第一篇：高數(shù)極限求法總結

首先說下我的感覺，假如高等數(shù)學是棵樹木得話，那么 極限就是他的根，函數(shù)就是他的皮。樹沒有跟，活不下去，沒有皮，只能枯萎，可見這一章的重要性。

為什么第一章如此重要？ 各個章節(jié)本質上都是極限，是以函數(shù)的形式表現(xiàn)出來的，所以也具有函數(shù)的性質。函數(shù)的性質表現(xiàn)在各個方面

首先 對 極限的總結 如下

極限的保號性很重要 就是說在一定區(qū)間內(nèi) 函數(shù)的正負與極限一致 極限分為 一般極限，還有個數(shù)列極限，（區(qū)別在于數(shù)列極限時發(fā)散的，是一般極限的一種）

2解決極限的方法如下：（我能列出來的全部列出來了！！！你還能有補充么？？？）1 等價無窮小的轉化，（只能在乘除時候使用，但是不是說一定在加減時候不能用 但是前提是必須證明拆分后極限依然存在）e的X次方-1 或者（1+x）的a次方-1等價于Ax 等等。全部熟記

（x趨近無窮的時候還原成無窮小）

2落筆他 法則（大題目有時候會有暗示 要你使用這個方法）

首先他的使用有嚴格的使用前提！！！

必須是 X趨近而不是N趨近！！！！（所以面對數(shù)列極限時候先要轉化成求x趨近情況下的極限，當然n趨近是x趨近的一種情況而已，是必要條件（還有一點 數(shù)列極限的n當然是趨近于正無窮的 不可能是負無窮！）

必須是 函數(shù)的導數(shù)要存在！！！！（假如告訴你g（x）, 沒告訴你是否可導，直接用無疑于找死！）

必須是 0比0 無窮大比無窮大！！！！！

當然還要注意分母不能為0 落筆他 法則分為3中情況 0比0 無窮比無窮 時候 直接用 0乘以無窮 無窮減去無窮（應為無窮大于無窮小成倒數(shù)的關系）所以 無窮大都寫成了無窮小的倒數(shù)形式了。通項之后 這樣就能變成1中的形式了 3 0的0次方 1的無窮次方 無窮的0次方

對于（指數(shù)冪數(shù)）方程 方法主要是取指數(shù)還取對數(shù)的方法，這樣就能把冪上的函數(shù)移下來了，就是寫成0與無窮的形式了，（這就是為什么只有3種形式的原因，LNx兩端都趨近于無窮時候他的冪移下來趨近于0 當他的冪移下來趨近于無窮的時候 LNX趨近于0）

3泰勒公式(含有e的x次方的時候，尤其是含有正余旋 的加減的時候要 特變注意！！）

E的x展開 sina 展開 cos 展開 ln1+x展開 對題目簡化有很好幫助

4面對無窮大比上無窮大形式的解決辦法

取大頭原則 最大項除分子分母！！！！！！看上去復雜處理很簡單！！！！！

5無窮小于有界函數(shù)的處理辦法

面對復雜函數(shù)時候，尤其是正余旋的復雜函數(shù)與其他函數(shù)相乘的時候，一定要注意這個方法。

面對非常復雜的函數(shù) 可能只需要知道它的范圍結果就出來了！！

6夾逼定理（主要對付的是數(shù)列極限！）

這個主要是看見極限中的函數(shù)是方程相除的形式，放縮和擴大。

7等比等差數(shù)列公式應用（對付數(shù)列極限）（q絕對值符號要小于1）

8各項的拆分相加（來消掉中間的大多數(shù)）（對付的還是數(shù)列極限）可以使用待定系數(shù)法來拆分化簡函數(shù)

9求左右求極限的方式（對付數(shù)列極限）例如知道Xn與Xn+1的關系，已知Xn的極限存在的情況下，xn的極限與xn+1的極限時一樣的，應為極限去掉有限項目極限值不變化2 個重要極限的應用。這兩個很重要！！！對第一個而言是X趨近0時候的sinx與x比值。地2個就如果x趨近無窮大 無窮小都有對有對應的形式（地2個實際上是 用于 函數(shù)是1的無窮的形式）（當?shù)讛?shù)是1 的時候要特別注意可能是用地2 個重要極限）還有個方法，非常方便的方法

就是當趨近于無窮大時候

不同函數(shù)趨近于無窮的速度是不一樣的！！！！！！！！

x的x次方 快于 x！快于 指數(shù)函數(shù) 快于 冪數(shù)函數(shù) 快于 對數(shù)函數(shù)（畫圖也能看出速率的快慢）！！！當x趨近無窮的時候 他們的比值的極限一眼就能看出來了 換元法 是一種技巧，不會對模一道題目而言就只需要換元，但是換元會夾雜其中

13假如要算的話 四則運算法則也算一種方法，當然也是夾雜其中的

14還有對付數(shù)列極限的一種方法，就是當你面對題目實在是沒有辦法 走投無路的時候可以考慮 轉化為定積分。一般是從0到1的形式。

15單調(diào)有界的性質

對付遞推數(shù)列時候使用 證明單調(diào)性！！！

16直接使用求導數(shù)的定義來求極限，（一般都是x趨近于0時候，在分子上f（x加減麼個值）加減f（x）的形式，看見了有特別注意）

（當題目中告訴你F(0)=0時候 f（0）導數(shù)=0的時候 就是暗示你一定要用導數(shù)定義！！）

（從網(wǎng)上發(fā)現(xiàn)，謝謝總結者）

第二篇：淺析極限的若干求法

科技信息 ○高校講臺○ SCIENCE & TECHNOLOGY INFORMATION

2007 年第 23 期

淺析極限的若干求法

孟金濤

(鄭州航空工業(yè)管理學院數(shù)理系河南 鄭州 450015)

