第一篇：考研高等數學難點解讀：中值定理就得這么學_斃考題

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考研高等數學難點解讀：中值定理就得這么學

中值定理是考研數學的難點之一，考查考生的邏輯推理能力，在考研數學中以證明題形式出現，難度相對較大。在31年考研真題中數一查過16次，數二考查過18次，數學三考過14次，考查的重點是羅爾中值定理和拉格朗日中值定理。雖然中值定理是一大難點，但卻有規律可循，為了方便考生復習，邊一老師就中值定理給考生們做出詳細解讀，為你們暑期正確復習本章做好鋪墊。

針對高數中的這一難點，我們2018年的考生在暑期的學習過程中應注意以下：

研究真題總結出題規律

中值定理可以通過研究考研數學真題總結出解題規律，做完真題之后要總結一下，要找大量不同的題做，如果一些基本概念不懂的，一定要回去翻課本。真題至少要做三遍以上。只要做了，做錯的地方一定要反復看，如果后期有時間我建議大家再看看全書，切忌沒有仔細研讀課本直接看復習全書的孩子們。

做過的題一定要會

對于數學，大量做題是必不可少的，但是更重的是做過的題一定要會，這就需要反復做錯的題，做錯題的過程很痛苦，很打擊你的積極性，但是你一定要不斷的提醒自己，做錯題才是讓自己的復習升華的王道。考生在備考時還要多做講義例題，而不僅僅是練習題。做例題時應遵照下面的方法，也就是在看第一遍之前一定要遮住答案，自己先認真做;無論做出與否都要把自己的思路詳記于空白處，尤其是做不出的，一定把自己真實的思考方式記錄在案，留待日后分析，而不是對了答案就萬事大吉，這樣做可以迅速的找到做題的感覺。

注重解題思路與技巧培養

總之，考生在做題目時，要養成良好的做題習慣，做一個有心人，認真地將遇到的解答中好的或者陌生的解題思路以及自己的思考記錄下來，平時翻看，久而久之，自己的解題能力就會有所提高。對于那些具有很強的典型性、靈活性、啟發性和綜合性的題，要特別注重解題思路和技巧的培養。數學試題千變萬化，其知識結構卻基本相同，題型也相對固定，往往存在明顯的解題套路，熟練掌握后既能提高解中值定理題的針對性，又能提高中值定理解題速度和正確率。

鞏固基礎，熟悉自己的解題體系

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當然，一味的靠做題來提高中值定理的數學能力也是不足取的。曾有一個考生，平時的解題能力很高，但最后的考試成績卻不是很理想，談到自己失利的原因時，他說，自己平時幾乎全部靠做題來提高水平，而對知識點缺乏更高層次上的把握和運用，導致遇到陌生的題目時，得分率嚴重下降。所以考生不能為做題而做題，要在做題時鞏固基礎，提高自己對知識點更高層次上的把握和運用。要善于歸納總結，對數學習題最好能形成自己熟悉的解題體系，也就是對各種題型都能找到相應的解題思路，從而在最后的實考中面對陌生的試題時能把握主動，從而將考研數學中的中值定理這個難點拿下來。

以上是跨考數學教研室對考生暑期熟悉中值定理考點的建議，希望大家引以為鑒。

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第二篇：2018考研數學之高數考點預測：中值定理證明_斃考題

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2018考研數學之高數考點預測：中值定理證明

中值定理證明是高等數學重點難點，今年很有可能會考到，沖刺時間不多，小編帶大家來把這些考點回顧鞏固下： 中值定理是考研數學的重難點，這一類型的問題，從待證的結論入手，首先看結論中有無導數，若無導數則采用閉區間連續函數的性質來證明(介值或零點定理)，若有導數則采用微分中值定理來證明(羅爾、拉格朗日、柯西定理)，這個大方向首先要弄準確，接下來就待證結論中有無導數分兩塊來講述。

一、結論中無導數的情況

結論中無導數，接下來看要證明的結論中所在的區間是閉區間還是開區間，若為閉區間則考慮用介值定理來證明，若為開區間則考慮用零點定理來證明。

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第三篇：高等數學考研大總結之五 微分中值定理

第五章微分中值定理

一，羅爾（Rolle）中值定理費馬（Fermat）引理：設f?x?在點x0取得極值，且f/?x0?存在則f/?x0?=0。解析：幾何意義：曲線在極值點處的切線是平行于x軸的。

2羅爾（Rolle）中值定理：函數f?x?在閉區間?a,b?上連續，在開區間?a,b?內可導（每一點都具有導數）并且在閉區間?a,b?的端點函數值相等，即：f?a??f?b?，那么在開區間?a,b?內至少有一點?使得f/????0。

