第一篇：同濟六版上冊高數總結(一些重要公式及知識點)
同濟六版上冊高數總結
微分公式與積分公式
(tgx)??secx
(ctgx)???csc2x
(secx)??secx?tgx(cscx)???cscx?ctgx(ax)??axlna
1(logax)??xlna2(arcsinx)??1?x21(arccosx)????x21(arctgx)??1?x21(arcctgx)???1?x2?tgxdx??lncosx?C?ctgxdx?lnsinx?C?secxdx?lnsecx?tgx?C?cscxdx?lncscx?ctgx?Cdx1x?arctg?C?a2?x2aa
dx1x?a?ln?x2?a22ax?a?Cdx1a?x??a2?x22alna?x?Cdxx?arcsin?C?a2?x2a
?
2ndx2?cos2x??secxdx?tgx?Cdx2?csc2?sinx?xdx??ctgx?C?secx?tgxdx?secx?C?cscx?ctgxdx??cscx?Cax?adx?lna?Cx?shxdx?chx?C?chxdx?shx?C?dxx2?a2?ln(x?x2?a2)?C?
2In??sinxdx??cosnxdx?00n?1In?2n
?
?
?
x2a22x?adx?x?a?ln(x?x2?a2)?C22x2a2222x?adx?x?a?lnx?x2?a2?C22x2a2x222a?xdx?a?x?arcsin?C22a22
三角函數的有理式積分：
2u1?u2x2du
sinx?，cosx?，u?tg，dx?
21?u21?u21?u2
兩個重要極限：
公式1lim
sinx
?1公式2lim(1?x)1/x?e
x?0x?0x
有關三角函數的常用公式
和差角公式：
和差化積公式：
sin??sin??2sin
sin(???)?sin?cos??cos?sin?cos(???)?cos?cos??sin?sin?tg(???)?
tg??tg?1?tg??tg?ctg??ctg??
1ctg(???)?
ctg??ctg?
???
22??????
sin??sin??2cossin
22??????
cos??cos??2coscos
22??????
cos??cos??2sinsin
cos
???
三倍角公式:半角公式：
sin(3α)=3sinα-4sin^3(α)sin(α/2)=±√(1-cosα)/2cos(3α)=4cos^3(α)-3cosαCos(α/2)=±√(1+cosα)/2
降冪公式:萬能公式：
sin^2(α)=(1-cos(2α))/2=versin(2α)/2sinα=2tan(α/2)/[1+tan^2(α/2)]cos^2(α)=(1+cos(2α))/2=covers(2α)/2cosα=[1-tan^2(α/2)]/[1+tan^2(α/2)]tan^2(α)=(1-cos(2α))/(1+cos(2α))tanα=2tan(α/2)/[1-tan^2(α/2)]
推導公式
tanα+cotα=2/sin2αtanα-cotα=-2cot2α1+cos2α=2cos^2α1-cos2α=2sin^2α1+sinα=(sinα/2+cosα/2)^2
abc
???2R正弦定理：
sinAsinBsinC
余弦定理： c2?a2?b2?2abcosC反三角函數性質：arcsinx?arccosx?
?
arctgx?arcctgx?
?
(特別要注意這兩個恒等式，證明的話，只需做出左邊的函數的導數為0即可）
高階導數公式——萊布尼茲（Leibniz）公式：
(uv)
(n)
k(n?k)(k)
??Cnuvk?0n
?u(n)v?nu(n?1)v??
n(n?1)(n?2)n(n?1)?(n?k?1)(n?k)(k)
uv?????uv???uv(n)
2!k!
中值定理與導數應用：
拉格朗日中值定理：f(b)?f(a)?f?(?)(b?a)f(b)?f(a)f?(?)
?
F(b)?F(a)F?(?)
當F(x)?x時，柯西中值定理就是拉格朗日中值定理。
曲率：
弧微分公式：ds??y?2dx,其中y??tg?平均曲率：K?
??
??:從M點到M?點，切線斜率的傾角變化量；?s：MM?弧長。?s
y????d?
M點的曲率：K?lim??.23?s?0?sds(1?y?)
直線：K?0;1
半徑為a的圓：K?.a
定積分的近似計算：
b
?f(x)?
ab
b?a
(y0?y1?L?yn?1)n
b?a1
[(y0?yn)?y1?L?yn?1] n2
?f(x)?
a
定積分應用相關公式：
功：W?F?s
水壓力：F?p?A
mm
引力：F?k122,k為引力系數
r
b1
函數的平均值：y?f(x)dx?b?aa12f(t)dt?b?aa
b
微分方程的相關概念：
一階微分方程：y??f(x,y)或 P(x,y)dx?Q(x,y)dy?0
可分離變量的微分方程：一階微分方程可以化為g(y)dy?f(x)dx的形式，解法：
?g(y)dy??f(x)dx得：G(y)?F(x)?C稱為隱式通解。
dyy
?f(x,y)??(x,y)，即寫成的函數，解法：dxx
ydydududxduy設u?，則?u?x，u???(u)，??代替u，xdxdxdxx?(u)?ux齊次方程：一階微分方即得齊次方程通解。
一階線性微分方程：
dy
1?P(x)y?Q(x)
dx
?P(x)dx
當Q(x)?0時,為齊次方程，y?Ce?
當Q(x)?0時，為非齊次方程，y?(?Q(x)e?dy
2?P(x)y?Q(x)yn，(n?0,1)
dx
P(x)dx
dx?C)e?