摘要: 極限理論是高等數(shù)學的基礎, 本文給出了極限的若干求法, 并用具體實例加以說明。關鍵詞: 極限;表達式;等價無窮小

極限理論是高等數(shù)學的基礎, 極限問題是高等數(shù)學中困難問題之

a +a +?+a

xx

x n

一。中心問題有兩個: 一是證明極限的存在性, 二是求極限的值。兩個 問題密切相關: 若求出了極限的值, 自然極限的存在性也就證明了。反 之, 證明了存在性, 常常也就為求極限鋪平了道路。

利用定義證明極限的存在, 有一先決條件, 即事先要知道極限的 猜測值。通常情況下我們都不知道表達式的極限值, 那么如何根據(jù)表

→0

a1

+lim

x→0

+?+lim x a21 x→0 x→

1解】【(1)將根式有理化, 于是有原式為

x

解】令 t=-x,則 x→∞時, t→∞。于是lim(1-)=lim(1+)= 【

x→∞ t→∞ x t e

x

-t

=1 lim x→0x

(enπ)=sin2 【π, 由于初等函數(shù)在有定義的地方都連續(xù),=sin

π

=sin項趨向于零求極限。1+

(1)利用收斂級數(shù)的通項趨向于零求極限。(2)利用收斂級數(shù)的余 2 π2lim =1。

原極限=sinn→∞ 2 +

1n

12×13×?×(n+10)例 9】求下列極限lim 【x, 其中(1)xn= 11×

十一、利用導數(shù)定義求極限n→∞ n

2×5×8?×(3n-1)

f(x-3h)-f(x0)例 11】設 f(x)在 x0 處可導, 求lim 0 【(2)xn=?+ h→0 2 2

2n)n+1 *(2n)

原極限=lim= 0 =arctan1= π 20n→∞ n i=11+x 4 i)

九、利用收斂級數(shù)的性質求極限,-

nπ

n+n +n

*)-

*

xn+1解】【(+當 x→∞時), 所以正項級數(shù) 1)由于 +x

n 3n+2 3 n =

1收斂, 從而可得通項 xn→0(當 n→∞時)。

∞

∞

∞

解】由導數(shù)定義有【

f(x03h)-f(x0)

h→0

lim

h→0

=lim

h

·(1

=0

Mathematics of Computation,1995,64:1147-1170.[ 2] A.R.Conn and Ph.L.Toint.An algorithm using quadratic interpolation for unconstrained derivative free optimization[ A].In G.Di Pillo and F.Gianessi, editors,Nonlinear Optimization and Applications [ M] ,New York, Plenum Publishing, 1996,27-47.[ 3] A.R.Conn,K.ScheinbergandPh.L.Toint.Ontheconvergenceof derivative-free methods for unconstrained optimization[ A].In A.Iserles andM.Buhmann,editors,ApproximationTheoryandOptimization: Tributes to M.J.D.Powell [ C] , Cambridge,UK,Cambridge University Press, 1997,83-103.[ 4] J.J.More and D.C.Sorensen.Computing a trust region step [ J].SIAM J.Sci.Stat.Comput,1983,4(3):553-572.Kef

≤Kk

2Kef

max$△k,△ kKgk

△k

(上接第 480 頁)實可行的財務風險防范措施。

從單個企業(yè)來講, 收益不足是導致財務風險的主要因素, 經(jīng)營收 入扣除經(jīng)營成本費用稅金等經(jīng)營費用后是經(jīng)營收益, 如果從經(jīng)營收益 開始就已經(jīng)虧損, 說明企業(yè)已近破產(chǎn)倒閉, 即使總收益為盈利, 可能是 由于非主營業(yè)務或營業(yè)外收入所形成利潤增加, 如出售手中持有有價 證券、固定資產(chǎn)等;如果經(jīng)營收益為盈利, 而總收益為虧損, 問題不太 嚴重的話,說明已經(jīng)出現(xiàn)危機信號, 但是可以正常經(jīng)營的, 這是因為企 業(yè)的資本結構不合理, 舉債規(guī)模大,利息負擔重所致。企業(yè)必須針對財

務指標的評價采取有效措施加以調(diào)整。

綜上所述,利用財務指標的評價, 找出企業(yè)的薄弱環(huán)節(jié), 制定出企 業(yè)的籌資活動、投資活動、資金回收、收益分配策略及措施, 防范規(guī)避 財務風險,才能使企業(yè)長久穩(wěn)定健康發(fā)展。

[ 1] 溫素彬, 薛恒新.基于科學發(fā)展觀的企業(yè)三重績效評價模型[J].會計

研究.[ 2] 王化成, 劉俊勇, 孫薇.企業(yè)業(yè)績評價[M].北京: 中國人民大學出版

參考文社.獻

488

第三篇：高數(shù)極限習題

第二章 導數(shù)與微分

典型例題分析

客觀題

例 1 設f(x)在點x0可導,a,b為常數(shù),則limf(x0?a?x)?f(x0?b?x)?xab?x?0?()

f?(x0)Aabf?(x0)

B(a?b)f?(x0)

C(a?b)f?(x0)

D

答案 C

解

f(x0?a?x)?f(x0?b?x)lim??x?0?x[f(x0?a?x)?f(x0)]?[f(x0?b?x)?f(x0)]?lim? ?x?0?x

f(x0?b?x)?f(x0)f(x0?a?x)?f(x0)?blim

?alim

?x?0?x?0b?xa?x

?(a?b)f?(x0)

例2（89303）設f(x)在x?a的某個鄰域內(nèi)有定義,則f(x)在x?a處可導的一個充分條件是（）1????f(a?2h)?f(a?h)(A)limh?f?a???f(a)?存在(B)lim存在h?0h???hh????(C)limf(a?h)?f(a?h)2hh?0存在(D)limf(a)?f(a?h)h存在h?0答案 D

解題思路

(1)對于答案(A)，不妨設

1h??x，當h???時，?x?0，則有

?1?f(a??x)?f(a)???limh?f?a???f(a)??lim存在，這只表明f(x)在x?a處h????x?0h??x???右導數(shù)存在,它并不是可導的充分條件,故(A)不對.?(2)對于答案(B)與(C),因所給極限式子中不含點a處的函數(shù)值f(a)，因此與導數(shù)概念不相符和.例如，若取

?1,x?af(x)??

