第一篇：一類二元函數最值的求法

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一類二元函數最值的求法

作者：高海燕

來源：《數理化學習·高三版》2013年第05期

點評：解法1和解法2中都用了配方法，但由于配方的目的不同.

第二篇：偏導數求二元函數最值

偏導數求二元函數最值

用偏導數可以求多元函數的極值及最值，不過要比一元函數復雜很多。

這個在高等數學教材里都有，極值求法與一元函數類似。不過極值點的判斷要比一元函數復雜很多。

求閉區域上的最值要更麻煩一些。為什么呢？你可以回憶一下閉區間上一元函數的最值，我們做法是先求極值，再與端點的函數值比大小。但多元函數就麻煩了，因為一元函數的區間端點只有兩個值，可以全求出來比就行了。但多元函數閉區域的邊界是無窮多個值，不可能全求出來了，因此邊界上我們還需要再求最大最小值，這個叫做條件最值。

如果能代入的話，就是代入求（將條件最值轉化為無條件最值）。如果有些函數很復雜不能代入，有另一個方法，叫做拉格朗日乘數法，就是解決條件最值的問題的。

第三篇：不等式證明、最值求法

不等式的證明（論一個不等式的應用）

貴刊2004(11)發表李建新老師《巧用向量求值》一文（以下簡稱原文），經筆者研究發現，原文中的所有最值問題都可以用下面的一個不等式加以解決，而且相比之下比李老師的向量法在處理上更簡單一些，故寫此文和大家交流．

x2y222

2定理 若實數a,b,x,y滿足2?2?1，則a?b≥(x?y)．

abx2y2b2x2a2y2222222

證明：a?b?(a?b)(2?2)?x?y??2 2

abab

222

≥x?y?2xy?(x?y)，xy

由證明過程易知等號成立的條件是2?2．

ab

注 這個不等式的條件是一個橢圓方程，故稱此不等式為橢圓不等式．

１ 求滿足整式方程的未知數的代數式的最值

例１ 已知x,y滿足x?y?2x?4y?0，求x?2y的最值（1988年廣東高考題，原文例１）．

(x?1)24(?y?2)2

解：x?y?2x?4y?0???1，依定理有

520

5?20?[(x?1)?2(?y?2)]2，即(x?2y?5)，解得0?x?2y?10，當且僅當?2

5x?1?

?y?222

(x?2y)min?0，且x?y?2x?4y?0，即x?y?0時，當x?2,y?4?

時，(x?2y)max?10．

例２ 已知a,b?R，且a?b?1?0，求(a?2)?(b?3)的最小值（第10屆“希望杯”全國數學邀請賽高二培訓題）．

(a?2)2(b?3)2

??1，由定理得： 解：令(a?2)?(b?3)=t，則

tt

2t≥(a?b?5)2?(a?b?1?6)2?36，即t≥18，當且僅當a?2?b?3且a?b?1?0

時，即a??1,b?0時，tmin?18，從而(a?2)?(b?3)的最小值為18．

２ 求滿足三元一次方程及三元二次方程的未知數的最值

例３ 已知實數x1,x2,x3滿足方程x1?

111212x2?x3?1及x12?x2?x3?3，求x3的232

3最小值（1993年上海市高三數學競賽試題，原文例3）

(x2)2

x1212111

1解：x1?x2?x3?1?x1?x2?1?x3，x12?x2?x3?3???1

222323233?x3(3?x3)323

由定理得

111112112121

(3?x32)?(3?x32)?(x1?x2)2?3?x32?(x1?x2)2?3?x32?(1?x3)2???x3?3

323233233311

從而x3的最小值為?