解析：⑴該定理是奠定一系列中值定理的基礎。

⑵此定理反映了由區間端點函數值的情況來表現區間內導函數值的變化情況，給出了?點的具體位置和計算方法（與Lagrange中值定理的區別）。

⑶幾何意義：若連接曲線兩端點的弦是水平的，則曲線上至少有一點的切線是水平的。⑷兩個推論：①推論1：如果函數f?x?在區間?a,b?內的導數恒等于零，那么函數f?x?在區間?a,b?內是一個常數。②推論2：如果函數f?x?在區間?a,b?內處處有

。f/?x??g/?x?，則在此區間內f?x??g?x??C（常數）

二，拉格朗日（Lagrange）中值定理

設函數f?x?在閉區間?a,b?上連續且在開區間?a,b?內可導（每一點都具有導數）那么在開區間?a,b?內至少有一點??a???b?使等式f?b??f?a??f

該定理的其它幾種表示形式：⑴f//????b?a?成立。????f?b??f?a? b?a

?AB解析：反映其幾何意義：如果連接曲線y?f?x?的弧上除端點外處處具有不垂直于x軸的切線，那么這弧上至少有一點?，使曲線在?處的切線平行于弦AB。

⑵令??a???b?a?,?0???1?則f?b??f?a??f/?a???b?a???b?a?,?0???1?。解析：由于?的特定取值范圍，所以在證明不等式時較常用，若令a?x0,b?x0?h那么有：f?x0?h??f?x0??f/?x0??h?h,?0???1?。

⑶有限增量公式：如果用?x表示?b?a?則函數增量?y?f?b??f?a?，這時該定理變成?y?f/????x。

解析：⑴從理論上與微分的區別：該公式準確的表明了函數增量與自變量增量（不要求其趨第1頁

于零或比較小而僅要求其為有限增量）的關系，而微分只能近似的表示這一關系，并且要求

?x比較小，而且當?x?0時dy表示?y的誤差才趨于零。但在實際應用中仍常用微分去

近似表示函數值的改變量。⑵類比與上式，則還可表示為?y?f三，柯西(Cauchy)中值定理

設兩個函數f?x?和g?x?在閉區間?a,b?上連續且在開區間?a,b?內可導（每一點都具有導數）且g/?x?在?a,b?內每一點均不為零，則在?a,b?內至少存在一點?使得

/

?x???x??x,?0???1?。

f?b??f?a?f/????,?a???b?成立。gb?gag/?解析：⑴要求分子與分母中的?是同一個值。⑵

類

比

于

Lagrange

定

理，此

定

理

可

表

示

為

f?x0?h??f?x0?f/?x0??h?

?,?0???1?。

gx0?h?gx0g/x0??h四，Rolle,Lagrange,Cauchy中值定理間的關系

?x??xf?a??f?b?

Cauchy?g???Lagrange?????Rolle

五，泰勒(Taylor)中值定理定義：若f?x?在?a,b?上有直到n階連續的導數，在開區間?a,b?上?n?1?階導數存在，則

對

于

任

意的x,x0??a,b?

有：

f?x??f?x0??

f

/

?x0?

1！

?x?x0??

f

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?x0?

2！

?x?x0?

f?n??x0??x?x0?n?Rn?x?其中???

n！

f?n?1????稱為余項（與誤差估計有關）。其中當x0?x?x0?n?1（?介于x與x0之間）Rn?x??

n?1！

取零時的泰勒(Taylor)公式稱為麥克勞林（Maclaurin）公式。

解析：使復雜函數成為簡單函數的有效方法。2 各種形式的泰勒(Taylor)公式

⑴帶有皮亞諾（Peano）余項的泰勒

(Taylor)公式：

?f/?x0?f//?x0?f?n??x0?2nn

????????????Taylor:fx?fx?x?x?x?x???x?x??x?x,?x?x0?00000

?1！2！n！?///?n?

?Maclaurin:f?x??f?0??f?0?x?f?0?x2???f?0?xn??xn,?x?0??1！2！n！?

??

??

⑵帶有Lagrange余項的泰勒(Taylor)公式：

?f/?x0?f//?x0?f?n??x0?f?n?1????2nn?1

????????????Taylor:fx?fx?x?x?x?x???x?x?x?x?00000

n?11！2！n！?

?///?n??n?1?

??x?xn?1,?0???1??Maclaurin:f?x??f?0??f?0?x?f?0?x2???f?0?xn?f

?n?11！2！n！?

⑶

帶

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Cauchy

余

項的泰

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式

：

n?f?k??x0?

?x?x0?kf?x?????n?1?

????x???n?m,?x???x?m!fk！k?0?Taylor:?0m

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?x?x0?g?x??? ?