0,x?a?則(B)與(C)兩個極限均存在，其值為零，但limf(x)?0?f(a)?1，從而f(x)在x?ax?a處不連續(xù)，因而不可導，這就說明(B)與(C)成立并不能保證f?(a)存在，從而(B)與(C)也不對.(3)記?x??h,則?x?0與h?0是等價的,于是 limf(a)?f(a?h)hh?0??limf(a?h)?f(a)hh?0?limf(a?h)?f(a)?h

h?0?x所以條件D是f?(a)存在的一個充分必要條件.例3(00103)設f(0)?0,則f(x)在點x?0可導的充要條件為()?x?0?limf(a??x)?f(a)?f?(a)(A)lim1h1h2h?0f(1?cosh)存在(B)lim1h1hh?0f(1?e)存在

h(C)limh?02f(h?sinh)存在(D)limh?0?f(2h)?f(h)?存在

答案 B

解題思路

(1)當h?0時, 1?coshhh?02limf(1?cosh)h2h?0?lim2f(1?cosh)?f(0)h2?1.所以如果f?(0)存在,則必有

?limf(1?cosh)?f(0)1?coshh?0?lim1?coshh2h?0若記u?1?cosh,當h?0時,u?0,所以

f(1?cosh)?f(0)f(u)?f(0)lim?lim?f?(0)h?0h?01?coshu于是

?limf(1?cosh)h2h?0?12f?(0)

1h2這就是說由f?(0)存在能推出limh?0f(1?cosh)存在.?h0,而不是u?0,因此 但是由于當h?0時,恒有u?1?cos?1f(x)?f(0)f??(0)?limlim2f(1?cosh)存在只能推出存在,而不能推出f?(0)h?0hx?0x存在.?

(2)當h?0時, 1?e??h?o(h),于是

hlimf(1?e)hhh?0?limf(?h?o(h))?f(0)hh?0??limf(?h?o(h))?f(0)?h?o(h)

h?0 由于當h?0時, ?h?o(h)既能取正值,又能取負值,所以極限limf(?h?o(h))?f(0)?h?o(h)h?0存在與limf(h)?f(0)hh?0?f?(0)存在是互相等價的.因而

極限lim1hh?0hf(1?e)存在與f?(0)存在互相等價.(3)當h?0時, 用洛比塔法則可以證明limlimf(h?sinh)h2h?0,所以 6hf(h?sinh)?f(0)h?sinh?lim?lim?h 3h?0h?0h?sinhhh?03h?sinh?1由于h?0,于是由極限limf(h?sinh)?f(0)h?sinhh?0?limh?sinhh3h?0?h存在未必推出h?sinh(4)f(x)在點x?0可導一定有(D)存在,但(D)存在不一定f(x)在點x?0可導.h?0limf(h?sinh)?f(0)也存在,因而f?(0)未必存在.例 4(98203)函數(shù)f(x)?(x?x?2)|x?x|有()個不可導點

(A)0(B)1(C)2(D)3

答案 C

解題思路 當函數(shù)中出現(xiàn)絕對值號時,不可導的點就有可能出現(xiàn)在函數(shù)的零點,因為函數(shù)零點是分段函數(shù)的分界點.因此需要分別考察函數(shù)在點x0?0,x1?1,x2??1考察導數(shù)的存在性.解 將f(x)寫成分段函數(shù):

23?(x2?2?(xf(x)??2?(x?(x2??x?2)x(1?x),?x?2)x(x?1),?x?2)x(1?x),?x?2)x(x?1),2222x??1,?1?x?0,0?x?1,1?x.(1)在x0?0附近,f(x)寫成分段函數(shù):

22?x(x?x?2)(x?1),x?0?23 f(x)?(x?x?2)|x?x|??22??x(x?x?2)(1?x),x?0容易得到

f(x)?f(0)22?f?(0)?lim?lim(x?x?2)(x?1)?2

??x?0x?0xf(x)?f(0)22f??(0)?lim?lim(x?x?2)(1?x)??2

??x?0x?0x由于f??(0)?f??(0),所以f?(0)不存在.(2)在x1?1附近,f(x)寫成分段函數(shù):

2?x(1?x)(x?x?2)(1?x),x?1?23f(x)?(x?x?2)|x?x|??

2??x(1?x)(x?x?2)(x?1),x?1f(x)?f(1)2?f?(1)?lim?limx(1?x)(x?x?2)??4

??x?1x?1x?1f(x)?f(1)2f??(1)?lim?limx(1?x)(x?x?2)??4

??x?1x?1x?1由于f??(1)?f??(1),所以f?(1)不存在.(3)在x2??1附近,f(x)寫成分段函數(shù):

2?x(1?x)(x?x?2)(x?1),x??1?23f(x)?(x?x?2)|x?x|??

