第一篇：函數極限的若干求法 20121109

高等數學中極限的分析與研究

【摘 要】極限是高等數學中一個很重要的基礎知識點，是微積分的前提，因此函數極限的求解是非常重要的。本文針對高等數學中極限的求解方法進行了一些分析與研究，主要以一元和二元函數的極限為主，尤其是a針對大學生如何學習并掌握極限而總結歸納了若干種求極限的方法，并對有些方法進行了改進，對于每種方法都是以定理和簡述開始，然后以例題的方式展示。

【關鍵詞】 極限 洛必達法則 積分中值定理 等價無窮小 夾逼準則 泰勒公式 一、一元函數極限求解方法 a1.利用定義求極限

這種方法的關鍵是找到符合定義要求的條件，這可能需要用到一些不等式的技巧，如縮放法等。

例 證明：limn?4n2n???1.22證???0,要使|n?4n?1|?n?4?nn?4n(n?4?n)2?4n??, a 取N?4?,當n?N時，有|n?4n2?1|?4n?4N??成立，即limn?4n2n???1.此例題在用極限定義證明時, 只需要證明存在,當N>n時存在|f(x)-A |故求解的關鍵在于不等式的建立.在求解的過程中往往采用放大的技巧,注意不能把含有的因子移到不等式的另一邊再放大, 而是應該直接對要證其極限的式子一步一步放大, 有時還需加入一些限制條件, 限制條件必須和所求的(或)一致, 最后結合在一起考慮.a2.利用極限的運算法則

已知limf(x), limg(x)都存在, 極限值分別為A, B, 則

x?x0x?x01

(1)lim[f(x)?g(x)]?A?B；

x?x0(2)limf(x)g(x)?A?B；

x?x0(3)limf(x)g(x)x?x0?AB（此時需B?0成立).總的說來就是函數的和、差、積、商的極限等于函數極限的和、差、積、商。因此對于和、差、積、商形式的函數求極限, 可以采用極限運算法則, 使用時需要先對函數做某些恒等變換或化簡, 變換的方法通常有分式的通分、約分、分解因式、分子分母有理化、三角函數的恒等變化、拆項消去法、比較最高次冪法等.但必須注意只有各項極限都存在(對商, 還要分母極限不為零)時才能適用.例 求極限lim3?x?1?xx?x?22

2?1-x?(x?2)(x?1)x?1 解：原式?lim3?x?1?x(x?2)(x?1)x?1?limx?1?lim13?x?1?x

x?1 ?lim?2x?2x?1?lim13?x?1?xx?1??26

3.用單調有界準則求極限

定理：在實數系中, 有界的單調數列必有極限.因此利用單調準則證明極限存在, 主要針對遞推數列, 必須驗證數列兩個方面的性質: 單調性和有界性.解題的難點在于判斷單調性, 一般通過數學歸納法、減法、除法比較前后項． 例 設a?0,x1?0,xn?1?12(xn?axn),(n?1,2,?)

求證：???數列?xn?單調遞減有下界

????求limx??xn

???證明：顯然xn?0(n?1),因此 xn?1?12(xn?axn12)?xn?axn?a(n?2)故

?x?有下界

n 又xn?1?xn?(xn?axn)?xn?a?xn2x2?0(n?2)

即xn?1?xn，故數列?xn?單調遞減

????由???知：limxn?A是存在的

x?? 對xn?1?12(xn?axn)兩邊取極限得A?12(A?aA)

解得A?a或A??a(舍去)

4.利用兩個重要極限求極限

兩個重要極限:（1)limsinxxx?01???1；(2)lim?1???e.x??x??x 根據復合函數的極限運算法則, 可將以上兩個公式進行推廣:(1)limsinf(x)f(x)?1(limf(x)?0,y?x?x0sinuu,u?f(x))；

x?x0?1??(2)lim?1?x?x0?g(x)???g(x)u??1????e limg(x)??,y??1??,u?g(x)??x?x0?u????n?1?nn?1?n

例 求極限：lim[n(n?1?n)?]n??12 原式?lim[n(n??1n?1?nn?1?nn)?12](n?1?n)2

?lim(1?n???12)(n?1?n)2 ?lim[1?n??n?n?1n?n?1n)2(n?1?2](n?1?n)2

?lim[1?n??n?n?1n)2(n?1?n)2(n?1?n?1?4n]n?n?1?2(n?1?n)?(n?1?n)n?n?1?limen??2(n?1?n)?(n?1?n)2

?4nn?n?1?3nn)?limen??2nn2(n?1? 1 ?limen??4?e2

5.利用無窮小的性質和等價無窮小代換求極限

定理：設函數f(x),g(x),h(x)在U(x0,??)內有定義, 且有

f(x)~g(x)(x?x0).(1)若limf(x)h(x)?A, 則limg(x)h(x)?A；

x?x0x?x03

(2)若limh(x)f(x)x?x0?B, 則limh(x)g(x)x?x0?B.性質 1 有限個無窮小量的代數和為無窮小量；

性質 2 有限個無窮小量的乘積為無窮小量；

性質 3 常數與無窮小量的乘積是無窮小量.定理：設?,?均為無窮小, 且??~?,?則 lim???lim~??, 且lim????存在，????.對于分子或分母中的兩個無窮小之差不能直接用無窮小代換.常用等價代換公式: 當x?0時, sinx~x, arcsinx~x, tanx~x，arctanx~x, e?1~x, a?1~xlna等.xx例 求limxlncosxetanxx?0?esinx

xln[1?(cox?1)](etanx?sinx 解：原式?limx?0?1)?esinx?limx(cosx?1)(tanx?sinx)esinxx?0

?limx(cox?1)(1?cosx)e?1esinxx?0sinxtanx?lim?xesinxx?0tanx

?limx?0??11??1

6.利用洛必達法則求極限

定理：若函數f(x)和g(x)滿足：(1)limf(x)?limg(x)?0；

x?x0x?x0(2)在點x0的某空心鄰域U0(x0,??)內兩者都可導, 且g?(x)?0；(3)limf?(x)g?(x)?A(A可為實數, 也可為?)，f?(x)g?(x)x?x0則 lim這是對于00f(x)g(x)x?x0?limx?x0?A.??型不定式極限，對于型不定式極限有類似的方法。洛必達法則是求兩個無窮小量或兩個無窮大量之比的極限的, 在同一運算過程中可連續

使用, 直到求出所求極限.但是, 對于其他不定式的極限（如0??，1,0,?,????00等類型）如果無法判斷其極限狀態, 則羅必達法則失敗, 但只需

00??經過簡單變換, 它們一般可以化為型和?1?2例 6 求極限lim?2?cotx?x?0?x?解：原極限=lim=lim=lim型的極限.?sinx-xcosx??sinx?xcosx?xsinxsinx-xcosxx322x?0x?0?limsinx+xcosxx?limcosx+cosx-xsinx1x?0

x?0cosx-cosx+xsinx3xx222x?0=2limx?03x?237． 利用導數的定義求極限

定義：設函數f(x)在點x0的某個鄰域內有定義, 若極限

limf(x)?f(x0)x?x0

x?x0存在,則稱函數f(x)在點x0處可導, 并稱該極限為函數f(x)在點x0處的導數, 記作f?(x0).對于一般抽象函數求極限時, 如果已知它的導數是存在的, 則經常利用導數的定義求極限.例 a 求極限：limex?1x2x

x?0xlnx 解：原式?lim?e0x?0xlnx?lnxx

x ?(e)'|x?0?1

8.利用微分中值定理求極限

定理:(拉格朗日中值定理)若函數f(x)滿足如下條件：(1)f(x)在閉區間?a,b?上連續；(2)f(x)在開區間(a,b)上可導，則在(a,b)上至少存在一點?,使得 f?(?)?例 8 求極限limnn??2f(b)?f(a)b?a.?n+1x-nx.?x>0?1?.令f(n)=?x>0??nx??112?解:原極限=limn?n+1-nn??x?x1xn+1所以，由拉格朗日中值定理有：f(n+1)-f(n)=即有1xn+1-1xn=f(?)?n+1?n?.???n,n?1?

