第一篇：淺談函數(shù)極限的求法

淺談函數(shù)極限的求法

摘要：函數(shù)極限是數(shù)學(xué)分析的基本內(nèi)容之一，也是解決其它問題的基礎(chǔ)。如何求出已知函數(shù)的極限是學(xué)習(xí)微積分必須掌握的基本技能。本文系統(tǒng)地介紹了利用定義、兩個(gè)重要極限、無窮小量代換、洛必達(dá)法則、夾逼準(zhǔn)則等求極限的方法，并結(jié)合具體的例子，指出了在解題中常遇見的一些問題。

關(guān)鍵詞: 函數(shù)極限夾逼準(zhǔn)則等價(jià)無窮小量洛必達(dá)法則泰勒展開式無窮小量

引言

極限研究的是函數(shù)的變化趨勢(shì)，在自變量的某個(gè)變化過程中，對(duì)應(yīng)的函數(shù)值無限解決某個(gè)確定的數(shù)，那這個(gè)數(shù)就是函數(shù)的極限了。極限是數(shù)學(xué)分析中一個(gè)非常重要的概念，是貫徹?cái)?shù)學(xué)分析的一條主線，它將數(shù)學(xué)分析的各個(gè)知識(shí)點(diǎn)連在一起，所以，求極限的方法顯得尤為重要的，我們知道，函數(shù)是數(shù)學(xué)分析研究的對(duì)象，而極限方法則是數(shù)學(xué)分析中研究函數(shù)的重要方法，因此怎樣求極限就非常重要。

數(shù)學(xué)分析中所討論的極限大體上分為兩類：一類是數(shù)列的極限，一類是函數(shù)的極限。兩類極限的本質(zhì)上是相同的，在形式上數(shù)列界限是函數(shù)極限的特例。因此，本文只就函數(shù)極限進(jìn)行討論。函數(shù)極限運(yùn)算是高等數(shù)學(xué)的一個(gè)重要的基本運(yùn)算，一部分函數(shù)的極限可以通過直接或間接的運(yùn)用“極限四則運(yùn)算法則”來求解，而另一部分函數(shù)極限需要通過特殊方法解決。求函數(shù)極限的方法較多，但是每種方法都有其局限性，都不是萬能的。對(duì)某個(gè)具體的求極限的問題，我們應(yīng)該追求最簡(jiǎn)便的方法。在求極限的過程中，必然以相關(guān)的概念、定理以及公式為依據(jù)，并借助一些重要的方法和技巧。本文給出了十七種求極限的方法，每種方法都是以定理或簡(jiǎn)述開頭，然后以例題來全面展示具體的求法。下面我們通過對(duì)一元函數(shù)和二元函數(shù)極限的求法來進(jìn)行分類討論

一元函數(shù)極限的求法

1.1利用函數(shù)定義求極限

利用函數(shù)極限的???定義驗(yàn)證函數(shù)的極限。設(shè)函數(shù)f在點(diǎn)x0的某空心鄰域，使得當(dāng)U0(x0;??)內(nèi)有定義,A為定數(shù)。若對(duì)任給的??0，存在正數(shù)?（???）

0?x?x0??時(shí)，有f(x)?A??成立，則稱函數(shù)f當(dāng)x趨于x0時(shí)以A為極限，記作limf(x)?A或f(x)?A(x?x0)。x?x0

x2?4例1設(shè)f(x)?,證明limf(x)?4.x?2x?

2x2?4?4?x?2?4?x?2，證明: 由于當(dāng)x?2時(shí)，f(x)?4?x?2

故對(duì)給定的??0，只要取???，則當(dāng)0?x?2??時(shí)，有f(x)?4??.這就證明了limf(x)?4.x?2

(1)定義中的正數(shù)?，相當(dāng)于數(shù)列極限??N定義中的N，它依賴于?，但也不是由?所惟一確定。一般來說，?愈小，?也相應(yīng)地要小一些，而且把?取得更小一些也無妨，如在題1中可取???

2或???

3等等。

(2)定義中只要求函數(shù)f在點(diǎn)x0的某個(gè)空心領(lǐng)域內(nèi)有定義，而一般不考慮f在點(diǎn)x0處的函數(shù)值是否有定義，或者取什么值。這是因?yàn)椋瑢?duì)于函數(shù)極限我們所研究的是當(dāng)x趨于x0過程中函數(shù)值的變化趨勢(shì)。如在題1中函數(shù)f在點(diǎn)x?2是沒有定義的，但當(dāng)x?2時(shí),f的函數(shù)值趨于一個(gè)定數(shù)。

1.2 利用單側(cè)極限求函數(shù)極限

這種方法適用于求分段函數(shù)在分段點(diǎn)處的極限。首先必須考慮分段點(diǎn)處的左、右極限都存在且相等，則函數(shù)在分界點(diǎn)處的極限存在，否則極限不存在。如符號(hào)函數(shù)sgnx，由于它在x?0處的左、右極限不相等，所以limsgnx不存在。x?0

f(x)?limf(x)?A.定理1 limf(x)?A?lim??x?x0x?x0x?x0

?2xx?0?例2 ： f(x)??0 x?0,求f(x)在x?0處的極限.?1?x2x?0?

f(x)?lim2x?1，解: lim??x?0x?0

f(x)?lim1?x?1，lim??x?0x?0

2f(x)?limf(x)?1，? lim??x?0x?0

? limf(x)?1.x?0

1.3 利用函數(shù)極限的四則運(yùn)算法則求極限

定理2 若極限limf(x)和limg(x)都存在，則函數(shù)f(x)?g(x)，f(x)?g(x)，x?x0x?x0

當(dāng)x?x0時(shí)也存在極限，且有

①limx?x0

x?x0?f(x)?g(x)??limf(x)?limg(x)； x?x0x?x0x?x0x?x0②lim?f(x)?g(x)?=limf(x)?limg(x)；

limf(x)f(x)f(x)x?x0③又若limg(x)?0，則在x?x0時(shí)也存在極限，且有l(wèi)im.?x?x0x?x0g(x)g(x)limg(x)

x?x0

利用函數(shù)極限的四則運(yùn)算法則求極限，條件是每項(xiàng)或每個(gè)因子極限都存在，一般所給的變量都不滿足這個(gè)條件，如?0，等情況，都不能直接用四則運(yùn)算法?0

則，必須要對(duì)變量進(jìn)行變形，設(shè)法消去分子、分母中的零因子，在變形時(shí)，要熟練掌握因式分解、有理化運(yùn)算等恒等變形。

(xtanx?1).例3：求lim?x?4

解: 由xtanx?xsinx?2及l(fā)imsinx?sin??limcosx，有 ??x?x?cosx42lim(xtanx?1)=limx???x?4limsinx?x?4x?limcosx?x??lim1??x??4?1.1.6 利用函數(shù)的連續(xù)性求函數(shù)極限

參考文獻(xiàn):

[1] 華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系.數(shù)學(xué)分析(第三版)[M].北京:高等教育出版社,2001.[2] 陳傳璋,朱學(xué)炎等.數(shù)學(xué)分析(第二版)[M].北京:高等教育出版社,1998.[3] 張?jiān)僭疲愊鏃澋龋瑯O限計(jì)算的方法與技巧[J].湖南理工學(xué)院學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版),2009,22(2):16-19.[4]歐陽光中.數(shù)學(xué)分析[M].上海：復(fù)旦大學(xué)出版社，2002.[5]錢吉林.數(shù)學(xué)分析解題精粹[M].武漢：崇文書局出版社，2001

第二篇：函數(shù)極限的若干求法 20121109

高等數(shù)學(xué)中極限的分析與研究

【摘 要】極限是高等數(shù)學(xué)中一個(gè)很重要的基礎(chǔ)知識(shí)點(diǎn)，是微積分的前提，因此函數(shù)極限的求解是非常重要的。本文針對(duì)高等數(shù)學(xué)中極限的求解方法進(jìn)行了一些分析與研究，主要以一元和二元函數(shù)的極限為主，尤其是a針對(duì)大學(xué)生如何學(xué)習(xí)并掌握極限而總結(jié)歸納了若干種求極限的方法，并對(duì)有些方法進(jìn)行了改進(jìn)，對(duì)于每種方法都是以定理和簡(jiǎn)述開始，然后以例題的方式展示。

【關(guān)鍵詞】 極限 洛必達(dá)法則 積分中值定理 等價(jià)無窮小 夾逼準(zhǔn)則 泰勒公式 一、一元函數(shù)極限求解方法 a1.利用定義求極限

