第一篇：中值定理在不等式證明中的應用

摘 要

本文主要寫在不等式證明過程中常用到的幾種中值定理，其中在拉格朗日中值定理證明不等式的應用中講了三種方法：直接公式法、變量取值法、輔助函數構造法.在泰勒中值定理證明不等式的應用中，給出了泰勒公式中展開點選取的幾種情況：區間的中點、已知區間的兩端點、函數的極值點或最值點、已知區間的任意點.同時對各種情況的運用范圍和特點作了說明，以便更好的運用泰勒中值定理證明不等式.并對柯西中值定理和積分中值定理在證明不等式過程中的應用問題作簡單介紹.關鍵詞：拉格朗日中值定理；泰勒公式；柯西中值定理；積分中值定理；不等式

Abstract

This paper idea wrote in inequality proof of use frequently during several of the mean value theorem, which in the Lagrange mean value theorem proving inequality in the application of the three methods to speak: direct formula method, variable value method, the method to construct auxiliary function.in the application of proof inequalities of the Taylor mean value theorem , which gave Taylor formula on the point in several ways: the point of the interval, the interval of two known extreme, the function extreme value point or the most value point, the interval of known at any point.And the application range of of all kinds of situation and characteristics that were explained, in order to better use Taylor of the mean value theorem to testify inequality.And Cauchy mid-value theorem and integral mean value theorem in the application process to prove the inequality were briefly discussed

Key words :The Lagrange Mean Value Theorem；Taylor's Formula；Cauchy Mean Value Theorem；Inequality；The Mean Value Theorem for Integrals

目 錄

摘要 ………………………………………………………………………………（I）Abstract …………………………………………………………………………（I）1 引言 ……………………………………………………………………………（1）2 拉格朗日中值定理在不等式證明中的應用 …………………………………（2）

2.1 拉格朗日中值定理…………………………………………………………（2）2.2 利用拉格朗日中值定理證明不等式………………………………………（2）2.2.1 直接公式法 ???????????????????????（2）2.2.2 變量取值法 ???????????????????????（4）2.2.3 輔助函數構造法 ………………………………………………………（5）3 泰勒中值定理在不等式證明中的應用 ………………………………………（7）3.1 泰勒中值定理…………????????????????????（7）3.2 利用泰勒公式證明不等式???????????????????（7）3.2.1 中點取值法 ???????????????????????（7）3.2.2 端點取值法 ???????????????????????（9）3.2.3 極值取值法 ???????????????????????（9）3.2.4 任意點取值法 ??????????????????????（11）4 柯西中值定理在不等式證明中的應用………………………………………（14）

4.1 柯西中值定理………………………………………………………………（14）4.2 利用柯西中值定理證明不等式……………………………………………（14）5 積分中值定理在不等式證明中的應用 ………………………………………（16）

5.1 積分中值定理????????????????????????（16）5.2 利用積分證明不等式………………………………………………………（16）結束語 ……………………………………………………………………………（18）參考文獻 …………………………………………………………………………（19）致謝 ………………………………………………………………………………（20）引言

不等式也是數學中的重要內容，也是數學中重要方法和工具.中值定理包括羅爾定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理及泰勒中值定理以及積分中值定理等.以拉格朗日中值定理(也稱微分中值定理)為中心，介值定理是中值定理的前奏，羅爾定理是拉格朗日中值定理的特殊情形，而柯西中值定理、泰勒中值定理及定積分中值定理則是它的推廣.利用中值定理證明不等式，是比較常見和實用的方法.人們對中值定理的研究，從微積分建立之后就開始了以羅爾定理，拉格朗日中值定理和柯西中值定理組成的一組中值定理是整個微分學的理論基礎，它們建立了函數值與導數值之間的定量聯系，中值定理的主要作用在于理論分析和證明；應用導數判斷函數上升、下降、取極值、凹形、凸形和拐點等項的重要性態.此外，在極值問題中有重要的實際應用.微分中值定理是數學分析乃至整個高等數學的重要理論，它架起了利用微分研究函數的橋梁.微分中值定理從誕生到現在的近300年間，對它的研究時有出現.特別是近十年來，我國對中值定理的新證明進行了研究，僅在國內發表的文章就近60篇.不等式的證明不僅形式多種多樣，而且證明方式多變，常見的方法有：利用函數的單調性證明，利用微分中值定理證明，利用函數的極值或最值證明等，在眾多方法中，利用中值定理證明不等式比較困難，無從下手，探究其原因，一是中值定理的內容本身難理解，二是證明不等式，需要因式而變，對中值定理的基礎及靈活性要求較高.我們在日常教學中常常遇到不等式的證明問題，不等式是初等數學中最基本的內容之一，我們有必要把這類問題單獨拿出來進行研究，找出它們的共性，以方便我們日后的教學研究工作的開展.拉格朗日中值定理在不等式證明中的應用

2.1 拉格朗日中值定理

拉格朗日（J.L.Lagrange，1736-1813，法國數學家，力學家，文學家）.拉格朗日中值定理 設函數f?x?在閉區間[a,b]上連續，在開區間?a,b?內可導，則在開區間(a,b)內至少存在一點x0，使得

f'?x0??f(a)?f(b)(1)

b?a或

f?b??f?a??f'?x0??b?a?.(2)拉格朗日中值定理是羅爾定理的推廣，即羅爾定理是拉格朗日定理當f?a??f?b?時的特殊情形.拉格朗日定理中，由于a?x0?b，因而可將x0表示為

x0?a??(b?a)，?0???1?.這樣（1）式還可表示為

f?b??f?a??f'?a???b?a??，?0???1?.(3)若令b?a?h，則有

f?a?h??f?a??f'?a??h??h，?0???1?.（4）一般稱式（1）、（2）、（3）、（4）式為拉格朗日公式.2.2 利用拉格朗日中值定理證明不等式 2.2.1 直接公式法

例2.1 證明不等式sinx1-sinx2?x1-x2成立.分析 首先要構造一個輔助函數f?x?；a 由欲證形式構成“形似”的函數區間.b 運用拉格朗日公式來判斷.證明 設f?x??sinx,x??x1,x2?.由拉格朗日公式（2）可得

sinx1-sinx2?f'????x1?x2?，???x1,x2?.等式兩邊同取絕對值，則有

sinx1?sinx2?f'????x1-x2.而

f????sin'xx???cos?.又因為 0?cos??1.因此，就得到

sinx1-sinx2?x1-x2.證畢.評注 此題如果單純地應用初等數學的方法來證明，會難以得出結論，而應用了拉格朗日公式，再利用三角函數的簡單知識，問題就游刃而解了.例2.2 證明不等式arctanx2?arctanx1?x2-x1，（x2?x1）成立.分析 此題利用反三角函數的有關知識，構造一個輔助函數f?x??arctanx，再利用拉格朗日中值定理就可以輕輕松松地解出此題.證明 設f?x??arctanx,f?x?在?x1,x2?上滿足拉格朗日定理的全部條件，因此有

arctanx2?arctanx1?1（x2?x1），x0??x1,x2?.21?x0因為1?1，可得 21?x0arctanx2?arctanx1?x2?x1.例2.3[3] 證明pbp?1(a?b)?ap?bp?pap?1?a?b?,(p?1,a?b?0).證明 設函數，f(x)?xp，則，f(a)?f(b)?ap?bp．不難看出f(x)在區間?b,a?上滿足拉格朗日定理條件，于是存在???b,a?，使

f(a)?f(b)?(a?b)f'(?).由于f'?x??pxp?1，所以f'(?)?p?p-1，上式為

ap?bp?(a?b)p?p?1.因為xp當p?1時為單調增函數，b???a，所以

bp-1??p-1?ap-1.兩邊同時乘以p?a?b?，則得

pbp?1(a?b)?p?p?1(a?b)?pap?1(a?b)，即

pbp?1(a?b)?ap?bp?pap?1(a?b)，證畢.2.2.2 變量取值法

例2.4 證明不等式

b?abb-a?ln? 成立，其中?b?a?0?.baa分析（1）根據題中式子構造一個相似函數，f?x??lnx和定義區間?a,b?.（2）利用對數的四則運算法則，將對數式整理成拉格朗日中值定理所滿足的形式，從而得出結論.證明 設f?x??lnx，x??a,b?.由拉格朗日公式（3），則有

