第一篇：【考研數學】中值定理總結

中值定理一向是經濟類數學考試的重點（當然理工類也常會考到），咪咪結合老陳的書和一些自己的想法做了以下這個總結，希望能對各位研友有所幫助。

1、所證式僅與ξ相關 ①觀察法與湊方法

例 1 設f(x)在[0,1]上二階可導，f(0)?f(1)?f?(0)?0 試證至少存在一點??(a,b)使得f??(?)?2f?(?)1??分析：把要證的式子中的 ? 換成 x，整理得f??(x)?xf??(x)?2f?(x)?0?(1)由這個式可知要構造的函數中必含有f?(x)，從xf??(x)找突破口 因為[xf?(x)]??xf??(x)?f?(x)，那么把(1)式變一下： f??(x)?f?(x)?[xf??(x)?f?(x)]?0?f??(x)?f?(x)?[xf?(x)]??0 這時要構造的函數就看出來了F(x)?(1?x)f?(x)?f(x)②原函數法

例 2 設f(x)在[a,b]上連續，在(a,b)內可導，f(a)?f(b)?0，又g(x)在[a,b]上連續 求證：???(a,b)使得f?(?)?g(?)f(?)分析：這時不論觀察還是湊都不容易找出要構造的函數，于是換一種方法 現在把與f 有關的放一邊，與g 有關的放另一邊，同樣把 ? 換成 x

f?(x)兩邊積分x)??g(x)dx?lnC?f(x)?Ce?g(x)dxf(x)?g(x)?lnf(?f(x)e??g(x)dx?C 現在設C?0，于是要構造的函數就很明顯了 F(x)?f(x)e??g(x)dx③一階線性齊次方程解法的變形法

對于所證式為f??pf?0型，（其中p為常數或x 的函數）可引進函數u(x)?e?pdx，則可構造新函數F(x)?f?e?pdx例：設f(x)在[a,b]有連續的導數，又存在c?(a,b)，使得f?(c)?0 求證：存在??(a,b)，使得f?(?)?f(?)?f(a)b?a分析：把所證式整理一下可得：f?(?)?f(?)?f(a)b?a?0 ?[f(?)?f(a)]??1b?a[f(?)?f(a)]?0，這樣就變成了f??pf?0型1x 引進函數u(x)?e?－－xb?adx＝eb?a（令C=0），于是就可以設F(x)?eb?a[f(x)?f(a)] 注：此題在證明時會用到f?(c)?f(b)?f(a)b?a?0?f(b)?f(a)這個結論

2、所證式中出現兩端點 ①湊拉格朗日 例 3 設f(x)在[a,b]上連續，在(a,b)內可導 證明至少存在一點??(a,b)使得bf(b)?af(a)b?a?f(?)??f?(?)

分析：很容易就找到要證的式子的特點，那么下可以試一下，不妨設 F(x)?xf(x),用拉格朗日定理驗證一 F?(?)?f(?)??f?(?)?bf(b)?af(a)b?a(x1,x2)至少存在一點②柯西定理

例 4 設0?x1?x2，f(x)在[x1,x2]可導，證明在 1c，使得ex2x1ex2ex1?f(c)?f?(c)?ef(x1)f(x2)xx2x2分析：先整理一下要證的式子e1f(x2)?eex1f(x1)?f(c)?f?(c)?e 這題就沒上面那道那么 發現e1f(x2)?exx2容易看出來了分子分母同除一下

f(x1)是交叉的，變換一下，ex1?x2f(x2)ex2??f(x1)e1x11x2于是這個式子一下變得沒有懸念了eex1 用柯西定理設好兩個函③k值法

仍是上題數就很容易證明了分析：對于數四，如果對柯西定理掌握的不是方法叫做k 值法很好上面那題該怎么辦呢？ 在老陳的書里講了一個 第一步是要把含變量與 以此題為例已經是規范 設常量的式子分寫在等號的形式了，現在就看常?k 整理得e?x1兩邊量的這個式子?x2

ex1f(x2)?eex1x2x2f(x1)?e[f(x1)?k]?e[f(x2)?k] 很容易看出這是一個對 那么進入第二步，設稱式，也是說互換x1x2還是一樣的F(x1)?F(x2)F(x)?e?x[f(x)?k]，驗證可知。記得回帶k，用羅爾定理證明即可④泰勒公式法

