第一篇：第一講 數(shù)列極限(數(shù)學(xué)分析)

第一講 數(shù)列極限

一、上、下確界

1、定義：

1）設(shè)S?R，若?M?R:?x?S,x?M，則稱M是數(shù)集S的一個(gè)上界，這時(shí)稱S上有界；若?L?R:?x?S,x?L，則稱L是數(shù)集S的一個(gè)下界，這時(shí)稱S下有界；當(dāng)S既有上界又有下界時(shí)就稱S為有界數(shù)集。

2）設(shè)S?R，若?M?R:?x?S,x?M，且???0,?x?S:x?M??，則稱M是數(shù)集S的上確界，記M?supS；若?L?R:?x?S,x?L，且???0,?x?S:x?L??，則稱L是數(shù)集S的下確界，記L?infS。

2、性質(zhì)：

1）（確界原理）設(shè)S?R，S??，若S有上界，則S有上確界；若S有下界，則S有下確界。

2）當(dāng)S無(wú)上界時(shí)，記supS???；當(dāng)S無(wú)下界時(shí)，記infS???。

3）sup(A?B)?max{supA,supB};inf(A?B)?min{infA,infB}。

4）supS??inf(?S);infS??sup(?S)。

5）sup(A?B)?supA?supB;inf(A?B)?infA?infB。

6）sup(A?B)?supA?infB。（武大93）

7）設(shè)f(x),g(x)是D上的有界函數(shù)，則

inff(D)?infg(D)?inf{f(x)?g(x)}?supf(D)?infg(D)x?D

?sup{f(x)?g(x)}?supf(D)?supg(D)

x?D3、應(yīng)用研究

1）設(shè){xn}為一個(gè)正無(wú)窮大數(shù)列，E為{xn}的一切項(xiàng)組成的數(shù)集，試證必存在自然數(shù)p，使得xp?infE。（武大94）

二、數(shù)列極限

1、定義：

1）liman?a????0,?N?N(?):n?N,|an?a|??，稱{an}為收斂數(shù)列； n??

2）liman?????M?0,?N:n?N,an?M，稱{an}為??數(shù)列； n??

3）liman?????M?0,?N:n?N,an??M，稱{an}為??數(shù)列； n??

4）liman????M?0,?N:n?N,|an|?M，稱{an}為?數(shù)列；

n??

5）liman?0，稱{an}為無(wú)窮小數(shù)列；

n??

2、性質(zhì)

1）唯一性：若liman?a,liman?b?a?b。

n??

n??

2）有界性：若{an}為收斂數(shù)列，則{an}為有界數(shù)列。3）保號(hào)性：liman?a?0??N,n?N,an?0.n??

4）保不等式性：若liman?a,limbn?b,an?bn(n?N0)?a?b.n??

n??

5）迫斂性：若an?cn?bn(n?N0),liman?limbn?c?limcn?c.n??

n??

n??

6）四則運(yùn)算：若liman?a,limbn?b,則

n??

n??

lim(an?bn)?a?b;lim(an?bn)?a?b;lim

n??

n??

bnb

?(a?0)。

n??aan

xn?xn?1xx?xn?

1存在，則limn?limn。

n??n??yn?yn?1ynyn?yn?1

7）Stolz定理：設(shè){yn}為嚴(yán)格增的??數(shù)列，若lim

n??

證明：（1）Sn?明）

aa?a???ana1a

2（用歸納法證，?,nbk?0,k?1,2,?,n，則minSn?12?maxSn。

b1b2bnb1?b2???bn

acaa?cc

?,b?0,d?0?a(b?d)?b(a?c),(a?c)d?(b?d)c???，bdbb?dd

minSn?1?minSn?

an?1a1???anan?1a1???an?an?1

； ???

bn?1b1???bnbn?1b1???bn?bn?1an?1a1???anan?1a1???an?an?1

。???

bn?1b1???bnbn?1b1???bn?bn?1

maxSn?1?maxSn?

（2）設(shè)lim

n??

xn?xn?1x?xx?x??

?r????0,?k,n?k:|nn?1?r|?，由（1）得|nk?r|?，又

yn?yn?1yn?yn?12yn?yk2

xk?

y

rky?xx

?n?rk，又|因?yàn)閥?nyk

xnx?rykyx?xkx

?r?k?(1?kn?r)，所以|n?r?|ynynynyn?ykynlim

n

xk?rykx?ryk?x

?0??N?k,n?N:|k|?，從而|n?r|??(n?N)

n??ynyn2yn3、極限存在條件：

1）（Cauchy收斂準(zhǔn)則）{an}收斂的充要條件是???0,?N:n,m?N?|an?am|??；

2）（單調(diào)有界收斂原理）若{an}單調(diào)增上有界，則{an}收斂，且liman?supan；若{an}單調(diào)減下有界，n??

n

則{an}收斂，且liman?infan；

n??

n

3）（致密性定理）有界數(shù)列必有收斂子列。4）{an}收斂的充要條件是limsup(am?ak)?0

n??m.k?n4、子列：n1?n2??,{ank}稱為{an}的子列： 1）{an}收斂的充要條件是{an}的任何子列都收斂；

2）liman存在?lima2n,lima2n?1都存在，且lima2n?lima2n?1；

n??

n??

n??

n??

n??

3）liman?A????0,滿足an?A??至多有限項(xiàng)，滿足an?A??有無(wú)窮多項(xiàng)，稱A為{an}的上極

n??

限；liman?B????0,滿足an?B??至多有限項(xiàng)，滿足an?A??有無(wú)窮多項(xiàng)，稱B為{an}的下極

n??

限；liman存在?liman?liman。

n??

n??

n??

（1）liman?limsupxk;liman?limsupxk；

n??

n??k?n

n??

n??k?n

（2）an?bn(n?n0)?liman?limbnan?bn；

n??

n??

n??

n??

（3）liman??lim(?an)；

n??

n??

（4）n??

an?bn?an?bn)?an?limbn

n??

n??

n??

n??

?lim(an?bn)?liman?limbn

n??

n??

n??

三、應(yīng)用研究

11????lnn，證明liman存在。

n??2n?

1n?1dn?111nxdx

b?1??????ln,n???ln(1證：令n

??nn2n?12n?1x1、設(shè)an?1?從而liman．

n??

nd1?1x)???, ?an?1?an,bn?1?bn，nnn

ccxn,n?1,2,?，證明limxn存在并求其值。２、c?[?3,0),x1?,xn?1??

n??22

2c|c||c|2cxnc?|c|2,?xn??|c|,?xn?1????0，證明：顯然xn?，x1?0。若xn?0，則|xn|?

224222

x2k?1?x2k?1??l

xi2k?

121222

(x2k?x2),x?x?(x2k?1?x2k?22k?22kk?1)?x2k?1?x2k?1,x2k?2?x2k22，從而

k??

cx2cx2cb2ca2nn?

1?maxk?b,，由xl2n?1?i?,x2n??,n?1,2,?得a??,b??，1?k??22222222

從而a?b?

(b?a2),(a?b)(a?b?2)?0，2

ca22

若a?b?2?0，由b??，得a?2a?4?c?0，則c??3，總之有a?b??1，即limxn??1.n??223、yn?1?yn(2?yn),0?y0?1，求證： limyn?1。（武大00）

n??

證明：若y0?yn?1，則1?yn?1?yn?y0，?f(x)?x(2?x)?1(0?x?1)，?y0?y1?y0(2?y0)?1，從而limyn(?a)存在，在yn?1?yn(2?yn)取極限，得a?a(2?a),0?y0?a?1，所以a?1。

n??

4、設(shè)a1?3,a2?3?述極限。（武大99）證明：由an?1?3?

4,a?3?,?，如果數(shù)列{an}收斂，計(jì)算其極限，并證明數(shù)列{an} 收斂于上

333?3

11111，a2n?1?a2n?1?4(?),a2n?2?a2n?4(?)，可歸納證得：ana2na2n?2a2n?1a2n?

