第一篇：導(dǎo)數(shù)在不等式證明中的應(yīng)用

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導(dǎo)數(shù)在不等式證明中的應(yīng)用

作者：唐力 張歡

來源：《考試周刊》2013年第09期

摘要： 中學(xué)不等式證明，只能用原始的方法，很多證明需要較高技巧，且證明過程太難，應(yīng)用高等數(shù)學(xué)中的導(dǎo)數(shù)方法來證明不等式，往往能使問題變得簡(jiǎn)單.關(guān)鍵詞： 導(dǎo)數(shù) 拉格朗日中值定理 不等式證明

1.拉格朗日中值定理

定理1：如果函數(shù)y=f（x）滿足：1）在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)，2）在開區(qū)間（a，b）內(nèi)可導(dǎo)，則在（a，b）內(nèi)至少有在一點(diǎn)ξ（a

F（b）-f（a）=f′（ξ）（b-a）

由定理1，我們不難得到如下定理2.

第二篇：導(dǎo)數(shù)在不等式證明中的應(yīng)用

導(dǎo)數(shù)在不等式證明中的應(yīng)用

引言

不等式的證明是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的難點(diǎn)，而導(dǎo)數(shù)在不等式的證明中起著關(guān)鍵的作用。不等式的證明是可以作為一個(gè)系列問題來看待,不等式的證明是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要內(nèi)容之一,也是難點(diǎn)之一。其常用的證明方法有: 比較法、綜合法、分析法、重要不等法、數(shù)學(xué)歸納法等等,然而有一些問題用上面的方法來解決是很困難的,我們?cè)趯W(xué)完導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用這一內(nèi)容以后,可以利用導(dǎo)數(shù)的定義、函數(shù)的單調(diào)性、最值性(極值性)等相關(guān)知識(shí)解決一些不等式證明的問題。導(dǎo)數(shù)也是微積分的初步基礎(chǔ)知識(shí)，是研究函數(shù)、解決實(shí)際問題的有力工，它包括微分中值定理和導(dǎo)數(shù)應(yīng)用。不等式的證明在數(shù)學(xué)課題中也是一個(gè)很重要的問題，此類問題能夠培養(yǎng)我們理解問題、分析問題的能力。本文針這篇論文是在指導(dǎo)老師的悉心指導(dǎo)和嚴(yán)格要求下完成的。這篇論文是在指導(dǎo)老師的悉心指導(dǎo)和嚴(yán)格要求下完成的。對(duì)導(dǎo)數(shù)的定義、微分中值定理、函數(shù)的單調(diào)性、泰勒公式、函數(shù)的極值、函數(shù)的凹凸性在不等式證明中的應(yīng)用進(jìn)行了舉例。

一、利用導(dǎo)數(shù)的定義證明不等式

定義 設(shè)函數(shù)f?f?x?在點(diǎn)x0的某領(lǐng)域內(nèi)有定義,若極限

f?x??f?x0? 存在 limx?x0x?x0則稱函數(shù)f在點(diǎn)x0處可導(dǎo)，并稱該極限為函數(shù)f在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)，記作f'?x0? 令 x?x0??x，?y?f?x0??x??f?x0?，則上式可改寫為

f?x0??x??f?x0??y?lim?f'?x0?

?x?0?x?x?0?xlim所以，導(dǎo)數(shù)是函數(shù)增量?y與自變量增量?x之比

?y的極限。這個(gè)增量比稱為函?x數(shù)關(guān)于自變量的平均變化率(又稱差商)，而導(dǎo)數(shù)f'?x0?則為f在x0處關(guān)于x的變化率。

以下是導(dǎo)數(shù)的定義的兩種等價(jià)形式：

1（1）f'?x0??limx?x0f?x??f?x0?

x?x0f?x??x??f?x0?

?x（2）f'?x0??lim?x?0例1: 設(shè)f?x??r1sinx?r2sin2x???rnsinnx，并且f?x??sinx，證明：r1?2r2???nrn?1

證明 f?x??r1sinx?r2sin2x??rnsinnx，可得出f?0??0，因?yàn)?f'?x??r1cosx?2r2cos2x???nrncosnx, 則 f'?0??r1?2r2???nrn 又由導(dǎo)數(shù)的定義可知

limx?0f?x??f?0?f?x?f?x? ?lim?limx?0x?0x?0xxsinx?1 x?f'?0??limx?0所以 f'?0??1，即可得 r1?2r2???nrn?1.1221y?lny，求證: y?1,y2?y2?lny.232211分析 令h?y??y2?y2?lny，y?(1,??)，因?yàn)閔?1???0, 326例

2、已知函數(shù)f?y??要證當(dāng)x?1時(shí)，h?x??0,即h?x??h?1??0,只需證明h?y?在(1,??)上是增函數(shù)。證明 令h?y??22121y?y?lny，則h'?y??2y2?y?，32y'2y3?y2?1(y?1)(2y2?y?1)因?yàn)?當(dāng)y?1時(shí), h?y????0 ，yy所以h?y?在(1,??)上是增函數(shù)，就有h?y??h?1??121?0,y3?y2?lny?0，632 2 21即可得y?1,y2?y2?lny.32注:證明方法為先找出x0，使得y?f'?x0?恰為結(jié)論中不等式的一邊；再利用導(dǎo)數(shù)的定義并結(jié)合已知條件去證明。

二、利用微分中值定理證明不等式

證題思路 將要證的不等式改寫成含變量之商不等式，則可嘗試?yán)弥兄倒?/p>

f?b??f?a??f'???