這種方法的關(guān)鍵是找到符合定義要求的條件，這可能需要用到一些不等式的技巧，如縮放法等。

例 證明：limn?4n2n???1.22證???0,要使|n?4n?1|?n?4?nn?4n(n?4?n)2?4n??, a 取N?4?,當(dāng)n?N時(shí)，有|n?4n2?1|?4n?4N??成立，即limn?4n2n???1.此例題在用極限定義證明時(shí), 只需要證明存在,當(dāng)N>n時(shí)存在|f(x)-A |故求解的關(guān)鍵在于不等式的建立.在求解的過程中往往采用放大的技巧,注意不能把含有的因子移到不等式的另一邊再放大, 而是應(yīng)該直接對(duì)要證其極限的式子一步一步放大, 有時(shí)還需加入一些限制條件, 限制條件必須和所求的(或)一致, 最后結(jié)合在一起考慮.a2.利用極限的運(yùn)算法則

已知limf(x), limg(x)都存在, 極限值分別為A, B, 則

x?x0x?x01

(1)lim[f(x)?g(x)]?A?B；

x?x0(2)limf(x)g(x)?A?B；

x?x0(3)limf(x)g(x)x?x0?AB（此時(shí)需B?0成立).總的說來就是函數(shù)的和、差、積、商的極限等于函數(shù)極限的和、差、積、商。因此對(duì)于和、差、積、商形式的函數(shù)求極限, 可以采用極限運(yùn)算法則, 使用時(shí)需要先對(duì)函數(shù)做某些恒等變換或化簡(jiǎn), 變換的方法通常有分式的通分、約分、分解因式、分子分母有理化、三角函數(shù)的恒等變化、拆項(xiàng)消去法、比較最高次冪法等.但必須注意只有各項(xiàng)極限都存在(對(duì)商, 還要分母極限不為零)時(shí)才能適用.例 求極限lim3?x?1?xx?x?22

2?1-x?(x?2)(x?1)x?1 解：原式?lim3?x?1?x(x?2)(x?1)x?1?limx?1?lim13?x?1?x

x?1 ?lim?2x?2x?1?lim13?x?1?xx?1??26

3.用單調(diào)有界準(zhǔn)則求極限

定理：在實(shí)數(shù)系中, 有界的單調(diào)數(shù)列必有極限.因此利用單調(diào)準(zhǔn)則證明極限存在, 主要針對(duì)遞推數(shù)列, 必須驗(yàn)證數(shù)列兩個(gè)方面的性質(zhì): 單調(diào)性和有界性.解題的難點(diǎn)在于判斷單調(diào)性, 一般通過數(shù)學(xué)歸納法、減法、除法比較前后項(xiàng)． 例 設(shè)a?0,x1?0,xn?1?12(xn?axn),(n?1,2,?)

求證：???數(shù)列?xn?單調(diào)遞減有下界

????求limx??xn

???證明：顯然xn?0(n?1),因此 xn?1?12(xn?axn12)?xn?axn?a(n?2)故

?x?有下界

n 又xn?1?xn?(xn?axn)?xn?a?xn2x2?0(n?2)

即xn?1?xn，故數(shù)列?xn?單調(diào)遞減

????由???知：limxn?A是存在的

x?? 對(duì)xn?1?12(xn?axn)兩邊取極限得A?12(A?aA)

解得A?a或A??a(舍去)

4.利用兩個(gè)重要極限求極限

兩個(gè)重要極限:（1)limsinxxx?01???1；(2)lim?1???e.x??x??x 根據(jù)復(fù)合函數(shù)的極限運(yùn)算法則, 可將以上兩個(gè)公式進(jìn)行推廣:(1)limsinf(x)f(x)?1(limf(x)?0,y?x?x0sinuu,u?f(x))；

x?x0?1??(2)lim?1?x?x0?g(x)???g(x)u??1????e limg(x)??,y??1??,u?g(x)??x?x0?u????n?1?nn?1?n

例 求極限：lim[n(n?1?n)?]n??12 原式?lim[n(n??1n?1?nn?1?nn)?12](n?1?n)2

?lim(1?n???12)(n?1?n)2 ?lim[1?n??n?n?1n?n?1n)2(n?1?2](n?1?n)2

?lim[1?n??n?n?1n)2(n?1?n)2(n?1?n?1?4n]n?n?1?2(n?1?n)?(n?1?n)n?n?1?limen??2(n?1?n)?(n?1?n)2

?4nn?n?1?3nn)?limen??2nn2(n?1? 1 ?limen??4?e2

5.利用無窮小的性質(zhì)和等價(jià)無窮小代換求極限

定理：設(shè)函數(shù)f(x),g(x),h(x)在U(x0,??)內(nèi)有定義, 且有

f(x)~g(x)(x?x0).(1)若limf(x)h(x)?A, 則limg(x)h(x)?A；

x?x0x?x03

(2)若limh(x)f(x)x?x0?B, 則limh(x)g(x)x?x0?B.性質(zhì) 1 有限個(gè)無窮小量的代數(shù)和為無窮小量；

性質(zhì) 2 有限個(gè)無窮小量的乘積為無窮小量；

性質(zhì) 3 常數(shù)與無窮小量的乘積是無窮小量.定理：設(shè)?,?均為無窮小, 且??~?,?則 lim???lim~??, 且lim????存在，????.對(duì)于分子或分母中的兩個(gè)無窮小之差不能直接用無窮小代換.常用等價(jià)代換公式: 當(dāng)x?0時(shí), sinx~x, arcsinx~x, tanx~x，arctanx~x, e?1~x, a?1~xlna等.xx例 求limxlncosxetanxx?0?esinx

xln[1?(cox?1)](etanx?sinx 解：原式?limx?0?1)?esinx?limx(cosx?1)(tanx?sinx)esinxx?0

?limx(cox?1)(1?cosx)e?1esinxx?0sinxtanx?lim?xesinxx?0tanx

?limx?0??11??1

6.利用洛必達(dá)法則求極限

定理：若函數(shù)f(x)和g(x)滿足：(1)limf(x)?limg(x)?0；

x?x0x?x0(2)在點(diǎn)x0的某空心鄰域U0(x0,??)內(nèi)兩者都可導(dǎo), 且g?(x)?0；(3)limf?(x)g?(x)?A(A可為實(shí)數(shù), 也可為?)，f?(x)g?(x)x?x0則 lim這是對(duì)于00f(x)g(x)x?x0?limx?x0?A.??型不定式極限，對(duì)于型不定式極限有類似的方法。洛必達(dá)法則是求兩個(gè)無窮小量或兩個(gè)無窮大量之比的極限的, 在同一運(yùn)算過程中可連續(xù)

使用, 直到求出所求極限.但是, 對(duì)于其他不定式的極限（如0??，1,0,?,????00等類型）如果無法判斷其極限狀態(tài), 則羅必達(dá)法則失敗, 但只需

00??經(jīng)過簡(jiǎn)單變換, 它們一般可以化為型和?1?2例 6 求極限lim?2?cotx?x?0?x?解：原極限=lim=lim=lim型的極限.?sinx-xcosx??sinx?xcosx?xsinxsinx-xcosxx322x?0x?0?limsinx+xcosxx?limcosx+cosx-xsinx1x?0

x?0cosx-cosx+xsinx3xx222x?0=2limx?03x?237． 利用導(dǎo)數(shù)的定義求極限

定義：設(shè)函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0的某個(gè)鄰域內(nèi)有定義, 若極限

limf(x)?f(x0)x?x0

x?x0存在,則稱函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處可導(dǎo), 并稱該極限為函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù), 記作f?(x0).對(duì)于一般抽象函數(shù)求極限時(shí), 如果已知它的導(dǎo)數(shù)是存在的, 則經(jīng)常利用導(dǎo)數(shù)的定義求極限.例 a 求極限：limex?1x2x

x?0xlnx 解：原式?lim?e0x?0xlnx?lnxx

x ?(e)'|x?0?1

8.利用微分中值定理求極限

定理:(拉格朗日中值定理)若函數(shù)f(x)滿足如下條件：(1)f(x)在閉區(qū)間?a,b?上連續(xù)；(2)f(x)在開區(qū)間(a,b)上可導(dǎo)，則在(a,b)上至少存在一點(diǎn)?,使得 f?(?)?例 8 求極限limnn??2f(b)?f(a)b?a.?n+1x-nx.?x>0?1?.令f(n)=?x>0??nx??112?解:原極限=limn?n+1-nn??x?x1xn+1所以，由拉格朗日中值定理有：f(n+1)-f(n)=即有1xn+1-1xn=f(?)?n+1?n?.???n,n?1?

'-1xn=1?1?-2??x?????lnx?11?lnx2?所以limn?n+1-n?=-lim?=0n??x?n??x?x 9.用泰勒展式求極限（或麥克勞林展式)

常用展式： cosx?1?x2x22!?????(?1)nx2n?2n?!?o(x2n?1)，e?1?x?x2!?x33!2?????xnn!n?o(x)，n11?x?1?x?x?????x?o(x), sinx?x?nx33!?????(?1)n?1x2n?1(2n?1)!?o(x2n)

ln?x+1?=x-x22+x33-x44+??-1?n-1?xnn+??xn?