老陳常說的一句話，管它是什么，先泰勒展開再說。當定理感覺都起不上作用時，泰勒法往往是可行的，而且對于有些題目，泰勒法反而會更簡單。

3、所證試同時出現ξ和η ①兩次中值定理

例 5 f(x)在[a,b]上連續，在(a,b)內可導，f(a)?f(b)?1 試證存在?，??(0,1)使得e???[f(?)?f?(?)]?1分析：首先把?與?分開，那么就有??e[f(?)?f?(?)]?e 一下子看不出來什么，很容易看出那么可以先從左邊的式子下手試一下??xe[f(?)?f?(?)]?[ef(?)]?，設F(x)?ef(x)利用拉格朗日定理可得?F?(?)??eaef(b)?ef(a)b?aexbba

再整理一下? e[f(?)?f?(?)]?ebb?aa只要找到?eab?a與e的關系就行了得到 這個更容易看出來了，G?(?)?e?令G(x)?e則再用拉格朗日定理就?e[f(?)?f?(?)]?b?a②柯西定理（與之前所舉例類似）

有時遇到ξ和η同時出現的時候還需要多方考慮，可能會用到柯西定理與拉氏定理的結合使用，在老陳書的習題里就出現過類似的題。

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一、高數解題的四種思維定勢

1、在題設條件中給出一個函數f(x)二階和二階以上可導，“不管三七二十一”，把f(x)在指定點展成泰勒公式再說。

2、在題設條件或欲證結論中有定積分表達式時，則“不管三七二十一”先用積分中值定理對該積分式處理一下再說。

3、在題設條件中函數f(x)在[a,b]上連續，在(a,b)內可導，且f(a)=0或f(b)=0或f(a)=f(b)=0，則“不管三七二十一”先用拉格朗日中值定理處理一下再說。

4、對定限或變限積分，若被積函數或其主要部分為復合函數，則“不管三七二十一”先做變量替換使之成為簡單形式f(u)再說。

二、線性代數解題的八種思維定勢

1、題設條件與代數余子式Aij或A*有關，則立即聯想到用行列式按行（列）展開定理以及AA*=A*A=|A|E。

2、若涉及到A、B是否可交換，即AB=BA，則立即聯想到用逆矩陣的定義去分析。

3、若題設n階方陣A滿足f(A)=0，要證aA+bE可逆，則先分解出因子aA+bE再說。

4、若要證明一組向量a1,a2,?,as線性無關，先考慮用定義再說。

5、若已知AB=0，則將B的每列作為Ax=0的解來處理再說。

6、若由題設條件要求確定參數的取值，聯想到是否有某行列式為零再說。

7、若已知A的特征向量ζ0，則先用定義Aζ0=λ0ζ0處理一下再說。

8、若要證明抽象n階實對稱矩陣A為正定矩陣，則用定義處理一下再說。

第二篇：2018考研數學 中值定理證明題技巧

為學生引路，為學員服務

2018考研數學 中值定理證明題技巧

在考研數學中，有關中值定理的證明題型是一個重要考點，也是一個讓很多同學感到比較困惑的考點，不少同學在讀完題目后不知從何下手，不會分析證明，找不到思路，之所以會出現這樣的情況，主要是因為這些同學對中值定理證明題型的特點缺乏清晰的認識，對其分析和證明方法沒有完全理解和掌握，為了協助這樣的同學克服這方面的困難，下面本文對這類題的特點和證明方法做些分析總結，供各位考生參考。