2??x(1?x)(x?x?2)(x?1),x??1f??(?1)?limf(x)?f(?1)?x??1x?0x?1由于f??(?1)?f??(?1)?0,所以f?(?1)存在.x??1??f??(?1)?limx?1f(x)?f(?1)??limx??1?x(x?1)(x22?x?2)?0

?limx(x?1)(x?x?2)?0

綜合上述分析,f(x)有兩個不可導的點.例5(95103)設f(x)具有一階連續(xù)導數(shù),F(x)?f(x)?(1?|sinx|),則f(0)?0是F(x)在x?0處可導的()

(A)必要但非充分條件

(B)充分但非必要條件

(C)充分且必要條件

(D)既非充分也非必要條件

答案 C

分析 從F(x)在x?0的導數(shù)定義著手.將F(x)?f(x)?(1?|sinx|)?f(x)?f(x)?|sinx| 解

F(x)?F(0)f(x)?f(0)f(x)|sinx|?f(0)|sin0|?lim?limF??(0)?lim

x?0x?0x?0x?0x?0x?0

?f?(0)?f(0)

f(x)?f(0)f(x)|sinx|?f(0)|sin0|F(x)?F(0)?lim?limF??(0)?lim

???x?0x?0x?0x?0x?0x?0?f?(0)?f(0)

于是推知F??(0)?F??(0)的充分必要條件是f(0)?0.??? 例6(92103)設函數(shù)f(x)?3x?x|x|,則使f32(n)(0)存在的最高階數(shù)n?().(A)0

(B)1(C)

2(D)3

答案 C

解題思路 應先去掉f(x)中的絕對值,將f(x)改寫為分段函數(shù)

?2x3 f(x)?3x?x|x|??3?4x32x?0x?0x?0x?0

?2x3 解 由f(x)?3x?x|x|??3?4x32

?6x2得f?(x)??2?12xx?0x?0

?12x且f??(x)???24x又f??(0)?limx?0??12 f???(x)??x?0?24x?0x?0x?0

f(x)?f(0)x?0?limx?02x?0?3x?0?0,f??(0)?limf(x)?f(0)?x?0x?0?limx?04x?0?3x?02?0

所以f?(0)存在.f???(0)?limf?(x)?f?(0)?x?0x?0??limx?06x?0?x?012x??0 ?0?0 f???(0)?limf?(x)?f?(0)x?02?limx?0x?0x?0所以f??(0)存在.f????(0)?limf??(x)?f??(0)?x?0x?0??limx?012x?0?x?0??12

x?0即f????(0)?f????(0).因而使fx?0f????(0)?limf??(x)?f??(0)?24

x?0(n)(0)存在的最高階數(shù)是2.x?0?lim24x?0

例7 f(x)?cos|x|?x2|x|存在的最高階導數(shù)的階數(shù)等于（）

A

0

B 1

C 2

D 3 答案 C 解題思路 注意cos|x|?cosx,所以只需考察x|x|在點x?0的情況.例8(96203)設??0,f(x)在區(qū)間(??,?)內(nèi)有定義，若當x?(??,?)時，恒有f(x)?x，則x?0必是f(x)的（）

(A)間斷點，(B)連續(xù)而不可導的點，(C)可導的點，且2f'(0)?0

(D)可導的點，且f'(0)?0

答案

C

解 由題目條件易知f(0)?0,因為

|所以由夾逼定理

f(x)?f(0)x|?|f(x)xf(x)x|?|x2x|

2lim|x?0f(x)?f(0)x|?lim|x?0|?lim|x?0xx|?0

于是f?(0)?0.?1?e?x?,x?0, 則f?(0)為（）

例9(87103)設f(x)??x?0,x?0.?

1(A)0

(B)

(C)1

(D)?1

2答案

(C)

解題思路

因f(x)為分段函數(shù),故它在分段點處的導數(shù)應按導數(shù)的定義，又由于是未定式,可用洛必達法則求極限.200型解

1?e f?(0)?lim?x2f(x)?f(0)x?0u?limx?0x?0xx?0?0?lim1?ex?x2x?02?x

2當u?0時,e ?1與u是等價無窮小,所以當x?0時,1?e與x是等價無窮小.因而

2lim1?ex?x2x?02?1

12,則?x?0時,f(x)在x0處的微分dy與

例10(88103)設f(x)可導且f?(x0)??x比較是()的無窮小.(A)等價(B)同階(C)低階(D)高階

答案 B

解題思路

根據(jù)y?f(x)在x?x0處的微分的定義:dy?f?(x0)?x.?x12 解 lim?lim?,可知dy與?x是同階的無窮小.?x?0?x?x?0?x21??xsin,x?0

例11(87304)函數(shù)f(x)??在x?0處（）x?x?0?0,dy

(A)連續(xù),且可導

(B)連續(xù),不可導

(C)不連續(xù)

(D)不僅可導,導數(shù)也連續(xù)

答案 B

解題思路

一般來說,研究分段函數(shù)在分段點處的連續(xù)性時,應當分別考察函數(shù)的左右極限;在具備連續(xù)性的條件下,為了研究分段函數(shù)在分界點處可導性,應當按照導數(shù)定義,或者分別考察左右導數(shù)來判定分段函數(shù)在分段點處的導數(shù)是否存在.因此,本題應分兩步:(1)討論連續(xù)性;(2)討論可導性.解(1)討論函數(shù)在點x?0處的連續(xù)性