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n??x?x0??x???n?n?1?f?k??x0?k

?x?x0?????f?Cauchy:令g?x??x,m?0則f?x???k！n！k?0?

⑷帶有積分余項的泰勒(Taylor)公式：

n

?f?k??x0?1x?n?1?kn

????????Taylor:fx?x?x?ftx?tdt??0?x0

k！n！?k?0

??k?n?1n1f?0?kxn?n?1??Maclaurin:f?x??????x?fxt1?tdt???0k！n！k?0?常見函數的麥克勞林（Maclaurin）展式

⑴帶有皮亞諾（Peano）余項的麥克勞林（Maclaurin）展式：

n

x3x5x2n?1x2k?1n?1k?12n

sinx?x???????1???x????1???x2n

2n?12k?13！5！！k?1

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2n2kn

x2x4nxkx2n

cosx?1???????1???x????1???x2n

2n2k2！4！！k?0

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n

????1?2????1????2?????n?1?nnkk

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⑵帶有Langrange余項的麥克勞林（Maclaurin）展式：

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x2k?1ncos?x

???1?x2n?1,?0???1?2k?12n?1！

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cosx????1????1?x2n?2,?0???1?

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n

????1?????n??1??x???n?1xn?1,?x?1,0???1?

n?1！Taylor公式的應用

⑴求極限。⑵近似計算，誤差估計。⑶與冪級數的關系。⑷不等式證明。六，羅比塔（L”Hospital）法則解決問題的情況：

00?

。?

解析：不是以上兩種型的轉化為以上型。例如：

“0?”型，“???”型，“00”型，“?0”型，“1?”型。需注意的問題：⑴只有未定式才能應用羅比塔（L”Hospital）法則，不是未定式，則不能用羅比塔（L”Hospital）法則，且分子與分母分別求導。

⑵只有

法則。

00?

未定式才能直接應用羅比塔（L”Hospital）?

00

?

未定?

⑶求其他類型未定式的值時，就首先將其轉化為

式，然后才能應用羅比塔（L”Hospital）法則。

⑷可以對未定式反復應用羅比塔（L”Hospital）法則，直到求出確定的極限值為止。⑸用對數方法求極限時還要將結果還原為指數形式。

⑹有些未定式若用羅比塔（L”Hospital）法則求不出它的值時，就改用其它方法計算。

第四篇：2018考研高等數學知識點復習先后順序_斃考題

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2018考研高等數學知識點復習先后順序

高等數學復習難度大，考生最好早點開始復習。怎么復習？先看什么？小編來聊聊高數知識點復習的先后順序，大家參考：

首先按照考試大綱劃分復習范圍。在熟悉大綱的基礎上對考試必備的基礎知識進行系統的復習，了解考研數學的基本內容、重點、難點和特點。

其次按照大綱對數學的基本概念、基本方法和基本定理準確把握。高等數學考查還是以考查考生的基本知識和基本技能為住，考卷中偏題和怪題不是很多，所以考生先要從基礎學起，先把教材中的一些概念、定理、公式復習好，牢牢地記住，并在此基礎上選擇一些題目進行強化。如果基礎不是非常好，我建議暑期或者秋季報個考研輔導班，在老師的帶領下將所學的知識進一步強化鞏固。

最后基本功扎實后，就要大量做題。數學只有通過做大量的題目才能有質的飛躍。基礎階段高數主要做教材上的習題及課后練習題，做一本書盡量好做詳細的計劃，當然做計劃也是有技巧的：每天完成一章。因為每一章的內容多少和難度不同，不能一概而論，否則就會出現某一章一會就做完了，另外一章卻做了一天也沒結束，這樣還容易打亂你其他科目的復習計劃，畢竟考研不是只考數學。小編建議：比如第一章，感覺一下這章對于自己而言的難度，一共有多少頁，自己計劃幾天完成，然后定好每天完成多少頁，計劃要定的稍微寬裕一天，以防出現突然有事，或者這章難度超出預料。不要覺得這費時間，一本書定個詳細的計劃一個小時足夠了吧，而一個詳細的計劃會讓自己效率提高很多。

數學復習是要保證熟練度的，平時應該多訓練，應該一抓到底，經常練習，一天至少保證三個小時。把一些基本概念、定理、公式復習好，牢牢地記住。同時數學還是一種基本技能的訓練，像騎自行車一樣。盡管你原來騎得非常好，但是長時間不騎，再騎總有點不習慣。所以考生們經常練習是很重要的，天天做、天天看，一直到考試的那一天。這樣的話，就絕對不會生疏了，解題速度就能夠跟上去。

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第五篇：考研數學高等數學重要知識點解析--有關微分中值定理的證明

