第一篇：2011年數學第一輪復習專題(理)第四章 第一單元2導數在研究函數中的應用

第二節導數在研究函數中的應用

一、選擇題

1．(2009年廣州一模)設f(x)、g(x)是R上的可導函數，f′(x)、g′(x)分別為f(x)、g(x)的導函數，且f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)<0，則當a

()

A．f(x)g(b)>f(b)g(x)B．f(x)g(a)>f(a)g(x)

C．f(x)g(x)>f(b)g(b)D．f(x)g(x)>f(a)g(a)

2．設f′(x)是函數f(x)的導函數，將y＝f(x)和y＝f′(x)的圖象畫在同一個直角坐標系

中，不可能正確的是()

23．已知二次函數f(x)＝ax＋bx＋c的導數為f′(x)，f′(0)>0，對于任意實數x都有f(x)

≥0，則f1()f′053A．3B.C．2D.2

24.(2009年韶關調研)已知函數f(x)的定義域為[－2,4]，且f(4)

＝f(－2)＝1，f′(x)為f(x)的導函數，函數y＝f′(x)的圖象

(a?0)

如下圖所示．則平面區域b?0所圍成的面積是()

f(2a?b)?

1A．2B．4C．5D．8

5．(2009年天津重點學校二模)已知函數y＝f(x)是定義在R上的奇函數，且當x∈(－∞，0.30.30)時不等式f(x)＋xf′(x)＜0成立，若a＝3f(3)，b＝(logπ3)f(logπ3)，c＝(log3)f(log3)，則a，b，c的大小關系是()

A．a＞b＞cB．c＞b＞aC．c＞a＞bD．a＞c＞b

二、填空題

26．函數f(x)＝x－2ln x的單調減區間是________．

127．若f(x)＝－＋bln(x＋2)在(－1，＋∞)上是減函數，則b的取值范圍是________．

28．有一個長度為5 m的梯子貼靠在筆直的墻上，假設其下端沿地板以3 m/s的速度離開墻

腳滑動，求當其下端離開墻腳1.4 m時，梯子上端下滑的速度為________．

三、解答題

129．已知函數f(x)＝＋ln x－1.2

(1)求函數f(x)在區間[1，e](e為自然對數的底)上的最大值和最小值；

1919

(2)求證：在區間(1，＋∞)上，函數f(x)的圖象在函數g(x)＝的圖象的下方．

nnn*

(3)(理)求證：[f′(x)]－f′(x)≥2－2(n∈N)．

10．已知a為實數，f(x)＝(x－4)(x－a)．

(1)若f′(－1)＝0，求f(x)在[－2,2]上的最大值和最小值；

(2)若f(x)在(－∞，－2]和[2，＋∞)上都是遞增的，求a的取值范圍．

參考答案

1．C 2.D

3．解析：f′(x)＝2ax＋b，f′(0)＝b>0對于任意實數x都有f(x)≥0得a>0，b－4ac≤0，∴b≤4ac，∴c>0，f1a＋b＋ca＋cac

1≥＋1≥1＋1＝2，當取a＝c時取等號．

f′0bbb

答案：C

4．B 5.C

22(x?1)

6．解析：首先考慮定義域(0，＋∞)，由f′(x)＝2x－≤0及x>0知0

b

7．解析：由題意可知f′(x)＝－x<0在x∈(－1，＋∞)上恒成立，即b

當下端移開1.4m時，t0＝，315112

又s′＝－(25－9t)－·(－9·2t)＝9t

227

所以s′(t0)＝9·

125?9t，125?9?（72)15

＝0.875(m/s)．

答案：0.875(m/s)

9．解析：(1)∵f′(x)＝x＋

x

當x∈[1，e]時，f′(x)>0.∴函數f(x)在[1，e]上為增函數，121

∴f(x)max＝f(e)＝，f(x)min＝f(1)＝－221223

(2)證明：令F(x)＝f(x)－g(x)＋ln x－1－

x?1?2x(1?x)(1?x?2x)12

則F′(x)＝x2x＝＝.xxx

∵當x>1時F′(x)<0，∴函數F(x)在區間(1，＋∞)上為減函數，12

∴F(x)

232

即在(1，＋∞)上，f(x)

