第一篇：2012年考研數學：高數中的重要定理與公式及其證明(一)

高數中的重要定理與公式及其證明

（一）文章來源：跨考教育

考研數學中最讓考生頭疼的當屬證明題，而征服證明題的第一關就是教材上種類繁多的定理證明。如果本著嚴謹的對待數學的態度，一切定理的推導過程都是應該掌握的。但考研數學畢竟不是數學系的考試，很多時候要求沒有那么高。而有些定理的證明又過于復雜，硬要要求自己掌握的話很多時候可能是又費時又費力，最后還弄得自己一頭霧水。因此，在這方面可以有所取舍。

現將高數中需要掌握證明過程的公式定理總結如下。這些證明過程，或是直接的考點，或是蘊含了重要的解題思想方法，在復習的初期，先掌握這些證明過程是必要的。

1）常用的極限

lim

ln(1?x)

x

?1，lim

e?1x

x

x?0x?0

?1，lim

a?1x

x

x?0

?lna，lim

(1?x)?1

x

a

x?0

lim?a，1?cosx

x

x?0

?

【點評】：這幾個公式大家在計算極限的過程中都再熟悉不過了，但有沒有人想

過它們的由來呢？事實上，這幾個公式都是兩個重要極限lim(1?x)x?e與

x?0

lim

sinxx

x?0

?1的推論，它們的推導過程中也蘊含了計算極限中一些很基本的方法技

巧。證明：

lim

ln(1?x)

x

x?0

?1：由極限lim(1?x)x?e兩邊同時取對數即得lim

x?0

ln(1?x)

x

x?0

?1。

lim

e?1x

x

x?0

?1：在等式lim

ln(1?x)

x

x?0

?1中，令ln(1?x)?t

te?1

t，則x?et?1。由于極限

過程是x?0，此時也有t?0，因此有lim

t?0

?1。極限的值與取極限的符號

是無關的，因此我們可以吧式中的t換成x，再取倒數即得lim

lim

a?1xe

x

e?1x

x

x?0

?1。

x?0

?lna：利用對數恒等式得lim

a?1x

x

x?0

?lim

e

xlna

?1

x?0

x

x，再利用第二個極限可

xlna

得lim

?1

x?0

x

?lnalim

e

xlna

?1

x?0

xlna

?lna。因此有lim

a?1x

x?0

?lna。

lim

(1?x)?1

x(1?x)?1

x

a

a

x?0

?a：利用對數恒等式得

lim

x?0

?lim

e

aln(1?x)

?1

x?0

x

?alim

e

aln(1?x)

?1ln(1?x)

x

x?0

aln(1?x)

?alim

e

aln(1?x)

?1

x?0

aln(1?x)

lim

ln(1?x)

x

x?0

?a

上式中同時用到了第一個和第二個極限。

x?

2sinsin

1?cosx1?cosx1?1lim?lim?lim：利用倍角公式得lim??222

x?0x?0x?0x2xx2x?0?x

?2

x

??1??

2??。

2）導數與微分的四則運算法則

(u?v)?u?v,d(u?v)?du?dv(uv)?uv?uv,d(uv)?vdu?udv()?

vu

''

'

'

'

'

'

vu?uvv

''

uvdu?udv,d()?(v?0)2

vv

【點評】：這幾個求導公式大家用得也很多，它們的證明需要用到導數的定義。

而導數的證明也恰恰是很多考生的薄弱點，通過這幾個公式可以強化相關的概念，避免到復習后期成為自己的知識漏洞。具體的證明過程教材上有，這里就不贅述了。3）鏈式法則

設y?f(u),u??(x)，如果?(x)在x處可導，且f(u)在對應的u??(x)處可導，則復合函數y?f(?(x))在x處可導可導，且有：

?f(?(x))?

