第一篇：構造函數法在導數中的應用（小編推薦）

構造函數法在導數中的應用

“作差法”構造

證明不等式或解決不等式恒成立問題都可以利用作差法將不等式右邊轉化為0，然后構造新函數[F（x）]，最后根據新函數[F（x）]的單調性轉化為[F（x）min≥0]或者[F（x）max≤0來解決.]

例1 設函數[f（x）=x1+x]，[g（x）=lnx+12].求證：當[0

∵[F（x）=1+x-x1+x2-1x=-x2-x-11+x2?x<0.]

∴[F（x）]在（0，1]上單調遞減.∵[F（1）=12-0-12=0，]

∴[F（x）]≥0，當且僅當[x=1]時，等號成立.∴當[0

恒成立問題中，求參數范圍的問題，常常分離參數轉化為[a≤F（x）min或者a≥F（x）max，]其中[F（x）]為構造的新函數.例2 若不等式[2x?lnx≥-x2+ax-3]恒成立，則實數[a]的取值范圍是（）

A.（-∞，0）B.（-∞，4]

C.（0，+∞）D.[4，+∞）

解析不等式[2x?lnx≥-x2+ax-3]恒成立，即[a≤2lnx+x+3x]在（0，+[∞]）上恒成立.設[h（x）=2lnx+x+3x]，則[h′（x）=（x+3）（x-1）x2（x>0）].當[x∈（0，1）]時，[h′（x）<0]，函數[h（x）]單調遞減；

當[x∈（1，+∞）]時，[h′（x）>0]，函數[h（x）]單調遞增.所以[h（x）min=h（1）=4].所以[a≤h（x）min=4].答案 B

根據題干的“結構特征”猜想構造

1.根據運算公式[f（x）?g（x）′=f（x）g（x）+f（x）g（x）]和[f（x）g（x）′][=f（x）g（x）-f（x）g（x）g（x）2來構造]

例3 已知函數[f（x）]的定義域是[R]，[f（0）=2]，對任意的[x∈R]，[f（x）+f（x）>1]恒成立，則不等式[ex?f（x）][>ex+1]的解集為（）

A.（0，+∞）B.（-∞，0）

C.（-1，+∞）D.（2，+∞）

解析構造函數[g（x）=ex?f（x）-ex]，因為[g′（x）=ex?f（x）+ex?f（x）-ex=ex[f（x）+f（x）]-ex]

[>ex-ex=0]，所以[g（x）=ex?f（x）-ex]為[R]上的增函數.又[g（0）=e0?f（0）-e0=1]，所以原不等式轉化為[g（x）>g（0）]，所以[x>]0.答案 A

例4 設函數[f（x）]滿足[x2?f（x）+2x?f（x）=exx，][f（2）=][e28，]則當[x>0]時，[f（x）]（）

A.有極大值，無極小值

B.有極小值，無極大值

C.既有極大值又有極小值

D.既無極大值又無極小值

解析構造函數[F（x）=x2?f（x）]

則[f（x）=F（x）x2′=ex-2F（x）x3，]

[令h（x）=ex-2F（x），則h（x）=ex（x-2）x.]

[∴h（x）]在（0，2）上單調遞減；在[（2，+∞）]上單調遞增.[∴h（x）≥h（2）=0].[∴f（x）≥0，∴f（x）在（0，+∞）上單調遞增.]

答案 D

2.根據已知條件等價轉化后再以“形式”來構造

運用下列形式的等價變形構造：分式形式[f（b）-f（a）b-a<1，] 絕對值形式[f（x1）-f（x2）][≥4x1-x2]，指對數形式[1×2×3×4×?×n≥en-sn.]

例5 設函數[ f（x）=lnx+mx]，[m∈R].（1）當[m=e]（[e]為自然對數的底數）時，求[f（x）]的極小值；

（2）討論函數[g（x）=f（x）-3x]零點的個數；

（3）若對任意[b>a>0]，[f（b）-f（a）b-a<1]恒成立，求[m]的取值范圍.解析（1）當[m=e]時，[f（x）=lnx+ex]，則[f（x）=x-ex2].∴當[x∈（0，e）]，[f（x）<0]，[f（x）]在[（0，e）]上單調遞減；

當[x∈（e，+∞）]，[f（x）>0]，[f（x）]在[（e，+∞]）上單調遞增.∴[x=e]時，[f（x）]取得極小值[f（e）=lne+ee]=2.∴[f（x）]的極小值為2.（2）由題設知，[g（x）=f（x）-x3=1x-mx2-x3（x>0）].令[g（x）=0]得，[m=-13x3+x（x>0）].設[φ（x）][=-13x3+x（x>0）]，則[φ（x）=-x2+1=-（x-1）（x+1）]，當[x∈（0，1]）時，[φ（x）]>0，[φ（x）]在（0，1）上單調遞增；