∴在區間(1，＋∞)上，函數f(x)的圖象在函數g(x)的圖象的下方．

(3)(理)證明：∵f′(x)＝x＋，x

當n＝1時，不等式顯然成立；當n≥2時，∵[f′(x)]n－f′(xn)＝(x?)?(x?

n2n3

＝C1＋C2＋?＋Cnnxnxn

－

－

－1

x

nn

1)xn

x

①

[f′(x)]n－f′(xn)＝Cnn

－1

x

1n－211n－2，② －Cn－＋?＋Cnx

x

11n?2112n?1n

①＋②得[f′(x)]n－f′(xn)＝((x?n?2)Cn?)≥Cn?C???C?2?2 nn2x

(當且僅當x＝1時“＝”成立)．

∴當n≥2時，不等式成立．

nnn

綜上所述得[f′(x)]－f′(x)≥2－2(n∈N＋)．

10．解析：(1)由原式得f(x)＝x－ax－4x＋4a，∴f′(x)＝3x－2ax－4.1

由f′(－1)＝0得a＝，此時有f(x)＝(x－4)(x?)，f′(x)＝3x－x－4.12

由f′(x)＝0得x＝或x＝－1，當x在[－2,2]變化時，f′(x)，f(x)的變化如下表：

∵f(x)極小＝f()f(x)極大＝f(－1)＝，2723

又f(－2)＝0，f(2)＝0，950

所以f(x)在[－2,2].227

(2)法一：f′(x)＝3x2－2ax－4的圖象為開口向上且過點(0，－4)的拋物線，由條件得f′(－2)≥0，f′(2)≥0，?4a＋8≥0?即?

??8－4a≥0，∴－2≤a≤2.所以a的取值范圍為[－2,2]．

aa＋12

法二：令f′(x)＝0即3x－2ax－4＝0，由求根公式得：x1,2＝(x1

第二篇：“高三復習：導數在研究數學中的應用”教學反思

“高三復習：導數在研究數學中的應用”教學反思

觀點：從學生實際出發，抓準得分點，讓學生得到該得的分數。

新教材引進導數之后，無疑為中學數學注入了新的活力，它在求曲線的切線方程、討論函數的單調性、求函數的極值和最值、證明不等式等方面有著廣泛的應用。導數的應用一直是高考試題的重點和熱點。歷年來導數的應用在高考約占17分（其中選擇或填空題1題5分，解答題一題12分），根據本班學生的實際情況，我們得分定位在10分左右。因此教學重點內容確定為：

1、求曲線的切線方程，2、討論函數的單調性，3、求函數的極值和最值。

反思：

一、收獲

1、合理定位，有效達成教學目標。導數的幾何意義、函數的單調性的討論、求函數的極值和最值，在高考中多以中檔題出現，而導數的綜合應用（解答題的第2、第3個問）往往難度極大，是壓軸題，并非大多數學生能力所及。定位在獲得中檔難度的10分左右，符合本班學生的實際情況。本節課有效的抓住了第一個得分點：利用導數求曲線的切線方程，從一個問題的兩個方面進行闡述和研究。學生能較好的理解導數的幾何意義會求斜率，掌握求曲線方程的方法和步驟。

2、問題設置得當，較好突破難點。根據教學的經驗和學生慣性出錯的問題，我有意的設置了兩個求曲線切線的問題：

1、求曲線y=f(x)在點（a,f(a)）的曲線方程，2、求曲線y=f(x)過點（a,f(a)）的曲線方程。一字之差的兩個問題的出現目的是強調切點的重要性。使學生形成良好的解題習慣：有切點直接求斜率k=f1(a)，沒切點就假設切點p(x0.y0)，從而形成解題的思路。通過這兩個問題的教學，較好的突破本節的難點內容，糾正學生普遍存在的慣性錯誤。

3、注重板書，增強教學效果。在信息化教學日益發展的同時，許多教師開始淡化黑板板書。我依然感覺到黑板板書的重要性。板書能簡練地、系統地體現教學內容，以明晰的視覺符號啟迪學生思維，提供記憶的框架結構。本節對兩個例題進行排列板書，能讓學生更直觀的體會和理解兩個問題的內在聯系和根本差別。對激活學生的思維起到較好的作用，使教學內容變得更為直觀易懂。