【點評】：同上。4）反函數求導法則

'

?f(u)?(x)或

''

dydx

?

dydududx

設函數y?f(x)在點x的某領域內連續，在點x0處可導且f'(x)?0，并令其反函數為x?g(y)，且x0所對應的y的值為y0，則有：

g(y0)?

'

1f(x0)

'

?

1f(g(y0))

'

或

dxdy

?

1dydx

【點評】：同上。

5）常見函數的導數

?x?

?

'

??x

'

??1，'

?sinx??lnx?

'

?cosx，?cosx???sinx，1x

x

?，?logax??

'

'

1xlna，?e

x

?

'

?e，?ax??exlna

【點評】：這些求導公式大家都很熟悉，但很少有人想過它們的由來。實際上，掌握這幾個公式的證明過程，不但可以幫助我們強化導數的定義這個薄弱點，對極限的計算也是很好的練習。現選取其中典型予以證明。證明：

?x?

?

'

??x

??1

：導數的定義是f'(x)?lim

?

?

f(x??x)?f(x)

?x，代入該公式得)?1

??x

??1

?

?x?0

?x

?

?

'

?lim

(x??x)?x

?x

(1??x

?

?x

?x?0

x?x)?1

?x

??1

?x?0

?

(1?lim

?x

x?xx

。最后一

步用到了極限lim

x?0

(1?x)?1

x

a

x?0

?a。注意，這里的推導過程僅適用于x?0的情形。的情形需要另行推導，這種情況很簡單，留給大家。

'

?sinx??cosx：利用導數定義?sinx??lim

'

sin(x??x)?sinx

?x，由和差化積公式得

?x?0

?x?0

lim

sin(x??x)?sinx

?x

2cos(x?

?lim

?x?0

?x?x)sin

?x

?cosx。cosx'??sinx的證明類??

似。

?lnx?

'

?

'

1x?

：利用導數定義?lnx??lim

1xlna

'

ln(x??x)?lnx

?x

lnxlna

ln(1?

?lim

?x?0

?x)?

1x

?x?0

?x。

?logax?的證明類似（利用換底公式logax?）。

?e?

x

'

?e

x

：利用導數定義?e

x

?

'

?lim

e

(x??x)

?e

x

?x?0

?x

?lime

?x?0

x

e

?x

?1

?x

?e。?a

x

x

?

'

?elna

x的證明類似（利用對數恒等式ax?exlna）。

第二篇：高數中的重要定理與公式及其證明(二)

在這里，沒有考不上的研究生。

高數中的重要定理與公式及其證明

（二）考研數學中最讓考生頭疼的當屬證明題，而征服證明題的第一關就是教材上種類繁多的定理證明。如果本著嚴謹的對待數學的態度，一切定理的推導過程都是應該掌握的。但考研數學畢竟不是數學系的考試，很多時候要求沒有那么高。而有些定理的證明又過于復雜，硬要要求自己掌握的話很多時候可能是又費時又費力，最后還弄得自己一頭霧水。因此，在這方面可以有所取舍。

現將高數中需要掌握證明過程的公式定理總結如下。這些證明過程，或是直接的考點，或是蘊含了重要的解題思想方法，在復習的初期，先掌握這些證明過程是必要的。

6）定積分比較定理

如果在區間[a,b]上恒有f(x)?0，則有?f(x)dx?0 ab

推論：ⅰ如果在區間[a,b]上恒有f(x)?g(x)，則有?f(x)dx??g(x)dx；aabb

ⅱ設M和m是函數f(x)在區間[a,b]上的最大值與最小值，則有：m(b?a)??f(x)dx?M(b?a)ab

【點評】：定積分比較定理在解題時應用比較廣，定積分中值定理也是它的推論。掌握其證明過程，對理解及應用該定理很有幫助。具體的證明過程教材上有。

7）定積分中值定理

設函數f(x)在區間[a,b]上連續，則在積分區間[a,b]上至少存在一點?使得下式成立：

?b

af(x)dx?f(?)(b?a)