lnbb-a?lnb-lna?.（1）aa??b-a??由不等式0???1，可推得

a?a??b-a????b及代入（1），即

b?abb-a?ln?.證畢.baab評注 解此題關健在于觀察要證明的不等式中把對數式ln拆開成ab-ab?ab-a??.ba?(b?a)?alnb-lna，再利用拉格朗日的公式來輕松地得出結論.例2.4 證明不等式

h?ln?1?h??h，對一切h?-1，h?0成立.1?h分析 此題首先利用對數的有關知識，構造了一個輔助函數lnx，再利用拉格朗日中值定理解出此題.證明 由拉格朗日公式（4），令a?1，f(x)?lnx.則有

ln?1?h??ln?1?h?-ln1?h1???h0???1.，（1）

當h?0時，由不等式 0???1，可推得

1?1???h?1?h及

hh??h.（2）1?h1???h當-1?h?0時，由不等式0???1，可知

1?1???h?1?h?0.由于h?0，可推（2）式成立，將（2）式代入（1）式，就可知不等式成立.評注 證明此種不等式的關健是構造一個輔助函數，再利用初等數學的有關知識來證明不等式.例2.5 證明若x?0，則ex?1?x.證明 令f(x)?ex，則f(x)在R上連續、可導，且f'(x)?ex.（0,x）情形一 當x?0時，由拉格朗日定理知???使

ex?e0?e?(x?0).整理有ex?e?x.因為e??1，所以有ex?x.（x,0）情形二 當x?0時，由拉格朗日中值定理知???，使

e0?ex?e?(0?x).整理有ex?xe?.因為此時0?e??1，三邊同時乘以x，0?xe??x 所以ex?x成立.綜上所述，當x?0時，ex?x成立.從以上例題可以發現：靈活構造“a,b”的取值，不僅可使證明過程簡單，有時甚至是解題的關鍵.2.2.3 輔助函數構造法

例2.6[4] 設函數f(x)在?a,b?上連續，在?a,b?內可導，又f(x)不為形如，使f'(?)?Ax?B的函數．證明至少存在一點?（a???b）證明 做輔導函數

g(x)?f(a)?則g?x?為形如Ax?B的函數．

因為f(x)不為形如Ax?B的函數，所以至少存在一點c?(a,b)，使

f(b)?f(a)(x?a)，b?af(b)?f(a).b?a

f(c)?g(c),但f(a)?g(a)，f(b)?g(b).情形一 f(c)?g(c)，此時

f(b)?f(a)??f(a)?(c?a)?f(a)?f(c)?f(a)g(c)?g(a)?f(b)?f(a)b?a?????

c?ac?ac?ab?a即

f(c)?f(a)f(b)?f(a)?.c?ab?a（a,c）因為?a,c???a,b?，所以由中值定理知??1?，使

f(c)?f(a)，c?af(b)?f(a)從而有 f'(?1)?.b?a f'(?1)?情形二 f(c)?g(c)，此時

f(b)?f(a)??f(b)??f(a)?(c?a)?f(b)?f(c)g(b)?g(c)b?a???f(b)?f(a)，??b?cb?cb?ab?a即

f(b)?f(c)f(b)?f(a)?.b?cb?a因為?c,b???a,b?，所以由拉格朗日中值定理，??2?(c,b)使得

f'??2??從而有

f'??2??f?b??f?c?，b?cf?b??f?a?.b?a綜上所述，在?a,b?內至少有一點?使原式成立.證畢.許多證明題都不能直接應用定理進行證明．利用拉格朗日中值定理證明問題時，如何構造輔助函數，是證明的關鍵.泰勒中值定理在不等式證明中的應用

3.1 泰勒中值定理

泰勒中值定理 如果函數f(x)在含有x0的開區間?a,b?內有直到n?1階導數，則對任一點x0?(a,b)，有

f''(x0)f(n)(x0)f(n?1)(?)2nf(x)?f(xo)?f'(xo)(x?x0)?(x?x0)?????(x?xo)?(x?x0)n?12!n!(n?1)!其中?是x0與x之間的某個值，上式稱為f(x)按(x?x0)的冪展開的n階泰勒公式.下面就泰勒中值定理中函數展開點x?(a,b)的不同情況來證明不等式.3.2 利用泰勒公式證明不等式 3.2.1 中點取值法

選區間中點展開是較常見的一種情況，然后在泰勒公式中取x為適當的值，通過兩式相加，并對某些項進行放縮，便可將多余的項去掉而得所要的不等式.下面以實例說明.例3.1[5] 設在區間?a,b?內，f''(x)> 0，試證：對于?a,b?內的任意兩個不同點x1和x2，有 f(x1?x2f(x1)?f(x2))?.22f''????x?x0?2，2!證明 將f(x)分別在a及b處展開，得

f?x??f?x0??f'?x0??x?x0??其中?是x0與x之間的某個值.上式中分別取x?x1及x2，f''??1??x1?x0?2,???x1,x0?； 2!f''??2??x2?x0?2,???x0,x2?.f?x2??f?x0??f'?x0??x2?x0??2!f?x1??f?x0??f'?x1?x0??上面兩式相加，得

f?x1??f?x2??2f?x0??f''??1??x1?x0?2?f''??2??x2?x0?2.2!2!因為f''(x)?0，所以，f?x1??f?x2??2f?x0?，即

?x?x?f?x1??f?x2? f?12??.2?2?注(1)若題中條件“f''(x)?0”改為“f''(x)?0”，而其余條件不變，則結論改為

?x?x?f?x1??f?x2? f?12??.2?2?(2)若例1的條件不變，則結論可推廣如下：

對?a,b?內任意n個不同點x1,x2???xn及?1，?2，???,?n?(0,1)且??1?1，有

i?1n?n?n f???ixi????if?xi?.?i?1?i?1例3.2 設函數f(x)在區間[a，b]上二階連續可導，且f(a?b)?0，證明 2?abM?b?a?f?x?dx?,其中M?maxf''?x?.a?x?b243證明 將f(x)在x0?a?b處展開，得 2 f?x??f?x0??f'?x0??x?x0??其中?是 x0與x之間的某個值.因為f(f''????x?x0?2.2!a?b)?0，所以有 2 f?x??f'?x0??x?x0??上式在?a,b?作定積分，然后取絕對值

f''????x?x0?2，2!?abf?x?dx?f''????2???????f'xx?x?x?x000?dx ?a?2!??b1 ?2?baf''????x-x0?2Mdx?2M3????x-xdx?b-a.0?ab224 即

?baf?x?dx?M?b?a?3.2

3.2.2 端點取值法

當條件中出現f'(a)?f'(b)?0，而欲證式中出現廠f(a),f(b),f''(?)，展開點常選為區間兩端點a,b,然后在泰勒公式中取x為適當的值，消去多余的項，可得待證的不等式.例3.3 函數f(x)在區間[a，b]上二階可導，且f'(a)?f'(b)?0，證明：在?a,b?內至少存在一點?，使得f''????4f?b??f?a??b?a?2.證明 將f(x)分別在a及b處展開，得

f''??1??x?a?2,?1??a,x?； 2!f''??2??x?b?2,?2??x,b?.f?x??f?b??f'?b??x?b??2!a?b上面兩式中取x?，f?x??f?a??f'?a??x?a??b?af''??1??b?a??a?b? f????f?a??f'?a????；

22!?2??2?2b?af''??2??b?a??b?a? f????f?b??f'?b????.222!2????2上面兩式相減，并由f'(a)?f'(b)?0，得

2?b?a?f?b??f?a??8(b?a)2?f''??2??f''??1??.f''??2??f''??1??8 記

f''????max?f''??1??f''??2??.其中，???1或?2.于是，有

2?b?a?f?b??f?a??4f''???,即f''????4f?b??f?a??b?a?2.3.2.3 極值取值法

當題中不等式出現函數的極值或最值項，展開點常選為該函數的極值點或最

值點.例3.4[6] 設函數f(x))在區間?a,b?內二階可導，且存在極值f(c)及點p?(a,b)，使f(c)f(p)?0，試證：至少存在一點??(a,b)，使f'(c)f''(?)?0.證明 將f(x)在x0?c處展開，得

f?x??f?c??f'?c??x?c??其中，? 介于c與x之間.上式取x?p，并由f'(c)?0，得

f?p??f?c??f''????p?c?2，2!f''????p?c?2，2！其中?介于c與p之間.兩邊同乘以f(c)，得

f?p?f?c??f2?c??f''???2f?c??p?c?，2!?a?b?（1）當x0??a,?時，上式取x?a，得

2??f?x0?即

f''????a?x0?2??b?a?f''???,???a,x0?.?2!82f''????8?b?a?2f?x0?.?a?b?（2）當x0??a,?時，上式取x?b，同理可得

2??f''????8?b?a?2f?x0?,???x0,b?.由(1)及(2)得，存在??(a,b)，使得

f''????8maxf?x?.?b?a?2x??a,b?再由f''(x)的連續性，得

maxf''?x??x??a,b?8?b?a?2x??a,b?maxf?x?

