第一篇：考研數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)重要知識點(diǎn)解析--有關(guān)微分中值定理的證明

考研數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)重要知識點(diǎn)解析—有關(guān)微分中值定理的證明

萬學(xué)教育?海文考研 王丹

2013年考研數(shù)學(xué)大綱于2012年9月14日正式出爐，數(shù)學(xué)

一、數(shù)學(xué)

二、數(shù)學(xué)三高等數(shù)學(xué)考試內(nèi)容和考試要求包含標(biāo)點(diǎn)符號在內(nèi)均沒有任何的變化；而線性代數(shù)部分，由原來的“線性方程組的克萊姆法則”改為“線性方程組的克拉默法則”，只是名稱的改變，內(nèi)容沒有變化；概率論與數(shù)理統(tǒng)計部分，數(shù)學(xué)一沒有任何變化，而數(shù)學(xué)三“多維隨機(jī)變量的分布這一章”考試內(nèi)容和考試要求的難度都降低了，具體變化為將考試內(nèi)容中“兩個及兩個以上隨機(jī)變量的函數(shù)的分布”增加了兩個字“簡單”，即“兩個及兩個以上隨機(jī)變量簡單函數(shù)的分布”；相應(yīng)的考試內(nèi)容中“會根據(jù)多個相互獨(dú)立隨機(jī)變量的聯(lián)合分布求其函數(shù)的分布”改為“會根據(jù)多個相互獨(dú)立隨機(jī)變量的聯(lián)合分布求其簡單函數(shù)的分布”。

有了考試大綱，就有了我們復(fù)習(xí)的依據(jù)，通過對歷年考研命題規(guī)律的分析，我們得出與中值定理有關(guān)的證明題是考研數(shù)學(xué)的重點(diǎn)且是難點(diǎn)，每年必考有關(guān)中值定理的一道證明題10分．所以大家一定要引起重視，對于解這類題目,首先要確定證明的結(jié)論,然后聯(lián)想與之相關(guān)的定理、結(jié)論和方法以及所需要的條件,再看題設(shè)中是否給出條件,若都沒有直接給出,考慮如何由題設(shè)條件推出這些所需的條件,最后證明．其中,當(dāng)要證明存在某些點(diǎn)使得它們的函數(shù)值或者高階導(dǎo)數(shù)滿足某些等式關(guān)系或者其他特性時,用中值定理所求的點(diǎn)常常是區(qū)間內(nèi)的點(diǎn)．下面我就有關(guān)中值等式的證明總結(jié)幾種方法，并且通過例題加強(qiáng)對此類問題方法的理解和把握。

一、有關(guān)閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)等式的證明主要有以下幾種方法：

(1)直接法．利用最值定理、介值定理或零點(diǎn)定理直接證明,適用于證明存在??[a,b],使得G(?,f(?))?0．

(2)間接法．構(gòu)造輔助函數(shù)F(x)(其中F(x)的構(gòu)造方法可參照重要題型五),然后驗證F(x)滿足中值定理的條件,最后由相應(yīng)的中值定理得出命題的證明．

二、證明存在一點(diǎn)?使得關(guān)于a,b,f(a),f(b)或?,f(?),f?(?),?,f(n)(?)的等式成立．常用證法：

(1)對于這類等式的證明問題,可以通過移項使等式一端為0,轉(zhuǎn)化為重要題型五中證明存在一點(diǎn)?使得G(?,f(?),f'(?))?0的問題.(2)利用拉格朗日中值定理直接進(jìn)行證明．

現(xiàn)舉例題如下

例題1：設(shè)f(x)在[a,b]上連續(xù)，(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，0?a?b，試證明???(a,b)，使得

'f(b)?f(a)22f(?)?(a?ab?b)2b?a3?

分析本題的關(guān)鍵是構(gòu)造輔助函數(shù)．對于關(guān)系式中顯含a,b及f(a),f(b)的情形,更多地是直接采用拉格朗日中值定理,將含介值的項全部右移,再將左端分子、分母中的a,b分離,然后直接觀察即可得到所需輔助函數(shù)．

'f(b)?f(a)f(b)?f(a)f'(?)22f(?)?(a?ab?b)??222b?a3?b?a(a?ab?b)3?2

f(b)?f(a)f'(?)即.?a3?b33?2

證令g(x)?x3，則f(x),g(x)在[a,b]上連續(xù)，在(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，且當(dāng)x?0時，g'(x)?0，f(b)?f(a)f'(?)f(b)?f(a)f'(?)則由柯西中值定理有，所以，?'?332g(a)?g(b)g(?)a?b3?

