第一篇：幾種常見函數的導數教案

幾種常見函數的導數教案

教學目的

使學生應用由定義求導數的三個步驟推導四種常見函數的導數公式，掌握并能運用這四個公式正確求函數的導數．

教學重點和難點

掌握并熟記四種常見函數的求導公式是本節的重點．正整數冪函數及正、余弦函數的導數公式的推導是本節難點．

教學過程

一、復習提問

1．按定義求導數有哪幾個步驟？

2．用導數的定義求下列各函數的導數：

(1)y＝x5；(2)y＝c．

幾點說明：練習(1)為推導正整數冪函數導數公式作準備，在求Δy值時啟發學生應用二項式定理展開(x＋Δx)5；練習(2)推導前，首先指出這里y＝c稱為常數函數，可設y=f(x)=c說明不論自變量取何值，對應的函數值均為c，以避免出如下錯誤，Δy=f(x＋Δx)－f(x)＝c＋Δx－c＝Δx．

二、新課

1．引言：由導數定義本身，給出了求導數的最基本的方法，但由于導數是用極限來定義的，所以求導數總是歸結到求極限這在運算上很麻煩，有時甚至很困難，為了能夠較快地求出某些函數的導數，這一單元我們將研究比較簡捷的求導數的方法，本節課根據導數定義先來證明幾個常見函數的導數公式．

2．幾個常見函數的導數公式．

(1)設y=c(常數)，則y'=0．

此公式前面已證．下面我們還可以用幾何圖象對公式加以說明(圖2－6)．因為y=c的圖象是平行于x軸的直線，其上任一點的切線即為直線本身，所以切線的斜率都是0．此公式可敘述成“常數函數的導數為零”．

(2)(xn)'＝nxn-1(n為正整數)．

此公式的證明在教師指導下，由學生獨立完成．

證明：設y=f(x)=xn，此公式可敘述成“正整數冪函數的導數等于冪指數n與自變量的(n－1)次冪的乘積”．

(3)(sinx)'=cosx．

證明：y＝f(x)=sinx，在學生推導過程中，教師要步步追問根據及思路．如：

此公式可敘述成“正弦函數的導數等于余弦函數”．

(4)(cosx)'=－sinx．

此公式證明由學生仿照公式(3)獨立證明．

此公式可敘述成“余弦函數的導數等于正弦函數前面添一個負號”．

三、練習

1．默寫四種常見函數的求導公式．

2．求下列函數的導數：

四、小結

四種常見函數的導數公式

1．(c)'＝0(c為常數)，2．(xn)'＝nxn-1，3．(sinx)'＝cosx，4．(cosx)'=－sinx．

五、布置作業

1．求下列函數的導數：

(1)u=t4；(2)y=xa(a為正整數)；sup 2．用導數定義證明：

(5)x=cost．

兩個函數的和(或差)的導數，等于這兩個函數的導數的和(或差)．

即，已知：兩個函數u(x)和v(x)，且u(x)，v(x)的導數存在，求證：[u(x)±v(x)]'=u'(x)±v'(x)．

第二篇：幾種常見函數的導數教案

幾種常見函數的導數教案

目的要求

1．能應用由定義求導數的三個步驟推導幾種常見函數的導數公式，熟記正弦余弦函數的導數．

2．掌握并能運用四個函數導數公式求函數的導數． 3．在公式(2)的指導過程中，培養學生的創新能力． 內容分析

本節依次講述了函數C，xn(n為有理數)、sinx、cosx等四種函數的導數公式，這些公式都是由導數定義導出的．其中，前兩個導數公式要求學生能熟練地證明，后兩個導數公式要求學生能熟練掌握和應用．

2．對于函數y＝C的導數公式：y＝C(C為常數)，則y′＝0．此公式不僅要求學生用前面已學的求導的三個步驟進行證明，還要求學生運用幾何圖象對公式加以說明．如圖35－1，因為y＝C的圖象是平行于x軸的直線，其上任意一點的切線即為直線本身，所以切線的斜率都是0．為了讓學生記得更牢，此公式可敘述為：常數函數的導數為零．