?P(x)dx
全微分方程：
如果P(x,y)dx?Q(x,y)dy?0中左端是某函數的全微分方程，即：
?u?u
du(x,y)?P(x,y)dx?Q(x,y)dy?0?P(x,y)?Q(x,y)
?x?y?u(x,y)?C應該是該全微分方程的通解。
二階微分方程：
f(x)?0時為齊次d2ydy
?P(x)?Q(x)y?f(x)2
dxdxf(x)?0時為非齊次
二階常系數齊次線性微分方程及其解法：
(*)y???py??qy?0，其中p,q為常數；求解步驟：
1、寫出特征方程：(?)r2?pr?q?0，其中r2，r的系數及常數項恰好是(*)式中y??,y?,y的系數；
2、求出(?)式的兩個根r1,r23、根據r1,r2的不同情況，按下表寫出(*)式的通解：
二階常系數非齊次線性微分方程
y???py??qy?f(x)，p,q為常數f(x)?e?xPm(x)型，?為常數；f(x)?e?x[Pl(x)cos?x?Pn(x)sin?x]型
第二篇：高數知識點總結(上冊)
高數知識點總結（上冊）函數：
絕對值得性質：(1)|a+b|?|a|+|b|
(2)|a-b|?|a|-|b|
(3)|ab|=|a||b|
a|a|(b?0)(4)|b|=|b|
函數的表示方法：
（1）表格法
（2）圖示法
函數的幾種性質：
（1）函數的有界性（2）函數的單調性
（3）函數的奇偶性（4）函數的周期性 反函數：
（3）公式法（解析法）
?1y?f(x)y?f(x)存在，且是單定理：如果函數在區間[a,b]上是單調的，則它的反函數值、單調的。
基本初等函數：
（1）冪函數
（3）對數函數
（5）反三角函數 復合函數的應用 極限與連續性： 數列的極限：
（2）指數函數（4）三角函數
定義：設?xn?是一個數列，a是一個定數。如果對于任意給定的正數?（不管它多么小），總存在正整數N，使得對于n>N的一切xn，不等式
limxn??xn極限，或稱數列收斂于a，記做n???axn?a??都成立，則稱數a是數列?xn?的，或xn?a（n??）
收斂數列的有界性： 定理：如果數列?xn?收斂，則數列?xn?一定有界
推論：（1）無界一定發散（2）收斂一定有界（3）有界命題不一定收斂
函數的極限：
定義及幾何定義 函數極限的性質：
limf(x)?Ax?x0（1）同號性定理：如果，而且A>0(或A<0),則必存在x0的某一鄰域，當x在該鄰域內（點x0可除外），有f(x)?0（或f(x)?0）。（2）如果x?x0limf(x)?A，且在x0的某一鄰域內（x?x0），恒有f(x)?0（或f(x)?0），則A?0（A?0）。
limf(x)limf(x)（3）如果x?x0存在，則極限值是唯一的
（4）如果存在，則在f(x)在點x0的某一鄰域內（x?x0）是有界的。無窮小與無窮大：
注意：無窮小不是一個很小的數，而是一個以零位極限的變量。但是零是可作為無窮小x?x0f(x)??的唯一的常數，因為如果f(x)?0則對任給的??0，總有，即常數零滿足無窮小的定義。除此之外，任何無論多么小的數，都不滿足無窮小的定義，都不是無窮小。無窮小與無窮大之間的關系：
1（1）如果函數f(x)為無窮大，則f(x)為無窮小
1（2）如果函數f(x)為無窮小，且f(x)?0，則f(x)為無窮大
具有極限的函數與無窮小的關系：
（1）具有極限的函數等于極限值與一個無窮小的和
（2）如果函數可表為常數與無窮小的和，則該常數就是函數的極限 關于無窮小的幾個性質：
定理：
（1）有限個無窮小的代數和也是無窮小（2）有界函數f(x)與無窮小a的乘積是無窮小
推論：
（1）常數與無窮小的乘積是無窮小（2）有限個無窮小的乘積是無窮小 極限的四則運算法則：
定理：兩個函數f(x)、g(x)的代數和的極限等于它們的極限的代數和 兩個函數f(x)、g(x)乘積的極限等于它們的極限的乘積
極限存在準則與兩個重要極限：
準則一（夾擠定理）
設函數f(x)、g(x)、h(x)在x?x0的某個鄰域內（點x0可除外）滿足條件：
（1）g(x)?f(x)?h(x)（2）x?x0x?x0limg(x)?A，x?x0limh(x)?A
則 準則二
單調有界數列必有極限
定理：如果單調數列有界，則它的極限必存在 limf(x)?A
重要極限：
sinx?1x?0x（1）lim
1?cosx1?2x?02 x（2）
lim11xlim(1?)?elim(1?x)x?ex（3）x??或x?0
無窮小階的定義： 設?、?為同一過程的兩個無窮小。
lim
（1）如果??0?，則稱?是比?高階的無窮小，記做??o(?)????，則稱?是比?低階的無窮小
（2）如果lim
（3）如果lim??c(c?0,c?1)?，則稱?與?是同階無窮小 ??1?，則稱?與?是等階無窮小，記做?~?
