第一篇：導數證明不等式構造函數法類別(教師版)

導數證明不等式構造函數法類別

1、移項法構造函數

1?ln(x?1)?x x?11?1，分析：本題是雙邊不等式，其右邊直接從已知函數證明，左邊構造函數g(x)?ln(x?1)?x?1【例1】 已知函數f(x)?ln(x?1)?x，求證：當x??1時，恒有1? 從其導數入手即可證明。

【解】f?(x)?1x?1?? x?1x?1∴當?1?x?0時，f?(x)?0，即f(x)在x?(?1,0)上為增函數

當x?0時，f?(x)?0，即f(x)在x?(0,??)上為減函數 故函數f(x)的單調遞增區間為(?1,0)，單調遞減區間(0,??)

于是函數f(x)在(?1,??)上的最大值為f(x)max?f(0)?0，因此，當x??1時，f(x)?f(0)?0，即ln(x?1)?x?0 ∴ln(x?1)?x（右面得證），現證左面，令g(x)?ln(x?1)?111x?1，則g?(x)? ??22x?1x?1(x?1)(x?1)當x?(?1,0)時,g?(x)?0;當x?(0,??)時,g?(x)?0，即g(x)在x?(?1,0)上為減函數，在x?(0,??)上為增函數，故函數g(x)在(?1,??)上的最小值為g(x)min?g(0)?0，1?1?0 x?111?1?ln(x?1)?x ∴ln(x?1)?1?，綜上可知，當x??1時,有x?1x?1∴當x??1時，g(x)?g(0)?0，即ln(x?1)?

2、作差法構造函數證明 【例2】已知函數f(x)? 圖象的下方；

分析：函數f(x)的圖象在函數g(x)的圖象的下方?不等式f(x)?g(x)問題，即只需證明在區間(1,??)上，恒有122x?lnx.求證：在區間(1,??)上，函數f(x)的圖象在函數g(x)?x3的 23122x?lnx?x3，23122x?lnx?x3成立，設F(x)?g(x)?f(x)，x?(1,??)，考慮到23F(1)?1?0 6要證不等式轉化變為：當x?1時，F(x)?F(1)，這只要證明： g(x)在區間(1,??)是增函數即可。【解】設F(x)?g(x)?f(x)，即F(x)?22312x?x?lnx，321(x?1)(2x2?x?1)(x?1)(2x2?x?1)則F?(x)?2x?x?= 當x?1時，F?(x)=

xxx從而F(x)在(1,??)上為增函數，∴F(x)?F(1)?∴當x?1時 g(x)?f(x)?0，即f(x)?g(x)，故在區間(1,??)上，函數f(x)的圖象在函數g(x)?

3、換元法構造函數證明

1?0 623x的圖象的下方。3111?1)?2?3 都成立.nnn1 分析：本題是山東卷的第（II）問，從所證結構出發，只需令?x，則問題轉化為：當x?0時，恒

n【例3】（2007年，山東卷）證明：對任意的正整數n，不等式ln(有ln(x?1)?x?x成立，現構造函數h(x)?x?x?ln(x?1)，求導即可達到證明。233213x3?(x?1)2?【解】令h(x)?x?x?ln(x?1)，則h?(x)?3x?2x?在x?(0,??)上恒正，x?1x?1322 所以函數h(x)在(0,??)上單調遞增，∴x?(0,??)時，恒有h(x)?h(0)?0，即x?x?ln(x?1)?0，∴ln(x?1)?x?x

對任意正整數n，取x?32231111?(0,??)，則有ln(?1)?2?3 nnnn【警示啟迪】當F(x)在[a,b]上單調遞增，則x?a時，有F(x)?F(a)．如果f(a)＝?(a)，要證明當x?a時，f(x)??(x)，那么，只要令F(x)＝f(x)－?(x)，就可以利用F(x)的單調增性來推導．也就是說，在F(x)可導的前提下，只要證明F'(x)?０即可．

4、從條件特征入手構造函數證明

【例4】若函數y=f(x)在R上可導且滿足不等式xf?(x)>－f(x)恒成立，且常數a，b滿足a>b，求證： af(a)>bf(b)

