第一篇：高數下冊總結(同濟第六版)

高數同濟版下 高數（下）小結

一、微分方程復習要點

解微分方程時，先要判斷一下方程是屬于什么類型，然后按所屬類型的相應解法 求出其通解.一階

微分方程的解法小結：

高數同濟版下 二階微分方程的解法小結：

非齊次方程的特解的形式為：

高數同濟版下 主要 一階

1、可分離變量方程、線性微分方程的求解；

2、二階常系數齊次線性微分方程的求解；

3、二階常系數非齊次線性微分方程的特解

二、多元函數微分學復習要點

一、偏導數的求法

1、顯函數的偏導數的求法 時，應將看作常量，對求導，在求時，應將看作常量，對求導，所運 用的是一元函數的求導法則與求導公式

2、復合函數的偏導數的求法 設，，則，幾種特殊情況： 1），，則2），則 3），則

3、隱函數求偏導數的求法 1）一個方程的情況，設是由方程唯一確定的隱函數，則，高數同濟版下 或者視，由方程兩邊同時對 2）方程組的情況 由方程組.兩邊同時對求導解出即可

二、全微分的求法 方法1：利用公式 方法2：直接兩邊同時求微分，解出即可.其中要注意應用微分形式的不變性：

三、空間曲線的切線及空間曲面的法平面的求法 1）設空間曲線Г的參數方程為，則當時，在曲線上對應 處的切線方向向量為，切線方程為 法平面方程為 2）若曲面的方程為，則在點處的法向，切平面方程為 法線方程為 高數同濟版下 若曲面的方程為，則在點處的法向，切平面方程為 法線方程為

四、多元函數極值（最值）的求法 1 無條件極值的求法 設函數在點的某鄰域內具有二階連續(xù)偏導數，由，解出駐點，記，1）若 時有極小值 2）若，則在點處無極值 3）若，不能判定在點處是否取得極值，則在點處取得極值，且當時有極大值，當 2 條件極值的求法 函數在滿足條件下極值的方法如下： 1）化為無條件極值：若能從條件解出代入中，則使函數成為一元函數無條件的極值問題 2）拉格朗日乘數法 作輔助函數，其中為參數，解方程組 高數同濟版下 求出駐點坐標，則駐點可能是條件極值點 3 最大值與最小值的求法 若多元函數在閉區(qū)域上連續(xù)，求出函數在區(qū)域內部的駐點，計算出在這些點處的函數值，并與區(qū)域的邊界上的最大（最小）值比較，最大（最小）者，就是最大（最小）值.主要

1、偏導數的求法與全微分的求法；

2、空間曲線的切線及空間曲面的法平面的求法

3、最大值與最小值的求法

三、多元函數積分學復習要點 七種積分的概念、計算方法及應用如下表所示：

高數同濟版下 高數同濟版下 *定積分的幾何應用 定積分應用的常用公式：(1)面積(2)體積（型區(qū)域的面積）（橫截面面積已知的立體體積）（所圍圖形繞 的立體體積）（所圍圖形繞 體體積）（所圍圖形繞軸 的立體體積）

第二篇：高數下冊總結

篇一：高數下冊總結

高數（下）小結

一、微分方程復習要點

解微分方程時，先要判斷一下方程是屬于什么類型，然后按所屬類型的相應解法 求出其通解.一階微分方程的解法小結：

二階微分方程的解法小結：

非齊次方程y???py??qy?f(x)的特解y?

主要: 量方程、線性微分方程的求解；

2、二階常系數齊次線性微分方程的求解；

二、多元函數微分學復習要點

1、顯函數的偏導數的求法 在求

?z?x 量，對x求導，在求

?z?y 量，對y求導，所運

求導法則與求導公式.2數的求法

u???x,y?，v???x,y?，則

?z?x ?z?u ?u?x ?z?v ?v?x ?z?y ? 的形式為：

一階

1、可分離變、二階常系數非齊次線性微分方程的特解

一、偏導數的求法 時，應將y看作常時，應將x看作常用的是一元函數的、復合函數的偏導設z?f?u,v?，3 ?z?u ? ?u?y ? ?z?v ? ?v?y 幾種特殊情況：