21． 11

３ 求滿足整式方程的未知數的分式的最值

例４ 如果實數x,y滿足等式(x?2)?y?3，求題）．

y的最大值（1990年全國高考試x

y

?k，則y?kx，由已知等式(x?2)2?y2?3可得 x

(2k?kx)2(kx)2222，∴由定理得：≥，即≤3，∴?≤k≤3，??13?3kk4k2

33k

y

從而的最大值為3。

x

y22

例５ 若實數x,y適合方程x?y?2x?4y?1?0,那么代數式的取值范圍

x?2

解：令

是（第9屆“希望杯”全國數學邀請賽高二第1試）．

y

?t，則tx?y?2t?0，由已知方程得(x?1)2?(y?2)2?4，變形得：x?2

(tx?t)2(y?2)2

??1，∴由定理得：4t2?4≥(tx?y?2?t)2?(2?3t)2，解之得： 2

44t

12y120≤t≤，∴代數式的取值范圍是[0，]．

5x?25

y?122

例６ 已知實數x,y滿足方程(x?2)?y?1，求的最小值(第10屆＂希望杯＂

x?2

解：令

邀請賽數學競賽高二試題，原文例4)

(?kx?2k)2(kx?2k?1)2y?122

??1，解：設?k，則y?kx?2k?1，(x?2)?y?1?

k21x?2

由定理得k?1?[(?kx?2k)?(kx?2k?1)]?(1?4k)，解得0?k?４ 求滿足不等式的未知數的最值

例７ 若2x?y?1，u?y?2y?x?6x，則u的最小值等于（）A．?

y?18，即的最小值為０． 15x?2

77141

4B．?C．D． 5555

（2003年＂希望杯＂全國數學邀請賽高二試題）

4(x?3)2(y?1)2

??1，依定理及條件有 解：u?y?2y?x?6x?

4(u?10)u?10

36142(x?3)

當且僅當?10??，?y?1且2x?y?1

554

31114

時，即x??,y?時，umin??，故選(B)．

555

11n

例８ 設a?b?c，且≥恒成立，則n的最大值是（第11?

a?bb?ca?c

5(u?10)?(2x?y?5)2?36，即u?

屆“希望杯”全國數學邀請賽高二第1試，原文例１１）．

解：令

11112

=t，則=1，從而t(a?c)≥(1?1)?4，??

t(a?b)t(b?c)a?bb?c

由已知得a?c?0，故t≥５ 求無理函數的值域

4114，即≥，∴n的最大值是4． ?

a?bb?ca?ca?c

1994年上海市高三數學競賽題，原

例９

求函數y?文例５）．

解：由1994?x?0且x?1993?0得1993?x?1994，兩邊平方易得y?1，又

1?

1994?xx?1993，由定理得：2?2，?

1?y?

?

故函數y?６ 求滿足分式方程的未知數的代數式的最值

例１０ 設x,y,a,b?R，且

?

ab

??1，則x?y的最小值為（第11屆＂希望xy

杯＂全國數學邀請賽高二培訓題）．

解：

依定理有x?y?，ab

???1，即x?，xy

x?

時，(x?y)min?2．

例１１ 已知x,y?(0,??)，且數學競賽試題，原文例６）．

解：由已知條件和定理有：x?y??117?． 定理的推廣 若

1998

??1，求x?y的最小值（1998年湖南省高中xy

?a

i?1

n

bi

i

?1，則?ai≥（i?1

n

?b)

ii?1

2i

n，其中ai與bi同號（i=1，2，． ?,n）

證明：由Cauchy不等式及已知條件有：７ 求使多項式函數取最值的未知數的值

?a=?a.?a

i

i?1

i?1

nnn

bi

i

≥（i?1

?b)．

2ii?12

n

例１２ 求實數x,y的值，使得(y?1)?(x?y?3)?(2x?y?6)達到最小值（2001年全國高中數學聯賽試題，原文例７）．

1(?)y2(22x?6y)?6(2?)x?y

?解：令(y?1)?(x?y?3)?(2x?y?6)?t，則t4tt

1，由定理的推廣得：6t?[(1?y)?(2x?2y?6)?(6?2x?y)]?1，即t?，當且僅當6

1?yx?y?36?2x?y55

(y?1)2?(x?y?3)2?(2x?y?6)2達，即x?,y?時，??

12126

到最小值．

6８ 求滿足分式方程的未知數的分式的最值

x2y2z2xyz

例１３ 已知x,y,z?R,，求的最???2??

1?x21?y21?z21?x21?y21?z2

?

