第一篇：高數總結

高數總結

公式總結：

1.函數

定義域

值域

Y=arcsinx

[-1,1]

[-π/2, π/2] Y=arccosx

[-1,1]

[0, π] Y=arctanx

(-∞，+∞)

（-π/2, π/2）Y=arccotx

(-∞，+∞)

(0, π)Y=shx

(-∞，+∞)

(-∞，+∞)奇函數，遞增

Y=chx

(-∞，+∞)

[1, +∞)偶函數，(-∞，0)遞減 Y=thx

(-∞，+∞)

(-1,1)奇函數，遞增

Y=arshx

(-∞，+∞)

(-∞，+∞)奇函數，遞增 Y=archx

[1，+∞)

[0，+∞)遞增

Y=arthx

(-1,1)

奇函數，遞增 2.雙曲函數和反雙曲函數：

shx = [(e^x-e^(-x))/2，sh(x+y)=shxchy+chxshy(shx)' =chx

sh(x-y)=shxchy-chxshy chx = [(e^x + e^(-x)]/2

ch(x+y)=chxchy+shxshy ,(chx)' =shx

ch(x-y)=chxchy-shxshy thx = shx / chx，(chx)^2-(shx)^2=1(thx)' = 1/(chx)^2

sh2x=2shxchx arsh x = ln[ x+(x^2+1)^(1/2)]

ch2x=(chx)^2+(shx)^2 ,(arsh x)' = 1/(x^2+1)^(1/2)arch x = ln[ x+(x^2-1)^(1/2)] ,(arch x)' = 1/(x^2-1)^(1/2)arth x =(1/2)[ ln(1+x)/(1-x)],(arth x)' = 1/(1-x^2)我只記得考了幾個這里的公式，不過不記得是哪次考試了，所以就給你們寫上咯

3.對于x趨近于∞，f(x)/g(x)的極限，f(x)和g(x)均為多項式時，分子分母同時除以其中x的最高次項，利用x趨近于∞時，由1/(x^k)的極限為0（k>0）,可以求得結果。4.極限存在準則：

夾逼準則:證明極限存在并求得極限

單調有界準則：僅用于證明極限存在，對于有遞推式的數列比較常用。一般都是先根據單調有界準則證明極限存在 P54例3 P55例5 5.兩個重要極限：

（1）當x趨近于0時，sinx/x的極限等于1（2）當x趨近于∞時，（1+1/x）^x的極限為e,也可以說當x趨近于0時，(1+x)^(1/x)的極限為e,但是不能說當x趨近于0時，（1+1/x）^x的極限為e.要求（1+在x趨近于∞或0時，該部分極限為0），指數部分為∞ 6.無窮小的比較：

b/a的極限為0，則稱b是比a高階的無窮小，b=o(a)b/a的極限為∞，則稱b是比a低階的無窮小 b/a的極限為常數，則為同階無窮小，常數為1，為等價無窮小，記作a~b b/a^k的極限為常數（k>0）,則稱b是a的k階無窮小 7.等價無窮小：

Sinx~x

tanx~x

arcsinx~x

arctanx~x

1-cosx~(1/2)x^2

ln(1+x)~x

e^x-1~x

a^x-1~xlna

(1+x)^a-1~ax

(1+ax)^b-1~abx

tanx-x~(1/3)x^3

x-sinx~(1/6)x^3

loga(x+1)~x/lna

加減運算時不能用等價無窮小，乘除的時候可以。如P61例5 8.函數的連續與間斷：

函數f(x)在某點連續的充要條件為f(x)在該點處既左連續又右連續。函數的各種間斷點以及間斷點的條件要記住。我們上一年有考這種題。P64-P68 9.函數在某點可導的充要條件為函數在該點的左右導數均存在且相等。

如果函數在某點可導，則它在該點處連續。逆命題不成立。10.熟記函數的求導法則： P96-97初等函數的求導法則。

反函數的導數等于直接函數導數的倒數。會求復合函數的導數。11.n階導：

X ln(1+x)的n階導=[(-1)^(n-1)](n-1)!/(1+x)^n

sinkx

=(k^n)sin(kx+nπ/2)

coskx

=(k^n)cos(kx+nπ/2)

1/x

=[(-1)^n]n!/[x^(n+1)]

x^a

=a(a-1)…(a-n+1)x^(a-n)

a^x

=a^x(lna)^n

e^x

=e^x

lnx

=[(-1)^(n-1)](n-1)!/x^n

1/(ax+b)

=[(-1)^n]n!a^n/[(ax+b)^(n+1)]

u(ax+b)