1u???x?，v???x?，則2）z?f?x,v?，v???x,y?，則

?z?x dzdx???f?vdzdu???u?x ??z?v ?dvdx ?v?y ? ?f?x ?v?x ?z?y ? ?f?u ? 3則

3、隱函數求偏導數的求法 1）一個方程的情況

?z?x ? dzdu ? ?u?x ?z?y ? dzdu ? ?u?y 設z?z?x,y?是由方程f?x,y,z??0唯一確定的隱函數，則

?z?x fxfz ??）z?f?u,v?，）z?f?u?，u???x,y?，?fz ?0?，?z?y ?? fyfz ?fz ?0? 或者視z?z?x,y?，由方程f?x,y,z??0兩邊同時對x(或y)求導解出

2）方程組的情況 ?z?x(或 ?z?y).?f?x,y,u,v??0?z?z)即可.由方程組?兩邊同時對x(或y)求導解出(或

?x?y??gx,y,u,v?0?

二、全微分的求法 方法1：利用公式du? ?u?x dx? ?u?y dy? ?u?z dz 方法2：直接兩邊同時求微分，解出du即可.其中要注意應用微分形式的不變性：

??z du???u? dz?? ?z?dx??x?? ?z?v?z?y dv dy

三、空間曲線的切線及空間曲面的法平面的求法

?x???t? ? 1）設空間曲線г的參數方程為 ?y???t?，則當t?t0時，在曲線上對應點 ?z???t??p0?x0,y0 ? ,z0?處的切線方向向量為t???t0?,? ?

?t0?,??t0??，切線方程為

x?x0 ??t0? ? y?y0 ? ?t0? ? z?z0 ? ?t0?

法平面方程為 ??t0??x?x0t0??y?y0t0??z?z0??0 2）若曲面?的方程為f? x,y,z??0，則在點p0?x0,y0,z0?處的法向量

?n? ?f x ,fy,fz ? p0，切平面方程為

fx?x0,y0,z0??x?x0??fy?x0,y0,z0??y?y0??fz?x0,y0,z0??z?z0??0 法線方程為 x?x0 fx?x0,y0,z0? ? y?y0 fy?x0,y0,z0? ? z?z0 fz?x0,y0,z0? 若曲面?的方程為z?f?x,y?，則在點p0?x0,y0,z0?處的法向量

? n??fx?x0,y0?,fy?x0,y0?,?1?，切平面方程為

fx?x0,y0??x?x0??fy?x0,y0??y?y0???z?z0??0 法線方程為

x?x0fx?x0,y0? ? y?y0fy?x0,y0? ?z?z0?1

四、多元函數極值（最值）的求法 1 無條件極值的求法

在點p0?x0,y0?的某鄰域內具有二階連續(xù)偏導數，由fx?x,y??0，fy ?x,y??0點? x0,y0 ? a?fxx ?x0 ,y0 ? b?fxy ?x0 ,y0 ? c?fyy ?x0,y0?.2 c?b1 ?x ,y?取得極值，且當a?0時有極大值，當a?0 2則f?x,y?在點?x0,y0?處無極值.3）若ac?b 2 ?0 ?x ,y?是否取得極值.設函數z?f?x,y?，解出駐，記，）若a?0，則f 在點?x0,y0?處時有極小值.）若ac?b2?0，不能判定f 在點?x0,y0?處 2 條件極值的求法

函數z?f?x,y?在滿足條件??x,y??0下極值的方法如下：

1）化為無條件極值：若能從條件??x,y??0解出y代入f?x,y?中，則使函數z?z(x,y)成為一元函數無條件的極值問題.2）拉格朗日乘數法

作輔助函數f?x,y??f?x,y?x,y?，其中?為參數，解方程組

篇二：高數下冊總結(同濟第六版)高數（下）小結

一、微分方程復習要點

解微分方程時，先要判斷一下方程是屬于什么類型，然后按所屬類型的相應解法 求出其通解.一階微分方程的解法小結：

二階微分方程的解法小結：

? 非齊次方程y???py??qy?f(x)的特解y的形式為：

主要: 一階

1、可分離變量方程、線性微分方程的求解；

2、二階常系數齊次線性微分方程的求解；

3、二階常系數非齊次線性微分方程的特解

二、多元函數微分學復習要點

一、偏導數的求法

1、顯函數的偏導數的求法 在求

?z?z時，應將y看作常量，對x求導，在求時，應將x看作常量，對y求導，所運?x?y 用的是一元函數的求導法則與求導公式.2、復合函數的偏導數的求法

設z?f?u,v?，u???x,y?，v???x,y?，則

?z?z?u?z?v?z?z?u?z?v，?x?u?x?v?x?y?u?y?v?y 幾種特殊情況： 1）z?f?u,v?，u???x?，v???x?，則2）z?f dzdz?u?zdv dxdu?x?vdx?f?v ?x,v?則?x??x??v??x，?z?f ?z?f?v?? ?y?u?y 3則