注(1)當題中條件“連續”去掉，而其他條件不變時，結論可改為在?a,b?內至少存在一點，使得

f''????8?b?a?2x??a,b?maxf?x?成立

(2)當題中條件添加maxf(x)?0時，結論可改為：在?a,b?內至少存在一點

x??a,b??，使得f''(?)?8maxf(x)成立.2x??a,b?(b?a)3.2.4 任意點取值法

當題中結論考察f(x),f'(x),f''(x)的關系時，展開點常選為該區間內的任意點，然后在泰勒公式中取x為適當的值，并對某些項作放縮處理，得所要的不等式.例3.5[7] 函數f(x)在區間?a,b?上二階可導，且f(x)≤A，f''(x)≤ B，其中A，B為非負常數，試證：f'?x??2AB??b?a?，其中x?(a,b).b?a2f''????x?x0?2，2!證明 將f(x)在x0?(a,b)處展開，f?x??f?x0??f'?x0??x?x0??其中?介于x0與x之間.上式中分別取x?a及b，f?a??f?x0??f'?x0??x?x0??f?b??f?x0??f'?x0??x?x0??f''??1??a?x0?2,?1??a,x0?； 2!f''??2??b?x0?2,?2??x0,b?.2!上面兩式相減，得

f?b??f?a??f'?x0??b?a??122f''??2??b?x0??f''??1??a?x0?.2??

即

f'?x0??f?b??f?a?122?f''??2??b?x0??f''??1??a?x0?.b?a2?b?a???故

f'?x0??1?f?b??f?a???1f''??2??b?x0?2?f''??1??a?x0?2 b?a2?b?a?2AB?b?x0?2??x0?a?2 ?b?a2?b?a??? ??? ?2A?B?b-a?.b-a22AB即f'?x????b?a?，再由x0的任意性，b?a2故有

f'?x??2AB??b?a?，其中x?(a,b).b?a2例3.6 函數f(x)在區問?a,b?上二階可導，且f(a)?f(b)?0，M?maxf''(x)，試證x?[a,b]?baM?b?a?f?x?dx?.123證明 將f(x)在t??a,b?處展開，f?x??f?t??f'?t??x?t??其中車?于t與x之間.上式中分別取x?a及b，f?a??f?t??f'?t??x?t??f''??1??a?t?2,?1??a,t?； 2!f''??2??b?t?2,?2??t,b?.f?b??f?t??f'?t??x?t??2!f''????x?t?2，2!

上邊兩式相加，得

f?t???1122f'?t??a?b?2t??f''??1??a?t??f''??2??b?t?.24??上式兩端在?a,b?上對t作積分，b?a1b1b22f?t?dt???f'?t??a?b?2t?dt??f''??1??a?t??f''??2??b?t?dt

2a4ab1b22???f?t?dt??f''??1??a?t??f''??2??b?t?dt.a4a????于是有

?ba1b22f?t?dt???f''??1??a?t??f''??2??b?t?dt，8a???ba1b2f?t?dt????af''??1??a?t?dt?8?b??2? ????[f''?b?t]dt?2?a?bMb2 ????a?a?t?dt?8?即

??M?b?a?.??b?tdt??a12?32?baM?b?a?f?x?dx?.123注 從不等式的特點出發，應用實際范例給出了泰勒公式中展開點選取的幾種情況：區間的中點，已知區間的兩端點，函數的極值點或最值點，已知區間的任意點.同時對各種情況的運用范圍和特點作了說明，以便更好地運用泰勒中值定理證明不等式.柯西中值定理在不等式證明中的應用

4.1 柯西中值定理

柯西中值定理 設函數f?x?，g?x?滿足

（1）在閉區間?a,b?上連續；

（2）在開區間?a,b?內可導；

（3）對任一x??a,b?有g?x??0，則存在???a,b?，使得?f?b??f?a??/?g?b??g?a??=f'???/g'???.4.2 利用柯西中值定理證明不等式

例4.1 設函數f?x?在?-1,1?內可微，f?0??0,f'?x??1，證明：在?-1,1?內，f?x??1.證明 引入輔助函數g?x??x,在?0,x??或?x,o??上?x???1,1??應用柯西中值定理，得

f?x?-f?0?f'?????f'???.g?x?-g?0?1

因為f?0??0,g?0??0,且f??x??1,所以

f?x??f?????1?f?x??x?1.g?x?例4.2[8] 證明不等式1?xlnx?1?x2?1?x2?x?0?.證明 令f?x??xlnx?1?x2,g?x??1?x2?1,則上式轉化為f?x??g?x??x?0?.由于上應用柯西中值定理，得

????

f?x?f?x??f?0?f??????,g?x?g?x??g?0?g????于是f?x??g?x?又轉化為f'????g'???.因為

2ln????1???f????g?????1??2??1??2?1?1??2ln??1??2???

1而當x???0時，1??2ln??1??2?0,所以

???f?????1?f?????g?????f?x??g?x?, ?g???即

1?xlnx?1?x2?1?x2.例4.3[9]

若0?x1?x2?x2x1??

?2，求證：ex2?ex1??cosx1?cosx2?ex1.x1ex2?ex1?ex1，證明 證明e?e??cosx1?cosx2?e，實際上只需證

cosx1?cosx2設f?t??et,g?t??cost,則f?t?,g?t?在?x1,x2?上，滿足柯西中值定理條件，所以

f?x2??f?x1?f'?c? c??x1,x2?.?g?x2??g?x1?g'?c?ex2?ex1ee?即

0?x1?c?x2?.?cosx2?cosx1?sinc2ex2?ex1??cosx1?cosx2?ec1??cosx1?cosx2?ec??cosx1?cosx2?ex1.sinc其中用到1?1及ex是單調增加函數.sinc 積分中值定理證明不等式

5.1積分中值定理

定理5.1(積分第一中值定理)若f?x?在區間?a,b?上連續，則在?a,b?上至少存在一點?使得

f?x?dx?f????b?a?,a???b.?

ab 定理5.2(推廣的積分第一中值定理)若f?x?,g?x?在閉區間?a,b?上連續，且g?x?在?a,b?上不變號，則在?a,b?至少存在一點?，使得

?f?x?g?x?dx?f????g?x?dx,a???b.aabb5.2 利用積分中值定理證明不等式

例5.1[11]

11x91??dx?.證明

1010201?xb 證明 估計積分?f?x?g?x?dx的一般的方法是:求f?x?在?a,b?的最大值Ma和最小值m，又若g?x??0，則

m?g?x?dx??f?x?g?x?dx?M?g?x?dx.aaabbb本題中令

f?x??因為

11??1，x??0,1?.21?x1?0?x?1?.,g?x??x9?0，1?x所以

111119x919dx??xdx?dx?x.???0001010221?x例5.2 證明2e?14??ex2?xdx?2e2.02 證明 在區間?0,2?上求函數f?x??ex2?x的最大值M和最小值m.f??x???2x?1?ex2?x，令f??x??0，得駐點x?1.2?1??1??12?上的最小值，而f?2??e2為比較f??，f?0?，f?2?知f???e4為f?x?在?0，?2??2?2?上的最大值.由積分中值定理得 f?x?在?0，e即

?14?2?0???0ex?xdx?e2?2?0?，222e??ex2?xdx?2e2.0?142注 由于積分具有許多特殊的運算性質，故積分不等式的證明往往富有很強的技巧性.在證明含有定積分的不等式時，也常考慮用積分中值定理，以便去掉積分符號，若被積函數是兩個函數之積時，可考慮用廣義積分中值定理.如果在證明如1和2例題時，可以根據估計定積分的值在證明比較簡單方便.結束語

