第一篇：函數解析式求法總結及練習題

函 數 解 析 式 的 七 種 求 法

一、待定系數法：在已知函數解析式的構造時，可用待定系數法．

它適用于已知所求函數類型（如一次函數，二次函數，正、反例函數等）及函數的某些特征求其解析式的題目。其方法：已知所求函數類型，可預先設出所求函數的解析式，再根據題意列出方程組求出系數。例

1設解：設

則

?x??x?2??2?x???x?42，解得：?，?點M?(x?,y?)在y?g(x)上，?y??x??x?． ?y??y?y??6?y??3?2f(x)是一次函數，且f[f(x)]?4x?3，求f(x)．

把??x???x?42代入得：6?y?(?x?4)?(?x?4)．

?y??6?yy??x2?7x?6，?g(x)??x2?7x?6． f(x)?ax?b(a?0)，則 f[f(x)]?af(x)?b?a(ax?b)?b?a2x?ab?b2整理得

?a??2a?4，??a?2　或 ． ??????b?3?b?1?ab?b?

3五、構造方程組法：若已知的函數關系較為抽象簡約，則可以對變量進行置換，設法構造方程組，通過解方程組求得

函數解析式．

?f(x)?2x?1 或 f(x)??2x?3．

二、配湊法：已知復合函數f[g(x)]的表達式，求f(x)的解析式，f[g(x)]的表達式容易配成g(x)的運算形式f(x)的定義域不是原復合函數的定義域，而是g(x)的值域． 時，常用配湊法．但要注意所求函數

1f(x)滿足f(x)?2f()?x,求f(x)．

x11解 ?f(x)?2f()?x

①

顯然x?0,將x換成xxx2解① ②聯立的方程組，得：f(x)???．

33x例

5設例6 設，得：

11f()?2f(x)?

②

xx11f(x?)?x2?2(x?0)，求 f(x)的解析式． xx11122解：?f(x?)?(x?)?2，x??2，?f(x)?x?

2(x?2)．

xxx例2

已知

三、換元法：已知復合函數f[g(x)]的表達式時，還可以用換元法求f(x)的解析式．用來處理不知道所求函數的類型，且函數的變量易于用另一個變量表示的問題。它主要適用于已知復合函數的解析式，但使用換元法時要注意新元定義域的變化，最后結果要注明所求函數的定義域。例

3已知解：令t1,試求f(x)和g(x)的解析式 x?11解 ?f(?x)?f(x),g(?x)??g(x)，又f(x)?g(x)? ①，用?x替換x得：

x?111

1f(?x)?g(?x)??，即f(x)?g(x)??②，解① ②聯立的方程組，得f(x)?1，g(x)?22x?1x?1x?xx?11小結：消元法適用于自變量的對稱規律。互為倒數，如f(x)、f()；互為相反數，如f(x)、f(-x)，通過對稱代換

xf(x)為偶函數，g(x)為奇函數，又f(x)?g(x)?構造一個對稱方程組，解方程組即得f(x)的解析式。

六、賦值法：當題中所給變量較多，且含有“任意”等條件時，往往可以對具有“任意性”的變量進行賦值，使問題

具體化、簡單化，從而求得解析式．

例7

已知：f(x?1)?x?2x，求f(x?1)．

?x?1，則t?1，x?(t?1)2 ．

f(0)?1，對于任意實數x、y，等式f(x?y)?f(x)?y(2x?y?1)恒成立，求f(x)．

f(x?y)?f(x)?y(2x?y?1)恒成立，?f(x?1)?x?2x，?f(t)?(t?1)2?2(t?1)?t2?1，?f(x)?x2?1(x?1)，?f(x?1)?(x?1)2?1?x2?2x(x?0)．

四、代入法：求已知函數關于某點或者某條直線的對稱函數時，一般用代入法． 例4已知：函數

解?對于任意實數x、y，等式

不妨令x再令

?0，則有f(?y)?f(0)?y(?y?1)?1?y(y?1)?y2?y?1．

?y?x 得函數解析式為：f(x)?x2?x?1．

y?x2?x與y?g(x)的圖象關于點(?2,3)對稱，求g(x)的解析式．

例5：已知

f(0)?1,f(a?b)?f(a)?b(2a?b?1),求f(x)。

解：設M(x,y)為y?g(x)上任一點，且M?(x?,y?)為M(x,y)關于點(?2,3)的對稱點．

解析：令a?0,則

f(?b)?f(0)?b(1?b)?b2?b?