4、關注課堂，提高課堂效率。體現以學生為主體，以教師為主導，以培養學生思維能力為主線。課堂活躍，教與學配合得當。利用講練結合的教學方法，注重學生能力的訓練。

5、得到特級教師黃一寧及同行的老師們的指導，我收獲極大。

二、不足之處

1、整一節課老師講的還是過多，沒有真正把課堂還給學生。

2、不夠關注學生個體，問答多是全體同學齊答。難于發現學生中極個性的思維和方法。

3、不善于撲捉課堂教學過程的亮點。比如，黃梅紅同學在做練習回答老師問題時提出不同的解題思路，老師也只平淡帶過。

4、語調平淡，語言缺乏幽默，難于調動課堂氣氛。

5、板書字體過小，照顧不及后排同學。

第三篇：導數在研究函數問題中的應用

龍源期刊網 http://.cn

導數在研究函數問題中的應用

作者：朱季生

來源：《中學教學參考·理科版》2013年第04期

函數是高中數學的重要內容和主干知識，而導數知識在研究函數圖象、函數零點、不等式證明以及不等式恒成立等諸多問題中亦有著廣泛的應用.本文以2012年福建省高考中的函數試題舉例闡述.一、函數的凹凸性與拐點的有關性質

第四篇：1.3導數在研究函數中的應用 教學設計 教案

教學準備

1.教學目標

（1）使學生理解函數的最大值和最小值的概念，能區分最值與極值的概念（2）使學生掌握用導數求函數最值的方法和步驟

2.教學重點/難點

【教學重點】：

利用導數求函數的最大值和最小值的方法． 【教學難點】：

函數的最大值、最小值與函數的極大值和極小值的區別與聯系．熟練計算函數最值的步驟

3.教學用具

多媒體

4.標簽

1．3．3函數的最大（小）值與導數

教學過程

第五篇：3．3 導數在研究函數中的應用 教學設計 教案

教學準備

1.教學目標

知識與技能

1.正確理解利用導數判斷函數的單調性的原理； 2.掌握利用導數判斷函數單調性的方法。過程與方法

通過知識的探究過程培養學生細心觀察、認真分析、嚴密推理的良好思維習慣，讓學生感知從具體到抽象、從特殊到一般、從感性到理性的認知過程．

情感、態度與價值觀

通過在教學過程中讓學生多動手、多觀察、勤思考、善總結，引導學生養成自主學習的學習習慣．

2.教學重點/難點

教學重點

探索并應用函數的單調性與導數的關系求單調區間； 教學難點

探索函數的單調性與導數的關系。

3.教學用具

多媒體

4.標簽

教學過程

教學過程設計

復習引入

請同學們思考函數單調性的概念？ 函數 y = f(x)在給定區間 D上，D=(a , b)當 x

1、x 2 ∈D且 x 1＜ x 2 時

①都有 f(x 1)＜ f(x 2)，則 f(x)在D上是增函數； ②都有 f(x 1)＞ f(x 2)，則 f(x)在D上是減函數；

若 f(x)在D上是增函數或減函數，D稱為單調區間，則 f(x)在D 上具有嚴格的單調性。

【師】判斷函數單調性有哪些方法？

①定義法;

②圖象法;

③已知函數

以前,我們主要采用定義法去判斷函數的單調性.在函數y=f(x)比較復雜的情況下,比較f(x1)與f(x2)的大小并不容易.如果利用導數來判斷函數的單調性就比較簡單.讓學生自由發言，教師不急于下結論，而是繼續引導學生：欲知結論怎樣，讓我們一起來觀察、研探。新知探究

[1]函數的單調性與其導函數的關系 【合作探究】

探究1 函數的單調性與其導函數的關系

【師】請同學們思考高臺跳水運動員高度函數與速度函數之間的關系？ 【板演/PPT】

下圖(1)表示高臺跳水運動員的高度 h 隨時間 t 變化的函數的圖象, 圖

(2)表示高臺跳水運動員的速度 v 隨時間 t 變化的函數的圖象.【活動】思考交流。

探究2：運動員從起跳到最高點, 以及從最高點到入水這兩段時間的運動狀態有什么區別? ①運動員從起跳到最高點,離水面的高度h隨時間t 的增加而增加,即h(t)是增函數.相應地，②從最高點到入水,運動員離水面的高度h隨時間t的增加而減少,即h(t)是減函數.相應地，【思考】以上情況是否具有一般性呢？

