第一篇：構造函數解導數

合理構造函數解導數問題

構造函數是解導數問題的基本方法，但是有時簡單的構造函數對問題求解帶來很大麻煩甚至是解決不了問題的，那么怎樣合理的構造函數就是問題的關鍵。

例1：已知函數f?x??ln?ax?1??x3?x2?ax.(1)若2為y?f?x?的極值點，求實數a的值； 3(2)若y?f?x?在?1,???上增函數，求實數a的取值范圍；(3)若a??1時，方程f?1?x???1?x??3b有實根，求實數b的取值范圍。x

變量分離直接構造函數 抓住問題的實質，化簡函數

1、已知f?x?是二次函數，不等式f?x??0的解集是?0,5?，且f?x?在區間??1,4?上的最大值12.（1）求f?x?的解析式；

（2）是否存在自然數m，使得方程f?x??37?0在區間?m,m?1?內有且只有兩個不等的x實數根？若存在，求出所有m的值；若不存在，請說明理由。

變式練習：設函數f?x??x?6x?5,x?R，求已知當x??1,???時，f?x??k?x?1?恒

3成立，求實數k的取值范圍。

抓住常規基本函數，利用函數草圖分析問題

例： 已知函數f?x??n?lnx的圖像在點P(m,f?m?)處的切線方程為y?x, 設g?x??mx?n?2lnx.x（1）求證：當x?1時，g?x??0恒成立；（2）試討論關于x的方程mx?n?g?x??x3?2ex2?tx根的個數。x第 1 頁

共 1 頁 一次函數，二次函數，指對數函數，冪函數，簡單的分式根式函數，絕對值函數的圖象力求清晰準確，一些綜合性的問題基本上是這些函數的組合體，如果適當分解和調配就一定能找到問題解決的突破口，使問題簡單化明確化。

復合函數問題一定要堅持定義域優先的原則，抓住函數的復合過程能夠逐層分解。例：已知函數f?x???單調遞增。

（1）求實數a的值.（2）若關于x的方程f2x?m有3個不同的實數解，求實數m的取值范圍.（3）若函數y?log2?f?x??p?的圖像與坐標軸無交點，求實數p的取值范圍。復合函數尤其是兩次復合，一定要好好掌握，構造兩種函數逐層分解研究，化繁為簡，導數仍然是主要工具。

1423x?x?ax2?2x?2在區間??1,1?上單調遞減，在區間?1,2?上43??

導數—構造函數

一：常規的構造函數

例一.若sin3??cos3??cos??sin?,0???2?，則角?的取值范圍是（）(A)[0,?4]

(B)[??5?,?]

(C)[,]

4(D)[?3?4,2)

x?y?xy變式、已知3?3?5?5成立，則下列正確的是（）

A.x?y?0

B.x?y?0

C.x?y?0

D.x?y?0

2變式.f?(x)為f(x)的導函數，若對x?R，2f(x)?xf?(x)?x恒成立，則下列命題可能錯誤的是()A．f(0)?0 B．f(1)?4f(2)C．f(?1)?4f(?2)D．4f(?2)?f(1)

二：構造一次函數

例

二、對于滿足|a|?2的所有實數a,求使不等式x2+ax+1>a+2x恒成立的x的取值范圍.第 2 頁

共 2 頁 三：變形構造函數 例三．已知函數f(x)?12x?ax?(a?1)lnx，a?1． 2（Ⅰ）討論函數f(x)的單調性；

（Ⅱ）證明：若a?5，則對任意x1,x2?(0,??)，x1?x2，有

例

四、已知函數f(x)?(a?1)lnx?ax2?1.（Ⅰ）討論函數f(x)的單調性；

（Ⅱ）設a??2，證明：對任意x1,x2?(0,??)，|f(x1)?f(x2)|?4|x1?x2|.四：消參構造函數

例

五、設函數f?x??x?aln?1?x?有兩個極值點x1，x2，且x1?x2．

2f(x1)?f(x2)??1．

x1?x2（I）求a的取值范圍，并討論f?x?的單調性；（II）證明：f?x2??