3、隱函數求偏導數的求法 1）一個方程的情況

?zdz?u?zdz?u，?xdu?x?ydu?y 方程f?x,y,z??0唯一確定的隱函數，則

f?z ??x ?xfz ?fz ?z ?0? ?y fyfz ?fz ?0? 或者視z?z?x,y?，由方程f?x,y,z??0兩邊同時對x(或y)求導解出 2由方程組? ?z?z(?f?x,y,u,v??0?z?z 求導解出(或)即可.?x?y?g?x,y,u,v??0 方法1：利用公式du? ?u?u?u，v???x,y?，）z?f?u?，u???x,y?設z?z?x,y?是由，??）方程組的情況 或).?x?y 兩邊同時對x(或y)

二、全微分的求法 dx?dy?dz ?x?y?z 方法2：直接兩邊同時求微分，解出du即可.其中要注意應用微分形式的不變性：

?z??z du?dv??v??u dz?? ?z?z?dx?dy ?y???x

三、空間曲線的切線及空間曲面的法平面的求法

?x???t? ? 1）設空間曲線г的參數方程為 ?y???t?，則當t?t0時，在曲線上對應點

?z???t?? ? p0?x0,y0,z0?處的切線方向向量為t???t0?,??t0?,??t0?，切線方程為

?? x?x0y?y0z?z0 ?? ?t0?t0?t0法平面方程為 ??t0??x?x0t0??y?y0t0??z?z0??0 2）若曲面?的方程為f?x,y,z??0，則在點p0?x0,y0,z0?處的法向量

? n??fx,fy,fz? p0，切平面方程為

fx?x0,y0,z0??x?x0??fy?x0,y0,z0??y?y0??fz?x0,y0,z0??z?z0??0 法線方程為

x?x0y?y0z?z0 ?? fxx0,y0,z0fyx0,y0,z0fzx0,y0,z0 若曲面?的方程為z?f?x,y?，則在點p0?x0,y0,z0?處的法向量

? n??fx?x0,y0?,fy?x0,y0?,?1?，切平面方程為

fx?x0,y0??x?x0??fy?x0,y0??y?y0???z?z0??0 法線方程為

x?x0y?y0z?z0 ?? fxx0,y0fyx0,y0?1

四、多元函數極值（最值）的求法 1 無條件極值的求法

設函數z?f?x,y?在點p0?x0,y0?的某鄰域內具有二階連續(xù)偏導數，由fx?x,y??0，fy?x,y??0，解出駐點?x0,y0?，記a?fxx?x0,y0?，b?fxy?x0,y0?，c?fyy?x0,y0?.c?b1）若a 時有極小值.2）若ac?b2?0，則f?x,y?在點?x0,y0?處無極值.3）若ac?b?0，不能判定f?x,y?在點?x0,y0?處是否取得極值.2 2 ?0，則f?x,y?在點?x0,y0?處取得極值，且當a?0時有極大值，當a?0 2 條件極值的求法

函數z?f?x,y?在滿足條件??x,y??0下極值的方法如下：

1）化為無條件極值：若能從條件??x,y??0解出y代入f?x,y?中，則使函數z?z(x,y)成為一元函數無條件的極值問題.2）拉格朗日乘數法

作輔助函數f?x,y??f?x,y?x,y?，其中?為參數，解方程組 篇三：高數下冊公式總結

第八章 向量與解析幾何

第十章 重積分

第十一章曲線積分與曲面積分

篇四：高數下冊積分方法總結

積分方法大盤點

現把我們學了的積分方法做個大總結。

1、二重積分

1.1 x型區(qū)域上二重積分（必須的基本方法）

（1）后x先y積分，d往x軸上的投影得區(qū)間[a,b]；（2）x [a,b]，x=x截d得截線y1(x)＃yy2(x)（小y邊界y=y1(x)大y邊界y=y2(x)）；

