第一篇：數學分析中極限的求法總結

數學分析中極限的求法總結

1.1 利用極限的定義求極限

用定義法證明極限，必須有一先決條件，即事先得知道極限的猜測值A，這種情況一般較困難推測出，只能對一些比較簡單的數列或函數推測分析出極限值，然后再去用定義法去證明，在這個過程中，放縮法和含絕對值的不等式總是密切相連的。

例：limf?x??A的ε-δ 定義是指：?ε＞0，?δ=δ(x0，ε)＞0，0＜|x-x0|x?x0

＜δ?|f(x)-A|＜ε 為了求δ 可先對x0的鄰域半徑適當限制，如然后適當放

大｜f(x)-A｜≤φ(x)(必然保證φ(x)為無窮小)，此時往往要用含絕對值的不等式：

｜x+a｜=|(x-x0)+(x0+a)|≤|x-x0|+|x0+a|＜｜x0+a｜+δ

1域|x+a|=|(x-x0)+(x0+a)|≥|x0+a|-|x-x0|＞|x0+a|-δ1

從φ(x)＜δ2，求出δ2后，取δ＝min(δ1，δ2)，當0＜|x-x0 |＜δ 時，就有|f(x)-A|＜ε.x?x?...xn?a.例：設limxn?a則有lim1

2n??n??n

??xn-a??于是當證明：因為limxn?a,對???0，?N1?N1(?),當n?N1時，n??2

x?x?...?xn?x?x?...?xn?na?12?a??12 n?N1nn

0????

其中A??x1?a???x2?a???xN1???是一個定數,再由

解得n?2AA??，n2x?x?...?xn????2A?? ,故取N?max?N1,???當n?N12???+=?。?n22?????

1.2 利用極限的四則運算性質求極限

定理[1]：若極限limf(x)和limg(x)都存在，則函數f(x)?g(x)，f(x)?g(x)當x?x0x?x0

x?x0時也存在且

①lim?f(x)?g(x)??limf(x)?limg(x)x?x0x?x0x?x0

②lim?f(x)?g(x)??limf(x)?limg(x)x?x0x?x0x?x0

limf(x)f(x)f(x)x?x

又若c?0，則在x?x0時也存在，且有lim.?0

x?x0g(x)g(x)limg(x)

x?x0

利用該種方法求極限方法簡單，但要注意條件是每項或每個因子極限存在，0?

一般情況所給的變量都不滿足這個條件，例如出現，??? 等情況，都

0?

不能直接運用四則運算法則，必須對變量進行變形。變形時經常用到因式分解、有理化的運算以及三角函數的有關公式。

31（?）例：求lim x?11?x31?x

解：由于當x?1時，與的極限都不存在，故不能利用“極限的和等3

1?x1?x

于和的極限”這一法則，先可進行化簡

313?(1?x?x2)(1?x)(2?x)(2?x)

這樣得到的新函數當?=??

1?x31?x1-x3(1?x)(1?x?x2)(1?x?x2)

x?1時，分子分母都有極限且分母的極限不為零，可用商的極限法則，即

31(2?x)lim（?）=lim=1 x?11?x31?xx?1(1?x?x2)

1.3 利用函數的連續性求極限

定理[2]：一切連續函數在其定義區間內的點處都連續，即如果x0是函數f(x)的定義區間內的一點，則有limf(x)?f(x0)。

x?x0

一切初等函數在其定義域內都是連續的，如果f(x)是初等函數，x0是其定義域內一點，則求極限limf(x)時，可把x0代入f(x)中計算出函數值，即

x?x0

x?x0

limf(x)=f(x0)。

對于連續函數的復合函數有這樣的定理：若u??(x)在x0連續且u0??(x0)，y?f(u)在u0處連續，則復合函數y?f[?(x)]在x0處也連續，從而

x?xo

limf???x???f???xo??或limf???x???flim??x?。

x?xo

x?xo

lnsinx 例：lim?

x?

解：復合函數x=

??