深入挖掘滲透在這一定理中的數學思想，對于啟迪思維，培養創造能力具有重要 意義.偉大的數學家希爾伯特說“數學的生命力在于聯系” ．數學中存在著概念之間的親緣關系，存在著理論結構各要素之間的聯系，存在著方法和理論之間的聯系，存在著這一分支鄰域與那一分支鄰域等各種各樣的聯系，因此探索數學中各種各樣的聯系乃是指導數學研究的一個重要思想．實際上，具體地分析事物的具體聯系，是正確認識和改造客觀世界必不可少的思維方式在一定的意義上說，數學的真正任務就在于揭示數學對象之間、數學方法之間的內在固有聯系，這一任務的解決不斷推動數學科學向前發展．

中值定理在一些等式的證明中，我們往往容易思維定式，只是對于原來的式子要從哪去證明，很不容易去聯系其它，只從式子本身所表達的意思去證明.今后應當注重研究中值定理各定理之間的聯系，更好的應用中值定理解決不等式的證明.中值定理是一條重要定理，它在微積分中占有重要的地位，起著重要的作用，參考文獻

[1] 高尚華.華中師范大學第三版.數學分析(上)[M].北京:高等教育出版社，2001，(06).[2] 董煥河、張玉峰.高等數學與思想方法[M].陜西:西安出版社，2000，(09).[3] 高崚峰.應用微分中值定理時構造輔助函數的三種方法[J].四川:成都紡織高等專科學校學報.2007，(07):18-19.[4] 張太忠、黃星、朱建國.微分中值定理應用的新研究[J].江蘇:南京工業職業技術學院學報.2007，(8):12-14.[5] 張元德、宋列俠.高等數學輔導30講[M].清華大學出版社，1994，(6).[6]AI Jing-hua.Characters Equal Definitions and application of Convex Function[J].Journal of Kaifeng University，Vol.17，No.2，Jun.2003:132-136.[7] 鐘朝艷.Cauchy中值定理與Taylor定理得新證明[J].云南:曲靖師專學報.1998，(9):9.[8] 荊天.柯西中值定理的證明及應用[J].北京:科技信息(學術版).2008，(06):14.[9] 葛健牙、張躍平、沈利紅.再探柯西中值定理[J].浙江:金華職業技術學院學報.2007，(06):23.[10]劉劍秋、徐綏、高立仁.高等數學習題集(上)[M].天津:天津大學出版社，1987，(07).[11] 劉法貴、左衛兵.證明積分不等式的幾種方法[J].高等數學研究，2008，(06).[12] 蔡高廳.高等數學[M].天津大學出版社，1994，(06).[13] W.Rmdin，Principle of Mathematical Analysis（Second edition）[J].Mc Graw-Hill，New York，1964，(09):96-102.致謝

從2008年9月到現在，我在黃淮學院已經渡過接近四年的時光．在論文即將完成之際，回想起大學生活的日日夜夜，百感交集.在大學學習的四年時間里，正是老師們的悉心指導、同學們的熱情關照、家人的理解支持，給了我力量，從而得以順利完成學業．在此對他們表示誠摯的謝意!本論文是在導師鐘銘的悉心指導下完成的.導師淵博的專業知識，嚴謹的治學態度，精益求精的工作作風，誨人不倦的高尚師德，嚴以律己、寬以待人的崇高風范，樸實無華、平易近人的人格魅力對我影響深遠.他對數學理論在經濟，金融領域中的應用的想法和建議，使學生受益匪淺、銘刻終生.本論文從選題到完成，每一步都是在導師的指導下完成的，傾注了導師大量的心血.在此，謹向導師表示崇高的敬意和衷心的感謝！

感謝數學科學系其他老師講授的數學基礎課程，為我夯實了數學研究的理論基礎，他們是李東亞老師、魏本成老師、龐留勇老師、侯亞林老師等．感謝數學系全體領導、老師、同學創造了一個寬松，自由的學習環境.此外我還感謝室友馮克飛、王寧對我的論文完成過程中給我的指導，她們深厚的數學功底以及對數學應用軟件操作等方面的知識給了我很大的幫助．

最后深深地感謝我的父母，把最誠摯的感謝送給他們，感謝他們無微不至的關心和支持，感謝他們的無私奉獻以及為我所做的一切．

第二篇：高等數學 極限與中值定理 應用

(一)1.x??sin?limx??limxsin2xx?1 22xx?1(洛必達法則)1x2

=lim2x22x??x?1

?2

2.x????x ?limx??limsinxcosx?1

?1

3.x?0sinx?limcosxx?0limtanx?sinxx3

?sinx3?limx sinx(1?cosx)x?0xcosx3

x3?lim23x?0x1?2

4.limx?sinx3x?0?lim?16x1?cosx3x2 x?0

（二）1.若

limsinxe?axx?0(cosx?b)?5，求常數a，b

lim(cosx?b)xe?a sinx(cosx?b)?limxx?0e?a x?0sinx由等價無窮小可得a=1

=lim(cosx?b)?xsinxexx?0?5

b??4

2.若x?0,?(x)?kx,?(x)?21?xarcsinx?cosx

是等價無窮小，求常數K lim1?xarcsinx?kx2cosxx?0?1

?lim1?xarcsinx?cosxkx(1?xarcsinx?1?xarcsinx?cosx2kx2x?02cosx)

?limx?0

x2arcsinx??limx?0?sinx1?x4kx1x)?cosx'?lim31?x2?(x?01?x4k2

4k3k?4??1

3.證明當X>02

時，(x?1)lnx?(x?1)222

f(x)?(x?1)lnx?(x?1)則f(x)?2xlnx?x??2xlnx?x?'''

1x?2(x?1)1x?2

1x2f(x)?2(lnx?1)?1?

?2lnx???ln1x21x?2?11

x2?1?0'再倒推可得：f(x)?0

22f(x)?0f(x?0)，所以(x?1)lnx?(x?1)

（三）1.設f(x)在[0，a]上連續，在（0，a）內可導，且

f(a)?0，證明：???(0,a)，使得f(?)??f(?)?0。

'求原函數F(x)?xf(x)

F(0)?F(a)?0滿足羅爾定律，所以F(x)?0

'即 f(?)??f(?)?0'

2.設f(x)在[0，1]上連續，在（0，1）上可導。且

f(0)?0,f(1)?1，證明

（1）?c?(0,1).推出f(c)?1?c（2）??，??(0,1)有f(?)?f(?)=1（???）''

（1）F(x)?f(c)?c?1

F(0)??1,F(1)?1

由零點定理得?c?(0,1)有F(c)=0

所以?c?(0,1).推出f(c)?1?c（2）設??(o,c),??(c,1)得

f(?)?f(?)?''f(c)?f(0)c?0f(1)?f(c)1?c??1?ccc1?c'

'所以 ??，??(0,1)有f(?)?f(?)=1（???）

第三篇：導數在不等式證明中的應用

導數在不等式證明中的應用

引言

不等式的證明是數學學習中的難點，而導數在不等式的證明中起著關鍵的作用。不等式的證明是可以作為一個系列問題來看待,不等式的證明是數學學習的重要內容之一,也是難點之一。其常用的證明方法有: 比較法、綜合法、分析法、重要不等法、數學歸納法等等,然而有一些問題用上面的方法來解決是很困難的,我們在學完導數及其應用這一內容以后,可以利用導數的定義、函數的單調性、最值性(極值性)等相關知識解決一些不等式證明的問題。導數也是微積分的初步基礎知識，是研究函數、解決實際問題的有力工，它包括微分中值定理和導數應用。不等式的證明在數學課題中也是一個很重要的問題，此類問題能夠培養我們理解問題、分析問題的能力。本文針這篇論文是在指導老師的悉心指導和嚴格要求下完成的。這篇論文是在指導老師的悉心指導和嚴格要求下完成的。對導數的定義、微分中值定理、函數的單調性、泰勒公式、函數的極值、函數的凹凸性在不等式證明中的應用進行了舉例。

一、利用導數的定義證明不等式

定義 設函數f?f?x?在點x0的某領域內有定義,若極限

f?x??f?x0? 存在 limx?x0x?x0則稱函數f在點x0處可導，并稱該極限為函數f在點x0處的導數，記作f'?x0? 令 x?x0??x，?y?f?x0??x??f?x0?，則上式可改寫為

f?x0??x??f?x0??y?lim?f'?x0?