'-1xn=1?1?-2??x?????lnx?11?lnx2?所以limn?n+1-n?=-lim?=0n??x?n??x?x 9.用泰勒展式求極限（或麥克勞林展式)

常用展式： cosx?1?x2x22!?????(?1)nx2n?2n?!?o(x2n?1)，e?1?x?x2!?x33!2?????xnn!n?o(x)，n11?x?1?x?x?????x?o(x), sinx?x?nx33!?????(?1)n?1x2n?1(2n?1)!?o(x2n)

ln?x+1?=x-x22+x33-x44+??-1?n-1?xnn+??xn?

等.在計算過程中, 要注意高階無窮小的運算及處理.例 求limn?sin(2?en!)

n?? 解：將e用泰勒公式展開有e?1?1?12!1n!12!?13!???1n!??

原式?limn?sin[2?(1?1?n?????2?]??)?n!]?limn?sin[2k???(n??1n?11)?)]1

n?1?limn?sin[n??2?n?1??(2?

n?1?limn?limsin[n??n??n?1??(n?1)]?limn?n??2?n?1?2?6

10.利用夾逼準則與定積分求極限

夾逼準則多適用于所考慮的函數比較容易適度放大或縮小, 而且放大和縮小的函數是容易求得相同的極限.基本思想是把要求解的極限轉化為求放大或縮小的函數或數列的極限.利用夾逼準則求函數極限的關鍵：

（1）構造函數f(x), h(x), 使f(x)?g(x)?h(x)；（2）limf(x)?limh(x)?A, 由此可得limg(x)?A.x?x0x?x0x?x0定理:設limf(x)?limh(x)?A, 且在x0某一空心鄰域U0(x0,??)內

x?x0x?x0有 f(x)?g(x)?h(x), 則 limg(x)?A.x?x0定義:設f(x)在?a,b?上的一個函數, J是一個確定的實數.若對任給的正數?, 總存在某一正數?, 使得對?a,b?的任何分割T, 以及其上任意選取的點集{?i}, 只要T??, 就有 |?f(?i)?xi?J|??，i?1n則稱函數f(x)在區間?a,b?上可積, 數J稱為f(x)在?a,b?上的定積分, 記作 J??baf(x)dx.nb若用極限符號表達定積分, 可寫作J?limT?0?i?1f(?i)?xi??af(x)dx.由定積分的定義我們知道, 定積分是某一和式的極限, 因此, 如果關于n的某一和式可以表示成某一積分的形式時, 則可利用定積分, 求出這個和式的極限, 顯然, 若要利用定積分求極限, 其關鍵在于將和式化成某一函數的積分形式.lim例：求極限：ln(n?1)n?1n???ln(n?2)n?12?????ln(n?n)n?1n?lnn

n解：原式?lim[?n??i?1ln(n?i)n?1i?lnn]

nlnn?ln(1?n?i)1ii?lim n???i?1n?lnn)

lnn?ln(1?n?1iln(1?i)nlnn?ln(1?i又?

n?1n?n?)lnn?ln(n?n)n

inlnn?ln(1?ni而?i?1n?lnn?)n?i?1n=1nn?ln(1?n)??i?1i10ln(1?x)dx

?[xln(1?x)]1??0lnn?ln(1?n?1i10xx?1dx?ln2??10x?1?1x?1ndx?2ln2?1 in而?i?1n?lnn??)lnnn?1ln(1???i?1n

n?1)??lnnn?1n?1ln(1?i??i?1n?1?n?1i)ln(1?)n?1 n?1n?1in?1nlnn?ln(1?n?1?limn???i?1n?lnn?lim(?n??)lnnn?1ln(1??n?1?n?1)n?1ln(1??i?1n?1)n?1)n?1ln(1? ?0?limn???i?1)n?1?n?1i?10ln(1?x)dx?2ln2?1

即由夾逼準則得 原極限?2ln2?1

11.利用積分中值定理求極限

定理：設f(x)與g(x)都在?a,b?上連續, 且g(x)在?a,b?上不變號, 則至少存在一點???a,b?, 使得 ?f(x)g(x)dx?f(?)?g(x)dx.aabb例 求極限limn???1xn01?xdx.解: 取?a,b???0,1?, f(x)?m?1211?x, g(x)?xn, 則f(x)在?0,1?上的最小值

1n, 最大值M?1, 由積分中值定理知 原式?lim??xdx?limn??0?n?1n??

n因為12???1, 所以 limn???1x01?xdx?0.12.利用級數求解極限

利用級數展開式求極限，從已知的展開式出發, 通過變量代換、四則運算、逐項求導、逐項求積定義法等直接或間接地求得函數的冪級數展開式。

例 求limsinx?arctanxx3

x?0 解: 利用冪級數的展開式, 可得

x?x3 原式?lim3!?x55!?x77!?????x?x3x33?x55?x77????

x?0 ?lim??1??????x2??????

33!??55!?x?0???613.利用黎曼引理求極限

定理:a若f(x)在?a,b?上可積, g(x)是以T為周期的函數, 且在?0,T?上可積, 則有 lim??1??11??1n????baf(x)g(nx)dx?11T?T0g(x)?f(x)dxab.例 計算limn???sin2nx201?xdx.解:因為sin2x的周期為?, limn???1sin2nx201?xdx?1???0sinxdx??2111?x20dx??8 二、二元函數極限求解方法

二元函數極限是在一元函數極限的基礎上發展起來的, 兩者之間既有聯系又有區別．在極限運算法則上, 它們是一致的, 但隨著變量個數的增加, 二元函數極限變得更加復雜, 它實質上是包含任意方向的逼近過程, 是一個較為復雜的極限, 對于二元函數f(x,y)的二重極限, 其重點是研究極限的存在性以及具體的求解方法．

引例 求limxy2222(x,y)?(0,0)x?y.原解法： 因為|xy2222x?y|?|xx2|?|x|,2???0, 取????0，()?1y222當x??, y??, 且(x,y)?(0,0)時, 有xyx?y22?x?02

2的定義得

?x?r(x,y)?(0,0)limxy2222x?y?0.新解法：令?xy2222??y?rsin?2當（x,y)?(0,0)有r?0?, x?y?rcos?sin?,2222因為|cos?sin?|?1, 所以

(x,y)?(0,0)limxy2222x?y?lim?rcos?sin??0.r?0222兩者相對比, 我們就會發現, 此例用極坐標代換求極限比用定義求解簡單的多, 那么, 選擇一個正確的解題方法就顯得尤為重要了。下面是對各類方法進行的探索.1.利用定義, 證明某極限為某數A或不存在．

例 證明極限limx?3y???xy?1y?1?3

證明：???0,有不等式(取y?0)

?5xy?1y?1?3?(x?3)y?4y?1?x?3?4y

取?? 有|?0,于是???0,????5>0,對??x,y?:|x?3|??與y?xy?1y?11?, xy?1y?1?3|?|x?3|?4y???4??5???,即limx?3?3得證

y???