在處是連續的，即有limlnsinx=lnsin?ln1?0

?22x?

1.4 利用無窮小的性質求極限

我們知道在某一過程中無窮大量的倒數是無窮小量，有界變量乘無窮小是無窮小，對一些特殊的函數而言用其他方法很難求得，只能用這種方法來求。

4x-7

例：求lim2

x?1x?3x?2

解：當時x?1，分母的極限為零，而分子的極限不為零，可先求處所給函數倒

4x-7x2?3x?2

=?。=0，故lim2數的極限lim

x?1x?1x?3x?24x-7

1.5 利用單調有界原理求極限

這種方法是利用定理:單調有界數列必有極限，先判斷極限存在，進而求極限。

例：求

n解：令xn?

xn?1?

n?，即xn?1?xn，所

以數列?x

n?單調遞增，由單調有界定理知，A，limxn?1?，即

A?

n??

n，所以?

n1?。2

1.6 利用夾逼準則求極限[3]

已知{xn},{yn},{zn}為三個數列，且滿足：（1）yn?xn?zn,(n?1,2,3,?)；（2）limyn?a，limzn?a。

則極限limxn一定存在，且極限值也是a，即limxn?a。利用夾逼準則求極

n??

n??

n??

n??

限關鍵在于從xn的表達式中，通常通過放大或縮小的方法找出兩個同極限值的數列使得yn?xn?zn。

例：xn?

?...xn的極限

解：因為xn單調遞減，所以存在最大項和最小項

xn?

?...?

xn?

?...?

?

?xn??n

又因為n，則limxn?1。

x??

第二篇：淺析極限的若干求法

科技信息 ○高校講臺○ SCIENCE & TECHNOLOGY INFORMATION

2007 年第 23 期

淺析極限的若干求法

孟金濤

(鄭州航空工業管理學院數理系河南 鄭州 450015)

摘要: 極限理論是高等數學的基礎, 本文給出了極限的若干求法, 并用具體實例加以說明。關鍵詞: 極限;表達式;等價無窮小

極限理論是高等數學的基礎, 極限問題是高等數學中困難問題之

a +a +?+a

xx

x n

一。中心問題有兩個: 一是證明極限的存在性, 二是求極限的值。兩個 問題密切相關: 若求出了極限的值, 自然極限的存在性也就證明了。反 之, 證明了存在性, 常常也就為求極限鋪平了道路。

利用定義證明極限的存在, 有一先決條件, 即事先要知道極限的 猜測值。通常情況下我們都不知道表達式的極限值, 那么如何根據表

→0

a1

+lim

x→0

+?+lim x a21 x→0 x→

1解】【(1)將根式有理化, 于是有原式為

x

解】令 t=-x,則 x→∞時, t→∞。于是lim(1-)=lim(1+)= 【

x→∞ t→∞ x t e

x

-t

=1 lim x→0x

(enπ)=sin2 【π, 由于初等函數在有定義的地方都連續,=sin

π

=sin項趨向于零求極限。1+

(1)利用收斂級數的通項趨向于零求極限。(2)利用收斂級數的余 2 π2lim =1。

原極限=sinn→∞ 2 +

1n

12×13×?×(n+10)例 9】求下列極限lim 【x, 其中(1)xn= 11×

十一、利用導數定義求極限n→∞ n

2×5×8?×(3n-1)

f(x-3h)-f(x0)例 11】設 f(x)在 x0 處可導, 求lim 0 【(2)xn=?+ h→0 2 2

2n)n+1 *(2n)

原極限=lim= 0 =arctan1= π 20n→∞ n i=11+x 4 i)