b?af?b??f?a?f?b??f?a?或的b?ag?b??g?a?f?b??f?a?f'???或者 ?'g?b??g?a?g???并做適當(dāng)?shù)姆趴s到待證不等式中 1.使用拉格朗日中值定理證明不等式 定理 若函數(shù)滿足如下條件:(i)f在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)；(ii)在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，則在(a,b)內(nèi)至少存在一點(diǎn)?，使得

f'????f?b??f?a?

b?a例

3、證明對(duì)一切h??1,h?0成立不等式

h?ln?1?h??h 1?h證明 設(shè)f?x??ln?1?x?，則ln?1?h??ln?1?h??ln1?當(dāng)h?0時(shí)，由0???1可推知

1?1??h?1?h，h，0???1 1??hhh??h 1?h1??hhh??h 1?h1??h當(dāng)?1?h?0時(shí)，由0???1可推得

1?1??h?1?h?0,從而得到所要證明的結(jié)論.注:利用拉格朗日中值定理的方法來證明不等式的關(guān)鍵是將所要證明的結(jié)論與已知條件歸結(jié)為一個(gè)函數(shù)在某區(qū)間上的函數(shù)增量，然后利用中值定理轉(zhuǎn)化為其導(dǎo)數(shù)的單調(diào)性等問題.2．使用柯西中值定理證明不等式 定理 設(shè)函數(shù)f和g滿足(i)在[a,b]上都連續(xù)；(ii)在(a,b)內(nèi)都可導(dǎo)；

(iii)f'?x?和g'?x?不同時(shí)為零；(iv)g?a??g?b?，f'???f?b??f?a?則存在??(a,b)，使得' ?g???g?b??g?a?例

4、證明不等式

ln?1?y??arctany(y?0)1?y分析 該不等式可化為

?1?y?ln?1?y??1(y?0)

arctany可設(shè) f?y???1?y?ln?1?y?，g?y??arctany，f?y??f?0?注意到f?0??g?0??0，故可考慮對(duì)使用柯西中值定理

g?y??g?0?證明 如上分析構(gòu)造輔助函數(shù)f?y?和g?y?，則對(duì)任意y?0，由柯西中值定理，存在??(0,y)，使得

?1?y?ln?1?y??f?y??f?0??f'????1?ln(1??)

1arctanyg?y??g?0?g'???1??2?[1?ln(1??)](1??2)?1.4

三、利用函數(shù)的單調(diào)性證明不等式

證明思路 首先根據(jù)題設(shè)條件及所證不等式，構(gòu)造適當(dāng)?shù)妮o助函數(shù)f?x?，并確定區(qū)間[a,b]；然后利用導(dǎo)數(shù)確定f?x?在[a,b]上的單調(diào)性；最后根據(jù)f?x?的單調(diào)性導(dǎo)出所證的不等式.1.直接構(gòu)造函數(shù)，再運(yùn)用函數(shù)的單調(diào)性來證明不等式

?例5 證tany?2siny?3y，其中y?[0,)

2分析 欲證f(y)?f(a)(a?y?b)，只要證f(y)在[a,b]上單調(diào)遞增，即證f'(y)?0即可．

若f'(y)的符號(hào)不好直接判定，可借助于f''(y)，以至于f3(y)進(jìn)一步判定.證明 令f?y??tany?2siny?3y，則 f'?y??sec2y?2cosy?3，f''?y??2siny?sec3y?1?

?于是y?[0,)時(shí)，f''?y??0，有f'?y?單調(diào)增加

2所以f'?y??f'?0??0,有f?y?單調(diào)增加，可推得f?y??f?0??0，即tany?2siny?3y.2.先將不等式變形，然后再構(gòu)造函數(shù)并來證明不等式 例

6、已知b,c?R,b?e，求證：bc?cb為(e自然對(duì)數(shù)的底)證明 設(shè)f?x??xlnb?blnx(x?b?c)

b則 f'?x??lnb?，就有 b?e，x?b

xb因?yàn)?lnb?1,?1, x所以 f'?x??0，則f'?x?在(e,??)上遞增；

又因c?b，所以f?c??f?b?，就有clnb?blnc?blnc?blnc?0 從而有clnb?blnc，即bc?cb.注: 對(duì)于一些不易入手的不等式證明, 可以利用導(dǎo)數(shù)思想,先通過特征不等式構(gòu) 造一個(gè)函數(shù), 再判定其函數(shù)單調(diào)性來證明不等式成立,這就是利用函數(shù)的單調(diào)性證明不等式的思想。

構(gòu)造輔助函數(shù)有以下幾種方法: 1.用不等式的兩邊“求差”構(gòu)造輔助函數(shù)；  2.用不等式兩邊適當(dāng)“求商”構(gòu)造輔助函數(shù)； 3.根據(jù)不等式兩邊結(jié)構(gòu)構(gòu)造“形似”輔助函數(shù)； 

4.如果不等式中涉及到冪指函數(shù)形式,則可通過取對(duì)數(shù)將其化為易證明的形式再根據(jù)具體情況由以上所列方法構(gòu)造輔助函數(shù).四、利用泰勒公式證明不等式

證題思路 若f?x?在(a,b)內(nèi)具有(n+1)階導(dǎo)數(shù)，x0?(a,b)，則

f?x??f?x0??f'?x0??x?x0??