1?0?f(0),可知函數(shù)f(x)在點x?0處是連續(xù)的.由于limf(x)?limxsinx?0x?0x

(2)討論函數(shù)在點x?0處的可導性

1xsin?0f(x)?f(0)1x?lim?limsin

由于lim不存在,所以,函數(shù)f(x)在點

x?0x?0x?0x?0xxx?0處不可導.??x

例12 設f(x)????p必須滿足（）p1sin01x,x?0,x?0 在點x?0可導,但是f?(x)導數(shù)在點x?0不連續(xù),則

A0?p?1

B1?p?2

C0?p?2

D1?p?答案 B

解題思路

(1)當p?1時,下述極限不存在: x因此f?(0)不存在.當p?1時, x?0limf(x)?f(0)xsin?limx?0p1x?limxp?1sin1

x?0xxx所以f?(0)?0.x?0limf(x)?f(0)xsin?limx?0p1x?limxp?1sin1?0

x?0xx這就是說,只有當p?1時, f?(0)才存在,所以選項A,C可以被排除.(2)當p?1時

0,x?0?? f?(x)??11p?1p?2sin?xcos,x?0?pxxx?當且僅當p?2?0,即p?2時,limf?(x)?0?f?(0),所以當且僅當1?p?2時，x?0f(x)在點x?0可導,但是f?(x)在點x?0不連續(xù).例13(95403)設f(x)可導，且滿足條件limf(1)?f(1?x)2x12x?0??1,則曲線y?f(x)在(1,f(1))處的切線斜率為（）(A)2,(B)?2,(C),(D)?1

答案 B

解 記?u??x,則有

f(1)?f(1?x)1f(1??u)?f(1)1lim?lim?f?(1)x?02x2?u?0?u2

例1

4設y?ln(1?2x),則y

(A)(10)?()

9!(1?2x)10

(B)?9!(1?2x)10

(C)10!?2910(1?2x)

(D)?9!?21010(1?2x)

答案 D

解題思路

求高階導數(shù)的一般方法是: 先求出一階、二階、三階導數(shù);找出規(guī)律,即可寫出高階導數(shù).?2y??, 1?2x?21y???(?2)(?1)?(?2)(?1)(?2)

22(1?2x)(1?2x)y????(?2)(?1)(?2)(?2)?2(1?2x)3

y(10)??9!?21010(1?2x).例17

(90103)設函數(shù)f(x)有任意階導數(shù),且f?(x)?f(x),則f(n)(x)?(n?1),(n?2).n?1(A)n!f(x)(B)nf(x)(C)f2n(x)(D)n!f2n(x)

答案 A

解題思路 這是一個求高階導數(shù)的問題,涉及到求抽象函數(shù)的導數(shù).解

由f(x)有任意階導數(shù)且f?(x)?f(x),可知

2f??(x)?f(x)3????2f(x)?f?(x)?2f(x)?f????f(x)??2f(x)??3?2f(x)?f?(x)?3!f2(n)n?12(x)?2f(x),(x)

34依此由歸納法可知 f(x)?n!f(x)

注意(1)當n?1,n?2時雖然(B)也正確,但當n?2就不正確了,所以將(B)排除之;

?222(2)在求導數(shù)f(x)時,可將函數(shù)f(x)看成是由y?t與t?f(x)復合而成的,??????(t)??f?(x)?2t?f?(x)?2f(x)?f?(x).?(初學者可能會這樣做:?f(x)??2f(x),后面丟掉一個因子f?(x).則根據(jù)復合函數(shù)的求導法則,故f(x)222

例18(91303)若曲線y?x?ax?b和2y??1?xy在點(1,?1)處相切，其中

23a,b是常數(shù),則（）(A)a?0,b??

2(B)a?1,b??3

(C)a??3,b?

1(D)a??1,b??1

答案 D

解題思路

兩曲線在某點相切就是指兩曲線在此公共點處共一條切線,從而兩曲線的斜率也應相等.解

曲線y?x?ax?b在點(1,?1)處的斜率是

2k1?(x?ax?b)?2x?1?(2x?a)x?13?2?a

另一條曲線是由隱函數(shù)2y??1?xy確定,該曲線在點(1,?1)處的斜率可以由隱函數(shù)求導數(shù)得到: 對于方程2y??1?xy兩邊求導得到2y??3xyy??y,解出y?得到此曲線在點(1,?1)處的斜率為

k2?y?x?1y??1323?y322?3xy?1

x?1y??12令k1?k2,立即得到a??1.再將a??1,x?1,y??1代入y?x?ax?b中得出b??1.例19設f(x),g(x)定義在(?1,1)，且都在x?0處連續(xù)，若?g(x)?x?0f(x)??x，則（）?x?0?2(A)limg(x)?0且g'(0)?0，(B)limg(x)?0且g'(0)?1

x?0x?0(C)limg(x)?1且g'(0)?0

(D)limg(x)?0且g'(0)?2

x?0x?0 答案 D

解題思路 分析函數(shù)f(x)的表達式,并運用f(x)在x?0處連續(xù)這一關鍵條件.解 既然f(x)在x?0處連續(xù),于是必有l(wèi)imf(x)?limx?0g(x)xx?0?2,于是必有l(wèi)img(x)?0.于是又有g?(0)?limx?0g(x)?g(0)xx?0?limg(x)xx?0?2.?1?cosx? 例 20(99103)設f(x)??x2?xg(x)?x?0x?0 其中g?(x)是有界函數(shù),則f(x)在x?0處()(A)極限不存在(B)極限存在,但不連續(xù)

(C)連續(xù),但不可導(D)可導

答案 D

解題思路

若能首先判定f(x)在x?0處可導,則(A)、(B)、(C)均可被排除.解

x f??(0)?lim21f(x)?f(0)?x?0x?0x2?limx?01?cosx?3?limx?02?3?limx?0x2?x)

2x22?0

(x?0時1?cosx~ f??(0)?lim2f(x)?f(0)?x?0xx?0由于f(x)在x?0點的左導數(shù)等于右導數(shù),因而 f(x)在x?0處可導.x?0x?0??limxg(x)2?limxg(x)?0（g(x)是有界函數(shù)）

? 例21 設f(x)?sinx,則(f(f(x)))??()A.cos(sinx)cosx B.sin(sinx)cosx C.cos(cosx)sinx D.sin(cosx)sinx