=a^n(ax+b)u(n)

u(n)為u的n階導

cu(x)

=cu(x)(n)

u(x)(n)為u(x)的n階導

u(x)+-v(x)

=u(x)(n)+-v(x)(n)

v(x)(n)為v(x)的n階導

x^n

=n!

x^n的（n+1）階導為0 至于萊布尼茨公式，我也不知道考不考，要是不放心還是背會吧，同情你們。

12.隱函數的導數：

求隱函數的導數時，只需將確定隱函數的方程兩邊對自變量x求導。（1）對數求導法：注意x=e^(lnx)的化簡

（2）參數方程表示的函數的導數：一階導和二階導的公式都要記住。（3）極坐標表示的函數的導數：同參數都需把公式記住或者自己會推導。（4）相關變化率：以應用題的形式出現，看一下書上的例題P111-112。13.函數的微分：重要

熟記基本初等函數的微分公式，考試會考，而且同求導法則一樣，在下學期的高數中可能會有用。P117

應用題中，可用微分 dA近似代替△A。復合函數的微分：dy=f’(u)du 14.函數的線性化：

L(x)=f(x0)+f’(x0)(x-x0)稱為f(x)在點x0處的線性化。近似式f(x)≈L(x)稱為f(x)在點x0處的標準線性近似，點x0稱為該近似的中心。

常用函數在x=0處的標準線性近似公式：

（1+x）^(1/n)≈1+x/n sinx~x(x為弧度)tanx~x(x為弧度)e^x~1+x ln(1+x)~x 常用于估計某式的近似值。15,誤差計算： P123表格

16.費馬引理，羅爾定理，拉格朗日中值定理，柯西中值定理。這些定理的條件以及結論均需記住，會考。17.洛必達法則：

0/0型：當x趨近于a時，函數f(x)及g(x)都趨于0

在點a的某去心領域內，函數的導數均存在，且g’(x)不等于0 X趨近于a時，f’(x)/g’(x)存在或為無窮大

則有x趨近于a時，f(x)/g(x)的極限與f’(x)/g’(x)的極限相等 ∞/∞型：當x趨近于∞時，函數f(x)及g(x)都趨于0

對于充分大的|x|，函數的導數均存在，且g’(x)不等于0 X趨近于∞時，f’(x)/g’(x)存在或為無窮大

則有x趨近于∞時，f(x)/g(x)的極限與f’(x)/g’(x)的極限相等 0*∞型：化為0/0或者∞/∞型來計算 ∞-∞型：通分化為0/0型來計算

0^0,1^∞, ∞^0型：可先化為以e為底的指數函數，再求極限 X趨近于a時，lnf(x)的極限為A可化為

X趨近于a時，f(x)的極限等于e^(lnf(x))的極限等于e^(x趨近于a時，lnf(x)的極限)等于A。P141 18.泰勒公式：

e^x=1+x+x^2/2!+…+x^n/n!+o(x^n)sinx=x-x^3/3!+x^5/5!-…+[(-1)^n]x^(2n+1)/(2n+1)！+o(x^(2n+2))cosx=1-x^2/2!+x^4/4!-x^6/6!+…+[(-1)^n]x^(2n)/(2n)!+o(x^(2n+1))ln(1+x)=x-x^2/2+x^3/3-…+[(-1)^(n-1)]x^n/n+o(x^n)1/(1-x)=1+X+x^2+…+x^n+o(x^n)(1+x)^m=1+mx+[m(m-1)/2!]x^2+…+[m(m-1)…(m-n+1)/n!]x^n+o(x^n)泰勒公式和麥克勞林公式的一般形式也要記住。我們上一年有考過一題，不過不記得是啥題了。

19.補充一些關于三角函數的知識，可能會用到：

tan(x/2)=(1-cosx)/sinx

1+(tanx)^2=(secx)^2

1+(cotx)^2=(cscx)^2 和差化積公式：

sinx+siny=2sin[(x+y)/2]cos[(x-y)/2]

sinx-siny=2cos[(x+y)/2]sin[(x-y)/2]

cosx+cosy=2cos[(x+y)/2]cos[(x-y)/2]

cosx-cosy=-2sin[(x+y)/2]sin[(x-y)/2] 積化和差公式：

sinxcosy=1/2[sin(x+y)+sin(x-y)]

cosxsiny=1/2[sin(x+y)-sin(x-y)]

cosxcosy=1/2[cos(x+y)+cos(x-y)]

sinxsiny=-1/2[cos(x+y)-cos(x-y)] 補充兩個公式：

（1）x^n-1=(x-1)[x^(n-1)+x^(n-2)+…+x+1]（2）n^(1/n)-1=(n-1)/[1+n^(1/n)+n^(2/n)+…+n^((n-1)/n)] <(n-1)/[(1/2)(n-1)n^(1/2)]=2/[n^(1/2)]

第二篇：高數下冊總結

篇一：高數下冊總結

高數（下）小結

一、微分方程復習要點

解微分方程時，先要判斷一下方程是屬于什么類型，然后按所屬類型的相應解法 求出其通解.一階微分方程的解法小結：

二階微分方程的解法小結：

非齊次方程y???py??qy?f(x)的特解y?