1n??

n??

n??

n??

a2n,liam3?an?5,a2n?1?a2n?1,a2n?2?a2n,從而lim2n?1都存在，令lima2n?a,lima2n?1?b，由

a2n?1?3?

1,aa2n

n2?

?23?

1a2n?，取極限得a?3?

11a?b,b?3?,3?a,b?5,?a?b??a?b，baab

所以數(shù)列{an} 收斂，且liman?4

n??

5、設(shè)數(shù)列{an}有一子列{ank}收斂，且{ank}?{a2n}及{ank}?{a2n?1}都有無(wú)窮個(gè)元，而{a2n}及{a2n?1}都為單調(diào)數(shù)列，問{an}上否收斂？為什么？（武大98）證明：1）單調(diào)數(shù)列若有收斂子列，則本身收斂：

2）由1）知{a2n}及{a2n?1}都收斂，又因?yàn)閘ima2n?limank?lima2n?1，故{an}收斂。

n??

k??

n??

6、設(shè)an?0，且an?（武大97）???，證明數(shù)列{an}中存在一子序列{ank}是收斂的子序列。

?

7、設(shè)an?a(n??)，令an?max{an,0},a?max{a,0}，證明an（武大96）?a?(n??)。

?

?

8、設(shè){an}無(wú)上界，證明存在子序列{ank}，使得ank???(k???)。（武大95）9、設(shè)a?0,x1?

xn?1?n?1,2,?,證明極限limxn存在并求極限.（北大02）

n??

xn?2?a，當(dāng)x1?a時(shí)，{xn}單調(diào)增；當(dāng)x1?a時(shí)，{xn}單調(diào)減，從而極限limxn存

n??

在，令limxn?

x，在xn?1?

n??

x2?2?x?x?2?x??1，xn?2?a得

limxn?2。

n??

a2n10、求極限lim.（北大01）

n??1?a2n

a2na2na2n1222n

a?1?(a)?0?lim?0lim?解：當(dāng)a?1時(shí)，0?，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)a?12n2n2nn??1?an??1?a1?a

2a2n

1?lim?1。時(shí)，lim

n??1?a2nn??1

1?2n

a

1??f(a?)??11、設(shè)f(x)在點(diǎn)a右導(dǎo)，f(a)?0，求極限lim??.（北大01）n??

?f(a)???

解：

12、a?0).（北大98）

nn13、證明：（1）

11?n??n?1n

（用b?a[(n?1)b?na],b?a?0）(1?)?為遞減數(shù)列：?

n??

1?ln(1?)?,n?1,2????（華東師大00）n?1nn

（2）

14、設(shè)R中數(shù)列{an}，{bn}滿足an?1?bn?qan,n?1,2?,其中0?q?1,證明：

（1）若{bn}有界，則{an}有界；

（2）若{bn}收斂，則{an}收斂。（清華01）

證明：（1）設(shè)|bn|?M,|a1|?M，由于an?1?bn?qan?bn?qbn?1?qan?1?從而|an?1|?

?

n?

1kn

(?q)b?(?q)a1，n?kk?0

?k?0qkM?qnM?

n?1

M。1?q

（2）設(shè)limbn?b，|an?1?

n??

bn?1?

|?|?k?0(?q)kbn?k?(?q)na1??k?0(?q)kb| 1?q

?

?|?k?0(?q)k(bn?k?b)?(?q)n(a1?b)|?|?k?n?1(?q)kb|

n?1

?|?k?0(?q)(bn?k?b)|?|?k?m?1(?q)(bn?k

k

k

mn?1

qn

?b)?(?q)(a1?b)|?|b|

1?q

n

?|?k?n?m(?q)

n

n?k

qmqn

(bk?b)|?2M?|b|

1?q1?q

?1。x?1x15、（1）用???語(yǔ)言證明：lim

（2）設(shè)函數(shù)f在點(diǎn)a可導(dǎo)，且f(a)?0。求：

f(a?)

n。lim

n??f(a)

n

（3）求極限

1p?2p???np

lim，其中p?0。（清華00）

n??n1?p16、求極限lim[n(e?1)]（清華99）

n??

1n

n17、設(shè)liman?a，證明 lim

n??

a1?2a2???nana

?。（上海交大04）

n??n2

2證明 由Stolz公式lim

a1?2a2???nan(n?1)an?1a

?lim?。

n??n??(n?1)2?n2n2218、設(shè)xn?1?

3(1?xn),(x1?0為已知)求limxn.（南京大學(xué)00）

n??3?xn

19、求limsin(。（浙大01）

n??

20、試證：?jiǎn)握{(diào)數(shù)列{xn}收斂到a的充要條件是存在子列{xnk}收斂到a。（武漢所00）

第二篇：第一講 數(shù)列的極限典型例題

第一講

數(shù)列的極限

一、內(nèi)容提要

1.數(shù)列極限的定義

limxn?a????0,n???N??,?n?N，有xn?a??.注1 ?的雙重性.一方面,正數(shù)?具有絕對(duì)的任意性,這樣才能有

?xn?無(wú)限趨近于a?xn?a??(n?N)

另一方面,正數(shù)?又具有相對(duì)的固定性,從而使不等式xn?a??.還表明數(shù)列?xn?無(wú)限趨近于a的漸近過程的不同程度,進(jìn)而能估算?xn?趨近于a的近似程度.注2 若limxn存在，則對(duì)于每一個(gè)正數(shù)?，總存在一正整數(shù)N與之對(duì)應(yīng)，但這種N不是n??唯一的，若N滿足定義中的要求，則取N?1,N?2,?，作為定義中的新的一個(gè)N也必須滿足極限定義中的要求，故若存在一個(gè)N則必存在無(wú)窮多個(gè)正整數(shù)可作為定義中的N． 注3 xn?a(n??)的幾何意義是：對(duì)a的預(yù)先給定的任意??鄰域U(a,?)，在?xn?中至多除去有限項(xiàng)，其余的無(wú)窮多項(xiàng)將全部進(jìn)入U(xiǎn)(a,?)． 注4 limxn?a???0?0,n???N??,?n0?N，有xn?a??0.02.子列的定義

在數(shù)列?xn?中，保持原來次序自左往右任意選取無(wú)窮多個(gè)項(xiàng)所得的數(shù)列稱為?xn?的子列，記為?xnk?，其中nk表示xn在原數(shù)列中的項(xiàng)數(shù)，k表示它在子列中的項(xiàng)數(shù)．

k注1 對(duì)每一個(gè)k，有nk?k．

注2 對(duì)任意兩個(gè)正整數(shù)h,k，如果h?k，則nh?nk．反之，若nh?nk，則h?k． 注3 limxn?a????0,n??k?K??,?k?K，有xn?a??.k注4 limxn?a??xn?的任一子列?xnn??k?收斂于a.3.數(shù)列有界

對(duì)數(shù)列?xn?，若?M?0，使得對(duì)?n?N，有xn?M，則稱數(shù)列?xn?為有界數(shù)列． 4.無(wú)窮大量

對(duì)數(shù)列?xn?，如果?G?0，?N??,作limxn??．

n???n?N，有xn?G，則稱?xn?為無(wú)窮大量，記 1 注1 ?只是一個(gè)記號(hào)，不是確切的數(shù)．當(dāng)?xn?為無(wú)窮大量時(shí)，數(shù)列?xn?是發(fā)散的，即limxnn??不存在．

注2 若limxn??，則?xn?無(wú)界，反之不真．

n??注3 設(shè)?xn?與?yn?為同號(hào)無(wú)窮大量，則?xn?yn?為無(wú)窮大量． 注4 設(shè)?xn?為無(wú)窮大量，?yn?有界，則?xn?yn?為無(wú)窮大量．