當[x∈（1，+∞）]時，[φ（x）]<0，[φ（x）]在（1，+∞）上單調遞減.∴[x=1]是[φ（x）]的惟一極值點，且是極大值點.因此[x=1]也是[φ（x）]的最大值點.∴[φ（x）]的最大值為[φ（1）]=[23].又[φ（0）]=0，結合[y=φ（x）]的圖象（如圖）可知，①當[m>23]時，函數[g（x）]無零點；

②當[m=23]時，函數[g（x）]有且只有一個零點；

③當[0

④當[m≤0]時，函數[g（x）]有且只有一個零點.綜上所述，當[m>23]時，函數[g（x）]無零點；

當[m=23]或[m≤0]時，函數[g（x）]有且只有一個零點；

當[0a>0]，[f（b）-f（a）b-a<1]恒成立[?f（b）-b0）]，∴[h（x）]在（0，+∞）上單調遞減.由[h′（x）=1x-mx2-1≤0]在（0，+∞）上恒成立得，[m≥-x2+x=-（x-12）2+14（x>0）]恒成立.∴[m≥14（對m=14，h（x）=0僅在x=12時成立）.]

∴[m]的取值范圍是[14，+∞].例6 已知[f（x）=（a+1）lnx+ax2+1]，（1）討論函數[f（x）]的單調性；

（2）[設a<-1，?x1，x2∈（0，+∞），][f（x1）-f（x2）][≥4x1-x2]恒成立，求[a]的取值范圍.解析（1）[∵x∈（0，+∞），∴f（x）=2ax2+a+1x.]

[①當a≥0時，f（x）>0，f（x）在（0，+∞）上單調遞增.②當-10時，f（x）在（0，-a+12a）上單調遞增；當f（x）<0時，f（x）在（-a+12a，+∞）上單調遞減.③當a≤-1時，f（x）<0，f（x）在（0，+∞）上單調遞減.]

（2）不妨設[x1≤x2，]由（1）可知，當[a<-1]時，[f（x）]在[（0，+∞）上單調遞減.]

[則有f（x1）-f（x2）≥4x1-x2]

[?f（x1）-f（x2）≥-4（x1-x2）]

[?f（x1）+4x1≥f（x2）+4x2.]

[構造函數g（x）=f（x）+4x，則g（x）=a+1x+2ax+4≤0].[∴a≤（-4x-12x2+1）min.]

[設φ（x）=-4x-12x2+1，x∈（0，+∞），]

[則φ（x）=4（2x-1）（x+1）（2x2+1）2.]

[故φ（x）在（0，12）上單調遞減；][在（12，+∞）上單調遞增].[∴φ（x）min=φ（12）=-2.]

[∴a≤-2.]

第二篇：導數的應用(構造法)

導數的應用（構造法證明不等式）

1.已知函數f(x)?lnx(p?0)是定義域上的增函數.（Ⅰ）求p的取值范圍；

（Ⅱ）設數列?an?的前n項和為Sn,且an?

2.已知函數f(x)?alnx?ax?3在x=2處的切線斜率為1，函數g(x)?x?x(f(x)?區間(2,3)內有最值,（Ⅰ）試判斷函數g(x)在區間(2,3)內有最大值還是最小值,并求m的范圍；（Ⅱ）證明不等式：ln(22?1)?ln(32?1)???ln(n2?1)?1?2lnn！.32/2n?1n，證明:Sn?2ln(n?1).m2)在3.已知函數f(x)?1?x

ax

3?lnx(a?0)在區間?1,???上為單調遞增函數.（Ⅰ）求實數a的范圍；（Ⅱ）證明：

4.已知函數f(x)?ln(x?1)?k(x?1)?1.（Ⅰ）討論函數f(x)的單調性；（Ⅱ）若f(x)?0恒成立，求k的取值范圍；（Ⅲ）證明：

ln23?ln34???lnnn?1?n(n?1)4,(n?N,n?1).?12????1n?lnn?1?12?13???1n?1,n?N,n?2.?

