第一篇：1.3導數在研究函數中的應用 教學設計 教案

教學準備

1.教學目標

（1）使學生理解函數的最大值和最小值的概念，能區分最值與極值的概念（2）使學生掌握用導數求函數最值的方法和步驟

2.教學重點/難點

【教學重點】：

利用導數求函數的最大值和最小值的方法． 【教學難點】：

函數的最大值、最小值與函數的極大值和極小值的區別與聯系．熟練計算函數最值的步驟

3.教學用具

多媒體

4.標簽

1．3．3函數的最大（小）值與導數

教學過程

第二篇：3．3 導數在研究函數中的應用 教學設計 教案

教學準備

1.教學目標

知識與技能

1.正確理解利用導數判斷函數的單調性的原理； 2.掌握利用導數判斷函數單調性的方法。過程與方法

通過知識的探究過程培養學生細心觀察、認真分析、嚴密推理的良好思維習慣，讓學生感知從具體到抽象、從特殊到一般、從感性到理性的認知過程．

情感、態度與價值觀

通過在教學過程中讓學生多動手、多觀察、勤思考、善總結，引導學生養成自主學習的學習習慣．

2.教學重點/難點

教學重點

探索并應用函數的單調性與導數的關系求單調區間； 教學難點

探索函數的單調性與導數的關系。

3.教學用具

多媒體

4.標簽

教學過程

教學過程設計

復習引入

請同學們思考函數單調性的概念？ 函數 y = f(x)在給定區間 D上，D=(a , b)當 x

1、x 2 ∈D且 x 1＜ x 2 時

①都有 f(x 1)＜ f(x 2)，則 f(x)在D上是增函數； ②都有 f(x 1)＞ f(x 2)，則 f(x)在D上是減函數；

若 f(x)在D上是增函數或減函數，D稱為單調區間，則 f(x)在D 上具有嚴格的單調性。

【師】判斷函數單調性有哪些方法？

①定義法;

②圖象法;

③已知函數

以前,我們主要采用定義法去判斷函數的單調性.在函數y=f(x)比較復雜的情況下,比較f(x1)與f(x2)的大小并不容易.如果利用導數來判斷函數的單調性就比較簡單.讓學生自由發言，教師不急于下結論，而是繼續引導學生：欲知結論怎樣，讓我們一起來觀察、研探。新知探究

[1]函數的單調性與其導函數的關系 【合作探究】

探究1 函數的單調性與其導函數的關系

【師】請同學們思考高臺跳水運動員高度函數與速度函數之間的關系？ 【板演/PPT】

下圖(1)表示高臺跳水運動員的高度 h 隨時間 t 變化的函數的圖象, 圖

(2)表示高臺跳水運動員的速度 v 隨時間 t 變化的函數的圖象.【活動】思考交流。

探究2：運動員從起跳到最高點, 以及從最高點到入水這兩段時間的運動狀態有什么區別? ①運動員從起跳到最高點,離水面的高度h隨時間t 的增加而增加,即h(t)是增函數.相應地，②從最高點到入水,運動員離水面的高度h隨時間t的增加而減少,即h(t)是減函數.相應地，【思考】以上情況是否具有一般性呢？

觀察下面函數的圖像（圖1.3-3），探討函數的單調性與其導數正負的關系．

近單調遞減． 【結論】一般地，函數的單調性與其導函數的正負有如下關系 在某個區間（a,b)內，如果f'(x)>0，那么函數y=h(x)在這個區間內單調遞增； 如果f'(x)<0 , 那么函數y=f(x)在這個區間內單調遞減．

探究3 如果在某個區間內恒有h'(x)=0，那么函數y=f(x)在這個區間內有什么特征？

【提示】特別的，如果在某個區間內恒有f'(x)=0，那么函數y=f(x)在這個區間內是常函數．

探究4．求解函數y=f(x)單調區間的步驟：（1）確定函數y=h(x)的定義域；

（2）求導數y'=h'(x)；

（3）解不等式f'(x)>0，解集在定義域內的部分為增區間；（4）解不等式f'(x)<0，解集在定義域內的部分為減區間． 【典例精講】

例1．設函數f(x)在定義域內可導，y＝f(x)的圖象如圖3－3－1所示，則導函數y＝f′(x)可能為()

【解析】由函數的圖象知：當x＜0時，函數單調遞增，導數應始終為正；當x＞0時，函數先增后減再增，導數應先正后負再正，對照選項，只有D正確． 【答案】 D 【小結】判斷導數與函數圖象間的關系時，首先要弄清所給圖象是原函數的圖象還是導函數的圖象；其次要注意函數的單調性與其導函數的正負的關系． 【變式訓練】(2013·浙江高考)已知函數y＝f(x)的圖象是下列四個圖象之一，且其導函數y＝f′(x)的圖象如圖所示，則該函數的圖象是()

