第一篇：北師大版高一數學必修1教案-函數解析式的求法

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§2.23函數解析式的求法

教學目標：讓學生了解函數解析式的求法。

重點：對f的了解，用多種方法來求函數的解析式

難點：待定系數法、配湊法、換元法、解方程組法等方法的運用。

教學過程

例1.求函數的解析式

(1)f9[（x+1)=, 求f(x);答案：f(x)=x2－x＋1（x≠1）練習1：已知f(+1)= x+2,求f(x)答案：f(x)=x2－1(x≥1)

(2)f(x)= 3x2+1, g(x)= 2x －1 , 求f[g(x)];答案：f[g(x)]＝12x2－12x 練習2：已知：g(x)=x+1,f[g(x)]=2x2+1,求f(x-1)答案：(3)如果函數f(x)滿足af(x)+f()=ax,x∈R且x≠0,a為常數，且f 案：f(x)=(x∈R且x≠0)

練習3： 2f(x)－ f(－x)= lg(x+1), 求 f(x).答案：f(x)=lg(x+1)+lg(1－x)例2.已知f(x)是，并且滿足-＝2x+17,求f(x).答案：f(x)=2x+7.練習4：已知f(x)且f(x+1))=x +, 求f(x-1)的表達式.3、已知f(x)=9x+1,g(x)=x,則滿足f[g(x)]= g[f(x)] 的x的值為多少？

4、已知f(x)為一次函數且f[f(x)] = 9x+4,求f(x).教后反思：略

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第二篇：函數解析式的七種求法

函 數 第二講 解 析 式 的 求 法

一、待定系數法：在已知函數解析式的構造時，可用待定系數法。

例1 設f(x)是一次函數，且f[f(x)]?4x?3，求f(x)

二、配湊法：已知復合函數f[g(x)]的表達式，求f(x)的解析式，f[g(x)]的表達式容易配成g(x)的運算形式時，常用配湊法。但要注意所求函數f(x)的定義域不是原復合函數的定義域，而是g(x)的值域。例2已知f(x?11)?x2?2(x?0)，求 f(x)的解析式 xx

三、換元法：已知復合函數f[g(x)]的表達式時，還可以用換元法求f(x)的解析式。與配湊法一樣，要注意所換元的定義域的變化。

例3已知f(x?1)?x?2x，求f(x?1)

四、構造方程組法：若已知的函數關系較為抽象簡約，則可以對變量進行置換，設法構造方程組，通過解方程組求得函數解析式。

例4設f(x)滿足f(x)?2f()?x,求f(x)

例5 設f(x)為偶函數，g(x)為奇函數，又f(x)?g(x)?1x1,試求f(x)和g(x)的解析式 x?

1六、賦值法：當題中所給變量較多，且含有“任意”等條件時，往往可以對具有“任意性”的變量進行賦值，使問題具體化、簡單化，從而求得解析式。

例6 已知：f(0)?1，對于任意實數x、y，等式f(x?y)?f(x)?y(2x?y?1)恒成立，求f(x)

第三篇：函數解析式求法總結及練習題

函 數 解 析 式 的 七 種 求 法

一、待定系數法：在已知函數解析式的構造時，可用待定系數法．

它適用于已知所求函數類型（如一次函數，二次函數，正、反例函數等）及函數的某些特征求其解析式的題目。其方法：已知所求函數類型，可預先設出所求函數的解析式，再根據題意列出方程組求出系數。例

1設解：設

則

?x??x?2??2?x???x?42，解得：?，?點M?(x?,y?)在y?g(x)上，?y??x??x?． ?y??y?y??6?y??3?2f(x)是一次函數，且f[f(x)]?4x?3，求f(x)．

把??x???x?42代入得：6?y?(?x?4)?(?x?4)．

?y??6?yy??x2?7x?6，?g(x)??x2?7x?6． f(x)?ax?b(a?0)，則 f[f(x)]?af(x)?b?a(ax?b)?b?a2x?ab?b2整理得

?a??2a?4，??a?2　或 ． ??????b?3?b?1?ab?b?