注5 設(shè)?xn?為無(wú)窮大量，對(duì)數(shù)列?yn?，若???0，有yn??，?N??,使得對(duì)?n?N，則?xnyn?為無(wú)窮大量．特別的，若yn?a?0，則?xnyn?為無(wú)窮大量． 5.無(wú)窮小量

若limxn?0，則稱?xn?為無(wú)窮小量．

n??注1 若limxn?0，?yn?有界，則limxnyn?0．

n??n??注2 若limxn??，則limn??1xnn??il若m?0；

n??xn?0，且?N??,使得對(duì)?n?N，xn?0，則lim1xnn????．

6.收斂數(shù)列的性質(zhì)

（1）若?xn?收斂，則?xn?必有界，反之不真．（2）若?xn?收斂，則極限必唯一．

（3）若limxn?a，limyn?b，且a?b，則?N??，使得當(dāng)n?N時(shí)，有xn?yn．

n??n??注

這條性質(zhì)稱為“保號(hào)性”，在理論分析論證中應(yīng)用極普遍．

（4）若limxn?a，limyn?b，且?N??，使得當(dāng)n?N時(shí)，有xn?yn，則a?b．

n??n??注

這條性質(zhì)在一些參考書中稱為“保不等號(hào)（式）性”．

（5）若數(shù)列?xn?、?yn?皆收斂，則它們和、差、積、商所構(gòu)成的數(shù)列?xn?yn?，?xn?yn?，?xnyn?，??xn?yn?0）也收斂，且有 ?（limn???yn?n??yn，xn?lim

lim?xn?yn??limn??n??xn?yn?limxn?limyn，limn??n??n?? 2

lim7.迫斂性（夾逼定理）

xnyn?limxnn??n??limynn??（limyn?0）．

n??若?N??，使得當(dāng)n?N時(shí)，有yn?xn?zn，且limyn?limzn?a，則limxn?a．

n??n??n??8.單調(diào)有界定理

單調(diào)遞增有上界數(shù)列?xn?必收斂，單調(diào)遞減有下界數(shù)列?xn?必收斂． 9.Cauchy收斂準(zhǔn)則

數(shù)列?xn?收斂的充要條件是：???0,?N??,?n,m?N，有xn?xm??．

注 Cauchy收斂準(zhǔn)則是判斷數(shù)列斂散性的重要理論依據(jù)．盡管沒有提供計(jì)算極限的方法，但它的長(zhǎng)處也在于此――在論證極限問題時(shí)不需要事先知道極限值． 10.Bolzano Weierstrass定理 有界數(shù)列必有收斂子列．

1??11.lim?1???e?2.7182818284n??n??n?

12.幾個(gè)重要不等式

(1)a?b?2ab, sinx ? 1.sinx ? x.(2)算術(shù)－幾何－調(diào)和平均不等式：

? 對(duì)?a1,a2,?,an?R, 記 2 M(ai)? a1?a2???annn? 1nia?ni?1,(算術(shù)平均值)G(ai)?n??na1a2?an??a??i??,(幾何平均值)

?i?1?

H(ai)?n1a1?1a2???1an?11nn?i?11ai?nn?ai?11i.(調(diào)和平均值)有均值不等式:

H(ai)? G(ai)? M(ai),等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)a1?a2???an時(shí)成立.（3）Bernoulli 不等式:

(在中學(xué)已用數(shù)學(xué)歸納法證明過)對(duì)?x?0, 由二項(xiàng)展開式(1?x)?1?nx??nnn(n?1)2!x2?n(n?1)(n?2)3!x3???xn，(1?x)?1?nx,(n?1)

（４）Cauchy－Schwarz 不等式: ?ak,bk(k?1,2,?,n),有

?n??n?

??akbk????akbk???k?1??k?1?22n2kn2k?a?bk?1k?1

（５）?n?N，13.O.Stolz公式 1n?1?ln(1?1n)?1n

二、典型例題 1．用“??N”“G?N”證明數(shù)列的極限．（必須掌握）例１ 用定義證明下列各式：（１）lim3n?5n?13n?n?622n???1；

（２）設(shè)xn?0，limxn?a，則limn??n??xn?a；（97，北大，10分）

（３）limlnnn?n???0(??0)

證明：（１）???0，欲使不等式

3n?5n?13n?n?6622?1?6n?53n?n?662?6n3n?n2?6nn2?6n??

成立，只須n?，于是，???0，取N?[]?1，當(dāng)n?N時(shí)，有

??3n?5n?13n?n?62

22?1?6n??

即

limn??3n?5n?13n?n?62?1．

（２）由limxn?a，xn?0，知???0,n???N??,xn?aa?n?N，有xn?a?a?，則

xn?a?xn?axn?a???

于是，???0,?N??,?n?N，有

xn?a?xn?aa??，即

lim（３）已知n?lnn，因?yàn)?/p>

20?lnnn??n??xn?a．

??lnnn?2??????2?ln?n??1????????2n????2??2???n??1????????2?n4

????2[n2]n???4??nn2??4?，?n2

2所以，???0，欲使不等式

lnnn??0?lnnn??4??n2?4????成立，只須n???．

????2???4??

于是，???0，取N??????1，當(dāng)n?N時(shí)，有

????????

lnnn??0?lnnn??4???，?n2?0． 即

lim

lnnn?n??評(píng)注１ 本例中，我們均將xn?a做了適當(dāng)?shù)淖冃危沟脁n?a?g(n)??，從而從解不等式g(n)??中求出定義中的N．將xn?a放大時(shí)要注意兩點(diǎn)：①g(n)應(yīng)滿足當(dāng)n??時(shí)，g(n)?0．這是因?yàn)橐筭(n)??，g(n)必須能夠任意小；②不等式g(n)??容易求解．

評(píng)注２ 用定義證明xn?a(n??)，對(duì)???0，只要找到一個(gè)自然數(shù)N(?)，使得當(dāng)n?N(?)時(shí)，有xn?a??即可．關(guān)鍵證明N(?)??的存在性．

評(píng)注３ 在第二小題中，用到了數(shù)列極限定義的等價(jià)命題，即：（１）???0,（２）???0,?N??,?N??,?n?N，有xn?a?M?（M為任一正常數(shù)）.?n?N，有xn?a??k(k?N).例２ 用定義證明下列各式：（１）limn??nn?1；（92，南開，10分）

kn（２）limn??na?0(a?1,k?N)

nn證明：（１）（方法一）由于n?1（n?1），可令n?1??（??0），則

n??n?nn?(1??)n?1?n??n2n(n?1)2??????2nn(n?1)22?（n?2）

當(dāng)n?2時(shí)，n?1?，有

n2

n? n(n?1)2??24??2n24(nn?1)

2即

0?nn?1?2nn．

???0，欲使不等式n?1?nn?1?2n???成立，只須n?4?2．

于是，???0，取N?max??2??1,2?，當(dāng)n?N時(shí)，有

?????n??4?n?1?2n??，即

limn??nn?1．

（方法二）因?yàn)?1?nn?(n?n?2個(gè)?????1n?1?1???1)n?n?n?1???1n?2n?n?2n?1?2n，所以

nn?1?2n，???0，欲使不等式

nn?1?nn?1?2n??成立，只須n?4?2．

于是，???0，取N??2??1，當(dāng)n?N時(shí)，有

???n?4?n?1?2n??，即

limn??nn?1．

（２）當(dāng)k?1時(shí)，由于a?1，可記a?1??（??0），則

an?(1??)n?1?n??n(n?1)2??????2nn(n?1)22?（n?2）

當(dāng)n?2時(shí)，n?1?

