第一篇：導數在高中數學教學中的應用

導數在高中數學教學中的應用

【摘要】導數是近代數學的重要基礎，是聯系初、高等數學的紐帶，它的引入為解決中學數學問題提供了新的視野，是研究函數性質、證明不等式、探求函數的極值最值、求曲線的斜率的有力工具。

【關鍵詞】導數函數曲線的斜率極值和最值導數（導函數的簡稱）是一個特殊函數，它的引出和定義始終貫穿著函數思想。新課程增加了導數的內容，隨著課改的不斷深入，導數知識考查的要求逐漸加強，而且導數已經由前幾年只是在解決問題中的輔助地位上升為分析和解決問題時的不可缺少的工具。函數是中學數學研究導數的一個重要載體，函數問題涉及高中數學較多的知識點和數學思想方法。近年好多省的高考題中都出現以函數為載體，通過研究其圖像性質，來考查學生的創新能力和探究能力的試題。本人結合教學實踐，就導數在函數中的應用作個初步探究。

有關導數在函數中的應用主要類型有：求函數的切線，判斷函數的單調性，求函數的極值，用導數證明不等式。這些類型成為近兩年最閃亮的熱點，是高中數學學習的重點之一，預計也是“新課標”下高考的重點。

一、用導數求函數的切線

例1：已知曲線y=x3-3x2-1，過點（1，-3）作其切線，求切線方程。

分析：根據導數的幾何意義求解。

解：y′=3x2-6x，當x=1時y′=-3，即所求切線的斜率為-3.故所求切線的方程為y+3=-3(x-1)，即為：y=-3x.方法提升：函數y=f(x)在點x0處的導數的幾何意義，就是曲線y=f(x)在點P（x0，y=f(x0)）處的切線的斜率。既就是說，曲線y=f(x)在點P（x0，y=f(x0)）處的切線的斜率是f′(x0)，相應的切線方程為y-y0=f′(x0)(x-x0)。

二、用導數判斷函數的單調性

例2：求函數y=x3-3x2-1的單調區間。

分析：求出導數y′，令y′>0或y′<0，解出x的取值范圍即可。

解：y′=3x2-6x，由y′>0得3x2-6x?0，解得x?0或x?2。

由y′<0得3x2-6x?0，解得0?x＜2。

故所求單調增區間為(-∞，0)∪(2，+∞)，單調減區間為(0，2)。

方法提升：利用導數判斷函數的單調性的步驟是：（1）確定f(x)的定義域；（2）求導數f′(x)；（3）在函數f(x)的定義域內解不等式f′

(x)>0和f′(x)<0；（4）確定f(x)的單調區間.若在函數式中含字母系數，往往要分類討論。

三、用導數求函數的極值

例3．求函數f(x)=(1/3)x3-4x+4的極值

解：由f′(x)=x2-4=0，解得x=2或x=－2.當x變化時，y′、y的變化情況如下：

當x=－2時，y有極大值f(-2)=－（28/3），當x=2時，y有極小值f(2)=－(4/3).方法提升：求可導函數極值的步驟是：（1）確定函數定義域，求導數f′(x)；（2）求f′(x)=0的所有實數根；（3）對每個實數根進行檢驗，判斷在每個根（如x0）的左右側，導函數f′(x)的符號如何變化，如果f′(x)的符號由正變負，則f(x0)是極大值；如果f′(x)的符號由負變正，則f(x0)是極小值.。注意：如果f′(x)=0的根x=x0的左右側符號不變，則f(x0)不是極值。

四、用導數證明不等式

證明不等式彰顯導數方法運用的靈活性把要證明的一元不等式通過構造函數轉化為f(x)>0(<0)再通過求f(x)的最值,實現對不等式證明,導數應用為解決此類問題開辟了新的路子,使過去不等式的證明方法從特殊技巧變為通法,彰顯導數方法運用的靈活性、普適性。

例(1)求證:當a≥1時,不等式對于n∈R恒成立.(2)對于在(0,1)中的任一個常a,問是否存在x0>0使得ex0-x0-1>a?x022ex0成立?如果存在,求出符合條件的一個x0;否則說明理由。

分析:(1)證明:(Ⅰ)在x≥0時,要使(ex-x-1)≤ax2e|x|2成立。

只需證:ex≤a2x2ex+x+1即需證:1≤a2x2+x+1ex①

令y(x)=a2x2+x+1ex,求導數y′(x)=ax+1?ex-(x+1)ex(ex)2=ax+-xex

∴y′(x)=x(a-1ex),又a≥1,求x≥0,故y′(x)≥0

∴f(x)為增函數,故f(x)≥y(0)=1,從而①式得證

(Ⅱ)在時x≤0時,要使ex-x-1≤ax2e|x|2成立。

只需證:ex≤a2x2ex+x+1,即需證:1≤ax22e-2x+(x+1)e-x②

令m(x)=ax22e-2x+(x+1)e-x,求導數得m′(x)=-xe-2x[ex+a(x-1)]