3五、構造方程組法：若已知的函數關系較為抽象簡約，則可以對變量進行置換，設法構造方程組，通過解方程組求得

函數解析式．

?f(x)?2x?1 或 f(x)??2x?3．

二、配湊法：已知復合函數f[g(x)]的表達式，求f(x)的解析式，f[g(x)]的表達式容易配成g(x)的運算形式f(x)的定義域不是原復合函數的定義域，而是g(x)的值域． 時，常用配湊法．但要注意所求函數

1f(x)滿足f(x)?2f()?x,求f(x)．

x11解 ?f(x)?2f()?x

①

顯然x?0,將x換成xxx2解① ②聯立的方程組，得：f(x)???．

33x例

5設例6 設，得：

11f()?2f(x)?

②

xx11f(x?)?x2?2(x?0)，求 f(x)的解析式． xx11122解：?f(x?)?(x?)?2，x??2，?f(x)?x?

2(x?2)．

xxx例2

已知

三、換元法：已知復合函數f[g(x)]的表達式時，還可以用換元法求f(x)的解析式．用來處理不知道所求函數的類型，且函數的變量易于用另一個變量表示的問題。它主要適用于已知復合函數的解析式，但使用換元法時要注意新元定義域的變化，最后結果要注明所求函數的定義域。例

3已知解：令t1,試求f(x)和g(x)的解析式 x?11解 ?f(?x)?f(x),g(?x)??g(x)，又f(x)?g(x)? ①，用?x替換x得：

x?111

1f(?x)?g(?x)??，即f(x)?g(x)??②，解① ②聯立的方程組，得f(x)?1，g(x)?22x?1x?1x?xx?11小結：消元法適用于自變量的對稱規律。互為倒數，如f(x)、f()；互為相反數，如f(x)、f(-x)，通過對稱代換

xf(x)為偶函數，g(x)為奇函數，又f(x)?g(x)?構造一個對稱方程組，解方程組即得f(x)的解析式。

六、賦值法：當題中所給變量較多，且含有“任意”等條件時，往往可以對具有“任意性”的變量進行賦值，使問題

具體化、簡單化，從而求得解析式．

例7

已知：f(x?1)?x?2x，求f(x?1)．

?x?1，則t?1，x?(t?1)2 ．

f(0)?1，對于任意實數x、y，等式f(x?y)?f(x)?y(2x?y?1)恒成立，求f(x)．

f(x?y)?f(x)?y(2x?y?1)恒成立，?f(x?1)?x?2x，?f(t)?(t?1)2?2(t?1)?t2?1，?f(x)?x2?1(x?1)，?f(x?1)?(x?1)2?1?x2?2x(x?0)．

四、代入法：求已知函數關于某點或者某條直線的對稱函數時，一般用代入法． 例4已知：函數

解?對于任意實數x、y，等式

不妨令x再令

?0，則有f(?y)?f(0)?y(?y?1)?1?y(y?1)?y2?y?1．

?y?x 得函數解析式為：f(x)?x2?x?1．

y?x2?x與y?g(x)的圖象關于點(?2,3)對稱，求g(x)的解析式．

例5：已知

f(0)?1,f(a?b)?f(a)?b(2a?b?1),求f(x)。

解：設M(x,y)為y?g(x)上任一點，且M?(x?,y?)為M(x,y)關于點(?2,3)的對稱點．

解析：令a?0,則

f(?b)?f(0)?b(1?b)?b2?b?

1令?b?x

則f(x)?x2?x?1

小結：①所給函數方程含有2個變量時，可對這2個變量交替用特殊值代入，或使這2個變量相等代入，再用已知條

件，可求出未知的函數，至于取什么特殊值，根據題目特征而定。②通過取某些特殊值代入題設中等式，可使問題具體化、簡單化，從而順利地找出規律，求出函數的解析式。

七、遞推法：若題中所給條件含有某種遞進關系，則可以遞推得出系列關系式，然后通過迭加、迭乘或者迭代等運算求得函數解析式． 例8

設求

8．（1）若

（五）．特殊值代入法

9．若

f(x)?f(x?1)?1?x,求f(x).（2）若f(x)+f(1-x)=1+x,求f(x).xf(x)是定義在N?上的函數，滿足f(1)?1，對任意的N a,b 都有f(a)?f(b)?f(a?b)?ab，f(x)

f(x?y)?f(x)?f(y),且

f(1)?2，求值 解?f(a)?f(b)?f(a?b)?ab，a,b?N?f(x)?f(1)?f(x?1)?x，?不妨令

a?x,b?1，得：

f(2)f(3)f(4)f(2005).?????f(1)f(2)f(3)f(2004)

10．已知：

（六）．利用給定的特性求解析式.11．設 又f(1)?1,故f(x?1)?f(x)?x?