2.將函數變形, 想辦法約去零因式（或無窮大因式）例 求limx?0y?0(1?4x)(1?6y)?12x?3ylim2222 解：原式=

(1?4x)(1?6y)?12x?0y?0?2x2?3y2???1?4x??1?6y??1?22

=lim(x?0y?02(1?4x)(1?6y)?122?24xy222222)

(2x?3y)((1?4x)(1?6y)?1)=1+0=1

3． 利用等價無窮小來代換 例 求 limx?0y?0sin(x?y)x?y33.解: 當x?0,y?0時, x3?y3?0,sin(x3?y3)和x3?y3是等價無窮小, 故原極限?limsin(x?y)x?y33x?0y?0?lim(x?y?xy)?0.22x?0y?04.變量代換

第一類: 依據函數f(x,y)的特殊類型, 利用兩變量x,y的和x?y?t,平方和x2?y2?t及乘積xy?t等做代換, 將二元函數f(x,y)求極限的問題, 整體或者部分轉化為一元函數的極限問題.（1）當x??,y?a（a?0的常數), 二元函數f(x,y)的極限, 作代換xy?t, 相應的有t??, 利用已知一元函數的極限知識.例 lim(1?x??y?a1xyx2)x?y(a?0).x2解： 因為(1?1xy)x?y?(1?1xyxyx(x?y)y), 當x??,y?a時, 令xy?t, 則 t??,lim(1?x??y?a1xyx2)x?y1t?lim(1?)?et??t1xyxyx(x?y)y.1xy)xy所以 lim(1?x??y?a1xyx2)x?y[ln(1?]x(x?y)y1?lim(1?x??y?a)?e?ea.第二類：討論當（x,y)?(0,0), 二元函數極限f(x,y), 用變量變?x?rcos?換,?.則r?0?.?y?rsin?11

例 求limx?yx?y22x?0y?0

解：令x?rcos?,y?rsin? ?r?0?

x?yx?y22 則?r2r?cos??sin???cos??r?sin??

因?cos??sin??2?1?sin2? 所以sin??sin??1故

22x?yx?y22?r

而當?x,y???0,0?時，r?0所以limx?yx?yx?0y?0?0

【結語】極限是高等數學的基礎，極限思想直接影響到微分、積分、導數的解法，如果沒有極限思想和極限理論，我們的近代數學殿堂就不會如此輝煌，所以極限的重要性不言而喻。通過大一對極限的學習，我們對極限學習中所存在的不知如何求解極限的問題做出了相關方法的總結和進一步分析。相信在正確領會極限的定義以及解答方法的條件下，突破此難點并非難題。

參 考 文 獻

[1] 吉米多維奇.數學分析習題集解題.濟南: 山東科學技術出版社, 1999 [2] 數學考研考點精講方法精練 西安交大出版社，2011 [3] 數學分析全程輔導及習題精講 中國水利水電出版社，2011 [4] 高等數學輔導 國家行政學院出版社，2008 [5] 高等數學教學輔導書 高等教育出版社，2010 [6] 高等數學學習指導 北京郵電大學出版社，2011 [7] 大學生數學競賽習題精講 清華大學出版社，2010

第二篇：淺談函數極限的求法

淺談函數極限的求法

摘要：函數極限是數學分析的基本內容之一，也是解決其它問題的基礎。如何求出已知函數的極限是學習微積分必須掌握的基本技能。本文系統地介紹了利用定義、兩個重要極限、無窮小量代換、洛必達法則、夾逼準則等求極限的方法，并結合具體的例子，指出了在解題中常遇見的一些問題。

關鍵詞: 函數極限夾逼準則等價無窮小量洛必達法則泰勒展開式無窮小量

引言

極限研究的是函數的變化趨勢，在自變量的某個變化過程中，對應的函數值無限解決某個確定的數，那這個數就是函數的極限了。極限是數學分析中一個非常重要的概念，是貫徹數學分析的一條主線，它將數學分析的各個知識點連在一起，所以，求極限的方法顯得尤為重要的，我們知道，函數是數學分析研究的對象，而極限方法則是數學分析中研究函數的重要方法，因此怎樣求極限就非常重要。

數學分析中所討論的極限大體上分為兩類：一類是數列的極限，一類是函數的極限。兩類極限的本質上是相同的，在形式上數列界限是函數極限的特例。因此，本文只就函數極限進行討論。函數極限運算是高等數學的一個重要的基本運算，一部分函數的極限可以通過直接或間接的運用“極限四則運算法則”來求解，而另一部分函數極限需要通過特殊方法解決。求函數極限的方法較多，但是每種方法都有其局限性，都不是萬能的。對某個具體的求極限的問題，我們應該追求最簡便的方法。在求極限的過程中，必然以相關的概念、定理以及公式為依據，并借助一些重要的方法和技巧。本文給出了十七種求極限的方法，每種方法都是以定理或簡述開頭，然后以例題來全面展示具體的求法。下面我們通過對一元函數和二元函數極限的求法來進行分類討論

一元函數極限的求法

1.1利用函數定義求極限

利用函數極限的???定義驗證函數的極限。設函數f在點x0的某空心鄰域，使得當U0(x0;??)內有定義,A為定數。若對任給的??0，存在正數?（???）

0?x?x0??時，有f(x)?A??成立，則稱函數f當x趨于x0時以A為極限，記作limf(x)?A或f(x)?A(x?x0)。x?x0

x2?4例1設f(x)?,證明limf(x)?4.x?2x?

2x2?4?4?x?2?4?x?2，證明: 由于當x?2時，f(x)?4?x?2

故對給定的??0，只要取???，則當0?x?2??時，有f(x)?4??.這就證明了limf(x)?4.x?2

(1)定義中的正數?，相當于數列極限??N定義中的N，它依賴于?，但也不是由?所惟一確定。一般來說，?愈小，?也相應地要小一些，而且把?取得更小一些也無妨，如在題1中可取???

2或???

