第一篇：數學論文-導數在函數中的應用

導數在函數中的應用

【摘 要】新課程利用導數求曲線的切線，判斷或論證函數的單調性，函數的極值和最值。導數是分析和解決問題的有效具。

【關鍵詞】導數 函數的切線 單調性 極值和最值

導數（導函數的簡稱）是一個特殊函數，它的引出和定義始終貫穿著函數思想。新課程增加了導數的內容，隨著課改的不斷深入，導數知識考查的要求逐漸加強，而且導數已經由前幾年只是在解決問題中的輔助地位上升為分析和解決問題時的不可缺少的工具。函數是中學數學研究導數的一個重要載體，函數問題涉及高中數學較多的知識點和數學思想方法。近年好多省的高考題中都出現以函數為載體，通過研究其圖像性質，來考查學生的創新能力和探究能力的試題。本人結合教學實踐，就導數在函數中的應用作個初步探究。

有關導數在函數中的應用主要類型有：求函數的切線，判斷函數的單調性，求函數的極值和最值，利用函數的單調性證明不等式，這些類型成為近兩年最閃亮的熱點，是高中數學學習的重點之一，預計也是“新課標”下高考的重點。

一、用導數求函數的切線

例1.已知曲線y=x3-3x2-1，過點（1，-3）作其切線，求切線方程。

分析：根據導數的幾何意義求解。

解：y′ = 3x2-6x，當x=1時y′=-3，即所求切線的斜率為-3.故所求切線的方程為y+3 =-3(x-1)，即為：y =-3x.1、方法提升：函數y=f(x)在點x0處的導數的幾何意義，就是曲線y=f(x)在點P（x0，y=f(x0)）處的切線的斜率。既就是說，曲線y=f(x)在點P（x0，y=f(x0)）處的切線的斜率是f′(x0)，相應的切線方程為y-y0= f′(x0)(x-x0)。

二、用導數判斷函數的單調性

例2．求函數y=x3-3x2-1的單調區間。

分析：求出導數y′，令y′>0或y′<0，解出x的取值范圍即可。

解：y′= 3x2-6x，由y′>0得3x2-6x﹥0，解得x﹤0或x﹥2。

由y′<0 得3x2-6x﹤0，解得0﹤x＜2。

故 所求單調增區間為(-∞，0)∪(2，+∞)，單調減區間為(0，2)。

2、方法提升：利用導數判斷函數的單調性的步驟是：（1）確定f(x)的定義域；（2）求導數f′(x)；（3）在函數f(x)的定義域內解不等式f′(x)>0和f′(x)<0；（4）確定f(x)的單調區間.若在函數式中含字母系數，往往要分類討論。

三、用導數求函數的極值

例3．求函數f(x)=(1/3)x3-4x+4的極值

解：由 f′(x)=x2-4=0，解得x=2或x=－2.當x變化時，y′、y的變化情況如下：

當x=－2時，y有極大值f(-2)=－（28/3），當x=2時，y有極小值f(2)=－(4/3).3、方法提升：求可導函數極值的步驟是：（1）確定函數定義域，求導數f′(x)；（2）求f′(x)= 0的所有實數根；（3）對每個實數根進行檢驗，判斷在每個根（如x0）的左右側，導函數f′(x)的符號如何變化，如果f′(x)的符號由正變負，則f(x0)是極大值；如果f′(x)的符號由負變正，則f(x0)是極小值.。注意：如果f′(x)= 0的根x = x0的左右側符號不變，則f(x0)不是極值。

四、用導數求函數的最值

五、證明不等式

5、方法提升：利用導數證明不等式是近年高考中出現的一種熱點題型。其方法可以歸納為“構造函數，利用導數研究函數最值”。

總之，導數作為一種工具，在解決數學問題時使用非常方便，尤其是可以利用導數來解決函數的單調性，極值，最值以及切線問題。在導數的應用過程中，要加強對基礎知識的理解，重視數學思想方法的應用，達到優化解題思維，簡化解題過程的目的，更在于使學生掌握一種科學的語言和工具，進一步加深對函數的深刻理解和直觀認識。參考資料：