1①

n(n?1)，2令①式中的x＝1，2，?，n－1得：f(2)?f(1)?2，f(3)?f(2)?3，??，f(n)?f(n?1)?n 將上述各式相加得：

?

三、練習

（一）換元法1．已知f(3x+1)=4x+3, 求f(x)的解析式.2．若

（二）．配變量法3．已知

（三）．待定系數法5．設求

6．設二次函數

f(0)?1，對于任意實數x、y，等式f(x?y)?f(x)?y(2x?y?1)恒成立，求f(x)

f(n)?f(1)?2?3??n，?f(n)?1?2?3??n?f(x)?121x?x,x?N? 22f(x)是偶函數,當x＞0時, f(x)?e?x2?ex,求當x＜0時，f(x)的表達式.1xf()?x1?x,求

f(x).12．對x∈R，達式.例

6、已知函數11f(x?)?x2?2xxf(x)滿足f(x)??f(x?1),且當x∈[－1,0]時, f(x)?x2?2x求當x∈[9,10]時f(x)的表, 求

f(x)的解析式.4．若f(x?1)?x?2x,求f(x).f(x)是一元二次函數, g(x)?2x?f(x),且g(x?1)?g(x)?2x?1?x2，f(x)對于一切實數x,y都有f(x?y)?f(y)?(x?2y?1)x成立，且f(1)?0。(1)求f(0)f(x)與g(x).的值；(2)求

f(x)的解析式。

f(x)滿足f(x?2)?f(?x?2),且圖象在y軸上截距為1,在x軸上截得的線段長為22,求f(x)的表達式.（四）．解方程組法 7．設函數求

1f(x)是定義(－∞,0)∪(0,+ ∞)在上的函數,且滿足關系式3f(x)?2f()?4x,x f(x)的解析式.練習

求函數的解析式

例1．已知f(x)= x2?2x，求f(x?1)的解析式．（代入法 / 拼湊法）

變式1．已知f(x)= 2x?1，求f(x2)的解析式．

變式2．已知f(x+1)＝x2?2x?3，求f(x)的解析式．

例2．若f [ f(x)]＝4x＋3，求一次函數f(x)的解析式．（待定系數法）

變式1．已知f(x)是二次函數，且f?x?1??f?x?1??2x2?4x?4，求f(x)．

例3．已知f(x)?2 f(－x)＝x，求函數f(x)的解析式．

（消去法/ 方程組法）

變式1．已知2 f(x)? f(?x)＝x＋1，求函數f(x)的解析式．

變式2．已知2 f(x)?f ??1??x??＝3x，求函數f(x)的解析式．

例4．設對任意數x，y均有f?x?y??2f?y??x2?2xy?y2?3x?3y，求f（x）的解析式．（賦值法 / 特殊值法）

變式1．已知對一切x，y∈R，f?x?y??f?x???2x?y?1?y都成立，且f（0）=1，求f（x）的解析式．

第四篇：高一數學必修1函數教案

第二章 函數

§2.1 函數

教學目的：（1）學習用集合與對應的語言來刻畫函數，體會對應關系在刻畫函數概念中的作用；（2）了解構成函數的要素；

（3）會求一些簡單函數的定義域和值域；

（4）能夠正確使用“區間”的符號表示某些函數的定義域； 教學重點：理解函數的模型化思想，用合與對應的語言來刻畫函數； 教學難點：符號“y=f(x)”的含義，函數定義域和值域的區間表示； 一 函數的有關概念 1．函數的概念：

設 A、B 是非空的數集，如果按照某個確定的對應關系f，使對于集合A 中的任意一個數x，在集合B 中都有唯一確定的數f(x)和它對應，那么就稱f：A→B 為從集合A 到集合B 的一個函數（function）． 記作： y=f(x)，x∈A．

其中，x 叫做自變量，x 的取值范圍A 叫做函數的定義域（domain）；與x 的值相對應的y 值叫做函數值，函數值的集合{f(x)| x∈A }叫做函數的值域（range）． 注意：