五：消元構造函數

例

六、已知函數f?x??lnx，g?x??ex．

（Ⅰ）若函數??x??f?x??1?2ln2． 4x?1，求函數??x?的單調區間； x?1（Ⅱ）設直線l為函數的圖象上一點A?x0,f?x0??處的切線．證明：在區間?1,???上存在唯一的x0，使得直線l與曲線y?g?x?相切．

第 3 頁

共 3 頁 六：二元合一構造函數

12ax?bx(a?0)且導數f'(1)?0 2（1）試用含有a的式子表示b，并求f(x)的單調區間；（2）對于函數圖象上的不同兩點A(x1,y1),B(x2,y2)如果在函數圖象上存在點M(x0,y0)（其中x0?(x1,x2)）使得點M處的切線l//AB，則稱AB存在“跟隨切線”。

x?x2特別地，當x0?1時，又稱AB存在“中值跟隨切線”。試問：在函數f(x)上是否存在2兩點A、B使得它存在“中值跟隨切線”，若存在，求出A、B的坐標，若不存在，說明理由。例

七、已知函數f(x)?lnx?

七：構造函數解不等式

例

八、設函數f(x)＝?x3?2mx2?m2x?1?m(其中m >-2)的圖像在x=2處的切線與直線y=-5x+12平行；

（Ⅰ）求m的值與該切線方程；

（Ⅱ）若對任意的x1,x2??0,1?,f?x1??f?x2??M恒成立，則求M的最小值；（Ⅲ）若a?0, b?0, c?0且a+b+c=1，試證明：

例

九、設函數f(x)?lnx?px?1

（Ⅰ）求函數f(x)?lnx?px?1的極值點

（Ⅱ）當p?0時，若對任意的x?0，恒有f(x)?0，求p的取值范圍。

abc9???

1?a21?b21?c210ln22ln32ln42lnn22n2?n?1（Ⅲ）證明：2?2?2?????2?(n?N,n?2)

234n2(n?1)

例

十、證明：對任意的正整數n，不等式ln(?1)?

第 4 頁

共 4 頁

1n11?3都成立.2nn1、移項法構造函數

【例1】已知函數f(x)?ln(x?1)?x，求證：當x??1時，恒有1?

2、作差法構造函數證明 【例2】已知函數f(x)?1?ln(x?1)?x x?112x?lnx.求證：在區間(1,??)上，函數f(x)的圖象在函數2g(x)?23x的圖象的下方； 3111?1)?2?3 都成立.nnn

3、換元法構造函數證明

【例3】證明：對任意的正整數n，不等式ln（4、從條件特征入手構造函數證明

【例4】若函數y=f(x)在R上可導且滿足不等式xf?(x)>－f(x)恒成立，且常數a，b滿足a>b，求證：．af(a)>bf(b)

第 5 頁

共 5 頁

第二篇：各種構造解導數壓軸題

活用構造策略

進入解題佳境

——例說各種構造法解決導數壓軸題

古縣二中

林立飛

摘要：函數與導數是高考的重要考點，不等式的恒成立問題、函數的零點問題、函數的極值點問題，隨著課改的深入與高等數學背景有關的這些問題也在考試中頻繁出現，這就需要一線教師對這些題型的解題規律進行探究與歸納。

關鍵詞：函數；導數；命題；構造；參數；羅比達法則

自從導數進入中學數學教材之后，給傳統的中學數學帶來了生機和活力，為中學數學研究提供了新的視角、新的方法和新的途徑，拓寬了高考的命題空間。應用導數知識，研究函數的單調性、零點，以及參數的取值范圍和證明不等式是近年高考數學考察重點和熱點。

特別值得關注的是，近幾年的高考導數壓軸題，題型新穎別致、不落俗套，綜合了函數、不等式、數列、邏輯等知識。往往以含參問題為載體，同時也蘊含了數形結合、分類討論、構造等等數學思想方法，綜合考察學生的分析問題和解決問題的能力，而且試題難度、深度和廣度試題還在不斷變化。如何進行突破，是值得研究的課題。通過對大量高考題和模擬題的分析研究，筆者給出了各種構造方法，能夠化復雜為簡單，化抽象為具體，達到以不變應萬變的功效。本文所有例題，均只給出與本文相關的題目條件和方法。