九、利用收斂級數的性質求極限,-

nπ

n+n +n

*)-

*

xn+1解】【(+當 x→∞時), 所以正項級數 1)由于 +x

n 3n+2 3 n =

1收斂, 從而可得通項 xn→0(當 n→∞時)。

∞

∞

∞

解】由導數定義有【

f(x03h)-f(x0)

h→0

lim

h→0

=lim

h

·(1

=0

Mathematics of Computation,1995,64:1147-1170.[ 2] A.R.Conn and Ph.L.Toint.An algorithm using quadratic interpolation for unconstrained derivative free optimization[ A].In G.Di Pillo and F.Gianessi, editors,Nonlinear Optimization and Applications [ M] ,New York, Plenum Publishing, 1996,27-47.[ 3] A.R.Conn,K.ScheinbergandPh.L.Toint.Ontheconvergenceof derivative-free methods for unconstrained optimization[ A].In A.Iserles andM.Buhmann,editors,ApproximationTheoryandOptimization: Tributes to M.J.D.Powell [ C] , Cambridge,UK,Cambridge University Press, 1997,83-103.[ 4] J.J.More and D.C.Sorensen.Computing a trust region step [ J].SIAM J.Sci.Stat.Comput,1983,4(3):553-572.Kef

≤Kk

2Kef

max$△k,△ kKgk

△k

(上接第 480 頁)實可行的財務風險防范措施。

從單個企業來講, 收益不足是導致財務風險的主要因素, 經營收 入扣除經營成本費用稅金等經營費用后是經營收益, 如果從經營收益 開始就已經虧損, 說明企業已近破產倒閉, 即使總收益為盈利, 可能是 由于非主營業務或營業外收入所形成利潤增加, 如出售手中持有有價 證券、固定資產等;如果經營收益為盈利, 而總收益為虧損, 問題不太 嚴重的話,說明已經出現危機信號, 但是可以正常經營的, 這是因為企 業的資本結構不合理, 舉債規模大,利息負擔重所致。企業必須針對財

務指標的評價采取有效措施加以調整。

綜上所述,利用財務指標的評價, 找出企業的薄弱環節, 制定出企 業的籌資活動、投資活動、資金回收、收益分配策略及措施, 防范規避 財務風險,才能使企業長久穩定健康發展。

[ 1] 溫素彬, 薛恒新.基于科學發展觀的企業三重績效評價模型[J].會計

研究.[ 2] 王化成, 劉俊勇, 孫薇.企業業績評價[M].北京: 中國人民大學出版

參考文社.獻

488

第三篇：高數極限求法總結

首先說下我的感覺，假如高等數學是棵樹木得話，那么 極限就是他的根，函數就是他的皮。樹沒有跟，活不下去，沒有皮，只能枯萎，可見這一章的重要性。

為什么第一章如此重要？ 各個章節本質上都是極限，是以函數的形式表現出來的，所以也具有函數的性質。函數的性質表現在各個方面

首先 對 極限的總結 如下

極限的保號性很重要 就是說在一定區間內 函數的正負與極限一致 極限分為 一般極限，還有個數列極限，（區別在于數列極限時發散的，是一般極限的一種）

2解決極限的方法如下：（我能列出來的全部列出來了！！！你還能有補充么？？？）1 等價無窮小的轉化，（只能在乘除時候使用，但是不是說一定在加減時候不能用 但是前提是必須證明拆分后極限依然存在）e的X次方-1 或者（1+x）的a次方-1等價于Ax 等等。全部熟記

（x趨近無窮的時候還原成無窮小）

2落筆他 法則（大題目有時候會有暗示 要你使用這個方法）

首先他的使用有嚴格的使用前提！！！

必須是 X趨近而不是N趨近！！！！（所以面對數列極限時候先要轉化成求x趨近情況下的極限，當然n趨近是x趨近的一種情況而已，是必要條件（還有一點 數列極限的n當然是趨近于正無窮的 不可能是負無窮！）

必須是 函數的導數要存在！！！！（假如告訴你g（x）, 沒告訴你是否可導，直接用無疑于找死！）

必須是 0比0 無窮大比無窮大！！！！！

當然還要注意分母不能為0 落筆他 法則分為3中情況 0比0 無窮比無窮 時候 直接用 0乘以無窮 無窮減去無窮（應為無窮大于無窮小成倒數的關系）所以 無窮大都寫成了無窮小的倒數形式了。通項之后 這樣就能變成1中的形式了 3 0的0次方 1的無窮次方 無窮的0次方