f''?x0?2?x?x0???? 2!f?n??x0?fn?1???nn?1?x?x0???x?x0? n!?n?1?!其中?介于x0與x之間．

例

7、設(shè)f?y?在[0,1]上二階可導(dǎo)，f?0???1??0,且maxf?y??1，求證：存在y?[0,1]??(0,1)，使得f''?y???8.證明 因f?y?在[0,1]上二階可導(dǎo)，故在[0,1]上連續(xù), 據(jù)最值定理，必?c?(0,1)使得f?c?為最大值，即f?c?=1，且有f'?c??0.而f?y?在y=1的一階泰勒展式為

f''???2 f?y??f?c??f?c??y?c???x?c?，其中?介于c與y間

2'分別在上式中令y?0與y?1得

f?0??1?1''f??1?c2?0,?1?(0,c)，2 6

1''2f??2??1?c??0,?2?(c,1).212故當(dāng)c?(0,]時(shí)，f''??1???2??8，2cf?1??1?12當(dāng)c?(,1)時(shí), f''??2?????8，22?1?c?所以存在?(?1或?2)?(0,1),使得f''?y???8.注: 用泰勒展式證明不等式的方法是將函數(shù)f?x? 在所給區(qū)間端點(diǎn)或一些特點(diǎn)(如區(qū)間的中點(diǎn)，零點(diǎn))進(jìn)行展開，通過分析余項(xiàng)在?點(diǎn)的性質(zhì)，而得出不等式。值得說明的是泰勒公式有時(shí)要結(jié)合其它知識(shí)一起使用,如當(dāng)使用的不等式中含有積分號(hào)時(shí),一般要利用定積分的性質(zhì)結(jié)合使用泰勒公式進(jìn)行證明;當(dāng)所要證明的不等式是含有多項(xiàng)式和初等函數(shù)的混合式時(shí),需要作一個(gè)輔助函數(shù)并用泰勒公式代替。使用泰勒公式巧妙靈活的證明不等式往往使證明方便簡(jiǎn)捷。

五、利用函數(shù)的最值(極值)證明不等式

由連續(xù)函數(shù)在[a,b]上的性質(zhì),若函數(shù)f在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù),則f在[a,b]上一定有最大、最小值，這就為我們求連續(xù)函數(shù)的最大,最小值提供了理論保證。

若函數(shù)f的最大(小)值點(diǎn)x0在區(qū)間(a,b)內(nèi),則x0必定是f的極大(小)點(diǎn)。又若f在x0可導(dǎo),則x0還是一個(gè)穩(wěn)定點(diǎn)。所以我們只要比較f在所有穩(wěn)定點(diǎn)、不可導(dǎo)點(diǎn)和區(qū)間端點(diǎn)上的函數(shù)值,就能從中找到f在[a,b]上的最大值與最小值。證明方法：先構(gòu)造輔助函數(shù)，再求出f?x?在所設(shè)區(qū)間上的極值與最大、最小值，進(jìn)而證明所求不等式。

例

8、已知: 0?x?1，證明當(dāng)r?1時(shí)，有

r1rr?x?1?x?1 ??r?12證明 令f?x??xr??1?x?，0?x?1，則f?0??f?1??1

1，2111111則f()?r?(1?)r?r?r?r?1

222222令f?x??0，求得x?因?yàn)?f'?x??rxr?1?r?1?x?r?1，7 令 f'?x??0,求得駐點(diǎn)為x?又因?yàn)楫?dāng)r?1時(shí)，1?1, r?121，2所以f?x?在[0,1]上的最小值為從而

1，最大值為1, 2r?11rr?x?1?x?1，0?x?1，r>1.??2r?1例

9、證明：當(dāng)y?1時(shí), ey?證明 作輔助函數(shù) 1?yf?y???1?x?ey，則f'?y???yey,y?0是f?y?在(??,1)內(nèi)的唯一駐點(diǎn)，且當(dāng)y?0時(shí)，f'(y)?0 ；當(dāng)0?y?1時(shí)，f'?y??0.故y?0是f?y?的極大值點(diǎn)，f?0??1是f?y?的極大值.因?yàn)楫?dāng)y由小變大時(shí)，f?y?由單調(diào)增變?yōu)閱握{(diào)減, 故f?0??1同時(shí)也是f?y?的最大值, 所以，當(dāng)y?1時(shí)，f?y??1 , 即ey?1.1?y注:在對(duì)不等式的證明過程中，可以以不等式的特點(diǎn)為根據(jù)，以此來構(gòu)造函數(shù)，從而運(yùn)用導(dǎo)數(shù)來得出函數(shù)的最值，而此項(xiàng)作用也是導(dǎo)數(shù)的另一個(gè)功能，即可以被用作求函數(shù)的最值。例如，當(dāng)此函數(shù)為最大或最小值的時(shí)候，不等式的成立都有效的，因此可以推出不等式是永遠(yuǎn)成立的，從而可以將證明不等式的問題轉(zhuǎn)化到求函數(shù)最值的問題上來。

六、利用函數(shù)的凹凸性質(zhì)證明不等式

證明思路 若f''?x??0(a?x?b)，則函數(shù)y?f?x?的圖形為凹的，即對(duì)任意x1，x2?(a,b)，有f(f?x1??f?x2?x1?x2)?，當(dāng)且僅當(dāng)x1?x2時(shí)成立． 22 8 例

10、設(shè)r?0，h?0，證明rlnr?hlnh?(r?h)ln成立．

分析 將欲證的不等式兩邊同除以2，變形為

rlnr?hlnh(r?h)r?h?ln 222r?h，且等號(hào)僅在r?h 時(shí)2由上式看出，左邊是函數(shù)f?k??klnk在r，h兩點(diǎn)處的值的平均值，而右邊是它在中點(diǎn)r?h處的函數(shù)值．這時(shí)只需證f''?k??0即可． 2證明 構(gòu)造輔助函數(shù)

f?k??klnk(k?0)，那么就有：

f'?k??1?lnk,f''?k??故由不等式:

1?0 成立.kf?r??f?h?r?h?f()

22rlnr?hlnh(r?h)r?h?ln 222r?h也即 rlnr?hlnh?(r?h)ln

2可得

且等號(hào)僅在r?h 時(shí)成立.例

11、已知: ??0,??0, ?3??3?2，求證：????2.證明 設(shè)f?y??y3,y?(0,??)，則 f'?y??3y2,f''?y??6y?0 就有f?y??y3,y?(0,??)是凸函數(shù)

1，y1??,y2??，211???)則f??1y1??2y2??f(???)?f(222設(shè)?1??2?就有如下式子成立: f??1y1??2y2??f(???2)??1f?y1???2f?y2??11f????f??? 22 9 ?????而又因?yàn)橛?/p>

83?(???2)3?f(???2)，f????f????3??311?1 f????f?????2222?????所以

83?f(???2)?11f????f????1 成立 22故????2.小結(jié):通過對(duì)導(dǎo)數(shù)證明不等式的研究，我可以看出不等式的證明方法很多，但各種方法都不盡相同。我們要充分理解各種方法的應(yīng)用原理，挖掘?qū)?shù)的各種性質(zhì)。多做此類難題，不但有利于我們?cè)趯W(xué)習(xí)和考試中輕松解決同類問題，更有利于培養(yǎng)我們的數(shù)學(xué)思維和推理論證能力。因而導(dǎo)數(shù)在不等式證明當(dāng)中的應(yīng)用很有研究?jī)r(jià)值。

第三篇：應(yīng)用導(dǎo)數(shù)證明不等式

應(yīng)用導(dǎo)數(shù)證明不等式

常澤武指導(dǎo)教師：任天勝

（河西學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院 甘肅張掖 734000）

摘要： 不等式在初等數(shù)學(xué)和高等代數(shù)中有廣泛的應(yīng)用，證明方法很多，本文以函數(shù)的觀點(diǎn)來認(rèn)識(shí)不等式，以導(dǎo)數(shù)為工具來證明不等式。

關(guān)鍵字： 導(dǎo)數(shù) 不等式最值中值定理單調(diào)性泰勒公式

中圖分類號(hào)： O13

Application derivative to testify inequality

ChangZeWu teachers: RenTianSheng

(HeXi institute of mathematics and statistics Gansu zhang ye 734000)Abstract: He inequality in elementary mathematics and higher algebra is widely used, proved many methods, based on the function point of view to know inequality to derivative tools to prove to inequality.Key words: The most value of derivative inequality value theorem monotonicity Taylor formula

1.利用微分中值定理來證明不等式

在數(shù)學(xué)分析中，我們學(xué)到了拉格朗日中值定理，其內(nèi)容為：

定理1.如果函數(shù)f?x?在閉區(qū)間?a,b?上連續(xù)，在開區(qū)間?a,b?上可導(dǎo)，則至少存在一點(diǎn)???a,b?，使得f'(?)?

拉格朗日中值定理是探討可微函數(shù)的的幾何特性及證明不等式的重要工具，我們可以根據(jù)以下兩種方法來證明。

（1）首先，分析不等式通過變形，將其特殊化。其次，選取合適的函數(shù)和范圍。第三，利用拉格朗日中值定理。最后，在根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性和最大值和最小值。

（2）我們可根據(jù)其兩種等價(jià)表述方式

①f(b)?f(a)?f'(a??(b?a))(b?a),0???1

②f?a?h??f?a??f'?a??h?h,0???1

我們可以?的范圍來證明不等式。f(b)?f(a)。b?a

11(x?0)例1.1證明不等式ln(1?)?x1?x

證明第一步變形1 ln(1?)?ln(1?x)?ln(x)x

第二步選取合適的函數(shù)和范圍

令f(x)?lntt??x,1?x?

第三步應(yīng)用拉格朗日中值定理

存在???x,1?x?使得f'(?)?f(1?x)?f(x)(1?x)?(x)

即ln(1?x)?ln(x)?1

?而 ?<1+x 1 1?x

1?x1)?而0?x??? 即ln(x1?x?ln(1?x)?ln(x)?

例 1.2證明：?h>-1且h?0都有不等式成立：

h?ln(1?h)?h 1?h

證明：令f(x)=ln(1+x),有拉格朗日中值定理，????0,1?使得

ln(1?h)?f(h)?f(0)?f'(?h)h?

當(dāng)h>0時(shí)有

1??h?1?1?h,當(dāng)?1?h?0時(shí)有

1?1??h?1?h?0,即h.1??h1h??h;1?h1??h1h??h.1?h1??h

2．利用函數(shù)單調(diào)性證明不等式

我們?cè)诔醯葦?shù)學(xué)當(dāng)中學(xué)習(xí)不等式的證明時(shí)用到了兩種方法：一種是判斷它們差的正負(fù)，另一種是判斷它們的商大于1還是小于1.而我們今天所要討論的是根據(jù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的思想來判斷大小。

定理：設(shè)函數(shù)f(x)在?a,b?上連續(xù)，在?a,b?可導(dǎo)，那么

（1）若在?a,b?內(nèi)f'(x)?0則f(x)在?a,b?內(nèi)單調(diào)遞增。

（2）若在?a,b?內(nèi)f'(x)?0則f(x)在?a,b?內(nèi)單調(diào)遞減。

使用定理：要證明區(qū)間?a,b?上的不等式f(x)?g(x)，只需令F(x)?f(?x)。g使在(x)?a,b?上F'(x)>0（F'(x)<0）且F(a)=0或（F(b)=0）例2.1 設(shè)x?0證明不等式ln(1?x)?xe?x