一、中值定理證明題的特點

中值定理證明題主要有以下一些特點：

1.中值定理證明題常常需要作輔助函數；

2.中值定理證明題經常在一個題中需要結合運用三個知識點，分別是：連續函數在閉區間上的性質（包括最大值和最小值定理、零點定理和介質定理），微分中值定理和積分中值定理；

3.中值定理證明題可能需要在一個問題的證明中反復運用同一個微分中值定理兩次甚至三次，比如羅爾中值定理或拉格朗日中值定理；

4.從歷年考研數學真題變化規律來看，證明中用得最多的主要是羅爾中值定理和拉格朗日中值定理，而泰勒中值定理和柯西中值定理則用得很少。

二、中值定理證明題的常用方法

中值定理證明題有不同的類型，對不同的類型需要運用不同的方法，主要的和常用的方法包括以下幾種：

1.如果題目條件中出現關于函數值的等式，而函數是連續的，則可能需要運用連續函數在閉區間上的性質進行證明；對導數是連續的情況也可以對導函數運用連續函數的性質；

2.如果題目條件中出現關于定積分的等式，則可能需要運用積分中值定理；

3.對于以下這類問題一般使用羅爾中值定理進行證明：

6、如果是要證明兩函數差值比的中值等式，或證明兩函數導數比的中值等式，則可能需要利用柯西中值定理進行證明。

對于上面總結介紹的各種證明方法，在實際問題中要根據具體情況靈活運用，另外，對于需要作輔助函數的證明題，常常通過還原法分析找出需要的輔助函數，對于含積分等式的證明題，常常需要作變積分限的函數作為輔助函數，這種方法也是證明積分等式或不等式的主要方法之一，這些分析總結希望對大家提高中值定理證明題的解題能力有所幫助。最后預祝各位考研成功、金榜題名！

第三篇：2018考研數學重點：中值定理證明題解題技巧

凱程考研輔導班，中國最權威的考研輔導機構

2018考研數學重點：中值定理證明題解

題技巧

考研數學中證明題雖不能說每年一定考，但也基本上十年有九年都會涉及，在此著重說說應用拉格朗日中值定理來證明不等式的解題方法與技巧。

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根據以上的攻關點撥和典例練習，相信同學們對該題型的解題訓練有了一定的掌握。

需要提醒考生們，數學題目多，而且考查的知識點很綜合，很多人擔心自己做的少，碰到的知識點就會少一些，從而加快了解題速度，實際上考生最重要的是要注重對題目的理解，對基本知識的概括和各種題型解題技巧的能力訓練，因此大家可以根據以上的攻關點撥和典例練習，這樣加以積累練習，為以后的快速準確解題打下基礎。

另外，數學試題切忌眼高手低，實踐出真知，只有自己真正做一遍，印象才能深刻，才能了解自己的復習程度，疏漏的內容，如果題目確實做不出來，可以先看答案，看明白之后再拋棄答案自己再把題目獨立地做一遍，一定要力求全部理解和掌握所考查的知識點。

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第四篇：中值定理超強總結

咪咪原創，轉載請注明，謝謝！

1、所證式僅與ξ相關 ①觀察法與湊方法

例 1 設f(x)在[0,1]上二階可導，f(0)?f(1)?f?(0)?0 試證至少存在一點??(a,b)使得f??(?)?2f?(?)1??分析：把要證的式子中的 ? 換成 x，整理得f??(x)?xf??(x)?2f?(x)?0?(1)由這個式可知要構造的函數中必含有f?(x)，從xf??(x)找突破口 因為[xf?(x)]??xf??(x)?f?(x)，那么把(1)式變一下： f??(x)?f?(x)?[xf??(x)?f?(x)]?0?f??(x)?f?(x)?[xf?(x)]??0 這時要構造的函數就看出來了F(x)?(1?x)f?(x)?f(x)②原函數法