3等等。

(2)定義中只要求函數f在點x0的某個空心領域內有定義，而一般不考慮f在點x0處的函數值是否有定義，或者取什么值。這是因為，對于函數極限我們所研究的是當x趨于x0過程中函數值的變化趨勢。如在題1中函數f在點x?2是沒有定義的，但當x?2時,f的函數值趨于一個定數。

1.2 利用單側極限求函數極限

這種方法適用于求分段函數在分段點處的極限。首先必須考慮分段點處的左、右極限都存在且相等，則函數在分界點處的極限存在，否則極限不存在。如符號函數sgnx，由于它在x?0處的左、右極限不相等，所以limsgnx不存在。x?0

f(x)?limf(x)?A.定理1 limf(x)?A?lim??x?x0x?x0x?x0

?2xx?0?例2 ： f(x)??0 x?0,求f(x)在x?0處的極限.?1?x2x?0?

f(x)?lim2x?1，解: lim??x?0x?0

f(x)?lim1?x?1，lim??x?0x?0

2f(x)?limf(x)?1，? lim??x?0x?0

? limf(x)?1.x?0

1.3 利用函數極限的四則運算法則求極限

定理2 若極限limf(x)和limg(x)都存在，則函數f(x)?g(x)，f(x)?g(x)，x?x0x?x0

當x?x0時也存在極限，且有

①limx?x0

x?x0?f(x)?g(x)??limf(x)?limg(x)； x?x0x?x0x?x0x?x0②lim?f(x)?g(x)?=limf(x)?limg(x)；

limf(x)f(x)f(x)x?x0③又若limg(x)?0，則在x?x0時也存在極限，且有lim.?x?x0x?x0g(x)g(x)limg(x)

x?x0

利用函數極限的四則運算法則求極限，條件是每項或每個因子極限都存在，一般所給的變量都不滿足這個條件，如?0，等情況，都不能直接用四則運算法?0

則，必須要對變量進行變形，設法消去分子、分母中的零因子，在變形時，要熟練掌握因式分解、有理化運算等恒等變形。

(xtanx?1).例3：求lim?x?4

解: 由xtanx?xsinx?2及limsinx?sin??limcosx，有 ??x?x?cosx42lim(xtanx?1)=limx???x?4limsinx?x?4x?limcosx?x??lim1??x??4?1.1.6 利用函數的連續性求函數極限

參考文獻:

[1] 華東師范大學數學系.數學分析(第三版)[M].北京:高等教育出版社,2001.[2] 陳傳璋,朱學炎等.數學分析(第二版)[M].北京:高等教育出版社,1998.[3] 張再云，陳湘棟等，極限計算的方法與技巧[J].湖南理工學院學報(自然科學版),2009,22(2):16-19.[4]歐陽光中.數學分析[M].上海：復旦大學出版社，2002.[5]錢吉林.數學分析解題精粹[M].武漢：崇文書局出版社，2001

第三篇：函數極限的求法(正文)

目錄

0.引言..........................................................1 1.函數極限的定義................................................1 2.一元函數極限的求法...........................................3 2.1 利用函數極限定義求極限..................................3 2.2 利用恒等變形和極限運算法則求極限........................4 2.3 利用迫斂性求極限........................................4 2.4 利用兩個重要極限及其推導公式求函數極限..................5 2.5 利用洛必達法則求解......................................6 2.6 利用函數的連續性質求解..................................7 2.7 利用等價無窮小量代換求解................................8 2.8 利用導數的定義求解......................................8 2.9 利用泰勒公式求極限......................................9 2.10 利用微分中值定理求極限................................10 2.11 利用積分中值定理求極限................................10 2.12 利用瑕積分的極限等式求極限............................11 3.二元及多元函數極限的解法....................................11 3.1 利用二元函數的連續性求解...............................12 3.2 利用極限的運算法則求解.................................12 3.3 利用不等式，使用夾逼法則求解...........................12 3.4 變量替換化為已知極限，或化為一元函數的極限求解.........13 3.5 利用恒等變形法求解.....................................13 3.6 利用兩個重要極限求解...................................14 3.7 利用等價無窮小代換求解.................................15 3.8 利用無窮小量與有界變量的乘積仍為無窮小的結論求解.......16 3.9 利用二重積分來計算二元函數的極限.......................16 3.10 利用極坐標變換求解....................................17 3.11 利用二元函數的泰勒展式求解............................17 4.總結........................................................18 致謝...........................................................18 參考文獻.......................................................20

函數極限的求法

0.引言

極限描述了數列和函數在無限變化中的一種趨勢，它體現了從近似認識精確，從有限認識無限，從量變認識質變的數學思想。在數學分析和微積分學中，極限的概念占有重要的地位并以各種形式出現且貫穿全部的內容。極限理論又是研究連續，導數，積分，級數等的基本工具，是微積分的理論基礎。極限的計算在解決許多實際問題中不可缺少。因此，掌握好極限的求解方法是學習數學分析和微積分學的關鍵一環。

對于如何求極限，怎樣使求極限變得容易，這是讓絕大多數學生較為頭痛的問題。我們如何在準確理解極限的概念、性質和極限存在條件的基礎上，靈活巧妙的運用各種不同的方法解決有關極限的實際問題。本文針對一元函數和二元函數極限，對它們的求解方法進行了歸納總結。

1.函數極限的定義

定義1 設函數f(x)在Uo(x0,?)(x0的空心?鄰域)內有定義,A為一個確定的常數, 若對任給的正數?,總存在某一正數?, 使得當0?x?x0??時, 都有f(x)?A??, 記作:limf(x)?A或f(x)?A(x?x0), 稱f(x)當

x?x0x?x0時以A為極限.或簡單地寫成: x?x0limf(x)?A????0,???0，使得?x,當0?x?x0??時,總有f(x)?A??.0?x0,??（或U?0?x0,??）內有定義,A為定數, 若定義2 設函數f(x)在U?對任給的??0, 存在正數?, 使得當x0?x?x0??（或x0???x?x0）時有

??f(x)?A??, 則稱數A為函數f(x)當x趨于x0（或x0）時的右(左)極限.1 記作: f(x)??A?f(x)??xlim??x?0??A?f(x)??和f(x)?A?xlim??x??0A??, 或者記作:

???f(x)?Ax?x0和f(x)?Ax?x0.右極限與左極限統稱為單側極限。????定義3 設f為定義在D?R2上的二元函數,P0為D的一個聚點,A是一個確定的實數。若對任意的正數??0, 總存在某正數?, 使得當P?Uo?P0;???D時, 都有f?P??A??，則稱f在D上當P?P0時, 以A為極限, 記作：

P?P0P?D limf?P??A

（1）當P,P0分別用坐標?x,y?,?x0,y0?表示時, 在不產生誤解時, ?1?式也常寫作：

?x,y???x0,y0?lim f?x,y??A

（2）定義 4 設Ex,Ey?R , x0是Ex的聚點, y0是Ey的聚點, 二元函數f在集合D?Ex?Ey上有定義, 若對每一個y?Ey,y?y0, 存在極限x?x0x?Exlimf?x,y?, 由于此極限一般與y有關, 因此記作

??y??limf?x,y?

x?x0x?Ex而且進一步存在極限 L?lim??y?

y?y0y?Ey則稱此極限為二元函數f先對x?x0后對y?y0的累次極限, 并記作：

L?limlimf?x,y?，y?y0x?x0y?Eyx?Ex或簡記作：

L?limlimf?x,y?.y?y0x?x0類似地可以定義先對y后對x的累次極限:

K?limlimf?x,y?.x?x0y?y02.一元函數極限的求法

求一元函數極限使高等數學的基本運算之一，能夠合理運用解決函數極限的方法至關重要。對求于函數極限問題，從不同的角度思考，從不同角度分析，能得出各種不同的方法。

2.1 利用函數極限定義求極限

利用函數極限的定義以及不等式證明方法,關鍵是找出和的函數表達式,滿足函數極限定義中的要求。

x2?1?2.例1 證明limx?1x?1分析：用“?-?”定義驗證limf(x)?A的過程，就是根據給出的?找?的過程，x?x0就是解不等式的過程。將f(x)?A??經適當的變化（如放大等）0?x?x0??(?)為為止（?(?)表示僅與常數和有關的表達式），這里???(?)