觀察下面函數的圖像（圖1.3-3），探討函數的單調性與其導數正負的關系．

近單調遞減． 【結論】一般地，函數的單調性與其導函數的正負有如下關系 在某個區間（a,b)內，如果f'(x)>0，那么函數y=h(x)在這個區間內單調遞增； 如果f'(x)<0 , 那么函數y=f(x)在這個區間內單調遞減．

探究3 如果在某個區間內恒有h'(x)=0，那么函數y=f(x)在這個區間內有什么特征？

【提示】特別的，如果在某個區間內恒有f'(x)=0，那么函數y=f(x)在這個區間內是常函數．

探究4．求解函數y=f(x)單調區間的步驟：（1）確定函數y=h(x)的定義域；

（2）求導數y'=h'(x)；

（3）解不等式f'(x)>0，解集在定義域內的部分為增區間；（4）解不等式f'(x)<0，解集在定義域內的部分為減區間． 【典例精講】

例1．設函數f(x)在定義域內可導，y＝f(x)的圖象如圖3－3－1所示，則導函數y＝f′(x)可能為()

【解析】由函數的圖象知：當x＜0時，函數單調遞增，導數應始終為正；當x＞0時，函數先增后減再增，導數應先正后負再正，對照選項，只有D正確． 【答案】 D 【小結】判斷導數與函數圖象間的關系時，首先要弄清所給圖象是原函數的圖象還是導函數的圖象；其次要注意函數的單調性與其導函數的正負的關系． 【變式訓練】(2013·浙江高考)已知函數y＝f(x)的圖象是下列四個圖象之一，且其導函數y＝f′(x)的圖象如圖所示，則該函數的圖象是()

【解析】從導函數的圖象可以看出，導函數值先增大后減小，x＝0時最大，所以函數f(x)的圖象的變化率也先增大后減小，在x＝0時變化率最大．A項，在x＝0時變化率最小，故錯誤；C項，變化率是越來越大的，故錯誤；D項，變化率是越來越小的，故錯誤．B項正確． 【答案】 B 例2．判斷下列函數的單調性，并求出單調區間．

【小結】根據導數確定函數的單調性步驟： 1.確定函數f(x)的定義域.2.求出函數的導數.3.解不等式f′(x)>0,得函數單增區間;解不等式f′(x)<0,得函數單減區間.例3．已知函數＋∞)上是單調遞增時，求a的取值范圍．

當函數f(x)在x∈[2，【小結】在某個區間上，f′(x)>0(或f′(x)<0)，f(x)在這個區間上單調遞增(遞減)；但由f(x)在這個區間上單調遞增(遞減)而僅僅得到f′(x)>0(或f′(x)<0)是不夠的，即還有可能f′(x)＝0也能使f(x)在這個區間上單調，因而對于能否取到等號的問題需要單獨驗證．

【變式訓練】若將本例中的x∈[2，＋∞)改為x∈(－∞，2]，且使f(x)在(－∞，2]上是單調遞減的，則a的取值范圍是什么？ 當堂檢測

1．函數y=3x－x3的單調增區間是（）(A)(0，+∞)

(B)(－∞，－1)(C)(－1，1)

(D)(1，+∞)2．設

則f(x)的單調增區間是()(A)(－∞，－2)

(B)(－2，0)

(C)(－∞，)(D)(，0)3．函數y=xlnx在區間(0，1)上是（）(A)單調增函數

(B)單調減函數

(C)在(0,)上是減函數，在(, 1)上是增函數

(D)在(, 1)上是減函數，在(0,)上是增函數

4．函數y=x2(x+3)的減區間是，增區間是

.5．函數f(x)=cos2x的單調區間是

。【參考答案】 1.C 2.C 3.C 4.(－2，0)；(－∞，－2)及(0，+∞)5.課堂小結 【課堂小結】

1.求可導函數f(x)單調區間的步驟：(1)求f'(x)。

(2)解不等式f'(x)>0(或h'(x)<0)(3)確認并指出遞增區間（或遞減區間）

2.證明可導函數f(x)在(a,b)內的單調性的方法：(1)求f'(x)(2)確認f'(x)在(a,b)內的符號(3)作出結論

課后習題

1、復習本節課所講內容

2、預習下一節課內容

3、課本 P31習題1.3 A組1,2,3.板書