【點評】：微積分的兩大中值定理之一，定積分比較定理和閉區間上連續函數的推論，在證明題中有重要的作用。考研真題中更是有直接用到該定理證明方法的題目，重要性不嚴而喻。具體證明過程見教材。

跨考魔鬼集訓營01

在這里，沒有考不上的研究生。

8）變上限積分求導定理

如果函數f(x)在區間[a,b]上連續，則積分上限的函數?(x)??f(x)dx在[a,b]上ax

可導，并且它的導數是

dx'?(x)??f(x)dx?f(x),a?x?b dxa

設函數F(x)??u(x)

v(x)f(t)dt，則有F'(x)?f(u(x))u'(x)?f(v(x))v'(x)。

【點評】：不說了，考試直接就考過該定理的證明。具體證明過程見教材。

9）牛頓-萊布尼茲公式

如果函數f(x)在區間[a,b]上連續，則有?f(x)dx?F(b)?F(a)，其中F(x)是ab

f(x)的原函數。

【點評】：微積分中最核心的定理，計算定積分的基礎，變上限積分求導定理的推論。具體證明過程見教材。

10）費馬引理：

設函數f(x)在點x0的某領域U(x0)內有定義，并且在x0處可導，如果對任意的x?U(x0)，有f(x0)?f(x)或f(x0)?f(x)，那么f'(x0)?0

【點評】：費馬引理是羅爾定理的基礎，其證明過程中用到了極限的保號性，是很重要的思想方法。具體證明過程見教材。

11）羅爾定理：

如果函數f(x)滿足

（1）在閉區間[a,b]上連續；

（2）在開區間(a,b)上可導

（3）在區間端點處的函數值相等，即f(a)?f(b)

那么在(a,b)內至少存在一點?(a???b)，使得f'(?)?0。

【點評】：羅爾定理，拉格朗日中值定理，柯西中值定理是一脈相承的三大定理；它們從形式上看是由特殊到一般，后面的定理包含前面的定理，但實際上卻是相互蘊含，可以相互推導的。這幾個定理的證明方法也就是與中值有關的證明題主要的證明方法。中值定理的證明是高數中的難點，一定要多加注意。具體證明過

在這里，沒有考不上的研究生。

程見教材。

12）拉格朗日中值定理：

如果函數f(x)滿足

（1）在閉區間[a,b]上連續；

（2）在開區間(a,b)上可導

那么在(a,b)內至少存在一點?(a???b)，使得f'(?)?

【點評】：同上。

13）柯西中值定理：

如果函數f(x)和g(x)滿足

（1）在閉區間[a,b]上連續；

（2）在開區間(a,b)上可導

f'(?)f(b)?f(a)那么在(a,b)內至少存在一點?(a???b)，使得'。?g(?)g(b)?g(a)f(b)?f(a)。b?a

【點評】：同上。

第三篇：高數中的重要定理與公式及其證明(六)

在這里，沒有考不上的研究生。

高數中的重要定理與公式及其證明

（六）考研數學中最讓考生頭疼的當屬證明題，而征服證明題的第一關就是教材上種類繁多的定理證明。如果本著嚴謹的對待數學的態度，一切定理的推導過程都是應該掌握的。但考研數學畢竟不是數學系的考試，很多時候要求沒有那么高。而有些定理的證明又過于復雜，硬要要求自己掌握的話很多時候可能是又費時又費力，最后還弄得自己一頭霧水。因此，在這方面可以有所取舍。

現將高數中需要掌握證明過程的公式定理總結如下。這些證明過程，或是直接的考點，或是蘊含了重要的解題思想方法，在復習的初期，先掌握這些證明過程是必要的。

7）二元函數偏導數存在與可微的關系

如果函數z?f(x,y)在點(x,y)可微，則函數在該點連續且兩個偏導數均存在，并且?z??z?z?x??y?o?x?y 【點評】：學到多元函數時第一個困擾我們的就是多元函數的可微與可導不再等價，它們與連續性的關系也變得更為復雜了。下面希望能通過幾個定理與反例來將這個關系說清楚。

證明：

由可微的定義可知存在只與(x,y)有關而與?x,?y實數A,B使得?z?A?x?B?y?o

現證明A?在點(x,y)附近成立。?zf(x??x,y)?f(x,y)，由偏導數定義可知，這等價于證明A?

lim。?x?0?x?x

由于?z?A?x?B?y?o成立，因此f(x??x,y)?f(x,y)?A?x?o??x?