【解】由已知 xf?(x)+f(x)>0 ∴構造函數 F(x)?xf(x)，' 則F(x)? xf?(x)+f(x)>0，從而F(x)在R上為增函數。

?a?b ∴F(a)?F(b)即 af(a)>bf(b)【警示啟迪】由條件移項后xf?(x)?f(x)，容易想到是一個積的導數，從而可以構造函數F(x)?xf(x)，求導即可完成證明。若題目中的條件改為xf?(x)?f(x)，則移項后xf?(x)?f(x)，要想到是一個商的導數的分子，平時解題多注意總結。

5、主元法構造函數

例．（全國）已知函數f(x)?ln(1?x)?x,g(x)?xlnx(1)求函數f(x)的最大值；

a?b)?(b?a)ln2.2a?b)中以b為主變元構造函數, 證明：對g(x)?xlnx求導,則g'(x)?lnx?1.在g(a)?g(b)?2g(2(2)設0?a?b,證明 ：0?g(a)?g(b)?2g(設F(x)?g(a)?g(x)?2g(a?x'a?xa?x.)]?lnx?ln),則F'(x)?g'(x)?2[g(222' 當0?x?a時，F(x)?0,因此F(x)在(0,a)內為減函數.' 當x?a時,F(x)?0,因此F(x)在(a,??)上為增函數.從而當x?a時, F(x)有極小值F(a).因為F(a)?0,b?a,所以F(b)?0,即g(a)?g(b)?2g(又設G(x)?F(x)?(x?a)ln2.則G'(x)?lnx?lna?b)?0.2a?x?ln2?lnx?ln(a?x).2' 當x?0時,G(x)?0.因此G(x)在(0,??)上為減函數.因為G(a)?0,b?a,所以G(b)?0,即g(a)?g(b)?2g（6、構造二階導數函數證明導數的單調性 例．已知函數f(x)?ae?xa?b)?(b?a)ln2.212x 2(1)若f(x)在R上為增函數,求a的取值范圍;(2)若a=1,求證:x＞0時,f(x)>1+x x解：(1)f′(x)＝ ae－ｘ，∵ｆ（ｘ）在Ｒ上為增函數，∴f′(x)≥０對ｘ∈Ｒ恒成立，-ｘ-ｘ-ｘ-ｘ-x 即ａ≥ｘｅ對ｘ∈Ｒ恒成立 記ｇ（ｘ）＝ｘｅ，則ｇ′(ｘ)＝ｅ－ｘｅ=(1-x)e，當ｘ＞１時，ｇ′（ｘ）＜０，當ｘ＜１時，ｇ′（ｘ）＞０．

知ｇ（ｘ）在(-∞,1)上為增函數,在(1,+ ∞)上為減函數, ∴g(x)在x=1時,取得最大值，即g(x)max=g(1)=1/e, ∴a≥1/e, 即a的取值范圍是[1/e, + ∞)(2)記F(X)=f(x)－(1+x)=e?xx12x?1?x(x?0)2x

x 則F′(x)=e-1-x, 令h(x)= F′(x)=e-1-x,則h′(x)=e-1 當x>0時, h′(x)>0, ∴h(x)在(0,+ ∞)上為增函數, 又h(x)在x=0處連續, ∴h(x)>h(0)=0 即F′(x)>0 ,∴F(x)在(0,+ ∞)上為增函數,又F(x)在x=0處連續, ∴F(x)>F(0)=0,即f(x)>1+x．

7.對數法構造函數（選用于冪指數函數不等式）例：證明當x?0時,(1?x)1?1x?e1?x2

8.構造形似函數

例：證明當b?a?e,證明a?b ba

例：已知m、n都是正整數，且1?m?n,證明：(1?m)?(1?n)

nm4

【思維挑戰】

1、設a?0,f(x)?x?1?ln2x?2alnx 求證：當x?1時，恒有x?lnx?2alnx?1

2、已知定義在正實數集上的函數

f(x)?52122x?2ax,g(x)?3a2lnx?b,其中a>0，且b?a?3alna，22求證：f(x)?g(x)