一、構造函數，柳岸花明又一村

構造函數是解決抽象不等式的基本方法，根據題設的條件，并借助初等函數的導數公式和導數的基本運算法則，相應地構造出輔助函數.通過進一步研究輔助函數的有關性質，給予巧妙的解答.在導數題中體會構造函數的數學價值。題型1：已知函數f(x)?lnx?a(x?1)，a∈R．(I)討論函數f(x)的單調性；(Ⅱ)當x?1時，f(x)≤(I)解（省略不談）。(Ⅱ)解:當x?1時,f(x)?lnx恒成立，求a的取值范圍。x?1lnxlnx恒成立等價于lnx-?a(x-1)

x?1x?1lnxxlnx令h(x)?lnx-?, g(x)?a(x-1)x?1x?1h?(x)?x?1?lnx , ?x?1, ?h?(x)?0,即h(x)在?1，???是增函數。(x?1)2 g?(x)?a,?當a?0時，g(x)在?1，???是增函數。又?h(1）?g(1)?0

?h(x)?g(x)(x?1)恒成立，只需h?(1)?g?(1)即1?a

2二、構造子區間，端點分析顯奇效

某些含參導數問題，如果追求一味的分離參數，往往很難奏效，但是假如從端點分析入手，發現端點是臨界情況，那么可以對端點進行分析，找到解題突破口。題型2.：設函數f(x)?ax2?a?lnx，其中a?R（1）討論單調性

1?e1?x在區間(1,??)內恒成立。x111?x1?x2?0 解：對于第二問：f(x)??e等價于ax?a?lnx??exx11?x2令F(x)?ax?a?lnx??e。由于F(1)?0，欲使得x?(1,??)，F(x)?0成立，x（2）確定a的所有確定的值，使得f(x)?則在x?1的端點右側，必存在子區間(1,1??)（范圍很小，下同），F(x)必須單調遞增，即F'(x)?0在(1,1??)必須成立，由極限思想F'(1)?0，所以a?成立的必要條件。

11，顯然a?是命題221，可得 F'(x)?0恒成立。211?x1證明過程如下：令F'(x)?g(x)?2ax??e?2

xx另一方面。可以證明，當a?x3?x?2122ax3?x?21?x1?x1?x??e?0 ?e則g'(x)?2a?2?e?3=33xxxx故g(x)在x?(1,??)遞增，又g(1)?2a?1?0，所以g(x)?g(1)?0，即F(x)?0 綜上，a?1

2三、構造直線，突破重圍建奇功

圖像是函數最直觀的模型，有些代數式經變形后具備特定的幾何意義，這時候可以考慮分解出一次函數，利用直線與函數圖象相切，充分運用數形結合求解,深刻揭示數學問題的本質．

題型3：（2010全國卷理科壓軸題）設函數f(x)=e?1?x?ax(1)若當a=

x21時，求f(x)的單調遞增區間； 2（2）若當x?0時，f(x)?0，求a的取值范圍。分析：（1）解略。

(2)考慮第二問，因為當x?0時，a?R，f(x)?0恒成立

ex?1ex?1?ax?1，令g(x)?當時，由題意變形為，h(x)?ax?1，xx(x?1)ex?1xxx?0g'(x)?，設（），則h(x)?(x?1)e?1h'(x)?xe?0，所以h(x)在2xx?0時單調遞增，從而h(x)?h(0)?0，易知g'(x)?0，由羅比達法則ex?1limg(x)??1，作出函數g(x)和h(x)圖象可知，只要limg'(x)?a，由羅比達

x?0x?0x法則limg'(x)?x?011，所以a?。22解題思路總結：

這里，選擇h(x)?ax?1，沒有選擇y?x?1，目的是使得參數a出現在直線方程中。以導數為工具，研究曲線的單調性,分析變化趨勢,然后在同一坐標系中，作出曲線和直線，從直線與曲線的位置關系出發，一般觀察或者比較在端點處曲線的切線斜率的大小關系建立不等式，有時需要求極限值，甚至使用羅比達法則。