主要: 量方程、線性微分方程的求解；

2、二階常系數齊次線性微分方程的求解；

二、多元函數微分學復習要點

1、顯函數的偏導數的求法 在求

?z?x 量，對x求導，在求

?z?y 量，對y求導，所運

求導法則與求導公式.2數的求法

u???x,y?，v???x,y?，則

?z?x ?z?u ?u?x ?z?v ?v?x ?z?y ? 的形式為：

一階

1、可分離變、二階常系數非齊次線性微分方程的特解

一、偏導數的求法 時，應將y看作常時，應將x看作常用的是一元函數的、復合函數的偏導設z?f?u,v?，3 ?z?u ? ?u?y ? ?z?v ? ?v?y 幾種特殊情況：

1u???x?，v???x?，則2）z?f?x,v?，v???x,y?，則

?z?x dzdx???f?vdzdu???u?x ??z?v ?dvdx ?v?y ? ?f?x ?v?x ?z?y ? ?f?u ? 3則

3、隱函數求偏導數的求法 1）一個方程的情況

?z?x ? dzdu ? ?u?x ?z?y ? dzdu ? ?u?y 設z?z?x,y?是由方程f?x,y,z??0唯一確定的隱函數，則

?z?x fxfz ??）z?f?u,v?，）z?f?u?，u???x,y?，?fz ?0?，?z?y ?? fyfz ?fz ?0? 或者視z?z?x,y?，由方程f?x,y,z??0兩邊同時對x(或y)求導解出

2）方程組的情況 ?z?x(或 ?z?y).?f?x,y,u,v??0?z?z)即可.由方程組?兩邊同時對x(或y)求導解出(或

?x?y??gx,y,u,v?0?

二、全微分的求法 方法1：利用公式du? ?u?x dx? ?u?y dy? ?u?z dz 方法2：直接兩邊同時求微分，解出du即可.其中要注意應用微分形式的不變性：

??z du???u? dz?? ?z?dx??x?? ?z?v?z?y dv dy

三、空間曲線的切線及空間曲面的法平面的求法

?x???t? ? 1）設空間曲線г的參數方程為 ?y???t?，則當t?t0時，在曲線上對應點 ?z???t??p0?x0,y0 ? ,z0?處的切線方向向量為t???t0?,? ?

?t0?,??t0??，切線方程為

x?x0 ??t0? ? y?y0 ? ?t0? ? z?z0 ? ?t0?

法平面方程為 ??t0??x?x0t0??y?y0t0??z?z0??0 2）若曲面?的方程為f? x,y,z??0，則在點p0?x0,y0,z0?處的法向量

?n? ?f x ,fy,fz ? p0，切平面方程為

fx?x0,y0,z0??x?x0??fy?x0,y0,z0??y?y0??fz?x0,y0,z0??z?z0??0 法線方程為 x?x0 fx?x0,y0,z0? ? y?y0 fy?x0,y0,z0? ? z?z0 fz?x0,y0,z0? 若曲面?的方程為z?f?x,y?，則在點p0?x0,y0,z0?處的法向量

? n??fx?x0,y0?,fy?x0,y0?,?1?，切平面方程為

fx?x0,y0??x?x0??fy?x0,y0??y?y0???z?z0??0 法線方程為

x?x0fx?x0,y0? ? y?y0fy?x0,y0? ?z?z0?1

四、多元函數極值（最值）的求法 1 無條件極值的求法

在點p0?x0,y0?的某鄰域內具有二階連續偏導數，由fx?x,y??0，fy ?x,y??0點? x0,y0 ? a?fxx ?x0 ,y0 ? b?fxy ?x0 ,y0 ? c?fyy ?x0,y0?.2 c?b1 ?x ,y?取得極值，且當a?0時有極大值，當a?0 2則f?x,y?在點?x0,y0?處無極值.3）若ac?b 2 ?0 ?x ,y?是否取得極值.設函數z?f?x,y?，解出駐，記，）若a?0，則f 在點?x0,y0?處時有極小值.）若ac?b2?0，不能判定f 在點?x0,y0?處 2 條件極值的求法