對于（指數冪數）方程 方法主要是取指數還取對數的方法，這樣就能把冪上的函數移下來了，就是寫成0與無窮的形式了，（這就是為什么只有3種形式的原因，LNx兩端都趨近于無窮時候他的冪移下來趨近于0 當他的冪移下來趨近于無窮的時候 LNX趨近于0）

3泰勒公式(含有e的x次方的時候，尤其是含有正余旋 的加減的時候要 特變注意！！）

E的x展開 sina 展開 cos 展開 ln1+x展開 對題目簡化有很好幫助

4面對無窮大比上無窮大形式的解決辦法

取大頭原則 最大項除分子分母！！！！！！看上去復雜處理很簡單！！！！！

5無窮小于有界函數的處理辦法

面對復雜函數時候，尤其是正余旋的復雜函數與其他函數相乘的時候，一定要注意這個方法。

面對非常復雜的函數 可能只需要知道它的范圍結果就出來了！！

6夾逼定理（主要對付的是數列極限！）

這個主要是看見極限中的函數是方程相除的形式，放縮和擴大。

7等比等差數列公式應用（對付數列極限）（q絕對值符號要小于1）

8各項的拆分相加（來消掉中間的大多數）（對付的還是數列極限）可以使用待定系數法來拆分化簡函數

9求左右求極限的方式（對付數列極限）例如知道Xn與Xn+1的關系，已知Xn的極限存在的情況下，xn的極限與xn+1的極限時一樣的，應為極限去掉有限項目極限值不變化2 個重要極限的應用。這兩個很重要！！！對第一個而言是X趨近0時候的sinx與x比值。地2個就如果x趨近無窮大 無窮小都有對有對應的形式（地2個實際上是 用于 函數是1的無窮的形式）（當底數是1 的時候要特別注意可能是用地2 個重要極限）還有個方法，非常方便的方法

就是當趨近于無窮大時候

不同函數趨近于無窮的速度是不一樣的！！！！！！！！

x的x次方 快于 x！快于 指數函數 快于 冪數函數 快于 對數函數（畫圖也能看出速率的快慢）！！！當x趨近無窮的時候 他們的比值的極限一眼就能看出來了 換元法 是一種技巧，不會對模一道題目而言就只需要換元，但是換元會夾雜其中

13假如要算的話 四則運算法則也算一種方法，當然也是夾雜其中的

14還有對付數列極限的一種方法，就是當你面對題目實在是沒有辦法 走投無路的時候可以考慮 轉化為定積分。一般是從0到1的形式。

15單調有界的性質

對付遞推數列時候使用 證明單調性！！！

16直接使用求導數的定義來求極限，（一般都是x趨近于0時候，在分子上f（x加減麼個值）加減f（x）的形式，看見了有特別注意）

（當題目中告訴你F(0)=0時候 f（0）導數=0的時候 就是暗示你一定要用導數定義！！）

（從網上發現，謝謝總結者）

第四篇：淺談數列極限的求法

淺談數列極限的求法

龍門中小李海東

摘要：本文主要介紹了數列極限的幾種求法，并通過一個例題說明利用函數極限的求法，幫助尋找數列極限的方法，幫助學生理解和掌握求極限的方法。

關鍵詞：數列極限方（求）法說明

引言：在初等代數，高等代數學習過程中發現或多或少都涉及到數列極限的有關內容，在數學分析中數列極限是極其重要的章節，數列極限是學習函數極限的基礎和鋪墊，數列極限的求法和函數極限求法在某種程度上是彼此相似的，所以可以對照學習，也可以用一種求極限的方法，求出另外一種極限，給解答習題帶來一定的靈活性。方法也是比較靈活的。下面就數列極限的求法略作淺談，且舉例說明。

一 利用單調有界準則求極限

預備知識：若數列?an?收斂，則?an?為有界數列，即存在正數M，使得對一切正整數n，有 an?M.此方法的解題程序為：

1、直接對通項進行分析或用數學歸納驗證數列?an?單調有界；

2、設?an?的極限存在，記為liman?A代入給定的表達式中，則該式變為A的代數方n??