3、已知函數f(x)?ln(1?x)?xb，求證：對任意的正數a、b，恒有lna?lnb?1?.1?xa4、f(x)是定義在（0，+∞）上的非負可導函數，且滿足xf?(x)?f(x)≤0，對任意正數a、b，若a < b，則必有（）

（A）af(b)≤bf(a)（C）af(a)≤f(b)

【答案咨詢】

1、提示：f?(x)?1? ∴

（B）bf(a)≤af(b)（D）bf(b)≤f(a)2lnx2a2lnx??1，當x?1，a?0時，不難證明xxxf?(x)?0，即f(x)在(0,??)內單調遞增，故當x?1時，f(x)?f(1)?0，∴當x?1時，恒有x?lnx?2alnx?1

123a222、提示：設F(x)?g(x)?f(x)?x?2ax?3alnx?b則F?(x)?x?2a?

2x(x?a)(x?3a)=(x?0)?a?0，∴ 當x?a時，F?(x)?0，x 故F(x)在(0,a)上為減函數，在(a,??)上為增函數，于是函數F(x)在(0,??)上的最小值是F(a)?f(a)?g(a)?0，故當x?0時，有f(x)?g(x)?0，即f(x)?g(x)

3、提示：函數f(x)的定義域為(?1,??)，f?(x)?11x ??1?x(1?x)2(1?x)2∴當?1?x?0時，f?(x)?0，即f(x)在x?(?1,0)上為減函數

當x?0時，f?(x)?0，即f(x)在x?(0,??)上為增函數

因此在x?0時,f(x)取得極小值f(0)?0，而且是最小值

x1，即ln(1?x)?1? 1?x1?xa1bab?1? 于是ln?1? 令1?x??0,則1?bx?1abab因此lna?lnb?1?

a于是f(x)?f(0)?0,從而ln(1?x)? f(x)f(x)xf'(x)?f(x)F(x)?

4、提示：F(x)?，F?(x)?，故在（0，+∞）上是減函數，由a?b ?02xxx有f(a)f(b)?? af(b)≤bf(a)故選（A）ab

第二篇：導數證明不等式構造函數法類別(學生版)

導數證明不等式構造函數法類別

1、移項法構造函數

1?ln(x?1)?x x?11?1，分析：本題是雙邊不等式，其右邊直接從已知函數證明，左邊構造函數g(x)?ln(x?1)?x?1【例1】 已知函數f(x)?ln(x?1)?x，求證：當x??1時，恒有1? 從其導數入手即可證明。

2、作差法構造函數證明 【例2】已知函數f(x)? 圖象的下方；

分析：函數f(x)的圖象在函數g(x)的圖象的下方?不等式f(x)?g(x)問題，即只需證明在區間(1,??)上，恒有122x?lnx.求證：在區間(1,??)上，函數f(x)的圖象在函數g(x)?x3的 23122x?lnx?x3，23122x?lnx?x3成立，設F(x)?g(x)?f(x)，x?(1,??)，考慮到23F(1)?1?0 6要證不等式轉化變為：當x?1時，F(x)?F(1)，這只要證明： g(x)在區間(1,??)是增函數即可。

3、換元法構造函數證明

111?1)?2?3 都成立.nnn1 分析：本題是山東卷的第（II）問，從所證結構出發，只需令?x，則問題轉化為：當x?0時，恒

n【例3】（2007年，山東卷）證明：對任意的正整數n，不等式ln(有ln(x?1)?x?x成立，現構造函數h(x)?x?x?ln(x?1)，求導即可達到證明。

2332

4、從條件特征入手構造函數證明

【例4】若函數y=f(x)在R上可導且滿足不等式xf?(x)>－f(x)恒成立，且常數a，b滿足a>b，求證： af(a)>bf(b)

5、主元法構造函數

1?x)?x,g(x)?xlnx 例．（全國）已知函數f(x)?ln((1)求函數f(x)的最大值；

(2)設0?a?b,證明 ：0?g(a)?g(b)?2g（6、構造二階導數函數證明導數的單調性 例．已知函數f(x)?ae?xa?b)?(b?a)ln2.212x 2(1)若f(x)在R上為增函數,求a的取值范圍;(2)若a=1,求證:x＞0時,f(x)>1+x