答案 A

例 22 設f(x)是可導函數(shù),則()A.若f(x)為奇函數(shù),則f?(x)為偶函數(shù)B.若f(x)為單調(diào)函數(shù)C.若f(x)為奇函數(shù),則f?(x)為奇函數(shù)D.若f(x)為非負函數(shù) 答案 A

解題思路 根據(jù)導數(shù)定義,利用函數(shù)的奇性.解 由于f(?u)??f(u),所以 ,則f?(x)為單調(diào)函數(shù) ,則f?(x)為非負函數(shù)

f?(x)?limlimf(x??x)?f(x)?xf[?x?(??x)]?f(?x)?x?0?lim?f(?x??x)?f(?x)?x

?x?0??x因此f?(x)為偶函數(shù).?x?0?f?(?x)例23 設y?esinsin22x,則dy?()sin2 B.2eA.esinx C.2e 答案 D

解題思路 運用復合函數(shù)微分法

例 24 設f?(0)存在,lim(1?x?0xxsin2xsincosx D.e2xsin2x

1?cosf(x)sinx1)x?e,則f?(0)?()A.0 B.1 C.答案 C

解 由 C.e

lim(1?x?01?cosf(x)sinx1)x?e

可以知道當x?0時,有

lim(參閱第一章1.5的例2)

x?011?cosf(x)??1 xsinxf2當x?0時,sinx與x是等價無窮小,1?cosf(x)與

(x)2是等價無窮小.于是

f(x)11?cosf(x)1lim??lim?1 2x?0xx?0sinx2x又因為f?(0)存在,所以此式又推出 f?(0)?limf(x)xx?02?2.1?,x?0?arctan 例 25 設f(x)?? 在點x?0可導,則()x?ax?b,x?0?A.a?1,b??2 B.a?1,b?0 C.a??1,b???2 D.a??1,b??2

答案D

解題思路 先考察函數(shù)在點x?0左右極限,確定連續(xù)性,再考察左右導數(shù).由可微性最終確定a,b.解

1???,所以b??.(1)limf(x)?lim(ax?b)?b,limf(x)?limarctan??x?0x?0x22x?0x?0??于是f(0)??2.(2)f??(0)?a,f??(0)?limx?0f(x)?f(0)?arctan?limx?0?1xx??2

xarctan1xx??2: 以下需要用洛比塔法則求極限limx?0?

arctanlimx?0?1x??2?lim?(arctan1xx???2)??limx?0??1x2xx?0于是由f??(0)?f??(0)推出a??1

?1??1

例26.(93303)若f(x)??f(?x),且在(0,??)內(nèi)f?(x)?0,f??(x)?0,則f(x)在(??,0)內(nèi)必有

(A)f?(x)?0,f??(x)?0(B)f?(x)?0,f??(x)?0

(C)f?(x)?0,f??(x)?0(D)f?(x)?0,f??(x)?0 答案 C

解體思路 所給函數(shù)顯然是奇函數(shù),因此f?(x)是偶函數(shù),f??(x)是奇函數(shù).解 由f?(x)?0,x?(0,??)知f?(x)?0,x?(??,0);由f??(x)?0,x?(0,??)知f??(x)?0,x?(??,0).

第四篇：淺談數(shù)列極限的求法

淺談數(shù)列極限的求法

龍門中小李海東

摘要：本文主要介紹了數(shù)列極限的幾種求法，并通過一個例題說明利用函數(shù)極限的求法，幫助尋找數(shù)列極限的方法，幫助學生理解和掌握求極限的方法。

關鍵詞：數(shù)列極限方（求）法說明

引言：在初等代數(shù)，高等代數(shù)學習過程中發(fā)現(xiàn)或多或少都涉及到數(shù)列極限的有關內(nèi)容，在數(shù)學分析中數(shù)列極限是極其重要的章節(jié)，數(shù)列極限是學習函數(shù)極限的基礎和鋪墊，數(shù)列極限的求法和函數(shù)極限求法在某種程度上是彼此相似的，所以可以對照學習，也可以用一種求極限的方法，求出另外一種極限，給解答習題帶來一定的靈活性。方法也是比較靈活的。下面就數(shù)列極限的求法略作淺談，且舉例說明。

一 利用單調(diào)有界準則求極限

預備知識：若數(shù)列?an?收斂，則?an?為有界數(shù)列，即存在正數(shù)M，使得對一切正整數(shù)n，有 an?M.此方法的解題程序為：

1、直接對通項進行分析或用數(shù)學歸納驗證數(shù)列?an?單調(diào)有界；

2、設?an?的極限存在，記為liman?A代入給定的表達式中，則該式變?yōu)锳的代數(shù)方n??

程，解之即得該數(shù)列的極限。

舉例說明：

例：若序列?an?的項滿足a1?a(a?0)且an?11?a????an??,(n?1,2,?),試證2?an??

?an?有極限并求此極限。

解由a1?a

21?a?1?a12?a?2a1aa1???aa2????2??a???a2?a1?1??1?

用數(shù)學歸納法證明ak?a需注意

22?a?2aka1?a?1?ak?ak??????a.ak??????2?ak?2?ak?ak

又an?an?12?a1?a?an???a???0 n??2?an?2an

??an?為單調(diào)減函數(shù)且有下界。

令其極限為A 由 an?1?

1?a?

?an??有： 2?an???

1?a?

??a?n??2?an?

liman?1?

n??

即A?

1?a?

?A?? 2?A?

?A?a?A?

a(A?0)

n??

從而liman?

a.二 利用數(shù)列極限的定義求數(shù)列的極限

大家知道，數(shù)列極限的定義是這樣的：設?an?為數(shù)列，a為定數(shù)，若對任給的正數(shù)?，總存在正整數(shù)N，使得當n?N時，有an?a??，則稱數(shù)列收斂于a，定數(shù)a稱為數(shù)列

an?an?的極限，記作：limn??