程，解之即得該數列的極限。

舉例說明：

例：若序列?an?的項滿足a1?a(a?0)且an?11?a????an??,(n?1,2,?),試證2?an??

?an?有極限并求此極限。

解由a1?a

21?a?1?a12?a?2a1aa1???aa2????2??a???a2?a1?1??1?

用數學歸納法證明ak?a需注意

22?a?2aka1?a?1?ak?ak??????a.ak??????2?ak?2?ak?ak

又an?an?12?a1?a?an???a???0 n??2?an?2an

??an?為單調減函數且有下界。

令其極限為A 由 an?1?

1?a?

?an??有： 2?an???

1?a?

??a?n??2?an?

liman?1?

n??

即A?

1?a?

?A?? 2?A?

?A?a?A?

a(A?0)

n??

從而liman?

a.二 利用數列極限的定義求數列的極限

大家知道，數列極限的定義是這樣的：設?an?為數列，a為定數，若對任給的正數?，總存在正整數N，使得當n?N時，有an?a??，則稱數列收斂于a，定數a稱為數列

an?an?的極限，記作：limn??

?a，當數列不單調時，我們就用此定義來求極限，其步驟：

1、先根據數列極限的唯一性求出極限；

2、再去證明極限的存在性。舉例說明：

例：設x1?2, xn?1?2?解1.令limxn?t

n??

(n?1)求:：limxn.n??xn

則limxn?1?lim??2?

n??

n??

??

xn

??? ?

即t?2??t?1?2?xn?2

?t?2? t?1?2(t?1?2舍去)

1t

2.證明其極限的存在性對???0xn?t?(2?)?(2?)xn?1t

xn?1?txn?2?t1xn?1?t???? tt?xn?1442

?

2?4n?1

??(當n足夠大)

?

1xn?1

?

x1?44n?1

由極限的下定義可得：lim?xn?t??0

n??

?limxn?t?1?

n??

2.三 利用數列夾逼準則求數列極限

回顧一下：設收斂數列?an??數列{cn}滿足：存在正數N0，當n?N0，bn?都以a為極限，時，有：an?cn?bn.則數列{cn}收斂，且limcn?a.n??

此方法一般通過放大或縮小分母來找出兩邊數列的通項，從而達到求極限的目的。

舉例說明：

?11?

例：求 lim?1??2?.n??

?nn?

?1??11??n?1?

解由?1????1??2???1?2?

n??n??nn??

??n?1?n?11???

?1??1???1?2????? ?(n?1)(n?1)?n?1n?1??????

n

n

n

n

nnn

?1?

顯然 lim?1???e

n??

?n?

nn?1

??1?1?1?????lim1??1?并且 lim?1???????e ??n??n??

?n?1??n?1?????n?1??

n

?11?

?lim?1??2??e.n??

?nn?

四 利用重要公式求極限或轉化為函數的極限

此方法必須在牢記重要極限的形式和其值的基礎上，對所求式子作適當變形，從而達到求其極限的目的，這種方法靈活，有相當的技巧性。

舉例說明：

n

n?1

?n?1?1

例：求 limsin.n??

nnn

n?1

?n?1?1

解limsin

n??

nnn

=lim?

?n?1?

?n??n??

n?1

sin?1

nsin?1n1n

=lim?1?

?n??

?1??n?

n?1

=lim?1?=e?1?1=e

?n??

?

1??1????1???n??n?1

n

n

sin

例：求極限lim?

?sinx?

?x?asina??

x?a

1x?a

.解lim?

?sinx?

?x?asina???

x?a

?

1x?a

=lim?1?

sinx?sina?