證明：令F(x)?ln(1?x)?xe?x（x>0）

顯然F(0)?0

1ex?x2?1?x?x（x>0）F'(x)??e?xe?x1?x(1?x)e

現(xiàn)在來證明ex?x2?1?0

令f(x)?ex?x2?1顯然f(0)?0

當(dāng)x?0時(shí)f'(x)?ex?2x?0

于是得f(x)在x?0上遞增

故對(duì)x?0有f(x)?f(0)?f(x)?0

而(1?x)ex?0

所以F'(x)?0故F(x)遞增

又因?yàn)镕(0)?0

所以F(x)?0

所以ln(1?x)?xe?x成立

3．利用函數(shù)的最大值和最小值證明不等式

當(dāng)?shù)仁街泻小?”號(hào)時(shí)，不等式f(x)?g(x)(或f(x)?g(x))? g(x)?f(x)?0（或g(x)?f(x)?0），亦即等價(jià)于函數(shù)G(x)?g(x)?f(x)有最小值或F(x)?f(x?)g(有最大值。x)

證明思路：由待正不等式建立函數(shù)，通過導(dǎo)數(shù)求出極值并判斷時(shí)極大值還是極小值，在求出最大值或最小值，從而證明不等式。

1例3.1證明若p>1，則對(duì)于?0,1?中的任意x有p?1?xp?(1?x)p?1 2

證明：構(gòu)造函數(shù)f(x)?xp?(1?x)p(0?x?1)

則有f'(x)?pxp?1?p(1?x)p?1?p(xp?1?(1?x)p?1)

令f'(x)?0，可得xp?1?(1?x)p?1，于是有x?1?x，從而求得x?1。由于2

函數(shù)f(x)在閉區(qū)間?0,1?上連續(xù)，因而在閉區(qū)間?0,1?上有最小值和最大值。

由于函數(shù)f(x)內(nèi)只有一個(gè)駐點(diǎn)，沒有不可導(dǎo)點(diǎn)，又函數(shù)f(x)在駐點(diǎn)x?1和2

111p1?)?p?1,f(0)?f(1),區(qū)間端點(diǎn)(x?0和x?1)的函數(shù)值為f()?)p?(1所以2222

1f(x)在?0,1?的最小值為p?1，最大值為1，從而對(duì)于?0,1?中的任意x有2

11?f(x)?1?xp?(1?x)p?1。，既有p?1p?122

4．利用函數(shù)的泰勒展式證明不等式

若函數(shù)f(x)在含有x0的某區(qū)間有定義，并且有直到(n?1)階的各階導(dǎo)數(shù)，又在x0處有n階導(dǎo)數(shù)f(n)(x0)，則有展式： f'(x0)f''(x0)fn(x0)2(x?x0)?(x?x0)??(x?x0)n?Rn(x)f(x)?f(x0)?1!2!n!

在泰勒公式中，取x0=0,變?yōu)辂溈藙诹止?/p>

f'(0)f''(0)2fn(0)nf(x)?f(0)?(x)?(x)??(x)?Rn(x)1!2!n!

在上述公式中若Rn(x)?0(或?0)則可得

f'(0)f''(0)2fn(0)nf(x)?f(0)?(x)?(x)??(x)，1!2!n!

f'(0)f''(0)2fn(0)n(x)?(x)??(x)。或f(x)?f(0)?1!2!n!

帶有拉格朗日余項(xiàng)的泰勒公式的實(shí)質(zhì)是拉格朗日微分中值定理的深化，他是一個(gè)定量估計(jì)式，該公式在不等式證明和微分不等式證明及較為復(fù)雜的極限計(jì)算中有廣泛的應(yīng)用。

用此公式證明不等式就是要把所證不等式化簡(jiǎn)，其中函數(shù)用此公式，在把公式右邊放大或縮小得到所證不等式。

例4.1若函數(shù)f(x)滿足：（1）在區(qū)間?a,b?上有二階導(dǎo)函數(shù)f''(x)，（2）

f'(a)?f'(b)?0，則在區(qū)間?a,b?內(nèi)至少存在一點(diǎn)c，使

f''(c)?4f(b)?f(a)。2(b?a)

證明：由f(x)在x?a和x?b處的泰勒公式，并利用f'(a)?f'(b)?0，得f(x)?f(a)?f''(?)(x?a)2

2!f''(?)f(x)?f(b)?(x?b)2,于是2!

a?bf''(?)(b?a)2a?bf()?f(a)??(a???),22!42

a?bf''(?)(b?a)2a?bf()?f(b)??(a???),22!42

f''(?)?f''(?)(b?a)2

相減，得f(b)-f(a)=,24

4f(b)?f(a)1(b?a)2

即?f''(?)?f(?)?,(b?a)224

當(dāng)f''(?)?f''(?)時(shí)，記c??否則記c=?,那么

f''(c)?4f(b)?f(a)(a?b?c)(b?a)2

參 考 文 獻(xiàn)

《數(shù)學(xué)分析》上冊(cè)，高等教育出版社，1990.?1?鄭英元，毛羽輝，宋國(guó)棟編，?2?趙煥光，林長(zhǎng)勝編《數(shù)學(xué)分析》上冊(cè)，四川大學(xué)出版社，2006。?3?歐陽光中，姚允龍，周淵編《數(shù)學(xué)分析》上冊(cè)，復(fù)旦大學(xué)出版社，2004.?4?華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系編《數(shù)學(xué)分析》上冊(cè)，第三版，高等教育出版社2001.