（4）如果lim幾種等價無窮小：
對數函數中常用的等價無窮小： x?0時，ln(1?x)~x(x?0)
loga(1?x)~1x(x?0)lna
三角函數及反三角函數中常用的等價無窮小： x?0時，sinx~xtanx~x1?cosx~12x2arcsinx~xarctanx~x
指數函數中常用的等價無窮小： x?0時，ex?1~xax?1?exlna?1~lna
xn 二項式中常用的等價無窮小：
x?0時，(1?x)?1~axan1?x?1~函數在某一點處連續的條件：
limf(x)?f(x0)x?x0 由連續定義可知，函數f(x)在點x0處連續必須同時滿足下列三個條件：（1）f(x)在點x0處有定義
limf(x)x?xf(x)x?x00（2）當時，的極限存在（3）極限值等于函數f(x)在點x0處的函數值f(x0)
如果函數f(x)在點x0處連續，由連續定義可知，當x?x0時，f(x)的極限一定存在，反極限與連續的關系：
之，則不一定成立
函數的間斷點：
分類：第一類間斷點(左右極限都存在)第二類間斷點(有一個極限不存在)連續函數的和、差、積、商的連續性： 定理：如果函數f(x)、g(x)在點x0處連續，則他們的和、差、積、商（分母不為零）在點x0也連續 反函數的連續性： 定理：如果函數y?f(x)在某區間上是單調增（或單調減）的連續函數，則它的反函數x??(y)也在對應的區間上是單調增（或單調減）的連續函數
最大值與最小值定理：
值 推論：如果函數f(x)在閉區間?a,b?上連續，則f(x)在?a,b?上有界
定理：設函數f(x)在閉區間?a,b?上連續，兩端點處的函數值分別為f(a)?A,f(b)?B(A?B)，而?是介于A與B之間的任一值，則在開區間(a,b)內至少有一點定理：設函數f(x)在閉區間?a,b?上連續，則函數f(x)在閉區間?a,b?上必有最大值和最小介值定理：
?，使得
f(?)??(a???b)
推論（1）：在閉區間上連續函數必能取得介于最大值與最小值之間的任何值
推論（2）：設函數f(x)在閉區間?a,b?上連續，且f(a)?f(b)?0(兩端點的函數值異號)，則在(a,b)的內部，至少存在一點?，使f(?)?0
導數與微分 導數： 定義：y'?lim?x?0f(x??x)?f(x)?x
導數的幾何定義：函數在圖形上表示為切線的斜率
函數可導性與連續性之間的表示：
如果函數在x處可導，則在點x處連續，也即函數在點x處連續
一個數在某一點連續，它卻不一定在該點可導 據導數的定義求導：（1）y'|x?x0?limf(x0??x)?f(x0)?y?lim?x?0?x?x?0?x
（2）y'|x?x0?limx?x0f(x)?f(x0)x?x0
f(x??x)?f(x)?x（3）y'|x?x0?lim?x?0基本初等函數的導數公式：
（1）常數導數為零(c)'?0
nn?1(x)'?nx（2）冪函數的導數公式
（3）三角函數的導數公式
(sinx)'?cosx
(cosx)'??sinx 1(cotx)'????csc2x2(secx)'?secxtanx sinx
(cscx)'??cscxcotx
(tanx)'?1?sec2x2cosx
（4）對數函數的導數公式：（5）指數函數的導數公式：
xx(e)'?e（6）
(logax)'?11logae?xxlna
(ax)'?axlna
（7）反三角函數的導數公式：
1?x2
1(arctanx)'?1?x2(arcsinx)'?1
(arccosx)'??11?x2 1(arccotx)'??1?x2
函數和、差、積、商的求導法則： 法則一（具體內容見書106）
(u?v)'?u'?v'
(u?v)'?u'?v'
函數乘積的求導法則： 法則二（具體內容見書108）
(uv)'?u'v?uv'
uu'v?uv'()'?vv2 函數商的求導法則： 法則三（具體內容見書109）
復合函數的求導法則：（定理見書113頁）
反函數的求導法則：
反函數的導數等于直接函數導數的倒數 基本初等函數的導數公式：（見書121頁）
d2yddy?()2dxdx 高階導數：二階和二階以上的導數統稱為高階導數 dx求n階導數：（不完全歸納法）
??(sinx)(n)?sin(x?n?）(cosx)(n)?cos(x?n?）2
2隱函數的導數：（見書126頁）
對隱函數求導時，首先將方程兩端同時對自變量求導，但方程中的y是x的函數，它的導dy'ydx數用記號（或表示）
對數求導法：先取對數，后求導（冪指函數）
?x??(t)(??t??)?y??(t)由參數方程所確定的函數的導數：?
dydydtdy1?'(t)?????dxdtdxdtdx?'(t)dt
微分概念：
函數可微的條件
如果函數f(x)在點x0可微，則f(x)在點x0一定可導 函數f(x)在點x0可微的必要充分條件是函數f(x)在點x0可導 dy?f'(x0)?x
函數的微分dy是函數的增量?y的線性主部（當?x?0），從而，當
?x很小時，有?y?dy
通常把自變量x的增量?x稱為自變量的微分，記做dx。即于是函數的微分可記為
dy?f'(x)'dy?f(x)dx，從而有dx
基本初等函數的微分公式： 幾個常用的近似公式：
f(x)?f(0)?f'(0)x
n
1?x?1?1xn
sinx?x（x用弧度）
e2?1?x
tanx?x（x用弧度）
ln(1?x)?x
中值定理與導數應用
羅爾定理：如果函數f(x)滿足下列條件
（1）在閉區間?a,b?上連續（2）在開區間?a,b?內具有導數
'（3）在端點處函數值相等，即f(a)?f(b)，則在?a,b?內至少有一點?，使f(?)?0
拉格朗日中值定理：如果函數f(x)滿足下列條件
（1）在閉區間?a,b?上連續
（2）在開區間?a,b?內具有導數，則在?a,b?內至少有一點?，使得f(b)?f(a)?f'(?)(b?a)定理幾何意義是：如果連續曲線y?f(x)上的弧AB除端點處外處處具有不垂直于x軸的??切線，那么，在這弧上至少有一點c，使曲線在點c的切線平行于弧AB 推論：如果函數f(x)在區間?a,b?內的導數恒為零，那么f(x)在?a,b?內是一個常數
柯西中值定理：如果函數f(x)與F(x)滿足下列條件
（1）在閉區間?a,b?上連續（2）在開區間?a,b?內具有導數
‘F（3）(x)在?a,b?內的每一點處均不為零，則在?a,b?內至少有一點?使得f(b)?f(a)f'(?)?'F(b)?F(a)F(?)