0?nann2，于是有

nn(n?1)2?4n?2?．

?2

???0，欲使不等式

nan?0 ?nan?4n?2??成立，只須n?4??2．

對(duì)???0，取N?max??2??1,2?，當(dāng)n?N時(shí)，有

??????

nan??4???0 ?nan?4n?2??．

1當(dāng)k?1時(shí)，ak?1（a?1），而

nakn??n??1kn??(a)??． ???n1k則由以上證明知???0,?N??,?n?N，有0???，即

n(ak)

0?naknkn??，k故

limn??na?0．

評(píng)注１ 在本例中，???0，要從不等式xn?a??中解得N非常困難．根據(jù)xn的特征，利用二項(xiàng)式定理展開較容易．要注意，在這兩個(gè)小題中，一個(gè)?是變量，一個(gè)?是定值．

評(píng)注２ 從第一小題的方法二可看出算術(shù)－幾何平均不等式的妙處． 評(píng)注３ 第二小題的證明用了從特殊到一般的證法． 例 用定義證明：limann??n!（山東大學(xué)）?0（a?0）證明：當(dāng)0?a?1時(shí)，結(jié)論顯然成立．

aaaaaaa?0?????????????成立，當(dāng)a?1時(shí)，欲使

?a??a??1?a?!nn!12nan?a??a?a??1?只須n?．于是???0，取N????1，當(dāng)n?N時(shí)，有 ?a?!???a?!??a?a??1ann!?0?a?a??a?!?an??

a即

lim?0．

n??n!n例 設(shè)??1，用“??N”語(yǔ)言，證明：lim[(n?1)?n]?0．

n????證明：當(dāng)??0時(shí)，結(jié)論恒成立． 當(dāng)0???1時(shí)，???0，欲使(n?1)??n??0?n[(1??1n)??1]?n(1??1n?1)?1n1????

只須n??111???1．于是???0，取N??1???1???????1，當(dāng)n?N時(shí)，有 ??1n1??(n?1)?n?0???

即

lim[(n?1)?n]?0．

n????2.迫斂性（夾逼定理）

n項(xiàng)和問題可用夾逼定理、定積分、級(jí)數(shù)來做，通項(xiàng)有遞增或遞減趨勢(shì)時(shí)考慮夾逼定理．

yn?xn?zn，yn?b，zn?c?{xn}有界，但不能說明xn有極限．使用夾逼定理時(shí)，要求yn,zn趨于同一個(gè)數(shù)．

an例

求證：limn??n!． ?0（a為常數(shù)）分析：ann!?aaaaaa?????????，因a為固定常數(shù)，必存在正整數(shù)m，使123mm?1nam?1m?a?m?1，因此，自開始，am?1?1，am?2?1，?,an?1，且n??時(shí)，an?0．

證明：對(duì)于固定的a，必存在正整數(shù)m，使a?m?1，當(dāng)n?m?1時(shí)，有

an0?mn!?a1?a2?a3???aman?am?1???an?amm!?an，由于liman??m!?an?0，由夾逼定理得limn??n!?0，即

limn??ann!?0．

評(píng)注 當(dāng)極限不易直接求出時(shí)，可將求極限的變量作適當(dāng)?shù)姆糯蠡蚩s小，使放大、縮小所得的新變量易于求極限，且二者極限值相同，直接由夾逼定理得出結(jié)果．

例 若{an}是正數(shù)數(shù)列，且lima1?2a2???nannn???0，則

limn??n?na1???an?0．

證明：由n?1a1???2a2?????nan??a1?2a2???nann，知

nn!?na1?a2???an?a1?2a2???nann1n

即 na1?a2???an?a1?2a2???nann1n?．

n!于是，0?nna1?a2???an?a1?2a2???nann?，而由已知

n!lima1?2a2???nannn???0及l(fā)im1nn??n!?0

故

limn??a1?2a2???nann?1nn!?0

由夾逼定理得

limn??n?na1???an?0．

評(píng)注1 極限四則運(yùn)算性質(zhì)普遍被應(yīng)用，值得注意的是這些性質(zhì)成立的條件，即參加運(yùn)算各變量的極限存在，且在商的運(yùn)算中，分母極限不為0． 評(píng)注2 對(duì)一些基本結(jié)果能夠熟練和靈活應(yīng)用．例如：（1）limqn??n?0（q?1）

（2）lim1nnan???0（a?0）

（3）limn??na?1（a?0）

（4）limnn??n?1

（5）liman??n!?0（a?0）

（6）lim1nn??n!?0

例 證明：若limxn?a（a有限或??），則

n??limx1?x2???xnnn???a（a有限或??）．

證明：（１）設(shè)a為有限，因?yàn)閘imxn?a，則???0,n???N1??,有xn?a??n?N1，?2.9 于是x1?x2???xnn?a??x1?a???x2?a?????xn?a?n

?x1?a?x2?a???xN1?anAn?n?N1n?xN1?1?a???xn?an

???An??2．

其中A?x1?a?x2?a???xN?a為非負(fù)數(shù)．

1因?yàn)閘imn??An?0，故對(duì)上述的??0,?N2??,?n?N2，有

An??2．

取N?max{N1,N2}當(dāng)n?N時(shí)，有

x1?x2???xnn?a??2??2??

即

limx1?x2???xnnn???a．

?n?N1，有xn?2G，（２）設(shè)a???，因?yàn)閘imxn???，則?G?0,n???N1??,且x1?x2???xN?0．于是 x1?x2???xnn?

x1?x2???xN1nxN1?1???xnn?

xN1?1???xnn

??2G(n?N1)n?2G?2N1nG

取N?2N1，當(dāng)n?N時(shí)，2N1nG?G，于是

x1?x2???xnn?2G?G?G．

即

limx1?x2???xnnn?????

（３）a???時(shí)證法與（２）類似．

評(píng)注１ 這一結(jié)論也稱Cauchy第一定理，是一個(gè)有用的結(jié)果，應(yīng)用它可計(jì)算一些極限，例如：

1?12???n1n?0（已知limn（１）lim1nn??n???0）；

（２）lim1?2?33???nnn???1（已知limnn??n?1）．

評(píng)注２ 此結(jié)論是充分的，而非必要的，但若條件加強(qiáng)為“{xn}為單調(diào)數(shù)列”，則由x1?x2???xnnlimn???a可推出limxn?a．

n??評(píng)注３ 證明一個(gè)變量能夠任意小，將它放大后，分成有限項(xiàng)，然后證明它的每一項(xiàng)都能任意小，這種“拆分方法”是證明某些極限問題的一個(gè)常用方法，例如：

若0???1，liman?a（a為有限數(shù)），證明：

n??lim(an??an?1??an?2????a0)?n??2n分析：令xn?an??an?1??an?2????a0，則

2na1??．

(1??)xn?an??(an?1?an)??(an?2?an?1)????(a0?a1)??2nn?1a0．

2n只須證

?(an?1?an)??(an?2?an?1)????(a0?a1)?0（n??）

由于liman?a，故?N??,n???n?N，有an?an?1??．于是

2n?(an?1?an)??(an?2?an?1)????(a0?a1)

??an?1?an??an?2?an?1????2Nan?N?1?an?N??N?1an?N?an?N?1????a0?a1nn再利用lim??0（0???1）即得．

n??例 求下列各式的極限：（１）lim(n??1n?n?12?2n?n?22???nn?n?n2)

（２）limnn??1?12???1n

（３）limn1?3?5???(2n?1)2?4?6???2n2n??