第四篇：導(dǎo)數(shù)在證明不等式中的應(yīng)用

1.【作 者】 楊建輝;布春霞【刊 名】中學(xué)生數(shù)理化(學(xué)研版)【出版日期】201

1【期 號(hào)】第11期【頁 碼】2-3【參考文獻(xiàn)格式】楊建輝,布春霞.導(dǎo)數(shù)在證明不等式中的應(yīng)用[J].中學(xué)生數(shù)理化(學(xué)研版),2011,(第11期).2.【作 者】 趙京之【刊 名】中國(guó)新技術(shù)新產(chǎn)品【出版日期】2010【期 號(hào)】第14期【參考文獻(xiàn)格式】趙京之.導(dǎo)數(shù)在證明不等式中的應(yīng)用[J].中國(guó)新技術(shù)新產(chǎn)品,2010,(第14期).【摘 要】不等式與等式一樣,在數(shù)學(xué)問題中都是非常重要的課題,不等式的研究范圍更廣,難度更大,以函數(shù)觀點(diǎn)認(rèn)識(shí)不等式,應(yīng)用導(dǎo)數(shù)為工具,不等式的證明將化難為易,迎刃而解,考慮的角度初步有:中值定理,Taylor公式,函數(shù)的單調(diào)性,最值,以及Jensen不等式。

3.【作 者】 劉偉【刊 名】電大理工【出版日期】2004【期 號(hào)】第3期【頁 碼】13-14【參考文獻(xiàn)格式】劉偉.導(dǎo)數(shù)在證明不等式中的應(yīng)用[J].電大理工,2004,(第3期).4.【作 者】 顧慶菏【刊 名】邢臺(tái)師范高專學(xué)報(bào)【出版日期】1995【期 號(hào)】第1期【頁 碼】118-120【參考文獻(xiàn)格式】顧慶菏.導(dǎo)數(shù)在證明不等式中的應(yīng)用[J].邢臺(tái)師范高專學(xué)報(bào),1995,(第1期).5.【作 者】 劉開生;潘書林【刊 名】天水師范學(xué)院學(xué)報(bào)【出版日期】2000【期 號(hào)】第3期【頁 碼】115-116【參考文獻(xiàn)格式】劉開生,潘書林.導(dǎo)數(shù)在證明不等式中的應(yīng)用[J].天水師范學(xué)院學(xué)報(bào),2000,(第3期).6.【作 者】 陳萬鵬;陳萬超【刊 名】大學(xué)數(shù)學(xué)【出版日期】1990【期 號(hào)】第4期【頁 碼】67-71【參考文獻(xiàn)格式】陳萬鵬,陳萬超.導(dǎo)數(shù)在證明不等式中的應(yīng)用[J].大學(xué)數(shù)學(xué),1990,(第4期).7.【作 者】 高燕【刊 名】考試周刊【出版日期】2011【期 號(hào)】第60期【頁 碼】69-70【參考文獻(xiàn)格式】高燕.導(dǎo)數(shù)在不等式證明中的應(yīng)用[J].考試周刊,2011,(第60期).8.導(dǎo)數(shù)法在證明不等式中的應(yīng)用【作 者】 【刊 名】版)【出版日期】2011【期 號(hào)】第Z1期【頁 碼】

5【參考文獻(xiàn)格式】郝文武.導(dǎo)數(shù)法在證明不等式中的應(yīng)用[J].中學(xué)生數(shù)理化(高二版),2011,(第Z1期).9.導(dǎo)數(shù)在證明不等式中的一些應(yīng)用【作 者】 甘啟才【刊 名】廣西師范學(xué)院學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)【出版日期】2011【期 號(hào)】第S1期【頁 碼】73-75

【參考文獻(xiàn)格式】甘啟才.導(dǎo)數(shù)在證明不等式中的一些應(yīng)用[J].廣西師范學(xué)院學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版),2011,(第S1期).10.【作 者】 王莉聞【刊 名】考試周刊【出版日期】2011【期 號(hào)】第82期【參考文獻(xiàn)格式】王莉聞.導(dǎo)數(shù)在不等式證明中的應(yīng)用[J].考試周刊,2011,(第82期).【摘 要】導(dǎo)數(shù)知識(shí)是高等數(shù)學(xué)中極其重要的部分,它的內(nèi)容、思想和應(yīng)用貫穿于整個(gè)高等數(shù)學(xué)的教學(xué)之中.利用導(dǎo)數(shù)證明不等式是一種行之有效的好方法,它能使不等式的證明化難為易,迎刃而解.在不等式證明的種種方法中,它占有重要的一席之地.本文將從利用函數(shù)的單調(diào)性,利用函數(shù)的最值（或極值）