1、普通高中課程標準實驗教科書（北京師范大學出版社）

2、高中數學教學參考

第二篇：《導數在函數中的應用——單調性》教學反思

本節課是一節新授課，教材所提供的信息很簡單，如果直接得出結論學生也能接受。可學生只能進行簡單的模仿應用，為了突出知識的發生過程，不把新授課上成習題課。設計思路如下以便教會學生會思考解決問題。

1、首先從同學們熟悉的過山車模型入手，將實際問題轉化為數學模型，提出如何刻畫函數的變化趨勢，引出課題。研究從學生熟悉的一次函數，二次函數入手，尋找導數和單調性的關系，用幾何畫板演示特殊的三次函數的圖像，研究單調性和導數。在此基礎上提出問題：單調性和導數到底有怎樣的關系？學生通過思考、討論、交流形成結論。也使學生感受到解決數學問題的一般方法：從簡單到復雜，從特殊到一般。

2、在結論得出后，繼續引導學生思考，提出自己的困惑，因為確實有學生對結論有不一樣的想法，所以，盡可能地暴露問題，讓學生徹底理解、掌握。

3、鋪墊：在引入部分，我涉及到了一個三次的函數，而例2就是此題的變式，這樣既可以在開始引起學生興趣，后來他們自己解決了看似復雜的問題，增加了信心，也做到了首尾呼應。

4、在知識應用中重點指導學生解題步驟，在學生自己總結解題步驟時，發現學生忽略了第一點求函數定義域，所以我就將錯就錯，給出了求函數的單調區間，很多學生栽了跟頭，然后自己總結出應該先求函數定義域。雖然這道題花了些時間，但我覺得很值得，我想學生印象也會更深刻。

5、數形結合：數形結合不是光口頭去說，而是利用一切機會去實施，在例1的教學中，我讓學生先熟練法則，再從形上分析，加深印象，這樣在后面緊接的高考題中（沒有給解析式），學生會迎刃而解。

為了培養學生的自主學習、自主思考的能力，激發學習興趣，在教學中采取引導發現法，利用多媒體等手段引導學生動口、動腦、參與數學活動，發揮主觀能動性，主動探索新知。讓學生分組討論，合作交流，共同探討問題。但是，真正做到以學生為中心，學生100%參與，體現三維目標，培養學習能力還是比較困難。在今后的教學中，應更注重學生的參與，引發認知沖突，教會學生思考問題。

第三篇：導數在研究函數問題中的應用

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導數在研究函數問題中的應用

作者：朱季生

來源：《中學教學參考·理科版》2013年第04期

函數是高中數學的重要內容和主干知識，而導數知識在研究函數圖象、函數零點、不等式證明以及不等式恒成立等諸多問題中亦有著廣泛的應用.本文以2012年福建省高考中的函數試題舉例闡述.一、函數的凹凸性與拐點的有關性質

第四篇：導數在高中數學中的應用

導數在高中數學中的應用

導數是解決高中數學問題的重要工具之一，很多數學問題如果利用導數的方法來解決，不僅能迅速找到解題的切入點，甚至解決一些原來只是解決不了的問題。而且能夠把復雜的分析推理轉化為簡單的代數運算，化難為易，事半功倍的效果.如在求曲線的切線方程、方程的根、函數的單調性、最值問題；數列，不等式等相關問題方面，導數都能發揮重要的作用。

導數（導函數的簡稱）是一個特殊函數，所以它始終貫穿著函數思想。隨著課改的不斷深入，新課程增加了導數的內容，導數知識考查的要求逐漸加強，而且導數已經在高考中占有很重要的地位，導數已經成為解決問題的不可缺少的工具。函數是中學數學研究導數的一個重要載體，近年好多省的高考題中都出現以函數為載體，通過研究導函數其圖像性質，來研究原函數的性質。本人結合教學實踐，就導數在函數中的應用作個初步探究。

導數在高中數學中的應用主要類型有：求函數的切線，判斷函數的單調性，求函數的極值和最值，利用函數的單調性證明不等式，尤其函數的單調性和函數的極值及最值，是高中數學學習的重點之一，預計也是“新課標”下高考的重點。