等.在計(jì)算過程中, 要注意高階無窮小的運(yùn)算及處理.例 求limn?sin(2?en!)

n?? 解：將e用泰勒公式展開有e?1?1?12!1n!12!?13!???1n!??

原式?limn?sin[2?(1?1?n?????2?]??)?n!]?limn?sin[2k???(n??1n?11)?)]1

n?1?limn?sin[n??2?n?1??(2?

n?1?limn?limsin[n??n??n?1??(n?1)]?limn?n??2?n?1?2?6

10.利用夾逼準(zhǔn)則與定積分求極限

夾逼準(zhǔn)則多適用于所考慮的函數(shù)比較容易適度放大或縮小, 而且放大和縮小的函數(shù)是容易求得相同的極限.基本思想是把要求解的極限轉(zhuǎn)化為求放大或縮小的函數(shù)或數(shù)列的極限.利用夾逼準(zhǔn)則求函數(shù)極限的關(guān)鍵：

（1）構(gòu)造函數(shù)f(x), h(x), 使f(x)?g(x)?h(x)；（2）limf(x)?limh(x)?A, 由此可得limg(x)?A.x?x0x?x0x?x0定理:設(shè)limf(x)?limh(x)?A, 且在x0某一空心鄰域U0(x0,??)內(nèi)

x?x0x?x0有 f(x)?g(x)?h(x), 則 limg(x)?A.x?x0定義:設(shè)f(x)在?a,b?上的一個(gè)函數(shù), J是一個(gè)確定的實(shí)數(shù).若對(duì)任給的正數(shù)?, 總存在某一正數(shù)?, 使得對(duì)?a,b?的任何分割T, 以及其上任意選取的點(diǎn)集{?i}, 只要T??, 就有 |?f(?i)?xi?J|??，i?1n則稱函數(shù)f(x)在區(qū)間?a,b?上可積, 數(shù)J稱為f(x)在?a,b?上的定積分, 記作 J??baf(x)dx.nb若用極限符號(hào)表達(dá)定積分, 可寫作J?limT?0?i?1f(?i)?xi??af(x)dx.由定積分的定義我們知道, 定積分是某一和式的極限, 因此, 如果關(guān)于n的某一和式可以表示成某一積分的形式時(shí), 則可利用定積分, 求出這個(gè)和式的極限, 顯然, 若要利用定積分求極限, 其關(guān)鍵在于將和式化成某一函數(shù)的積分形式.lim例：求極限：ln(n?1)n?1n???ln(n?2)n?12?????ln(n?n)n?1n?lnn

n解：原式?lim[?n??i?1ln(n?i)n?1i?lnn]

nlnn?ln(1?n?i)1ii?lim n???i?1n?lnn)

lnn?ln(1?n?1iln(1?i)nlnn?ln(1?i又?

n?1n?n?)lnn?ln(n?n)n

inlnn?ln(1?ni而?i?1n?lnn?)n?i?1n=1nn?ln(1?n)??i?1i10ln(1?x)dx

?[xln(1?x)]1??0lnn?ln(1?n?1i10xx?1dx?ln2??10x?1?1x?1ndx?2ln2?1 in而?i?1n?lnn??)lnnn?1ln(1???i?1n

n?1)??lnnn?1n?1ln(1?i??i?1n?1?n?1i)ln(1?)n?1 n?1n?1in?1nlnn?ln(1?n?1?limn???i?1n?lnn?lim(?n??)lnnn?1ln(1??n?1?n?1)n?1ln(1??i?1n?1)n?1)n?1ln(1? ?0?limn???i?1)n?1?n?1i?10ln(1?x)dx?2ln2?1

即由夾逼準(zhǔn)則得 原極限?2ln2?1

11.利用積分中值定理求極限

定理：設(shè)f(x)與g(x)都在?a,b?上連續(xù), 且g(x)在?a,b?上不變號(hào), 則至少存在一點(diǎn)???a,b?, 使得 ?f(x)g(x)dx?f(?)?g(x)dx.aabb例 求極限limn???1xn01?xdx.解: 取?a,b???0,1?, f(x)?m?1211?x, g(x)?xn, 則f(x)在?0,1?上的最小值

1n, 最大值M?1, 由積分中值定理知 原式?lim??xdx?limn??0?n?1n??

n因?yàn)?2???1, 所以 limn???1x01?xdx?0.12.利用級(jí)數(shù)求解極限

利用級(jí)數(shù)展開式求極限，從已知的展開式出發(fā), 通過變量代換、四則運(yùn)算、逐項(xiàng)求導(dǎo)、逐項(xiàng)求積定義法等直接或間接地求得函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開式。

例 求limsinx?arctanxx3

x?0 解: 利用冪級(jí)數(shù)的展開式, 可得

x?x3 原式?lim3!?x55!?x77!?????x?x3x33?x55?x77????

x?0 ?lim??1??????x2??????

33!??55!?x?0???613.利用黎曼引理求極限

定理:a若f(x)在?a,b?上可積, g(x)是以T為周期的函數(shù), 且在?0,T?上可積, 則有 lim??1??11??1n????baf(x)g(nx)dx?11T?T0g(x)?f(x)dxab.例 計(jì)算limn???sin2nx201?xdx.解:因?yàn)閟in2x的周期為?, limn???1sin2nx201?xdx?1???0sinxdx??2111?x20dx??8 二、二元函數(shù)極限求解方法

二元函數(shù)極限是在一元函數(shù)極限的基礎(chǔ)上發(fā)展起來的, 兩者之間既有聯(lián)系又有區(qū)別．在極限運(yùn)算法則上, 它們是一致的, 但隨著變量個(gè)數(shù)的增加, 二元函數(shù)極限變得更加復(fù)雜, 它實(shí)質(zhì)上是包含任意方向的逼近過程, 是一個(gè)較為復(fù)雜的極限, 對(duì)于二元函數(shù)f(x,y)的二重極限, 其重點(diǎn)是研究極限的存在性以及具體的求解方法．

引例 求limxy2222(x,y)?(0,0)x?y.原解法： 因?yàn)閨xy2222x?y|?|xx2|?|x|,2???0, 取????0，()?1y222當(dāng)x??, y??, 且(x,y)?(0,0)時(shí), 有xyx?y22?x?02

2的定義得

?x?r(x,y)?(0,0)limxy2222x?y?0.新解法：令?xy2222??y?rsin?2當(dāng)（x,y)?(0,0)有r?0?, x?y?rcos?sin?,2222因?yàn)閨cos?sin?|?1, 所以

(x,y)?(0,0)limxy2222x?y?lim?rcos?sin??0.r?0222兩者相對(duì)比, 我們就會(huì)發(fā)現(xiàn), 此例用極坐標(biāo)代換求極限比用定義求解簡(jiǎn)單的多, 那么, 選擇一個(gè)正確的解題方法就顯得尤為重要了。下面是對(duì)各類方法進(jìn)行的探索.1.利用定義, 證明某極限為某數(shù)A或不存在．

例 證明極限limx?3y???xy?1y?1?3

證明：???0,有不等式(取y?0)

?5xy?1y?1?3?(x?3)y?4y?1?x?3?4y

取?? 有|?0,于是???0,????5>0,對(duì)??x,y?:|x?3|??與y?xy?1y?11?, xy?1y?1?3|?|x?3|?4y???4??5???,即limx?3?3得證

y???

2.將函數(shù)變形, 想辦法約去零因式（或無窮大因式）例 求limx?0y?0(1?4x)(1?6y)?12x?3ylim2222 解：原式=

(1?4x)(1?6y)?12x?0y?0?2x2?3y2???1?4x??1?6y??1?22

=lim(x?0y?02(1?4x)(1?6y)?122?24xy222222)

(2x?3y)((1?4x)(1?6y)?1)=1+0=1

3． 利用等價(jià)無窮小來代換 例 求 limx?0y?0sin(x?y)x?y33.解: 當(dāng)x?0,y?0時(shí), x3?y3?0,sin(x3?y3)和x3?y3是等價(jià)無窮小, 故原極限?limsin(x?y)x?y33x?0y?0?lim(x?y?xy)?0.22x?0y?04.變量代換

第一類: 依據(jù)函數(shù)f(x,y)的特殊類型, 利用兩變量x,y的和x?y?t,平方和x2?y2?t及乘積xy?t等做代換, 將二元函數(shù)f(x,y)求極限的問題, 整體或者部分轉(zhuǎn)化為一元函數(shù)的極限問題.（1）當(dāng)x??,y?a（a?0的常數(shù)), 二元函數(shù)f(x,y)的極限, 作代換xy?t, 相應(yīng)的有t??, 利用已知一元函數(shù)的極限知識(shí).例 lim(1?x??y?a1xyx2)x?y(a?0).x2解： 因?yàn)?1?1xy)x?y?(1?1xyxyx(x?y)y), 當(dāng)x??,y?a時(shí), 令xy?t, 則 t??,lim(1?x??y?a1xyx2)x?y1t?lim(1?)?et??t1xyxyx(x?y)y.1xy)xy所以 lim(1?x??y?a1xyx2)x?y[ln(1?]x(x?y)y1?lim(1?x??y?a)?e?ea.第二類：討論當(dāng)（x,y)?(0,0), 二元函數(shù)極限f(x,y), 用變量變?x?rcos?換,?.則r?0?.?y?rsin?11

例 求limx?yx?y22x?0y?0

解：令x?rcos?,y?rsin? ?r?0?

x?yx?y22 則?r2r?cos??sin???cos??r?sin??