證明：這里,函數在點x?1是沒有定義的,但是函數當x?1時的極限存在或

x2?1?2??約不存在與它有沒有定義并無關系。事實上, ???0 ,不等式

x?1去非零因子x?1后就化為x?1?2?x?1??,因此只要取???,那么當

x2?1?2??.0?x?1??時,就有x?1所以由函數極限定義知：

x2?1lim?2.x?1x?12.2 利用恒等變形和極限運算法則求極限

恒等變形通常是利用提取出因式約簡分式, 分子或分母有理化及三角函數變換等。利用極限運算法則時則應特別注意法則的適用條件即各項極限存在且和, 積運算只能推廣出有限項。

例2 求lim1?tanx?1?sinx.x(1?cosx)x?0分析：當x?0時，分母x?1?cosx??0，顯然不能運用極限運算法則進行處理，但在x?0的過程中，x?0，所以在所求的極限公式中可約去不為零的公因式，在求解中所用的方法就是對分子、分母進行合理的因式分解，約去產生奇異的因子，從而達到化簡求解的目的。解：原式?lim1?tanx?(1?sinx)

x(1?cosx)1?tanx?1?sinxx?0??sinx?sinx1cosx ?lim ?limx?01?tanx?1?sinxx?0x(1?cosx)1sinx11 ?lim?lim?.2x?0xx?0cosx22.3 利用迫斂性求極限

利用迫斂性求極限，就是利用所謂的夾逼定理，通過確定兩端式子的極

限來求解所要求解的極限值。給出夾逼定理：若函數f(x)滿足h(x)?f(x?)g(，x)且limh(x)?limg(x)?A，則limf(x)?A.x?x0x?x0x?x0?1?11??1 ??????例3 證明lim??222x???x?2x?x??x?1分析：本題函數為無窮級數和的形式，不易用一般方法簡單的求出極限值，故在這里考慮h(x)?xx?x2與g(x)?xx?12的極限值。

證明：利用放縮思想，容易看出

xx?x2?1x?12?1x?22?????1x?x2?xx?12

而

limxx?x2x???lim11?1xx???1，limxx?12x???lim11?1x2x???1，于是由兩邊夾準則知：

?1lim??2x????x?11x2?2????????1.?2x?x?12.4 利用兩個重要極限及其推導公式求函數極限

Ⅰ第一個重要極限：limsin?(x)sinx?1.?1；其變形為：lim?(x)?0?(x)x?0x1xx?0Ⅱ第二個重要極限：lim?1?x??e；其變形為：lim?1??(x)??(x)?0?(x)1?(x)?e

?1??1?或者lim?1???e；其變形為：lim?1???(x)??x???x???(x)?x?e.sinx2例4 求lim.x?0x 5 分析：先判斷類型，當x?0時sinx2?0，故所求極限是“

0”型，且不能0消去零因子，現在我們利用第一個重要極限求解。令?(x)?x2，通過變形可得sin??x?.??x??sinx2?sinx2?x??limx?1?0?0.解：原式?lim???limx?0?x?0x?0xx??

例5 求lim(cosx)x?0sin?2x2.分析：先判斷類型，因為cosx?1,x?0，故知是“10”型，且不能消去零x，可化簡的第二個重要極限的形式，現在我們利用第2二個重要極限求解。因子，令?(x)??sin2xsin?22解：原式?lim(1?2sin)x?022x1x?sin?2??22???2x???lim?1?(?2sin)??e?2.?x?02???????22.5 利用洛必達法則求解

這是目前最常用的求極限的方法之一，最好能與等價無窮小替換相結

0?合，以減少求導的次數。常見的未定式有：型，型，1?型，?0型，??00?0?型，???型，后四種未定式能化成前兩種基本型型和型

0?下面是形式語言的變換：

0?（1）??0?

或 ??0?.11?0（2）①?1??2?1102?01??.01020102 6 ??? ②?1??2??1?1?2????1?1??2?1.1?1（3）①1??eln1??e?ln1?e?e0ln0?eln11?ln010.②0?e0ln00.③?0?eln?0?e0ln??eln?10.1?cos3x例6 求極限lim.x??sinx分析：當x??時，1?cos2x?0，sinx?0，顯然是洛必達法則進行求解。

0型，故可直接使用01?cos3x1?cos3x3cos2x??sinx??lim?lim解： lim 'x??x??x??sinxcosx?sinx???' ?lim??3cosxsinx? ??3cos?sin??0.x??2.6 利用函數的連續性質求解

若f(x)在x0連續，則知limf(x)?f(x0)，即求連續函數的極限，可歸

x?x0結為計算函數值。常見有以下幾種形式：(1)設f(x)在x?a處連續，若

x?ax?alimxn?an??，則limf(xn)?f(limxn)?f(a)及limf(x)?f(limx)?f(a)。

n??n??(2)設limu(x)?A?0，limv(x)?B，u(x)、v(x)在x?a處連續,則

x?ax?alimu(x)v(x)?limev(x)lnu(x)?eBlnA?AB.x?ax?a 7

例7 求極限limln2?7x?6?.x?1?6?解：因為f(x)?ln2?7x?6?是初等函數，在定義域?,???內是連續的，所以

?7?在x?1處也連續，根據連續的定義，極限值等于函數值。所以

limln2?7x?6??f(1)?ln2?7?6??0.x?12.7 利用等價無窮小量代換求解

定理:設在自變量的某一變化過程中，?,??,?,??均為無窮小，又????,????且 lim?1?????A，則lim?1?????lim?1???????A.例

x如：當x?0時，有⑴sinx~x，⑵arcsinx~x，⑶tanx~x，⑷e-1~x，1??1112xn⑸ln?1?x?~x，⑹1?cosx~x，⑺arctanx~x，⑻1?x-1~2n例8 求極限lim1?2tanxx?0.?2?1xln(1?x).解：當x?0時，1?2tan2x~2x2，xln(1?x)~?x2.故

lim?1?2tanx?2x?01xln(1?x)12?x2?lim?1?2xx?0??e?2.2.8 利用導數的定義求解

利用導數的定義求極限，一般可得lim法要求熟練掌握導數的定義及性質。

例9 若函數f(x)在xo點處可導, 且f?(x0)?3，求極限：

h?0f?x0?kh??f(x0)?kf?(x0)，此方

hlimh?0f?x0?5h??f(x0).h解：由于f(x)在x0點處可導, 若令?x?5h，則

limh?0f?x0?5h??f(x0)h?limh?0f?x0??x??f(x0)?x?5?5f?(x0)?15.2.9 利用泰勒公式求極限

如果函數f(x)在含x0的某個開區間?a,b?內具有直到n?1階導數, 即f?Dn?1?a,b?, 那么對于x??a,b?, 有

f(x)?f(x0)?f?(x0)(x?x0)?11nnf??(x0)(x?x0)2?????f??(x0)(x?x0)n?o(?x?x0?)2!n!這就是泰勒公式。

這是一種非常有效的方法，它實際上已包含了洛必達法則的求解方法，0利用泰勒公式求“ ” 型極限是一種重要而有效的方法, 因為有些此類不0定式運用洛必達法則需要連續幾次求導, 但用此法較為方便。

例10 求極限lim1?ex?0x2?x2.分析：首先要求掌握復合函數的泰勒展式，注意先展里層函數，再展外層函數。其次要把握好將函數展開到適當的階數。本題中很明顯，分母是2階無窮小量，因此，需將函數1?e?x展開到2階泰勒公式帶皮亞諾余項。解：由泰勒公式可知

ex?1?x?121x?????xn?oxn 2!n!2??所以

e?x?1?x2?o?x2?