第三篇：構造函數解導數

合理構造函數解導數問題

構造函數是解導數問題的基本方法，但是有時簡單的構造函數對問題求解帶來很大麻煩甚至是解決不了問題的，那么怎樣合理的構造函數就是問題的關鍵。

例1：已知函數f?x??ln?ax?1??x3?x2?ax.(1)若2為y?f?x?的極值點，求實數a的值； 3(2)若y?f?x?在?1,???上增函數，求實數a的取值范圍；(3)若a??1時，方程f?1?x???1?x??3b有實根，求實數b的取值范圍。x

變量分離直接構造函數 抓住問題的實質，化簡函數

1、已知f?x?是二次函數，不等式f?x??0的解集是?0,5?，且f?x?在區間??1,4?上的最大值12.（1）求f?x?的解析式；

（2）是否存在自然數m，使得方程f?x??37?0在區間?m,m?1?內有且只有兩個不等的x實數根？若存在，求出所有m的值；若不存在，請說明理由。

變式練習：設函數f?x??x?6x?5,x?R，求已知當x??1,???時，f?x??k?x?1?恒

3成立，求實數k的取值范圍。

抓住常規基本函數，利用函數草圖分析問題

例： 已知函數f?x??n?lnx的圖像在點P(m,f?m?)處的切線方程為y?x, 設g?x??mx?n?2lnx.x（1）求證：當x?1時，g?x??0恒成立；（2）試討論關于x的方程mx?n?g?x??x3?2ex2?tx根的個數。x第 1 頁

共 1 頁 一次函數，二次函數，指對數函數，冪函數，簡單的分式根式函數，絕對值函數的圖象力求清晰準確，一些綜合性的問題基本上是這些函數的組合體，如果適當分解和調配就一定能找到問題解決的突破口，使問題簡單化明確化。

復合函數問題一定要堅持定義域優先的原則，抓住函數的復合過程能夠逐層分解。例：已知函數f?x???單調遞增。

（1）求實數a的值.（2）若關于x的方程f2x?m有3個不同的實數解，求實數m的取值范圍.（3）若函數y?log2?f?x??p?的圖像與坐標軸無交點，求實數p的取值范圍。復合函數尤其是兩次復合，一定要好好掌握，構造兩種函數逐層分解研究，化繁為簡，導數仍然是主要工具。

1423x?x?ax2?2x?2在區間??1,1?上單調遞減，在區間?1,2?上43??

導數—構造函數

一：常規的構造函數

例一.若sin3??cos3??cos??sin?,0???2?，則角?的取值范圍是（）(A)[0,?4]

(B)[??5?,?]

(C)[,]

4(D)[?3?4,2)

x?y?xy變式、已知3?3?5?5成立，則下列正確的是（）

A.x?y?0

B.x?y?0

C.x?y?0

D.x?y?0

2變式.f?(x)為f(x)的導函數，若對x?R，2f(x)?xf?(x)?x恒成立，則下列命題可能錯誤的是()A．f(0)?0 B．f(1)?4f(2)C．f(?1)?4f(?2)D．4f(?2)?f(1)

二：構造一次函數

例

二、對于滿足|a|?2的所有實數a,求使不等式x2+ax+1>a+2x恒成立的x的取值范圍.第 2 頁

共 2 頁 三：變形構造函數 例三．已知函數f(x)?12x?ax?(a?1)lnx，a?1． 2（Ⅰ）討論函數f(x)的單調性；

（Ⅱ）證明：若a?5，則對任意x1,x2?(0,??)，x1?x2，有

例

四、已知函數f(x)?(a?1)lnx?ax2?1.（Ⅰ）討論函數f(x)的單調性；

（Ⅱ）設a??2，證明：對任意x1,x2?(0,??)，|f(x1)?f(x2)|?4|x1?x2|.四：消參構造函數

例

五、設函數f?x??x?aln?1?x?有兩個極值點x1，x2，且x1?x2．

2f(x1)?f(x2)??1．

x1?x2（I）求a的取值范圍，并討論f?x?的單調性；（II）證明：f?x2??

五：消元構造函數

例

六、已知函數f?x??lnx，g?x??ex．

（Ⅰ）若函數??x??f?x??1?2ln2． 4x?1，求函數??x?的單調區間； x?1（Ⅱ）設直線l為函數的圖象上一點A?x0,f?x0??處的切線．證明：在區間?1,???上存在唯一的x0，使得直線l與曲線y?g?x?相切．

第 3 頁

共 3 頁 六：二元合一構造函數

12ax?bx(a?0)且導數f'(1)?0 2（1）試用含有a的式子表示b，并求f(x)的單調區間；（2）對于函數圖象上的不同兩點A(x1,y1),B(x2,y2)如果在函數圖象上存在點M(x0,y0)（其中x0?(x1,x2)）使得點M處的切線l//AB，則稱AB存在“跟隨切線”。

x?x2特別地，當x0?1時，又稱AB存在“中值跟隨切線”。試問：在函數f(x)上是否存在2兩點A、B使得它存在“中值跟隨切線”，若存在，求出A、B的坐標，若不存在，說明理由。例

七、已知函數f(x)?lnx?