?2n?n?22解：（１）1?2???nn?n?n?1n?n?12???nn?n?n2?1?2???nn?n?12

n(n?1)∵lim12，?22n??n??n?n?n2n?n?nn(n?1)1?2???n12lim?lim，?2n??n??n2?n?1n?n?12由夾逼定理，1?2???n?lim∴l(xiāng)im(n??1n?n?1n2?2n?n?22???nn?n?nn2)?12

（２）1?∵limn??n1?12???1n?n1?1???1?n

n?1，由夾逼定理，∴l(xiāng)imnn??1?112???1n?1．

（３）∵1n2n?352n?111?3?5???(2n?1)132n?1????????????1，242n?22n2?4?6???2n242n∴2?nn?n1?3?5???(2n?1)2?4?6???2n?1．

∵lim12?nn??nn?1，由夾逼定理，∴l(xiāng)imn1?3?5???(2n?1)2?4?6???2n2n?12nn???1．

評(píng)注 的極限是１，用此法體現(xiàn)了“１”的好處，可以放前，也可放后．若極限不是１，則不能用此法，例如：

xn?2?3???(n?1)3?5???(2n?1)，求limxn．

n??解：∵xn?0，?xn?單調(diào)遞減，?xn?單調(diào)遞減有下界，故其極限存在． 令limxn?a，∵xn?1?xn?n??n?2∴l(xiāng)imxn?1?limxnlimn??n??2n?3n?2

12a，n??2n?3，a?∴a?0，xn?0． 即

limn?? 12 lim(1?n??11?2???11?2???n)（中科院）

評(píng)注 拆項(xiàng)：分母是兩項(xiàng)的積，1n(n?1)?1n?1n?1

nn?1n?1?1n?11n?插項(xiàng)：分子、分母相差一個(gè)常數(shù)時(shí)總可以插項(xiàng)．３單調(diào)有界必有極限 常用方法：①xn?1?xn；②

xn?1xn??1?

；③歸納法；④導(dǎo)數(shù)法．

xn?1?f(xn)

f?(x)?0

f(x)單調(diào)遞增

x2?xf(x2)?f(x1)

x3?x2 x2?x1

f(x2)?f(x1)

x3?x2

f?(x)?0

f(x)單調(diào)遞減

x2?x1

f(x2)?f(x1)

x3?x2

x2?x1

f(x2)?f(x1)

x3?x2不解決決問題．

命題：xn?1?f(xn)，若f(x)單調(diào)遞增，且x2?x1（x2?x1），則?xn?單調(diào)遞增（單調(diào)遞減）．

例

求下列數(shù)列極限：

（1）設(shè)A?0，x1?0，xn?1?12(xn?Axn（98，華中科大，10分）)；（2）設(shè)x1?0，xn?1?3?3xn3?xn；（04，武大）

（3）設(shè)x0?a，x1?b，xn?12xn?1?xn?22Axn12（n?2,3,?）．（2000,浙大）

解：（1）首先注意xn?1?另一方面，因?yàn)?/p>

(xn?)??2xn?Axn?A，所以?xn?為有下界數(shù)列．

xn?1?xn?12(xn?Axn)?xn?12xn(A?xn)?0．

1?A（或

xn?1xn?12(1?Ax2n)??A?22?1）

故?xn?為單調(diào)遞減數(shù)列．因而limxn存在，且記為a．

n??

由極限的四則運(yùn)算，在xn?1?12Aa)．并注意到xn?12(xn?Axn)兩端同時(shí)取極限n??，得a?(a?A?0，解得a?3(1?xn)3?xnA．

（2）注意到0?xn?1?另一方面，由

3?3xn3?xn??3，于是?xn?為有界數(shù)列．

xn?1?xn?3?3xn3?xn?xn?3?xn23?xn?3?3xn?1??3???3?x?n?1???3?3xn?13?3?xn?12?2(3?xn?1)(3?xn?1)(4?2xn?1)2

?3?xn?1(3?xn?1)(2?xn?1)22

3?xn?1知xn?1?xnxn?xn?1?(3?xn?1)(2?xn?1)3?xn?13?xn?12?12?xn?1?0．

即xn?1?xn與xn?xn?1保持同號(hào)，因此?xn?為單調(diào)數(shù)列，所以limxn存在（記為a）．

n??

由極限的四則運(yùn)算，在xn?1?3?3xn3?xn兩端同時(shí)取極限n??，得a?3?3a3?a．并注意到0?xn?3，解得a?（3）由于xn?1?xn?3．

xn?xn?12?xn??xn?xn?12???x2?x1(?2)n?1?x1?x0(?2)1n?b?a(?2)n, n?1n?1又xn??m?0(xm?1?xm)?x0?xn?(b?a)?1m1?(??a?(b?a)1?(?m?0(?2)21)n?a,)2 14

1?(?1所以

limxn?(b?a)limn??n??1?(?21)n?a?)2(b?a)3?a?2b?a3．

2評(píng)注１ 求遞歸數(shù)列的極限，主要利用單調(diào)有界必有極限的原理，用歸納法或已知的一些基本結(jié)果說明數(shù)列的單調(diào)、有界性．在說明遞歸數(shù)列單調(diào)性時(shí)，可用函數(shù)的單調(diào)性．下面給出一個(gè)重要的結(jié)論：設(shè)xn?1?f(xn)（n?1,2,?）xn?I，若f(x)在區(qū)間I上單調(diào)遞增，且x2?x1（或x2?x1），則數(shù)列?xn?單調(diào)遞增（或單調(diào)遞減）．

評(píng)注2 第三小題的方法較為典型，根據(jù)所給的xn?1,xn,xn?1之間的關(guān)系，得到xn?1?xn與xn?xn?1的等式，再利用錯(cuò)位相減的思想，將數(shù)列通項(xiàng)xn寫成級(jí)數(shù)的表達(dá)式．

例 設(shè)a1,b1為任意正數(shù)，且a1?b1，設(shè)an?則?an?，?bn?收斂，且極限相同． 證明：由an?2an?1bn?1an?1?bn?1?2an?1bn?12an?1bn?12an?1bn?1an?1?bn?1，bn?，an?1bn?1（n?2,3,?）

?an?1bn?1?bn，知

bn?an?1bn?1?bn?1bn?1?bn?1．

則0?bn?b1，即?bn?為單調(diào)有界數(shù)列．

又0?an?bn?b1，且 an?an?1?2an?1bn?1an?1?bn?1?an?1?2an?1bn?1?an?1?an?1bn?1an?1?bn?12?an?1(bn?1?an?1)an?1?bn?1?0，所以?an?亦為單調(diào)有界數(shù)列．

由單調(diào)有界必有極限定理，liman與limbn存在，且分別記為a與b．在n??n??an?2an?1bn?1an?1?bn?1與bn?an?1bn?1兩端同時(shí)取極限n??，得a?2aba?b與b?ab．

考慮到a1,b1為任意正數(shù)且0?a1?an?bn?b1． 即得a?b?0． 例（1）設(shè)x1?2，xn?1?2?1xn，求limxn；

n?? 15（2）設(shè)x1?0，x2?2，且3xn?1?xn?2xn?1?0（n?2,3,?），求limxn．

n??解：（1）假設(shè)limxn存在且等于a，由極限的四則運(yùn)算，在xn?1?2?n??1xn兩端同時(shí)取極限n??，得a?2?1a，即a?1?2．

2．又xn?2，故a?1?下面只須驗(yàn)證數(shù)列?xn?a?趨于零（n??）．由于

xn?a?1??1?1?1????2????a??2??x?a?????x1?a，n??xn??a?xna4?4??n0?xn?1n?1?而lim??x1?a?0，由夾逼定理得limxn?a?1?n??n???4?2．