大值（1990年首屆＂希望杯＂全國數學邀請賽培訓題，原文例８）．

x2y2z2111

???2解：由易知???1，而 1?x21?y21?z21?x21?y21?z2

x2(y)2z2

()()222222xyz1?y???2????1，依定理的推廣可有222

1?x1?y1?z

1?x21?y21?z2222xyz2xyz2，即???(??)(???2，從222222222

1?x1?y1?z1?x1?y1?z1?x1?y1?z

而

xyz

． ??

1?x21?y21?

z2

９ 求無理式的最值

例１４ 如果a?b?c?1，（第８屆＂希望杯＂全國數學邀請賽高二試題，原文例９）．

解：由條件知(3a?1)?(3b?1)?(3c?1)?6，則

3a?13b?13c?1

???1，由定理

666

?的推廣得：18?，且僅當a?b?c?

時達到最大值）． 3

M

是多少？N

１０ 求三角函數的最值

例１５的最大值為M，最小值為N，則

（1999年＂希望杯＂數學邀請賽，山西、江西、天津賽區高二試題，原文例12）．

解：由1?tanx?

?

N?

tanx?13?tanx

??

1，由定理得4?22

?2，即M=2，故

M??． N１１ 求對數函數的最值

例１６ 已知ab?1000,a?1,b?

1，則的最大值是多少？（第13屆＂希望杯＂全國邀請賽高二培訓題，原文例13）．

解：由已知易得：(1?lga)?(1?lgb)?5，即

1?lga1?lgb

??1，由定理有

10?

2?

由上我們可以看出，用本文中的定理和定理的推廣要比文［１］中用向量解決這些問題

簡單的多．當然，這樣的例子很多的，這里不再贅述，請讀者自行研究，以下是幾個練習．

練習

１．設x,y,z?R?，且x?y?z?1，求隊第一輪選拔賽題）．（答案：３６）

２．已知x,y,z?R,x?y?z?1，求數學問題1504）．（答案：６４）

３．函數y?

?

149

??的最小值（1990年日本IMO代表xyz

118

《數學通報》2004（7），?2?2的最小值（2

xyz

3x??x2的最小值為12屆“希望杯”全國數學邀請賽高

參 考 文 獻

一培訓題）．（答案：－２）

１．李建新．巧用向量求值．數學教學，2004，1１．

第四篇：人教版高一數學《函數最值求法及運用》教案

人教版高一數學《函數最值求法及運用》

教案

函數最值求法及運用

一經驗系統梳理:)問題思考的角度:1幾何角度；2代數角度

2)問題解決的優化策略:

Ⅰ、優化策略代數角度:

消元

2換元

3代換

4放縮

①經驗放縮，②公式放縮③條放縮]

Ⅱ、幾何角度:

經驗特征策略分析問題的幾何背景線性規劃、斜率、距離等

3)核心思想方法:

劃歸轉化思想;等價轉化思想

若

，則

二、體驗訓練：

線性規劃問題

已知雙曲線方程為求的最小值

2斜率問題

已知函數的定義域為，且

為的導函數，函數的圖像如圖所示若兩正數滿足，則的取值范圍是

．

3距離問題

3、由直線上的一點向圓引切線，則切線長的最小值為

．

練習1已知點是直線上動點，、是圓 的兩條切線，、是切點，若四邊形的最小面積是，則

．

練習2已知實數滿足不等式組，則的最小值為

；

4消元法

已知函數，若且則的取值范圍為

練習：設函數，若且則的取值范圍為

換元法

求下列函數的最大值或最小值：

（1）

；

（2）

；

（3）若函數的最大值是正整數，則=_______

解：（1）

，由得，∴當時，函數取最小值，當時函數取最大值．

（2）令，則，∴，當，即時取等號，∴函數取最大值，無最小值．

2已知,且夾角為如圖點在以為圓心的圓弧上動若則求的最大值

6代換法

設為正實數，滿足，則的最小值是

【解析】本小題考查二元基本不等式的運用．由得，代入得，當且僅當＝3

時取“＝”．

設正實數滿足則的最大值為

▲1

．

7公式放縮法

函數，的最小值為：_________

錯解：∵

∴，又為定值故利用基本不等式得

即的最小值為4

點評：利用基本不等式必須滿足三個條：即“一正、二定、三等”，而本題只滿足前兩個條，不滿足第三個條，即不成立。

設為實數，若則的最大值是。

8放縮法、換元法

已知二次函數的值域是那么的最小值是

．

9綜合探討：

滿足條的三角形的面積的最大值

【解析】本小題考查三角形面積公式、余弦定理以及函數思想．設B＝，則A＝

，根據面積公式得=，根據余弦定理得

，代入上式得

=

由三角形三邊關系有解得，故當時取得最大值

解析2：若，則的最大值。

【解析】本小題考查三角形面積公式及函數思想。

因為AB=2（定長），可以以AB所在的直線為軸，其中垂線為軸建立直角坐標系，則，設，由可得，化簡得，即在以（3，0）為圓心，為半徑的圓上運動。又。

答案

7、設，則函數

時，;

（3）=

設

則

由于，所以

在內單調遞減，于是當時時

的最大值米

答：當或時所鋪設的管道最短，為米

第五篇：函數的值域與最值的求法一教案

函數的值域與最值的求法一（2課時）

2011年2月14號 星期一

重難點：函數值域與最值的求法

口訣：分式分，單調單，拋物找軸最關鍵；絕對脫，根式換，化為二次方程判；

x2?13x1、觀察法: 例題： ①y=2;②y=x

x?23?

12、配方法：y=a（f（x））2+bf（x）+c(a≠0)例題：①求y=-x2+2x+5,x ∈[2,3]的值域；②y=4-3?2x?x2;③y= 3x2-x+2;④y=?x2?6x?5

3、代數換元法:y=ax+b±cx?d

例題：①y=2x+1?2x;②y=x+41?x;③y=x+2x?1;④y=2x-5+15?4x;⑤y=2x-4x?13 ⑥y=2x-1?x⑦y=x-1?2x

4、中間變量法（定義域為R）

x2?1例題：y=2

x?

25、三角函數的有界性法（幾何意義法：斜率公式）

3x?21?x例題：①y=②y=

5?4x2x?5??, ]或設x=cos22??θ, θ∈[0,Л] 題中出現1?x2可設x=tanθ, θ∈(-,)或設x=cosθ，22θ∈(0,Л)ax?ba7、分離常量法:y=（結果規律：y≠）

cx?dc6、三角函數換元法:題中出現1?x2可設x=sinθ, θ∈[-ax?b3x?21?x10x?10?x8、反函數法:y=例題：①y=②y= ③y=x

cx?d5?4x2x?510?10?xa1x2?b1x?c19、判別式法:y=（定義域為R）即分子或分母中含有二次三項式a2x2?b2x?c2的分式函數 3xx2?x?32x2?x?2x2?2x?2例題：①y=2;②y=2;③y=2④y=2⑤x?4x?x?1x?x?1x?x?12xx2?x?2x2?xy=2⑥y=2 ⑦y=2 x?x?1x?4x?3x?x?1kx2?

310、均值不等式法y=f（x）+（f（x）＞0,k>0）y=

2f(x)x?

211、單調性法（對勾函數y=ax+

12、數形結合法（分段函數）

b（a,b>0））x例題：設函數g(x)?x2?2(x?R)，(x)?x?4,x?g(x),f(x)?{gg(x)?x,x?g(x).則f(x)的值域是()

9?9??9?（A）??,0??(1,??)（B）[0,??)（C）[?,??)（D）??,0??(2,??)

4?4??4?

13、導數法

課堂練習題：

1、求下列函數的值域：

x2?x（1）y=2 解法一：配方法;解法二：判別式法

x?x?1（2）y=x-1?2x 解法一：換元法;解法二：單調性法（3）y=-xx?2x?22換元法

10x?10?x（4）y=x ?x10?10 反函數法

（5）f（x）=（x-1）3x2在[-1，1]上的最值。

2五、課下練習作業：練習冊P121