'f(b)?f(a)22f(?)即，得證.?(a?ab?b)b?a3?2

例題2 設(shè)函數(shù)f(x)在?0,3?上連續(xù)，在?0,3?內(nèi)存在二階導(dǎo)數(shù)，且

2f(0?)?fx(d)?x02f(?2)f，(3)

(I)證明：存在??(0,2)使f(?)?f(0);(II)證明存在??(0,3)，使f??(?)?0 證明：(I)?2f(0)??f(x)dx，又?f?x?在?0,2?上連續(xù) 02

?由積分中值定理得，至少有一點(diǎn)???0,2?，使得?f?x?dx?f?????2?0? 02

?2f?0??2f???，?存在???0,2?使得f????f?0?。

(Ⅱ)?f?2??f?3??2f?0?，即f?2??f?3??f?0? 2

又?f?x?在?2,3?上連續(xù)，由介值定理知，至少存在一點(diǎn)?1??2,3?使得f??1??f?0? ?f?x?在?0,2?上連續(xù)，在?0,2?上可導(dǎo)，且f?0??f?2?

?由羅爾中值定理知，??1??0,2?，有f???1??0

又?f?x?在?2,?1?上連續(xù)，在?2,?1?上可導(dǎo)，且f?2??f?0??f??1? ?由羅爾中值定理知，??2??2,?1?，有f??2??0

又?f?x?在??1,?2?上二階可導(dǎo)，且f?(?1)?f?(?2)?0

?由羅爾中值定理，至少有一點(diǎn)????1,?2?，使得f??(?)?0.

第二篇：高等數(shù)學(xué)考研大總結(jié)之五 微分中值定理

第五章微分中值定理

一，羅爾（Rolle）中值定理費(fèi)馬（Fermat）引理：設(shè)f?x?在點(diǎn)x0取得極值，且f/?x0?存在則f/?x0?=0。解析：幾何意義：曲線在極值點(diǎn)處的切線是平行于x軸的。

2羅爾（Rolle）中值定理：函數(shù)f?x?在閉區(qū)間?a,b?上連續(xù)，在開區(qū)間?a,b?內(nèi)可導(dǎo)（每一點(diǎn)都具有導(dǎo)數(shù)）并且在閉區(qū)間?a,b?的端點(diǎn)函數(shù)值相等，即：f?a??f?b?，那么在開區(qū)間?a,b?內(nèi)至少有一點(diǎn)?使得f/????0。

解析：⑴該定理是奠定一系列中值定理的基礎(chǔ)。

⑵此定理反映了由區(qū)間端點(diǎn)函數(shù)值的情況來表現(xiàn)區(qū)間內(nèi)導(dǎo)函數(shù)值的變化情況，給出了?點(diǎn)的具體位置和計算方法（與Lagrange中值定理的區(qū)別）。

⑶幾何意義：若連接曲線兩端點(diǎn)的弦是水平的，則曲線上至少有一點(diǎn)的切線是水平的。⑷兩個推論：①推論1：如果函數(shù)f?x?在區(qū)間?a,b?內(nèi)的導(dǎo)數(shù)恒等于零，那么函數(shù)f?x?在區(qū)間?a,b?內(nèi)是一個常數(shù)。②推論2：如果函數(shù)f?x?在區(qū)間?a,b?內(nèi)處處有

。f/?x??g/?x?，則在此區(qū)間內(nèi)f?x??g?x??C（常數(shù)）

二，拉格朗日（Lagrange）中值定理

設(shè)函數(shù)f?x?在閉區(qū)間?a,b?上連續(xù)且在開區(qū)間?a,b?內(nèi)可導(dǎo)（每一點(diǎn)都具有導(dǎo)數(shù)）那么在開區(qū)間?a,b?內(nèi)至少有一點(diǎn)??a???b?使等式f?b??f?a??f