（2）由3xn?1?xn?2xn?1?0，知

3xn?1?2xn?3xn?2xn?1?3xn?1?2xn?2???3x2?2x1?6，則

xn?1??23xn?2．

65假設(shè)limxn存在且等于a，由極限的四則運(yùn)算，得a?n??．

下面只須驗(yàn)證數(shù)列?xn??6523n?1?6?．由于 ?趨于零（n??）

5?n?1xn???xn?12?6??2??2????xn?1????????3?5?5?3?66???2??x1?????5???3?n?1?65．

?2?顯然lim??n???3??65?0，由夾逼定理得limxn?n??65．

評(píng)注１ 兩例題中均采用了“先求出結(jié)果后驗(yàn)證”的方法，當(dāng)我們不能直接用單調(diào)有界必有極限定理時(shí)，可以先假設(shè)limxn?a，由遞歸方程求出a，然后設(shè)法證明數(shù)列?xn?a?趨于

n??零．

評(píng)注２ 對(duì)數(shù)列?xn?，若滿足xn?a?kxn?1?a（n?2,3,?），其中0?k?1，則必有l(wèi)imxn?a．這一結(jié)論在驗(yàn)證極限存在或求解遞歸數(shù)列的極限時(shí)非常有用．

n??評(píng)注３ 本例的第二小題還可用Cauchy收斂原理驗(yàn)證它們極限的存在性．

設(shè)a1>0，an?1＝an＋

證

（1）要證lim21an，證明limn??an2n＝1（04，上海交大）

an2an2n2n??＝1，只要證lim2n??2n?1，即只要證liman?1?ann??(2n?2)?2n1an?1，即證lim(an?1?an)?2

2n??（2）因an?1＝an＋a2n?12n，故an?1?an?1an?0，an?1an?1?1a2n

?a?(an?1?an)(an?1?an)?1a2nan?1?anan?1?1a2n?1?2?1a2n因此只要證limn???0，即只要證liman??n??

（3）由an?1?an?1an?0知，{an}單調(diào)增加，假如{an}有上界，則{an}1an必有極限a，由an?1＝an＋

知，a＝a＋，因此?0，矛盾.aa11這表明{an}單調(diào)增加、沒有上界，因此liman??.（證完）

n??

４ 利用序列的Cauchy收斂準(zhǔn)則 例（1）設(shè)x1?x2（0?x?1），xn?x2?xn?122，求limxn；

n??（2）設(shè)x1?y1?1，xn?1?xn?2yn，yn?1?xn?yn，求limx2122xnyn2n??；

14解：（1）由x1?（0?x?1），得x1?x2．假設(shè)xk?12212，則xk?．有

xk?1??xk212?x?xk?12

由歸納法可得

xn?于是

xn?p?xn?x2xn?p?122．

?2?xxn?1?? ????22??? 17

?xn?p?1?xn?1xn?p?1?xn?1212n?1?12xn?p?1?xn?1

???xp?1?x1?12n?1． ?0（n??）

x2xn?122由Cauchy收斂準(zhǔn)則知：limxn存在并記為a，由極限的四則運(yùn)算，在xn?n???兩端同時(shí)取極限n??，得a2?2a?x?0． 注意到xn?（2）設(shè)an?12，故limxn?a??1?1?x．

n??xnyn，顯然an?1.xn?2ynxn?yn11?an由于an?1?xn?1yn?1??1?,則

an?1?an?11?an?11?an?1

?an?an?1?1?an??1?an?1??14an?an?1???14n?1a2?a1.于是an?p?an?an?p?an?p?1?an?p?1?an?p?2???an?1?an

?an?p?an?p?1?an?p?1?an?p?2???an?1?an

1?1

????41n?p?2???p11?4a?a ??a?a?2211n?1n?1144?1?4

?14n?1?13a2?a1?0(n??).由Cauchy收斂準(zhǔn)則知：limxn存在并記為a.n??由極限的四則運(yùn)算，在an?1?1?xnyn11?an2兩端同時(shí)取極限n??，得a?2．

注意到an?1，故limn???liman?n??2．

評(píng)注1 Cauchy收斂準(zhǔn)則之所以重要就在于它不需要借助數(shù)列以外的任何數(shù),只須根據(jù)數(shù)列各項(xiàng)之間的相互關(guān)系就能判斷該數(shù)列的斂散性.本例兩小題都運(yùn)用了Cauchy收斂準(zhǔn)則,但細(xì) 18 節(jié)上稍有不同.其實(shí)第一小題可用第二小題的方法,只是在第一小題中數(shù)列?xn?有界,因此有xp?1?x1?xp?1?x1?1.保證了定義中的N僅與?有關(guān).評(píng)注2 “對(duì)?p?N有l(wèi)im?xn?p?xn??0”這種說法與Cauchy收斂準(zhǔn)則并不一致．這里

n??要求對(duì)每個(gè)固定的p，可找到既與?又與p的關(guān)的Ｎ，當(dāng)n?N，有xn?p?xn??．而Cauchy收斂準(zhǔn)則要求所找到的Ｎ只能與任意的?有關(guān)．

５ 利用Stolz定理計(jì)算數(shù)列極限

例 求下列極限

?13?23???n3n?? ?（1）lim?3n???4?n??

lim（2）假設(shè)liman?a,證明：n??a1?2a2?...?nann2n???a2（00，大連理工，10）（04，上海交大）

證明：Stolz公式 lima1?2a2?...?nann2n???lim(a1?2a2?...?nan?(n?1)an?1)?(a1?2a2?...?nan)(n?1)?n22n???lim(n?1)an?12n?11?1232

n???a21n n?1n???lnn（3）limn??2????n（4）lim

n??（5）limna2n（a?1）

n??６ 關(guān)于否定命題的證明（書上一些典型例題需背）

limxn?a

n???xn?發(fā)散

例

證明：xn?1?12?13???1nan?1an發(fā)散．

例 設(shè)an?0（n?1,2,?），且liman?0，若存在極限limn??n??（北大，?l，則l?1．20）

７ 雜例(1)lim11?2?12?3???1n(n?1)

n??

(2)（04，武大）lim(n??1a?2a2?...?nan),(a?1)1n 1?()1naa??lim()?n2n??1a?1a(a?1)1?a

22n(3)lim(1?x)(1?x)?(1?x)(x?1);n??

2(4)設(shè)a1?3,an?1?an?an（n?1,2,?），求：

?111l?lim?????n???1?a1?a21?an1???． ??

第三篇：abltch《數(shù)學(xué)分析》9數(shù)列極限存在的條件

-+

懶惰是很奇怪的東西，它使你以為那是安逸，是休息，是福氣；但實(shí)際上它所給你的是無(wú)聊，是倦怠，是消沉;它剝奪你對(duì)前途的希望，割斷你和別人之間的友情，使你心胸日漸狹窄，對(duì)人生也越來越懷疑。

—羅蘭

§３ 數(shù)列極限存在的條件

教學(xué)目的：使學(xué)生掌握判斷數(shù)列極限存在的常用工具。

教學(xué)要求：（１）掌握并會(huì)證明單調(diào)有界定理，并會(huì)運(yùn)用它求某些收斂數(shù)列的極限；（２）初步理解Cauchy

準(zhǔn)則在極限理論中的主要意義，并逐步會(huì)應(yīng)用Cauchy準(zhǔn)則判斷某些數(shù)列的斂散性。

教學(xué)重點(diǎn)：?jiǎn)握{(diào)有界定理、Cauchy收斂準(zhǔn)則及其應(yīng)用。

教學(xué)難點(diǎn)：相關(guān)定理的應(yīng)用。

教學(xué)方法：講練結(jié)合。

教學(xué)程序：

? 引言

在研究比較復(fù)雜的極限問題時(shí)，通常分兩步來解決：先判斷該數(shù)列是否有極限（極限的存在性問題）；若有極限，再考慮如何計(jì)算些極限（極限值的計(jì)算問題）。這是極限理論的兩基本問題。在實(shí)際應(yīng)用中，解決了數(shù)列?an?極限的存在性問題之后，即使極限值的計(jì)算較為困難，但由于當(dāng)n充分大時(shí)，an能充分接近

其極限a，故可用an作為a的近似值。

本節(jié)將重點(diǎn)討論極限的存在性問題。

為了確定某個(gè)數(shù)列是否有極限，當(dāng)然不可能將每一個(gè)實(shí)數(shù)依定義一一加以驗(yàn)證，根本的辦法是直接從數(shù)列本身的特征來作出判斷。

從收斂數(shù)列的有界性可知：若?an?收斂，則?an?為有界數(shù)列；但反之不一定對(duì)，即?an?有界不足以保

證?an?收斂。例如?(?1)n?。但直觀看來，若?an?有界，又?an?隨n的增大（減少）而增大（減少），它就

有可能與其上界（或下界）非常接近，從而有可能存在極限（或收斂）。

為了說明這一點(diǎn)，先給出具有上述特征的數(shù)列一個(gè)名稱——單調(diào)數(shù)列。

一、單調(diào)數(shù)列

定義若數(shù)列?an?的各項(xiàng)滿足不等式an?an?1(a?an?1)，則稱?an?為遞增（遞減）數(shù)列。遞增和遞

減數(shù)列統(tǒng)稱為單調(diào)數(shù)列． ?(?1)n??1?2例如：??為遞減數(shù)列；?n?為遞增數(shù)列；??不是單調(diào)數(shù)列。nn????