（3）b y(x)蝌f(x,y)dxdy= 蝌dx 2f(x,y)dya yd 1(x)1.2 y型區(qū)域上二重積分（必須的基本方法）

（1）后y先x積分，d往y軸上的投影得區(qū)間[c,d]；（2）y [c,d]，y=y截d得截線x1(y)＃xx2(y)（小x邊界x=x1(y)大x邊界x=x2(y)）；

（3）d x蝌f(x,y)dxdy= 蝌dy 2(y)f(x,y)dxc x d 1(y)1.2 極坐標二重積分（為簡單的方法）

（1）總是后q先r積分；（2）b r蝌f(x,y)ds= 蝌dq 2(q)f(rcosq,rsinq)rdra r(q)d 1其中，在d上a是最小的q，b是最大的q；q [a,b]，射線q=q截d得截線r1(q)＃r r2(q)（小r邊界r=r1(q)大r邊界r=r2(q)）。用坐標關系

x=rcosq，y=rsinq和面積元素ds=dxdy=rdqdr代入（多一個因子r）。

當積分區(qū)域d的邊界有圓弧，或被積函數有x2+y2 時，用極坐標計算二重

積分特別簡單。

離 散

數 學

2、三重積分 2.1 二套一方法（必須的基本方法）（1）幾何準備

(i)將積分區(qū)域w投影到xoy面，得投影區(qū)域dxy；

(ii)以dxy的邊界曲線為準線，作一個母線平行于z軸的柱面．柱面將閉區(qū)域w的邊界曲面分割為上、下兩片曲面s2:z=z2(x,y（）大z邊界）；

s 1 :z=z1(x,y（）小z邊界）

（(x,y)dxy，過(x,y)點平行于z軸的直線截w得截線z1(x,y)＃z z2(x,y)）

；（2）z蝌蝌 f(x,y,z)dxdydz=蝌

dxdy2(x,y)f(x,y,z)dzz。

w d1(x,y)xy 還有兩種（w往xoz或yoz面投影）類似的二套一方法（舉一反三）。2.2 一套二方法（為簡單的方法）（1）幾何準備

(i)把w往z投影得輊犏臌 c,d；(ii)任意給定z?輊犏臌

c,d，用平面z=z截w得截面（與z有關）dz；（2）d蝌蝌

f(x,y,z)dxdydz=dz f(x,y,z)dxdy，c 蝌 w dz 還有兩種（w往x或y軸投影）類似的一套二方法（舉一反三）。2.3 柱面坐標計算三重積分（為簡單的方法）

（1）把積分寫成二套一zx,y)蝌蝌

f(x,y,z)dxdydz=蝌

dxdy2(f(x,y,z)dzz,y)w d1(xxy（2）用極坐標計算外層的二重積分

z蝌蝌f(x,y,z)dv= 蝌

dxdy2(x,y)f(x,y,z)dz zw d1(x,y)xyb r2(q)zrcosq,rsinq)= 蝌dqrdr f(rcosq,rsinq,z)dz a r 2(1(q)z 1(rcosq,rsinq)（注意：里層的上下限也要用x=rcosq，y=rsinq代入）。（當用極坐標計算

外層二重積分簡單時。）

還有兩種（w往xoz或yoz面投影的二套一）類似的極坐標計算方法（舉

第1章

集 合

離 散

數 學

2.3 三重積分（為簡單的方法）

x=rcosqsinjy,=rsiqn sjinz=,r jc dv=dxdydz=r 2 sinjdrdqdj個因子r 2 sinj

蝌

f(rcosqsinj,rsinqsinj,rcosj)r 2 sinjdrdqdj w w 下限變成三次積分（總是先r后j最后q積分）

f(x,y,z)dvw b jr dq2(q)dj 2(q,j)

一反三）。

球面坐標計算（1）用坐標關系和o體積元素（多一）代入

蝌蝌f(x,y,z)dv=；（2）三種情況定上蝌

=蝌f(rcosqsinj,rsinqsinj,rcosj)r 2 sinjdr a j 1(q)r 1(q,j)當w是課堂講的三種情況或被積函數有x2+y2+z2時用球面坐標計算簡單。第1章

集 合

3曲線積分 3.1平面情形

（1）準備 ?l:?x=x(t), ?y=y(t)(t?[a,b])ds=

；

?? ,f(x,y)ds= f(x(t),y(tt l a l:?l:y=y(x)(x [a,b])時用x作?í

x=x ?(x?[a,b])當??y=y(x)ì?l:x= x(y)(y [c,數l:?í

x=x(y)??? y=y(y?[c,d])3.2 空間情形

、第一類對弧長的ì

í，（2）代入b蝌。ì

當參數；時用d]y作參。ì??x=x(t)