3．關于公式(xn)′＝n·xn-1(n∈Q)，這個公式的證明比較復雜，教科書只就n∈N*的情況作了證明．因此，這節課的難點就是如何引導學生利用二項式定理對這個公式進行證明，教學時，可采用從特殊到一般的教學方法．實際上，這個公式對于n∈R仍然成立．

4．對于正弦余弦函數的導數公式，由于在證明過程中，要使用三角函數的和差化積公式，以及重要的極限公式．因此，對公式(sinx)′＝cosx、(cosx)′＝－sinx，只要求學生牢記公式并能靈活應用即可，而不要求學生對上述兩個公式進行證明．

5．這節課的重點是利用前面已學的求導數的三個步驟對公式(1)、(2)進行證明，同時能運用這四個公式解決一些初等數學不能解決的曲線的切線問題．

教學過程(一)復習提問

1．按定義求導數有哪幾個步驟？

2．用導數的定義求下列各函數的導數．(1)y＝x5；(2)y＝C．

目的，練習(1)為推導公式(2)作準備．在求Δy值時，啟發學生應用二項式定理展開(x＋Δx)5．練習(2)推導前，首先指出這里y＝C稱為常數函數，可設y＝f(x)＝C，說明不論自變量取何值，對應的函數值均為C，以避免如下錯誤：Δy＝f(x＋Δx)－f(x)＝x＋Δx－C＝Δx．

略解：1．Δy＝f(x＋Δx)－f(x)＝(x＋Δx)5－x5＝x5＋5x4(Δx)＋10x3(Δx)2＋10x2(Δx)3＋5x(Δx)4＋(Δx)5－x5，∴Δy＝5x4(Δx)＋10x3(Δx)2＋10x2(Δx)3＋5x(Δx)4＋(Δx)5． ∴y′＝5x4．(二)新課

1．引言：由導數定義本身，給出了求導數的最基本的方法，但由于導數是用極限來定義的，所以求導數總是歸結到求極限．這在運算上很麻煩，有時甚至很困難．為了能夠較快地求出某些函數的導數．這一節我們將研究比較簡捷的求導數的方法，本節課根據導數定義先來證明幾個常見函數的導數公式．

2．幾個常見函數的導數公式 公式1 C′＝0(C為常數)．

此公式前面已證，見教科書第116頁．下面，我們還可以用幾何圖象，對公式加以說明：因為y＝C的圖象是平行于x軸的直線，其上任一點的切線即為直線本身，所以切線的斜率都是0．

公式1可敘述為：常數函數的導數為零． 公式2(xn)′＝n·xn-1(n∈Q)這個公式的證明可在教師的指導下進行．由于前面已有y＝x5這道題的基礎，可由學生只就n∈N*的情況進行獨立證明．詳細證明過程見教科書第117頁．

注意：教學時要引導學生認真觀察此公式的特點：函數的導數等于指數n與自變量的(n－1)次方的乘積．

公式3(sinx)′＝cosx． 公式4(cosx)′＝－sinx．

公式3、4可敘述為：正弦函數的導數等于余弦函數，余弦函數的導數等于正弦函數前面添一個負號．

3．例題精講

例1 求下列函數的導數：

(1)解：y′＝(x5)′＝5x5-1＝5x4．

注意：與前面的復習提問銜接起來，說明牢記和應用導數公式解題的重要性．

目的：通過這一組題的詳細講解，使學生對公式(2)記得更牢固．要求學生今后能熟練地掌握它．

分析：先要利用公式3求出函數y＝sinx的導函數，然后利用導函 略解：∵y＝sinx ∴y′＝(sinx)′＝cosx 4．課堂練習

(1)默寫四種常見的求導公式．

(2)教科書第117頁練習1和練習2． 5．課堂小結

四種常見函數的導數公式．(1)(C)′＝0(C為常數)