七：構造函數解不等式

例

八、設函數f(x)＝?x3?2mx2?m2x?1?m(其中m >-2)的圖像在x=2處的切線與直線y=-5x+12平行；

（Ⅰ）求m的值與該切線方程；

（Ⅱ）若對任意的x1,x2??0,1?,f?x1??f?x2??M恒成立，則求M的最小值；（Ⅲ）若a?0, b?0, c?0且a+b+c=1，試證明：

例

九、設函數f(x)?lnx?px?1

（Ⅰ）求函數f(x)?lnx?px?1的極值點

（Ⅱ）當p?0時，若對任意的x?0，恒有f(x)?0，求p的取值范圍。

abc9???

1?a21?b21?c210ln22ln32ln42lnn22n2?n?1（Ⅲ）證明：2?2?2?????2?(n?N,n?2)

234n2(n?1)

例

十、證明：對任意的正整數n，不等式ln(?1)?

第 4 頁

共 4 頁

1n11?3都成立.2nn1、移項法構造函數

【例1】已知函數f(x)?ln(x?1)?x，求證：當x??1時，恒有1?

2、作差法構造函數證明 【例2】已知函數f(x)?1?ln(x?1)?x x?112x?lnx.求證：在區間(1,??)上，函數f(x)的圖象在函數2g(x)?23x的圖象的下方； 3111?1)?2?3 都成立.nnn

3、換元法構造函數證明

【例3】證明：對任意的正整數n，不等式ln（4、從條件特征入手構造函數證明

【例4】若函數y=f(x)在R上可導且滿足不等式xf?(x)>－f(x)恒成立，且常數a，b滿足a>b，求證：．af(a)>bf(b)

第 5 頁

共 5 頁

第四篇：構造函數法

函數與方程數學思想方法是新課標要求的一種重要的數學思想方法，構造函數法便是其中的一種。

高等數學中兩個重要極限

1．limsinx?1 x?0x

11x2．lim(1?)?e（變形lim(1?x)x?e）x?0x??x

由以上兩個極限不難得出，當x?0時

1．sinx?x，2．ln(1?x)?x（當n?N時，(1?)n?e?(1?)n?1）．

下面用構造函數法給出兩個結論的證明．

（1）構造函數f(x)?x?sinx，則f?(x)?1?cosx?0，所以函數f(x)在(0,??)上單調遞增，f(x)?f(0)?0．所以x?sinx?0，即sinx?x．

（2）構造函數f(x)?x?ln(1?x)，則f?(x)?1??1n1n1x??0．所以函數f(x)在1?x1?x

(0,??)上單調遞增，f(x)?f(0)?0，所以x?ln(1?x)，即ln(1?x)?x． ?1?要證?1???n?事實上：設1?n?11?1??e,兩邊取對數，即證ln?1???, nn?1??11?t,則n?(t?1), nt?1

1因此得不等式lnt?1?(t?1)t

1構造函數g(t)?lnt??1(t?1),下面證明g(t)在(1,??)上恒大于0． t

11g?(t)??2?0, tt

∴g(t)在(1,??)上單調遞增，g(t)?g(1)?0, 即lnt?1?, 1

t

1?1??1?∴ ln?1???,∴?1???n??n?n?1n?1?e,以上兩個重要結論在高考中解答與導數有關的命題有著廣泛的應用．

第五篇：高二數學2-2導數中構造函數

1．已知f(x)為定義在(??,??)上的可導函數，且f(x)?f(x)對于任意x?R恒成立，則（）A.f(2)?e2?f(0),B.f(2)?e2?f(0),C.f(2)?e2?f(0),D.f(2)?e2?f(0),1．A

【解析】解：因為f(x)為定義在(??,??)上的可導函數，且f(x)?f(x)對于任意x?R恒成立可以特殊函數f(x)=e,然后可知選A

x也可以構造函數g(x)=f(x)/e,2．函數f(x)的定義域為R，f(?1)?2，對任意x?R,f?(x)?2,則f(x)?2x?4的解集為

A．（-1，1）B.（-1，+?）C.(-?,-1)D.(-?,??)

2．B

【解析】設g(x)?f(x)?2x?4,則g?(x)?f?(x)?2?0對任意x?R都成立；所以函數2x'f(2010)?e2010?f(0)f(2010)?e2010?f(0)f(2010)?e2010?f(0)f(2010)?e2010?f(0)'g(x)是定義域R上的增函數，且g(?1)?0.所以不等式f(x)?2x?4，即

g(x)?0?g(?1)，所以x??1.故選B

3．已知可導函數f(x)(x?R)滿足f?(x)?f(x)，則當a?0時，f(a)和eaf(0)的大小關系為c

A．f(a)?eaf(0)B．f(a)?eaf(0)C．f(a)?eaf(0)D．f(a)?eaf(0)