1令?b?x

則f(x)?x2?x?1

小結：①所給函數方程含有2個變量時，可對這2個變量交替用特殊值代入，或使這2個變量相等代入，再用已知條

件，可求出未知的函數，至于取什么特殊值，根據題目特征而定。②通過取某些特殊值代入題設中等式，可使問題具體化、簡單化，從而順利地找出規律，求出函數的解析式。

七、遞推法：若題中所給條件含有某種遞進關系，則可以遞推得出系列關系式，然后通過迭加、迭乘或者迭代等運算求得函數解析式． 例8

設求

8．（1）若

（五）．特殊值代入法

9．若

f(x)?f(x?1)?1?x,求f(x).（2）若f(x)+f(1-x)=1+x,求f(x).xf(x)是定義在N?上的函數，滿足f(1)?1，對任意的N a,b 都有f(a)?f(b)?f(a?b)?ab，f(x)

f(x?y)?f(x)?f(y),且

f(1)?2，求值 解?f(a)?f(b)?f(a?b)?ab，a,b?N?f(x)?f(1)?f(x?1)?x，?不妨令

a?x,b?1，得：

f(2)f(3)f(4)f(2005).?????f(1)f(2)f(3)f(2004)

10．已知：

（六）．利用給定的特性求解析式.11．設 又f(1)?1,故f(x?1)?f(x)?x?

1①

n(n?1)，2令①式中的x＝1，2，?，n－1得：f(2)?f(1)?2，f(3)?f(2)?3，??，f(n)?f(n?1)?n 將上述各式相加得：

?

三、練習

（一）換元法1．已知f(3x+1)=4x+3, 求f(x)的解析式.2．若

（二）．配變量法3．已知

（三）．待定系數法5．設求

6．設二次函數

f(0)?1，對于任意實數x、y，等式f(x?y)?f(x)?y(2x?y?1)恒成立，求f(x)

f(n)?f(1)?2?3??n，?f(n)?1?2?3??n?f(x)?121x?x,x?N? 22f(x)是偶函數,當x＞0時, f(x)?e?x2?ex,求當x＜0時，f(x)的表達式.1xf()?x1?x,求

f(x).12．對x∈R，達式.例

6、已知函數11f(x?)?x2?2xxf(x)滿足f(x)??f(x?1),且當x∈[－1,0]時, f(x)?x2?2x求當x∈[9,10]時f(x)的表, 求

f(x)的解析式.4．若f(x?1)?x?2x,求f(x).f(x)是一元二次函數, g(x)?2x?f(x),且g(x?1)?g(x)?2x?1?x2，f(x)對于一切實數x,y都有f(x?y)?f(y)?(x?2y?1)x成立，且f(1)?0。(1)求f(0)f(x)與g(x).的值；(2)求