2因此

1?e?x1?1?x2?ox2lim?lim?1.x?0x?0x2x22????2.10 利用微分中值定理求極限

若f(x)連續, 那么f?b?x???f?a?x???f?a?x????b?x??a?x???, 于是

b?x??a?x?limx?0f?b?x???f?a?x???limf?a?x????b?x??a?x????f?a0?，x?0b?x??a?x?x?0x?0其中0???1，lima?x??limb?x??a0（主要是利用拉格朗日中值定理）.etanx?ex例11 求極限lim.x?0sinx?xcosx分析：利用拉格朗日中值定理：etanx?ex?e??tanx?x?，?在tanx與x之間，且sinx?xcosx?cosx?tanx?x?.e??lim?1.解： 原式?limx?0cosx?tanx?x???01e??tanx?x?2.11 利用積分中值定理求極限

積分中值定理：

設f?x?在?a,b?上連續, 則????a,b?, 使得?f?x?dx?f????b?a?。積分

ab中值定理的推廣形式是, 設f?x?在?a,b?上連續, g?x?在?a,b?上不變號, 則????a,b?, 使得?f?x?g?x?dx?f????g?x?dx.aabb

例12 求極限lim?xn2?xdx.x??01解：

lim?xx??01n2?xdx?lim2???xndxx??011?lim2???0x??n?

1，0???1.2.12 利用瑕積分的極限等式求極限

命題 設f?x?在?a,b?上連續，a是f?x?的瑕點且瑕積分?f?x?dx收斂，abi?b?a???b?a??則等式?f?x?dx?lim?f?a?成立。?an??nn??i?1bn

n例13 求極限lim解：因為 n??n!.nn!1?ni?1nnln?lnn!?lnn???lni?nlnn???ln.nn?i?1?ni?1nn而函數f?x??lnx在?0,1?上連續，x?0是f?x??lnx的瑕點，且瑕積分

111?于是由上面命題，有 0lnxdx?xlnx|???dx??1．

001n!1nilimln?lim?ln??lnxdx??1，n??n??nnn0i?1n進而有：

nlimn??n!?limen??nnlnn!n?en??limlnnn!n1?e?1?.e

3.二元及多元函數極限的解法

二元函數極限是在一元函數極限的基礎上發展起來的，兩者之間既有聯系又有區別。由于變量個數的增加，二元函數極限的求法比一元函數極限的求法要復雜得多，但一元函數極限的基本運算在二元函數極限的運算中同樣適用。因此，可將一元函數的計算方法推廣至二元函數。

3.1 利用二元函數的連續性求解

由二元函數連續的性質可得以下命題 命題 若函數f?x,y?在點?x0,y0?處連續，則例14 求極限lim1

x2?y2?1?x,y???x0,y0?limf?x,y??f?x0,y0?.x?1y?2解：由函數連續的定義不難證明函數f?x,y??故

limx?1y?21在點22x?y?1?1,2?處連續.111???f1,2??.2222x?y?11?2?143.2 利用極限的運算法則求解

例15 求極限lim解：

limsinxysinxysinxy?lim?y?lim?limy?1.x?0x?0x?0?0xxyxyxy?1y?1y?1y?1sinxy.x?0xy?1

3.3 利用不等式，使用夾逼法則求解

例16 求極限limx?y.x??x2?xy?y2y?? 12 解： 由不等式x2?y2?2xy，得到

0?x?yx?y11x?y???? 2222x?xy?yx?y?xyxyxy又

?11?lim????0

?x???xy?y???所以：

limx?y?0.x??x2?xy?y2y??3.4 變量替換化為已知極限，或化為一元函數的極限求解

通過變量代換可以將某些二元函數的極限轉化為一元函數的極限來計算，從而使二元函數的極限變得簡單。

例17 求極限limx?0y?0xy?sin?xy?.xy?xycos?xy?解：設xy?t，因0?xy?12x?y2.2??故當x?0,y?0時，t?0則

原式?limt?0t?sintt?sint1?sintsint1?2lim?2lim?2lim?.t?0t?0t?06t2t?1?cost?t23t23

3.5 利用恒等變形法求解

將二元函數進行恒等變形，例如分母或分子有理化等，以約去零因子或無窮大因式。

例18 求極限lim解： 2?xy?4.?x,y???0,0?xy2?xy?42?xy?42?xy?4lim?lim?x,y???0,0??x,y???0,0?xyxy2?xy?4??????

??x,y???0,0?lim?xyxy2?xy?412?xy?4??14.??x,y???0,0?lim?

??3.6 利用兩個重要極限求解

1sinu?x,y?lim?1；lim?1?u?x,y??u?x,y??e.u?x,y??0u?x,y?u?x,y??0它們分別是一元函數中兩個重要極限的推廣，其中?x,y???x0,y0?時，u?x,y??0，視u?x,y?為新變量t，考慮極限過程t?0.例19 求極限lim解：

?x,y???0,0??x,y???0,0??2?x?sin?x2?y2?

x2?y2lim?2?x?sin?x2?y2?x?y22??x,y???0,0?lim?2?x??x,ylim???0,0?sin?x2?y2?x2?y2

??2?0??1?2.14 ?1??例20 求極限lim?1?x???xy??y?a?x2x?y.解：

?1??lim?1??x???xy??y?ax2x?yxy??1???lim??1????x???xy??y?a????x2?x?y?xy

而

x211lim?lim? x???x?y?xyx???y?ay?ay?a?1??y?x?故

xy??1??原式?lim??1????x???xy??y?a????x2?x?y?xy?e.1a3.7 利用等價無窮小代換求解

一元函數中的等價無窮小概念可以推廣到二元函數。在二元函數中常見的等價無窮小u?x,y??0，有

⑴ sinu?x,y?~u?x,y?；

⑵ 1?cosu?x,y?~12u?x,y?； 2⑶ ln?1?u?x,y??~u?x,y?；

⑷ tanu?x,y?~u?x,y?； ⑸ arcsinu?x,y?~u?x,y?； ⑹ arctanu?x,y?~u?x,y?； ⑺ nu?x,y?-1~1u?x,y?； ⑻ eu?x,y?-1~u?x,y?.n同一元函數一樣，等價無窮小代換只能在乘法和除法中應用。

例21 求極限limsin?xy?.?x,y???0,0?x 15 解：由?x,y???0,0?；可知sinxy~xy.故

sin?xy?xy?limlimy?0.?x,y???0,0??x,y???0,0?x?x,y???0,0?xlim

3.8 利用無窮小量與有界變量的乘積仍為無窮小的結論求解

sinx2y例22 求極限lim2.x?0x?y2y?0??解：

sinx2y因為lim2x?0xyy?0??令u?x2yx2y1sin?u??x ?lim?1，2u?0x?y22u

所以

原式?limx?0y?0sin?x2y?x2yx2y?2?0.2x?y3.9 利用二重積分來計算二元函數的極限

例23 求極限

n1??n2??lim(111111?????????n1?1n2?1n1?1n2?2n1?1n2?n2?111111?????????)n1?2n2?2n1?2n2?3n1?n1n2?n2

解：原式可化為

1limn1??nn12??i?1j?1n1n211?1n2??ij1?n1n2???D11??ln22 1?x1?y其中D為0?x?1,0?y?1.16 3.10 利用極坐標變換求解

?x??cos???設y?kx,求極限，若結果與k有關，或設?，求極限；若結

???y??sin?果與?有關，則二重極限不存在；若結果與k或?無關，則二重極限可能存在，這時還要進一步證明所得極限就是所求的二重極限。

x?y?x2?y2例24 求極限lim.x?0x?yy?0解：設y?kx，則

x?y?x2?y2x?kx?x2?k2x21?klim?lim?，x?0x?0x?yx?kx1?ky?0y?0極限與k有關.?x??cos???或設?

