知f?x?是二次函數，不等式f?x??0的解集是?0,5?，且f?x?在區間??1,4?上的最大值12.（1）求f?x?的解析式；

（2）是否存在自然數m，使得方程f?x??37?0在區間?m,m?1?內有且只有兩個不等的x實數根？若存在，求出所有m的值；若不存在，請說明理由。

變式練習：設函數f?x??x?6x?5,x?R，求已知當x??1,???時，f?x??k?x?1?恒

3成立，求實數k的取值范圍。

抓住常規基本函數，利用函數草圖分析問題

例： 已知函數f?x??n?lnx的圖像在點P(m,f?m?)處的切線方程為y?x, 設g?x??mx?n?2lnx.x（1）求證：當x?1時，g?x??0恒成立；（2）試討論關于x的方程mx?n?g?x??x3?2ex2?tx根的個數。x第 1 頁

共 1 頁 一次函數，二次函數，指對數函數，冪函數，簡單的分式根式函數，絕對值函數的圖象力求清晰準確，一些綜合性的問題基本上是這些函數的組合體，如果適當分解和調配就一定能找到問題解決的突破口，使問題簡單化明確化。

復合函數問題一定要堅持定義域優先的原則，抓住函數的復合過程能夠逐層分解。例：已知函數f?x???單調遞增。

（1）求實數a的值.（2）若關于x的方程f2x?m有3個不同的實數解，求實數m的取值范圍.（3）若函數y?log2?f?x??p?的圖像與坐標軸無交點，求實數p的取值范圍。復合函數尤其是兩次復合，一定要好好掌握，構造兩種函數逐層分解研究，化繁為簡，導數仍然是主要工具。

1423x?x?ax2?2x?2在區間??1,1?上單調遞減，在區間?1,2?上43??

導數—構造函數

一：常規的構造函數

例一.若sin3??cos3??cos??sin?,0???2?，則角?的取值范圍是（）(A)[0,?4]

(B)[??5?,?]

(C)[,]

4(D)[?3?4,2)

x?y?xy變式、已知3?3?5?5成立，則下列正確的是（）

A.x?y?0

B.x?y?0

C.x?y?0

D.x?y?0

2變式.f?(x)為f(x)的導函數，若對x?R，2f(x)?xf?(x)?x恒成立，則下列命題可能錯誤的是()A．f(0)?0 B．f(1)?4f(2)C．f(?1)?4f(?2)D．4f(?2)?f(1)

二：構造一次函數

例

二、對于滿足|a|?2的所有實數a,求使不等式x2+ax+1>a+2x恒成立的x的取值范圍.第 2 頁

共 2 頁 三：變形構造函數 例三．已知函數f(x)?12x?ax?(a?1)lnx，a?1． 2（Ⅰ）討論函數f(x)的單調性；

（Ⅱ）證明：若a?5，則對任意x1,x2?(0,??)，x1?x2，有

例

四、已知函數f(x)?(a?1)lnx?ax2?1.（Ⅰ）討論函數f(x)的單調性；

（Ⅱ）設a??2，證明：對任意x1,x2?(0,??)，|f(x1)?f(x2)|?4|x1?x2|.四：消參構造函數

例

五、設函數f?x??x?aln?1?x?有兩個極值點x1，x2，且x1?x2．

2f(x1)?f(x2)??1．

x1?x2（I）求a的取值范圍，并討論f?x?的單調性；（II）證明：f?x2??

五：消元構造函數

例

六、已知函數f?x??lnx，g?x??ex．

（Ⅰ）若函數??x??f?x??1?2ln2． 4x?1，求函數??x?的單調區間； x?1（Ⅱ）設直線l為函數的圖象上一點A?x0,f?x0??處的切線．證明：在區間?1,???上存在唯一的x0，使得直線l與曲線y?g?x?相切．

第 3 頁

共 3 頁 六：二元合一構造函數

12ax?bx(a?0)且導數f'(1)?0 2（1）試用含有a的式子表示b，并求f(x)的單調區間；（2）對于函數圖象上的不同兩點A(x1,y1),B(x2,y2)如果在函數圖象上存在點M(x0,y0)（其中x0?(x1,x2)）使得點M處的切線l//AB，則稱AB存在“跟隨切線”。

x?x2特別地，當x0?1時，又稱AB存在“中值跟隨切線”。試問：在函數f(x)上是否存在2兩點A、B使得它存在“中值跟隨切線”，若存在，求出A、B的坐標，若不存在，說明理由。例

七、已知函數f(x)?lnx?

七：構造函數解不等式

例

八、設函數f(x)＝?x3?2mx2?m2x?1?m(其中m >-2)的圖像在x=2處的切線與直線y=-5x+12平行；

（Ⅰ）求m的值與該切線方程；

（Ⅱ）若對任意的x1,x2??0,1?,f?x1??f?x2??M恒成立，則求M的最小值；（Ⅲ）若a?0, b?0, c?0且a+b+c=1，試證明：

例

九、設函數f(x)?lnx?px?1

（Ⅰ）求函數f(x)?lnx?px?1的極值點

（Ⅱ）當p?0時，若對任意的x?0，恒有f(x)?0，求p的取值范圍。

abc9???

1?a21?b21?c210ln22ln32ln42lnn22n2?n?1（Ⅲ）證明：2?2?2?????2?(n?N,n?2)

234n2(n?1)

例

十、證明：對任意的正整數n，不等式ln(?1)?