7.對數法構造函數（選用于冪指數函數不等式）例：證明當x?0時,(1?x)1?1x?e1?x2 8.構造形似函數

例：證明當b?a?e,證明ab?ba

例：已知m、n都是正整數，且1?m?n,證明：(1?m)n?(1?n)m

【思維挑戰】

1、設a?0,f(x)?x?1?ln2x?2alnx 求證：當x?1時，恒有x?lnx?2alnx?1

2、已知定義在正實數集上的函數

f(x)?52122x?2ax,g(x)?3a2lnx?b,其中a>0，且b?a?3alna，22求證：f(x)?g(x)

3、已知函數f(x)?ln(1?x)?

xb，求證：對任意的正數a、b，恒有lna?lnb?1?.1?xa4、f(x)是定義在（0，+∞）上的非負可導函數，且滿足xf?(x)?f(x)≤0，對任意正數a、b，若a < b，則必有（）

（A）af(b)≤bf(a)（C）af(a)≤f(b)

（B）bf(a)≤af(b)（D）bf(b)≤f(a)

第三篇：構造函數,結合導數證明不等式

構造函數,結合導數證明不等式

摘 要：運用導數法證明不等式首先要構建函數，以函數作為載體可以用移項作差，直接構造；合理變形，等價構造；分析（條件）結論，特征構造；定主略從，減元構造；挖掘隱含，聯想構造等方法進行證明.關鍵詞：構造函數；求導；證明；不等式

利用導數證明不等式是四川高考壓軸題的熱點題型之一，此類問題的特點是：問題以不等式形式呈現，“主角”是導數，而不等式的證明不僅技巧性強，而且方法靈活多變，因此構造函數成為證明不等式的良好“載體”，如何有效合理地構造函數是證明不等式的關鍵所在，下面以實例談談如何構造函數的若干解題策略.注：此題也可用數學歸納法證明.解后感悟：函數隱藏越深，難度就越大，如何去尋找證明不等式的“母函數”是解決問題的關鍵，通過合理變形，展開思維聯想的翅膀，發現不等式背后的隱藏函數，便會柳暗花明.結束語：導數為證明不等式問題開辟了新方法，使過去不等式的證明方法，從特殊技巧變為通性通法，合理構造函數，能使解題更具備指向性，劍之所指，所向披靡.

第四篇：構造函數,利用導數證明不等式

構造函數，利用導數證明不等式

湖北省天門中學薛德斌2010年10月

例

1、設當x??a,b?時，f/(x)?g/(x)，求證：當x??a,b?時，f(x)?f(a)?g(x)?g(a)．

例

2、設f(x)是R上的可導函數，且當x?1時(x?1)f/(x)?0．

求證：（1）f(0)?f(2)?2f(1)；（2）f(2)?2f(1)．

例

3、已知m、n?N，且m?n，求證：(1?m)?(1?n)．

?nm

例

4、（2010年遼寧卷文科）已知函數f(x)?(a?1)lnx?ax2?1，其中a??2，證明：? x1,x2?(0,??)，|f(x1)?f(x2)|?4|x1?x2|.例

5、（2010年全國Ⅱ卷理科）設函數f?x??x?aIn?1?x?有兩個極值點x1、x2，且

2x1?x2，證明：f?x2??

1?2In2.4a?0，b?0，例

6、已知函數f(x)?xlnx，求證：f(a)?(a?b)ln2?f(a?b)?f(b).x?ln(1?x)?x； 1?x

11112n?c??????ln（2）設c?0，求證：.2?cn?1?cn?2?c2n?cn?c例

7、（1）已知x?0，求證：

第五篇：構造法證明函數不等式

構造法證明函數不等式

1、利用導數研究函數的單調性極值和最值，再由單調性來證明不等式是函數、導數、不等式綜合中的一個難點，也是近幾年高考的熱點．

2、解題技巧是構造輔助函數，把不等式的證明轉化為利用導數研究函數的單調性或求最值，從而證得不等式，而如何根據不等式的結構特征構造一個可導函數是用導數證明不等式的關鍵．

一、移項法構造函數

【例1】已知函數f(x)?ln(x?1)?x，求證：當x??1時，恒有1?1?ln(x?1)?x． x?