(2)(xn)′＝n·xn-1

(3)(sinx)′＝cosx

(4)(cosx)′＝－sinx．

布置作業

1．求下列函數的導數：

(1)u＝t4(2)y＝xa(a為正整數)(3)y＝a(a為常數)2．教科書習題3．2第2題和第5題．

第三篇：常見函數的導數(選修2-2教案)

課題：常見函數的導數

一、教學目標：掌握初等函數的求導公式；

二、教學重難點：用定義推導常見函數的導數公式．

一、復習

1、導數的定義；

2、導數的幾何意義；

3、導函數的定義；

4、求函數的導數的流程圖。（1）求函數的改變量?y?f(x??x)?f(x)

?yf(x??x)?f(x)? ?x?x?y（3）取極限，得導數y/＝f?(x)?lim

?x?0?x（2）求平均變化率本節課我們將學習常見函數的導數。首先我們來求下面幾個函數的導數。（1）、y=x

（2）、y=x（3）、y=x

3問題：y?x?1，y?x?2，y?x?3呢？

問題：從對上面幾個冪函數求導，我們能發現有什么規律嗎？

二、新授

1、基本初等函數的求導公式：

⑴

(kx?b)??k(k,b為常數)

⑵

(C)??0(C為常數)

??1??

2⑶

(x)

⑷

(x2)x

32⑸

(x)??3x

⑹()???1x1 2x⑺(x)??12x

由⑶~⑹你能發現什么規律? ???1⑻

(x)???x

（?為常數）

??a⑼

(a)xxlana ?(，a0? 111logae?(a?0，且a?1)xxlna1xx??

⒀

(sinx)?x?cos x

⒁

(cos)?x?－sin x⑾

(e)??e ⑿(ln)x⑽(logax)??從上面這一組公式來看，我們只要掌握冪函數、指對數函數、正余弦函數的求導就可以了。例

1、求下列函數導數。（1）y?x?5（2）y?

4（3）y?xxxx

（4）y?log3x（5）y=sin（??+x)

(6)y=sin

23（7）y=cos(2π－x)

（8）y=f?(1)

例2：已知點P在函數y=cosx上，（0≤x≤2π），在P處的切線斜率大于0，求點P的橫坐標的取值范圍。

例3.若直線y??x?b為函數y?1圖象的切線,求b的值和切點坐標.x變式1.求曲線y=x2在點(1,1)處的切線方程.總結切線問題：找切點

求導數

得斜率 變式2:求曲線y=x2過點(0,-1)的切線方程 變式3:求曲線y=x3過點(1,1)的切線方程

變式4:已知直線y?x?1,點P為y=x2上任意一點,求P在什么位置時到直線距離最短.三、小結（1）基本初等函數公式的求導公式（2）公式的應用

第四篇：教案------導數2--幾種常見函數的導數范文

幾種教學目標：

1.熟練掌握函數C,xn?n?Q?，sinx,cosx的導數公式

2.掌握利用函數C,xn?n?Q?，sinx,cosx的導數公式求切線問題和瞬時速度問題 3.掌握切線問題的求解，注意討論切點的情況 4.培養學生分類討論的數學思想 教學重難點：

重點：函數C,xn?n?Q?的導數公式

難點：xn?n?Q?導數公式的推導；切線問題的求解 教學過程：

1.公式1：C??0（C為常數）2.公式2：xn????nx,?n?Q?

n?1nn證明：??y?f?x??x??f?x???x??x??x

??x?Cnxn1n?1?2n2n?2n?x?Cnx??x??????Cn?xn ??x???2n1n?12n?2n

?Cnx?x?Cnx??x??????Cn??x?

?f??x??x?n2n??lim?y?lim?C1xn?12n?2n? ?x?Cx?x?????C?x??????x?0?x?x?0?nnn?

?nxn?1

rn?rr注意：二項式定理的運用：Tr?1?Cna3b?r?1,2,3,???n?

2?1????2??2?12??2x?3??3 例如：?x??3x，?2???x???2xx?x?