（1）準備 l:? ? íy=y(t)(t [a,b? ])，ds=

；

z=z(t)蝌f(x,y,z)ds= f(x(t),y(t),z(tt l a y=y(x)??x=x ?(x?[a,b])作參數l:?x)x(ab[,；??z=z(x)í?y=y(] ?? z=z(x)l:?? x=x(y)?z=z(y(y?[c,d])時用y作參數

l:??)? y=y(y [c,d])z=z(y)ì?x=x(??x=x(z)l:? z)?(z?[c,d])作參數l:??í?? y=y(z)? y=y(z)(z [c,d])。z=z 間的特例。

篇五：高數下冊復習知識點總結

下冊復習知識點總結：

（2）代入b。ìì 當l:???í時用x當?? ìì??x=x(y)í í?? ；當 ìí 時用z平面是空高數 8空間解析幾乎與向量代數

1.給定向量的坐標表達式，如何表示單位向量、方向數與方向余弦、投影。

2.向量的數量積、向量積的定義式與坐標式，掌握兩個向量垂直和平行的條件。3.了解常用二次曲面的方程及其圖形，以坐標軸為旋轉軸的旋轉曲面方程。空間曲線在坐標平面上的投影方程。

4.平面方程和直線方程及其求法。

5.平面與平面、平面與直線、直線與直線之間的夾角，利用平面、直線的相互關系（平行、垂直、相交等）解決有關問題。

6.點到直線以及點到平面的距離。

多元函數微分法及其應用

1.有關偏導數和全微分的求解方法，偏導要求求到二階。

2.復合函數的鏈式法則，隱函數求導公式和方法。

3.空間曲線的切線和法平面方程，空間曲面的切平面與法線方程；函數沿著一條直線的方向導數與梯度。4.利用充分條件判斷函數的極值問題；利用拉格朗日乘子法（即條件極值）分析實際問題或給定函數的最值問題。

重積分

1.二重積分直角坐標交換積分次序；選擇合適的坐標系計算二重積分。

2.選擇合適的坐標系計算三重積分。

3.利用二重積分計算曲面的面積；利用三重積分計算立體體積；

4.利用質心和轉動慣量公式求解問題。

11曲面積分與曲線積分

1.兩類曲線積分的計算與聯系；

2.兩類曲面積分的計算與聯系；

3.格林公式和高斯公式的應用。

第三篇：高數下冊總結

第四講 向量代數、多元函數微分與空間解析幾何

一、理論要求 1.向量代數 理解向量的概念（單位向量、方向余弦、模）了解兩個向量平行、垂直的條件 向量計算的幾何意義與坐標表示

理解二元函數的幾何意義、連續(xù)、極限概念，閉域性質 理解偏導數、全微分概念 能熟練求偏導數、全微分

熟練掌握復合函數與隱函數求導法

理解多元函數極值的求法，會用Lagrange乘數法求極值 掌握曲線的切線與法平面、曲面的切平面與法線的求法 會求平面、直線方程與點線距離、點面距離 2.多元函數微分

3.多元微分應用 4.空間解析幾何

二、題型與解法 A.求偏導、全微分

1.f(x)有二階連續(xù)偏導，z?f(exsiny)滿足zxx?zyy?ez，求

''''2xf(x)