羅爾定理是拉格朗日中值定理的特例，柯西中值定理是拉格朗日中值定理的推廣 洛必達法則：（理論根據是柯西中值定理）
00未定式
1、x?a情形
定理：如果(1)當x?a時，f(x)與?(x)都趨于零
'''f(x)?(x)?（2）在點a的某領域（點a可除外）內，與都存在且(x)?0
f'(x)f(x)f(x)lim'limlimx?ax?a?(x)x?a?(x)（3）?(x)存在（或為?），則極限存在（或為?），且f'(x)lim'x?a?(x)=
在一定條件下通過分子、分母分別求導數再求極限來確定未定式的值的方法稱為洛必達法則
2、x??情形
推論：如果（1）當x??時，f(x)與?(x)都趨于零
'''f(x)?(x)?（2）當|x|>N時，與都存在且(x)?0
f'(x)f(x)f(x)lim'limlimx???(x)x???(x)x??（3）?(x)存在（或為?），則極限存在（或為?），且f'(x)lim'x???(x)=
??未定式
1、x?a情形
如果（1）x?a時，f(x)與?(x)都趨于無窮大
'''f(x)?(x)?（2）在點a的某領域（點a可除外）內，與都存在且(x)?0
f'(x)f(x)f(x)lim'limlimx?a?(x)x?a?(x)x?a?(x)（3）存在（或為?），則則極限存在（或為?），且=f'(x)lim'x?a?(x)
2、x??情形 推論：如果（1）x??時，f(x)與?(x)都趨于無窮大
'''f(x)?(x)?（2）當|x|>N時，與都存在且(x)?0
f'(x)f(x)lim'limx?a?(x)x?a?(x)（3）存在（或為?），則則極限存在（或為?），且f'(x)f(x)lim'limx?a?(x)x?a?(x)=
0?注意：
1、洛必達法則僅適用于0型及?型未定式
2、當泰勒公式（略）
邁克勞林公式（略）函數單調性的判別法： f'(x)limx?a?'(x)(x??)不存在時，不能斷定
f(x)x?a?(x)(x??)lim不存在，此時不能應用洛必達法則
必要條件：設函數f(x)在?a,b?上連續，在?a,b?內具有導數，如果f(x)在?a,b?上單調增
''??a,bf(x)?0f加（減少），則在內，（(x)?0）
充分條件：設函數f(x)在?a,b?上連續，在?a,b?內具有導數，'??a,bf（1）如果在內，(x)?0，則f(x)在?a,b?上單調增加 '??a,bf（2）如果在內，(x)?0，則f(x)在?a,b?上單調減少
函數的極值及其求法
極值定義（見書176頁）極值存在的充分必要條件
'xxf(x)f00必要條件：設函數在點處具有導數，且在點處取得極值，則(x)?0
函數的極值點一定是駐點
導數不存在也可能成為極值點
'f駐點：使(x)?0的點，稱為函數f(x)的駐點
充分條件（第一）：設連續函數f(x)在點x0的一個鄰域（x0點可除外）內具有導數，當x由小增大經過x0時，如果 'f（1）(x)由正變負，則x0是極大點
'f（2）(x)由負變正，則x0是極小點 'f（3）(x)不變號，則x0不是極值點
';;xf(x)?0ff(x)0充分條件（第二）：設函數在點0處具有二階導數，且，(x0)?0
;;f（1）如果(x0)?0，則f(x)在x0點處取得極大值;;f（2）如果(x0)?0，則f(x)在x0點處取得極小值
函數的最大值和最小值（略）
曲線的凹凸性與拐點： 定義：設f(x)在?a,b?上連續，如果對于?a,b?上的任意兩點x1、x2恒有f(x1?x2f(x1?f(x2))?22，則稱f(x)在?a,b?上的圖形是（向上）凹的，反之，圖形是（向上）凸的。
判別法：
定理：設函數f(x)在?a,b?上連續，在(a,b)內具有二階導數
;;f(a,b)（1）如果在內(x0)?0，那么f(x)的圖形在?a,b?上是凹的;;f(a,b)（2）如果在內(x0)?0，那么f(x)的圖形在?a,b?上是凸的
拐點：凸弧與凹弧的分界點稱為該曲線的拐點。
不定積分
原函數：如果在某一區間上，函數F(x)與f(x)滿足關系式： F'(x)?f(x)或dF(x)?f(x)dx，則稱在這個區間上，函數F(x)是函數f(x)的一個原函數 結論：如果函數f(x)在某區間上連續，則在這個區間上f(x)必有原函數
定理：如果函數F(x)是f(x)的原函數，則F(x)?C（C為任意常數）也是f(x)的原函數，且f(x)的任一個原函數與F(x)相差為一個常數 不定積分的定義：
f(x)dx定義：函數f(x)的全體原函數稱為f(x)的不定積分，記做?
(?f(x)dx)'?f(x)d(?f(x)dx)?f(x)dx不定積分的性質： 性質一：
或
f及?'
(x)dx?f(x)?C或?df(x)?f(x)?C
性質二：有限個函數的和的不定積分等于各個函數的不定積分的和。即
?[f1(x)?f2(x)???fn(x)]dx??f1(x)dx??f2(x)dx????fn(x)dx
性質三：被積函數中不為零的常數因子可以提到積分號外面來，即
?kf(x)dx?k?f(x)dx（k為常數，且k?0 kdx?kx?C基本積分表：（1）?（k是常數）
xa?1xdx??C(a??1)?a?1（2）
a 1dx?ln|x|?C?x（3）
x
e（4）?xdx?ex?C
axadx??C(a?0,a?1)?lna（5）
（6）?sinxdx??cosx?C
（7）?cosxdx?sinx?C
12dx?secxdx?tanx?C2??（8）cosx
1dx??csc2xdx??cotx?Csecxtanxdx?secx?C2?（9）sinx（10）?