因?cos??sin??2?1?sin2? 所以sin??sin??1故

22x?yx?y22?r

而當(dāng)?x,y???0,0?時(shí)，r?0所以limx?yx?yx?0y?0?0

【結(jié)語】極限是高等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，極限思想直接影響到微分、積分、導(dǎo)數(shù)的解法，如果沒有極限思想和極限理論，我們的近代數(shù)學(xué)殿堂就不會(huì)如此輝煌，所以極限的重要性不言而喻。通過大一對(duì)極限的學(xué)習(xí)，我們對(duì)極限學(xué)習(xí)中所存在的不知如何求解極限的問題做出了相關(guān)方法的總結(jié)和進(jìn)一步分析。相信在正確領(lǐng)會(huì)極限的定義以及解答方法的條件下，突破此難點(diǎn)并非難題。

參 考 文 獻(xiàn)

[1] 吉米多維奇.數(shù)學(xué)分析習(xí)題集解題.濟(jì)南: 山東科學(xué)技術(shù)出版社, 1999 [2] 數(shù)學(xué)考研考點(diǎn)精講方法精練 西安交大出版社，2011 [3] 數(shù)學(xué)分析全程輔導(dǎo)及習(xí)題精講 中國水利水電出版社，2011 [4] 高等數(shù)學(xué)輔導(dǎo) 國家行政學(xué)院出版社，2008 [5] 高等數(shù)學(xué)教學(xué)輔導(dǎo)書 高等教育出版社，2010 [6] 高等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)指導(dǎo) 北京郵電大學(xué)出版社，2011 [7] 大學(xué)生數(shù)學(xué)競(jìng)賽習(xí)題精講 清華大學(xué)出版社，2010

第三篇：函數(shù)極限的求法(正文)

目錄

0.引言..........................................................1 1.函數(shù)極限的定義................................................1 2.一元函數(shù)極限的求法...........................................3 2.1 利用函數(shù)極限定義求極限..................................3 2.2 利用恒等變形和極限運(yùn)算法則求極限........................4 2.3 利用迫斂性求極限........................................4 2.4 利用兩個(gè)重要極限及其推導(dǎo)公式求函數(shù)極限..................5 2.5 利用洛必達(dá)法則求解......................................6 2.6 利用函數(shù)的連續(xù)性質(zhì)求解..................................7 2.7 利用等價(jià)無窮小量代換求解................................8 2.8 利用導(dǎo)數(shù)的定義求解......................................8 2.9 利用泰勒公式求極限......................................9 2.10 利用微分中值定理求極限................................10 2.11 利用積分中值定理求極限................................10 2.12 利用瑕積分的極限等式求極限............................11 3.二元及多元函數(shù)極限的解法....................................11 3.1 利用二元函數(shù)的連續(xù)性求解...............................12 3.2 利用極限的運(yùn)算法則求解.................................12 3.3 利用不等式，使用夾逼法則求解...........................12 3.4 變量替換化為已知極限，或化為一元函數(shù)的極限求解.........13 3.5 利用恒等變形法求解.....................................13 3.6 利用兩個(gè)重要極限求解...................................14 3.7 利用等價(jià)無窮小代換求解.................................15 3.8 利用無窮小量與有界變量的乘積仍為無窮小的結(jié)論求解.......16 3.9 利用二重積分來計(jì)算二元函數(shù)的極限.......................16 3.10 利用極坐標(biāo)變換求解....................................17 3.11 利用二元函數(shù)的泰勒展式求解............................17 4.總結(jié)........................................................18 致謝...........................................................18 參考文獻(xiàn).......................................................20

函數(shù)極限的求法

0.引言

極限描述了數(shù)列和函數(shù)在無限變化中的一種趨勢(shì)，它體現(xiàn)了從近似認(rèn)識(shí)精確，從有限認(rèn)識(shí)無限，從量變認(rèn)識(shí)質(zhì)變的數(shù)學(xué)思想。在數(shù)學(xué)分析和微積分學(xué)中，極限的概念占有重要的地位并以各種形式出現(xiàn)且貫穿全部的內(nèi)容。極限理論又是研究連續(xù)，導(dǎo)數(shù)，積分，級(jí)數(shù)等的基本工具，是微積分的理論基礎(chǔ)。極限的計(jì)算在解決許多實(shí)際問題中不可缺少。因此，掌握好極限的求解方法是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)分析和微積分學(xué)的關(guān)鍵一環(huán)。

對(duì)于如何求極限，怎樣使求極限變得容易，這是讓絕大多數(shù)學(xué)生較為頭痛的問題。我們?nèi)绾卧跍?zhǔn)確理解極限的概念、性質(zhì)和極限存在條件的基礎(chǔ)上，靈活巧妙的運(yùn)用各種不同的方法解決有關(guān)極限的實(shí)際問題。本文針對(duì)一元函數(shù)和二元函數(shù)極限，對(duì)它們的求解方法進(jìn)行了歸納總結(jié)。

1.函數(shù)極限的定義

定義1 設(shè)函數(shù)f(x)在Uo(x0,?)(x0的空心?鄰域)內(nèi)有定義,A為一個(gè)確定的常數(shù), 若對(duì)任給的正數(shù)?,總存在某一正數(shù)?, 使得當(dāng)0?x?x0??時(shí), 都有f(x)?A??, 記作:limf(x)?A或f(x)?A(x?x0), 稱f(x)當(dāng)

x?x0x?x0時(shí)以A為極限.或簡(jiǎn)單地寫成: x?x0limf(x)?A????0,???0，使得?x,當(dāng)0?x?x0??時(shí),總有f(x)?A??.0?x0,??（或U?0?x0,??）內(nèi)有定義,A為定數(shù), 若定義2 設(shè)函數(shù)f(x)在U?對(duì)任給的??0, 存在正數(shù)?, 使得當(dāng)x0?x?x0??（或x0???x?x0）時(shí)有

??f(x)?A??, 則稱數(shù)A為函數(shù)f(x)當(dāng)x趨于x0（或x0）時(shí)的右(左)極限.1 記作: f(x)??A?f(x)??xlim??x?0??A?f(x)??和f(x)?A?xlim??x??0A??, 或者記作:

???f(x)?Ax?x0和f(x)?Ax?x0.右極限與左極限統(tǒng)稱為單側(cè)極限。????定義3 設(shè)f為定義在D?R2上的二元函數(shù),P0為D的一個(gè)聚點(diǎn),A是一個(gè)確定的實(shí)數(shù)。若對(duì)任意的正數(shù)??0, 總存在某正數(shù)?, 使得當(dāng)P?Uo?P0;???D時(shí), 都有f?P??A??，則稱f在D上當(dāng)P?P0時(shí), 以A為極限, 記作：

P?P0P?D limf?P??A

（1）當(dāng)P,P0分別用坐標(biāo)?x,y?,?x0,y0?表示時(shí), 在不產(chǎn)生誤解時(shí), ?1?式也常寫作：

?x,y???x0,y0?lim f?x,y??A

（2）定義 4 設(shè)Ex,Ey?R , x0是Ex的聚點(diǎn), y0是Ey的聚點(diǎn), 二元函數(shù)f在集合D?Ex?Ey上有定義, 若對(duì)每一個(gè)y?Ey,y?y0, 存在極限x?x0x?Exlimf?x,y?, 由于此極限一般與y有關(guān), 因此記作

??y??limf?x,y?

x?x0x?Ex而且進(jìn)一步存在極限 L?lim??y?

y?y0y?Ey則稱此極限為二元函數(shù)f先對(duì)x?x0后對(duì)y?y0的累次極限, 并記作：

L?limlimf?x,y?，y?y0x?x0y?Eyx?Ex或簡(jiǎn)記作：

L?limlimf?x,y?.y?y0x?x0類似地可以定義先對(duì)y后對(duì)x的累次極限:

K?limlimf?x,y?.x?x0y?y02.一元函數(shù)極限的求法

求一元函數(shù)極限使高等數(shù)學(xué)的基本運(yùn)算之一，能夠合理運(yùn)用解決函數(shù)極限的方法至關(guān)重要。對(duì)求于函數(shù)極限問題，從不同的角度思考，從不同角度分析，能得出各種不同的方法。

2.1 利用函數(shù)極限定義求極限

利用函數(shù)極限的定義以及不等式證明方法,關(guān)鍵是找出和的函數(shù)表達(dá)式,滿足函數(shù)極限定義中的要求。

x2?1?2.例1 證明limx?1x?1分析：用“?-?”定義驗(yàn)證limf(x)?A的過程，就是根據(jù)給出的?找?的過程，x?x0就是解不等式的過程。將f(x)?A??經(jīng)適當(dāng)?shù)淖兓ㄈ绶糯蟮龋??x?x0??(?)為為止（?(?)表示僅與常數(shù)和有關(guān)的表達(dá)式），這里???(?)

