第一篇：導數的應用4——構造函數證明數列不等式例題

導數的應用

（四）——構造函數證明數列不等式

例1（選講或練習）：求證 1111+++…+?ln(1?n)234n?1

例2．已知函數f(x)?ln(x?1)?k(x?1)?1

（1）求函數f(x)的單調區間；（2）若f(x)?0恒成立，試確定實數k的取值范圍；（3）證明：

①ln(x?1)?nx?2在（2，+?）上恒成立

lnin(n?1)?(n?N,n>1)(重點講練)②?i?14i?2反

例

3、設函數f(x)?lnx?px?1?p?0?．

（I）求函數f(x)的極值點，并判斷其為極大點還是極小值點；

ln22ln32lnn22n2?n?（II）證明：2?2???2?(n?N,n?2).2(n?1)23n（利用p=1時II的結論）．

例4已知函數f(x)?1?lnx,(x?1)x（１）試判斷函數f(x)的單調性，并說明理由； k恒成立，求實數k的取值范圍； x?12n?2?（３）求證： [(n?1)!]?(n?1)e,(n?N).（２）若f(x)?(階乘本質是數列前n項積的問題，可先證兩邊取對數的式子，即化為前n項和的問題)

例5（選講）、已知函數f(x)=x?ln(x+a)的最小值為0,其中a>0.(Ⅰ)求a的值;(Ⅱ)若對任意的x?[0,+?),有f(x)?kx成立,求實數k的最小值;(Ⅲ)證明

例6（培優用）已知函數f(x)?alnx?1(a?0).2n?2i?1?ln(2n+1)<2(n?N).（利用（2）的結論

*i=124； x?1（2）若對?x?(1,e)，f(x)?x恒成立，求實數a的取值范圍；（1）當a?1且x?1時，證明：f(x)?3?n?11（3）當a?時，證明：?f(i)?2(n?1?n?1)．

2i?2

例7(培優)

設f(x)的定義域為(0,??),f(x)的導函數為f?(x),且對任意正數x均有f?(x)?(Ⅰ)判斷函數F(x)?f(x)，xf(x)在(0,??)上的單調性； x

(Ⅱ)設x1，x2?(0,??)，比較f(x1)?f(x2)與f(x1?x2)的大小，并證明你的結論；

*（Ⅲ）設x1，x2，?xn?(0,??)，若n?2，比較f(x1)?f(x2)???f(xn)與f(x1?x2???xn)的大小，并證明你的結論.例8(培優).已知函數f(x)是在(0,??)上處處可導的函數,若x?f'(x)?f(x)在x?0上恒成立.(I)求證：函數g(x)?(II)當x1f(x)在(0,??)上是增函數；

x?0,x2?0時,證明:f(x1)?f(x2)?f(x1?x2)；(可否推廣？)

(III)構造函數證明

1111n2222ln2?ln3?ln4???ln(n?1)?(n?N*).22222(n?1)(n?2)234(n?1)鞏固練習：

1：求證

2：求證ln2ln3ln4lnn1???????(n>1)234nn2?ln2?ln3?ln4????lnn(n>1)n(n?1)

3.先證明下面不等式，并構造相應數列不等式并加以證明:(1)ln(1?x)?x(x?0)1?x1?x)?x(x?0)(2)ln(x1?x)?x(x?0)

第二篇：構造函數證明數列不等式

構造函數證明數列不等式 ln2ln3ln4ln3n5n?6?????n?3n?(n?N*).例1.求證：23436

ln2?ln3?lnn?2n2?n?1例2.求證:(1)??2,???????(n?2)?2(n?1)23n

例3.求證:

例4.求證:(1?

練習：

1求證:(1?1?2)?(1?2?3)???[1?n(n?1)]?e

2.證明:

3.已知a1?1,an?1?(1?

4.已知函數f(x)是在(0,??)上處處可導的函數,若x?2n?311111?????ln(n?1)?1???? 23n?12n111111)(1?)???(1?)?e和(1?)(1?)???(1?2n)?98132!3!n!e.ln2ln3ln4lnnn(n?1)??????(n?N*,n?1)345n?14112)a?.a?e證明.nnn2?n2nf'(x)?f(x)在x?0上恒成立.(I)求證：函數g(x)?

(II)當x1f(x)在(0,??)上是增函數； x?0,x2?0時,證明:f(x1)?f(x2)?f(x1?x2)；(III)已知不等式ln(1?x)?x在x??1且x?0時恒成立。

5.已知函數f(x)?xlnx.若a?0,b?0,證明:f(a)?(a?b)ln2?f(a?b)?f(b).