f(x)的解析式。

f(x)滿足f(x?2)?f(?x?2),且圖象在y軸上截距為1,在x軸上截得的線段長為22,求f(x)的表達式.（四）．解方程組法 7．設函數求

1f(x)是定義(－∞,0)∪(0,+ ∞)在上的函數,且滿足關系式3f(x)?2f()?4x,x f(x)的解析式.練習

求函數的解析式

例1．已知f(x)= x2?2x，求f(x?1)的解析式．（代入法 / 拼湊法）

變式1．已知f(x)= 2x?1，求f(x2)的解析式．

變式2．已知f(x+1)＝x2?2x?3，求f(x)的解析式．

例2．若f [ f(x)]＝4x＋3，求一次函數f(x)的解析式．（待定系數法）

變式1．已知f(x)是二次函數，且f?x?1??f?x?1??2x2?4x?4，求f(x)．

例3．已知f(x)?2 f(－x)＝x，求函數f(x)的解析式．

（消去法/ 方程組法）

變式1．已知2 f(x)? f(?x)＝x＋1，求函數f(x)的解析式．

變式2．已知2 f(x)?f ??1??x??＝3x，求函數f(x)的解析式．

例4．設對任意數x，y均有f?x?y??2f?y??x2?2xy?y2?3x?3y，求f（x）的解析式．（賦值法 / 特殊值法）

變式1．已知對一切x，y∈R，f?x?y??f?x???2x?y?1?y都成立，且f（0）=1，求f（x）的解析式．

第二篇：函數解析式的七種求法

函 數 第二講 解 析 式 的 求 法

一、待定系數法：在已知函數解析式的構造時，可用待定系數法。

例1 設f(x)是一次函數，且f[f(x)]?4x?3，求f(x)

二、配湊法：已知復合函數f[g(x)]的表達式，求f(x)的解析式，f[g(x)]的表達式容易配成g(x)的運算形式時，常用配湊法。但要注意所求函數f(x)的定義域不是原復合函數的定義域，而是g(x)的值域。例2已知f(x?11)?x2?2(x?0)，求 f(x)的解析式 xx

三、換元法：已知復合函數f[g(x)]的表達式時，還可以用換元法求f(x)的解析式。與配湊法一樣，要注意所換元的定義域的變化。

例3已知f(x?1)?x?2x，求f(x?1)

四、構造方程組法：若已知的函數關系較為抽象簡約，則可以對變量進行置換，設法構造方程組，通過解方程組求得函數解析式。

例4設f(x)滿足f(x)?2f()?x,求f(x)

例5 設f(x)為偶函數，g(x)為奇函數，又f(x)?g(x)?1x1,試求f(x)和g(x)的解析式 x?

1六、賦值法：當題中所給變量較多，且含有“任意”等條件時，往往可以對具有“任意性”的變量進行賦值，使問題具體化、簡單化，從而求得解析式。

例6 已知：f(0)?1，對于任意實數x、y，等式f(x?y)?f(x)?y(2x?y?1)恒成立，求f(x)

第三篇：幾種典型函數解析式的求法集合

函數的解析式的求法

一． 換元法

題1．已知f(3x+1)=4x+3, 求f(x)的解析式.練習1．若f（1x)?x

1?x,求f(x).二．配變量法

題2．已知f(x?1

x)?x2?1

x2, 求f(x)的解析式.練習2．若f(x?1)?x?2x,求f(x).三．待定系數法

題3．設f(x)是一元二次函數, g(x)?2x?f(x),且g(x?1)?g(x)?2x?1?x2,求f(x)與g(x).練習3．設二次函數f(x)滿足f(x?2)?f(?x?2),且圖象在y軸上截距為1,在x軸上截得的線段長為22,求f(x)的表達式.四．解方程組法

題4．設函數f(x)是定義(－∞,0)∪(0,+ ∞)在上的函數,且滿足關系式

13f(x)?2f()?4x,求f(x)的解析式.x

x?1)?1?x,求f(x).練習4．若f(x)?f(x

五．特殊值代入法

題5．對于一切實數x,y有f(x?y)?f(x)?(2x?y?1)x都成立，且f(0)?1.求f(x).f(x)?1練習5．設f(x)是定義在N?上的函數,且f(1)?2,f(x?1)?，求f(x)的2解析式.練習

1．設f(x)是定義在N?上的函數,若f(1)?1,且對任意的x,y都有：

1f(x)?f(y)?f(x?y)?xy, 求f(x).(f(x)?(x2?1))22、已知函數f(x)是一次函數，且滿足關系式3f(x+1)-2f(x-1)=2x+17, 求f(x)的解析式。