（11）?cscxcotxdx??cscx?C
（12）
?11?x2dx?arcsinx?C
（13）?11?x2dx?arctanx?C
'第一類換元法（湊微分法）?f[?(x)]?(x)dx?F[?(x)]?C
?tanxdx??ln|cosx|?C
?cotxdx?ln|sinx|?C
第二類換元法：變量代換
被積函數若函數有無理式，一般情況下導用第二類換元法。將無理式化為有理式 基本積分表添加公式：
結論：
22a?x如果被積函數含有，則進行變量代換x?asint化去根式
22如果被積函數含有x?a，則進行變量代換x?atant化去根式
22x?a如果被積函數含有，則進行變量代換x?asect化去根式
分部積分法：
對應于兩個函數乘積的微分法，可推另一種基本微分法---------分部積分法 ?udv?uv??vdu
分部積分公式
三角函數指數函數
1、如果被積函數是冪函數與
令u等于冪函數 的積，可以利用分部積分法
對數函數
2、如果被積函數是冪函數與反三角函數的積，可使用分部積分法
對數函數 令u=反三角函數
3、如果被積函數是指數函數與三角函數的積，也可用分部積分法。定積分
定積分的定義
定理：如果函數f(x)在[a,b]上連續，則f(x)在[a,b]上可積
定理：如果函數在[a,b]上只有有限個第一類間斷點，則f(x)在[a,b]上可積 定積分的幾何意義：
bf(x)dx
1、在[a,b]上f(x)?0，這時?a的值在幾何上表示由曲線y?f(x)、x軸及二直線x=a、x=b所圍成的曲邊梯形的面積
2、在[a,b]上f(x)?0，其表示曲邊梯形面積的負值
3、在[a,b]上，f(x)既取得正值又取得負值 幾何上表示由曲線y?f(x)、x軸及二直線x=a、x=b所圍成平面圖形位于x軸上方部分的面積減去x軸下方部分的面積 定積分的性質：
性質
一、函數和（差）的定積分等于他們的定積分的和（差），即
?aaa
性質
二、被積函數中的常數因子可以提到積分號外面，即
b[f(x)?g(x)]dx??f(x)dx??g(x)dxkf(x)dx?k?f(x)dxabbb?ba（k是常數）
性質
三、如果將區間[a,b]分成兩部分[a,c]和[c,b]，那么
?baf(x)dx??f(x)dx??f(x)dxacbcb、性質
四、如果在[a,b]上，f(x)?1，那么?af(x)dx??dx?b?aab
f(x)dx?0性質
五、如果在[a,b]上，f(x)?0，那么?a 性質
六、如果在[a,b]上，f(x)?g(x)，那么
b?baf(x)dx??g(x)dxab
性質
七、設M及m，分別是函數f(x)在區間[a,b]上的最大值及最小值，則
?f(x)dx?
m(b-a)?aM(b-a)(a 八、積分中值定理 bab ……估值定理 如果函數f(x)在閉區間[a,b]上連續，那么在積分區間[a,b]上至少有一點?，使得 ? f(x)dx?f(?)(b?a)微積分基本公式 積分上限的函數：?(x)??f(t)dtax（a?x?b） 性質：如果函數f(x)在區間[a,b]上連續，那么積分上限的函數‘?(x)??f(t)dtax在[a,b]上dx?(x)?f(t)dt?f(x)?adx具有導數，且 定理：在區間[a,b]上的連續函數f(x)的原函數一定存在 如果函數f(x)在區間[a,b]上連續，且F(x)是f(x)的任意一個原函數，那么ba牛頓——萊布尼茨公式 ? f(x)dx?F(b)?F(a) 定積分的換元法 假設（1）函數f(x)在區間[a,b]上連續； （2）函數x??(t)在區間[?,?]上單值，且具有連續導數； x??(t)的值在[a,b]上變化，?a，?（?）?b，（3）當t在區間[?,?]上變化時，且?（?）b則有定積分的換元公式?a f(x)dx??f[?(t)]?'(t)dt?? 設f(x)在區間[?a,a]上連續，則 ?f(x)dx?0f(x)??a（1）如果函數為奇函數，則（2）如果函數f(x)為偶函數，則??a?20aaf(x)dx?2?f(x)dx0a 0 定積分的分部積分法 ?sinxdx??2cosnxdxn '''''[a,b]u(x)v(x)u(x)v(x)(uv)?uv?vu設、在上具有連續導數、，那么，在等式的兩邊 bbb(uv)?uv'dx?vu'dxaaa分別求a到b的定積分得 b……定積分的分部積分公式 bbb'bb'uvdx?(uv)?vudxudv?(uv)??vdu?a?a?aaaa即 或 無窮區間上的廣義積分 limf(x)dx定義：設函數f(x)在區間[a,??]上連續，取b>a，如果極限b????a存在，則稱此極 ??b限為函數f(x)在區間[a,??]上的廣義積分，記做?a無界函數的廣義積分（見書279頁）定積分的應用（見書286頁） 元素法 在極坐標系中的計算法 f(x)dx即?a??f(x)dx?lim?f(x)dxb???ab 公式篇 目錄 一、函數與極限 1.常用雙曲函數 2.常用等價無窮小 3.兩個重要極限 二、導數與微分 1.常用三角函數與反三角函數的導數公式 2.n階導數公式 3.高階導數的萊布尼茨公式與牛頓二項式定理的比較 4.參數方程求導公式 5.微分近似計算 三、微分中值定理與導數的應用 1.一階中值定理 2.高階中值定理 3.部分函數使用麥克勞林公式展開 4.曲率 四、定積分 1.部分三角函數的不定積分 2.幾個簡單分式的不定積分 五、不定積分 1.利用定積分計算極限 2.積分上限函數的導數 3.牛頓-萊布尼茨公式和積分中值定理 4.三角相關定積分 5.典型反常積分的斂散性 6.Γ函數(選) 六、定積分的應用 1.