A?x?o??x?o??x?f(x??x,y)?f(x,y)?lim?A?lim則lim。?x?0?x?0?x?0?x?x?x

由高階無窮小的定義可知lim

也即A?o??x??x?x?0?0。因此，有A?lim?x?0f(x??x,y)?f(x,y)。?x?z。?x

跨考魔鬼集訓營0

1在這里，沒有考不上的研究生。

同理，可證B??z。?y

證畢 注1：關于二元函數可微，偏導數存在、連續和偏導數連續的關系可以用下圖來表示：

也就是說：偏導數連續的函數必然可微，可微的函數必然連續并且存在偏導數，但連續和偏導數存在這兩個概念本身是互不包含的（也就是說連續的函數不一定存在偏導數，偏導數存在的函數也不一定連續）。注二：例如：

1）函數f(x,y)?x?y，在(0,0)連續，但偏導數不存在。

?xy22?x2?y2,x?y?02）又如函數f(x,y)??，在（0，0）處的偏導數是存在的。

?0,x2?y2?0?因為fx(0,0)?limx?0'f(x,0)?f(0,0)0?lim?0，同理我們可以得到fy'(0,0)?0 x?0xx?0

x212x22?,limf(x,y)?2? 而limf(x,y)?2x?yx?y2x225x5x?0x?0

也就說(x,y)沿不同路徑趨于(0,0)得到的極限值是不一樣的。因此二重極限(x,y)?(0,0)limf(x,y)不存在。進而可得到f(x,y)在(0,0)點處不連續。

注三：如果二元函數f(x,y)的兩個偏導數都存在且偏導數作為二元函數是連續的，則該二元函數是可微的。這也是一個定理，證明過程不需要掌握，但定理的結論要熟記。

跨考魔鬼集訓營02

第四篇：2018考研高數重要定理證明微積分基本定理

2018考研高數重要定理證明微積分基本定理

來源：智閱網

微積分基本定理是考研數學中的重要定理，考察的頻率較高，難度也比較大，下面詳細的講解一下，希望大家有所收獲。

微積分定理包括兩個定理：變限積分求導定理和牛頓-萊布尼茨公式。

變限積分求導定理的條件是變上限積分函數的被積函數在閉區間連續，結論可以形式地理解為變上限積分函數的導數為把積分號扔掉，并用積分上限替換被積函數的自變量。注意該求導公式對閉區間成立，而閉區間上的導數要區別對待：對應開區間上每一點的導數是一類，而區間端點處的導數屬單側導數。花開兩朵，各表一枝。我們先考慮變上限積分函數在開區間上任意點x處的導數。一點的導數仍用導數定義考慮。至于導數定義這個極限式如何化簡，筆者就不能剝奪讀者思考的權利了。單側導數類似考慮。

“牛頓-萊布尼茨公式是聯系微分學與積分學的橋梁，它是微積分中最基本的公式之一。它證明了微分與積分是可逆運算，同時在理論上標志著微積分完整體系的形成，從此微積分成為一門真正的學科。”這段話精彩地指出了牛頓-萊布尼茨公式在高數中舉足輕重的作用。而多數考生能熟練運用該公式計算定積分。不過，提起該公式的證明，熟悉的考生并不多。