【解析】從導函數的圖象可以看出，導函數值先增大后減小，x＝0時最大，所以函數f(x)的圖象的變化率也先增大后減小，在x＝0時變化率最大．A項，在x＝0時變化率最小，故錯誤；C項，變化率是越來越大的，故錯誤；D項，變化率是越來越小的，故錯誤．B項正確． 【答案】 B 例2．判斷下列函數的單調性，并求出單調區間．

【小結】根據導數確定函數的單調性步驟： 1.確定函數f(x)的定義域.2.求出函數的導數.3.解不等式f′(x)>0,得函數單增區間;解不等式f′(x)<0,得函數單減區間.例3．已知函數＋∞)上是單調遞增時，求a的取值范圍．

當函數f(x)在x∈[2，【小結】在某個區間上，f′(x)>0(或f′(x)<0)，f(x)在這個區間上單調遞增(遞減)；但由f(x)在這個區間上單調遞增(遞減)而僅僅得到f′(x)>0(或f′(x)<0)是不夠的，即還有可能f′(x)＝0也能使f(x)在這個區間上單調，因而對于能否取到等號的問題需要單獨驗證．

【變式訓練】若將本例中的x∈[2，＋∞)改為x∈(－∞，2]，且使f(x)在(－∞，2]上是單調遞減的，則a的取值范圍是什么？ 當堂檢測

1．函數y=3x－x3的單調增區間是（）(A)(0，+∞)

(B)(－∞，－1)(C)(－1，1)

(D)(1，+∞)2．設

則f(x)的單調增區間是()(A)(－∞，－2)

(B)(－2，0)

(C)(－∞，)(D)(，0)3．函數y=xlnx在區間(0，1)上是（）(A)單調增函數

(B)單調減函數

(C)在(0,)上是減函數，在(, 1)上是增函數

(D)在(, 1)上是減函數，在(0,)上是增函數

4．函數y=x2(x+3)的減區間是，增區間是

.5．函數f(x)=cos2x的單調區間是

。【參考答案】 1.C 2.C 3.C 4.(－2，0)；(－∞，－2)及(0，+∞)5.課堂小結 【課堂小結】

1.求可導函數f(x)單調區間的步驟：(1)求f'(x)。

(2)解不等式f'(x)>0(或h'(x)<0)(3)確認并指出遞增區間（或遞減區間）

2.證明可導函數f(x)在(a,b)內的單調性的方法：(1)求f'(x)(2)確認f'(x)在(a,b)內的符號(3)作出結論

課后習題

1、復習本節課所講內容

2、預習下一節課內容

3、課本 P31習題1.3 A組1,2,3.板書

第三篇：導數在研究函數問題中的應用

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導數在研究函數問題中的應用

作者：朱季生

來源：《中學教學參考·理科版》2013年第04期

函數是高中數學的重要內容和主干知識，而導數知識在研究函數圖象、函數零點、不等式證明以及不等式恒成立等諸多問題中亦有著廣泛的應用.本文以2012年福建省高考中的函數試題舉例闡述.一、函數的凹凸性與拐點的有關性質

第四篇：《導數在函數中的應用——單調性》教學反思

本節課是一節新授課，教材所提供的信息很簡單，如果直接得出結論學生也能接受。可學生只能進行簡單的模仿應用，為了突出知識的發生過程，不把新授課上成習題課。設計思路如下以便教會學生會思考解決問題。

1、首先從同學們熟悉的過山車模型入手，將實際問題轉化為數學模型，提出如何刻畫函數的變化趨勢，引出課題。研究從學生熟悉的一次函數，二次函數入手，尋找導數和單調性的關系，用幾何畫板演示特殊的三次函數的圖像，研究單調性和導數。在此基礎上提出問題：單調性和導數到底有怎樣的關系？學生通過思考、討論、交流形成結論。也使學生感受到解決數學問題的一般方法：從簡單到復雜，從特殊到一般。

2、在結論得出后，繼續引導學生思考，提出自己的困惑，因為確實有學生對結論有不一樣的想法，所以，盡可能地暴露問題，讓學生徹底理解、掌握。

3、鋪墊：在引入部分，我涉及到了一個三次的函數，而例2就是此題的變式，這樣既可以在開始引起學生興趣，后來他們自己解決了看似復雜的問題，增加了信心，也做到了首尾呼應。

4、在知識應用中重點指導學生解題步驟，在學生自己總結解題步驟時，發現學生忽略了第一點求函數定義域，所以我就將錯就錯，給出了求函數的單調區間，很多學生栽了跟頭，然后自己總結出應該先求函數定義域。雖然這道題花了些時間，但我覺得很值得，我想學生印象也會更深刻。

5、數形結合：數形結合不是光口頭去說，而是利用一切機會去實施，在例1的教學中，我讓學生先熟練法則，再從形上分析，加深印象，這樣在后面緊接的高考題中（沒有給解析式），學生會迎刃而解。

為了培養學生的自主學習、自主思考的能力，激發學習興趣，在教學中采取引導發現法，利用多媒體等手段引導學生動口、動腦、參與數學活動，發揮主觀能動性，主動探索新知。讓學生分組討論，合作交流，共同探討問題。但是，真正做到以學生為中心，學生100%參與，體現三維目標，培養學習能力還是比較困難。在今后的教學中，應更注重學生的參與，引發認知沖突，教會學生思考問題。