平面圖形面積 2.體積 3.弧微分公式 七、微分方程 1.可降階方程 2.變系數線性微分方程 3.常系數齊次線性方程的通解 4.二階常系數非齊次線性方程(特定形式)的特解形式 5.特殊形式方程(選) 一、函數與極限 1.常用雙曲函數(sh(x).ch(x).th(x)) 2.常用等價無窮小(x→0時) 3.兩個重要極限 二、導數與微分 1.常用三角函數與反三角函數的導數公式 (凡是“余”求導都帶負號) 2.n階導數公式 特別地,若??n 3.高階導數的萊布尼茨公式與牛頓二項式定理的比較 函數的0階導數可視為函數本身 4.參數方程求導公式 5.微分近似計算(?x很小時) (注意與拉格朗日中值定理比較)常用: (與等價無窮小相聯記憶) 三、微分中值定理與導數的應用 1.一階中值定理 (f(x)在[a,b]連續,(a,b)可導)羅爾定理(端點值相等f(a)?f(b)) 拉格朗日中值定理 柯西中值定理(g'(x)?0≠0) 2.高階中值定理(f(x)在(a,b)上有直到(n?1)階導數)泰勒中值定理 Rn為余項 (ξ在x和x0之間)令x0?0,得到麥克勞林公式 3.部分函數使用麥克勞林公式展開(皮亞諾型余項) 4.曲率 四、不定積分 1.部分三角函數的不定積分 2.幾個簡單分式的不定積分 五、定積分 1.利用定積分計算極限 2.積分上限函數的導數 推廣得 3.牛頓-萊布尼茨公式和積分中值定理(1)牛頓-萊布尼茨公式(微積分基本公式) (2)積分中值定理 函數f(x)在[a,b]上可積 f(?)稱為f(x)在[a,b]上的平均值 4.三角相關定積分 三角函數系的正交性 5.典型反常積分的斂散性(1)無窮限的反常積分 推論1 (2)瑕積分(無界函數的反常積分) 推論2 Convergence:收斂,Divergence:發散 6.Γ函數(選) (1)遞推公式:推論:(2)歐拉反射公式(余元公式) 六、定積分的應用 1.平面圖形面積(1)直角坐標: 由曲線y?f(x)?0及x?a,x?b與x軸圍成圖形 (2)極坐標: 有曲線???(?)及???,???圍成圖形 2.體積 (1)繞x軸旋轉體體積 (2)平行截面面積已知的立體的體積 平行截面(與x軸垂直)面積為A(x) 3.弧微分公式(1)直角坐標: (2)極坐標: 七、微分方程 1.可降階方程(1)y(n) ?f(x)型 n次積分得 (2)y“?f(x,y')型 作換元p?y'得p'?f(x,p)得通解p??(x,C1)則y??(x,C1)dx?C2 ?(3)y”?f(y,y')型 dpdpdp?p,p?f(y,p)dxdxdxdy得通解p??(y,C1)? dx作換元p?y',y“?則dy??(y,C1)?x?C2 2.變系數線性微分方程 (1)一階線性微分方程:y'?P(x)y?Q(x) ?P(x)dx對應齊次方程: y'?P(x)y?0的通解為Y?Ce? 原方程y'?P(x)y?Q(x)的通解為 y?(?Q(x)e?P(x)dx?P(x)dxdx?C)e? 一階線性非齊次方程的通解等于相應齊次方程的通解和非齊次方程一個特解的和 (2)高階線性微分方程 (n?1)y(n)?P(x)y???Pn?1(x)y'?Pn(x)y?Q(x)1(n?1)對應齊次方程為y(n)?P???Pn?1(x)y'?Pn(x)y?0 1(x)y若y1(x),y2(x),?,yn(x)為齊次方程n個線性無關解 則齊次方程的通解為Y(x)?C1y1(x)?C2y2(x)???Cnyn(x)若y*(x)為非齊次方程的一個特解 則非齊次方程的通解為y?Y(x)?y*(x) 3.常系數齊次線性方程的通解(1)二階方程y”?py?q?0 特征方程為r?pr?q?0 2①??0,兩個不等實根r1?通解為y?C1e1?C2e2 rxrx?b???b??,r2? 2a2a②??0,兩個相等實根r1?r2??通解為y?(C1?C2x)e1 rxp 2③??0,一對共軛復根r1????i,r2????i,???通解為y?e?x(C1cos?x?C2sin?x) (2)高階方程y(n)?p1y(n?1)???pn?1y'?pny?0 特征方程為rn?p1rn?1???pn?1r?pn?0 對于其中的根r的對應項 ①實根r 一個單實根:Ce 一個k重實根:(C1?C2x???Ckxk?1)erx ②復根r1,2????i 一對單復根:e?x(C1cos?x?C2sin?x)rxp,??2?? 2一對k重復根: e?x[(C1?C2x???Ckxk?1)cos?x?(D1?D2x???Dkxk?1)sin?x] 通解為對應項之和 4.二階常系數非齊次線性方程(特定形式)的特解形式 y“?py'?qy?f(x),對應的特征方程為r2?pr?q?0 (1)f(x)?e?xPm(x) Pm(x)為x的m次多項式 特解形式為y*?xkQm(x)e?x k?0(?非特征根)1(?為特征單根)2(?為特征重根) Qm(x)是x的m次多項式 (1)(2)(2)f(x)?e[Pl(x)cos?x?Pn(x)sin?x] Pl(x),Pn(x)分別為x的l,n次多項式 ?x(1)(2)特解形式為y*?x[Qm(x)cos?x?Rm(x)sin?x]e k?xm?max{l,n},Qm(x),Rm(x)為x的m次多項式 記z????i k?0(z非特征根)1(z為特征復根) 5.特殊形式方程(選)(1)伯努利方程 dy?P(x)y?Q(x)yn (n?0,1)dxdyy?n?P(x)y1?n?Q(x) dxdzdy?(1?n)y?n令z?y1?n, dxdxdz?(1?n)P(x)z?(1?n)Q(x) dx得通解z??(x,C) y?