該公式和變限積分求導定理的公共條件是函數f(x)在閉區間連續，該公式的另一個條件是F(x)為f(x)在閉區間上的一個原函數，結論是f(x)在該區間上的定積分等于其原函數在區間端點處的函數值的差。該公式的證明要用到變限積分求導定理。若該公式的條件成立，則不難判斷變限積分求導定理的條件成立，故變限積分求導定理的結論成立。

注意到該公式的另一個條件提到了原函數，那么我們把變限積分求導定理的結論用原函數的語言描述一下，即f(x)對應的變上限積分函數為f(x)在閉區間上的另一個原函數。根據原函數的概念，我們知道同一個函數的兩個原函數之間只差個常數，所以F(x)等于f(x)的變上限積分函數加某個常數C。萬事俱備，只差寫一下。將該公式右側的表達式結合推出的等式變形，不難得出結論。

上面講述的微積分基本定理是考研數學的高頻考點，考生們要認真學習其解題方法，并且學會運用。湯神《考研數學接力題典1800》可以檢驗大家的復習效果，總結做題經驗，對我們現階段的復習幫助很大。

第五篇：考研數學：高數重要公式總結(基本積分表)

凱程考研

歷史悠久，專注考研，科學應試，嚴格管理，成就學員！

考研數學：高數重要公式總結（基本積

分表）

考研數學中公式的理解、記憶是最基礎的，其次才能針對具體題型進行基礎知識運用、正確解答。凱程小編總結了高數中的重要公式，希望能幫助考研生更好的復習。

其實，考研數學大多題目考查的還是基礎知識的運用，難題異題并不多，只要大家都細心、耐心，都能取得不錯的成績。考研生加油哦!凱程考研，考研機構，10年高質量輔導，值得信賴！以學員的前途為已任，為學員提供高效、專業的服務，團隊合作,為學員服務，為學員引路。

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凱程考研：

凱程考研成立于2005年，具有悠久的考研輔導歷史，國內首家全日制集訓機構考研，一直從事高端全日制輔導，由李海洋教授、張鑫教授、盧營教授、王洋教授、楊武金教授、張釋然教授、索玉柱教授、方浩教授等一批高級考研教研隊伍組成，為學員全程高質量授課、答疑、測試、督導、報考指導、方法指導、聯系導師、復試等全方位的考研服務。凱程考研的宗旨：讓學習成為一種習慣； 凱程考研的價值觀：凱旋歸來，前程萬里； 信念：讓每個學員都有好最好的歸宿；

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師資力量：師資力量是考察輔導班的首要因素，考生可以針對輔導名師的輔導年限、輔導經

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驗、歷年輔導效果、學員評價等因素進行綜合評價，詢問往屆學長然后選擇。判斷師資力量關鍵在于綜合實力，因為任何一門課程，都不是由

一、兩個教師包到底的，是一批教師配合的結果。還要深入了解教師的學術背景、資料著述成就、輔導成就等。凱程考研名師云集，李海洋、張鑫教授、方浩教授、盧營教授、孫浩教授等一大批名師在凱程授課。而有的機構只是很普通的老師授課，對知識點把握和命題方向，欠缺火候。

對該專業有輔導歷史：必須對該專業深刻理解，才能深入輔導學員考取該校。在考研輔導班中，從來見過如此輝煌的成績：凱程教育拿下2015五道口金融學院狀元，考取五道口15人，清華經管金融碩士10人，人大金融碩士15個，中財和貿大金融碩士合計20人，北師大教育學7人，會計碩士保錄班考取30人，翻譯碩士接近20人，中傳狀元王園璐、鄭家威都是來自凱程，法學方面，凱程在人大、北大、貿大、政法、武漢大學、公安大學等院校斬獲多個法學和法碩狀元，更多專業成績請查看凱程網站。在凱程官方網站的光榮榜，成功學員經驗談視頻特別多，都是凱程戰績的最好證明。對于如此高的成績，凱程集訓營班主任邢老師說，凱程如此優異的成績，是與我們凱程嚴格的管理，全方位的輔導是分不開的，很多學生本科都不是名校，某些學生來自二本三本甚至不知名的院校，還有很多是工作了多年才回來考的，大多數是跨專業考研，他們的難度大，競爭激烈，沒有嚴格的訓練和同學們的刻苦學習，是很難達到優異的成績。最好的辦法是直接和凱程老師詳細溝通一下就清楚了。