（?為變量，?為參數）

???y??sin?x?y?x2?y2??cos??sin????2cos??sin?lim?lim? x?0??0x?y??cos??sin??cos??sin?y?0極限與?有關 故原式極限不存在.3.11 利用二元函數的泰勒展式求解

例25 求極限limcos?x?y??cosxcosy.x?0xyy?0解：把cos?x?y??cosxcosy在?0,0?點展開得：

cos?x?y??cosxcosy??xy?ox2?y2

??所以

limcos?x?y??cosxcosy?xy?lim??1.x?0x?0xyxyy?0y?04.總結

一元函數的極限求法基本可以歸納為以下幾種方法（1）利用函數極限的定義求極限。（2）利用恒等變形和極限運算法則求極限（3）利用恒等變形和極限運算法則求極限（4）利用迫斂性求極限（5）利用兩個重要極限及其推導公式求函數極限(6)利用洛必達法則求極限（7）利用函數的連續性質求極限（8）利用等價無窮小量代換求極限（9）利用導數的定義求極限（10）利用泰勒公式求極限（11）利用微分中值定理求極限(12)利用積分中值定理求極限（13）利用瑕積分的極限等式求極限。

二元函數極限是在一元函數極限的基礎上發展起來的，雖然二元函數極限的求法比一元函數極限的求法要復雜得多，但一元函數極限的基本運算在二元函數極限的運算中同樣適用。因此，又可將一元函數的計算方法推廣至二元函數。

致謝

彈指一揮間，大學四年已經接近了尾聲。這次畢業設計得到了很多老師、同學和同事的幫助，其中我的導師鄭綠洲老師對我的關心和支持尤為重要，每次遇到難題，我最先做的就是向鄭老師尋求幫助，而鄭老師每次不管忙或閑，總會抽空來找我面談，然后一起商量解決的辦法。

此片論文得以完成,首先要感謝鄭綠洲老師的細心指導。鄭老師開闊的視野，為我提供了極大的發揮空間，在這段時間里讓我明白了做任何事情要嚴謹細致、一絲不茍，對人要寬容、寬厚，鄭老師寬厚待人的學者風范更是令我無比感動。感謝各位老師在這幾年一直在生活中、組織上給予我的教導和無私的幫助，讓我在湖北師范學院學院這個大舞臺上有鍛煉的能力、自我完善的平臺。在此文即將完成之際，我衷心的感謝在此過程中幫助過我的每 18 個人，在這里請接收我最誠摯的謝意！

由于時間倉促、自身等原因，文章錯誤疏漏之處在所難免，懇請各位老師斧正。

參考文獻

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第四篇：淺析極限的若干求法

科技信息 ○高校講臺○ SCIENCE & TECHNOLOGY INFORMATION

2007 年第 23 期

淺析極限的若干求法

孟金濤

(鄭州航空工業管理學院數理系河南 鄭州 450015)

摘要: 極限理論是高等數學的基礎, 本文給出了極限的若干求法, 并用具體實例加以說明。關鍵詞: 極限;表達式;等價無窮小

極限理論是高等數學的基礎, 極限問題是高等數學中困難問題之

a +a +?+a

xx

x n

一。中心問題有兩個: 一是證明極限的存在性, 二是求極限的值。兩個 問題密切相關: 若求出了極限的值, 自然極限的存在性也就證明了。反 之, 證明了存在性, 常常也就為求極限鋪平了道路。

利用定義證明極限的存在, 有一先決條件, 即事先要知道極限的 猜測值。通常情況下我們都不知道表達式的極限值, 那么如何根據表

→0

a1

+lim

x→0

+?+lim x a21 x→0 x→

1解】【(1)將根式有理化, 于是有原式為

x

解】令 t=-x,則 x→∞時, t→∞。于是lim(1-)=lim(1+)= 【

x→∞ t→∞ x t e

x

-t

=1 lim x→0x

(enπ)=sin2 【π, 由于初等函數在有定義的地方都連續,=sin

π

=sin項趨向于零求極限。1+

(1)利用收斂級數的通項趨向于零求極限。(2)利用收斂級數的余 2 π2lim =1。

原極限=sinn→∞ 2 +

1n

12×13×?×(n+10)例 9】求下列極限lim 【x, 其中(1)xn= 11×

十一、利用導數定義求極限n→∞ n

2×5×8?×(3n-1)

f(x-3h)-f(x0)例 11】設 f(x)在 x0 處可導, 求lim 0 【(2)xn=?+ h→0 2 2

2n)n+1 *(2n)

原極限=lim= 0 =arctan1= π 20n→∞ n i=11+x 4 i)

九、利用收斂級數的性質求極限,-

nπ

n+n +n

*)-

*

xn+1解】【(+當 x→∞時), 所以正項級數 1)由于 +x

n 3n+2 3 n =

1收斂, 從而可得通項 xn→0(當 n→∞時)。

∞

∞

∞

解】由導數定義有【

f(x03h)-f(x0)

h→0

lim

h→0

=lim

h

·(1

=0

Mathematics of Computation,1995,64:1147-1170.[ 2] A.R.Conn and Ph.L.Toint.An algorithm using quadratic interpolation for unconstrained derivative free optimization[ A].In G.Di Pillo and F.Gianessi, editors,Nonlinear Optimization and Applications [ M] ,New York, Plenum Publishing, 1996,27-47.[ 3] A.R.Conn,K.ScheinbergandPh.L.Toint.Ontheconvergenceof derivative-free methods for unconstrained optimization[ A].In A.Iserles andM.Buhmann,editors,ApproximationTheoryandOptimization: Tributes to M.J.D.Powell [ C] , Cambridge,UK,Cambridge University Press, 1997,83-103.[ 4] J.J.More and D.C.Sorensen.Computing a trust region step [ J].SIAM J.Sci.Stat.Comput,1983,4(3):553-572.Kef

≤Kk

2Kef

max$△k,△ kKgk

△k

(上接第 480 頁)實可行的財務風險防范措施。

從單個企業來講, 收益不足是導致財務風險的主要因素, 經營收 入扣除經營成本費用稅金等經營費用后是經營收益, 如果從經營收益 開始就已經虧損, 說明企業已近破產倒閉, 即使總收益為盈利, 可能是 由于非主營業務或營業外收入所形成利潤增加, 如出售手中持有有價 證券、固定資產等;如果經營收益為盈利, 而總收益為虧損, 問題不太 嚴重的話,說明已經出現危機信號, 但是可以正常經營的, 這是因為企 業的資本結構不合理, 舉債規模大,利息負擔重所致。企業必須針對財