11.【作 者】 王翠麗【刊 名】數(shù)學(xué)之友【出版日期】2011【期 號(hào)】第6期【頁 碼】84，86【參考文獻(xiàn)格式】王翠麗.導(dǎo)數(shù)在不等式證明中的應(yīng)用[J].數(shù)學(xué)之友,2011,(第6期).12.【作 者】 王強(qiáng);申玉芹【刊 名】中學(xué)數(shù)學(xué)【出版日期】2012【期 號(hào)】第9期【頁 碼】6【參考文獻(xiàn)格式】王強(qiáng),申玉芹.導(dǎo)數(shù)在不等式中的應(yīng)用[J].中學(xué)數(shù)學(xué),2012,(第9期).13.【作 者】 朱帝【刊 名】數(shù)理化學(xué)習(xí)【出版日期】2008【期 號(hào)】第3期【頁 碼】2-4【參考文獻(xiàn)格式】朱帝.導(dǎo)數(shù)在證明不等式中的應(yīng)用[J].數(shù)理化學(xué)習(xí),2008,(第3期).14.【作 者】 王偉珠【刊 名】佳木斯教育學(xué)院學(xué)報(bào)【出版日期】2010【期 號(hào)】第6期【參考文獻(xiàn)格式】王偉珠.導(dǎo)數(shù)在不等式證明中的應(yīng)用[J].佳木斯教育學(xué)院學(xué)報(bào),2010,(第6期).15.【作 者】 張根榮;李連方【刊 名】中學(xué)數(shù)學(xué)研究【出版日期】2010【期 號(hào)】第11期【頁 碼】24-25【參考文獻(xiàn)格式】張根榮,李連方.導(dǎo)數(shù)在不等式證明中的應(yīng)用[J].中學(xué)數(shù)學(xué)研究,2010,(第11期).【摘 要】“問題是數(shù)學(xué)的心臟”，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的核心就應(yīng)該是培養(yǎng)解決數(shù)學(xué)問題的能力．正如波利亞指出的：“掌握數(shù)學(xué)就是意味著善于解題．”“中學(xué)數(shù)學(xué)首要的任務(wù)就是加強(qiáng)解題的訓(xùn)練”．在數(shù)學(xué)教學(xué)中，例題、習(xí)題的解答過程是學(xué)生建構(gòu)知識(shí)的重要基礎(chǔ)，是學(xué)生學(xué)習(xí)不可缺少的重要組成部分．因此在課堂教學(xué)有限的45分鐘內(nèi)，如何發(fā)揮例題的功能，16.【作 者】 張萍【刊 名】西部大開發(fā)：中旬刊【出版日期】2010【期 號(hào)】第7期【頁 碼】176-177【參考文獻(xiàn)格式】張萍.導(dǎo)數(shù)在證明不等式中的有關(guān)應(yīng)用[J].西部大開發(fā)：中旬刊,2010,(第7期).【摘 要】導(dǎo)數(shù)是高等數(shù)學(xué)中最基本最重要的內(nèi)容之一，用導(dǎo)數(shù)的方法證明不等式是不等式證明重要的組成部分，具有較強(qiáng)的靈活性和技巧性。掌握導(dǎo)數(shù)在不等式中的證明方法和技巧對(duì)學(xué)好高等數(shù)學(xué)有很大幫助。本文將通過舉例和說明的方式來闡述不等式證明中導(dǎo)數(shù)的一些方法和技巧，提高學(xué)生用導(dǎo)數(shù)證明不等式的能力．

17.【作 者】 李旭金【刊 名】新作文(教育教學(xué)研究)【出版日期】2011【期 號(hào)】第11期【頁 碼】31【參考文獻(xiàn)格式】李旭金.導(dǎo)數(shù)在不等式中的應(yīng)用[J].新作文(教育教學(xué)研究),2011,(第11期).18.【作 者】 李晉【刊 名】大視野【出版日期】2009【期 號(hào)】第3期【頁 碼】241-243【參考文獻(xiàn)格式】李晉.導(dǎo)數(shù)在不等式證明中的應(yīng)用[J].大視野,2009,(第3期).第5期【頁 碼】24-26【參考文獻(xiàn)格式】高芳.導(dǎo)數(shù)在不等式證明中的應(yīng)用[J].商丘職業(yè)技術(shù)學(xué)院學(xué)報(bào),2009,(第5期).20.【作 者】 蔡金寶【刊 名】吉林省教育學(xué)院學(xué)報(bào)(學(xué)科版)【出版日期】2009

【期 號(hào)】第9期【頁 碼】85-86【參考文獻(xiàn)格式】蔡金寶.導(dǎo)數(shù)在不等式證明中的應(yīng)用[J].吉林省教育學(xué)院學(xué)報(bào)(學(xué)科版),2009,(第9期).21.淺談導(dǎo)數(shù)在不等式證明問題中的應(yīng)用【作 者】 姜治國(guó)【刊 名】考試(高考 數(shù)學(xué)版)【出版日期】2009【期 號(hào)】第Z5期【頁 碼】54-56【參考文獻(xiàn)格式】姜治國(guó).淺談導(dǎo)數(shù)在不等式證明問題中的應(yīng)用[J].考試(高考 數(shù)學(xué)版),2009,(第Z5期).22.導(dǎo)數(shù)在不等式中的一些應(yīng)用【作 者】 陶毅翔【刊 名】寧德師專學(xué)報(bào)·自然科學(xué)版【出版日期】2010【期 號(hào)】第2期【頁 碼】123-124，127【參考文獻(xiàn)格式】陶毅翔.導(dǎo)數(shù)在不等式中的一些應(yīng)用[J].寧德師專學(xué)報(bào)·自然科學(xué)版,2010,(第2期).23.【作 者】 陳海蘭【刊 名】科技信息【出版日期】2010【期 號(hào)】第8期【參考文獻(xiàn)格式】陳海蘭.導(dǎo)數(shù)在不等式中的應(yīng)用[J].科技信息,2010,(第8期).【摘 要】本文給出了幾種用導(dǎo)數(shù)來證明不等式的方法,通過這些方法,可以比較簡(jiǎn)潔,快速地解決一些不等式的證明問題.24.【作 者】 胡林【刊 名】科技咨詢導(dǎo)報(bào)【出版日期】2007【期 號(hào)】第5期