○1 “y=f(x)”是函數符號，可以用任意的字母表示，如“y=g(x)”； ○2 函數符號“y=f(x)”中的f(x)表示與x 對應的函數值，一個數，而不是f 乘x． 2． 構成函數的二要素： 定義域、對應法則

值域被定義域和對應法則完全確定 3．區間的概念

（1）區間的分類：開區間、閉區間、半開半閉區間；（2）無窮區間；（3）區間的數軸表示． 二 典型例題 求解函數定義域值域及對應法則 課本P32 例1,2,3 求下列函數的定義域

14?x2 F(x)= F(x)=

x?/x/x?1 F(x)=11?1x F(x)=?x2?4x?5

鞏固練習P33 練習A中4,5 說明：○1 如果只給出解析式y=f(x)，而沒有指明它的定義域，則函數的定義域即是指能使這個式子有意義的實數的集合； ○2 函數的定義域、值域要寫成集合或區間的形式． 2．判斷兩個函數是否為同一函數

○1 構成函數三個要素是定義域、對應關系和值域．由于值域是由定義域和對應關系決定的，所以，如果兩個函數的定義域和對應關系完全一致，即稱這兩個函數相等（或為同一函數）○2 兩個函數相等當且僅當它們的定義域和對應關系完全一致，而與表示自變量和函數值的字母無關。鞏固練習：

○1 判斷下列函數f（x）與g（x）是否表示同一個函數

（1）f(x)=(x?1)0 ；g(x)= 1

（2）f(x)= x； g(x)=x2

（3）f(x)= x；f(x)=(x?1)（4）f(x)= | x | ；g(x)= 2x2

三 映射與函數

教學目的：（1）了解映射的概念及表示方法，了解象、原象的概念；（2）結合簡單的對應圖示，了解一一映射的概念． 教學重點難點：映射的概念及一一映射的概念． 復習初中已經遇到過的對應：

1． 對于任何一個實數a，數軸上都有唯一的點P 和它對應； 2． 對于坐標平面內任何一個點A，都有唯一的有序實數對(x,y)和它對應；

3． 對于任意一個三角形，都有唯一確定的面積和它對應； 4． 某影院的某場電影的每一張電影票有唯一確定的座位與它對應； 5． 函數的概念．

映射 定義：一般地，設A、B 是兩個非空的集合，如果按某一個確定的對應法則f，使對于集合A 中的任意一個元素x，在集合B 中都有唯一確定的元素y 與之對應，那么就稱對應f：A→B 為從集合A 到集合B 的一個映射（mapping）．記作“f：A→B”。象與原象的定義與區分

一一對應關系： 如果映射f是集合A到集合B的映射，并且對于集合B中的任意一個元素，在集合A中都有且只有一個原象，就稱這兩個集合的元素之間存在一一對應關系，并把這個映射叫做從集合A到集合B的一一映射。（結合P35的例7解釋說明）

說明：（1）這兩個集合有先后順序，A 到B 的射與B 到A 的映射是截然不同的．其中f 表示具體的對應法則，可以用漢字敘述．（2）“都有唯一”什么意思？

包含兩層意思：一是必有一個；二是只有一個，也就是說有且只有一個的意思。

例題分析：下列哪些對應是從集合A 到集合B 的映射？

（1）A={P | P 是數軸上的點}，B=R，對應關系f：數軸上的點與它所代表的實數對應；

（2）A={ P | P 是平面直角體系中的點}，B={（x，y）| x∈R，y∈R}，對應關系f：平面直角體系中的點與它的坐標對應；（3）A={三角形}，B={x | x 是圓}，對應關系f：每一個三角形都對應它的內切圓；

（4）A={x | x 是新華中學的班級}，B={x | x 是新華中學的學生}，對應關系f：每一個班級都對應班里的學生．

思考：將（3）中的對應關系f 改為：每一個圓都對應它的內接三角形；（4）中的對應關系f 改為：每一個學生都對應他的班級，那么對應f： B→A 是從集合B 到集合A 的映射嗎？ 四 函數的表示法