而φ(x)=ex+a(x-1)在x≤0時為增函數

故φ(x)≤φ(0)=1-a≤0,從而m(x)≤0

∴m(x)在x≤0時為減函數,則m(x)≥m(0)=1,從而②式得證

由于①②討論可知,原不等式ex-x-1≤ax2e|x|2在a≥1時,恒成立

(2)解:ex0-x0-1≤a?x02|x|2ex0將變形為ax022+x0+1ex0-1<0③

要找一個x0>0,使③式成立,只需找到函t(x)=ax22+x+1ex-1的最小值，滿足t(x)min<0即可,對t(x)求導數t′(x)=x(a-1ex)

令t′(x)=0得ex=1a,則x=-lna,取X0=-lna

在0-lna時,t′(x)>0

t(x)在x=-lna時,取得最小值t(x0)=a2(lna)2+a(-lna+1)-1

下面只需證明:a2(lna)2-alna+a-1<0,在0

又令p(a)=a2(lna)2-alna+a-1,對p(a)關于a求導數

則p′(a)=12(lna)2≥0,從而p(a)為增函數

則p(a)

于是t(x)的最小值t(-lna)<0

因此可找到一個常數x0=-lna(0

導數的廣泛應用,為我們解決函數問題提供了有力的工具,用導數可以解決函數中的最值問題,不等式問題,還可以解析幾何相聯系,可以在知識的網絡交匯處設計問題。因此,在教學中,要突出導數的應用。

第二篇：導數在高中數學中的應用

導數在高中數學中的應用

導數是解決高中數學問題的重要工具之一，很多數學問題如果利用導數的方法來解決，不僅能迅速找到解題的切入點，甚至解決一些原來只是解決不了的問題。而且能夠把復雜的分析推理轉化為簡單的代數運算，化難為易，事半功倍的效果.如在求曲線的切線方程、方程的根、函數的單調性、最值問題；數列，不等式等相關問題方面，導數都能發揮重要的作用。

導數（導函數的簡稱）是一個特殊函數，所以它始終貫穿著函數思想。隨著課改的不斷深入，新課程增加了導數的內容，導數知識考查的要求逐漸加強，而且導數已經在高考中占有很重要的地位，導數已經成為解決問題的不可缺少的工具。函數是中學數學研究導數的一個重要載體，近年好多省的高考題中都出現以函數為載體，通過研究導函數其圖像性質，來研究原函數的性質。本人結合教學實踐，就導數在函數中的應用作個初步探究。

導數在高中數學中的應用主要類型有：求函數的切線，判斷函數的單調性，求函數的極值和最值，利用函數的單調性證明不等式，尤其函數的單調性和函數的極值及最值，是高中數學學習的重點之一，預計也是“新課標”下高考的重點。

一、用導數求切線方程

方法提升：利用導數證明不等式是近年高考中出現的一種熱點題型。其方法可以歸納為“構造函數，利用導數研究函數最值”。

總之，導數作為一種工具，在解決數學問題時使用非常方便，尤其是可以利用導數來解決函數的單調性，極值，最值。在導數的應用過程中，要加強對基礎知識的理解，重視數學思想方法的應用，達到優化解題思維，簡化解題過程的目的，更在于使學生掌握一種科學的語言和工具，進一步加深對函數的深刻理解和直觀認識。

第三篇：高中數學教學論文 導數及其應用教學反思

湖北省宜昌市第十八中學高中數學教學論文 導數及其應用教學反思

1.反思“變化率問題”課堂教學的新課引入

導數的幾何意義就是切線的斜率，因此貫穿“導數及其應用”的主線是切線的斜率。下面通過比較“變化率問題”的兩節課，就新課的引入談點想法。

這節課的核心問題就是“變化率問題”，它是學習導數的基礎，是理解導數概念的根本。如果這節課能在把握整章教材的核心問題——“導數概念”的基礎上，把握這節課的核心問題——“變化率問題”，恰到好處地給出瞬時變化率和切線的斜率，那么，自然水到渠成。

新課導入是整個課堂教學活動中的熱身活動，目的是讓學生在最短的時間內進入課堂學習的最佳狀態。在這種教學環境和師生關系極為特殊，而且缺乏平常教學中的師生默契的情況下，如何以簡潔、生動的教學案例來消除師生之間的陌生感，從而創設和諧的課堂氣氛？如何以新穎的方法把教學內容自然地呈現在學生的面前？如何在上課伊始的幾分鐘內吸引學生的注意力，激發學生的求知欲？如何使新舊知識有機地結合起來，并溶入導入活動之中？等等，都是教師應深入思考的問題。