二、單調(diào)有界定理

〔問題〕（1）單調(diào)數(shù)列一定收斂嗎？；（2）收斂數(shù)列一定單調(diào)嗎？

一個(gè)數(shù)列?an?，如果僅是單調(diào)的或有界的，不足以保證其收斂，但若既單調(diào)又有界，就可以了。此

即下面的極限存在的判斷方法。

定理（單調(diào)有界定理）在實(shí)數(shù)系中，有界且單調(diào)數(shù)列必有極限。

三、應(yīng)用

2?例１ 設(shè)an?1??13????1n?,n?1,2,?其中??2，證明數(shù)列?an?收斂。

例２ 證明下列數(shù)列收斂，并求其極限：

?? n個(gè)根號(hào)

例３．證明lim?(n存在。)n??1n

四、柯西收斂準(zhǔn)則

１．引言

單調(diào)有界定理只是數(shù)列收斂的充分條件，下面給出在實(shí)數(shù)集中數(shù)列收斂的充分必要條件——柯西收斂準(zhǔn)則。

２．Cauchy收斂準(zhǔn)則：

定理（Ｃauchy收斂準(zhǔn)則）數(shù)列?an?收斂的充分必要條件是：對(duì)任給的??0，存在正整數(shù)Ｎ，使

得當(dāng)n,m?N時(shí)有|an?am|??。

３．說明

（１）Ｃauchy收斂準(zhǔn)則從理論上完全解決了數(shù)列極限的存在性問題。

（２）Ｃauchy收斂準(zhǔn)則的條件稱為Ｃauchy條件，它反映這樣的事實(shí)：收斂數(shù)列各項(xiàng)的值愈到后面，彼此愈接近，以至于充分后面的任何兩項(xiàng)之差的絕對(duì)值可以小于預(yù)先給定的任意小正數(shù)。或者，形象地說，收斂數(shù)列的各項(xiàng)越到后面越是“擠”在一起。

（３）Ｃauchy準(zhǔn)則把??N定義中an與a的之差換成an與am之差。其好處在于無(wú)需借助數(shù)列以外的數(shù)a，只要根據(jù)數(shù)列本身的特征就可以鑒別其（收）斂（發(fā)）散性。

４．應(yīng)用

例證明?an???110?1

102???1?收斂。n?10?

例證明?an?1???12???1??發(fā)散。n?

第四篇：第2講數(shù)列極限及其性質(zhì)2009

《數(shù)學(xué)分析I》第2講教案

第2講數(shù)列極限概念及其性質(zhì)

講授內(nèi)容

一、數(shù)列極限概念

數(shù)列 a1,a2,?,an,?,或簡(jiǎn)單地記為{an}，其中an，稱為該數(shù)列的通項(xiàng)．

關(guān)于數(shù)列極限，先舉二個(gè)我國(guó)古代有關(guān)數(shù)列的例子．（1）割圓術(shù)：“割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無(wú)所失矣”——?jiǎng)⒒?n

22園內(nèi)接正n邊形的面積An?

Rsin

2?n

sin

(n?3,4,?），當(dāng)n??時(shí)，An??R

2?nn

??R

2?

（2）古代哲學(xué)家莊周所著的《莊子·天下篇》引用過一句話：“一尺之棰，日取其半，萬(wàn)世不竭”，其含義是：一根長(zhǎng)為一尺的木棒，每天截下一半，這樣的過程可以無(wú)限制地進(jìn)行下去．第一天截下

12，第二天截下

n

2，??，第n天截下

n，??這樣就得到一個(gè)數(shù)列

22,2,?,?1?,?．或?n?.n2?2?

不難看出，數(shù)列{}的通項(xiàng)

n

隨著n的無(wú)限增大而無(wú)限地接近于0．一般地說，對(duì)于數(shù)列{an}，若當(dāng)n無(wú)

限增大時(shí)an能無(wú)限地接近某一個(gè)常數(shù)a，則稱此數(shù)列為收斂數(shù)列，常數(shù)a稱為它的極限．不具有這種特性的數(shù)列就不是收斂數(shù)列．下面我們給出收斂數(shù)列及其極限的精確定義．

定義1設(shè){an}為數(shù)列，a為定數(shù)．若對(duì)任給的正數(shù)?，總存在正整數(shù)N，使得當(dāng)，n>N時(shí)有|an?a|??則稱數(shù)列{an收斂于a，定數(shù)a稱為數(shù)列{an}的極限，并記作liman?a，或an?a(n??).讀作“當(dāng)n

n??

趨于無(wú)窮大時(shí)，an的極限等于a或an趨于a”．

若數(shù)列{an}沒有極限，則稱{an}為發(fā)散數(shù)列．下面舉例說明如何根據(jù)??N定義來驗(yàn)證數(shù)列極限．

二、根據(jù)??N定義來驗(yàn)證數(shù)列極限

例2證明lim

1n

?

n??

?0，這里?為正數(shù)

?,故對(duì)任給的?>0，只要取N=?

1????

?

??1，則當(dāng)n?N時(shí)，便有 ??

證：由于 |

1n

?

?0|?

1n

?

1n

?

?

1N

?

??即|

1n

?

?0|??.這就證明了lim

1n

?

n??

?0.例3證明lim

3n

n??

n?33n

?3.分析由于|

n?

3?3|?

9n?3

?

9n

(n?3).因此，對(duì)任給的?>o，只要

9n

??，便有

|

3n

n?3

?3|??,即當(dāng)n?

時(shí)，(2)式成立．故應(yīng)取N?max{3, ??

999

證任給??0,取N?max{3,據(jù)分析，當(dāng)n?N時(shí)有|2?3|??,式成立.于是本題得證.?n?3

n

例4證明limq=0，這里|q|<1．

n??

3n

證若q=0，則結(jié)果是顯然的．現(xiàn)設(shè)0<|q|<1．記h?

1|q|

?1，則h>0．我們有

|q?0|?|q|?

11?nh

nn

1(1?h)

n,并由(1?h)?1+nh得到|q|?

|q?0|??，這就證明了limq

n??

n

nn

?

1nh

.對(duì)任給的??0,只要取N?

?h,則當(dāng)n?N時(shí)，得

n

?0.注：本例還可利用對(duì)數(shù)函數(shù)y?lgx的嚴(yán)格增性來證明，簡(jiǎn)述如下：對(duì)任給的?>0(不妨設(shè)?<1)，為使

n

n

只要nlg|q|?lg?即n?|q?0|?|q|??，lg?lg|q|

（這里0?|q|?1).于是，只要取N?

lg?lg|q|

即可。

例5證明lim

n

n??

a?1，其中a>0．

證：(ⅰ)當(dāng)a?1時(shí)，結(jié)論顯然成立.(ⅱ)當(dāng)a?1時(shí)，記??an?1，則??0.由 a?(1??)n?1?n??1?n(an?1)得

an?1?

a?1n.（1）

任給??0，由(1)式可見，當(dāng)n?

a?1

?

