第一篇：關于中值定理中構造函數的方法

關于中值定理中創立函數的方法(1)

n先舉個例子：已知f(x)在（0,1）可導，在[0,1]內連續。而且f(1)=0.證明：存在§∈（0，1），使得nf(§)+§f′(§)=0.證明:設F(x)=xf(x)

則F（0）=F（1）=0

∴存在§使得F′（§）=0§∈（0，1）

即：§n?1[nf(§)+§f′(§)]=0

原式得證。

本題中函數的構造方法：將要證式子變形，f′(§)／f(§)=-n／§,兩邊取不定積分。㏑|f(§)|=-n㏑§

即§f(§)=1

那么所構造函數即為F(x)=xf(x)nn

第二篇：構造函數

構造函數

1.設

f(x)，g(x)分別為定義在R上的奇函數和偶函數，當x?0時，f?(x)g(x)?f(x)g?(x)?0，且g(?3)?0，則不等式f(x)g(x)?0的解集為______.2.設f(x)是定義在R上的奇函數，且f(2)?0，當x?0時，有x?

f?(x)?f(x)?0

恒成立，則不等式x2f(x)?0的解集為__________.3.已知函數f(x)是定義在R上的奇函數，且當x?(??,0)時，有x?<0成立，若a?30.3?

b

f?(x)+f(x)1

3f(3

0.3)，b??log?3??

f(log

?

3)，c?(log

9)?f(log

9)，則a、、c的大小關系為__________.f(x)，則當a?0

4.已知可導函數f(x)滿足f?(x)?系為__________.時，f(a)與ea?

f(0)的大小關

5.若函數f(x)對任意的x?R都有f?(x)?

A.3f(ln2)?2f(ln3)

f(x)

成立，則__________.B.3f(ln2)?2f(ln3)

C.3f(ln2)?2f(ln3)D.3f(ln2)與2f(ln3)的大小關系不確定

6.設f(x)是R上的奇函數，且f(?1)?0，當x?0時，(x2

?1)?f?(x)?2x?f(x)?0，則不等式f(x)?0的解集為__________.7.已知函數f(x)是定義在(0,??)的非負可導函數，且滿足x?對任意正數a、b，若a

f?(x)+f(x)?0，B.af(b)?bf(a)C.af(a)?f(b)

D.bf(b)?f(a)，8.已知f(x)與g(x)都是定義在R上的函數，g(x)?0，f?(x)g(x)?

f(x)?a?g(x)，x

f(x)g?(x)?0

f(1)g(1)

?

f(?1)g(?1)

?

.在有窮數列?

?f(n)?

?(n?1,2,?,10)中，前kg(n)??

項和

為

1516，則k=__________.

第三篇：有關中值定理的證明題

中值定理證明題集錦

1、已知函數f(x)具有二階導數，且limx?0f(x)?0，f(1)?0，試證：在區間(0,1)內至少x存在一點?，使得f??(?)?0.證：由limf(x)，由此又得?0?0，可得limf(x)?0，由連續性得f(0)x?0x?0xf(x)?f(0)f(x)f?(0)?lim?lim?0，由f(0)?f(1)?0及題設條件知f(x)在[0,1]x?0x?0x?0x上滿足羅爾中值定理條件，因此至少存在一點 c?(0,1)，使得f?(c)?0，又因為f?(0)?f?(c)?0，并由題設條件知f?(x)在[0,c]上滿足拉格朗日中值定理的條件，由拉格朗日中值定理知，在區間(0,1)內至少存在一點?，使得f??(?)?0.2、設f(x)在[0,a]上連續，在(0,a)內可導，且f(a)?0，證明：存在一點??(0,a)，使得f(?)??f?(?)?0.證：分析：要證結論即為：[xf(x)]?x???0.令F(x)?xf(x)，則F(x)在[0,a]上連續，在(0,a)內可導，且F(0)?F(a)?0，因此故存在一點??(0,a)，使得F?(?)?0，F(x)?xf(x)在[0,a]上滿足羅爾中值定理的條件，即f(?)??f?(?)?0.注1：此題可改為：