例 2 設f(x)在[a,b]上連續，在(a,b)內可導，f(a)?f(b)?0，又g(x)在[a,b]上連續 求證：???(a,b)使得f?(?)?g(?)f(?)分析：這時不論觀察還是湊都不容易找出要構造的函數，于是換一種方法 現在把與f 有關的放一邊，與 g 有關的放另一邊，同樣把 ? 換成 x ?g(x)dx

f?(x)f(x)兩邊積分?g(x)?lnf(x)??g(x)dx?lnC?f(x)?Ce ?f(x)e??g(x)dx?C 現在設C?0，于是要構造的函數就很明顯了 F(x)?f(x)e?③一階線性齊次方程解法的變形法 ?g(x)dx對于所證式為f??pf?0型，（其中p為常數或x 的函數）pdxpdx可引進函數u(x)?e?，則可構造新函數F(x)?f?e?例：設f(x)在[a,b]有連續的導數，又存在c?(a,b)，使得f?(c)?0 求證：存在??(a,b)，使得f?(?)?分析：把所證式整理一下可得：f?(?)? ?[f(?)?f(a)]??1b?a1f(?)?f(a)b?af(?)?f(a)b?a?0[f(?)?f(a)]?0，這樣就變成了f??pf?0型xx－?－b?adx 引進函數u(x)?e＝eb?a（令C=0），于是就可以設F(x)?eb?a[f(x)?f(a)] 注：此題在證明時會用到f?(c)?f(b)?f(a)b?a?0?f(b)?f(a)這個結論

2、所證式中出現兩端點 ①湊拉格朗日

咪咪原創，轉載請注明，謝謝！

例 3 設f(x)在[a,b]上連續，在(a,b)內可導 證明至少存在一點??(a,b)使得bf(b)?af(a)b?a?f(?)??f?(?)

分析：很容易就找到要證的式子的特點，那么下可以試一下，不妨設 F(x)?xf(x),用拉格朗日定理驗證一 F?(?)?f(?)??f?(?)?bf(b)?af(a)b?a(x1,x2)至少存在一點②柯西定理

例 4 設0?x1?x2，f(x)在[x1,x2]可導，證明在 1c，使得ex2x1ex2ex1?f(c)?f?(c)?ef(x1)f(x2)xx2x2分析：先整理一下要證的式子e1f(x2)?eex1f(x1)?f(c)?f?(c)?e 這題就沒上面那道那么 發現e1f(x2)?exx2容易看出來了分子分母同除一下

f(x1)是交叉的，變換一下，ex1?x2f(x2)ex2??f(x1)e1x11x2于是這個式子一下變得沒有懸念了eex1 用柯西定理設好兩個函③k值法

仍是上題數就很容易證明了分析：對于數四，如果對柯西定理掌握的不是方法叫做k 值法很好上面那題該怎么辦呢？ 在老陳的書里講了一個 第一步是要把含變量與 以此題為例已經是規范 設常量的式子分寫在等號的形式了，現在就看常?k 整理得e?x1兩邊量的這個式子?x2

ex1f(x2)?eex1x2x2f(x1)?e[f(x1)?k]?e[f(x2)?k] 很容易看出這是一個對 那么進入第二步，設稱式，也是說互換x1x2還是一樣的F(x1)?F(x2)F(x)?e?x[f(x)?k]，驗證可知。記得回帶k，用羅爾定理證明即可④泰勒公式法

老陳常說的一句話，管它是什么，先泰勒展開再說。當定理感覺都起不上作用時，泰勒法往往是可行的，而且對于有些題目，泰勒法反而會更簡單。

3、所證試同時出現ξ和η ①兩次中值定理

咪咪原創，轉載請注明，謝謝！

例 5 f(x)在[a,b]上連續，在(a,b)內可導，f(a)?f(b)?1 試證存在?，??(0,1)使得e???[f(?)?f?(?)]?1分析：首先把?與?分開，那么就有??e[f(?)?f?(?)]?e 一下子看不出來什么，很容易看出那么可以先從左邊的式子下手試一下??xe[f(?)?f?(?)]?[ef(?)]?，設F(x)?ef(x)利用拉格朗日定理可得?F?(?)??eaef(b)?ef(a)b?aexbba