證明：這里,函數(shù)在點(diǎn)x?1是沒有定義的,但是函數(shù)當(dāng)x?1時(shí)的極限存在或

x2?1?2??約不存在與它有沒有定義并無關(guān)系。事實(shí)上, ???0 ,不等式

x?1去非零因子x?1后就化為x?1?2?x?1??,因此只要取???,那么當(dāng)

x2?1?2??.0?x?1??時(shí),就有x?1所以由函數(shù)極限定義知：

x2?1lim?2.x?1x?12.2 利用恒等變形和極限運(yùn)算法則求極限

恒等變形通常是利用提取出因式約簡(jiǎn)分式, 分子或分母有理化及三角函數(shù)變換等。利用極限運(yùn)算法則時(shí)則應(yīng)特別注意法則的適用條件即各項(xiàng)極限存在且和, 積運(yùn)算只能推廣出有限項(xiàng)。

例2 求lim1?tanx?1?sinx.x(1?cosx)x?0分析：當(dāng)x?0時(shí)，分母x?1?cosx??0，顯然不能運(yùn)用極限運(yùn)算法則進(jìn)行處理，但在x?0的過程中，x?0，所以在所求的極限公式中可約去不為零的公因式，在求解中所用的方法就是對(duì)分子、分母進(jìn)行合理的因式分解，約去產(chǎn)生奇異的因子，從而達(dá)到化簡(jiǎn)求解的目的。解：原式?lim1?tanx?(1?sinx)

x(1?cosx)1?tanx?1?sinxx?0??sinx?sinx1cosx ?lim ?limx?01?tanx?1?sinxx?0x(1?cosx)1sinx11 ?lim?lim?.2x?0xx?0cosx22.3 利用迫斂性求極限

利用迫斂性求極限，就是利用所謂的夾逼定理，通過確定兩端式子的極

限來求解所要求解的極限值。給出夾逼定理：若函數(shù)f(x)滿足h(x)?f(x?)g(，x)且limh(x)?limg(x)?A，則limf(x)?A.x?x0x?x0x?x0?1?11??1 ??????例3 證明lim??222x???x?2x?x??x?1分析：本題函數(shù)為無窮級(jí)數(shù)和的形式，不易用一般方法簡(jiǎn)單的求出極限值，故在這里考慮h(x)?xx?x2與g(x)?xx?12的極限值。

證明：利用放縮思想，容易看出

xx?x2?1x?12?1x?22?????1x?x2?xx?12

而

limxx?x2x???lim11?1xx???1，limxx?12x???lim11?1x2x???1，于是由兩邊夾準(zhǔn)則知：

?1lim??2x????x?11x2?2????????1.?2x?x?12.4 利用兩個(gè)重要極限及其推導(dǎo)公式求函數(shù)極限

Ⅰ第一個(gè)重要極限：limsin?(x)sinx?1.?1；其變形為：lim?(x)?0?(x)x?0x1xx?0Ⅱ第二個(gè)重要極限：lim?1?x??e；其變形為：lim?1??(x)??(x)?0?(x)1?(x)?e

?1??1?或者lim?1???e；其變形為：lim?1???(x)??x???x???(x)?x?e.sinx2例4 求lim.x?0x 5 分析：先判斷類型，當(dāng)x?0時(shí)sinx2?0，故所求極限是“

0”型，且不能0消去零因子，現(xiàn)在我們利用第一個(gè)重要極限求解。令?(x)?x2，通過變形可得sin??x?.??x??sinx2?sinx2?x??limx?1?0?0.解：原式?lim???limx?0?x?0x?0xx??

例5 求lim(cosx)x?0sin?2x2.分析：先判斷類型，因?yàn)閏osx?1,x?0，故知是“10”型，且不能消去零x，可化簡(jiǎn)的第二個(gè)重要極限的形式，現(xiàn)在我們利用第2二個(gè)重要極限求解。因子，令?(x)??sin2xsin?22解：原式?lim(1?2sin)x?022x1x?sin?2??22???2x???lim?1?(?2sin)??e?2.?x?02???????22.5 利用洛必達(dá)法則求解

這是目前最常用的求極限的方法之一，最好能與等價(jià)無窮小替換相結(jié)

0?合，以減少求導(dǎo)的次數(shù)。常見的未定式有：型，型，1?型，?0型，??00?0?型，???型，后四種未定式能化成前兩種基本型型和型

0?下面是形式語言的變換：

0?（1）??0?

或 ??0?.11?0（2）①?1??2?1102?01??.01020102 6 ??? ②?1??2??1?1?2????1?1??2?1.1?1（3）①1??eln1??e?ln1?e?e0ln0?eln11?ln010.②0?e0ln00.③?0?eln?0?e0ln??eln?10.1?cos3x例6 求極限lim.x??sinx分析：當(dāng)x??時(shí)，1?cos2x?0，sinx?0，顯然是洛必達(dá)法則進(jìn)行求解。

0型，故可直接使用01?cos3x1?cos3x3cos2x??sinx??lim?lim解： lim 'x??x??x??sinxcosx?sinx???' ?lim??3cosxsinx? ??3cos?sin??0.x??2.6 利用函數(shù)的連續(xù)性質(zhì)求解

若f(x)在x0連續(xù)，則知limf(x)?f(x0)，即求連續(xù)函數(shù)的極限，可歸

x?x0結(jié)為計(jì)算函數(shù)值。常見有以下幾種形式：(1)設(shè)f(x)在x?a處連續(xù)，若

x?ax?alimxn?an??，則limf(xn)?f(limxn)?f(a)及l(fā)imf(x)?f(limx)?f(a)。

n??n??(2)設(shè)limu(x)?A?0，limv(x)?B，u(x)、v(x)在x?a處連續(xù),則

x?ax?alimu(x)v(x)?limev(x)lnu(x)?eBlnA?AB.x?ax?a 7

例7 求極限limln2?7x?6?.x?1?6?解：因?yàn)閒(x)?ln2?7x?6?是初等函數(shù)，在定義域?,???內(nèi)是連續(xù)的，所以

?7?在x?1處也連續(xù)，根據(jù)連續(xù)的定義，極限值等于函數(shù)值。所以

limln2?7x?6??f(1)?ln2?7?6??0.x?12.7 利用等價(jià)無窮小量代換求解

定理:設(shè)在自變量的某一變化過程中，?,??,?,??均為無窮小，又????,????且 lim?1?????A，則lim?1?????lim?1???????A.例

x如：當(dāng)x?0時(shí)，有⑴sinx~x，⑵arcsinx~x，⑶tanx~x，⑷e-1~x，1??1112xn⑸ln?1?x?~x，⑹1?cosx~x，⑺arctanx~x，⑻1?x-1~2n例8 求極限lim1?2tanxx?0.?2?1xln(1?x).解：當(dāng)x?0時(shí)，1?2tan2x~2x2，xln(1?x)~?x2.故

lim?1?2tanx?2x?01xln(1?x)12?x2?lim?1?2xx?0??e?2.2.8 利用導(dǎo)數(shù)的定義求解

利用導(dǎo)數(shù)的定義求極限，一般可得lim法要求熟練掌握導(dǎo)數(shù)的定義及性質(zhì)。

例9 若函數(shù)f(x)在xo點(diǎn)處可導(dǎo), 且f?(x0)?3，求極限：

h?0f?x0?kh??f(x0)?kf?(x0)，此方

hlimh?0f?x0?5h??f(x0).h解：由于f(x)在x0點(diǎn)處可導(dǎo), 若令?x?5h，則

limh?0f?x0?5h??f(x0)h?limh?0f?x0??x??f(x0)?x?5?5f?(x0)?15.2.9 利用泰勒公式求極限

如果函數(shù)f(x)在含x0的某個(gè)開區(qū)間?a,b?內(nèi)具有直到n?1階導(dǎo)數(shù), 即f?Dn?1?a,b?, 那么對(duì)于x??a,b?, 有

f(x)?f(x0)?f?(x0)(x?x0)?11nnf??(x0)(x?x0)2?????f??(x0)(x?x0)n?o(?x?x0?)2!n!這就是泰勒公式。

這是一種非常有效的方法，它實(shí)際上已包含了洛必達(dá)法則的求解方法，0利用泰勒公式求“ ” 型極限是一種重要而有效的方法, 因?yàn)橛行┐祟惒?定式運(yùn)用洛必達(dá)法則需要連續(xù)幾次求導(dǎo), 但用此法較為方便。

例10 求極限lim1?ex?0x2?x2.分析：首先要求掌握復(fù)合函數(shù)的泰勒展式，注意先展里層函數(shù)，再展外層函數(shù)。其次要把握好將函數(shù)展開到適當(dāng)?shù)碾A數(shù)。本題中很明顯，分母是2階無窮小量，因此，需將函數(shù)1?e?x展開到2階泰勒公式帶皮亞諾余項(xiàng)。解：由泰勒公式可知

ex?1?x?121x?????xn?oxn 2!n!2??所以

e?x?1?x2?o?x2?