凱程考研歷年戰績輝煌，成就顯著！

在考研輔導班中，從來見過如此輝煌的成績：凱程教育拿下國內最高學府清華大學五道口金融學院金融碩士29人，占五道口金融學院錄取總人數的約50%，五道口金融學院歷年狀元均出自凱程.例如，2014年狀元武玄宇,2013年狀元李少華，2012年狀元馬佳偉，2011年狀元陳玉倩;考入北大經院、人大、中財、外經貿、復旦、上財、上交、社科院、中科院金融碩士的同學更是喜報連連，總計達到150人以上，此外，還有考入北大清華人大法碩的張博等10人，北大法學考研王少棠，北大法學經濟法狀元王yuheng等5人成功考入北大法學院，另外有數10人考入人大貿大政法公安大學等名校法學院。北師大教育學和全日制教育碩士輔導班學員考入15人，創造了歷年最高成績。會計碩士保錄班考取30多人，中傳鄭家威勇奪中傳新聞傳播碩士狀元，王園璐勇奪中傳全日制藝術碩士狀元，（他們的經驗談視頻在凱程官方網站有公布，隨時可以查看播放。）對于如此優異的成績，凱程輔導班班主任邢老師說，凱程如此優異的成績，是與我們凱程嚴格的管理，全方位的輔導是分不開的，很多學生本科都不是名校，某些學生來自二本三本甚至不知名的院校，還有很多是工作了多年才回來考的，大多數是跨專業考研，他們的難度大，競爭激烈，沒有嚴格的訓練和同學們的刻苦學習，是很難達到優異的成績。

考研路上，拼搏和堅持，是我們成功的必備要素。

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王少棠

本科學校：南開大學法學

錄取學校：北大法學國際經濟法方向第一名 總分：380+ 在來到凱程輔導之前，王少棠已經決定了要拼搏北大法學院，他有自己的理想，對法學的癡迷的追求，決定到最高學府北大進行深造，他的北大的夢想一直激勵著他前進，在凱程輔導班的每一刻，他都認真聽課、與老師溝通，每一個重點知識點都不放過，對于少棠來說，無疑是無比高興的是，圓夢北大法學院。在復試之后，王少棠與凱程老師進行了深入溝通，講解了自己的考研經驗，與廣大考北大法學，人大法學、貿大法學等同學們進行了交流，錄制為經驗談，在凱程官方網站能夠看到。

王少棠參加的是凱程考研輔導班，回憶自己的輔導班的經歷，他說：“這是我一輩子也許學習最投入、最踏實的地方，我有明確的復習目標，有老師制定的學習計劃、有生活老師、班主任、授課老師的管理，每天6點半就起床了，然后是吃早餐，進教室里早讀，8點開始單詞與長難句測試，9點開始上課，中午半小時吃飯，然后又回到教室里學習了，夏天比較困了就在桌子上睡一會，下午接著上課，晚上自習、測試、答疑之類，晚上11點30熄燈睡覺。”

這樣的生活，貫穿了我在輔導班的整個過程，王少棠對他的北大夢想是如此的堅持，無疑，讓他忘記了在考研路上的辛苦，只有堅持的信念，只有對夢想的勇敢追求。

龔輝堂

本科西北工業大學物理

考入:五道口金融學院金融碩士(原中國人民銀行研究生部)作為跨地區跨校跨專業的三凱程生,在凱程輔導班里經常遇到的,五道口金融學院本身公平的的傳統,讓他對五道口充滿了向往,所以他來到了凱程輔導班,在這里嚴格的訓練,近乎嚴苛的要求,使他一個跨專業的學生,成功考入金融界的黃埔軍校,成為五道口金融學院一名優秀的學生,實現了人生的重大轉折。