四、構造不等式，撥開云霧見藍天：

已知條件中涉及導數的含參不等式問題頻繁出現在各類考題中，格外引人關注，由于這類問題對思維的靈活性較高，常讓學生忘而生畏，這種題型結構復雜，常規方法很難奏效，那么需要我們對不等式的結構進行分析，找到解決的突破口。（2018廈門市質檢題）：已知函數f(x)?(ax?x?a)e（1）若a?0，函數f(x)極大值為

2?x(a?R)

3，求實數a的值； e（2）若對任意的a?0，f(x)?bln(x?1)在x?[0,??)上恒成立，求實數b取值范圍。解：（1）問略

ax2?x?a?bln(x?1)成立，x?[0,??)（2）當a?0，f(x)?bln(x?1)?ex由于a?0，利用放縮法只需

x?bln(x?1)即可，這時候構建不等式：ex?x?1，xe可用構造法先證明之，令g(x)?ex?(x?1)，g'(x)?ex?1?0，所以g(x)?g(0)?0 從而又只需要：

xx?ln(x?1)，?bln(x?1)，經過觀察再構建不等式

x?1x?1x11x?ln(x?1)，令h'(x)?????0，x?1(x?1)2x?1(x?1)2可用構造法證明，h(x)?所以h(x)?h(0)?0，從而只要

x?ln(x?1)，因此b?1 x?1此種方法對于一些既含有指數函數，又含有對數函數的題目比較實用，通過化簡將二者進行分離，對于后面求解最值可降低難度.但此種方法需要進行合適的變形，這時需要讀者多嘗試幾種變形..總之，導數及其應用是高中數學的重要內容，是進一步學習高等數學的重要基礎.函數與導數綜合題其所含知識往往涉及函數、導數、方程、不等式等眾多高中數學主干知識,在高考試卷上，它是以壓軸題的形式呈現的.由于其信息量、思維量、運算量都比較大，解題方法往往有很強的綜合性和靈活性。需要具備較高的數學分析、解決問題的能力.由以上各例可以看出，上述幾種方法不是相互排斥的，而是相輔相成的.在具體問題中，往往是幾種方法互相配合、共同發力.只要運用得當，就能收到良好的效果。

參考書目1：高考導數問題命題分析及破題技巧 林勝德 《中學理科:高考導航》2006 參考書目2用導數解決不等式問題的幾點思考 郭建理 《中學數學》 2012.1

第三篇：構造函數,結合導數證明不等式

構造函數,結合導數證明不等式

摘 要：運用導數法證明不等式首先要構建函數，以函數作為載體可以用移項作差，直接構造；合理變形，等價構造；分析（條件）結論，特征構造；定主略從，減元構造；挖掘隱含，聯想構造等方法進行證明.關鍵詞：構造函數；求導；證明；不等式

利用導數證明不等式是四川高考壓軸題的熱點題型之一，此類問題的特點是：問題以不等式形式呈現，“主角”是導數，而不等式的證明不僅技巧性強，而且方法靈活多變，因此構造函數成為證明不等式的良好“載體”，如何有效合理地構造函數是證明不等式的關鍵所在，下面以實例談談如何構造函數的若干解題策略.注：此題也可用數學歸納法證明.解后感悟：函數隱藏越深，難度就越大，如何去尋找證明不等式的“母函數”是解決問題的關鍵，通過合理變形，展開思維聯想的翅膀，發現不等式背后的隱藏函數，便會柳暗花明.結束語：導數為證明不等式問題開辟了新方法，使過去不等式的證明方法，從特殊技巧變為通性通法，合理構造函數，能使解題更具備指向性，劍之所指，所向披靡.

第四篇：構造函數,利用導數證明不等式

構造函數，利用導數證明不等式

湖北省天門中學薛德斌2010年10月

例

1、設當x??a,b?時，f/(x)?g/(x)，求證：當x??a,b?時，f(x)?f(a)?g(x)?g(a)．

例

2、設f(x)是R上的可導函數，且當x?1時(x?1)f/(x)?0．

求證：（1）f(0)?f(2)?2f(1)；（2）f(2)?2f(1)．

例

3、已知m、n?N，且m?n，求證：(1?m)?(1?n)．

?nm

例

4、（2010年遼寧卷文科）已知函數f(x)?(a?1)lnx?ax2?1，其中a??2，證明：? x1,x2?(0,??)，|f(x1)?f(x2)|?4|x1?x2|.例

5、（2010年全國Ⅱ卷理科）設函數f?x??x?aIn?1?x?有兩個極值點x1、x2，且

2x1?x2，證明：f?x2??