函數z?f?x,y?在滿足條件??x,y??0下極值的方法如下：

1）化為無條件極值：若能從條件??x,y??0解出y代入f?x,y?中，則使函數z?z(x,y)成為一元函數無條件的極值問題.2）拉格朗日乘數法

作輔助函數f?x,y??f?x,y?x,y?，其中?為參數，解方程組

篇二：高數下冊總結(同濟第六版)高數（下）小結

一、微分方程復習要點

解微分方程時，先要判斷一下方程是屬于什么類型，然后按所屬類型的相應解法 求出其通解.一階微分方程的解法小結：

二階微分方程的解法小結：

? 非齊次方程y???py??qy?f(x)的特解y的形式為：

主要: 一階

1、可分離變量方程、線性微分方程的求解；

2、二階常系數齊次線性微分方程的求解；

3、二階常系數非齊次線性微分方程的特解

二、多元函數微分學復習要點

一、偏導數的求法

1、顯函數的偏導數的求法 在求

?z?z時，應將y看作常量，對x求導，在求時，應將x看作常量，對y求導，所運?x?y 用的是一元函數的求導法則與求導公式.2、復合函數的偏導數的求法

設z?f?u,v?，u???x,y?，v???x,y?，則

?z?z?u?z?v?z?z?u?z?v，?x?u?x?v?x?y?u?y?v?y 幾種特殊情況： 1）z?f?u,v?，u???x?，v???x?，則2）z?f dzdz?u?zdv dxdu?x?vdx?f?v ?x,v?則?x??x??v??x，?z?f ?z?f?v?? ?y?u?y 3則

3、隱函數求偏導數的求法 1）一個方程的情況

?zdz?u?zdz?u，?xdu?x?ydu?y 方程f?x,y,z??0唯一確定的隱函數，則

f?z ??x ?xfz ?fz ?z ?0? ?y fyfz ?fz ?0? 或者視z?z?x,y?，由方程f?x,y,z??0兩邊同時對x(或y)求導解出 2由方程組? ?z?z(?f?x,y,u,v??0?z?z 求導解出(或)即可.?x?y?g?x,y,u,v??0 方法1：利用公式du? ?u?u?u，v???x,y?，）z?f?u?，u???x,y?設z?z?x,y?是由，??）方程組的情況 或).?x?y 兩邊同時對x(或y)

二、全微分的求法 dx?dy?dz ?x?y?z 方法2：直接兩邊同時求微分，解出du即可.其中要注意應用微分形式的不變性：

?z??z du?dv??v??u dz?? ?z?z?dx?dy ?y???x

三、空間曲線的切線及空間曲面的法平面的求法

?x???t? ? 1）設空間曲線г的參數方程為 ?y???t?，則當t?t0時，在曲線上對應點

?z???t?? ? p0?x0,y0,z0?處的切線方向向量為t???t0?,??t0?,??t0?，切線方程為

?? x?x0y?y0z?z0 ?? ?t0?t0?t0法平面方程為 ??t0??x?x0t0??y?y0t0??z?z0??0 2）若曲面?的方程為f?x,y,z??0，則在點p0?x0,y0,z0?處的法向量

? n??fx,fy,fz? p0，切平面方程為

fx?x0,y0,z0??x?x0??fy?x0,y0,z0??y?y0??fz?x0,y0,z0??z?z0??0 法線方程為

x?x0y?y0z?z0 ?? fxx0,y0,z0fyx0,y0,z0fzx0,y0,z0 若曲面?的方程為z?f?x,y?，則在點p0?x0,y0,z0?處的法向量

? n??fx?x0,y0?,fy?x0,y0?,?1?，切平面方程為

fx?x0,y0??x?x0??fy?x0,y0??y?y0???z?z0??0 法線方程為

x?x0y?y0z?z0 ?? fxx0,y0fyx0,y0?1

四、多元函數極值（最值）的求法 1 無條件極值的求法

設函數z?f?x,y?在點p0?x0,y0?的某鄰域內具有二階連續偏導數，由fx?x,y??0，fy?x,y??0，解出駐點?x0,y0?，記a?fxx?x0,y0?，b?fxy?x0,y0?，c?fyy?x0,y0?.c?b1）若a 時有極小值.2）若ac?b2?0，則f?x,y?在點?x0,y0?處無極值.3）若ac?b?0，不能判定f?x,y?在點?x0,y0?處是否取得極值.2 2 ?0，則f?x,y?在點?x0,y0?處取得極值，且當a?0時有極大值，當a?0 2 條件極值的求法