設f(x)在[0,a]上連續，在(0,a)內可導，且f(a)?0，證明：存在一點??(0,a)，使得

nf(?)??f?(?)?0.)?nf??(?)（0給分析：要證結論nf(??)??f(??)等價于n?n?1f(??nn?1n，而n?f(?)??f?(?)?0即為[xf(x)]?x???0.nf(??)??f(??)兩端同乘以?n?1）故令F(x)?xf(x)，則F(x)在[0,a]上滿足羅爾中值定理的條件，由此可證結論.注2：此題與下面例題情況亦類似：

設f(x)在[0,1]上連續，在(0,1)內可導，且f(0)?0，?x?(0,1)，有f(x)?0，證：n?n?N?，???(0,1)，使得

nf?(?)f?(1??)?成立.f(?)f(1??)分析：要證結論可變形為nf?(?)f(1??)?f(?)f?(1??)?0，它等價于nfn?1(?)f?(?)f(1??)?fn(?)f?(1??)?0(給nf?(?)f(1??)?f(?)f?(1??)?0兩端同乘以fn?1(?))，而nfn?1(?f)??f(??)?(fn1?f?)???(即)為(1)0[fn(x)?f?x??1?(x，用羅爾中值定理)]0.以上三題是同類型題.3、已知函數f(x)在[0,1]上連續，在(0,1)內可導，且f(0)?f(1)?0，f()?1，證明：（1）存在一點??(,1)，使f(?)??.（2）存在一點??(0,?)，使f?(?)?1.（3）存在一點x0?(0,?)，使f?(x0)?1??(f(x0)?x0).證：（1）分析：要證結論即為：f(?)???0.12121211111顯然F(x)在[,1]上連續，且F()?f()???0，F(1)?f(1)?1??1?0，2222211因此F(x)在[,1]上滿足零點定理的條件，由零點定理知，存在??(,1)，使F(?)?0，22令F(x)?f(x)?x，則只需證明F(x)在(,1)內有零點即可。即f(?)??.（2）又因為F(0)?f(0)?0?0，由(1)知F(?)?0，因此F(x)在[0,?]上滿足羅爾中值定理條件，故存在一點??(0,?)，使F?(?)?0，即f?(?)?1?0，即f?(?)?1.（3）分析：結論f?(x0)?1??(f(x0)?x0)即就是F?(x0)??F(x0)或F?(x0)??F(x0)?0，F?(x0)??F(x0)?0?e??x0[F?(x0)??F(x0)]?0，即[e??xF(x)]?x?x0?0.故令G(x)?e??xF(x)，則由題設條件知，G(x)在[0,?]上連續，在(0,?)內可導，且G(0)?e0F(0)?0，G(?)?e???F(?)?0,則G(x)在[0,?]上滿足羅爾中值定理條件，命題得證.4、設f(x)在[0,x]上可導，且f(0)?0，試證：至少存在一點??(0,x)，使得f(x)?(1??)ln(1?x)f?(?).證：分析：要證結論即為： f(x)?f(0)?(1??)[ln(1?x)?ln1]f?(?),也就是f(x)?f(0)f?(?)，因此只需對函數f(t)和ln(1?t)在區間[0,x]上應用柯西中值定理?1ln(1?x)?ln11??即可.5、設f(x)、g(x)在[a,b]上連續，在(a,b)內可導，f(a)?f(b)?0，且g(x)?0，證明：至少存在一點??(a,b)，使得f?(?)g(?)?f(?)g?(?).證：分析：要證結論即為： f?(?)g(?)?f(?)g?(?)?0,等價于

f?(?)g(?)?f(?)g?(?)?0，2g(?)即就是[即可.f(x)f(x)在區間[a,b]上應用羅爾中值定理]?x???0，因此只需驗證函數F(x)?g(x)g(x)

6、設f(x)在[x1,x2]上可導，且0?x1?x2，試證：至少存在一點??(x1,x2)，使得x1f(x2)?x2f(x1)???f?(?)?f(?).x1?x2f(x2)f(x1)f(x)?()?x??x2x1x證：分析：要證結論即為： ,因此只需對函???f?(?)?f(?)?111?()?x??x2x1x數f(x)1和在區間[x1,x2]上應用柯西中值定理即可.xx此題亦可改為：