一、用導數求切線方程

方法提升：利用導數證明不等式是近年高考中出現的一種熱點題型。其方法可以歸納為“構造函數，利用導數研究函數最值”。

總之，導數作為一種工具，在解決數學問題時使用非常方便，尤其是可以利用導數來解決函數的單調性，極值，最值。在導數的應用過程中，要加強對基礎知識的理解，重視數學思想方法的應用，達到優化解題思維，簡化解題過程的目的，更在于使學生掌握一種科學的語言和工具，進一步加深對函數的深刻理解和直觀認識。

第五篇：構造函數法在導數中的應用（小編推薦）

構造函數法在導數中的應用

“作差法”構造

證明不等式或解決不等式恒成立問題都可以利用作差法將不等式右邊轉化為0，然后構造新函數[F（x）]，最后根據新函數[F（x）]的單調性轉化為[F（x）min≥0]或者[F（x）max≤0來解決.]

例1 設函數[f（x）=x1+x]，[g（x）=lnx+12].求證：當[0

∵[F（x）=1+x-x1+x2-1x=-x2-x-11+x2?x<0.]

∴[F（x）]在（0，1]上單調遞減.∵[F（1）=12-0-12=0，]

∴[F（x）]≥0，當且僅當[x=1]時，等號成立.∴當[0

恒成立問題中，求參數范圍的問題，常常分離參數轉化為[a≤F（x）min或者a≥F（x）max，]其中[F（x）]為構造的新函數.例2 若不等式[2x?lnx≥-x2+ax-3]恒成立，則實數[a]的取值范圍是（）

A.（-∞，0）B.（-∞，4]

C.（0，+∞）D.[4，+∞）

解析不等式[2x?lnx≥-x2+ax-3]恒成立，即[a≤2lnx+x+3x]在（0，+[∞]）上恒成立.設[h（x）=2lnx+x+3x]，則[h′（x）=（x+3）（x-1）x2（x>0）].當[x∈（0，1）]時，[h′（x）<0]，函數[h（x）]單調遞減；

當[x∈（1，+∞）]時，[h′（x）>0]，函數[h（x）]單調遞增.所以[h（x）min=h（1）=4].所以[a≤h（x）min=4].答案 B

根據題干的“結構特征”猜想構造

1.根據運算公式[f（x）?g（x）′=f（x）g（x）+f（x）g（x）]和[f（x）g（x）′][=f（x）g（x）-f（x）g（x）g（x）2來構造]

例3 已知函數[f（x）]的定義域是[R]，[f（0）=2]，對任意的[x∈R]，[f（x）+f（x）>1]恒成立，則不等式[ex?f（x）][>ex+1]的解集為（）

A.（0，+∞）B.（-∞，0）

C.（-1，+∞）D.（2，+∞）

解析構造函數[g（x）=ex?f（x）-ex]，因為[g′（x）=ex?f（x）+ex?f（x）-ex=ex[f（x）+f（x）]-ex]

[>ex-ex=0]，所以[g（x）=ex?f（x）-ex]為[R]上的增函數.又[g（0）=e0?f（0）-e0=1]，所以原不等式轉化為[g（x）>g（0）]，所以[x>]0.答案 A

例4 設函數[f（x）]滿足[x2?f（x）+2x?f（x）=exx，][f（2）=][e28，]則當[x>0]時，[f（x）]（）

A.有極大值，無極小值

B.有極小值，無極大值

C.既有極大值又有極小值

D.既無極大值又無極小值

解析構造函數[F（x）=x2?f（x）]

則[f（x）=F（x）x2′=ex-2F（x）x3，]

[令h（x）=ex-2F（x），則h（x）=ex（x-2）x.]

[∴h（x）]在（0，2）上單調遞減；在[（2，+∞）]上單調遞增.[∴h（x）≥h（2）=0].[∴f（x）≥0，∴f（x）在（0，+∞）上單調遞增.]