?x?0?x?x?0?xlim所以，導數是函數增量?y與自變量增量?x之比

?y的極限。這個增量比稱為函?x數關于自變量的平均變化率(又稱差商)，而導數f'?x0?則為f在x0處關于x的變化率。

以下是導數的定義的兩種等價形式：

1（1）f'?x0??limx?x0f?x??f?x0?

x?x0f?x??x??f?x0?

?x（2）f'?x0??lim?x?0例1: 設f?x??r1sinx?r2sin2x???rnsinnx，并且f?x??sinx，證明：r1?2r2???nrn?1

證明 f?x??r1sinx?r2sin2x??rnsinnx，可得出f?0??0，因為 f'?x??r1cosx?2r2cos2x???nrncosnx, 則 f'?0??r1?2r2???nrn 又由導數的定義可知

limx?0f?x??f?0?f?x?f?x? ?lim?limx?0x?0x?0xxsinx?1 x?f'?0??limx?0所以 f'?0??1，即可得 r1?2r2???nrn?1.1221y?lny，求證: y?1,y2?y2?lny.232211分析 令h?y??y2?y2?lny，y?(1,??)，因為h?1???0, 326例

2、已知函數f?y??要證當x?1時，h?x??0,即h?x??h?1??0,只需證明h?y?在(1,??)上是增函數。證明 令h?y??22121y?y?lny，則h'?y??2y2?y?，32y'2y3?y2?1(y?1)(2y2?y?1)因為 當y?1時, h?y????0 ，yy所以h?y?在(1,??)上是增函數，就有h?y??h?1??121?0,y3?y2?lny?0，632 2 21即可得y?1,y2?y2?lny.32注:證明方法為先找出x0，使得y?f'?x0?恰為結論中不等式的一邊；再利用導數的定義并結合已知條件去證明。

二、利用微分中值定理證明不等式

證題思路 將要證的不等式改寫成含變量之商不等式，則可嘗試利用中值公式

f?b??f?a??f'???

b?af?b??f?a?f?b??f?a?或的b?ag?b??g?a?f?b??f?a?f'???或者 ?'g?b??g?a?g???并做適當的放縮到待證不等式中 1.使用拉格朗日中值定理證明不等式 定理 若函數滿足如下條件:(i)f在閉區間[a,b]上連續；(ii)在開區間(a,b)內可導，則在(a,b)內至少存在一點?，使得

f'????f?b??f?a?

b?a例

3、證明對一切h??1,h?0成立不等式

h?ln?1?h??h 1?h證明 設f?x??ln?1?x?，則ln?1?h??ln?1?h??ln1?當h?0時，由0???1可推知

1?1??h?1?h，h，0???1 1??hhh??h 1?h1??hhh??h 1?h1??h當?1?h?0時，由0???1可推得

1?1??h?1?h?0,從而得到所要證明的結論.注:利用拉格朗日中值定理的方法來證明不等式的關鍵是將所要證明的結論與已知條件歸結為一個函數在某區間上的函數增量，然后利用中值定理轉化為其導數的單調性等問題.2．使用柯西中值定理證明不等式 定理 設函數f和g滿足(i)在[a,b]上都連續；(ii)在(a,b)內都可導；

(iii)f'?x?和g'?x?不同時為零；(iv)g?a??g?b?，f'???f?b??f?a?則存在??(a,b)，使得' ?g???g?b??g?a?例

4、證明不等式

ln?1?y??arctany(y?0)1?y分析 該不等式可化為

?1?y?ln?1?y??1(y?0)

arctany可設 f?y???1?y?ln?1?y?，g?y??arctany，f?y??f?0?注意到f?0??g?0??0，故可考慮對使用柯西中值定理

g?y??g?0?證明 如上分析構造輔助函數f?y?和g?y?，則對任意y?0，由柯西中值定理，存在??(0,y)，使得

?1?y?ln?1?y??f?y??f?0??f'????1?ln(1??)

1arctanyg?y??g?0?g'???1??2?[1?ln(1??)](1??2)?1.4

三、利用函數的單調性證明不等式

證明思路 首先根據題設條件及所證不等式，構造適當的輔助函數f?x?，并確定區間[a,b]；然后利用導數確定f?x?在[a,b]上的單調性；最后根據f?x?的單調性導出所證的不等式.1.直接構造函數，再運用函數的單調性來證明不等式

?例5 證tany?2siny?3y，其中y?[0,)

2分析 欲證f(y)?f(a)(a?y?b)，只要證f(y)在[a,b]上單調遞增，即證f'(y)?0即可．

若f'(y)的符號不好直接判定，可借助于f''(y)，以至于f3(y)進一步判定.證明 令f?y??tany?2siny?3y，則 f'?y??sec2y?2cosy?3，f''?y??2siny?sec3y?1?

?于是y?[0,)時，f''?y??0，有f'?y?單調增加

2所以f'?y??f'?0??0,有f?y?單調增加，可推得f?y??f?0??0，即tany?2siny?3y.2.先將不等式變形，然后再構造函數并來證明不等式 例

6、已知b,c?R,b?e，求證：bc?cb為(e自然對數的底)證明 設f?x??xlnb?blnx(x?b?c)

b則 f'?x??lnb?，就有 b?e，x?b

xb因為 lnb?1,?1, x所以 f'?x??0，則f'?x?在(e,??)上遞增；

又因c?b，所以f?c??f?b?，就有clnb?blnc?blnc?blnc?0 從而有clnb?blnc，即bc?cb.注: 對于一些不易入手的不等式證明, 可以利用導數思想,先通過特征不等式構 造一個函數, 再判定其函數單調性來證明不等式成立,這就是利用函數的單調性證明不等式的思想。

構造輔助函數有以下幾種方法: 1.用不等式的兩邊“求差”構造輔助函數；  2.用不等式兩邊適當“求商”構造輔助函數； 3.根據不等式兩邊結構構造“形似”輔助函數； 

4.如果不等式中涉及到冪指函數形式,則可通過取對數將其化為易證明的形式再根據具體情況由以上所列方法構造輔助函數.四、利用泰勒公式證明不等式

證題思路 若f?x?在(a,b)內具有(n+1)階導數，x0?(a,b)，則

f?x??f?x0??f'?x0??x?x0??

f''?x0?2?x?x0???? 2!f?n??x0?fn?1???nn?1?x?x0???x?x0? n!?n?1?!其中?介于x0與x之間．

例

7、設f?y?在[0,1]上二階可導，f?0???1??0,且maxf?y??1，求證：存在y?[0,1]??(0,1)，使得f''?y???8.證明 因f?y?在[0,1]上二階可導，故在[0,1]上連續, 據最值定理，必?c?(0,1)使得f?c?為最大值，即f?c?=1，且有f'?c??0.而f?y?在y=1的一階泰勒展式為

f''???2 f?y??f?c??f?c??y?c???x?c?，其中?介于c與y間

2'分別在上式中令y?0與y?1得

f?0??1?1''f??1?c2?0,?1?(0,c)，2 6

1''2f??2??1?c??0,?2?(c,1).212故當c?(0,]時，f''??1???2??8，2cf?1??1?12當c?(,1)時, f''??2?????8，22?1?c?所以存在?(?1或?2)?(0,1),使得f''?y???8.注: 用泰勒展式證明不等式的方法是將函數f?x? 在所給區間端點或一些特點(如區間的中點，零點)進行展開，通過分析余項在?點的性質，而得出不等式。值得說明的是泰勒公式有時要結合其它知識一起使用,如當使用的不等式中含有積分號時,一般要利用定積分的性質結合使用泰勒公式進行證明;當所要證明的不等式是含有多項式和初等函數的混合式時,需要作一個輔助函數并用泰勒公式代替。使用泰勒公式巧妙靈活的證明不等式往往使證明方便簡捷。