2因此

1?e?x1?1?x2?ox2lim?lim?1.x?0x?0x2x22????2.10 利用微分中值定理求極限

若f(x)連續(xù), 那么f?b?x???f?a?x???f?a?x????b?x??a?x???, 于是

b?x??a?x?limx?0f?b?x???f?a?x???limf?a?x????b?x??a?x????f?a0?，x?0b?x??a?x?x?0x?0其中0???1，lima?x??limb?x??a0（主要是利用拉格朗日中值定理）.etanx?ex例11 求極限lim.x?0sinx?xcosx分析：利用拉格朗日中值定理：etanx?ex?e??tanx?x?，?在tanx與x之間，且sinx?xcosx?cosx?tanx?x?.e??lim?1.解： 原式?limx?0cosx?tanx?x???01e??tanx?x?2.11 利用積分中值定理求極限

積分中值定理：

設(shè)f?x?在?a,b?上連續(xù), 則????a,b?, 使得?f?x?dx?f????b?a?。積分

ab中值定理的推廣形式是, 設(shè)f?x?在?a,b?上連續(xù), g?x?在?a,b?上不變號(hào), 則????a,b?, 使得?f?x?g?x?dx?f????g?x?dx.aabb

例12 求極限lim?xn2?xdx.x??01解：

lim?xx??01n2?xdx?lim2???xndxx??011?lim2???0x??n?

1，0???1.2.12 利用瑕積分的極限等式求極限

命題 設(shè)f?x?在?a,b?上連續(xù)，a是f?x?的瑕點(diǎn)且瑕積分?f?x?dx收斂，abi?b?a???b?a??則等式?f?x?dx?lim?f?a?成立。?an??nn??i?1bn

n例13 求極限lim解：因?yàn)?n??n!.nn!1?ni?1nnln?lnn!?lnn???lni?nlnn???ln.nn?i?1?ni?1nn而函數(shù)f?x??lnx在?0,1?上連續(xù)，x?0是f?x??lnx的瑕點(diǎn)，且瑕積分

111?于是由上面命題，有 0lnxdx?xlnx|???dx??1．

001n!1nilimln?lim?ln??lnxdx??1，n??n??nnn0i?1n進(jìn)而有：

nlimn??n!?limen??nnlnn!n?en??limlnnn!n1?e?1?.e

3.二元及多元函數(shù)極限的解法

二元函數(shù)極限是在一元函數(shù)極限的基礎(chǔ)上發(fā)展起來的，兩者之間既有聯(lián)系又有區(qū)別。由于變量個(gè)數(shù)的增加，二元函數(shù)極限的求法比一元函數(shù)極限的求法要復(fù)雜得多，但一元函數(shù)極限的基本運(yùn)算在二元函數(shù)極限的運(yùn)算中同樣適用。因此，可將一元函數(shù)的計(jì)算方法推廣至二元函數(shù)。

3.1 利用二元函數(shù)的連續(xù)性求解

由二元函數(shù)連續(xù)的性質(zhì)可得以下命題 命題 若函數(shù)f?x,y?在點(diǎn)?x0,y0?處連續(xù)，則例14 求極限lim1

x2?y2?1?x,y???x0,y0?limf?x,y??f?x0,y0?.x?1y?2解：由函數(shù)連續(xù)的定義不難證明函數(shù)f?x,y??故

limx?1y?21在點(diǎn)22x?y?1?1,2?處連續(xù).111???f1,2??.2222x?y?11?2?143.2 利用極限的運(yùn)算法則求解

例15 求極限lim解：

limsinxysinxysinxy?lim?y?lim?limy?1.x?0x?0x?0?0xxyxyxy?1y?1y?1y?1sinxy.x?0xy?1

3.3 利用不等式，使用夾逼法則求解

例16 求極限limx?y.x??x2?xy?y2y?? 12 解： 由不等式x2?y2?2xy，得到

0?x?yx?y11x?y???? 2222x?xy?yx?y?xyxyxy又

?11?lim????0

?x???xy?y???所以：

limx?y?0.x??x2?xy?y2y??3.4 變量替換化為已知極限，或化為一元函數(shù)的極限求解

通過變量代換可以將某些二元函數(shù)的極限轉(zhuǎn)化為一元函數(shù)的極限來計(jì)算，從而使二元函數(shù)的極限變得簡(jiǎn)單。

例17 求極限limx?0y?0xy?sin?xy?.xy?xycos?xy?解：設(shè)xy?t，因0?xy?12x?y2.2??故當(dāng)x?0,y?0時(shí)，t?0則

原式?limt?0t?sintt?sint1?sintsint1?2lim?2lim?2lim?.t?0t?0t?06t2t?1?cost?t23t23

3.5 利用恒等變形法求解

將二元函數(shù)進(jìn)行恒等變形，例如分母或分子有理化等，以約去零因子或無窮大因式。

例18 求極限lim解： 2?xy?4.?x,y???0,0?xy2?xy?42?xy?42?xy?4lim?lim?x,y???0,0??x,y???0,0?xyxy2?xy?4??????

??x,y???0,0?lim?xyxy2?xy?412?xy?4??14.??x,y???0,0?lim?

??3.6 利用兩個(gè)重要極限求解

1sinu?x,y?lim?1；lim?1?u?x,y??u?x,y??e.u?x,y??0u?x,y?u?x,y??0它們分別是一元函數(shù)中兩個(gè)重要極限的推廣，其中?x,y???x0,y0?時(shí)，u?x,y??0，視u?x,y?為新變量t，考慮極限過程t?0.例19 求極限lim解：

?x,y???0,0??x,y???0,0??2?x?sin?x2?y2?

x2?y2lim?2?x?sin?x2?y2?x?y22??x,y???0,0?lim?2?x??x,ylim???0,0?sin?x2?y2?x2?y2

??2?0??1?2.14 ?1??例20 求極限lim?1?x???xy??y?a?x2x?y.解：

?1??lim?1??x???xy??y?ax2x?yxy??1???lim??1????x???xy??y?a????x2?x?y?xy

而

x211lim?lim? x???x?y?xyx???y?ay?ay?a?1??y?x?故

xy??1??原式?lim??1????x???xy??y?a????x2?x?y?xy?e.1a3.7 利用等價(jià)無窮小代換求解

一元函數(shù)中的等價(jià)無窮小概念可以推廣到二元函數(shù)。在二元函數(shù)中常見的等價(jià)無窮小u?x,y??0，有

⑴ sinu?x,y?~u?x,y?；

⑵ 1?cosu?x,y?~12u?x,y?； 2⑶ ln?1?u?x,y??~u?x,y?；

⑷ tanu?x,y?~u?x,y?； ⑸ arcsinu?x,y?~u?x,y?； ⑹ arctanu?x,y?~u?x,y?； ⑺ nu?x,y?-1~1u?x,y?； ⑻ eu?x,y?-1~u?x,y?.n同一元函數(shù)一樣，等價(jià)無窮小代換只能在乘法和除法中應(yīng)用。

例21 求極限limsin?xy?.?x,y???0,0?x 15 解：由?x,y???0,0?；可知sinxy~xy.故

sin?xy?xy?limlimy?0.?x,y???0,0??x,y???0,0?x?x,y???0,0?xlim

3.8 利用無窮小量與有界變量的乘積仍為無窮小的結(jié)論求解

sinx2y例22 求極限lim2.x?0x?y2y?0??解：

sinx2y因?yàn)閘im2x?0xyy?0??令u?x2yx2y1sin?u??x ?lim?1，2u?0x?y22u

所以

原式?limx?0y?0sin?x2y?x2yx2y?2?0.2x?y3.9 利用二重積分來計(jì)算二元函數(shù)的極限

例23 求極限

n1??n2??lim(111111?????????n1?1n2?1n1?1n2?2n1?1n2?n2?111111?????????)n1?2n2?2n1?2n2?3n1?n1n2?n2

解：原式可化為

1limn1??nn12??i?1j?1n1n211?1n2??ij1?n1n2???D11??ln22 1?x1?y其中D為0?x?1,0?y?1.16 3.10 利用極坐標(biāo)變換求解

?x??cos???設(shè)y?kx,求極限，若結(jié)果與k有關(guān)，或設(shè)?，求極限；若結(jié)

???y??sin?果與?有關(guān)，則二重極限不存在；若結(jié)果與k或?無關(guān)，則二重極限可能存在，這時(shí)還要進(jìn)一步證明所得極限就是所求的二重極限。

x?y?x2?y2例24 求極限lim.x?0x?yy?0解：設(shè)y?kx，則

x?y?x2?y2x?kx?x2?k2x21?klim?lim?，x?0x?0x?yx?kx1?ky?0y?0極限與k有關(guān).?x??cos???或設(shè)?