[?(x,C)] (2)歐拉方程 11?n xny(n)?p1xn?1y(n?1)???pn?1xy'?pny?f(x) t作變換x?e或t?lnx,記D?d dtdydydtdy?x??Dydxdtdxdt2d2ydy22dyxy”?x?2??D(D?1)y 2dtdxdt?xy'?xxky(k)?D(D?1)?(D?k?1)y將上各式代入原方程得到 Dny?a1Dn?1y???an?1Dy?any?f(t) 此為常系數線性微分方程 可得通解y??(t,C1,C2,?,Cn) 即可得原方程通解y??(x,C1,C2,?,Cn) 高數重點知識總結 1、基本初等函數：反函數(y=arctanx)，對數函數(y=lnx)，冪函數(y=x)，指數函數(y?ax)，三角函數(y=sinx)，常數函數(y=c) 2、分段函數不是初等函數。 x2?xx?lim?1 3、無窮小：高階+低階=低階 例如：limx?0x?0xxsinx4、兩個重要極限：(1)lim?1x?0x(2)lim?1?x??ex?01x?1?lim?1???e x???x?g(x)x經驗公式：當x?x0,f(x)?0,g(x)??，lim?1?f(x)?x?x0?ex?x0limf(x)g(x) 例如：lim?1?3x??ex?01xx?0??3x?lim???x??e?3 5、可導必定連續，連續未必可導。例如：y?|x|連續但不可導。 6、導數的定義：lim?x?0f(x??x)?f(x)?f'(x)?xx?x0limf(x)?f(x0)?f'?x0? x?x07、復合函數求導：df?g(x)??f'?g(x)??g'(x)dx 例如：y?x?x,y'?2x?2x?1 2x?x4x2?xx1? 18、隱函數求導：(1)直接求導法；(2)方程兩邊同時微分，再求出dy/dx x2?y2?1例如：解：法(1),左右兩邊同時求導,2x?2yy'?0?y'??x ydyx法(2),左右兩邊同時微分,2xdx?2ydy???dxy9、由參數方程所確定的函數求導：若??y?g(t)dydy/dtg'(t)??，則，其二階導數：dxdx/dth'(t)?x?h(t)d(dy/dx)d?g'(t)/h'(t)?dyd?dy/dx?dtdt??? 2dxdxdx/dth'(t) 210、微分的近似計算：f(x0??x)?f(x0)??x?f'(x0)例如：計算 sin31? 11、函數間斷點的類型：(1)第一類：可去間斷點和跳躍間斷點；例如：y?sinx（x=0是x函數可去間斷點），y?sgn(x)（x=0是函數的跳躍間斷點）(2)第二類：振蕩間斷點和無窮間斷點；例如：f(x)?sin??（x=0是函數的振蕩間斷點），y?斷點） 12、漸近線： 水平漸近線：y?limf(x)?c x???1??x?1（x=0是函數的無窮間xlimf(x)??，則x?a是鉛直漸近線.鉛直漸近線：若，x?a斜漸近線：設斜漸近線為y?ax?b,即求a?limx??f(x),b?lim?f(x)?ax? x??xx3?x2?x?1例如：求函數y?的漸近線 x2?113、駐點：令函數y=f(x)，若f'(x0)=0，稱x0是駐點。 14、極值點：令函數y=f(x)，給定x0的一個小鄰域u(x0,δ),對于任意x∈u(x0,δ)，都有f(x)≥f(x0)，稱x0是f(x)的極小值點；否則，稱x0是f(x)的極大值點。極小值點與極大值點統稱極值點。 15、拐點：連續曲線弧上的上凹弧與下凹弧的分界點，稱為曲線弧的拐點。 16、拐點的判定定理：令函數y=f(x)，若f“(x0)=0，且x 17、極值點的必要條件：令函數y=f(x)，在點x0處可導，且x0是極值點，則f'(x0)=0。 18、改變單調性的點：f'(x0)?0，f'(x0)不存在，間斷點（換句話說，極值點可能是駐點，也可能是不可導點） 19、改變凹凸性的點：f”(x0)?0，f''(x0)不存在（換句話說，拐點可能是二階導數等于零的點，也可能是二階導數不存在的點） 20、可導函數f(x)的極值點必定是駐點，但函數的駐點不一定是極值點。 21、中值定理： (1)羅爾定理：f(x)在[a,b]上連續，(a,b)內可導，則至少存在一點?，使得f'(?)?0 (2)拉格朗日中值定理：f(x)在[a,b]上連續，(a,b)內可導，則至少存在一點?，使得f(b)?f(a)?(b?a)f'(?) (3)積分中值定理：f(x)在區間[a,b]上可積，至少存在一點?，使得b?f(x)dx?(b?a)f(?) a22、常用的等價無窮小代換： x~sinx~arcsinx~arctanx~tanx~ex?1~2(1?x?1)~ln(1?x)1?cosx~12x2111tanx?sinx~x3,x?sinx~x3,tanx?x~x3263 23、對數求導法：例如，y?xx，解：lny?xlnx?1y'?lnx?1?y'?xx?lnx?1? y24、洛必達法則：適用于“ 0?”型，“”型，“0??”型等。當0?x?x0,f(x)?0/?,g(x)?0/?，f'(x),g'(x)皆存在，且g'(x)?0，則f(x)f'(x)ex?sinx?10ex?cosx0ex?sinx1lim?lim 例如，limlimlim? 2x?x0g(x)x?x0g'(x)x?0x?0x?0x02x02225、無窮大：高階+低階=高階 例如，26、不定積分的求法 (1)公式法 (2)第一類換元法（湊微分法） (3)第二類換元法：哪里復雜換哪里，常用的換元：1)三角換元： 23?x?1??2x?3?lim?x???2x5x2?2x?lim?4 x???2x53a2?x2，可令x?asint；x2?a2，可令x?atant；x2?a2，可令x?asect 2)當有理分式函數中分母的階較高時，常采用倒代換x?1 t27、分部積分法：udv?uv?vdu，選取u的規則“反對冪指三”，剩下的作v。