五、利用函數的最值(極值)證明不等式

由連續函數在[a,b]上的性質,若函數f在閉區間[a,b]上連續,則f在[a,b]上一定有最大、最小值，這就為我們求連續函數的最大,最小值提供了理論保證。

若函數f的最大(小)值點x0在區間(a,b)內,則x0必定是f的極大(小)點。又若f在x0可導,則x0還是一個穩定點。所以我們只要比較f在所有穩定點、不可導點和區間端點上的函數值,就能從中找到f在[a,b]上的最大值與最小值。證明方法：先構造輔助函數，再求出f?x?在所設區間上的極值與最大、最小值，進而證明所求不等式。

例

8、已知: 0?x?1，證明當r?1時，有

r1rr?x?1?x?1 ??r?12證明 令f?x??xr??1?x?，0?x?1，則f?0??f?1??1

1，2111111則f()?r?(1?)r?r?r?r?1

222222令f?x??0，求得x?因為 f'?x??rxr?1?r?1?x?r?1，7 令 f'?x??0,求得駐點為x?又因為當r?1時，1?1, r?121，2所以f?x?在[0,1]上的最小值為從而

1，最大值為1, 2r?11rr?x?1?x?1，0?x?1，r>1.??2r?1例

9、證明：當y?1時, ey?證明 作輔助函數 1?yf?y???1?x?ey，則f'?y???yey,y?0是f?y?在(??,1)內的唯一駐點，且當y?0時，f'(y)?0 ；當0?y?1時，f'?y??0.故y?0是f?y?的極大值點，f?0??1是f?y?的極大值.因為當y由小變大時，f?y?由單調增變為單調減, 故f?0??1同時也是f?y?的最大值, 所以，當y?1時，f?y??1 , 即ey?1.1?y注:在對不等式的證明過程中，可以以不等式的特點為根據，以此來構造函數，從而運用導數來得出函數的最值，而此項作用也是導數的另一個功能，即可以被用作求函數的最值。例如，當此函數為最大或最小值的時候，不等式的成立都有效的，因此可以推出不等式是永遠成立的，從而可以將證明不等式的問題轉化到求函數最值的問題上來。

六、利用函數的凹凸性質證明不等式

證明思路 若f''?x??0(a?x?b)，則函數y?f?x?的圖形為凹的，即對任意x1，x2?(a,b)，有f(f?x1??f?x2?x1?x2)?，當且僅當x1?x2時成立． 22 8 例

10、設r?0，h?0，證明rlnr?hlnh?(r?h)ln成立．

分析 將欲證的不等式兩邊同除以2，變形為

rlnr?hlnh(r?h)r?h?ln 222r?h，且等號僅在r?h 時2由上式看出，左邊是函數f?k??klnk在r，h兩點處的值的平均值，而右邊是它在中點r?h處的函數值．這時只需證f''?k??0即可． 2證明 構造輔助函數

f?k??klnk(k?0)，那么就有：

f'?k??1?lnk,f''?k??故由不等式:

1?0 成立.kf?r??f?h?r?h?f()

22rlnr?hlnh(r?h)r?h?ln 222r?h也即 rlnr?hlnh?(r?h)ln

2可得

且等號僅在r?h 時成立.例

11、已知: ??0,??0, ?3??3?2，求證：????2.證明 設f?y??y3,y?(0,??)，則 f'?y??3y2,f''?y??6y?0 就有f?y??y3,y?(0,??)是凸函數

1，y1??,y2??，211???)則f??1y1??2y2??f(???)?f(222設?1??2?就有如下式子成立: f??1y1??2y2??f(???2)??1f?y1???2f?y2??11f????f??? 22 9 ?????而又因為有

83?(???2)3?f(???2)，f????f????3??311?1 f????f?????2222?????所以

83?f(???2)?11f????f????1 成立 22故????2.小結:通過對導數證明不等式的研究，我可以看出不等式的證明方法很多，但各種方法都不盡相同。我們要充分理解各種方法的應用原理，挖掘導數的各種性質。多做此類難題，不但有利于我們在學習和考試中輕松解決同類問題，更有利于培養我們的數學思維和推理論證能力。因而導數在不等式證明當中的應用很有研究價值。

第四篇：導數在不等式證明中的應用

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導數在不等式證明中的應用

作者：唐力 張歡

來源：《考試周刊》2013年第09期

摘要： 中學不等式證明，只能用原始的方法，很多證明需要較高技巧，且證明過程太難，應用高等數學中的導數方法來證明不等式，往往能使問題變得簡單.關鍵詞： 導數 拉格朗日中值定理 不等式證明

1.拉格朗日中值定理

定理1：如果函數y=f（x）滿足：1）在閉區間[a，b]上連續，2）在開區間（a，b）內可導，則在（a，b）內至少有在一點ξ（a

F（b）-f（a）=f′（ξ）（b-a）

由定理1，我們不難得到如下定理2.

第五篇：微分中值定理的證明與應用分析

本科生畢業論文（設計）

題

目

微分中值定理的證明與應用分析

姓

名

馬華龍

學號

2009145154

院

系

電氣與自動化學院

專

業

測控與儀器技術

指導教師

魏春玲

職稱

教授

2012 年 5月 20日 曲阜師范大學教務處制

目錄

摘要............................................................................................................................................1 Abstract.......................................................................................................................................1 1 引言........................................................................................................................................1 2 微分中值定理及其相關概念.............................................................................................1 3 微分中值定理的證明方法....................................................................................................2 3.1 費馬定理............................................................................................................................2 3.2 羅爾定理............................................................................................................................3 3.3 柯西中值定理....................................................................................................................4 4 定理的推廣............................................................................................................................5 5 定理的應用............................................................................................................................6 5.1 利用微分中值定理證明等式與恒等式............................................................................6 5.2 利用微分中值定理證明不等式........................................................................................7 5.3 討論根的存在性................................................................................................................8 6 總結........................................................................................................................................9 致謝..........................................................................................................................................10 參考文獻..................................................................................................................................10

微分中值定理的證明與應用分析

測控與儀器專業學生 馬華龍

指導教師

魏春玲

摘要：本文首先介紹了微分中值定理的基本內容極其幾何意義然后又分別介紹了三個微分中值定理，最后有介紹了中值定理的推廣和應用。詳細介紹了中值定理在證明等式和不等式以及性態等方面的應用。

關鍵詞：微分中值定理 推廣 應用

Differential Mean Value Theorem Proof and Application Analysis Student majoring in Measurement and control technology and instrument

Ma Hualong

Tutor

Wei Chunling

Abstract：This paper first introduces the basic content of the Differential Mean Value Theorem extremely geometric meaning, then introduced the three differential mean value theorem, and finally introduced the promotion and application of the mean value theorem.The detailed explained differential mean value theorem in proving the equality and inequality.Key Words : differential mean value theorem Promotion application.1引言

在數學研究與分析中，微分學占有極其重要的地位，它是組成數學分析的重要部分。而通過對微分學整體的學習，我們可以知道微分中值定理在它所有定理中是最基本的，而且是最重要的定理之一，微分中值定理是構成微分學的主要組成部分。因此學好微分中值定理，對我們以后的繼續在數學方面的研究是非常重要的。

人們對微分中值定理的研究從微積分的建立之始就開始了，微分中值定理分為：羅爾中值定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理，它出現的過程聚集了眾多數學家的研究成果。而且從費馬引理到柯西中值定理使微積分不斷發展，理論知識也不段的豐富和完善，是自從引進微積分來數學研究的重要工具之一，并且中值定理的應用也越來越廣泛。本文將首先討論微分中值定理的證明，然后討論它的應用，并且主要是討論微分中值定理在證明等式、不等式、函數為常數、函數的性態等方面的應用。微分中值定理及其相關概念

微分中值定理是一系列中值定理的總稱，是研究函數的有力工具，其中最重要的內容是拉格朗日中值定理，可以說其他中值定理都是拉格朗日中值定理的特殊情況或者推廣。也可以說微分中值定理就是包括羅爾定理、拉格朗日中值定理、以及柯西中值定理在內的定理的總稱，而中值定理的證明會用到以下的概念。

limf(x)?limg(x)x?x0x?x0極限的局部保號性： 若，則存在Δ≥0，任意x?(x0??,x0??)，使得f(x)?g(x)。

函數的單調性： 函數f(x)在定義域內，當x1?x2時，有f(x1)?f(x2)，則稱f(x)單調遞增。當x1?x2時，有f(x1)?f(x2)，則稱f(x)單調遞減。