考研數學高等數學重要知識點解析—有關微分中值定理的證明

萬學教育?海文考研 王丹

2013年考研數學大綱于2012年9月14日正式出爐，數學

一、數學

二、數學三高等數學考試內容和考試要求包含標點符號在內均沒有任何的變化；而線性代數部分，由原來的“線性方程組的克萊姆法則”改為“線性方程組的克拉默法則”，只是名稱的改變，內容沒有變化；概率論與數理統計部分，數學一沒有任何變化，而數學三“多維隨機變量的分布這一章”考試內容和考試要求的難度都降低了，具體變化為將考試內容中“兩個及兩個以上隨機變量的函數的分布”增加了兩個字“簡單”，即“兩個及兩個以上隨機變量簡單函數的分布”；相應的考試內容中“會根據多個相互獨立隨機變量的聯合分布求其函數的分布”改為“會根據多個相互獨立隨機變量的聯合分布求其簡單函數的分布”。

有了考試大綱，就有了我們復習的依據，通過對歷年考研命題規律的分析，我們得出與中值定理有關的證明題是考研數學的重點且是難點，每年必考有關中值定理的一道證明題10分．所以大家一定要引起重視，對于解這類題目,首先要確定證明的結論,然后聯想與之相關的定理、結論和方法以及所需要的條件,再看題設中是否給出條件,若都沒有直接給出,考慮如何由題設條件推出這些所需的條件,最后證明．其中,當要證明存在某些點使得它們的函數值或者高階導數滿足某些等式關系或者其他特性時,用中值定理所求的點常常是區間內的點．下面我就有關中值等式的證明總結幾種方法，并且通過例題加強對此類問題方法的理解和把握。

一、有關閉區間上連續函數等式的證明主要有以下幾種方法：

(1)直接法．利用最值定理、介值定理或零點定理直接證明,適用于證明存在??[a,b],使得G(?,f(?))?0．

(2)間接法．構造輔助函數F(x)(其中F(x)的構造方法可參照重要題型五),然后驗證F(x)滿足中值定理的條件,最后由相應的中值定理得出命題的證明．

二、證明存在一點?使得關于a,b,f(a),f(b)或?,f(?),f?(?),?,f(n)(?)的等式成立．常用證法：

(1)對于這類等式的證明問題,可以通過移項使等式一端為0,轉化為重要題型五中證明存在一點?使得G(?,f(?),f'(?))?0的問題.(2)利用拉格朗日中值定理直接進行證明．

現舉例題如下

例題1：設f(x)在[a,b]上連續，(a,b)內可導，0?a?b，試證明???(a,b)，使得

'f(b)?f(a)22f(?)?(a?ab?b)2b?a3?

分析本題的關鍵是構造輔助函數．對于關系式中顯含a,b及f(a),f(b)的情形,更多地是直接采用拉格朗日中值定理,將含介值的項全部右移,再將左端分子、分母中的a,b分離,然后直接觀察即可得到所需輔助函數．

'f(b)?f(a)f(b)?f(a)f'(?)22f(?)?(a?ab?b)??222b?a3?b?a(a?ab?b)3?2

f(b)?f(a)f'(?)即.?a3?b33?2

證令g(x)?x3，則f(x),g(x)在[a,b]上連續，在(a,b)內可導，且當x?0時，g'(x)?0，f(b)?f(a)f'(?)f(b)?f(a)f'(?)則由柯西中值定理有，所以，?'?332g(a)?g(b)g(?)a?b3?

'f(b)?f(a)22f(?)即，得證.?(a?ab?b)b?a3?2

例題2 設函數f(x)在?0,3?上連續，在?0,3?內存在二階導數，且

2f(0?)?fx(d)?x02f(?2)f，(3)

(I)證明：存在??(0,2)使f(?)?f(0);(II)證明存在??(0,3)，使f??(?)?0 證明：(I)?2f(0)??f(x)dx，又?f?x?在?0,2?上連續 02

?由積分中值定理得，至少有一點???0,2?，使得?f?x?dx?f?????2?0? 02

?2f?0??2f???，?存在???0,2?使得f????f?0?。

(Ⅱ)?f?2??f?3??2f?0?，即f?2??f?3??f?0? 2

又?f?x?在?2,3?上連續，由介值定理知，至少存在一點?1??2,3?使得f??1??f?0? ?f?x?在?0,2?上連續，在?0,2?上可導，且f?0??f?2?

?由羅爾中值定理知，??1??0,2?，有f???1??0

又?f?x?在?2,?1?上連續，在?2,?1?上可導，且f?2??f?0??f??1? ?由羅爾中值定理知，??2??2,?1?，有f??2??0

又?f?x?在??1,?2?上二階可導，且f?(?1)?f?(?2)?0

?由羅爾中值定理，至少有一點????1,?2?，使得f??(?)?0.