1二、作差法構造函數證明

【例2】已知函數f(x)?的圖象的下方．

2312x?lnx，求證：在區間(1 ,??)上，函數f(x)的圖象在函數g(x)?x

32三、換元法構造函數證明

【例3】（2007年山東卷）證明：對任意的正整數n，不等式ln（111?1)?2?3都成立． nnn

四、從條件特征入手構造函數證明

【例4】若函數y?f(x)在R上可導，且滿足不等式xf'(x)??f(x)恒成立，常數a、b滿足a?b，求證：af(a)?bf(b)．

五、主元法構造函數

1?x)?x，g(x)?xlnx． 【例5】已知函數f(x)?ln(（1）求函數f(x)的最大值；

（2）設0?a?b，證明：0?g(a)?g(b)?2g（a?b)?(b?a)ln2．

2六、構造二階導函數證明函數的單調性（二次求導）

【例6】已知函數f(x)?ae?x12x． 2（1）若f(x)在R上為增函數，求a的取值范圍；（2）若a?1，求證：當x?0時，f(x)?1?x．

七、對數法構造函數（選用于冪指數函數不等式）

【例7】證明：當x?0時，(1?x)1?x?e1?2．

1、（2007年，安徽卷）設a?0，f(x)?x?1?ln2x?2alnx．

求證：當x?1時，恒有x?ln2x?2alnx?1．

2、（2007年，安徽卷）已知定義在正實數集上的函數f(x)?1x12x?2ax，g(x)?3a2lnx?b，其中2a?0，且b? 52a?3a2lna，求證：f(x)?g(x)．

23、已知函數f(x)?ln(1?x)? xb，求證：對任意的正數a、b，恒有lna?lnb?1?． 1?xa4、（2007年，陜西卷）f(x)是定義在(0 , ??)上的非負可導函數，且滿足xf'(x)?f(x)?0，對任意正數a、b，若a?b，則必有（）

A．af(b)?bf(a)

B．bf(a)?af(b)

C．af(a)?f(b)

D．bf(b)?f(a)例1【分析】 本題是雙邊不等式，其右邊直接從已知函數證明，左邊構造函數1?1，從其導數入手即可證明． x?11x?1??【解析】由題意得：f?(x)?，∴當?1?x?0時，f?(x)?0，即f(x)在x?1x?1g(x)?ln(x?1)?x?(?1 , 0)上為增函數；當x?0時，f?(x)?0，即f(x)在x?(0 , ??)上為減函數；故函數f(x)的單調遞增區間為(?1 , 0)，單調遞減區間(0 , ??)；于是函數f(x)在(?1 , ??)上的最大值為f(x)max?f(0)?0，因此，當x??1時，f(x)?f(0)?0，即ln(x?1)?x?0，∴ln(x?1)?x（右面得證）．現證左面，令g(x)?ln(x?1)?11x1???1，則g?(x)?22，x?1(x?1)(x?1)x?1當x?(?1 , 0)時，g'(x)?0；當x?(0 , ??)時，g'(x)?0，即g(x)在x?(?1 , 0)上為減函數，在x?(0 , ??)上為增函數，故函數g(x)在(?1 , ??)上的最小值為g(x)min?g(0)?0，1?1?0，x?111?1?ln(x?1)?x． ∴ln(x?1)?1?．綜上可知：當x??1時，有x?1x?1∴當x??1時，g(x)?g(0)?0，即ln(x?1)?【點評】如果f(a)是函數f(x)在區間上的最大（小）值，則有f(x)?f(a)（或f(x)?f(a)），那么要證不等式，只要求函數的最大值不超過0就可得證．

例2．【分析】函數f(x)的圖象在函數g(x)的圖象的下方?不等式f(x)?g(x)在(1 ,??)上恒成12212x?lnx?x3，只需證明在區間(1,??)上，恒有x2?lnx?x3成立，23231設F(x)?g(x)?f(x)，x?(1 , ??)，考慮到F(1)??0，要證不等式轉化變為：

6立問題，即當x?1時，F(x)?F(1)，這只要證明：g(x)在區間(1 ,??)是增函數即可． 【解析】設F(x)?g(x)?f(x)，即F(x)?22312x?x?lnx，321(x?1)(2x2?x?1)(x?1)(2x2?x?1)則F'(x)?2x?x??；當x?1時，F'(x)??0，從xxx而F(x)在(1,??)上為增函數，∴F(x)?F(1)?