第五篇：常用函數的導數教學設計

幾個常用函數的導數教學設計

一、課題引入

情境一：我們知道，導數的幾何意義是曲線在某一點處的切線斜率，物理意義是運動物體在某一時刻的瞬時速度．那么，對于函數y?f(x)，如何求它的導數呢？ 問題1：導數是用什么來定義的？（平均變化率的極限）

問題2：平均變化率的極限如何計算？（求增量，求比值，取極限）

問題3：以上求導數的過程用起來是否方便？我們有沒有必要歸結一下公式便于以后的運算？ 情境二：

1.利用定義求出函數①y?c的導數

2.若y?c表示速度關于時間的函數，則y??0可以如何解釋？如何描述物體的運動狀態？ 我們知道，導數的幾何意義是曲線在某一點處的切線斜率，物理意義是運動物體在某一時刻的瞬時速度．那么，對于函數y?f(x)，如何求它的導數呢？

由導數定義本身，給出了求導數的最基本的方法，但這種方法在運算上很麻煩，有時甚至很困難，為了能夠較快地求出某些函數的導數，從這一節課開始我們將研究比較簡捷的求導數的方法，下面我們先求幾個常用的函數的導數． 二．新課講授

1．函數y?f(x)?c的導數 知識點

根據導數定義，因為?yf(x??x)?f(x)c?c???0 ?x?x?x?y?lim0?0 所以y??lim?x?0?x?x?0y??0表示函數y?c圖像（圖1.2-1）上每一點處的切線的斜率都為0．若y?c表示路程關于時間的函數，則y??0可以解釋為某物體的瞬時速度始終為0，即物體一直處于靜止狀態． 2．函數y?f(x)?x的導數

?yf(x??x)?f(x)x??x?x???1 因為?x?x?x?y?lim1?1 所以y??lim?x?0?x?x?0y??1表示函數y?x圖像（圖1.2-2）上每一點處的切線的斜率都為1．若y?x表示路程關于時間的函數，則y??1可以解釋為某物體做瞬時速度為1的勻速運動． 練習：在同一直角坐標系中，分別畫出函數y?2x,y?3x,y?4x的圖象，求出它們的導數。

（1）從圖象上看，它們的導數分別表示什么?（2）這三個函數，哪一個增加得最快，哪一個增加的最慢？（3）函數y?kx?k?0?增（減）的快慢與什么有關？

3．函數y?f(x)?x2的導數

?yf(x??x)?f(x)(x??x)2?x2??因為 ?x?x?xx2?2x?x?(?x)2?x2??2x??x

?x所以y??lim?y?lim(2x??x)?2x

?x?0?x?x?0y??2x表示函數y?x2圖像（圖1.2-3）上點(x,y)處的切線的斜率都為2x，說明隨著x的變化，切線的斜率也在變化．另一方面，從導數作為函數在一點的瞬時變化率來看，表明：當x?0時，隨著x的增加，函數y?x2減少得越來越慢；當x?0時，隨著x的增加，函數y?x2增加得越來越快．若y?x表示路程關于時間的函數，則y??2x可以解釋為某物體做變速運動，它在時刻x的瞬時速度為2x． 4．函數y?f(x)?21的導數 x11??yf(x??x)?f(x)x??xx因為 ???x?x?x?x?(x??x)1??2

x(x??x)?xx?x??x?y11?lim(?2)??2

?x?0?x?x?0x?x??xx1練習作出函數y?的圖象，根據圖象，描述它的變化情況，并求出其在點（1，1）處的切x所以y??lim線方程

5．函數y?f?x??x的導數

x??x?x

?x因為?yf(x??x)?f?x????x?x

=?x??x?x?xx??x?x1x??x?x ???x??x?x??

=所以y??lim?y11 ?lim??x?0?x?x?0x??x?x2xnn?16.推廣：若f?x??x?n?Q?，則f?(x)?nx

練習求下列函數的導數

（1）y?x3（2）y?1 x2（3）y?三．例題講解 3x（4）y?x2x

3例1．曲線y?x上哪一點的切線與直線y?3x?1平行？

解：設點P(x0,y0)為所求，則 它的切線斜率為k?3，∵f?(x)?3x，∴3x0?3，x0??1，∴P(1,1)或P(?1,?1)．

例2．證明：曲線xy?1上的任何一點P(x0,y0)(x0?0)的切線與兩坐標軸圍成的三角形面積是一個常數． 解：由xy?1，得y?∴y??()???221，x1x1，x2

∴k?f?(x0)??1，2x0過點P(x0,y0)的切線方程為

y?y0??1(x?x0)，2x02，x0令x?0得y?令y?0得x?2x0，∴過P(x0,y0)的切線與兩坐標軸圍成的三角形面積

S?12??2x0?2是一個常數． 2x0四．課時小結

C??0，xn

五、作業 ????nx?n?Q? n?

1六、板書設計

七、教學反思