凹凸性： 若函數曲線位于其每一點處切線的上方(下方),則稱函數曲線時下凸(上

'y?f(x)f凸)的,或稱函數向下凸(上凸).而若的一階導數(x)在(a,b)上單調遞增(或遞減),則稱f(x)在(a,b)是向上凹(下凹)的,或稱函數曲線向上凹(下凹).最值：設f(x)在I上有定義,若存在x0?I使任意x?I，f(x0)?f(x)（f(x0)?f(x)），則稱f(x0)為f(x)的最小值（最大值）。x0為最小值點（最大值點）。

極值：設f(x)在任意x?I上有定義，若存在x0?I,??0,任意x?(x0??,x0??)都有f(x)?f(x0)（f(x0)?f(x)），則稱f(x0)為f(x)的一個極小值（極大值），x0成為極小值點（極大值點）。

除此之外，我們還應該看到羅爾定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理的聯系。這三個定力的關系：層層遞進，步步深入，前者是后者的特殊情況，后者是前者的推廣。拉格朗日中值定理和柯西中值定理都是通過構造輔助函數，然后用羅爾定理加以證明的；拉格朗日中值定理是柯西中值定理的特例；而羅爾定理有是拉格朗日中值定理的直接推論。微分中值定理的證明方法

3.1 費馬定理

費馬引理是是實分析中的一個定理，以皮埃爾·德·費馬命名。通過證明函數的每一個極值都是駐點（函數的導數在該點為零），該定理給出了一個求出可微函數的最大值和最小值的方法。因此，利用費馬引理，求函數的極值的問題便化為解方程的問題。需要注意的是，費馬引理僅僅給出了函數在某個點為極值的必要條件。也就是說，有些駐點不是極值，它們是拐點。要想知道一個駐點是不是極值，并進一步區分最大值和最小值，我們需要分析二階導數（如果它存在）。當該點的二階導數大于零時，該點為極小值點；當該點的二階導數小于零時，該點為極大值點。若二階導數為零，則無法用該法判斷，需列表判斷。

xx費馬引理的內容：函數f(x)在點0的某鄰域U(x0)內有定義，并且在0處可導，如

'x?U(x)f(x)?f(x)f(x)?f(x)f(x0)=0。0，都有0或者0，那么果對于任意的費馬定理的幾何意義:若將函數f(x)的曲線置于平面直角坐標系XOY,則費馬定

x(x,f(x0))理具有幾何意義:對曲線y?f(x)上,若有一點0存在切線,且0為f(x)極值點.則這一點處的切線平行于x軸.證明方法：x0x為f(x)的極值點.不妨設0為極小值點,則

???0,?x?(x0??,x0??),有f(x0)?f(x).f(x)?f(x0)?0x?x0x?x0若,則;f(x)?f(x0)?0x?x0x?x0若,則;取極限:x?x0lim?f(x)?f(x0)f(x)?f(x0)lim-x?xx?x0x?x0與0分別為T、S

limf(x)?f(x0)x?x0.x?x0x由于f(x)在0處可導,則T=S=由極限的局部保號性有:T?0, S?0.故 T=S=0.f(x)?f(x0)lim?0x?x0f?(x0)?0 x?x0所以有 即3.2 羅爾定理

若f(x)在[a,b]上連續，在內(a,b)可導，且f(a)?f(b)，則至少存在一點???a,b?使f?(?)?0。

羅爾定理的幾何意義：羅爾定理的三個已知條件的意義：

⒈f(x)在?a,b?上連續表明曲線連同端點在內是無縫隙的曲線；

⒉f(x)在?a,b?內可導表明曲線y?f(x)在每一點處有切線存在； ⒊f(a)?f(b)表明曲線的割線（直線AB）平行于x軸

'?f 羅爾定理的結論的直幾何意義是：在（a,b）內至少能找到一點，使(?)?0，表明曲線上至少有一點的切線斜率為0，從而切線平行于割線AB，與x軸平行。

羅爾定理的證明：根據f是閉區間?a,b?上連續函數的性質，由極值定理得在

?a,b? 上有最大值(M)和最小值(m)。

1.如果M?m，此時f(x)在?a,b?上恒為常數，結論顯然成立。

2.如果M?m，由條件f(a)?f(b)知，兩個數M，m中至少有一個不等于端點的函數值f(a)?f(b)，不妨設M?f(a)（如果設m?f(a)，證法完全類似），那么必定在開區間(a,b)內有一點?使f(?)?M。

'f(x)?f(?)???x?a,bf法1：因此，有，由費馬引理可知(?)?0。

法2：由于f(x)在ξ處最大，故不論?x是正或負，總有

f(???x)?f(?)?0, 因此，當?x?0時，{f(???x)?f(?)}/?x?0，故由極限的保號性有

f?'(?)?lim?{f(???x)?f(?)}/?x?0?x?0（1）

而當?x?0時，{f(???x)?f?)}/?x?0，故

f_'(?)?lim?{f(???x)?f(?)}/?x?0?x?0（2）

''f(?)f由(1)，(2)兩式及存在知，必有(?)?0。

拉格朗日中值定理

拉格朗日中值定理的內容： 若函數f(x)滿足:(1)在閉區間?a,b?上連續;(2)在開區間?a,b?內可導;則至少存在一點??(a,b)使得

f(b)?f(a)b?a.拉格朗日定理的幾何意義:如圖所示,過A(a,f(a)),B(b,f(b))兩點的直線斜率

f?(?)?f(b)?f(a)b?a,而拉格朗日定理則表明了存在于曲線上的A,B兩點某點的切線必定平行于直線AB.KAB?拉格朗日中值定理的證明：

利用羅爾中值定理,構造輔助函數.f(b)?f(a)??F(x)?f(x)??f(a)?(x?a)?b?a??.證明 作輔助函數

f(b)?f(a)??F(x)?f(x)??f(a)?(x?a)?b?a??

顯然,F(x)在?a,b?上連續, 在?a,b?內可導,且f(a)?f(b)?0,由羅爾定理可知,存

?在一點??(a,b)使得F(?)?0 即

f(b)?f(a)b?a

??推論 設f(x)、g(x)都在區間K上可導,且f(x)?g(x),則

f(x)?g(x)?c f?(?)?3.3 柯西中值定理

柯西中值定理的內容： 設函數f(x)、g(x)滿足:(1)在閉區間?a,b?上連續;

?(2)在開區間?a,b?內可導,且g(x)?0;則至少存在一點??(a,b)使得

f?(?)f(b)?f(a)??g(?)g(b)?g(a).?柯西中值定理的證明：由定理條件可知g(b)?g(a),則存在??(a,b)使得g(x)?0,因此,只需證

?? f(?)?g(b)?g(a)??g(?)?f(b)?f(a)??0.為此,構造函數

F(x)?f(x)?g(b)?g(a)??g(x)?f(b)?f(a)?,x??a,b? 顯然,F(x)在?a,b?上連續,在?a,b?內可導,且F(a)?F(b)根據羅爾定理,存在??(a,b)使得

F?(?)?0f?(?)?g(b)?g(a)??g?(?)?f(b)?f(a)??0

f?(?)f(b)?f(a)?所以,g?(?)g(b)?g(a).即 定理的推廣

前面我們已經討論了定理之間的關系，接下來我們來看它們的推廣。從前面的內容

a,b?我們知道，這三個定理都要求函數f?x?在?a,b?上是連續，在?內是可導。那么我們如果把定理中的閉區間?a,b?，把它推廣到無限區間?a,???或???,???，再把開區間?a,b?推廣到無限區間?a,???或???,???的話，則這些定理是否還能滿足條件，或者我們能得出哪些相應的定理呢？

通過討論研究我們知道，按照以上的想法把中值定理的區間，推廣到無限區間上可以得到幾個相應的定理，本文在此只提到其中的三個，下面給出定理以及證明。

limf?x??f?a?f?x??a,???a,????x定理1 若在上連續，在內可導，且???，則至少

f???0??a,???存在一點?，使??成立。

證明：

111x??a?1?t??t???a?1t令x?a?1，則t，即可得到關于t參數函數

t?0,1當x??a,???時，則??

lim??t????f?x??f????t????g?t? 即??1??a，t?0，再令g?t??limf?f?x??f?a??f????t????xlim???1????g?1??limt?0t?0??? ?g?0??limg?t?t?0 ?g?0??g?1? ? g?t??0,1?0,1在上連續，在??內可導，且g?0??g?1?，由Rolle定理可得到?，使g?????0成立 至少存在一點???0,1令，使f????0成立

證畢

?limf?x??limf?x???,?????,???fxx???定理2 若??在?上連續，在?內可導，并且x???，至

f???0?????,???少存在一點，使??成立。

定理2的證明可以參照定理1。

limf?x??Ma,???a,???定理3 若f?x?在?上連續，在?內可導，并且x???，則至少存在，有至少存在一點???a,?????????f???????????0，而

???????1?2?0.一點???a,???，使 成立。?M?f?a???f??????2???1?a?證明：設t?111x??a?1??t???a?1x?a?1，則tt，即可得到關于t參數函數

當x??a,???時，則t??0,1? lim??t????f?x??f????t????g?t? 即??1??a，t?0，再令?limg?t??lim??t??limf?x??M t?0t?0x????g?0??limg?t??Mt?0? g?t?在?0,1?上連續，在?