該定理的其它幾種表示形式：⑴f//????b?a?成立。????f?b??f?a? b?a

?AB解析：反映其幾何意義：如果連接曲線y?f?x?的弧上除端點(diǎn)外處處具有不垂直于x軸的切線，那么這弧上至少有一點(diǎn)?，使曲線在?處的切線平行于弦AB。

⑵令??a???b?a?,?0???1?則f?b??f?a??f/?a???b?a???b?a?,?0???1?。解析：由于?的特定取值范圍，所以在證明不等式時較常用，若令a?x0,b?x0?h那么有：f?x0?h??f?x0??f/?x0??h?h,?0???1?。

⑶有限增量公式：如果用?x表示?b?a?則函數(shù)增量?y?f?b??f?a?，這時該定理變成?y?f/????x。

解析：⑴從理論上與微分的區(qū)別：該公式準(zhǔn)確的表明了函數(shù)增量與自變量增量（不要求其趨第1頁

于零或比較小而僅要求其為有限增量）的關(guān)系，而微分只能近似的表示這一關(guān)系，并且要求

?x比較小，而且當(dāng)?x?0時dy表示?y的誤差才趨于零。但在實際應(yīng)用中仍常用微分去

近似表示函數(shù)值的改變量。⑵類比與上式，則還可表示為?y?f三，柯西(Cauchy)中值定理

設(shè)兩個函數(shù)f?x?和g?x?在閉區(qū)間?a,b?上連續(xù)且在開區(qū)間?a,b?內(nèi)可導(dǎo)（每一點(diǎn)都具有導(dǎo)數(shù)）且g/?x?在?a,b?內(nèi)每一點(diǎn)均不為零，則在?a,b?內(nèi)至少存在一點(diǎn)?使得

/

?x???x??x,?0???1?。

f?b??f?a?f/????,?a???b?成立。gb?gag/?解析：⑴要求分子與分母中的?是同一個值。⑵

類

比

于

Lagrange

定

理，此

定

理

可

表

示

為

f?x0?h??f?x0?f/?x0??h?

?,?0???1?。

gx0?h?gx0g/x0??h四，Rolle,Lagrange,Cauchy中值定理間的關(guān)系

?x??xf?a??f?b?

Cauchy?g???Lagrange?????Rolle

五，泰勒(Taylor)中值定理定義：若f?x?在?a,b?上有直到n階連續(xù)的導(dǎo)數(shù)，在開區(qū)間?a,b?上?n?1?階導(dǎo)數(shù)存在，則

對

于

任

意的x,x0??a,b?

有：

f?x??f?x0??

f

/

?x0?

1！

?x?x0??

f

//

?x0?

2！

?x?x0?

f?n??x0??x?x0?n?Rn?x?其中???

n！

f?n?1????稱為余項（與誤差估計有關(guān)）。其中當(dāng)x0?x?x0?n?1（?介于x與x0之間）Rn?x??

n?1！

取零時的泰勒(Taylor)公式稱為麥克勞林（Maclaurin）公式。

解析：使復(fù)雜函數(shù)成為簡單函數(shù)的有效方法。2 各種形式的泰勒(Taylor)公式

⑴帶有皮亞諾（Peano）余項的泰勒

(Taylor)公式：

?f/?x0?f//?x0?f?n??x0?2nn

????????????Taylor:fx?fx?x?x?x?x???x?x??x?x,?x?x0?00000

?1！2！n！?///?n?

?Maclaurin:f?x??f?0??f?0?x?f?0?x2???f?0?xn??xn,?x?0??1！2！n！?

??

??

⑵帶有Lagrange余項的泰勒(Taylor)公式：

?f/?x0?f//?x0?f?n??x0?f?n?1????2nn?1

????????????Taylor:fx?fx?x?x?x?x???x?x?x?x?00000

n?11！2！n！?

?///?n??n?1?

??x?xn?1,?0???1??Maclaurin:f?x??f?0??f?0?x?f?0?x2???f?0?xn?f

?n?11！2！n！?

⑶

帶

有

Cauchy

余

項的泰

勒

(Taylor)

公

式

：

n?f?k??x0?

?x?x0?kf?x?????n?1?

????x???n?m,?x???x?m!fk！k?0?Taylor:?0m

?gkx0n!gn?1?k

?x?x0?g?x??? ?

k！k?0?

n??x?x0??x???n?n?1?f?k??x0?k

?x?x0?????f?Cauchy:令g?x??x,m?0則f?x???k！n！k?0?