1?2In2.4a?0，b?0，例

6、已知函數f(x)?xlnx，求證：f(a)?(a?b)ln2?f(a?b)?f(b).x?ln(1?x)?x； 1?x

11112n?c??????ln（2）設c?0，求證：.2?cn?1?cn?2?c2n?cn?c例

7、（1）已知x?0，求證：

第五篇：構造函數巧解不等式

構造函數巧解不等式

湖南 黃愛民

函數與方程，不等式等聯系比較緊密，如果從方程，不等式等問題中所提供的信息得知其本質與函數有關，該題就可考慮運用構造函數的方法求解。構造函數，直接把握問題中的整體性運用函數的性質來解題，是一種制造性的思維活動。因此要求同學們多分析數學題中的條件和結論的結構特征及內在聯系，能合理準確地構建相關函數模型。

一、構造函數解不等式

例

1、解不等式 810??x3?5x?0 3(x?1)x?

1分析；本題直接將左邊通分采用解高次不等式的思維來做運算較煩。但注意到8102323x?5x , 啟示我們構造函數且題中出現??()?5()3x?1x?1x?1(x?1)

f(x)=x3+5x去投石問路。解：將原不等式化為(232)?5()?x3?5x，令f(x)=x3+5x，則不等式變為x?1x?1

22f()?f(x)，∵f(x)=x3+5x在R上為增函數∴原不等式等價于?x，解x?1x?1之得：－1＜x＜2或x＜－2。

例

2、解不等式

1?x

2?2?0 x?11?x21?tan2??cos2?于是可構造三分析：由x?R及的特征聯想到萬能公式1?x21?tan2?

角函數，令x=tanα(??

2????

2)求解。

1?tan2?解：令x=tanα(????)?0，從 222tan??1??

1??3而2sin2??sin??1?0???sin??1∴????∴tanα＞?,∴x＞262

3?3。3

二、構造函數求解含參不等式問題。

例3已知不等式11112??????????loga(a?1)?對大于1的一切自然數nn?1n?22n12

3恒成立，試確定參數a的取值范圍。解：設f(n)?

∵f(n+1)-f(n)111?????????，n?1n?22n1111????0,∴f(n)是關于n 的增函2n?12n?2n?1(2n?1)(2n?2)

712∴f(n)?loga(a?1)?對大于1的一切自然數n恒12123

7121成立,必須有?loga(a?1)?∴loga(a?1)??1，而a＞1，∴a-1＜12123a數。又n≥2∴f(n)≥f(2)=

∴1＜a＜1?1?5∴a的取值范圍為（1，）。2

2三、構造函數證明不等式。

例

4、已知 |a|＜1,|b|＜1,|c|＜1，求證：ab+bc+ca＞-

1證：把a看成自變量x，作一次函數f(x)=bx+bc+cx+1=(b+c)x+bc+1, ∵|a|＜1,|b|＜1,|c|＜1∴－1＜x＜1

又∵f(-1)=-b-c+bc+1=(1-b)(1-c)>1

f(1)=b+c+bc+1=(1+b)(1+c)>0，又一次函數具有嚴格的單調性。∴f(x)=(b+c)x+bc+1在x∈（-1，1）的圖象位于x的上方，∴(b+c)x+bc+1>0,從而：(b+c)a+bc+1>0,即證：ab+bc+ca＞-1 例

5、已知???????，求證：x2?y2?z2?2xycos??2yzcos??2zxcos? 證明：考慮函數f(x)=x2?y2?z2?(2xycos??2yzcos??2zxcos?)=2

x2?2x(ycos??zcos?)?y2?z2?2yzcos?,其中??4(ycos??zcos?)2?4(y2?z2?2yzcos?)??4(ysin??zsin?)2?0 又x2的系數大于0，∴f(x)的值恒大于或等于0，∴x2?y2?z2?2xycos??2yzcos??2zxcos?。