教學目的：（1）明確函數的三種表示方法；

（2）通過具體實例，了解簡單的分段函數，并能簡單應用； 教學重點難點：函數的三種表示方法，分段函數的概念及分段函 數的表示及其圖象．

復習：函數的概念；

常用的函數表示法及各自的優點：（1）解析法；（2）圖象法；（3）列表法．

（一）典型例題

例 1．某種筆記本的單價是5 元，買x(x∈{1，2，3，4，5})個筆記本需要y 元．試用三種表示法表示函數y=f(x)．

分析：注意本例的設問，此處“y=f(x)”有三種含義，它可以是解析表達式，可以是圖象，也可以是對應值表． 解：（略）注意：

○1 函數圖象既可以是連續的曲線，也可以是直線、折線、離散的點等等，注意判斷一個圖形是否是函數圖象的依據； ○2 解析法：必須注明函數的定義域； ○3 圖象法：是否連線；

○4 列表法：選取的自變量要有代表性，應能反映定義域的特征． 例 3．畫出函數y = | x | ． 解：（略）

鞏固練習： P41練習A 3,6 拓展練習：任意畫一個函數y=f(x)的圖象，然后作出y=|f(x)| 和 y=f(|x|)的圖象，并嘗試簡要說明三者（圖象）之間的關系．

五 分段函數 定義： 例5講解

練習P43練習A 1（2），2（2）

注意：分段函數的解析式不能寫成幾個不同的方程，而寫成函數值幾種不同的表達式并用一個左大括號括起來，并分別注明各部分的自變量的取值情況．

第五篇：幾種典型函數解析式的求法集合

函數的解析式的求法

一． 換元法

題1．已知f(3x+1)=4x+3, 求f(x)的解析式.練習1．若f（1x)?x

1?x,求f(x).二．配變量法

題2．已知f(x?1

x)?x2?1

x2, 求f(x)的解析式.練習2．若f(x?1)?x?2x,求f(x).三．待定系數法

題3．設f(x)是一元二次函數, g(x)?2x?f(x),且g(x?1)?g(x)?2x?1?x2,求f(x)與g(x).練習3．設二次函數f(x)滿足f(x?2)?f(?x?2),且圖象在y軸上截距為1,在x軸上截得的線段長為22,求f(x)的表達式.四．解方程組法

題4．設函數f(x)是定義(－∞,0)∪(0,+ ∞)在上的函數,且滿足關系式

13f(x)?2f()?4x,求f(x)的解析式.x

x?1)?1?x,求f(x).練習4．若f(x)?f(x

五．特殊值代入法

題5．對于一切實數x,y有f(x?y)?f(x)?(2x?y?1)x都成立，且f(0)?1.求f(x).f(x)?1練習5．設f(x)是定義在N?上的函數,且f(1)?2,f(x?1)?，求f(x)的2解析式.練習

1．設f(x)是定義在N?上的函數,若f(1)?1,且對任意的x,y都有：

1f(x)?f(y)?f(x?y)?xy, 求f(x).(f(x)?(x2?1))22、已知函數f(x)是一次函數，且滿足關系式3f(x+1)-2f(x-1)=2x+17, 求f(x)的解析式。

3、求一個一次函數f(x)，使得f{f[f(x)]}=8x+74、已知f(x+1)=x+2x，求f(x)的解析式

5、已知f(x-1)= x2-4x，解方程f(x+1)=06、已知f(x+1)= x2+1，求f(x)解析式。

7、設函數F(x)=f(x)+g(x)其中f(x)是x 的正比例函數，g(x)是x2的反比例函數，又F(2)= F(3)=19,求F（x)的解析式。

8、已知f(x)是一次函數，且f[f(x)]=4x-1,求f(x)的解析式。

9、設f(x)=2x2-3x+1,g(x-1)=f(x),求g(x)及f [g(2)].10． 已知f(x)是一次函數，且f[f(x)]?4x?6，求f(x)．

（f(x)?2x?2或f(x)??2x?6）

11． 若f(1)?x

x1?x,求f(x)．（f(x)?1

x?1）

12．若f(x?1

x)?x2?1

x2，求f(x)．（f(x)?x2?2）

13．若f(1

x)?2f(x)?x,求f(x)．(f(x)?2x2?1

3x)

14．若f(3x?2)?x2?x，求f(2)．（f(2)＝4

9）

15．已知f(x)?3f(?x)?2x?6,求f(x)．（f(x)?1

2x?3）