在凱程考研輔導班，雖然學習很辛苦，但是每天他都能感覺到自己在進步，改變了自己以往在大學期間散漫的學習狀態，進入了高強度學習狀態。在這里很多課程讓他收獲巨大，例如公司理財老師，推理演算，非常純熟到位，也是每個學生學習的榜樣，公司理財老師帶過很多學生，考的非常好。在學習過程中，拿下了這塊知識，去食堂午餐時候加一塊雞翅，經常用小小的獎勵激勵自己，尋找學習的樂趣。在輔導班里，學習成績顯著上升。

在暑期，輔導班的課程排得非常滿，公共課、專業課、晚自習、答疑、測試，一天至少12個小時及以上。但是他們仍然特別認真，在這個沒有任何干擾的考研氛圍里，充實地學習。

在經過暑期嚴格的訓練之后，龔對自己考入五道口更有信心了。在與老師溝通之后，最終確定了五道口金融學院作為自己最后的抉擇，決定之后，讓他更加發奮努力。

五道口成績公布，龔輝堂成功了。這個封閉的考研集訓，優秀的學習氛圍，讓他感覺有

凱程考研，考研機構，10年高質量輔導，值得信賴！以學員的前途為已任，為學員提供高效、專業的服務，團隊合作,為學員服務，為學員引路。

凱程考研

歷史悠久，專注考研，科學應試，嚴格管理，成就學員！

質的飛躍，成功的喜悅四處飛揚。

另外，在去年，石繼華，本科安徽大學，成功考入五道口金融學院，也就是說，我們只要努力，方向正確，就能取得優異的成績。師弟師妹們加油，五道口、人大、中財、貿大這些名校等著你來。

黃同學(女生)本科院校：中國青年政治學院 報考院校：中國人民大學金融碩士 總分：跨專業380+ 初試成績非常理想，離不開老師的辛勤輔導，離不開班主任的鼓勵，離不開她的努力，離不開所有關心她的人，圓夢人大金融碩士，實現了跨專業跨校的金融夢。

黃同學是一個非常靦腆的女孩子，英語基礎算是中等，專業課是0基礎開始復習，剛剛開始有點吃力，但是隨著課程的展開，完全能夠跟上了節奏。

初試成績公布下來，雖然考的不錯，班主任老師沒有放松對復試的輔導，確保萬無一失，拿到錄取通知書才是最終的塵埃落地，開始了緊張的復試指導，反復的模擬訓練，常見問題、禮儀訓練，專業知識訓練，每一個細節都訓練好之后，班主任終于放心地讓她去復試，果然，她以高分順利通過復試，拿到了錄取通知書。這是所有凱程輔導班班主任、授課老師、生活老師的成功。

張博，從山東理工大學考入北京大學法律碩士，我復習的比較晚，很慶幸選擇了凱程，法碩老師講的很到位，我復習起來減輕了不少負擔。愿大家在考研中馬到成功，也祝愿凱程越辦越好。

張亞婷，海南師范大學小學數學專業，考入了北京師范大學教育學部課程與教學論方向，成功實現了自己的北師大夢想。特別感謝凱程的徐影老師全方面的指導。

孫川川，西南大學考入中國傳媒大學藝術碩士，播音主持專業。在考研輔導班，進步飛快，不受其他打擾，能夠全心全意投入到學習中。凱程老師也很負責，真的很感謝他們。

在凱程考研輔導班，他們在一起創造了一個又一個奇跡。從河南理工大學考入人大會計碩士的李夢說：考取人大，是我的夢想，我一直努力，肯定能夠成功的，只要我們不放棄，不拋棄，并且一直在努力前進創造成功的條件，每個人都能夠成功。正確的方法+不懈的努力+良好的環境+嚴格的管理=成功。我相信，每個人都能夠成功。

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