⑷帶有積分余項的泰勒(Taylor)公式：

n

?f?k??x0?1x?n?1?kn

????????Taylor:fx?x?x?ftx?tdt??0?x0

k！n！?k?0

??k?n?1n1f?0?kxn?n?1??Maclaurin:f?x??????x?fxt1?tdt???0k！n！k?0?常見函數(shù)的麥克勞林（Maclaurin）展式

⑴帶有皮亞諾（Peano）余項的麥克勞林（Maclaurin）展式：

n

x3x5x2n?1x2k?1n?1k?12n

sinx?x???????1???x????1???x2n

2n?12k?13！5??！k?1

????

2n2kn

x2x4nxkx2n

cosx?1???????1???x????1???x2n

2n2k2！4！！k?0

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xx2xnk?1xn

e?1???????x????1???xn

1！2！n！k！k?0x

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x2x3n?1xk?1xn

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23nkk?1

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?

n

????1?2????1????2?????n?1?nnkk

?1??x?x???x???x??1??C?x???xn?2！n！k?1

⑵帶有Langrange余項的麥克勞林（Maclaurin）展式：

sinx????1?

k?1n

n

k?1

x2k?1ncos?x

???1?x2n?1,?0???1?2k?12n?1！

x2kn?1cos?x

cosx????1????1?x2n?2,?0???1?

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e???xn?1,?0???1?

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ln?1?x?????1`?

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?1?x?

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kk

?1??C?x?

k?1

n

????1?????n??1??x???n?1xn?1,?x?1,0???1?

n?1！Taylor公式的應(yīng)用

⑴求極限。⑵近似計算，誤差估計。⑶與冪級數(shù)的關(guān)系。⑷不等式證明。六，羅比塔（L”Hospital）法則解決問題的情況：

00?

。?

解析：不是以上兩種型的轉(zhuǎn)化為以上型。例如：

“0?”型，“???”型，“00”型，“?0”型，“1?”型。需注意的問題：⑴只有未定式才能應(yīng)用羅比塔（L”Hospital）法則，不是未定式，則不能用羅比塔（L”Hospital）法則，且分子與分母分別求導(dǎo)。

⑵只有

法則。

00?

未定式才能直接應(yīng)用羅比塔（L”Hospital）?

00

?

未定?

⑶求其他類型未定式的值時，就首先將其轉(zhuǎn)化為

式，然后才能應(yīng)用羅比塔（L”Hospital）法則。

⑷可以對未定式反復(fù)應(yīng)用羅比塔（L”Hospital）法則，直到求出確定的極限值為止。⑸用對數(shù)方法求極限時還要將結(jié)果還原為指數(shù)形式。

⑹有些未定式若用羅比塔（L”Hospital）法則求不出它的值時，就改用其它方法計算。

第三篇：高等數(shù)學(xué)考研幾個重要定理的證明

幾個重要定理的證明

1、羅爾定理（考過）

如果函數(shù)f(x)在閉區(qū)間［a，b］上連續(xù)，在開區(qū)間（a，b）上可導(dǎo)，且f(a)= f(b)，則在開區(qū)間（a，b）內(nèi)至少存在一點(diǎn)￡，使得f'(?)=0.證：∵函數(shù)f(x)在閉區(qū)間［a，b］上連續(xù)

∴由最大最小值定理有：m< f(x)

(1)若m=M，此時f(x)在［a，b］上為恒定值

對任意的x∈（a，b）都有f'(?)=0。

（2）若m≠M(fèi)，因為f(a)= f(b)，則m和M中至少有一個不等于區(qū)間的端點(diǎn)值。不妨設(shè)M≠f(a)，則存在?∈（a，b）使得f(?)=M。

∴對任意的x∈［a，b］使得f(x)≤f(?)，從而由費(fèi)馬引理，可知f'(?)=0.證畢。

2、拉格朗日中值定理（考過）

如果函數(shù)f(x)滿足：（1）在閉區(qū)間［a，b］上連續(xù)；（2）在開區(qū)間（a，b）上可導(dǎo)，那么在（a，b）內(nèi)至少存在（a，b）一點(diǎn)?，使得f(b)?f(a)?f'(?)(b?a)成立。

證：引進(jìn)輔助函數(shù)?(x)?f(x)?f(a)?f(b)?f(a)(x?a)b?a

易知F（a）=F（b）=0，且F（x）在［a，b］內(nèi)連續(xù)，在（a，b）內(nèi)

f(b)?f(a)b?a可導(dǎo) 且?'(x)?f'(x)?