?N時(shí)，就有an?1??，即|an?1|??.所以lim

n??

a?1.(ⅲ)當(dāng)0?a?1時(shí)，,１

n

－１??，則??0.由

a

?1

?1?n

?(1??)?1?n??1?n??1???得 a?a?1

1?a

n

?

a

?1n.a?

a

?1

?1

n.?1

（2）

任給??0，由（2式可見，當(dāng)n?１?

a?1

?

?N時(shí)，就有1?an??，即|an?1|??.所以lim

n

n??

a?1.關(guān)于數(shù)列極限的?—N定義，應(yīng)著重注意下面幾點(diǎn)：

1．?的任意性：盡管?有其任意性，但一經(jīng)給出，就暫時(shí)地被確定下來，以便依靠它來求出N，又?既

?

2時(shí)任意小的正數(shù)，那么,3?或?等等同樣也是任意小的正數(shù)，因此定義1中不等式|an?a|??中的?可用

?,3?或?等來代替．

2．N的相應(yīng)性：一般說，N隨?的變小而變大，由此常把N寫作N(?)，來強(qiáng)調(diào)N是依賴于?的；但這并不意味著N是由?所唯一確定的.3．從幾何意義上看，“當(dāng)n>N時(shí)有|a?a|??”意味著：所有下標(biāo)大于N的項(xiàng)aｎ都落在鄰域U(a;?)內(nèi)；而在U(a;?)之外，數(shù)列{an}中的項(xiàng)至多只有N個(gè)(有限個(gè))．

定義2若liman?0，則稱{an}為無(wú)窮小數(shù)列．由無(wú)窮小數(shù)列的定義，不難證明如下命題：

n??

n

定理2.1數(shù)列{an}收斂于a的充要條件是：{an?a}為無(wú)窮小數(shù)列．

三、收斂數(shù)列的性質(zhì)

定理2.2(唯一性)若數(shù)列{an}收斂，則它只有一個(gè)極限．

定理2.3(有界性)若數(shù)列{an}收斂，則{an}為有界數(shù)列，即存在正數(shù)M，使得對(duì)一切正整數(shù)有|an|?M.證：設(shè)liman?a取??1，存在正數(shù)N，對(duì)一切n>N有

n??

|an?a|?1即a?1?an?a?1.記M?max{|a1|,|a2|,?|aN|,|a?1|,|a?1|},則對(duì)一切正整數(shù)n都有an?M．注：有界性只是數(shù)列收斂的必要條件，而非充分條件．例如數(shù)列??1?定理2.4(保號(hào)性)若liman?a?0

n??

?

n

?有界，但它并不收斂．

?(a,0

(或<0)，則對(duì)任何a??(0,a)(或a?，存在正數(shù)N，使

得當(dāng)n?N時(shí)有an?a?(或an?a?)．

證：設(shè)a?0．取??a?a?(>0)，則存在正數(shù)N，使得當(dāng)n?N時(shí)有a???an?a??，即

an?a???a?，這就證得結(jié)果．對(duì)于a?0的情形，也可類似地證明．

注：在應(yīng)用保號(hào)性時(shí)，經(jīng)常取a??

a2

.即有an?

a2，或an?

a2

定理2.5(保不等式性)設(shè)?an?與?bn?均為收斂數(shù)列．若存在正數(shù)N0，使得當(dāng)n?N0時(shí)，有an?bn，則liman?limbn.n??

n??

請(qǐng)學(xué)生思考：如果把定理2.5中的條件an?bn換成嚴(yán)格不等式an?bn，那么能否把結(jié)論換成liman?limbn?，并給出理由.n??

n??

例1設(shè)an?0?n?1,2,??．證明：若liman?a,則lim

n??

n??

an?

a.證：由定理2.5可得a?0.若a?0，則由liman?0，任給??0，存在正數(shù)N，使得當(dāng)n?N時(shí)有an??，從而an??即

n??

an?0??,故有l(wèi)im

n??

an?0.an?aan?

a

an?a

a

若a?0，則有

an?

a??

.任給??0，由liman?a，存在正數(shù)N，使得當(dāng)

n??

n?N時(shí)有an?a?

a?,從而

an?

a??．故得證．

第五篇：數(shù)列極限例題

三、數(shù)列的極限

(?1)n?1}當(dāng)n??時(shí)的變化趨勢(shì).觀察數(shù)列{1?n問題:

當(dāng)n無(wú)限增大時(shí), xn是否無(wú)限接近于某一確定的數(shù)值?如果是, 如何確定? 通過上面演示實(shí)驗(yàn)的觀察:

(?1)n?1當(dāng)n無(wú)限增大時(shí), xn?1?無(wú)限接近于1.n問題:“無(wú)限接近”意味著什么?如何用數(shù)學(xué)語(yǔ)言刻劃它.?xn?1?(?1)n?1給定

11? nn1111, 由?, 只要n?100時(shí), 有xn?1?, 100n10010011,只要n?1000時(shí), 有xn?1?, 給定1000100011,只要n?10000時(shí), 有xn?1?, 給定10000100001給定??0,只要n?N(?[])時(shí), 有xn?1??成立.?定義

如果對(duì)于任意給定的正數(shù)?(不論它多么小), 總存在正整數(shù)N, 使得對(duì)于n?N時(shí)的一切xn, 不等式xn?a??都成立, 那末就稱常數(shù)a是數(shù)列xn的極限, 或者稱數(shù)列xn收斂于a, 記為

limxn?a,或xn?a(n??).n??如果數(shù)列沒有極限, 就說數(shù)列是發(fā)散的.注意：

??N定義:limxn?a????0,?N?0, 使n?N時(shí), 恒有xn?a??.n??其中記號(hào)?:每一個(gè)或任給的;?:至少有一個(gè)或存在.數(shù)列收斂的幾何解釋:

a??2?a??xN?2x2x1xN?1ax3x

當(dāng)n?N時(shí), 所有的點(diǎn)xn都落在(a??,a??)內(nèi), 只有有限個(gè)(至多只有N個(gè))落在其外.注意：數(shù)列極限的定義未給出求極限的方法.n?(?1)n?1?1.例1 證明limn??nn?(?1)n?11?1 ?.證

注意到xn?1 ?nn任給??0, 若要xn?1??, 只要

11??,或 n?, n?所以, 取 N?[], 則當(dāng)n?N時(shí), 就有 1?n?(?1)n?1?1??.nn?(?1)n?1?1.即limn??n

重要說明：（1）為了保證正整數(shù)N，常常對(duì)任給的??0,給出限制0???1；

n?(?1)n?1?1??”的詳細(xì)推理

（2）邏輯“取 N?[], 則當(dāng)n?N時(shí), 就有

n?1見下，以后不再重復(fù)說明或解釋，對(duì)函數(shù)極限同樣處理邏輯推理.由于N?????立.嚴(yán)格寫法應(yīng)該是：任給??0, 不妨取0???1，若要?1???1??N?1，所以當(dāng)n?N時(shí)一定成立n?N?1?1?，即得

1??成nn?(?1)n?1111?1?

?n????是成立

n?(?1)n?11?1???.xn?1=

nnn?(?1)n?1?1.即limn??n小結(jié): 用定義證數(shù)列極限存在時(shí), 關(guān)鍵是任意給定??0,尋找N, 但不必要求最小的N.例3證明limq?0, 其中q?1.n??n證

任給??0(要求ε<1)若q?0, 則limq?lim0?0;

n??n??n若0?q?1, xn?0?q??, nlnq?ln?，n?n?ln?ln?, 取N?[](?1), 則當(dāng)n?N時(shí), 就有qn?0??, lnqlnq?limqn?0.n???0, q?1,?q?1,??, n

說明：當(dāng)作公式利用：limq??

n??1, q?1,??不存在，q??1.?