0,1?內可導，由Lagrange定理得

g?1??g?0?1?0成立 至少存在一點???0,1?，使

g?????即g?????f?a??M

???????1???令??????，有g????f????????，而至少存在一點???a,???，使

?M?f?a???f??????2???1?a??2?????1?a?2，成立.證畢 定理的應用

5.1 利用微分中值定理證明等式與恒等式

在證明一些出現導數的等式時,進行適當的變形后,考慮應用微分中值定理加以證明.還有,就是我們在證明一些與中值定理有關的題目時,構造輔助函數是解決問題的關鍵。在證明題中巧妙選用和構造輔助函數,進行系統分析和闡述,從而證明相關結論。我們一下面一個例題來講解。

?1?f(0)?f(1)?0,f???1?2?例：設函數f(x)在[0, 1]上連續，在(0, 1)內可導，且，1??(,1)2，使f(?)??；

試證(1)存在(2)對任意實數λ，必存在??(0,?)，使

得

f'(?)??[f(?)??]?1

分析(1)欲證等式可寫成 f(?)???0

1(,1)則只需設?(x)?f(x)?x在2上存在零點.(2)欲證等式可改寫成 [f'(?)?1]??[f(?)??]?0

''??x?(x)?f(x)?x,?(x)?f(x)?1F(x)?e?(x)，再對 由于，則只需取輔助函數

F(x)在[0,?]上用羅爾定理.?1?11?????0,?(1)??1?0[,1]?(x)?f(x)?x?(x)證(1)，因在2上連續，?2?2，1??(,1)2，使得 故由零點定理，存在?(?)?0,即f(?)??

(2)令F(0)= 0 ,，因F(x)在[0,?]上連續，在(0,?)內可導，且，故由羅爾定理，存在，使得

由于，故得

f'(?)??[f(?)??]?1

例：設0?a?b,f(x)在?a,b?連續可導,則存在???a,b?使得

f(b)?f(a)??f?(?)ln證明 令

ba.g(x)?lnx

?則g(x)?0,且f(x),g(x)在?a,b?上連續在?a,b?內可導

根據柯西定理,存在???a,b?使得

f?(?)f(b)?f(a)??g(?)lnb?lna

f(b)?f(a)??f?(?)ln即,5.2 利用微分中值定理證明不等式

微分中值定理在不等式的證明中同樣起到重要的作用，因此在證明不等式的時候，可以考慮從中值定理入手，從而解決問題。首先我們給出利用中值定理證明不等式的步(1)構造輔助函數f(x)；驟：（2）；構造微分中值定理需要的區間[a,b]；（3）利用??(a,b)，'對f(?)進行適當的收縮。下面我們給出幾個證明不等式的例子。

ba.例1： 證明對任何正數a、b(a?b)有

b?aab?a?ln?ba.b證明 令f(x)?lnx,x??a,b?.則f(x)在?a,b?上連續,在?a,b?內可導,根據拉格朗日中值定理,存在???a,b?使得

1lnb?lna??b?a??

111??由于???a,b?,所以b?a,即有

b?aab?a?ln?ba

b?例2：設x?0，對0???1的情況，求證x??x?1??。

分析：證明不等式最常用的方法有做差，做商，對于該題目如果直接應用做差或者做商的話顯然是不行的。那我們是否能通過變形是，他們可以應用做差或是做商呢？我們來看下不等式，不難發現當x?1時，等式兩邊就相等了，所以接下來排除x?1，分兩步討論。在觀察不等式兩邊的代數式，不難看出左邊的代數式比較復雜，則是否可以把

f?x??x?左邊的代數式構造輔助函數，是題目可以運用中值定理解題呢？不妨設，F?x???x。利用Cauchy定理即可證明。

f?x??x?x,1??1,x??x?1x?1證明：當時結論顯然成立，當時，取或，在該區間設，F?x???x，由柯西定理得：

f?x??f?1?f????????x,1????1,x?F?x??F?1?F???? 或

x??1????1?????1?即?x??

當x?1時，???x,1?，?x??1?1即?x??

??1?1

又?x?????x?1??0

??故x?1??x??，即x?1?1??

???1,x????1?1當x?1時，則?x?????x?1??0

故x?1??x??，即x?1?1?? 由此，不等式得證。5.3 討論根的存在性

在證明根的存在性問題時，當遇到滿足微分中值定理的相關條件時，就能夠從中值定理的角度來解決問題。因此我們可以說，微分中值定理可以應用在解決根的存在性的問題上。我們從下面的例題來看中值定理在這方面的應用。

例1：設a1,a2,?,an為任意n個實數,證明函數: 在(0,?)必有零點.f(x)?a1cosx?a2cos2x???ancosnx ??? 證法 利用羅爾定理,令F(x)?f(x),只需F(x)在?0,??上滿足羅爾定理條件.證明 作輔助函數

11a2cos2x???ancosnx,x??0,??2n ,則

F?(x)?a1cosx?a2cos2x???ancosnx?f(x)

容易驗證F(x)在?0,??上連續,在(0,?)可導,且 F(x)?a1cosx?F(?)?F(0)?0,所以存在??(0,?)使得 ? F(?)?0,即f(?)?0.所以,f(x)在(0,?)必存在零點.例2： 設ai?R且滿足a0?a1x1?a2x2?...?anxn?0在(0,1)內至少有一個實根.x2x3xn?1F(x)?a0x?a1?a2?...?an23n?1, 證明： 引進輔助函數顯然F(0)?F(1)?0,F(x)又是多項式函數在[0,1]上連續,在(0,1)可導,F(x)滿足羅爾中值定理的條件,故存在??(0,1)使

F?(?)?0 而

F?(x)?a0?a1x1?a2x2?...?anxn 故方程

a0?a1x1?a2x2?...?anxn?0 在(0,1)內至少有一個實根?.注：本題構造F(x)的依據是使F(x)得導數恰好是所證方程的左邊.a0?aa1a2??...?n?023n?1,證明方程 總結

本文是研究主要是通過在大學階段對有關數學方面的知識的分析和學習得到的，并參考了一些圖書資料。從整個世界來看，人們對中值定理的研究從微積分的建立之時就開始了，至今有關微分中值定理問題的研究非?；钴S,且已有豐富的成果。本文通過與老師同學的討論，介紹了微分中值定理的主要證明方法和在數學方面的應用分析，分析了費馬引理、羅爾定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理的證明方法；在應用方面主要通過例題的形式討論研究了中值定理在證明等式、不等式、恒等式以及在討論方程根的存在性等方面的應用。

深入研究微分中值定理,有助于加深對這些定理的理解;清楚這些定理的證明,能促使我們掌握微分中值定理的具體應用。

致謝

完成本論文，我要特別感謝我的指導老師魏老師的熱懷和指導。在我撰寫論文的過程中，魏老師傾注了大量的心血和汗水，無論是在論文的選題、構思和資料的收集方面，還是在論文的研究方法以及成文定稿方面，我都得到了魏老師教誨和幫助在此表示真誠地感謝和深深的謝意。

最后，向在百忙中抽出時間對本文進行評審并提出寶貴意見的各位專家表示感謝！參考文獻

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