?sina?

1sinacosa

?x?acosasina

x?ax?a??2cossin??=lim?1??x?asina???????

x?a????2cosasin?

??=lim?1?x?a??sina????????

sina

cosa?(x?a)

???????

cosasina

sina

??cosa?(x?a)x?a????2cosasin?????=lim?1??x?a??sina???????????

ctga

=e

ctga

?sin

?

?x?ax?a?

~? 22?

五 利用數列極限與函數的極限等值關系來求極限

此方法把數列極限化成函數形式的極限，而后回代，從而求出數列極限的一種方法。

舉例說明：

?a?b?c?

?.例：若 a,b,c?0,求lim???n???3??

解先考慮：

?1

?ax?bx?cx

ln?

3??

n

??

??xln??

x

?1

?ax?bx?cx?

3????? ??

?1

?ax?bx?cx

而limxln?

x???3?

???? ??

?1?xxx??ln?a?b?c??ln3??=lim

x???1

x

?2?axlna?2?bx?lnb?2?cx?lnc=lim

x???

1?2x

1x

1x

1x

1x1x1x

=lim

alna?b?lnb?c?lnc

a?b?c

1x

1x

1x

x???

=lnabc

???c?

? ?lim??n????3??

n

?1

?ax?bx?cx

=lim?

n???3?

???? ??

n

=lime

n???

??111??ax?bx?cxxln???????

???????

=e??

?lnabc??

?3?

=e

ln?abc?3

=?abc?

通過上面簡單的對求數列極限的一般方法加以歸納，并舉例說明，就可以在我們大腦中造成深刻的印象，更好地掌握函數和數列極限的求法。但數列極限的求法并不限于這幾種方法，或許還有很多種，希望大家在學習過程中善于歸納總結求數列極限的方法，以便我們共勉。

參考文獻：

[1]程其襄.數學分析第三版[M].高等教育出版社，1981（4）[2]謝惠民.數學分析習題課講義[M].高等教育出版社，2003（7）

[3]周建瑩 李正元.高等數學解題指南[M].北京大學出版社，2002.（10）[4]王汝發.高等數學解題方法[M].蘭州大學出版社，1994.（3）

第五篇：淺談函數極限的求法

淺談函數極限的求法

摘要：函數極限是數學分析的基本內容之一，也是解決其它問題的基礎。如何求出已知函數的極限是學習微積分必須掌握的基本技能。本文系統地介紹了利用定義、兩個重要極限、無窮小量代換、洛必達法則、夾逼準則等求極限的方法，并結合具體的例子，指出了在解題中常遇見的一些問題。

關鍵詞: 函數極限夾逼準則等價無窮小量洛必達法則泰勒展開式無窮小量

引言

極限研究的是函數的變化趨勢，在自變量的某個變化過程中，對應的函數值無限解決某個確定的數，那這個數就是函數的極限了。極限是數學分析中一個非常重要的概念，是貫徹數學分析的一條主線，它將數學分析的各個知識點連在一起，所以，求極限的方法顯得尤為重要的，我們知道，函數是數學分析研究的對象，而極限方法則是數學分析中研究函數的重要方法，因此怎樣求極限就非常重要。

數學分析中所討論的極限大體上分為兩類：一類是數列的極限，一類是函數的極限。兩類極限的本質上是相同的，在形式上數列界限是函數極限的特例。因此，本文只就函數極限進行討論。函數極限運算是高等數學的一個重要的基本運算，一部分函數的極限可以通過直接或間接的運用“極限四則運算法則”來求解，而另一部分函數極限需要通過特殊方法解決。求函數極限的方法較多，但是每種方法都有其局限性，都不是萬能的。對某個具體的求極限的問題，我們應該追求最簡便的方法。在求極限的過程中，必然以相關的概念、定理以及公式為依據，并借助一些重要的方法和技巧。本文給出了十七種求極限的方法，每種方法都是以定理或簡述開頭，然后以例題來全面展示具體的求法。下面我們通過對一元函數和二元函數極限的求法來進行分類討論

一元函數極限的求法

1.1利用函數定義求極限

利用函數極限的???定義驗證函數的極限。設函數f在點x0的某空心鄰域，使得當U0(x0;??)內有定義,A為定數。若對任給的??0，存在正數?（???）

0?x?x0??時，有f(x)?A??成立，則稱函數f當x趨于x0時以A為極限，記作limf(x)?A或f(x)?A(x?x0)。x?x0

x2?4例1設f(x)?,證明limf(x)?4.x?2x?