1?0，∴當x?1時，g(x)?f(x)?0，即6f(x)?g(x)，故在區間(1,??)上，函數f(x)的圖象在函數g(x)?23x的圖象的下方． 3【點評】本題首先根據題意構造出一個函數（可以移項，使右邊為零，將移項后的左式設為函數），并利用導數判斷所設函數的單調性，再根據函數單調性的定義，證明要證的不等式．讀者也可以設F(x)?f(x)?g(x)做一做，深刻體會其中的思想方法． 例3．【分析】本題是山東卷的第（2）問，從所證結構出發，只需令

1?x，則問題轉化為：當x?0n時，恒有ln(x?1)?x2?x3成立，現構造函數h(x)?x3?x2?ln(x?1)，求導即可達到證明．

13x3?(x?1)2 【解析】 令h(x)?x?x?ln(x?1)，則h?(x)?3x?2x??x?1x?1322在x?(0 , ??)上恒正，∴函數h(x)在(0 , ??)上單調遞增，∴x?(0 , ??)時，恒有h(x)?h(0)?0，即x3?x2?ln(x?1)?0，∴ln(x?1)?x2?x3，對任意正整數n，取x?1111?(0 , ??)，則有ln(?1)?2?3． nnnn【點評】我們知道，當F(x)在[a , b]上單調遞增，則x?a時，有F(x)?F(a)．如果f(a)＝?(a)，要證明當x?a時，f(x)??(x)，那么，只要令F(x)＝f(x)－?(x)，就可以利用F(x)的單調增性來推導．也就是說，在F(x)可導的前提下，只要證明F'(x)?0即可．

例4．【解析】由已知：xf'(x)?f(x)?0，∴構造函數F(x)?xf(x)，則F'(x)?xf'(x)?f(x)?0，從而F(x)在R上為增函數，∵a?b，∴F(a)?F(b)，即af(a)?bf(b)．

【點評】由條件移項后xf?(x)?f(x)，容易想到是一個積的導數，從而可以構造函數F(x)?xf(x)，求導即可完成證明．若題目中的條件改為xf?(x)?f(x)，則移項后xf?(x)?f(x)，要想到是一個商的導數的分子，平時解題多注意總結．

例5．【分析】 對于第（2）小問，絕大部分的學生都會望而生畏．學生的盲點也主要就在對所給函數用不上．如果能挖掘一下所給函數與所證不等式間的聯系，想一想大小關系又與函數的單調性密切相關，由此就可過渡到根據所要證的不等式構造恰當的函數，利用導數研究函數的單調性，借助單調性比較函數值的大小，以期達到證明不等式的目的．（2）對g(x)?xlnx求導，則g'(x)?lnx?1．在g(a)?g(b)?2g(數，設F(x)?g(a)?g(x)?2g(a?b)中以b為主變元構造函2a?xa?xa?x)，則F'(x)?g'(x)?2[g()]'?lnx?ln． 222當0?x?a時，F'(x)?0，因此F(x)在(0 , a)內為減函數；當x?a時，F'(x)?0，因此F(x)在(a , ??)上為增函數．從而當x?a時，F(x)有極小值F(a)，∵F(a)?0，b?a，∴F(b)?0，即g(a)?g(b)?2g(a?b)?0．又設G(x)?F(x)?(x?a)ln2，則2G'(x)?lnx?lna?xG'(x)?0．?ln2?lnx?ln(a?x)；當x?0時，因此G(x)在(0 , ??)2a?b)?(b?a)ln2． 2上為減函數，∵G(a)?0，b?a，∴G(b)?0，即g(a)?g(b)?2g(例6．【解析】（1）f'(x)?aex?x，∵f(x)在R上為增函數，∴f'(x)?0對x?R恒成立，即a?xe?x對x?R恒成立；記g(x)?xe?x，則g'(x)?e?x?xe?x?(1?x)e?x；