解：f''?f?0?f(u)?c1eu?c2e?u

1?2z2.z?f(xy)?y?(x?y)，求

x?x?y3.y?y(x),z?z(x)由z?xf(x?y),F(x,y,z)?0決定，求dz/dx

B.空間幾何問題

4.求和。解：x/2x?y?z?a上任意點的切平面與三個坐標軸的截距之

x0?y/y0?z/z0?a?d?a

225.曲面x?2y?3z?21在點(1,?2,2)處的法線方程。

C.極值問題

2226.設z?z(x,y)是由x?6xy?10y?2yz?z?18?0確定的函數，求z?z(x,y)的極值點與極值。

三、補充習題（作業(yè)）

xy?2z1.z?f(xy,)?g(),求

yx?x?y2.z?f(xy,xy?z?g()),求 yx?x3.z?u,u?lnx?y,??arctan?22y,求dz

x第五講 多元函數的積分

一、理論要求 1.重積分

2.曲線積分

3.曲面積分

二、題型與解法 A.重積分計算 熟悉二、三重積分的計算方法（直角、極、柱、球）

?b2(x)??f(x,y)dxdy????adx?yy1(x)f(x,y)dy D????2?r2(?)?1d?r1(?)f(r,?)rdr?by2??(x)z2(x,y)adx?y1(x)dy?z1(x,y)f(x,y,z)dz???f(x,y,z)dxdydz???V??z2z1dz??2(z)r2(z,?)?1(z)d??r1(z,?)f(r,?,z)rdr ?????2(?)r2(?,?),?)r2?d???1(?)d??r1(?,?)f(r,?sin?dr會用重積分解決簡單幾何物理問題（體積、曲面面積、重心、轉動慣量）z?f(x,y)?A???1?z'22Dx?z'ydxdy

理解兩類曲線積分的概念、性質、關系，掌握兩類曲線積分的計算方法

?L:y?y(x)??bf(x,y(x))1?y'2?axdx?Lf(x,y)dl???L:???x?x(t)?y?y(t)????f(x(t),y(t))x'2t?y'2tdt

??L:r?r(?)????f(rcos?,rsin?)r2?r'2d?熟悉Green公式，會用平面曲線積分與路徑無關的條件

理解兩類曲面積分的概念（質量、通量）、關系 熟悉Gauss與Stokes公式，會計算兩類曲面積分

??S:z?z(x,y)f(x,y,z)dS???f(x,y,z(x,y))1?z'22x?z'ydxdyGauss:????Dxy?SE?dS??????EdV(通量，散度）Stokes:???V?LF?dr???S(??F?)?dS(旋度）22?y21.I?????(x?y)dV,?為平面曲線??2z0繞z軸旋轉一周與z=8

?x?的圍域。解：I??82282?2z0dz??x2?y2?2z(x?y)dxdy??0dz?0d??0r2rdr?1024?3

2.I???x2?y24a2?x2?y22Ddxdy,D為y??a?a2?x2(a?0)與y??x圍域。（I?a(?21?)162?x2y,1?x?2,0?y?x3.f(x,y)??，?0,其他求

??Df(x,y)dxdy,D:x2?y2?2x

(49/20)B.曲線、曲面積分 4.I?(exsiny?b(x?y))dx?(excosy?ax)dy

?L L從A(2a,0)沿y?2ax?x2至O(0,0)

解：令L1從O沿y?0至A

I?L?L1??????(b?a)dxdy??(?bx)dx?(L1D02a?2?2)a2b??2a3

5.I?xdy?ydx?L4x2?y2,L為以(1,0)為中心，R(?1)為半徑的圓周正向。

解：取包含(0,0)的正向L1:?

?2x?rcos?，?y?rsin?LL?L1?????LL1?0????L1??

6.對空間x>0內任意光滑有向閉曲面S，??Sxf(x)dydz?xyf(x)dzdx?e2xzdxdy?0，且f(x)在x>0有連續(xù)一

x??0?階導數，limf(x)?1,求f(x)。

???0???F?dS??????FdV????(f(x)?xf'(x)?xf(x)?e2x)dV 解：

s??112xexx(e?1)

y'?(?1)y?e?y?xxx第七講 無窮級數

一、理論要求

1.收斂性判別 級數斂散性質與必要條件

常數項級數、幾何級數、p級數斂散條件 正項級數的比較、比值、根式判別法 2.冪級數

3.Fourier級數 交錯級數判別法

冪級數收斂半徑、收斂區(qū)間與收斂域的求法

冪級數在收斂區(qū)間的基本性質（和函數連續(xù)、逐項微積分）Taylor與Maclaulin展開

了解Fourier級數概念與Dirichlet收斂定理 會求[?l,l]的Fourier級數與[0,l]正余弦級數

第四篇：同濟六版上冊高數總結(一些重要公式及知識點)

同濟六版上冊高數總結

微分公式與積分公式

(tgx)??secx

(ctgx)???csc2x

(secx)??secx?tgx(cscx)???cscx?ctgx(ax)??axlna

1(logax)??xlna2(arcsinx)??1?x21(arccosx)????x21(arctgx)??1?x21(arcctgx)???1?x2?tgxdx??lncosx?C?ctgxdx?lnsinx?C?secxdx?lnsecx?tgx?C?cscxdx?lncscx?ctgx?Cdx1x?arctg?C?a2?x2aa

dx1x?a?ln?x2?a22ax?a?Cdx1a?x??a2?x22alna?x?Cdxx?arcsin?C?a2?x2a

?