務指標的評價采取有效措施加以調整。

綜上所述,利用財務指標的評價, 找出企業的薄弱環節, 制定出企 業的籌資活動、投資活動、資金回收、收益分配策略及措施, 防范規避 財務風險,才能使企業長久穩定健康發展。

[ 1] 溫素彬, 薛恒新.基于科學發展觀的企業三重績效評價模型[J].會計

研究.[ 2] 王化成, 劉俊勇, 孫薇.企業業績評價[M].北京: 中國人民大學出版

參考文社.獻

488

第五篇：淺談數列極限的求法

淺談數列極限的求法

龍門中小李海東

摘要：本文主要介紹了數列極限的幾種求法，并通過一個例題說明利用函數極限的求法，幫助尋找數列極限的方法，幫助學生理解和掌握求極限的方法。

關鍵詞：數列極限方（求）法說明

引言：在初等代數，高等代數學習過程中發現或多或少都涉及到數列極限的有關內容，在數學分析中數列極限是極其重要的章節，數列極限是學習函數極限的基礎和鋪墊，數列極限的求法和函數極限求法在某種程度上是彼此相似的，所以可以對照學習，也可以用一種求極限的方法，求出另外一種極限，給解答習題帶來一定的靈活性。方法也是比較靈活的。下面就數列極限的求法略作淺談，且舉例說明。

一 利用單調有界準則求極限

預備知識：若數列?an?收斂，則?an?為有界數列，即存在正數M，使得對一切正整數n，有 an?M.此方法的解題程序為：

1、直接對通項進行分析或用數學歸納驗證數列?an?單調有界；

2、設?an?的極限存在，記為liman?A代入給定的表達式中，則該式變為A的代數方n??

程，解之即得該數列的極限。

舉例說明：

例：若序列?an?的項滿足a1?a(a?0)且an?11?a????an??,(n?1,2,?),試證2?an??

?an?有極限并求此極限。

解由a1?a

21?a?1?a12?a?2a1aa1???aa2????2??a???a2?a1?1??1?

用數學歸納法證明ak?a需注意

22?a?2aka1?a?1?ak?ak??????a.ak??????2?ak?2?ak?ak

又an?an?12?a1?a?an???a???0 n??2?an?2an

??an?為單調減函數且有下界。

令其極限為A 由 an?1?

1?a?

?an??有： 2?an???

1?a?

??a?n??2?an?

liman?1?

n??

即A?

1?a?

?A?? 2?A?

?A?a?A?

a(A?0)

n??

從而liman?

a.二 利用數列極限的定義求數列的極限

大家知道，數列極限的定義是這樣的：設?an?為數列，a為定數，若對任給的正數?，總存在正整數N，使得當n?N時，有an?a??，則稱數列收斂于a，定數a稱為數列

an?an?的極限，記作：limn??

?a，當數列不單調時，我們就用此定義來求極限，其步驟：

1、先根據數列極限的唯一性求出極限；

2、再去證明極限的存在性。舉例說明：

例：設x1?2, xn?1?2?解1.令limxn?t

n??

(n?1)求:：limxn.n??xn

則limxn?1?lim??2?

n??

n??

??

xn

??? ?

即t?2??t?1?2?xn?2

?t?2? t?1?2(t?1?2舍去)

1t

2.證明其極限的存在性對???0xn?t?(2?)?(2?)xn?1t

xn?1?txn?2?t1xn?1?t???? tt?xn?1442

?

2?4n?1

??(當n足夠大)

?

1xn?1

?

x1?44n?1

由極限的下定義可得：lim?xn?t??0

n??

?limxn?t?1?

n??

2.三 利用數列夾逼準則求數列極限

回顧一下：設收斂數列?an??數列{cn}滿足：存在正數N0，當n?N0，bn?都以a為極限，時，有：an?cn?bn.則數列{cn}收斂，且limcn?a.n??

此方法一般通過放大或縮小分母來找出兩邊數列的通項，從而達到求極限的目的。

舉例說明：

?11?

例：求 lim?1??2?.n??

?nn?

?1??11??n?1?

解由?1????1??2???1?2?

n??n??nn??

??n?1?n?11???

?1??1???1?2????? ?(n?1)(n?1)?n?1n?1??????

n

n

n

n

nnn

?1?

顯然 lim?1???e

n??

?n?

nn?1

??1?1?1?????lim1??1?并且 lim?1???????e ??n??n??

?n?1??n?1?????n?1??

n

?11?

?lim?1??2??e.n??

?nn?

四 利用重要公式求極限或轉化為函數的極限

此方法必須在牢記重要極限的形式和其值的基礎上，對所求式子作適當變形，從而達到求其極限的目的，這種方法靈活，有相當的技巧性。

舉例說明：

n

n?1

?n?1?1

例：求 limsin.n??

nnn

n?1

?n?1?1

解limsin

n??

nnn

=lim?

?n?1?

?n??n??

n?1

sin?1

nsin?1n1n

=lim?1?

?n??

?1??n?

n?1

=lim?1?=e?1?1=e

?n??

?

1??1????1???n??n?1

n

n

sin

例：求極限lim?

?sinx?

?x?asina??

x?a

1x?a

.解lim?

?sinx?

?x?asina???

x?a

?

1x?a

=lim?1?

sinx?sina?

?sina?

1sinacosa

?x?acosasina

x?ax?a??2cossin??=lim?1??x?asina???????

x?a????2cosasin?

??=lim?1?x?a??sina????????

sina

cosa?(x?a)

???????

cosasina

sina

??cosa?(x?a)x?a????2cosasin?????=lim?1??x?a??sina???????????

ctga

=e

ctga

?sin

?

?x?ax?a?

~? 22?

五 利用數列極限與函數的極限等值關系來求極限

此方法把數列極限化成函數形式的極限，而后回代，從而求出數列極限的一種方法。

舉例說明：

?a?b?c?

?.例：若 a,b,c?0,求lim???n???3??

解先考慮：

?1

?ax?bx?cx

ln?

3??

n

??

??xln??

x

?1

?ax?bx?cx?

3????? ??

?1

?ax?bx?cx

而limxln?

x???3?

???? ??

?1?xxx??ln?a?b?c??ln3??=lim

x???1

x

?2?axlna?2?bx?lnb?2?cx?lnc=lim

x???

1?2x

1x

1x

1x

1x1x1x

=lim

alna?b?lnb?c?lnc

a?b?c

1x

1x

1x

x???

=lnabc

???c?

? ?lim??n????3??

n

?1

?ax?bx?cx

=lim?

n???3?

???? ??

n

=lime

n???

??111??ax?bx?cxxln???????

???????

=e??

?lnabc??

?3?

=e

ln?abc?3

=?abc?

通過上面簡單的對求數列極限的一般方法加以歸納，并舉例說明，就可以在我們大腦中造成深刻的印象，更好地掌握函數和數列極限的求法。但數列極限的求法并不限于這幾種方法，或許還有很多種，希望大家在學習過程中善于歸納總結求數列極限的方法，以便我們共勉。

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