設f(x)在[a,b]上連續，(a,b)內可導，若0?a?b，試證：至少存在一點??(a,b)，使得af(b)?bf(a)?[f(?)??f?(?)](a?b).7、設f(x)在[a,b]上連續，在(a,b)內可導，且f(a)?f(b)?0，試證：（1）???(a,b)，使得f(?)??f?(?)?0；（2）???(a,b)，使得?f(?)?f?(?)?0.證:（1）令F(x)?xf(x)，利用羅爾中值定理即證結論.（2）分析：?f(?)?f?(?)?0?e[?f(?)?f?(?)]?0?[e?22x22f(x)]?x???0，因此令F(x)?ex22f(x)，利用羅爾中值定理即證結論.8、設f(x)在[a,b]上連續，在(a,b)內可導，且f(a)?f(b)?1，試證：??,??(a,b)，使得e???[f(?)?f?(?)]?1.[exf(x)]?x??e?[f(?)?f?(?)]證：分析：要證結論即為?1，即就是?1.?xe(e)?x??令F(x)?ef(x)，令G(x)?e，則F(x)和G(x)在[a,b]上滿足拉格朗日中值定理的條件，由拉格朗日中值定理知： xxebf(b)?eaf(a)eb?ea?，即就是e[f(?)?f?(?)]?.???(a,b)，使得F?(?)?b?ab?aeb?eaeb?ea?，即就是e?.???(a,b)，使得F?(?)?b?ab?ae?[f(?)?f?(?)]因此，有?1，即就是e???[f(?)?f?(?)]?1.?e9、設f(x)、g(x)在[a,b]上連續，在(a,b)內具有二階導數且存在相等的最大值，f(a)?g(a)，f(b)?g(b)，試證：???(a,b)，使得f??(?)?g??(?).?0.證：分析：要證結論即為[f(x)?g(x)]??x??令F(x)?f(x)?g(x)，（1）若f(x)、g(x)在(a,b)內的同一點處取得相同的最大值，不妨設都在c點處取得最大值，則F(a)?F(c)?F(b)?0(a?c?b)，則F(x)分別在[a,c]、[c,b]上滿足羅爾中值定理條件，故??1?(a,c)，??2?(c,b)使得F?(?1)?0，F?(?2)?0.由題設又知，F?(x)在[?1,?2]上滿足洛爾定理條件，故存在???(?1,?2)，使得F??(?)?0，即就是f??(?)?g??(?)].（2）若f(x)、g(x)在(a,b)內的不同的點處取得相同的最大值，不妨設f(x)在p點處、g(x)在q點處取得最大值，且p?q，則F(p)?f(p?)g(?p)，F(q)?f(q)?g(q)?0，由零點定理知，?c?(p,q)?(0,1)，使得F(c)?0，由此得 F(a)?F(c)?F(b)?0(a?c?b)，后面證明與（1）相同.10、設f(x)在[a,b]上連續，在(a,b)內可導，且f?(x)?0，若極限lim?x?af(2x?a)存在，x?a試證：（1）存在一點??(a,b)，使得

b2?a2?b?af(x)dx22?； f(?)22?b（2）在(a,b)內存在異于?的點?，使得f?(?)(b?a)?f(x)dx.；

??a?a證：（1）令F(x)??xaf(t)dt，G(x)?x2，則F(x)、G(x)在[a,b]上滿足柯西中值定理

b2?a2ba條件，故存在一點??(a,b)，使得

?b2?a2af(t)dt??f(t)dta?2?成立，即就是f(?)?bab2?22成立，即就是2??f(x)dx?(b?a)f(?)成立.?af(x)dxf(?)（2）由（1）知，2??ba22因此要證f?(?)(b?a)?f(x)dx?(b2?a2)f(?)，2?bf(x)dx.，?a??a即要證f?(?)(b?a)?221??a(b2?a2)f?(，)即要證f?(?)(??a)?f(?，)由已知

x?alim?f(2x?a)f(2x?a)?0，可得，lim從而得f(a)?0，因此要證f?(?)(??a)?f(?)，x?a?x?a即要證f?(?)(??a)?f(?)?f(a)，顯然只需驗證f(x)在[a,?]上滿足拉格朗日中值定理條件即可。