2.反思“變化率問題”課堂教學的課堂語言 “令”。這里的“令”，應該說成“習慣上用

表示，即

”。

關于氣球膨脹率問題，應該補充說明：“我們把氣球近似地看成球體”.這一點，兩位教師都沒有說明。

應該補充例題：“已知兩點求經過兩點的直線的斜率，在函數的圖像上，”。因為它是聯系平均變化率和導數概念的樞紐，同時，還有利于學生在親身體驗數學的文字語言、符號語言和圖形語言的相互轉化中理解平均變化率的概念、切線斜率的概念和導數的概念等。

3.反思“變化率問題”課堂教學中對計算問題的處理

在課堂教學中，對計算問題的處理，要注意避免兩種極端：過分強調學生的計算；以計算機代替學生的計算。

既要培養學生的運算能力，又要提高單位時間的教學效率，可選擇兩個地方讓學生計算。其一，計算0～1秒或1～2秒的平均速度問題。因為計算時花費的時間不多，同時，既能促進學生對平均速度的理解，又能為理解瞬時速度做好充分的準備。其二，計算0~65平49均速度問題。因為學生通過這一問題的計算，既能發現問題：“用平均速度表示這段時間內運動員的運動情況存在問題”，又能促進學生思考問題：“用什么東西才能更好地描述運動員在這個時間段的運動狀態？”自然學生會想到物理中學過的瞬時速度。這樣的處理省時，能夠提高單位時間的效率，同時，不影響主體知識（平均速度、平均變化率、導數的概念）的學習。

第四篇：導數在不等式中的應用

指導教師：楊曉靜

摘要：本文探討了利用拉格朗日中值定理，函數的單調性，極值，冪級數展開式，凹凸性等進行不等式證明的具體方法，給出了各種方法的適用范圍和證明步驟，總結了應用各種方法進行證明的基本思路。

關鍵字：導數的應用不等式證明方法

引言

不等式的證明在初等數學里已介紹過若干種方法，比如比較法、分析法、綜合法、放縮法、反證法、數學歸納法和構造法等。然而，有些不等式用初等數學的方法是很難證明的，但是應用導數證明卻相對較容易些，在處理與不等式有關的綜合性問題時，也常常需要構造輔助函數，把不等式的證明轉化為利用導數來研究函數的性態。因此，很多時候可以以導數為工具得出函數的性質，從而解決不等式問題，現具體討論導數在解決不等式有關的問題時的作用。

一、利用拉格朗日中值定理證明不等式

拉格朗日中值定理的意義在于建立了導數與函數之間的關系，證明不等式則是它的一個簡單應用。

拉格朗日中值定理：若函數f(x)滿足如下條件：（1）f在閉區間?a,b?上連續；（2）在開區間?a,b?內可導，則在?a,b?內至少存在一點?，使得f(?)?'f(b)?f(a)

b?a 應用拉格朗日中值定理證明的不等式的類型有f(b)?f(a)?M(b?a)或 證明步驟：（1）恰當的選取函數f(x)并使函數f(x)滿足拉格朗日中值定理的條件，并考慮f(x)的導數形式和M或m形式上的聯系。

（2）通過求拉格朗日中值定理得到不等式：f(b)?f(a)?f(?)(b?a)，??(a,b)

'（3）考察f(x)的有界性，若f(x)?M，x??a,b?，則由上述等式得到不等式

f(b)?f(a)?M(b?a)，或由?的不確定性，計算出若f'(x)的取值范圍?m,M?,x??a,b?,則進而有不等式m(b?a)?

例：證明nbn?1f(b)?f(a)?M(b?a)(a?b)?a?b

nnn?nan?1(a?b)證明：構造函數f(x)?x，則顯然f在區間?b,a?上滿足拉格朗日中值定理，且

f(x)?nx

nn'n?1，n?1有a?b?n?(a?b)，又

第五篇：數學建模在導數教學中的應用

數學建模在導數教學中的應用

【摘要】 作為導數教學中的一個重要方法，數學建模有著不可替代的重要的作用。在數學教學的過程中必須保證其建模的準確性。因為建模的準確性直接影響到導數教學的效果。那么對于數學建模來說，其不僅是導數教學的一個重要組成部分，同時也是我國數學發展過程中的一種重要展現方式。隨著數學學科的不斷發展，在數學教學中出現了很多教學方法，但是事實證明，數學建模是目前為止在導數教學過程中最有效地一種方法。因此，下面重點來談下數學建模在導數教學中的重要運用。