答案 D

2.根據已知條件等價轉化后再以“形式”來構造

運用下列形式的等價變形構造：分式形式[f（b）-f（a）b-a<1，] 絕對值形式[f（x1）-f（x2）][≥4x1-x2]，指對數形式[1×2×3×4×?×n≥en-sn.]

例5 設函數[ f（x）=lnx+mx]，[m∈R].（1）當[m=e]（[e]為自然對數的底數）時，求[f（x）]的極小值；

（2）討論函數[g（x）=f（x）-3x]零點的個數；

（3）若對任意[b>a>0]，[f（b）-f（a）b-a<1]恒成立，求[m]的取值范圍.解析（1）當[m=e]時，[f（x）=lnx+ex]，則[f（x）=x-ex2].∴當[x∈（0，e）]，[f（x）<0]，[f（x）]在[（0，e）]上單調遞減；

當[x∈（e，+∞）]，[f（x）>0]，[f（x）]在[（e，+∞]）上單調遞增.∴[x=e]時，[f（x）]取得極小值[f（e）=lne+ee]=2.∴[f（x）]的極小值為2.（2）由題設知，[g（x）=f（x）-x3=1x-mx2-x3（x>0）].令[g（x）=0]得，[m=-13x3+x（x>0）].設[φ（x）][=-13x3+x（x>0）]，則[φ（x）=-x2+1=-（x-1）（x+1）]，當[x∈（0，1]）時，[φ（x）]>0，[φ（x）]在（0，1）上單調遞增；

當[x∈（1，+∞）]時，[φ（x）]<0，[φ（x）]在（1，+∞）上單調遞減.∴[x=1]是[φ（x）]的惟一極值點，且是極大值點.因此[x=1]也是[φ（x）]的最大值點.∴[φ（x）]的最大值為[φ（1）]=[23].又[φ（0）]=0，結合[y=φ（x）]的圖象（如圖）可知，①當[m>23]時，函數[g（x）]無零點；

②當[m=23]時，函數[g（x）]有且只有一個零點；

③當[0

④當[m≤0]時，函數[g（x）]有且只有一個零點.綜上所述，當[m>23]時，函數[g（x）]無零點；

當[m=23]或[m≤0]時，函數[g（x）]有且只有一個零點；

當[0a>0]，[f（b）-f（a）b-a<1]恒成立[?f（b）-b0）]，∴[h（x）]在（0，+∞）上單調遞減.由[h′（x）=1x-mx2-1≤0]在（0，+∞）上恒成立得，[m≥-x2+x=-（x-12）2+14（x>0）]恒成立.∴[m≥14（對m=14，h（x）=0僅在x=12時成立）.]

∴[m]的取值范圍是[14，+∞].例6 已知[f（x）=（a+1）lnx+ax2+1]，（1）討論函數[f（x）]的單調性；

（2）[設a<-1，?x1，x2∈（0，+∞），][f（x1）-f（x2）][≥4x1-x2]恒成立，求[a]的取值范圍.解析（1）[∵x∈（0，+∞），∴f（x）=2ax2+a+1x.]

[①當a≥0時，f（x）>0，f（x）在（0，+∞）上單調遞增.②當-10時，f（x）在（0，-a+12a）上單調遞增；當f（x）<0時，f（x）在（-a+12a，+∞）上單調遞減.③當a≤-1時，f（x）<0，f（x）在（0，+∞）上單調遞減.]

（2）不妨設[x1≤x2，]由（1）可知，當[a<-1]時，[f（x）]在[（0，+∞）上單調遞減.]

[則有f（x1）-f（x2）≥4x1-x2]

[?f（x1）-f（x2）≥-4（x1-x2）]

[?f（x1）+4x1≥f（x2）+4x2.]

[構造函數g（x）=f（x）+4x，則g（x）=a+1x+2ax+4≤0].[∴a≤（-4x-12x2+1）min.]

[設φ（x）=-4x-12x2+1，x∈（0，+∞），]

[則φ（x）=4（2x-1）（x+1）（2x2+1）2.]

[故φ（x）在（0，12）上單調遞減；][在（12，+∞）上單調遞增].[∴φ（x）min=φ（12）=-2.]

[∴a≤-2.]