分部積 x3分出現循環形式的情況，例如：ecosxdx,secxdx ???? 28、有理函數的積分： 例如：3x?22(x?1)?x11dx?dx?2dx??x(x?1)3?x(x?1)3?x(x?1)2??x?1?3dx 11x?1?xx?1?x1dx???需要進行拆分，令 ?x(x?1)2x(x?1)2x(x?1)2x(x?1)(x?1)2其中，前部分?111?? 2xx?1(x?1) 29、定積分的定義： ?f(?)?x ?f(x)dx?lim?a?0iii?1bn30、定積分的性質： b(1)當a=b時，?f(x)dx?0； aba(2)當a>b時，?f(x)dx???f(x)dx aba?aa(3)當f(x)是奇函數，?f(x)dx?0,a?0 a(4)當f(x)是偶函數，b?a?f(x)dx?2?f(x)dx 0cb(5)可加性：?f(x)dx??f(x)dx??f(x)dx aacxxd31、變上限積分：?(x)??f(t)dt??'(x)?f(t)dt?f(x)?dxaad推廣：dxu(x)?f(t)dt?f?u(x)?u'(x) ab32、定積分的計算（牛頓—萊布尼茨公式）： bb?f(x)dx?F(b)?F(a) a33、定積分的分部積分法：udv??uv??vdu 例如：xlnxdx ?aba?a???bb??? 34、反常積分：(1)無窮限的反常積分： ?f(x)dx?lim?f(x)dx aabbt?a? (2)無界函數的反常積分： 35、平面圖形的面積： (1)A??f(x)dx?lim?f(x)dx atd??f(x)?f(x)?dx (2)A????(y)??(y)?dy 2121ac(2)繞y軸旋轉，????f(x)dxV???(y)dy ??2acbdb36、旋轉體的體積： (1)繞x軸旋轉，V?? 高等數學難點總結（上冊） 函數（高等數學的主要研究對象） 要著重掌握的常見函數類型：冪函數、指數函數、對數函數、三角函數、反三角函數 極限：數列的極限（特殊）——函數的極限（一般） 函數極限的可能情況有24種（自變量6種，因變量4種），對于這其中任一種情形，都應該熟練掌握其分析定義（嚴格的數學表述） 極限的本質是：已知某一個量（自變量）的變化趨勢，去考察另外一個量（因變量）的變化趨勢 由極限的概念可以推得的一些性質：局部有界性、局部保號性等等，應當注意到，由極限概念所得到的性質通常都是只在局部范圍內成立 趨于零的極限稱之為無窮小量，不同的無窮小量之間有階的區別，類似可定義無窮大量 兩個判斷極限的重要準則： 1、夾逼原理； 2、單調有界數列必有極限。它們分別對應兩個重要極限。 各種典型極限的計算 在提出極限概念的時候并未涉及到函數在該點的具體情況，所以函數在某點的極限與函數在該點的取值并無必然聯系 連續：函數在某點的極限值 等于 函數在該點的取值 連續的本質：自變量無限接近，因變量無限接近 連續的概念相當于給我們提出了一種求極限的方法：代入法 閉區間上連續函數的性質。 不連續的情形：間斷。其分類可根據連續不成立的條件逐一分析 導數的概念 本質是函數增量與自變量增量的比值在自變量增量趨近于零時的極限，更簡單的說法是變化率 微分的概念：函數增量的線性主要部分，這個說法有兩層意思，一、微分是一個線性近似，二、這個線性近似帶來的誤差是足夠小的，實際上所有函數在某點的增量我們都可以線性關系去近似它，但并不是任何時候這個近似都足夠好，只有當誤差足夠小時，才能說該函數在該點可微分 對一元函數，連續不一定可導，可導必連續，可導等價于微分 各種典型導數和微分的計算 導數反映了函數在某點附近的變化快慢程度，因此可用來作為研究函數某些性質的工具，尤其是那些涉及討論函數變化情況的性質。極值的概念，極值是局部而非整體性質的體現 費爾馬定理：一個函數的極值點，要么不可導，要么導數為零 微分中值的三個定理：羅爾定理、拉格朗日定理和柯西定理。它們是同一個數學事實在不同的坐標系中的表達：對一個閉區間連續、開區間可導的函數來說，必存在區間內的一點，該點切線的斜率等于兩端點連線的斜率。用導數研究函數的極值情況 用導數研究函數的增減性和凹凸性 泰勒定理：本質是用多項式來逼近連續函數。要學好這部分內容，需要考慮幾個問題： 1、一個函數能夠用多項式來近似的條件是什么？ 二、這個多項式的各系數如何求？ 二、即使求出了這個多項式的系數，如何去評估這個多項式逼近連續函數的精確程度，即還需要求出誤差（余項），一般來說，余項的選取不同，對函數的要求也不同，常見的有皮亞諾和拉格朗日兩種余項 不定積分：導數的逆運算 什么樣的函數有不定積分 求不定積分的若干典型方法：湊微分、換元和分部 各種典型不定積分的計算。 定積分：由具體例子引出，本質是先分割、再綜合，其中分割的作用是把不規則的整體劃作規則的許多個小的部分，然后再綜合，最后求極限，當極限存在時，近似成為精確 什么樣的函數有定積分 積分上限函數及其導數 微積分基本定理，其最重要的作用是將定積分（一個復雜和式的極限）與不定積分（導數的逆運算）相聯系 積分中值定理，其對應的意義是變量的平均值 定積分的幾何應用和物理應用 高等數學里最重要的數學思想方法：微元法第三篇：高數上冊歸納公式篇(完整)
第四篇：高數上冊知識點總結
第五篇：高數上冊總結知識點修訂版
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