?a，當數(shù)列不單調(diào)時，我們就用此定義來求極限，其步驟：

1、先根據(jù)數(shù)列極限的唯一性求出極限；

2、再去證明極限的存在性。舉例說明：

例：設x1?2, xn?1?2?解1.令limxn?t

n??

(n?1)求:：limxn.n??xn

則limxn?1?lim??2?

n??

n??

??

xn

??? ?

即t?2??t?1?2?xn?2

?t?2? t?1?2(t?1?2舍去)

1t

2.證明其極限的存在性對???0xn?t?(2?)?(2?)xn?1t

xn?1?txn?2?t1xn?1?t???? tt?xn?1442

?

2?4n?1

??(當n足夠大)

?

1xn?1

?

x1?44n?1

由極限的下定義可得：lim?xn?t??0

n??

?limxn?t?1?

n??

2.三 利用數(shù)列夾逼準則求數(shù)列極限

回顧一下：設收斂數(shù)列?an??數(shù)列{cn}滿足：存在正數(shù)N0，當n?N0，bn?都以a為極限，時，有：an?cn?bn.則數(shù)列{cn}收斂，且limcn?a.n??

此方法一般通過放大或縮小分母來找出兩邊數(shù)列的通項，從而達到求極限的目的。

舉例說明：

?11?

例：求 lim?1??2?.n??

?nn?

?1??11??n?1?

解由?1????1??2???1?2?

n??n??nn??

??n?1?n?11???

?1??1???1?2????? ?(n?1)(n?1)?n?1n?1??????

n

n

n

n

nnn

?1?

顯然 lim?1???e

n??

?n?

nn?1

??1?1?1?????lim1??1?并且 lim?1???????e ??n??n??

?n?1??n?1?????n?1??

n

?11?

?lim?1??2??e.n??

?nn?

四 利用重要公式求極限或轉化為函數(shù)的極限

此方法必須在牢記重要極限的形式和其值的基礎上，對所求式子作適當變形，從而達到求其極限的目的，這種方法靈活，有相當?shù)募记尚浴?/p>

舉例說明：

n

n?1

?n?1?1

例：求 limsin.n??

nnn

n?1

?n?1?1

解limsin

n??

nnn

=lim?

?n?1?

?n??n??

n?1

sin?1

nsin?1n1n

=lim?1?

?n??

?1??n?

n?1

=lim?1?=e?1?1=e

?n??

?

1??1????1???n??n?1

n

n

sin

例：求極限lim?

?sinx?

?x?asina??

x?a

1x?a

.解lim?

?sinx?

?x?asina???

x?a

?

1x?a

=lim?1?

sinx?sina?

?sina?

1sinacosa

?x?acosasina

x?ax?a??2cossin??=lim?1??x?asina???????

x?a????2cosasin?

??=lim?1?x?a??sina????????

sina

cosa?(x?a)

???????

cosasina

sina

??cosa?(x?a)x?a????2cosasin?????=lim?1??x?a??sina???????????

ctga

=e

ctga

?sin

?

?x?ax?a?

~? 22?

五 利用數(shù)列極限與函數(shù)的極限等值關系來求極限

此方法把數(shù)列極限化成函數(shù)形式的極限，而后回代，從而求出數(shù)列極限的一種方法。

舉例說明：

?a?b?c?

?.例：若 a,b,c?0,求lim???n???3??

解先考慮：

?1

?ax?bx?cx

ln?

3??

n

??

??xln??

x

?1

?ax?bx?cx?

3????? ??

?1

?ax?bx?cx

而limxln?

x???3?

???? ??

?1?xxx??ln?a?b?c??ln3??=lim

x???1

x

?2?axlna?2?bx?lnb?2?cx?lnc=lim

x???

1?2x

1x

1x

1x

1x1x1x

=lim

alna?b?lnb?c?lnc

a?b?c

1x

1x

1x

x???

=lnabc

???c?

? ?lim??n????3??

n

?1

?ax?bx?cx

=lim?

n???3?

???? ??

n

=lime

n???

??111??ax?bx?cxxln???????

???????

=e??

?lnabc??

?3?

=e

ln?abc?3

=?abc?

通過上面簡單的對求數(shù)列極限的一般方法加以歸納，并舉例說明，就可以在我們大腦中造成深刻的印象，更好地掌握函數(shù)和數(shù)列極限的求法。但數(shù)列極限的求法并不限于這幾種方法，或許還有很多種，希望大家在學習過程中善于歸納總結求數(shù)列極限的方法，以便我們共勉。

參考文獻：

[1]程其襄.數(shù)學分析第三版[M].高等教育出版社，1981（4）[2]謝惠民.數(shù)學分析習題課講義[M].高等教育出版社，2003（7）

[3]周建瑩 李正元.高等數(shù)學解題指南[M].北京大學出版社，2002.（10）[4]王汝發(fā).高等數(shù)學解題方法[M].蘭州大學出版社，1994.（3）

第五篇：淺談函數(shù)極限的求法

淺談函數(shù)極限的求法

摘要：函數(shù)極限是數(shù)學分析的基本內(nèi)容之一，也是解決其它問題的基礎。如何求出已知函數(shù)的極限是學習微積分必須掌握的基本技能。本文系統(tǒng)地介紹了利用定義、兩個重要極限、無窮小量代換、洛必達法則、夾逼準則等求極限的方法，并結合具體的例子，指出了在解題中常遇見的一些問題。