2ndx2?cos2x??secxdx?tgx?Cdx2?csc2?sinx?xdx??ctgx?C?secx?tgxdx?secx?C?cscx?ctgxdx??cscx?Cax?adx?lna?Cx?shxdx?chx?C?chxdx?shx?C?dxx2?a2?ln(x?x2?a2)?C?

2In??sinxdx??cosnxdx?00n?1In?2n

?

?

?

x2a22x?adx?x?a?ln(x?x2?a2)?C22x2a2222x?adx?x?a?lnx?x2?a2?C22x2a2x222a?xdx?a?x?arcsin?C22a22

三角函數的有理式積分：

2u1?u2x2du

sinx?，cosx?，u?tg，dx?

21?u21?u21?u2

兩個重要極限：

公式1lim

sinx

?1公式2lim(1?x)1/x?e

x?0x?0x

有關三角函數的常用公式

和差角公式：

和差化積公式：

sin??sin??2sin

sin(???)?sin?cos??cos?sin?cos(???)?cos?cos??sin?sin?tg(???)?

tg??tg?1?tg??tg?ctg??ctg??

1ctg(???)?

ctg??ctg?

???

22??????

sin??sin??2cossin

22??????

cos??cos??2coscos

22??????

cos??cos??2sinsin

cos

???

三倍角公式:半角公式：

sin(3α)=3sinα-4sin^3(α)sin(α/2)=±√(1-cosα)/2cos(3α)=4cos^3(α)-3cosαCos(α/2)=±√(1+cosα)/2

降冪公式:萬能公式：

sin^2(α)=(1-cos(2α))/2=versin(2α)/2sinα=2tan(α/2)/[1+tan^2(α/2)]cos^2(α)=(1+cos(2α))/2=covers(2α)/2cosα=[1-tan^2(α/2)]/[1+tan^2(α/2)]tan^2(α)=(1-cos(2α))/(1+cos(2α))tanα=2tan(α/2)/[1-tan^2(α/2)]

推導公式

tanα+cotα=2/sin2αtanα-cotα=-2cot2α1+cos2α=2cos^2α1-cos2α=2sin^2α1+sinα=(sinα/2+cosα/2)^2

abc

???2R正弦定理：

sinAsinBsinC

余弦定理： c2?a2?b2?2abcosC反三角函數性質：arcsinx?arccosx?

?

arctgx?arcctgx?

?

(特別要注意這兩個恒等式，證明的話，只需做出左邊的函數的導數為0即可）

高階導數公式——萊布尼茲（Leibniz）公式：

(uv)

(n)

k(n?k)(k)

??Cnuvk?0n

?u(n)v?nu(n?1)v??

n(n?1)(n?2)n(n?1)?(n?k?1)(n?k)(k)

uv?????uv???uv(n)

2!k!

中值定理與導數應用：

拉格朗日中值定理：f(b)?f(a)?f?(?)(b?a)f(b)?f(a)f?(?)

?

F(b)?F(a)F?(?)

當F(x)?x時，柯西中值定理就是拉格朗日中值定理。

曲率：

弧微分公式：ds??y?2dx,其中y??tg?平均曲率：K?

??

??:從M點到M?點，切線斜率的傾角變化量；?s：MM?弧長。?s

y????d?

M點的曲率：K?lim??.23?s?0?sds(1?y?)

直線：K?0;1

半徑為a的圓：K?.a

定積分的近似計算：

b

?f(x)?

ab

b?a

(y0?y1?L?yn?1)n

b?a1

[(y0?yn)?y1?L?yn?1] n2

?f(x)?

a

定積分應用相關公式：

功：W?F?s

水壓力：F?p?A

mm

引力：F?k122,k為引力系數

r

b1

函數的平均值：y?f(x)dx?b?aa12f(t)dt?b?aa

b

微分方程的相關概念：

一階微分方程：y??f(x,y)或　P(x,y)dx?Q(x,y)dy?0

可分離變量的微分方程：一階微分方程可以化為g(y)dy?f(x)dx的形式，解法：

?g(y)dy??f(x)dx得：G(y)?F(x)?C稱為隱式通解。

dyy

?f(x,y)??(x,y)，即寫成的函數，解法：dxx

ydydududxduy設u?，則?u?x，u???(u)，??代替u，xdxdxdxx?(u)?ux齊次方程：一階微分方即得齊次方程通解。

一階線性微分方程：

dy

1?P(x)y?Q(x)

dx

?P(x)dx

當Q(x)?0時,為齊次方程，y?Ce?