再整理一下? e[f(?)?f?(?)]?ebb?aa只要找到?eab?a與e的關系就行了得到 這個更容易看出來了，G?(?)?e?令G(x)?e則再用拉格朗日定理就?e[f(?)?f?(?)]?b?a②柯西定理（與之前所舉例類似）

有時遇到ξ和η同時出現的時候還需要多方考慮，可能會用到柯西定理與拉氏定理的結合使用，在老陳書的習題里就出現過類似的題。?eb?e

第五篇：高等數學考研大總結之五 微分中值定理

第五章微分中值定理

一，羅爾（Rolle）中值定理費馬（Fermat）引理：設f?x?在點x0取得極值，且f/?x0?存在則f/?x0?=0。解析：幾何意義：曲線在極值點處的切線是平行于x軸的。

2羅爾（Rolle）中值定理：函數f?x?在閉區間?a,b?上連續，在開區間?a,b?內可導（每一點都具有導數）并且在閉區間?a,b?的端點函數值相等，即：f?a??f?b?，那么在開區間?a,b?內至少有一點?使得f/????0。

解析：⑴該定理是奠定一系列中值定理的基礎。

⑵此定理反映了由區間端點函數值的情況來表現區間內導函數值的變化情況，給出了?點的具體位置和計算方法（與Lagrange中值定理的區別）。

⑶幾何意義：若連接曲線兩端點的弦是水平的，則曲線上至少有一點的切線是水平的。⑷兩個推論：①推論1：如果函數f?x?在區間?a,b?內的導數恒等于零，那么函數f?x?在區間?a,b?內是一個常數。②推論2：如果函數f?x?在區間?a,b?內處處有

。f/?x??g/?x?，則在此區間內f?x??g?x??C（常數）

二，拉格朗日（Lagrange）中值定理

設函數f?x?在閉區間?a,b?上連續且在開區間?a,b?內可導（每一點都具有導數）那么在開區間?a,b?內至少有一點??a???b?使等式f?b??f?a??f

該定理的其它幾種表示形式：⑴f//????b?a?成立。????f?b??f?a? b?a

?AB解析：反映其幾何意義：如果連接曲線y?f?x?的弧上除端點外處處具有不垂直于x軸的切線，那么這弧上至少有一點?，使曲線在?處的切線平行于弦AB。

⑵令??a???b?a?,?0???1?則f?b??f?a??f/?a???b?a???b?a?,?0???1?。解析：由于?的特定取值范圍，所以在證明不等式時較常用，若令a?x0,b?x0?h那么有：f?x0?h??f?x0??f/?x0??h?h,?0???1?。

⑶有限增量公式：如果用?x表示?b?a?則函數增量?y?f?b??f?a?，這時該定理變成?y?f/????x。

解析：⑴從理論上與微分的區別：該公式準確的表明了函數增量與自變量增量（不要求其趨第1頁

于零或比較小而僅要求其為有限增量）的關系，而微分只能近似的表示這一關系，并且要求

?x比較小，而且當?x?0時dy表示?y的誤差才趨于零。但在實際應用中仍常用微分去

近似表示函數值的改變量。⑵類比與上式，則還可表示為?y?f三，柯西(Cauchy)中值定理

設兩個函數f?x?和g?x?在閉區間?a,b?上連續且在開區間?a,b?內可導（每一點都具有導數）且g/?x?在?a,b?內每一點均不為零，則在?a,b?內至少存在一點?使得

/

?x???x??x,?0???1?。

f?b??f?a?f/????,?a???b?成立。gb?gag/?解析：⑴要求分子與分母中的?是同一個值。⑵

類

比

于

Lagrange

定

理，此

定

理

可

表

示

為

f?x0?h??f?x0?f/?x0??h?

?,?0???1?。

gx0?h?gx0g/x0??h四，Rolle,Lagrange,Cauchy中值定理間的關系

?x??xf?a??f?b?