（?為變量，?為參數(shù)）

???y??sin?x?y?x2?y2??cos??sin????2cos??sin?lim?lim? x?0??0x?y??cos??sin??cos??sin?y?0極限與?有關(guān) 故原式極限不存在.3.11 利用二元函數(shù)的泰勒展式求解

例25 求極限limcos?x?y??cosxcosy.x?0xyy?0解：把cos?x?y??cosxcosy在?0,0?點(diǎn)展開得：

cos?x?y??cosxcosy??xy?ox2?y2

??所以

limcos?x?y??cosxcosy?xy?lim??1.x?0x?0xyxyy?0y?04.總結(jié)

一元函數(shù)的極限求法基本可以歸納為以下幾種方法（1）利用函數(shù)極限的定義求極限。（2）利用恒等變形和極限運(yùn)算法則求極限（3）利用恒等變形和極限運(yùn)算法則求極限（4）利用迫斂性求極限（5）利用兩個(gè)重要極限及其推導(dǎo)公式求函數(shù)極限(6)利用洛必達(dá)法則求極限（7）利用函數(shù)的連續(xù)性質(zhì)求極限（8）利用等價(jià)無窮小量代換求極限（9）利用導(dǎo)數(shù)的定義求極限（10）利用泰勒公式求極限（11）利用微分中值定理求極限(12)利用積分中值定理求極限（13）利用瑕積分的極限等式求極限。

二元函數(shù)極限是在一元函數(shù)極限的基礎(chǔ)上發(fā)展起來的，雖然二元函數(shù)極限的求法比一元函數(shù)極限的求法要復(fù)雜得多，但一元函數(shù)極限的基本運(yùn)算在二元函數(shù)極限的運(yùn)算中同樣適用。因此，又可將一元函數(shù)的計(jì)算方法推廣至二元函數(shù)。

致謝

彈指一揮間，大學(xué)四年已經(jīng)接近了尾聲。這次畢業(yè)設(shè)計(jì)得到了很多老師、同學(xué)和同事的幫助，其中我的導(dǎo)師鄭綠洲老師對(duì)我的關(guān)心和支持尤為重要，每次遇到難題，我最先做的就是向鄭老師尋求幫助，而鄭老師每次不管忙或閑，總會(huì)抽空來找我面談，然后一起商量解決的辦法。

此片論文得以完成,首先要感謝鄭綠洲老師的細(xì)心指導(dǎo)。鄭老師開闊的視野，為我提供了極大的發(fā)揮空間，在這段時(shí)間里讓我明白了做任何事情要嚴(yán)謹(jǐn)細(xì)致、一絲不茍，對(duì)人要寬容、寬厚，鄭老師寬厚待人的學(xué)者風(fēng)范更是令我無比感動(dòng)。感謝各位老師在這幾年一直在生活中、組織上給予我的教導(dǎo)和無私的幫助，讓我在湖北師范學(xué)院學(xué)院這個(gè)大舞臺(tái)上有鍛煉的能力、自我完善的平臺(tái)。在此文即將完成之際，我衷心的感謝在此過程中幫助過我的每 18 個(gè)人，在這里請(qǐng)接收我最誠摯的謝意！

由于時(shí)間倉促、自身等原因，文章錯(cuò)誤疏漏之處在所難免，懇請(qǐng)各位老師斧正。

參考文獻(xiàn)

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第四篇：淺析極限的若干求法

科技信息 ○高校講臺(tái)○ SCIENCE & TECHNOLOGY INFORMATION

2007 年第 23 期

淺析極限的若干求法

孟金濤

(鄭州航空工業(yè)管理學(xué)院數(shù)理系河南 鄭州 450015)

摘要: 極限理論是高等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ), 本文給出了極限的若干求法, 并用具體實(shí)例加以說明。關(guān)鍵詞: 極限;表達(dá)式;等價(jià)無窮小

極限理論是高等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ), 極限問題是高等數(shù)學(xué)中困難問題之

a +a +?+a

xx

x n

一。中心問題有兩個(gè): 一是證明極限的存在性, 二是求極限的值。兩個(gè) 問題密切相關(guān): 若求出了極限的值, 自然極限的存在性也就證明了。反 之, 證明了存在性, 常常也就為求極限鋪平了道路。

利用定義證明極限的存在, 有一先決條件, 即事先要知道極限的 猜測(cè)值。通常情況下我們都不知道表達(dá)式的極限值, 那么如何根據(jù)表

→0

a1

+lim

x→0

+?+lim x a21 x→0 x→

1解】【(1)將根式有理化, 于是有原式為

x

解】令 t=-x,則 x→∞時(shí), t→∞。于是lim(1-)=lim(1+)= 【

x→∞ t→∞ x t e

x

-t

=1 lim x→0x

(enπ)=sin2 【π, 由于初等函數(shù)在有定義的地方都連續(xù),=sin

π

=sin項(xiàng)趨向于零求極限。1+

(1)利用收斂級(jí)數(shù)的通項(xiàng)趨向于零求極限。(2)利用收斂級(jí)數(shù)的余 2 π2lim =1。

原極限=sinn→∞ 2 +

1n

12×13×?×(n+10)例 9】求下列極限lim 【x, 其中(1)xn= 11×

十一、利用導(dǎo)數(shù)定義求極限n→∞ n

2×5×8?×(3n-1)

f(x-3h)-f(x0)例 11】設(shè) f(x)在 x0 處可導(dǎo), 求lim 0 【(2)xn=?+ h→0 2 2

2n)n+1 *(2n)

原極限=lim= 0 =arctan1= π 20n→∞ n i=11+x 4 i)

九、利用收斂級(jí)數(shù)的性質(zhì)求極限,-

nπ

n+n +n

*)-

*

xn+1解】【(+當(dāng) x→∞時(shí)), 所以正項(xiàng)級(jí)數(shù) 1)由于 +x

n 3n+2 3 n =

1收斂, 從而可得通項(xiàng) xn→0(當(dāng) n→∞時(shí))。

∞

∞

∞

解】由導(dǎo)數(shù)定義有【

f(x03h)-f(x0)

h→0

lim

h→0

=lim

h

·(1

=0

Mathematics of Computation,1995,64:1147-1170.[ 2] A.R.Conn and Ph.L.Toint.An algorithm using quadratic interpolation for unconstrained derivative free optimization[ A].In G.Di Pillo and F.Gianessi, editors,Nonlinear Optimization and Applications [ M] ,New York, Plenum Publishing, 1996,27-47.[ 3] A.R.Conn,K.ScheinbergandPh.L.Toint.Ontheconvergenceof derivative-free methods for unconstrained optimization[ A].In A.Iserles andM.Buhmann,editors,ApproximationTheoryandOptimization: Tributes to M.J.D.Powell [ C] , Cambridge,UK,Cambridge University Press, 1997,83-103.[ 4] J.J.More and D.C.Sorensen.Computing a trust region step [ J].SIAM J.Sci.Stat.Comput,1983,4(3):553-572.Kef

≤Kk

2Kef

max$△k,△ kKgk

△k

(上接第 480 頁)實(shí)可行的財(cái)務(wù)風(fēng)險(xiǎn)防范措施。

從單個(gè)企業(yè)來講, 收益不足是導(dǎo)致財(cái)務(wù)風(fēng)險(xiǎn)的主要因素, 經(jīng)營收 入扣除經(jīng)營成本費(fèi)用稅金等經(jīng)營費(fèi)用后是經(jīng)營收益, 如果從經(jīng)營收益 開始就已經(jīng)虧損, 說明企業(yè)已近破產(chǎn)倒閉, 即使總收益為盈利, 可能是 由于非主營業(yè)務(wù)或營業(yè)外收入所形成利潤增加, 如出售手中持有有價(jià) 證券、固定資產(chǎn)等;如果經(jīng)營收益為盈利, 而總收益為虧損, 問題不太 嚴(yán)重的話,說明已經(jīng)出現(xiàn)危機(jī)信號(hào), 但是可以正常經(jīng)營的, 這是因?yàn)槠?業(yè)的資本結(jié)構(gòu)不合理, 舉債規(guī)模大,利息負(fù)擔(dān)重所致。企業(yè)必須針對(duì)財(cái)