根據(jù)羅爾定理，可知在（a，b）內(nèi)至少存在有一點(diǎn)?，使?'(x)=0，即

f(b)?f(a)?0 b?a

f(b)?f(a)?f'(?)，由此可得b?af'(?)?

即f(b)?f(a)?f'(?)(b?a)

證畢。

三、積分中值定理（考過）

如果函數(shù)f（x）在積分區(qū)間［a，b］上連續(xù)，則在（a，b）內(nèi)至少存在一點(diǎn)?，使得

1幾個重要定理的證明

b

?f(x)dx?

af(?)(b?a)

證：由于f（x）在［a，b］上連續(xù)，則存在m，M使得

m?f(x)?M

又由定積分估值定理，有

b

m(b?a)??f(x)dx?M(b?a)

a

b

即m?

由介值定理得： ?f(x)dxab?a?M

b

f(?)?

證畢。?f(x)dxab?a

四、變上限積分函數(shù)求導(dǎo)公式（沒考過）

五、牛頓-萊布尼茨公式（沒考過）

設(shè)函數(shù)f（x）在［a，b］上連續(xù)，F(xiàn)（x）是f（x）在（a，b）上的任意一個原函數(shù)，b

則?f(x)dx?F(x)

aba?F(b)?F(a)

證：

第四篇：2012考研數(shù)學(xué)重要知識點(diǎn)解析之高等數(shù)學(xué)(一)

在考研數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)開始之前，萬學(xué)海文數(shù)學(xué)考研輔導(dǎo)專家們提醒2012年的考生們要對考研數(shù)學(xué)的基本命題趨勢和試題難度有比較深刻的認(rèn)識，根據(jù)自己對考研數(shù)學(xué)的定位，要做到有的放矢的復(fù)習(xí)，才能達(dá)到事半功倍的效果。

復(fù)習(xí)備考的主要策略：緊扣考綱，扎實基礎(chǔ)，注重聯(lián)系，加強(qiáng)訓(xùn)練。

本文萬學(xué)海文輔導(dǎo)老師們主要闡述如何在復(fù)習(xí)當(dāng)中緊扣考綱?？佳袛?shù)學(xué)作為標(biāo)準(zhǔn)化考試，其命題范圍有明確的規(guī)定，2012年考生基礎(chǔ)階段復(fù)習(xí)主要就是依據(jù)考試大綱，詳細(xì)了解考試的基本要求，類別和難度特點(diǎn)，準(zhǔn)確定位。我們以數(shù)一中第一章為例：

一、函數(shù)、極限、連續(xù)

考試內(nèi)容

函數(shù)的概念及表示法 函數(shù)的有界性、單調(diào)性、周期性和奇偶性 復(fù)合函數(shù)、反函數(shù)、分段函數(shù)和隱函數(shù) 基本初等函數(shù)的性質(zhì)及其圖形 初等函數(shù) 函數(shù)關(guān)系的建立

數(shù)列極限與函數(shù)極限的定義及其性質(zhì) 函數(shù)的左極限與右極限 無窮小量和無窮大量的概念及其關(guān)系 無窮小量的性質(zhì)及無窮小量的比較 極限的四則運(yùn)算 極限存在的兩個準(zhǔn)則：單調(diào)有界準(zhǔn)則和夾逼準(zhǔn)則 兩個重要極限:

函數(shù)連續(xù)的概念 函數(shù)間斷點(diǎn)的類型 初等函數(shù)的連續(xù)性 閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)