Cauchy?g???Lagrange?????Rolle

五，泰勒(Taylor)中值定理定義：若f?x?在?a,b?上有直到n階連續的導數，在開區間?a,b?上?n?1?階導數存在，則

對

于

任

意的x,x0??a,b?

有：

f?x??f?x0??

f

/

?x0?

1！

?x?x0??

f

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?x0?

2！

?x?x0?

f?n??x0??x?x0?n?Rn?x?其中???

n！

f?n?1????稱為余項（與誤差估計有關）。其中當x0?x?x0?n?1（?介于x與x0之間）Rn?x??

n?1！

取零時的泰勒(Taylor)公式稱為麥克勞林（Maclaurin）公式。

解析：使復雜函數成為簡單函數的有效方法。2 各種形式的泰勒(Taylor)公式

⑴帶有皮亞諾（Peano）余項的泰勒

(Taylor)公式：

?f/?x0?f//?x0?f?n??x0?2nn

????????????Taylor:fx?fx?x?x?x?x???x?x??x?x,?x?x0?00000

?1！2！n！?///?n?

?Maclaurin:f?x??f?0??f?0?x?f?0?x2???f?0?xn??xn,?x?0??1！2！n！?

??

??

⑵帶有Lagrange余項的泰勒(Taylor)公式：

?f/?x0?f//?x0?f?n??x0?f?n?1????2nn?1

????????????Taylor:fx?fx?x?x?x?x???x?x?x?x?00000

n?11！2！n！?

?///?n??n?1?

??x?xn?1,?0???1??Maclaurin:f?x??f?0??f?0?x?f?0?x2???f?0?xn?f

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?x?x0?????f?Cauchy:令g?x??x,m?0則f?x???k！n！k?0?

⑷帶有積分余項的泰勒(Taylor)公式：

n

?f?k??x0?1x?n?1?kn

????????Taylor:fx?x?x?ftx?tdt??0?x0

k！n！?k?0

??k?n?1n1f?0?kxn?n?1??Maclaurin:f?x??????x?fxt1?tdt???0k！n！k?0?常見函數的麥克勞林（Maclaurin）展式

⑴帶有皮亞諾（Peano）余項的麥克勞林（Maclaurin）展式：

n

x3x5x2n?1x2k?1n?1k?12n

sinx?x???????1???x????1???x2n

2n?12k?13！5！！k?1

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2n2kn

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n

????1?2????1????2?????n?1?nnkk

?1??x?x???x???x??1??C?x???xn?2！n！k?1

⑵帶有Langrange余項的麥克勞林（Maclaurin）展式：

sinx????1?

k?1n

n

k?1

x2k?1ncos?x

???1?x2n?1,?0???1?2k?12n?1！

x2kn?1cos?x

cosx????1????1?x2n?2,?0???1?

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xke?x

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n

ln?1?x?????1`?

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n

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?

kk

?1??C?x?

k?1

n

????1?????n??1??x???n?1xn?1,?x?1,0???1?

n?1！Taylor公式的應用

⑴求極限。⑵近似計算，誤差估計。⑶與冪級數的關系。⑷不等式證明。六，羅比塔（L”Hospital）法則解決問題的情況：

00?

。?

解析：不是以上兩種型的轉化為以上型。例如：

“0?”型，“???”型，“00”型，“?0”型，“1?”型。需注意的問題：⑴只有未定式才能應用羅比塔（L”Hospital）法則，不是未定式，則不能用羅比塔（L”Hospital）法則，且分子與分母分別求導。

⑵只有

法則。

00?

未定式才能直接應用羅比塔（L”Hospital）?

00

?

未定?

⑶求其他類型未定式的值時，就首先將其轉化為

式，然后才能應用羅比塔（L”Hospital）法則。

⑷可以對未定式反復應用羅比塔（L”Hospital）法則，直到求出確定的極限值為止。⑸用對數方法求極限時還要將結果還原為指數形式。

⑹有些未定式若用羅比塔（L”Hospital）法則求不出它的值時，就改用其它方法計算。