第 4 頁

共 4 頁

1n11?3都成立.2nn1、移項法構造函數

【例1】已知函數f(x)?ln(x?1)?x，求證：當x??1時，恒有1?

2、作差法構造函數證明 【例2】已知函數f(x)?1?ln(x?1)?x x?112x?lnx.求證：在區間(1,??)上，函數f(x)的圖象在函數2g(x)?23x的圖象的下方； 3111?1)?2?3 都成立.nnn

3、換元法構造函數證明

【例3】證明：對任意的正整數n，不等式ln（4、從條件特征入手構造函數證明

【例4】若函數y=f(x)在R上可導且滿足不等式xf?(x)>－f(x)恒成立，且常數a，b滿足a>b，求證：．af(a)>bf(b)

第 5 頁

共 5 頁

第四篇：導數與數列不等式的綜合證明問題

導數與數列不等式的綜合證明問題

典例：（2017全國卷3,21）已知函數f?x??x?1?alnx。（1）若f?x??0，求a的值；

（2）設m為整數，且對于任意正整數n?1???1??1??1? 1??1??m，求m的最小值。???2?n?2??2??2?分析：(1)由原函數與導函數的關系可得x=a是f?x?在x??0，+??的唯一最小值點，列方程解得a?1 ；

(2)利用題意結合(1)的結論對不等式進行放縮，求得?1???1??1??1?1??1??e，結合???2?n?2??2??2?1??1??1??1?1?1??2可知實數m 的最小值為3

???2??3??2??2??2?（1）f?x?的定義域為?0，+??.①若a?0，因為f??=-②若a?0，由f'x??1??2?1+aln2?0，所以不滿足題意； 2ax?a?知，當x??0,a?時，f'?x??0；當x??a，+??時，xx??1?所以f?x?在?0,a?單調遞減，在?a，故x=a是f?x?在?0，f'?x??0，+??單調遞增，+??的唯一最小值點.由于f?1??0，所以當且僅當a=1時，f?x??0.故a=1.練習1：已知函數f(x)?ln(?x)?ax?（1）求實數a的值；

1(a為常數)，在x??1時取得極值.x（2）設g(x)?f(?x)?2x，求g(x)的最小值；

（3）若數列{an}滿足an?aan?1n?1?1(n?N且n?2),a1??1，數列{an}的前n和 2??1?nSn，求證：2?an?esnan(n?N,e是自然對數的底數).整理：在證明中要對證明的式子

2n??1?an?esnan進行簡單的處理為nln2?lnan?Sn? nn，否則直接另x?很唐突.n?1n?11?lnx.x練習2：已知函數f(x)?（1）若函數在區間?t,t???1??（其中t?0）上存在極值，求實數t的取值范圍； 2?a恒成立，求實數a的取值范圍，并且判斷代數式x?1（2）如果當x?1時，不等式f(x)??(n?1)!?2與(n?1)?en?2(n?N*)的大小.分析：解：（Ⅰ）因為f(x)?1?lnxlnx，x?0，則f?(x)??2，xx當0?x?1時，f?(x)?0；當x?1時，f?(x)?0.所以f(x)在(0,1)上單調遞增；在(1,??)上單調遞減，所以函數f(x)在x?1處取得極大值.1??因為函數f(x)在區間?t,t??(其中t?0)上存在極值，2??

?t?1,1?所以?1 解得?t?1.2t??1,??2a(x?1)(1?lnx)(x?1)(1?lnx)（Ⅱ）不等式f(x)≥，,即為≥a, 記g(x)?x?1xx[(x?1)(1?lnx)]?x?(x?1)(1?lnx)x?lnx所以g?(x)?.?x2x2令h(x)?x?lnx，則h?(x)?1?

1，∵x≥1，∴h?(x)≥0，x∴h(x)在[1,??)上單調遞增，∴[h(x)m]in?h(?1)?1，從而0g?(x)?0，故g(x)在[1,??)上也單調遞增，所以[g(x)]min?g(1)?2, 所以a≤2；由上述知f(x)≥即lnx≥2恒成立，x?1x?122?1??1?，（此處采用了放縮法，是處理問題的關鍵）x?1x?1x2令x?n(n?1)，則ln[n(n?1)]?1?，n(n?1)∴ ln(1?2)?1?222，ln(2?3)?1?，ln(3?4)?1?，…，1?22?33?42ln[n(n?1)]?1?，n(n?1)

?111?疊加得ln[1?22?32?????n2(n?1)]?n?2???????? 1?22?3n(n?1)??1??222n?2?n?2?1???n?2.則1?2?3?????n(n?1)?e，?n?1?所以[(n?1)！]2?(n?1)?en?2(n?N?)．

第五篇：第二章與第三章：函數導數與導數的應用

第二章與第三章：函數導數與應用

1、求函數在一點的導數

例如：設函數f(x)?xcosx，則f'(0)?

2、討論函數y?x在定義域范圍內的單調性

3、記住結論：

函數在某點不可導，函數所表示的曲線在相應點的切線不一定不存在4、求函數的全微分

例如：一直函數y?xlnx，求dy。

5、求隱函數的導數

例如：由方程x?2xy?y?0確定y?y(x)，求

6、記住導數定義，利用導數定義求極限。

7、求函數在某區間上的最值

例如：求f(x)?x在[?2,6]上的最大值和最小值。

8、利用單調性證明不等式

當x?0時，證明不等式2xarctanx?ln(1?x)

22262dy。dx