考試要求

1.理解函數(shù)的概念，掌握函數(shù)的表示法，會建立應(yīng)用問題的函數(shù)關(guān)系.2.了解函數(shù)的有界性、單調(diào)性、周期性和奇偶性.3.理解復(fù)合函數(shù)及分段函數(shù)的概念，了解反函數(shù)及隱函數(shù)的概念.4.掌握基本初等函數(shù)的性質(zhì)及其圖形，了解初等函數(shù)的概念.5.理解極限的概念，理解函數(shù)左極限與右極限的概念以及函數(shù)極限存在與左、右極限之間的關(guān)系.6.掌握極限的性質(zhì)及四則運(yùn)算法則.7.掌握極限存在的兩個準(zhǔn)則，并會利用它們求極限，掌握利用兩個重要極限求極限的方法.8.理解無窮小量、無窮大量的概念，掌握無窮小量的比較方法，會用等價無窮小量求極限.9.理解函數(shù)連續(xù)性的概念(含左連續(xù)與右連續(xù))，會判別函數(shù)間斷點(diǎn)的類型.10.了解連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)和初等函數(shù)的連續(xù)性，理解閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)(有界性、最大值和最小值定理、介值定理)，并會應(yīng)用這些性質(zhì).考試內(nèi)容中給考生列出了第一章的考試知識點(diǎn)，所以考生在復(fù)習(xí)過程中首先要弄懂這些知識點(diǎn)?？荚囈笾袠?biāo)明了對各個知識點(diǎn)的掌握所應(yīng)該能夠達(dá)到的程度，一般分為了解、理解、會、掌握，幾個層次。

了解：指對該知識點(diǎn)的含義要很清楚，一般在數(shù)學(xué)中指的是概念、公式、性質(zhì)、定理及推論等知識內(nèi)容。比如：了解函數(shù)的有界性、單調(diào)性、周期性和奇偶性等。

但是并不是說了解的內(nèi)容就只是了解這些性質(zhì)，知道這些知識點(diǎn)就行了，有人錯誤的認(rèn)為了解的知識一般不會考，這種認(rèn)識是錯誤的，只要是在考試大綱中出現(xiàn)的考試內(nèi)容都有可能考到，甚至對要求了解的知識點(diǎn)考的也比較深入。

理解：指要對知識點(diǎn)懂且認(rèn)識的很清楚。在考研數(shù)學(xué)當(dāng)中主要指對概念、定理、推理的知識點(diǎn)及知識點(diǎn)之間的關(guān)系。在這里萬學(xué)海文輔導(dǎo)老師提醒2012年得考生要注意了解和理解的區(qū)別，了解偏重于知道，理解在了解的基礎(chǔ)上增加了懂得和能夠體會其深層次的意思;理解也就是從表到里深層遞進(jìn)的含義。在考研數(shù)學(xué)大綱中要求理解的知識點(diǎn)考查的較多，比如：理解極限的概念，理解函數(shù)左極限與右極限的概念以及函數(shù)極限存在與左、右極限之間的關(guān)系等幾乎每年必考.會(求、計算、建立、應(yīng)用、判斷等)：其含義為理解、懂得，并根據(jù)所學(xué)知識能夠計算表達(dá)式結(jié)果、列出方程、畫出圖形、建立數(shù)學(xué)模型等。在考研數(shù)學(xué)大綱中對知識點(diǎn)要求會求、會計算、會建立方程表達(dá)式、會描繪等，主要指計算方法、知識點(diǎn)的靈活運(yùn)用測試的要求;萬學(xué)海文數(shù)學(xué)輔導(dǎo)老師提醒大家學(xué)習(xí)時不僅要記住、理解定理還要會推導(dǎo)，才達(dá)到會求解的程度。

掌握：了解、熟知并加以運(yùn)用。在考研數(shù)學(xué)大綱中所有知識點(diǎn)的要求中掌握的層次是最高的，要求掌握的知識點(diǎn)往往是考試的重點(diǎn)、熱點(diǎn)和難點(diǎn)，比如：掌握極限存在的兩個準(zhǔn)則，并會利用它們求極限，掌握利用兩個重要極限求極限的方法等都是每年真題中涉及的內(nèi)容;萬學(xué)海文建議2012年得考生在學(xué)習(xí)時對于大綱要求掌握的知識點(diǎn)不僅要掌握知識點(diǎn)本身還要學(xué)習(xí)它的推理、證明以及解題時經(jīng)常用到的結(jié)論，同時還要注意與該知識點(diǎn)相關(guān)聯(lián)的知識點(diǎn)及它們之間的關(guān)系。