關鍵詞: 函數(shù)極限夾逼準則等價無窮小量洛必達法則泰勒展開式無窮小量

引言

極限研究的是函數(shù)的變化趨勢，在自變量的某個變化過程中，對應的函數(shù)值無限解決某個確定的數(shù)，那這個數(shù)就是函數(shù)的極限了。極限是數(shù)學分析中一個非常重要的概念，是貫徹數(shù)學分析的一條主線，它將數(shù)學分析的各個知識點連在一起，所以，求極限的方法顯得尤為重要的，我們知道，函數(shù)是數(shù)學分析研究的對象，而極限方法則是數(shù)學分析中研究函數(shù)的重要方法，因此怎樣求極限就非常重要。

數(shù)學分析中所討論的極限大體上分為兩類：一類是數(shù)列的極限，一類是函數(shù)的極限。兩類極限的本質上是相同的，在形式上數(shù)列界限是函數(shù)極限的特例。因此，本文只就函數(shù)極限進行討論。函數(shù)極限運算是高等數(shù)學的一個重要的基本運算，一部分函數(shù)的極限可以通過直接或間接的運用“極限四則運算法則”來求解，而另一部分函數(shù)極限需要通過特殊方法解決。求函數(shù)極限的方法較多，但是每種方法都有其局限性，都不是萬能的。對某個具體的求極限的問題，我們應該追求最簡便的方法。在求極限的過程中，必然以相關的概念、定理以及公式為依據(jù)，并借助一些重要的方法和技巧。本文給出了十七種求極限的方法，每種方法都是以定理或簡述開頭，然后以例題來全面展示具體的求法。下面我們通過對一元函數(shù)和二元函數(shù)極限的求法來進行分類討論

一元函數(shù)極限的求法

1.1利用函數(shù)定義求極限

利用函數(shù)極限的???定義驗證函數(shù)的極限。設函數(shù)f在點x0的某空心鄰域，使得當U0(x0;??)內(nèi)有定義,A為定數(shù)。若對任給的??0，存在正數(shù)?（???）

0?x?x0??時，有f(x)?A??成立，則稱函數(shù)f當x趨于x0時以A為極限，記作limf(x)?A或f(x)?A(x?x0)。x?x0

x2?4例1設f(x)?,證明limf(x)?4.x?2x?

2x2?4?4?x?2?4?x?2，證明: 由于當x?2時，f(x)?4?x?2

故對給定的??0，只要取???，則當0?x?2??時，有f(x)?4??.這就證明了limf(x)?4.x?2

(1)定義中的正數(shù)?，相當于數(shù)列極限??N定義中的N，它依賴于?，但也不是由?所惟一確定。一般來說，?愈小，?也相應地要小一些，而且把?取得更小一些也無妨，如在題1中可取???

2或???

3等等。

(2)定義中只要求函數(shù)f在點x0的某個空心領域內(nèi)有定義，而一般不考慮f在點x0處的函數(shù)值是否有定義，或者取什么值。這是因為，對于函數(shù)極限我們所研究的是當x趨于x0過程中函數(shù)值的變化趨勢。如在題1中函數(shù)f在點x?2是沒有定義的，但當x?2時,f的函數(shù)值趨于一個定數(shù)。

1.2 利用單側極限求函數(shù)極限

這種方法適用于求分段函數(shù)在分段點處的極限。首先必須考慮分段點處的左、右極限都存在且相等，則函數(shù)在分界點處的極限存在，否則極限不存在。如符號函數(shù)sgnx，由于它在x?0處的左、右極限不相等，所以limsgnx不存在。x?0

f(x)?limf(x)?A.定理1 limf(x)?A?lim??x?x0x?x0x?x0

?2xx?0?例2 ： f(x)??0 x?0,求f(x)在x?0處的極限.?1?x2x?0?

f(x)?lim2x?1，解: lim??x?0x?0

f(x)?lim1?x?1，lim??x?0x?0

2f(x)?limf(x)?1，? lim??x?0x?0

? limf(x)?1.x?0

1.3 利用函數(shù)極限的四則運算法則求極限

定理2 若極限limf(x)和limg(x)都存在，則函數(shù)f(x)?g(x)，f(x)?g(x)，x?x0x?x0

當x?x0時也存在極限，且有

①limx?x0

x?x0?f(x)?g(x)??limf(x)?limg(x)； x?x0x?x0x?x0x?x0②lim?f(x)?g(x)?=limf(x)?limg(x)；

limf(x)f(x)f(x)x?x0③又若limg(x)?0，則在x?x0時也存在極限，且有l(wèi)im.?x?x0x?x0g(x)g(x)limg(x)

x?x0

利用函數(shù)極限的四則運算法則求極限，條件是每項或每個因子極限都存在，一般所給的變量都不滿足這個條件，如?0，等情況，都不能直接用四則運算法?0

則，必須要對變量進行變形，設法消去分子、分母中的零因子，在變形時，要熟練掌握因式分解、有理化運算等恒等變形。

(xtanx?1).例3：求lim?x?4

解: 由xtanx?xsinx?2及l(fā)imsinx?sin??limcosx，有 ??x?x?cosx42lim(xtanx?1)=limx???x?4limsinx?x?4x?limcosx?x??lim1??x??4?1.1.6 利用函數(shù)的連續(xù)性求函數(shù)極限

參考文獻:

[1] 華東師范大學數(shù)學系.數(shù)學分析(第三版)[M].北京:高等教育出版社,2001.[2] 陳傳璋,朱學炎等.數(shù)學分析(第二版)[M].北京:高等教育出版社,1998.[3] 張再云，陳湘棟等，極限計算的方法與技巧[J].湖南理工學院學報(自然科學版),2009,22(2):16-19.[4]歐陽光中.數(shù)學分析[M].上海：復旦大學出版社，2002.[5]錢吉林.數(shù)學分析解題精粹[M].武漢：崇文書局出版社，2001