【頁 碼】95-96【參考文獻(xiàn)格式】胡林.導(dǎo)數(shù)在不等式證明中的應(yīng)用[J].科技咨詢導(dǎo)報(bào),2007,(第5期).25.【作 者】 胡林【刊 名】科技資訊【出版日期】2006【期 號(hào)】第36期【頁 碼】148【參考文獻(xiàn)格式】胡林.導(dǎo)數(shù)在不等式證明中的應(yīng)用[J].科技資訊,2006,(第36期).26.【作 者】 周曉農(nóng)【刊 名】貴陽金筑大學(xué)學(xué)報(bào)【出版日期】2000【期 號(hào)】第3期【頁 碼】107-110+87【參考文獻(xiàn)格式】周曉農(nóng).導(dǎo)數(shù)在不等式證明中的應(yīng)用[J].貴陽金筑大學(xué)學(xué)報(bào),2000,(第3期).27.【作 者】 葛江峰【刊 名】中學(xué)理科：綜合【出版日期】2008【期 號(hào)】第9期【頁 碼】52【參考文獻(xiàn)格式】葛江峰.導(dǎo)數(shù)在不等式中的應(yīng)用[J].中學(xué)理科：綜合,2008,(第9期).【摘 要】新課程試卷將導(dǎo)數(shù)與傳統(tǒng)的不等式證明有機(jī)結(jié)合在一起設(shè)問，是一種新穎的命題模式，體現(xiàn)導(dǎo)數(shù)在分析和解決一些函數(shù)性質(zhì)問題的工具作用，以下介紹幾種應(yīng)用導(dǎo)數(shù)證明不等式的方法，供大家參考。

28.【作 者】 梁俊平【刊 名】龍巖師專學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)【出版日期】1997

【期 號(hào)】第3期【頁 碼】167-170【作者單位】不詳【參考文獻(xiàn)格式】梁俊平.導(dǎo)數(shù)在不等式證明中的應(yīng)用[J].龍巖師專學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版),1997,(第3期).期【頁 碼】48-53【參考文獻(xiàn)格式】楊耀池.導(dǎo)數(shù)在不等式中的應(yīng)用[J].數(shù)學(xué)的實(shí)踐與認(rèn)識(shí),1985,(第2期).30.例說應(yīng)用導(dǎo)數(shù)證明不等式【作 者】 馮仕虎【刊 名】數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究(教研版)【出版日期】2008【期 號(hào)】第11期【頁 碼】109-110【參考文獻(xiàn)格式】馮仕虎.例說應(yīng)用導(dǎo)數(shù)證明不等式[J].數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究(教研版),2008,(第11期).

第五篇：導(dǎo)數(shù)在不等式中的應(yīng)用

指導(dǎo)教師：楊曉靜

摘要：本文探討了利用拉格朗日中值定理，函數(shù)的單調(diào)性，極值，冪級(jí)數(shù)展開式，凹凸性等進(jìn)行不等式證明的具體方法，給出了各種方法的適用范圍和證明步驟，總結(jié)了應(yīng)用各種方法進(jìn)行證明的基本思路。

關(guān)鍵字：導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用不等式證明方法

引言

不等式的證明在初等數(shù)學(xué)里已介紹過若干種方法，比如比較法、分析法、綜合法、放縮法、反證法、數(shù)學(xué)歸納法和構(gòu)造法等。然而，有些不等式用初等數(shù)學(xué)的方法是很難證明的，但是應(yīng)用導(dǎo)數(shù)證明卻相對(duì)較容易些，在處理與不等式有關(guān)的綜合性問題時(shí)，也常常需要構(gòu)造輔助函數(shù)，把不等式的證明轉(zhuǎn)化為利用導(dǎo)數(shù)來研究函數(shù)的性態(tài)。因此，很多時(shí)候可以以導(dǎo)數(shù)為工具得出函數(shù)的性質(zhì)，從而解決不等式問題，現(xiàn)具體討論導(dǎo)數(shù)在解決不等式有關(guān)的問題時(shí)的作用。

一、利用拉格朗日中值定理證明不等式

拉格朗日中值定理的意義在于建立了導(dǎo)數(shù)與函數(shù)之間的關(guān)系，證明不等式則是它的一個(gè)簡(jiǎn)單應(yīng)用。

拉格朗日中值定理：若函數(shù)f(x)滿足如下條件：（1）f在閉區(qū)間?a,b?上連續(xù)；（2）在開區(qū)間?a,b?內(nèi)可導(dǎo)，則在?a,b?內(nèi)至少存在一點(diǎn)?，使得f(?)?'f(b)?f(a)

b?a 應(yīng)用拉格朗日中值定理證明的不等式的類型有f(b)?f(a)?M(b?a)或 證明步驟：（1）恰當(dāng)?shù)倪x取函數(shù)f(x)并使函數(shù)f(x)滿足拉格朗日中值定理的條件，并考慮f(x)的導(dǎo)數(shù)形式和M或m形式上的聯(lián)系。

（2）通過求拉格朗日中值定理得到不等式：f(b)?f(a)?f(?)(b?a)，??(a,b)

'（3）考察f(x)的有界性，若f(x)?M，x??a,b?，則由上述等式得到不等式

f(b)?f(a)?M(b?a)，或由?的不確定性，計(jì)算出若f'(x)的取值范圍?m,M?,x??a,b?,則進(jìn)而有不等式m(b?a)?

例：證明nbn?1f(b)?f(a)?M(b?a)(a?b)?a?b

nnn?nan?1(a?b)證明：構(gòu)造函數(shù)f(x)?x，則顯然f在區(qū)間?b,a?上滿足拉格朗日中值定理，且

f(x)?nx

nn'n?1，n?1有a?b?n?(a?b)，又