第三篇：構造函數,結合導數證明不等式

構造函數,結合導數證明不等式

摘 要：運用導數法證明不等式首先要構建函數，以函數作為載體可以用移項作差，直接構造；合理變形，等價構造；分析（條件）結論，特征構造；定主略從，減元構造；挖掘隱含，聯想構造等方法進行證明.關鍵詞：構造函數；求導；證明；不等式

利用導數證明不等式是四川高考壓軸題的熱點題型之一，此類問題的特點是：問題以不等式形式呈現，“主角”是導數，而不等式的證明不僅技巧性強，而且方法靈活多變，因此構造函數成為證明不等式的良好“載體”，如何有效合理地構造函數是證明不等式的關鍵所在，下面以實例談談如何構造函數的若干解題策略.注：此題也可用數學歸納法證明.解后感悟：函數隱藏越深，難度就越大，如何去尋找證明不等式的“母函數”是解決問題的關鍵，通過合理變形，展開思維聯想的翅膀，發現不等式背后的隱藏函數，便會柳暗花明.結束語：導數為證明不等式問題開辟了新方法，使過去不等式的證明方法，從特殊技巧變為通性通法，合理構造函數，能使解題更具備指向性，劍之所指，所向披靡.

第四篇：構造函數,利用導數證明不等式

構造函數，利用導數證明不等式

湖北省天門中學薛德斌2010年10月

例

1、設當x??a,b?時，f/(x)?g/(x)，求證：當x??a,b?時，f(x)?f(a)?g(x)?g(a)．

例

2、設f(x)是R上的可導函數，且當x?1時(x?1)f/(x)?0．

求證：（1）f(0)?f(2)?2f(1)；（2）f(2)?2f(1)．

例

3、已知m、n?N，且m?n，求證：(1?m)?(1?n)．

?nm

例

4、（2010年遼寧卷文科）已知函數f(x)?(a?1)lnx?ax2?1，其中a??2，證明：? x1,x2?(0,??)，|f(x1)?f(x2)|?4|x1?x2|.例

5、（2010年全國Ⅱ卷理科）設函數f?x??x?aIn?1?x?有兩個極值點x1、x2，且

2x1?x2，證明：f?x2??

1?2In2.4a?0，b?0，例

6、已知函數f(x)?xlnx，求證：f(a)?(a?b)ln2?f(a?b)?f(b).x?ln(1?x)?x； 1?x

11112n?c??????ln（2）設c?0，求證：.2?cn?1?cn?2?c2n?cn?c例

7、（1）已知x?0，求證：

第五篇：構造函數證明數列不等式答案

構造函數證明數列不等式答案

例1.求證：

ln22?ln33?ln44???

ln33

nn

?3?

n

5n?66

(n?N).*

解析:先構造函數有lnx?x?1?lnx?1?1,從而

x

x

ln22?ln33?ln44???

ln33

nn

?3?1?（n

?

???

n)

因為

?

???

n

?11???????23?11??111111??1

???????????????n?nn

2?13??456789??2

n?1

?3n?13??99?3?3

??????????????2?3n?1?3n

6?69??1827??

?5n

??

?6?

n

所以

ln22

?

ln33

?

ln44

???

ln33

n

n

?3?1?

n

5n6

?3?

5n?66

例2.求證:(1)??2,ln22

?

?

?

ln33

?

?

???

lnnn

?

?

?

2n

?n?1

2(n?1)

(n?2)

解析:構造函數f(x)?

lnxx,得到

lnnn

?

?

?

lnnn

2,再進行裂項

lnnn

?1?

1n

?1?

1n(n?1),所以有

?ln2,13?

?ln3?ln2,…,13

n

1n

?lnn?ln(n?1),1n?1

?ln(n?1)?lnn,相

加后可以得到:

???

1n?1

?ln(n?1)

另一方面SABDE?

1n?1

?

n?i

1x,從而有

1n?i

n

?i?

?

n?i

1x

n

?lnx|n?i?lnn?ln(n?i)取i?1

有,?lnn?ln(n?1),12

1n

所以有ln(n?1)?1?

???,所以綜上有

?

???

1n?1

12!

?ln(n?1)?1?

???

1n

例11.求證:(1?)(1?

13!)???(1?

1n!)?e和(1?

19)(1?

181)???(1?

2n)?e.解析:構造函數后即可證明

例12.求證:(1?1?2)?(1?2?3)???[1?n(n?1)]?e解析:ln[n(n?1)?1]?2?

3n(n?1)?1

2n?3,疊加之后就可以得到答案

例13.證明:

ln23?ln34?ln45

lnnn?1

?

???

n(n?1)

(n?N*,n?1)

解析:構造函數f(x)?ln(x?1)?(x?1)?1(x?1),求導,可以得到:f'(x)?

1x?1

?1?

2?xx?1

'',令f(x)?0有1?x?2,令f(x)?0有x?2,所以f(x)?f(2)?0,所以ln(x?1)?x?2,令x?n?1有,lnn

lnnn?1

n?12

?n?1

所以

?,所以

ln23

?

ln34

?

ln45

???

lnnn?1

?

n(n?1)

(n?N*,n?1)

例14.已知a1?1,an?1?(1?

1n(n?1)

1n?n

n)an?

n

.證明an?e.12

n

解析: an?1?(1?)an?

?(1?

1n(n?1)

?)an,然后兩邊取自然對數,可以得

到lnan?1?ln(1?

1n(n?1)

?

n)?lnan

然后運用ln(1?x)?x和裂項可以得到答案)放縮思路：

an?1?(1?