3、求一個一次函數f(x)，使得f{f[f(x)]}=8x+74、已知f(x+1)=x+2x，求f(x)的解析式

5、已知f(x-1)= x2-4x，解方程f(x+1)=06、已知f(x+1)= x2+1，求f(x)解析式。

7、設函數F(x)=f(x)+g(x)其中f(x)是x 的正比例函數，g(x)是x2的反比例函數，又F(2)= F(3)=19,求F（x)的解析式。

8、已知f(x)是一次函數，且f[f(x)]=4x-1,求f(x)的解析式。

9、設f(x)=2x2-3x+1,g(x-1)=f(x),求g(x)及f [g(2)].10． 已知f(x)是一次函數，且f[f(x)]?4x?6，求f(x)．

（f(x)?2x?2或f(x)??2x?6）

11． 若f(1)?x

x1?x,求f(x)．（f(x)?1

x?1）

12．若f(x?1

x)?x2?1

x2，求f(x)．（f(x)?x2?2）

13．若f(1

x)?2f(x)?x,求f(x)．(f(x)?2x2?1

3x)

14．若f(3x?2)?x2?x，求f(2)．（f(2)＝4

9）

15．已知f(x)?3f(?x)?2x?6,求f(x)．（f(x)?1

2x?3）

第四篇：二次函數的幾種解析式及求法教學設計

二次函數的幾種解析式及求法教學設計

福泉一中：齊慶方

一、指導思想與理論依據

（一）指導思想：本次課的教學設計以新課程標準關于數學教學的核心理念為基本遵循，堅持以教師為主導，以學生為主體，以培養能力為基準，采取符合學生學習特點的多樣式的學習方法，通過教學內容和教學過程的實施，幫助學生在自主探索和合作交流的過程中真正理解和掌握基本的數學知識和技能、數學思想和方法，促進學生學會用數學的思考方式解決問題、認識世界．

（二）理論依據：本次課的教學設計以新課程標準關于數學教育的理論為基本依據，主要把握了兩個方面的理論：

1、新課程標準關于數學整體性的理論．教學中注意溝通各部分之間的聯系，通過類比、聯想、知識的遷移和應用等方式，使學生體會知識之間的聯系，感受數學的整體性，進一步理解數學的本質，提高解決問題的能力．

2、新課程標準關于教師教學的理論．教師應該更加關注：1）科學的基本態度之一是疑問，科學的基本精神之一是批判．要注意培養學生科學的質疑態度和批判性的思維習慣；2）提出問題是數學學習的重要組成部分，更是數學創新的出發點．要注意培養學生提出問題的能力；3）在教學中更加關注學生知識的儲備、能力水平、思維水平等；4）關注學生的學習態度、學習方法、學習習慣，在思維的最近發展區設計教學內容．

二、教學背景分析

（一）學習內容分析

“待定系數法”是數學思想方法中的一種重要的方法，在實際生活和生產實踐中有著廣泛的應用．學生對于“待定系數法”的學習滲透在不同的學習階段，初中階段要求學生初步學會用待定系數法求函數解析式；因此這節課的學習既是初中知識的延續和深化，又為后面的學習奠定基礎，起著承前啟后的作用．另外，待定系數法作為解決數學實際問題的基本方法和重要手段，在其他學科中也有著廣泛的應用．

（二）學生情況分析

對于初三學生來說，在學習一次函數的時候，學生對于用待定系數法求函數解析式的方法已經有所認識，他們已經積累了一定的學習經驗．在學習完一次函數后繼續學習用待定系數法求函數解析式，學生已經具備了更多的函數知識，同時，初三的學生已經具備了一定的分析問題、解決問題能力和創新意識，這些對本節課的學習都很有幫助.在今后高中的數學學習中，學生還會繼續運用待定系數法解決相關問題．新課標對學生在探究問題的能力,合作交流的意識等方面有了更高的要求，在教學中還有待加強相應能力的培養．