????1?1?111?1122-------------------與Px??x??x?x2?112

例2 比較

222x????25??1?????2?2221333 ?x??x??x?????32333xx????1?32?x

3.公式3

?sinx???cosx---------------------由正變邪易

4.公式4

?cosx????sinx-------------------由邪變正難（加負號）

（不要求證明）

李召江——教案——幾種常見函數的導數 例題：

（1）P115

練習----------1，2（2）瞬時速度問題：

P116

習題3.2-----1，2（3）切線問題

①P116

習題3.2-----3，4，5

注意：求切線的步驟：

（1）先確定已知點?x0,y0?是否為切點（在點處為切點，點在曲線上不一定是切點）（2）求導數f??x?或y?

（3）求斜率k?f??x0?或k?y?|x?x0（4）利用點斜式寫出切線方程

②已知函數y?x3，求過點P?1,1?的切線方程

解: 點P?1,1?滿足y?x3，所以在y?x3的圖像上

（1）當點P?1,1?為切點時，y??3x2，所以k?y?|x?1?3

切線方程為y?1?3?x?1?，即：3x?y?2?0

3（2）當點P?1,1?不是切點時，設切點為x0,x0???x2?，則k?y|?3x?1?x?x00 0所以切線方程為y?y0?3x02?x?x0?，?點P?1,1?在切線上，?1?x03?3x02?1?x0?，2即：2x03?3x02?1?0，所以?x0?1?2x0?x0?1?0

??

?x0?1?切點為??2?2x0?1??0，?x0??1 213?1??11?,??，切線方程為y???x??，84?2??28?即：3x?4y?1?0

注意：當切點不確定時，應對是否為切點進行分類討論。

李召江——教案——幾種常見函數的導數 ③求曲線y?1?1?上與直線4x?y?1?0?16x?y?2?0?垂直的切線方程 y?2??x?x?解：已知直線的斜率為4，所以切線的斜率為k?? 設切點為?x0,y0?，則y0? ?x0?2，?切點為?2,42121?y??，k??????323xx0x04??1??，切線方程為x?4y?3?0 4?（y???5.6.122x3，k??122x03??1?1?，x0?4，切點?4,?，切線x?16y?12?0）16?2?

李召江——教案——幾種常見函數的導數

第五篇：函數的和差積商的導數教案

函數的和差積商的導數教案

教學目的

1．使學生學會根據函數的導數的定義推導出函數導數的四則運算法則；

2．使學生掌握函數導數的四則運算法則，并能熟練地運用這些法則去求由基本初等函數的和、差、積、商構成的較復雜的函數的導數．

教學重點和難點

本節課的重點是求函數的和、差、積、商的導數的運算法則．難點是求函數的積和商的導數的運算公式及其推導方法．

教學過程

一、復習提問

1．求導數的三個步驟是什么？

(先讓全體學生回憶，再請一名學生單獨回答．若答錯或不完善則請另外學生糾正或補充．)

(1)求函數的增量：Δy=f(x＋Δx)－f(x)；

2．試用導數的定義求函數y＝x＋x2的導數．

(要求全體學生在課堂練習本上做，同時找一至兩名學生板演．)

解：設y=f(x)＝x＋x2，則Δy=f(x＋Δx)－f(x)＝[(x＋Δx)＋(x＋Δx)2]－(x＋x2)

＝Δx(1＋2x＋Δx)，二、引入新課

讓學生觀察復習提問2的結果： y′=1＋2x．

從這個結果可以得到以下兩點啟示：

1．函數y＝x＋x2是兩個函數(y＝x和y＝x2)的和，它的導數可以用導數的定義直接求得；

2．函數y＝x＋x2的導數y′=1＋2x，恰好是函數y＝x和y＝x2導數的和．那么，任意兩個函數的和的導數是否都是這兩個函數導數的和呢？

結論是肯定的．

三、講解新課

1．和(差)的導數．

法則1 兩個函數的和(差)的導數，等于這兩個函數的導數的和(差)．即

其中u和v都是x的可導函數．

證明：(可讓學生自己完成．)