1n

?n

?

2n)an?lnan?1?ln(1?

1n?n

?

n)?lnan??lnan?

1n?n

?

n

。于

是lnan?1?lnan?

1n?n

?

n，n?1n?1

?

i?1

(lnai?1?lnai)?

?

i?1

1n?1

1?()

11111 2(2?i)?lnan?lna1?1???2??n?2.1nn2i?i2

1?

即lnan?lna1?2?an?e.注：題目所給條件ln(1?x)?x（x?0）為一有用結論，可以起到提醒思路與探索放縮方向的作用；當然，本題還可用結論2

an?1?(1?

1n(n?1))an?

1n(n?1)

n

?n(n?1)(n?2)來放縮：

?an?1?1?(1?

1n(n?1))(an?1)?

ln(an?1?1)?ln(an?1)?ln(1?

n?1

n?1

1n(n?1)

1i(i?1))?

1n(n?1)

.1n?1，?

?[ln(ai?1?1)?ln(ai?1)]?

i?2

?

i?2

?ln(an?1)?ln(a2?1)?1?

即ln(an?1)?1?ln3?an?3e?1?e.例15.(2008年廈門市質檢)已知函數f(x)是在(0,??)上處處可導的函數,若x?f'(x)?f(x)

f(x)x

在x?0上恒成立.(I)求證：函數g(x)?在(0,??)上是增函數；

(II)當x1?0,x2?0時,證明:f(x1)?f(x2)?f(x1?x2)；(III)已知不等式ln(1?x)?x在x??1且x?0時恒成立，求證：

ln2?

ln3?

ln4???

1(n?1)

ln(n?1)?

n

2(n?1)(n?2)

(n?N).*

解析:(I)g'(x)?

f'(x)x?f(x)

xf(x)x

?0,所以函數g(x)?

f(x)x

在(0,??)上是增函數

(II)因為g(x)?在(0,??)上是增函數,所以

f(x1)x1

?

f(x1?x2)x1?x2

?f(x1)?

x1x1?x2

?f(x1?x2)

f(x2)x2

?

f(x1?x2)x1?x2

?f(x2)?

x2x1?x2

?f(x1?x2)

兩式相加后可以得到f(x1)?f(x2)?f(x1?x2)(3)

f(x1)x1

?

f(x1?x2???xn)x1?x2???xn

?f(x1)?

x1

x1?x2???xn

x2

x1?x2???xn

xn

x1?x2???xn

?f(x1?x2???xn)

f(x2)x2f(xn)xn

?

f(x1?x2???xn)x1?x2???xnf(x1?x2???xn)x1?x2???xn

?f(x2)?

?f(x1?x2???xn)……

?

?f(xn)?

?f(x1?x2???xn)

相加后可以得到:

f(x1)?f(x2)???f(xn)?f(x1?x2???xn)所以

x1lnx1?x2lnx2?x3lnx3???xnlnxn?(x1?x2???xn)ln(x1?x2???xn)

令xn?

?11112222?????ln2?ln3?ln4???ln(n?1),有 222?22?2

34(n?1)(1?n)??

??111

???ln????22??2

3(n?1)??2

?

???

?1111??????222?2

34(n?1)?2

?111

???22?32???(n?1)2

?

??111??ln???????(n?1)n?2?13?2??

???

1??11?n?

?????????

n?12n?22(n?1)(n?2)????

所以

ln2?

ln3?

ln4???

1(n?1)

ln(n?1)?

n

2(n?1)(n?2)

(n?N).*

(方法二)

ln(n?1)(n?1)

?

ln(n?1)

(n?1)(n?2)

?

1??1

?ln4???

(n?1)(n?2)?n?1n?2?

1?nln4?12

ln(n?1)?ln4????2

(n?1)?2n?2?2(n?2)1

ln4

所以

ln2?

ln3?

ln4???

又ln4?1?

1n?1,所以1ln22?1ln32?1ln42???

222

1(n?1)

ln(n?1)?

n

2(n?1)(n?2)

(n?N).*

例16.(2008年福州市質檢)已知函數f(x)?xlnx.若a?0,b?0,證明:f(a)?(a?b)ln2?f(a?b)?f(b).解析:設函數g(x)?f(x)?f(k?x),?f(x)?xlnx,(k?0)

?g(x)?xlnx?(k?x)ln(k?x),?0?x?k.?g?(x)?lnx?1?ln(k?x)?1?ln令g?(x)?0,則有

xk?x

?1?

xk?x,k2

?x?k.2x?kk?x

?0?

∴函數g(x)在[,k）上單調遞增，在(0,k

k2

]上單調遞減.kk

∴g(x)的最小值為g()，即總有g(x)?g().22

而g()?f()?f(k?

k

k

k2)?kln

k2

?k(lnk?ln2)?f(k)?kln2,?g(x)?f(k)?kln2, 即f(x)?f(k?x)?f(k)?kln2.令x?a,k?x?b,則k?a?b.?f(a)?f(b)?f(a?b)?(a?b)ln2.?f(a)?(a?b)ln2?f(a?b)?f(b).