在了解了考研數(shù)學(xué)大綱內(nèi)容及要求之后我們就可以有的放矢的進(jìn)行復(fù)習(xí)了。古人云：“凡事預(yù)則立，不預(yù)則廢”，這為我們下面能夠扎實復(fù)習(xí)打開了一個美麗的開端。

第五篇：【考研數(shù)學(xué)】中值定理總結(jié)

中值定理一向是經(jīng)濟(jì)類數(shù)學(xué)考試的重點(diǎn)（當(dāng)然理工類也常會考到），咪咪結(jié)合老陳的書和一些自己的想法做了以下這個總結(jié)，希望能對各位研友有所幫助。

1、所證式僅與ξ相關(guān) ①觀察法與湊方法

例 1 設(shè)f(x)在[0,1]上二階可導(dǎo)，f(0)?f(1)?f?(0)?0 試證至少存在一點(diǎn)??(a,b)使得f??(?)?2f?(?)1??分析：把要證的式子中的 ? 換成 x，整理得f??(x)?xf??(x)?2f?(x)?0?(1)由這個式可知要構(gòu)造的函數(shù)中必含有f?(x)，從xf??(x)找突破口 因為[xf?(x)]??xf??(x)?f?(x)，那么把(1)式變一下： f??(x)?f?(x)?[xf??(x)?f?(x)]?0?f??(x)?f?(x)?[xf?(x)]??0 這時要構(gòu)造的函數(shù)就看出來了F(x)?(1?x)f?(x)?f(x)②原函數(shù)法

例 2 設(shè)f(x)在[a,b]上連續(xù)，在(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，f(a)?f(b)?0，又g(x)在[a,b]上連續(xù) 求證：???(a,b)使得f?(?)?g(?)f(?)分析：這時不論觀察還是湊都不容易找出要構(gòu)造的函數(shù)，于是換一種方法 現(xiàn)在把與f 有關(guān)的放一邊，與g 有關(guān)的放另一邊，同樣把 ? 換成 x

f?(x)兩邊積分x)??g(x)dx?lnC?f(x)?Ce?g(x)dxf(x)?g(x)?lnf(?f(x)e??g(x)dx?C 現(xiàn)在設(shè)C?0，于是要構(gòu)造的函數(shù)就很明顯了 F(x)?f(x)e??g(x)dx③一階線性齊次方程解法的變形法

對于所證式為f??pf?0型，（其中p為常數(shù)或x 的函數(shù)）可引進(jìn)函數(shù)u(x)?e?pdx，則可構(gòu)造新函數(shù)F(x)?f?e?pdx例：設(shè)f(x)在[a,b]有連續(xù)的導(dǎo)數(shù)，又存在c?(a,b)，使得f?(c)?0 求證：存在??(a,b)，使得f?(?)?f(?)?f(a)b?a分析：把所證式整理一下可得：f?(?)?f(?)?f(a)b?a?0 ?[f(?)?f(a)]??1b?a[f(?)?f(a)]?0，這樣就變成了f??pf?0型1x 引進(jìn)函數(shù)u(x)?e?－－xb?adx＝eb?a（令C=0），于是就可以設(shè)F(x)?eb?a[f(x)?f(a)] 注：此題在證明時會用到f?(c)?f(b)?f(a)b?a?0?f(b)?f(a)這個結(jié)論

2、所證式中出現(xiàn)兩端點(diǎn) ①湊拉格朗日 例 3 設(shè)f(x)在[a,b]上連續(xù)，在(a,b)內(nèi)可導(dǎo) 證明至少存在一點(diǎn)??(a,b)使得bf(b)?af(a)b?a?f(?)??f?(?)

分析：很容易就找到要證的式子的特點(diǎn)，那么下可以試一下，不妨設(shè) F(x)?xf(x),用拉格朗日定理驗證一 F?(?)?f(?)??f?(?)?bf(b)?af(a)b?a(x1,x2)至少存在一點(diǎn)②柯西定理

例 4 設(shè)0?x1?x2，f(x)在[x1,x2]可導(dǎo)，證明在 1c，使得ex2x1ex2ex1?f(c)?f?(c)?ef(x1)f(x2)xx2x2分析：先整理一下要證的式子e1f(x2)?eex1f(x1)?f(c)?f?(c)?e 這題就沒上面那道那么 發(fā)現(xiàn)e1f(x2)?exx2容易看出來了分子分母同除一下

f(x1)是交叉的，變換一下，ex1?x2f(x2)ex2??f(x1)e1x11x2于是這個式子一下變得沒有懸念了eex1 用柯西定理設(shè)好兩個函③k值法