第四篇：中值定理超強總結

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1、所證式僅與ξ相關 ①觀察法與湊方法

例 1 設f(x)在[0,1]上二階可導，f(0)?f(1)?f?(0)?0 試證至少存在一點??(a,b)使得f??(?)?2f?(?)1??分析：把要證的式子中的 ? 換成 x，整理得f??(x)?xf??(x)?2f?(x)?0?(1)由這個式可知要構造的函數中必含有f?(x)，從xf??(x)找突破口 因為[xf?(x)]??xf??(x)?f?(x)，那么把(1)式變一下： f??(x)?f?(x)?[xf??(x)?f?(x)]?0?f??(x)?f?(x)?[xf?(x)]??0 這時要構造的函數就看出來了F(x)?(1?x)f?(x)?f(x)②原函數法

例 2 設f(x)在[a,b]上連續，在(a,b)內可導，f(a)?f(b)?0，又g(x)在[a,b]上連續 求證：???(a,b)使得f?(?)?g(?)f(?)分析：這時不論觀察還是湊都不容易找出要構造的函數，于是換一種方法 現在把與f 有關的放一邊，與 g 有關的放另一邊，同樣把 ? 換成 x ?g(x)dx

f?(x)f(x)兩邊積分?g(x)?lnf(x)??g(x)dx?lnC?f(x)?Ce ?f(x)e??g(x)dx?C 現在設C?0，于是要構造的函數就很明顯了 F(x)?f(x)e?③一階線性齊次方程解法的變形法 ?g(x)dx對于所證式為f??pf?0型，（其中p為常數或x 的函數）pdxpdx可引進函數u(x)?e?，則可構造新函數F(x)?f?e?例：設f(x)在[a,b]有連續的導數，又存在c?(a,b)，使得f?(c)?0 求證：存在??(a,b)，使得f?(?)?分析：把所證式整理一下可得：f?(?)? ?[f(?)?f(a)]??1b?a1f(?)?f(a)b?af(?)?f(a)b?a?0[f(?)?f(a)]?0，這樣就變成了f??pf?0型xx－?－b?adx 引進函數u(x)?e＝eb?a（令C=0），于是就可以設F(x)?eb?a[f(x)?f(a)] 注：此題在證明時會用到f?(c)?f(b)?f(a)b?a?0?f(b)?f(a)這個結論

2、所證式中出現兩端點 ①湊拉格朗日

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例 3 設f(x)在[a,b]上連續，在(a,b)內可導 證明至少存在一點??(a,b)使得bf(b)?af(a)b?a?f(?)??f?(?)

分析：很容易就找到要證的式子的特點，那么下可以試一下，不妨設 F(x)?xf(x),用拉格朗日定理驗證一 F?(?)?f(?)??f?(?)?bf(b)?af(a)b?a(x1,x2)至少存在一點②柯西定理

例 4 設0?x1?x2，f(x)在[x1,x2]可導，證明在 1c，使得ex2x1ex2ex1?f(c)?f?(c)?ef(x1)f(x2)xx2x2分析：先整理一下要證的式子e1f(x2)?eex1f(x1)?f(c)?f?(c)?e 這題就沒上面那道那么 發現e1f(x2)?exx2容易看出來了分子分母同除一下

f(x1)是交叉的，變換一下，ex1?x2f(x2)ex2??f(x1)e1x11x2于是這個式子一下變得沒有懸念了eex1 用柯西定理設好兩個函③k值法

仍是上題數就很容易證明了分析：對于數四，如果對柯西定理掌握的不是方法叫做k 值法很好上面那題該怎么辦呢？ 在老陳的書里講了一個 第一步是要把含變量與 以此題為例已經是規范 設常量的式子分寫在等號的形式了，現在就看常?k 整理得e?x1兩邊量的這個式子?x2

ex1f(x2)?eex1x2x2f(x1)?e[f(x1)?k]?e[f(x2)?k] 很容易看出這是一個對 那么進入第二步，設稱式，也是說互換x1x2還是一樣的F(x1)?F(x2)F(x)?e?x[f(x)?k]，驗證可知。記得回帶k，用羅爾定理證明即可④泰勒公式法