當x?1時，g'(x)?0；當x?1時，g'(x)?0．知g(x)在(?? , 1)上為增函數，在(1 , ??)上為減函數，∴g(x)在x?1時，取得最大值，即g(x)max?g(1)?（2）記F(x)?f(x)?(1?x)?e?x111，∴a?，即a的取值范圍是[ , ??)．

eee12x?x?1（x?0），則F'(x)?ex?x?1，2令h(x)?F'(x)?ex?x?1，則h'(x)?ex?1；當x?0時，h'(x)?0，∴h(x)在(0 , ??)上為增函數，又h(x)在x?0處連續，∴h(x)?h(0)?0，即F'(x)?0，∴F(x)在(0 , ??)上為增函數，又F(x)在x?0處連續，∴F(x)?F(0)?0，即f(x)?1?x．【點評】當函數取最大（或最小）值時不等式都成立，可得該不等式恒成立，從而把不等式的恒成立問題可轉化為求函數最值問題．不等式恒成立問題，一般都會涉及到求參數范圍，往往把變量分離后可以轉化為m?f(x)（或m?f(x)）恒成立，于是m大于f(x)的最大值（或m小于f(x)的最小值），從而把不等式恒成立問題轉化為求函數的最值問題．因此，利用導數求函數最 值是解決不等式恒成立問題的一種重要方法．

例7．【解析】 對不等式兩邊取對數得(1?)ln(1?x)?1?1xx，化簡為2(1?x)ln(1?x)?2x?x2，2(l1?x)，設輔助函數f(x)?2x?x2?2(1?x)ln(，f'(x)?2x?2n1?x)（x?0）又f''(x)?2x?0（x?0），易知f'(x)在(0 , ??)上嚴格單調增加，從而f'(x)?f'(0)?01?x（x?0），又由f(x)在[0 , ??)上連續，且f'(x)?0，得f(x)在[0 , ??)上嚴格單調增加，∴f(x)?f(0)?0（x?0），即2x?x2?2(1?x)ln(1?x)?0，2x?x2?2(1?x)ln(1?x)，故(1?x)1?1x?e1?x2（x?0）．

1、【解析】f?(x)?1?2lnx2a2lnx??1，∴f?(x)?0，即f(x)，當x?1，a?0時，不難證明xxx 在(0,??)內單調遞增，故當x?1時，f(x)?f(1)?0，∴當x?1時，恒有x?ln2x?2alnx?1．

2、【解析】設F(x)?g(x)?f(x)?12x?2ax?3a2lnx?b，則23a2(x?a)(x?3a)（x?0），∵a?0，∴當x?a時，F'(x)?0，F'(x)?x?2a??xx故F(x)在(0 , a)上為減函數，在(a , ??)上為增函數，于是函數F(x)在(0 , ??)上的最小值是F(a)?f(a)?g(a)?0，故當x?0時，有f(x)?g(x)?0，即f(x)?g(x)．

3、【解析】函數f(x)的定義域為(?1 , ??)，f'(x)?11x??，∴當?1?x?01?x(1?x)2(1?x)2時，f'(x)?0，即f(x)在x?(?1 , 0)上為減函數；當x?0時，f'(x)?0，即f(x)在x?(0 , ??)上為增函數；因此在x?0時，f(x)取得極小值f(0)?0，而且是最小值，于是f(x)?f(0)?0，從而ln(1?x)?1xa1b?1?，于是，即ln(1?x)?1?，令1?x??0，則1?1?x1?xbx?1aabbf(x)xf'(x)?f(x)ln?1?，因此lna?lnb?1?．

4、?0，故【解析】F(x)?，F'(x)?baaxx2f(x)f(a)f(b)?af(b)?bf(a)，故選A． F(x)??在(0 , ??)上是減函數，由a?b有xab8