設y=f(x)＝u(x)＋v(x)，則Δy=[u(x＋Δx)±v(x＋Δx)]－[u(x)±v(x)]

=[u(x＋Δx)－u(x)]±[v(x＋Δx)－v(x)]

=Δu±Δv，即y'=(u±v)'=u'±v'．

追問：條件“u和v都是可導函數”有沒有必要？它在證明法則的過程中用于何處？

說明：這個法則可以推廣到任意有限個函數，即

例1 求函數y＝x3＋sinx的導數．

解：y'＝(x3)'＋(sinx)'＝3x2＋cosx．

設問(繼續引入新課)：既然有(u±v)'＝u'±v'，那么是否也有

呢？

就上述“設問”給出兩個反例，以防止極限運算中，積和商的法則在此處的負遷移：

①把函數y＝x3看作函數u(x)=x和函數v(x)=x2的乘積，即 y=x·x2．

按(1)求導有：

y'＝(x·x2)'＝(x)'·(x2)'=2x．

顯然與y'＝(x3)'＝3x2的正確結果不符．可見該(1)為謬．

那么，正確的法則是什么呢？我們可以由導數的定義直接推導出來．

2．積的導數．

法則2 兩個函數的積的導數，等于第一個函數的導數乘以第二個函數，加上第一個函數乘以第二個函數的導數．即

其中u和v都是x的可導函數．

證明：設y＝f(x)＝u(x)·v(x)，則

Δy=u(x＋Δx)·v(x＋Δx)－u(x)·v(x)

＝u(x＋Δx)·v(x＋Δx)－u(x)·v(x＋Δx)＋u(x)·v(x＋Δx)－u(x)·v(x)，因為v(x)在點x處可導，所以它在點x處連續，于是當Δx→0時，v(x＋Δx)→v(x)，從而

即 y'=(uv)'=u'v＋uv'．

若c為常數，則從[法則2]立即可以推出：(cu)'=c'u＋cu'=0＋cu'=cu'．

就是說，常數與函數的積的導數，等于常數積以函數的導數．即

例2 求函數y＝(2x2＋3)(3x－2)的導數．

＝4x(3x－2)＋(2x2＋3)·3

＝18x2－8x＋9．

3．商的導數．

法則3 兩個函數的商的導數，等于分子的導數與分母的積，減去分母的導數與分子的積，再除以分母的平方．即

因為v(x)在點x處可導，所以它在點x處連續，于是 當Δx→0時，v(x＋Δx)→v(x)，從而

即

解：

例4 求證當n是負整數時，公式(xn)'=nxn-1

仍然成立．

證明：設 n=－m(m為正整數)

說明：

當n＝0時，(xn)'＝nxn-1也成立，所以對于一切整數n，公式(xn)'＝nxn-1成立．

四、小結

1．通過用導數的定義求導數的方法，可直接推導得函數和(或差)、積、商的導數公式：

(1)(u±v)'=u'±v'；

(2)(uv)'＝u'v＋uv'；(cu)'＝cu'(c為常數)；

其中u和v是x的可導函數．

2．公式(2)對于u和v是對稱的，而公式(3)對于u和v卻不是對稱的，這一點要特別注意．

3．和(或差)的導數法則可以推廣到任意有限個函數的情況

那么，對于任意有限個函數的積的導數又怎樣呢？(此問題要求學生在課后思考，下一節課將給予回答．)

五、布置作業

1．閱讀課本中“函數的和、差、積、商的導數”這一節的課文；

2．求下列函數的導數：

(1)y＝5x5－3x3＋x－25；

(2)y=ax4－bx2＋c；

(3)y＝sinx－x＋1；

(4)y=x2＋2cosx；

(5)y=(3x2＋1)(2－x)；

(6)y=(1－2x3)(x－3x2)；

(7)y＝sinx(1－x2)；

(8)y=(1＋2x)(1－cosx)；