務(wù)指標(biāo)的評(píng)價(jià)采取有效措施加以調(diào)整。

綜上所述,利用財(cái)務(wù)指標(biāo)的評(píng)價(jià), 找出企業(yè)的薄弱環(huán)節(jié), 制定出企 業(yè)的籌資活動(dòng)、投資活動(dòng)、資金回收、收益分配策略及措施, 防范規(guī)避 財(cái)務(wù)風(fēng)險(xiǎn),才能使企業(yè)長久穩(wěn)定健康發(fā)展。

[ 1] 溫素彬, 薛恒新.基于科學(xué)發(fā)展觀的企業(yè)三重績效評(píng)價(jià)模型[J].會(huì)計(jì)

研究.[ 2] 王化成, 劉俊勇, 孫薇.企業(yè)業(yè)績?cè)u(píng)價(jià)[M].北京: 中國人民大學(xué)出版

參考文社.獻(xiàn)

488

第五篇：淺談數(shù)列極限的求法

淺談數(shù)列極限的求法

龍門中小李海東

摘要：本文主要介紹了數(shù)列極限的幾種求法，并通過一個(gè)例題說明利用函數(shù)極限的求法，幫助尋找數(shù)列極限的方法，幫助學(xué)生理解和掌握求極限的方法。

關(guān)鍵詞：數(shù)列極限方（求）法說明

引言：在初等代數(shù)，高等代數(shù)學(xué)習(xí)過程中發(fā)現(xiàn)或多或少都涉及到數(shù)列極限的有關(guān)內(nèi)容，在數(shù)學(xué)分析中數(shù)列極限是極其重要的章節(jié)，數(shù)列極限是學(xué)習(xí)函數(shù)極限的基礎(chǔ)和鋪墊，數(shù)列極限的求法和函數(shù)極限求法在某種程度上是彼此相似的，所以可以對(duì)照學(xué)習(xí)，也可以用一種求極限的方法，求出另外一種極限，給解答習(xí)題帶來一定的靈活性。方法也是比較靈活的。下面就數(shù)列極限的求法略作淺談，且舉例說明。

一 利用單調(diào)有界準(zhǔn)則求極限

預(yù)備知識(shí)：若數(shù)列?an?收斂，則?an?為有界數(shù)列，即存在正數(shù)M，使得對(duì)一切正整數(shù)n，有 an?M.此方法的解題程序?yàn)椋?/p>

1、直接對(duì)通項(xiàng)進(jìn)行分析或用數(shù)學(xué)歸納驗(yàn)證數(shù)列?an?單調(diào)有界；

2、設(shè)?an?的極限存在，記為liman?A代入給定的表達(dá)式中，則該式變?yōu)锳的代數(shù)方n??

程，解之即得該數(shù)列的極限。

舉例說明：

例：若序列?an?的項(xiàng)滿足a1?a(a?0)且an?11?a????an??,(n?1,2,?),試證2?an??

?an?有極限并求此極限。

解由a1?a

21?a?1?a12?a?2a1aa1???aa2????2??a???a2?a1?1??1?

用數(shù)學(xué)歸納法證明ak?a需注意

22?a?2aka1?a?1?ak?ak??????a.ak??????2?ak?2?ak?ak

又an?an?12?a1?a?an???a???0 n??2?an?2an

??an?為單調(diào)減函數(shù)且有下界。

令其極限為A 由 an?1?

1?a?

?an??有： 2?an???

1?a?

??a?n??2?an?

liman?1?

n??

即A?

1?a?

?A?? 2?A?

?A?a?A?

a(A?0)

n??

從而liman?

a.二 利用數(shù)列極限的定義求數(shù)列的極限

大家知道，數(shù)列極限的定義是這樣的：設(shè)?an?為數(shù)列，a為定數(shù)，若對(duì)任給的正數(shù)?，總存在正整數(shù)N，使得當(dāng)n?N時(shí)，有an?a??，則稱數(shù)列收斂于a，定數(shù)a稱為數(shù)列

an?an?的極限，記作：limn??

?a，當(dāng)數(shù)列不單調(diào)時(shí)，我們就用此定義來求極限，其步驟：

1、先根據(jù)數(shù)列極限的唯一性求出極限；

2、再去證明極限的存在性。舉例說明：

例：設(shè)x1?2, xn?1?2?解1.令limxn?t

n??

(n?1)求:：limxn.n??xn

則limxn?1?lim??2?

n??

n??

??

xn

??? ?

即t?2??t?1?2?xn?2

?t?2? t?1?2(t?1?2舍去)

1t

2.證明其極限的存在性對(duì)???0xn?t?(2?)?(2?)xn?1t

xn?1?txn?2?t1xn?1?t???? tt?xn?1442

?

2?4n?1

??(當(dāng)n足夠大)

?

1xn?1

?

x1?44n?1

由極限的下定義可得：lim?xn?t??0

n??

?limxn?t?1?

n??

2.三 利用數(shù)列夾逼準(zhǔn)則求數(shù)列極限

回顧一下：設(shè)收斂數(shù)列?an??數(shù)列{cn}滿足：存在正數(shù)N0，當(dāng)n?N0，bn?都以a為極限，時(shí)，有：an?cn?bn.則數(shù)列{cn}收斂，且limcn?a.n??

此方法一般通過放大或縮小分母來找出兩邊數(shù)列的通項(xiàng)，從而達(dá)到求極限的目的。

舉例說明：

?11?

例：求 lim?1??2?.n??

?nn?

?1??11??n?1?

解由?1????1??2???1?2?

n??n??nn??

??n?1?n?11???

?1??1???1?2????? ?(n?1)(n?1)?n?1n?1??????

n

n

n

n

nnn

?1?

顯然 lim?1???e

n??

?n?

nn?1

??1?1?1?????lim1??1?并且 lim?1???????e ??n??n??

?n?1??n?1?????n?1??

n

?11?

?lim?1??2??e.n??

?nn?

四 利用重要公式求極限或轉(zhuǎn)化為函數(shù)的極限

此方法必須在牢記重要極限的形式和其值的基礎(chǔ)上，對(duì)所求式子作適當(dāng)變形，從而達(dá)到求其極限的目的，這種方法靈活，有相當(dāng)?shù)募记尚浴?/p>

舉例說明：

n

n?1

?n?1?1

例：求 limsin.n??

nnn

n?1

?n?1?1

解limsin

n??

nnn

=lim?

?n?1?

?n??n??

n?1

sin?1

nsin?1n1n

=lim?1?

?n??

?1??n?

n?1

=lim?1?=e?1?1=e

?n??

?

1??1????1???n??n?1

n

n

sin

例：求極限lim?

?sinx?

?x?asina??

x?a

1x?a

.解lim?

?sinx?

?x?asina???

x?a

?

1x?a

=lim?1?

sinx?sina?

?sina?

1sinacosa

?x?acosasina

x?ax?a??2cossin??=lim?1??x?asina???????

x?a????2cosasin?

??=lim?1?x?a??sina????????

sina

cosa?(x?a)

???????

cosasina

sina

??cosa?(x?a)x?a????2cosasin?????=lim?1??x?a??sina???????????

ctga

=e

ctga

?sin

?

?x?ax?a?

~? 22?

五 利用數(shù)列極限與函數(shù)的極限等值關(guān)系來求極限

此方法把數(shù)列極限化成函數(shù)形式的極限，而后回代，從而求出數(shù)列極限的一種方法。

舉例說明：

?a?b?c?

?.例：若 a,b,c?0,求lim???n???3??

解先考慮：

?1

?ax?bx?cx

ln?

3??

n

??

??xln??

x

?1

?ax?bx?cx?

3????? ??

?1

?ax?bx?cx

而limxln?

x???3?

???? ??

?1?xxx??ln?a?b?c??ln3??=lim

x???1

x

?2?axlna?2?bx?lnb?2?cx?lnc=lim

x???

1?2x

1x

1x

1x

1x1x1x

=lim

alna?b?lnb?c?lnc

a?b?c

1x

1x

1x

x???

=lnabc

???c?

? ?lim??n????3??

n

?1

?ax?bx?cx

=lim?

n???3?

???? ??

n

=lime

n???

??111??ax?bx?cxxln???????

???????

=e??

?lnabc??

?3?

=e

ln?abc?3

=?abc?

通過上面簡(jiǎn)單的對(duì)求數(shù)列極限的一般方法加以歸納，并舉例說明，就可以在我們大腦中造成深刻的印象，更好地掌握函數(shù)和數(shù)列極限的求法。但數(shù)列極限的求法并不限于這幾種方法，或許還有很多種，希望大家在學(xué)習(xí)過程中善于歸納總結(jié)求數(shù)列極限的方法，以便我們共勉。

參考文獻(xiàn)：

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