（三）教學方式與教學手段、技術準備以及前期的教學狀況、問題、對策說明

針對這節課的特點，本課時我采用啟發引導與學生自主探索相結合的教學方法．

為了在回顧舊知識的基礎上提出新的研究問題，我設計了環環相扣的問題，將探究活動層層深入，讓學生展示相應的數學思維過程，使學生有機會經歷知識形成的各個階段，引導學生獨立自主地開展思維活動，深入探究，從而創造性地解決問題．圍繞本節課所學知識，我設置具有挑戰性的開放型問題，采用讓學生多角度地自己給出合適的已知條件，并自己解決問題的教學模式，激發學生積極思考，引導學生自主探索與合作交流，提高解決問題的能力，培養一定的創新意識和實踐能力．

初三的學生雖然已經具備了一定的數學基礎，但他們還缺乏體驗數學發現和創造的歷程，缺乏對知識的更加深刻的認識和理解．在這節課的課堂教學過程中，我通過精心設計問題情境，鼓勵學生積極參與數學活動，通過課上積極思考、與別人討論疑難問題、發表不同意見等方式，激活思維；通過促進學生在心理活動、變化中的同化和順應，深化思維，使學生既有參與的機會，又有拓展、探索的余地，在獲得必要發展的前提下，不同的學生能獲得不同的體驗．

通過引導學生帶著問題的主動思考、動手操作、合作交流的探究過程，力求使他們在掌握知識的同時，還能學會研究方法． 教學目的：

1、理解求二次函數解析式的方法及步驟；掌握二次函數解析式的三種形。

2、通過復習歸納，使學生經歷結合所給條件靈活選擇二次函數解析式的形式，達到簡便運算，提高學生分析、探索、歸納、概括的能力。

3、讓學生經歷觀察、比較、歸納、應用以及猜想、驗證的學習過程，使學生掌握類比、轉化等學習數學的方法，養成既能自主探索，又能合作探究的良好學習習慣。教學重難點：

重點：會根據不同的條件，利用待定系數法求二次函數的函數關系式。難點：在實際應用中體會二次函數作為一種數學模型的作用，會利用二次函數的性質解決生活中的實際問題。教學過程

（一）引入新課

函數關系式中有幾個獨立的系數，需要有相同個數的獨立條件才能求出函數關系式．例如：我們在確定一次函數的關系式時，通常需要兩個獨立的條件，確定反比例函數的關系式時，通常只需要一個條件，在確立正比例函數的解析式時，也只要一個條件就行了，下面我們來探討，要確定二次函數的解析式，需要幾個條件？

（二）進行新課 例

1、已知拋物線y＝ax2＋bx＋c(a≠0)與x軸交于A(-1,0），B(3，0)，并且過點C(0,-3)，求拋物線的解析式？

解法一：，關鍵是：（1）熟悉待定系數法；（2）點在函數圖象上時，點的坐標滿足此函數的解析式；（3）會解簡單的三元一次方程組。

解法二： 已知拋物線與x軸的兩個交點坐標時，可選用二次函數的交點式：y＝a(x－x1)(x－x2)，其中x1，x2為兩交點的橫坐標。

例

2、已知拋物線的頂點在(5,-1),且與x軸兩交點的距離為6,求此二次函數的解析式。

小結：此題利用頂點式求解較易，用一般式也可以求出，但仍要利用頂點坐標公式。難點，拋物線與x軸的兩個交點坐標。

（三）體現自我

1、由學生分組討論，合作交流自己完成。

2、同時，讓學生演板，嘗試完成。

3、教師與學生一起進行點撥。

（四）小試牛刀

１、已知拋物線過（-3,0）和（1,0）兩點，與y軸的交點為（0,4），求拋物線的解析式。

3、已知拋物線經過（1,0）和（0,12）兩點，其頂點的縱坐標是4，求拋物線的解析式。

點撥：讓學生思考每道題只有一種方法嗎？不同的方法看哪種更簡單。

（五）知識應用

若二次函數y=x2-2x+c的圖象經過點（1，2），求這個二次函數的關系式，并寫出該函數圖象的對稱軸和頂點坐標。

點撥：（1）學生建立坐標系，解答。（2）讓學生說一說如何解答的？（3）觀察那些方法較為簡單？（4）總結應用型函數的解答思路。

（六）總結

1、二次函數解析式常用的有三種形式：（1）一般式：_______________。(a≠0)（2）頂點式：_______________。(a≠0)（3）兩根式：_______________。(a≠0)