【關鍵詞】 導數教學 建模 應用 影響 教學方式

一、數學建模在導數教學中的主要表現

1.1數學建模用于生活實踐

相對于其他學科來說，數學本就是一個重在實踐的學科。那么數學建模在導數教學中的主要目的就是指導實踐，通過數學建模的方式，在最大程度上將數學理論用于實踐才是數學的根本目的。對于建模來說，將抽象的導數轉換成生活實踐中的具體數值尤為重要。這種理論指導實踐的方式，是我們數學學科區別于文學的重要特點。數學建模的形式可以對我們的生活中的一些問題進行具體的指導，這就是數學建模最大的優勢所在。

1.2數學建模的展現方法

對于數學學科來說，一個重要的展現方法就是通過邏輯思維的方式對我們的生活中的具體事件進行數字化的分析。用抽象的導數形式來表示生活中那些具象的事物，并且在不斷變化的生活中，用數學建模的方式找到固定的發展規律，用以幫助人類了解日后事物的發展形勢。一方面可以有效地掌握事物的發展規律，另一方面還可以節省大量的人力及其物力，對可能出現的危險進行及時的預防和限制。在對經濟的發展趨勢分析方面，數學建模有著十分廣泛的應用。因為其有著良好的預測方法和精準的數據，在預測經濟走向的時候，有著舉足輕重的作用。

1.3數學建模應用在導數教學中的表現

對于一些抽象的事物來說，數學建模在很大程度上都可以應用在導數教學上。比如對于速度的測算方面，數學建模的作用是顯而易見的。對于運動的總長度和平均速度來說，一個數學建模就可以將其非常精準的展現出來。復雜的數據也將不再成為你計算的問題和難題。通過數學建模的方式，在導數教學中可謂是不可多得的重要方法。那么對于我們生活中一些其他的問題同樣也可以通過數學建模的方式對其進行解決。比如人口的增長率，人均國土面積甚至于我國經濟的走向等等都可以用數學建模的方式來展現。

二、數學建模在導數數學中的問題研究

2.1收集數據的精準化

對于數學建模來說，精準的數據是影響導數教學的重要方面。這就要求數學建模的相關數據一定要準確。因為數據的差距會直接影響到數學建模的效果。我們的生活中是否會出現諸如此類的事件，因為一個小數點的變化而影響到整個數據的巨大差異。這就是要求我們的工作人員在工作的過程中一定要保證數據的精準化，這樣也是保證數學建模準確的方式。數據的準確是我們在日常生活中應該追求的重要方面，在整個數學建模的過程中，保證數字的精準化，將會極大限度的發揮數學建模的重要作用。

2.2結合實際情況進行相對應的改變

任何事物都不是一成不變的，導數教學也一樣。不同的情況下，導數教學的方式也不盡相同。因為隨著我們生活的不斷改變，層出不窮的新事物也將不斷的涌現出來。隨機應變也是數學建模中值得注意的一個問題。隨著我們生活的不斷發展和進步，越來越多的微信微博視頻網站出現在我們的視野前。對于研究這些社交平臺和視頻的受眾來說，我們不能單純的計算這些視頻的瀏覽率，同時還需要注意的就是在這些平臺和視頻上的停留時間。這就是結合實際情況進行相對應的改變。

很多具體的事件都不能完全的依靠固定的規律，要通過實踐才能得出正確的結論。結合實際情況，進行數學建模是導數教學模式中最為重要的一個環節。也是我們在運用數學建模的過程中需要特別主要的問題。

三、結束語

數學建模作為導數教學過程必不可少的一個重要方式，不僅對我們的生活有著非常深遠的意義，同時也是我國的數?W研究史上濃墨重彩的一筆。對于我們目前的生活來說，如何做到精準化，細致化和專業化才是我們應該全力追求的重要目標。

數學建模，不僅是數學上一個重要的方法，也是我國調查，統計相關工作的一個好幫手，它可以讓龐大的數據變得簡單，也可以讓抽象的事物明顯的展現出自己的發展趨勢。對于我們這些數字模型的研究者來說，在研究的過程中會發現許多十分有趣的東西。這也算是數字模型對我們努力工作的一種嘉獎。

參 考 文 獻

[1]趙春燕；；構造函數，利用函數性質證明不等式[J]；河北北方學院學報（自然科學版）；2006年02期

[2]江婧；田芯安；；在數學分析中作輔助函數解題[J]；重慶文理學院學報（自然科學版）；2006年03期

[3]孫祝梧；；函數周期性與對稱性之間的關系初探及應用[J]；中學教學參考；2010年07期