當Q(x)?0時，為非齊次方程，y?(?Q(x)e?dy

2?P(x)y?Q(x)yn，(n?0,1)

dx

P(x)dx

dx?C)e?

?P(x)dx

全微分方程：

如果P(x,y)dx?Q(x,y)dy?0中左端是某函數的全微分方程，即：

?u?u

du(x,y)?P(x,y)dx?Q(x,y)dy?0?P(x,y)?Q(x,y)

?x?y?u(x,y)?C應該是該全微分方程的通解。

二階微分方程：

f(x)?0時為齊次d2ydy

?P(x)?Q(x)y?f(x)2

dxdxf(x)?0時為非齊次

二階常系數齊次線性微分方程及其解法：

(*)y???py??qy?0，其中p,q為常數；求解步驟：

1、寫出特征方程：(?)r2?pr?q?0，其中r2，r的系數及常數項恰好是(*)式中y??,y?,y的系數；

2、求出(?)式的兩個根r1,r23、根據r1,r2的不同情況，按下表寫出(*)式的通解：

二階常系數非齊次線性微分方程

y???py??qy?f(x)，p,q為常數f(x)?e?xPm(x)型，?為常數；f(x)?e?x[Pl(x)cos?x?Pn(x)sin?x]型

第五篇：高數下冊各類積分方法總結

綜述：高數下冊，共有如下幾類積分：二重積分，三重積分，第一類線積分，第二類線積分，第一類面積分，第二類面積分。其中，除線積分外，個人認為，拿到題后，首先應用對稱性把運算簡化，線積分的對稱性，不太常用，可以參照面積分的對稱性，將積分曲面換成積分曲線即可，恕不贅述。另外要注意線積分和面積分的方向性，線積分以逆時針為正方向，面積分以坐標軸正向為正方向。二重積分 對稱性：

積分區(qū)間D關于X軸對稱：被積函數是關于Y的奇函數，則結果為0：

被積函數是關于Y的偶函數，則結果為在一半區(qū)間上積分的2倍 方法：分別對x、y積分，將其中一個變量寫成另一個的表達形式||極坐標換元 三重積分 對稱性：

積分區(qū)間Ω關于xy面對稱：被積函數是關于z的奇函數，則結果為0；

被積函數是關于z的偶函數，則結果為在一半區(qū)間上積分的2倍 方法：先重后單||先單后重（極坐標）||柱坐標||球坐標

第一類線積分

x,y,z型：具有關于參數t的表達試，用基本公式，轉化成關于t的積分

x,y型：排除上一種條件的話，通常將y表示為關于x的函數，轉化成關于x的積分

第二類線積分 方法：

1、用曲線的切線的方向角余弦，轉化成第一類線積分

2、有參數t，可以轉化成關于t的積分

3、將y表示為關于x的函數，轉化成關于x的積分

4、封閉曲線，通常自己構造，可采用格林公式轉化為二重積分 另：注意與路徑無關的積分

第一類面積分 對稱性：

積分曲面關于XY面對稱：被積函數是關于z的奇函數，則結果為0：

被積函數是關于z的偶函數，則結果為在一半曲面上積分的2倍

計算方法：常規(guī)的話，只有一種，轉化為關于x或y或z的積分。詳見書本上的公式。

第二類面積分 對稱性:

積分曲面關于XY面對稱：被積函數是關于z的偶函數，則結果為0：

被積函數是關于z的奇函數，則結果為在一半曲面上積分的2倍（注意區(qū)別于第一類）計算方法：

1、用曲面的切線的方向角余弦，轉化成第一類面積分

2、轉化為二重積分，直接在前面添正負號即可

3、封閉曲面，可以用高斯公式，轉化為三重積分，一般封閉曲面都是人為構造的，所以注意減掉構造面，并注意方向

4、斯托克斯公式，轉化為第二類線積分，不常用

PS：用函數表達式，可以化簡線面積分的被積函數，另有積分相關考點，旋度，散度，質量，質心，轉動慣量，求曲面?zhèn)让婷娣e，頂面面積，曲頂柱體體積~~~多多復習，牢記公式，一定可以渡過積分這個難關~