2、本節課是用待定系數法求函數解析式，應注意根據不同的條件選擇合適的解析式形式：

（1）當已知拋物線上任意三點時，通常設為一般式y＝ax2＋bx＋c形式。（2）當已知拋物線的頂點坐標（或能求出頂點坐標）、對稱軸、最值等與拋物線上另一點時，通常設為頂點式y＝a(x－h)2＋k形式。（h、k分別是頂點的橫坐標與縱坐標）

（3）當已知拋物線與x軸的交點或交點橫坐標時，通常設為兩根式y＝a(x－x1)(x－x2)。（其中x1、x2是拋物線與x軸兩交點的橫坐標）

3、求二次函數解析式的思想方法 待定系數法、配方法、數形結合等 教學反思：

1、求函數解析式是初中數學主要內容之一，求二次函數的解析式在黔南州中考壓軸中題固定出現，更是聯系高中數學的重要紐帶。在求函數的解析式時，應恰當地選用函數解析式的形式，選擇得當，解題簡捷，若選擇不當，解題繁瑣，甚至解不出題來。在初中階段，主要學習了正比例函數、一次函數、反比例函數、二次函數的相關知識。其中，學生在學習二次函數的解析式時感到比較困難。

2、教學中，我深深地體會到：要想讓學生真正掌握求函數解析式的方法，教師應在給出相應的典型例題的條件下，讓學生自己去尋找答案，自己去發現規律。最后，教師清楚地向學生總結每一種函數解析式的適用范圍，以及一般應告知的條件。在信息社會飛速發展的今天，教師要從以前的教師教、學生學的觀念中解放出來，教會學生如何學，讓學生自己去探究，自己去學習，去獲取知識。在《中學數學課程標準》中明確規定：教師不僅是學生的引導者，也是學生的合作者。教學中，要讓學生通過自主討論、交流，來探究學習中碰到的問題、難題，教師從中點撥、引導，并和學生一起學習，探討，才能真正做到教學相長，也才能真正讓每一個學生都學有所獲。

第五篇：二次函數解析式求法的教學反思.doc.

二次函數解析式求法的教學反思

郭利強

求函數解析式是初中數學主要內容之一，求二次函數的解析式也是聯系高中數學的重要紐帶。求函數的解析式，應恰當地選用函數解析式的形式，選擇得當，解題簡捷，若選擇不當，解題繁瑣。在新課標里求函數解析式也是中考的必考內容,而在初中階段主要學習了正比例函數、一次函數、反比例函數、二次函數。本人在初三數學教學工作中發現，要使每位學生都能掌握求函數解析式，這不是一件容易解決的問題。

曾聽過這樣的一個比喻，說“教師就象用以識別地圖的圖例”。教師必須解釋教學過程中不同階段出現的標志，使學生不斷地追求、探索和獲得。細究起來，它包涵著深層的含義：教師必須不斷豐富自己的內涵、增強自己的業務技能，才能適應教學中時刻變化的新情況，才能照亮學生成長之路中的每一個標志。教學中，我深深地體會到：要想讓學生真正掌握求函數解析式的方法，教師應在給出相應的典型例題條件下，讓學生自己去尋找答案，自己去發現規律。最后，教師清楚地向學生總結每一種函數解析式的適用范圍及一般應已知的條件。在信息社會飛速發展的今天，我們教師要從以前的教師教、學生學的觀念中解放出來。《數學課程標準》提出：教師不僅是學生的引導者，也是學生的合作者。教學中，要讓學生通過自主討論、交流，來探究學習中碰到的問題、難題，教師從中點撥、引導，并和學生一起學習，探討，真正做到教學相長。