老陳常說的一句話，管它是什么，先泰勒展開再說。當定理感覺都起不上作用時，泰勒法往往是可行的，而且對于有些題目，泰勒法反而會更簡單。

3、所證試同時出現ξ和η ①兩次中值定理

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例 5 f(x)在[a,b]上連續，在(a,b)內可導，f(a)?f(b)?1 試證存在?，??(0,1)使得e???[f(?)?f?(?)]?1分析：首先把?與?分開，那么就有??e[f(?)?f?(?)]?e 一下子看不出來什么，很容易看出那么可以先從左邊的式子下手試一下??xe[f(?)?f?(?)]?[ef(?)]?，設F(x)?ef(x)利用拉格朗日定理可得?F?(?)??eaef(b)?ef(a)b?aexbba

再整理一下? e[f(?)?f?(?)]?ebb?aa只要找到?eab?a與e的關系就行了得到 這個更容易看出來了，G?(?)?e?令G(x)?e則再用拉格朗日定理就?e[f(?)?f?(?)]?b?a②柯西定理（與之前所舉例類似）

有時遇到ξ和η同時出現的時候還需要多方考慮，可能會用到柯西定理與拉氏定理的結合使用，在老陳書的習題里就出現過類似的題。?eb?e

第五篇：c#方法重載構造函數重載構造函數小結

C#方法重載、構造函數、重載構造函數小結

方法重載

可以使同一功能適用于各種類型的數據，它是聲明兩個以上的同名方法，實現對不同數據類型進行相同的處理 方法重載的要求

1、重載的方法名稱必須相同

2、重載的方法，其形參個數或類型必須不同

如我們定義了swap（ref int a,ref intb）該函數用來實現兩個整形變量值的交換，但不會處理浮點型數據，我們在定義一個swap（ref flot a,ref flot b）,這樣swap這個方法可以實現整形變量值的交換，也可以實現浮點型數據交換了（系統會根據數據的類型自己決定調用合適的方法）構造函數

主要作用是在創建對象（聲明對象）時初始化對象。一個類定義必須至少有一個構造函數，如果定義類時，沒有聲明構造函數，系統會提供一個默認的構造函數。舉個例子或許可以更好的理解它： 結果是：

若想在創建對象時，將對象數據成員設定為指定的值，則要專門聲明構造函數。聲明構造函數的要求：

1、構造函數不允許有返回類型

2、構造函數名稱必須與類同名。

通常構造函數是為了在創建對象時對數據成員初始化，所以構造函數需要使用形參。public Student(string ID,int Age){

id=ID;

age=Age;} 由于上述構造函數帶了參數，系統不會提供默認構造函數，所以在創建對象時，必須按照聲明的構造函數的參數要求給出實際參數。

Student s1= new Student(“90090”,22);New關鍵字后面實際是對構造函數的調用。

如果聲明構造函數時使用的參數名稱和類數據成員名稱相同，那么構造函數中使用的類數據成員名稱要有this引導 Public student(string id,int age){

This.id=id;

This.age=age;} 關鍵字this指的是創建的對象，是聲明對象時，由系統自動傳遞給構造函數的對象的引用形參。重載構造函數

構造函數和方法一樣都可以重載。重載構造函數的主要目的是為了給創建對象提供更大的靈活性，以滿足創建對象時的不同需要。

如上面的例子，如果只想改變age則重載構造函數Student只需要有一個參數age就可以了。虛方法

聲明與基類同名的派生類方法 Public new 方法名稱（參數列表）｛｝ 聲明虛方法

基類中聲明格式

Publicvirtual方法名稱（參數列表）｛｝

派生類中聲明格式

Publicoverride方法名稱（參數列表）｛｝

調用基類方法

在派生類中聲明一基類同名的方法，也叫方法重載。在派生類重載基類方法后，如果像調用基類的同名方法，使用base關鍵字。

聲明抽象類和抽象方法 Public abstractclasse 類名稱 ｛public abstract 返回類型方法名稱（參數列表）；｝ 重載抽象方法

Public override 返回類型 方法名稱（參數列表）