仍是上題數(shù)就很容易證明了分析：對于數(shù)四，如果對柯西定理掌握的不是方法叫做k 值法很好上面那題該怎么辦呢？ 在老陳的書里講了一個 第一步是要把含變量與 以此題為例已經(jīng)是規(guī)范 設(shè)常量的式子分寫在等號的形式了，現(xiàn)在就看常?k 整理得e?x1兩邊量的這個式子?x2

ex1f(x2)?eex1x2x2f(x1)?e[f(x1)?k]?e[f(x2)?k] 很容易看出這是一個對 那么進(jìn)入第二步，設(shè)稱式，也是說互換x1x2還是一樣的F(x1)?F(x2)F(x)?e?x[f(x)?k]，驗證可知。記得回帶k，用羅爾定理證明即可④泰勒公式法

老陳常說的一句話，管它是什么，先泰勒展開再說。當(dāng)定理感覺都起不上作用時，泰勒法往往是可行的，而且對于有些題目，泰勒法反而會更簡單。

3、所證試同時出現(xiàn)ξ和η ①兩次中值定理

例 5 f(x)在[a,b]上連續(xù)，在(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，f(a)?f(b)?1 試證存在?，??(0,1)使得e???[f(?)?f?(?)]?1分析：首先把?與?分開，那么就有??e[f(?)?f?(?)]?e 一下子看不出來什么，很容易看出那么可以先從左邊的式子下手試一下??xe[f(?)?f?(?)]?[ef(?)]?，設(shè)F(x)?ef(x)利用拉格朗日定理可得?F?(?)??eaef(b)?ef(a)b?aexbba

再整理一下? e[f(?)?f?(?)]?ebb?aa只要找到?eab?a與e的關(guān)系就行了得到 這個更容易看出來了，G?(?)?e?令G(x)?e則再用拉格朗日定理就?e[f(?)?f?(?)]?b?a②柯西定理（與之前所舉例類似）

有時遇到ξ和η同時出現(xiàn)的時候還需要多方考慮，可能會用到柯西定理與拉氏定理的結(jié)合使用，在老陳書的習(xí)題里就出現(xiàn)過類似的題。

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一、高數(shù)解題的四種思維定勢

1、在題設(shè)條件中給出一個函數(shù)f(x)二階和二階以上可導(dǎo)，“不管三七二十一”，把f(x)在指定點(diǎn)展成泰勒公式再說。

2、在題設(shè)條件或欲證結(jié)論中有定積分表達(dá)式時，則“不管三七二十一”先用積分中值定理對該積分式處理一下再說。

3、在題設(shè)條件中函數(shù)f(x)在[a,b]上連續(xù)，在(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，且f(a)=0或f(b)=0或f(a)=f(b)=0，則“不管三七二十一”先用拉格朗日中值定理處理一下再說。

4、對定限或變限積分，若被積函數(shù)或其主要部分為復(fù)合函數(shù)，則“不管三七二十一”先做變量替換使之成為簡單形式f(u)再說。

二、線性代數(shù)解題的八種思維定勢

1、題設(shè)條件與代數(shù)余子式Aij或A*有關(guān)，則立即聯(lián)想到用行列式按行（列）展開定理以及AA*=A*A=|A|E。

2、若涉及到A、B是否可交換，即AB=BA，則立即聯(lián)想到用逆矩陣的定義去分析。

3、若題設(shè)n階方陣A滿足f(A)=0，要證aA+bE可逆，則先分解出因子aA+bE再說。

4、若要證明一組向量a1,a2,?,as線性無關(guān)，先考慮用定義再說。

5、若已知AB=0，則將B的每列作為Ax=0的解來處理再說。

6、若由題設(shè)條件要求確定參數(shù)的取值，聯(lián)想到是否有某行列式為零再說。

7、若已知A的特征向量ζ0，則先用定義Aζ0=λ0ζ0處理一下再說。

8、若要證明抽象n階實對稱矩陣A為正定矩陣，則用定義處理一下再說。