2x2?4?4?x?2?4?x?2，證明: 由于當x?2時，f(x)?4?x?2

故對給定的??0，只要取???，則當0?x?2??時，有f(x)?4??.這就證明了limf(x)?4.x?2

(1)定義中的正數?，相當于數列極限??N定義中的N，它依賴于?，但也不是由?所惟一確定。一般來說，?愈小，?也相應地要小一些，而且把?取得更小一些也無妨，如在題1中可取???

2或???

3等等。

(2)定義中只要求函數f在點x0的某個空心領域內有定義，而一般不考慮f在點x0處的函數值是否有定義，或者取什么值。這是因為，對于函數極限我們所研究的是當x趨于x0過程中函數值的變化趨勢。如在題1中函數f在點x?2是沒有定義的，但當x?2時,f的函數值趨于一個定數。

1.2 利用單側極限求函數極限

這種方法適用于求分段函數在分段點處的極限。首先必須考慮分段點處的左、右極限都存在且相等，則函數在分界點處的極限存在，否則極限不存在。如符號函數sgnx，由于它在x?0處的左、右極限不相等，所以limsgnx不存在。x?0

f(x)?limf(x)?A.定理1 limf(x)?A?lim??x?x0x?x0x?x0

?2xx?0?例2 ： f(x)??0 x?0,求f(x)在x?0處的極限.?1?x2x?0?

f(x)?lim2x?1，解: lim??x?0x?0

f(x)?lim1?x?1，lim??x?0x?0

2f(x)?limf(x)?1，? lim??x?0x?0

? limf(x)?1.x?0

1.3 利用函數極限的四則運算法則求極限

定理2 若極限limf(x)和limg(x)都存在，則函數f(x)?g(x)，f(x)?g(x)，x?x0x?x0

當x?x0時也存在極限，且有

①limx?x0

x?x0?f(x)?g(x)??limf(x)?limg(x)； x?x0x?x0x?x0x?x0②lim?f(x)?g(x)?=limf(x)?limg(x)；

limf(x)f(x)f(x)x?x0③又若limg(x)?0，則在x?x0時也存在極限，且有lim.?x?x0x?x0g(x)g(x)limg(x)

x?x0

利用函數極限的四則運算法則求極限，條件是每項或每個因子極限都存在，一般所給的變量都不滿足這個條件，如?0，等情況，都不能直接用四則運算法?0

則，必須要對變量進行變形，設法消去分子、分母中的零因子，在變形時，要熟練掌握因式分解、有理化運算等恒等變形。

(xtanx?1).例3：求lim?x?4

解: 由xtanx?xsinx?2及limsinx?sin??limcosx，有 ??x?x?cosx42lim(xtanx?1)=limx???x?4limsinx?x?4x?limcosx?x??lim1??x??4?1.1.6 利用函數的連續性求函數極限

參考文獻:

[1] 華東師范大學數學系.數學分析(第三版)[M].北京:高等教育出版社,2001.[2] 陳傳璋,朱學炎等.數學分析(第二版)[M].北京:高等教育出版社,1998.[3] 張再云，陳湘棟等，極限計算的方法與技巧[J].湖南理工學院學報(自然科學版),2009,22(2):16-19.[4]歐陽光中.數學分析[M].上海：復旦大學出版社，2002.[5]錢吉林.數學分析解題精粹[M].武漢：崇文書局出版社，2001