函數z?f?x,y?在滿足條件??x,y??0下極值的方法如下：

1）化為無條件極值：若能從條件??x,y??0解出y代入f?x,y?中，則使函數z?z(x,y)成為一元函數無條件的極值問題.2）拉格朗日乘數法

作輔助函數f?x,y??f?x,y?x,y?，其中?為參數，解方程組 篇三：高數下冊公式總結

第八章 向量與解析幾何

第十章 重積分

第十一章曲線積分與曲面積分

篇四：高數下冊積分方法總結

積分方法大盤點

現把我們學了的積分方法做個大總結。

1、二重積分

1.1 x型區域上二重積分（必須的基本方法）

（1）后x先y積分，d往x軸上的投影得區間[a,b]；（2）x [a,b]，x=x截d得截線y1(x)＃yy2(x)（小y邊界y=y1(x)大y邊界y=y2(x)）；

（3）b y(x)蝌f(x,y)dxdy= 蝌dx 2f(x,y)dya yd 1(x)1.2 y型區域上二重積分（必須的基本方法）

（1）后y先x積分，d往y軸上的投影得區間[c,d]；（2）y [c,d]，y=y截d得截線x1(y)＃xx2(y)（小x邊界x=x1(y)大x邊界x=x2(y)）；

（3）d x蝌f(x,y)dxdy= 蝌dy 2(y)f(x,y)dxc x d 1(y)1.2 極坐標二重積分（為簡單的方法）

（1）總是后q先r積分；（2）b r蝌f(x,y)ds= 蝌dq 2(q)f(rcosq,rsinq)rdra r(q)d 1其中，在d上a是最小的q，b是最大的q；q [a,b]，射線q=q截d得截線r1(q)＃r r2(q)（小r邊界r=r1(q)大r邊界r=r2(q)）。用坐標關系

x=rcosq，y=rsinq和面積元素ds=dxdy=rdqdr代入（多一個因子r）。

當積分區域d的邊界有圓弧，或被積函數有x2+y2 時，用極坐標計算二重

積分特別簡單。

離 散

數 學

2、三重積分 2.1 二套一方法（必須的基本方法）（1）幾何準備

(i)將積分區域w投影到xoy面，得投影區域dxy；

(ii)以dxy的邊界曲線為準線，作一個母線平行于z軸的柱面．柱面將閉區域w的邊界曲面分割為上、下兩片曲面s2:z=z2(x,y（）大z邊界）；

s 1 :z=z1(x,y（）小z邊界）

（(x,y)dxy，過(x,y)點平行于z軸的直線截w得截線z1(x,y)＃z z2(x,y)）

；（2）z蝌蝌 f(x,y,z)dxdydz=蝌

dxdy2(x,y)f(x,y,z)dzz。

w d1(x,y)xy 還有兩種（w往xoz或yoz面投影）類似的二套一方法（舉一反三）。2.2 一套二方法（為簡單的方法）（1）幾何準備

(i)把w往z投影得輊犏臌 c,d；(ii)任意給定z?輊犏臌

c,d，用平面z=z截w得截面（與z有關）dz；（2）d蝌蝌

f(x,y,z)dxdydz=dz f(x,y,z)dxdy，c 蝌 w dz 還有兩種（w往x或y軸投影）類似的一套二方法（舉一反三）。2.3 柱面坐標計算三重積分（為簡單的方法）

（1）把積分寫成二套一zx,y)蝌蝌

f(x,y,z)dxdydz=蝌

dxdy2(f(x,y,z)dzz,y)w d1(xxy（2）用極坐標計算外層的二重積分

z蝌蝌f(x,y,z)dv= 蝌

dxdy2(x,y)f(x,y,z)dz zw d1(x,y)xyb r2(q)zrcosq,rsinq)= 蝌dqrdr f(rcosq,rsinq,z)dz a r 2(1(q)z 1(rcosq,rsinq)（注意：里層的上下限也要用x=rcosq，y=rsinq代入）。（當用極坐標計算

外層二重積分簡單時。）

還有兩種（w往xoz或yoz面投影的二套一）類似的極坐標計算方法（舉

第1章

集 合

離 散

數 學

2.3 三重積分（為簡單的方法）

x=rcosqsinjy,=rsiqn sjinz=,r jc dv=dxdydz=r 2 sinjdrdqdj個因子r 2 sinj

蝌

f(rcosqsinj,rsinqsinj,rcosj)r 2 sinjdrdqdj w w 下限變成三次積分（總是先r后j最后q積分）

f(x,y,z)dvw b jr dq2(q)dj 2(q,j)

一反三）。

球面坐標計算（1）用坐標關系和o體積元素（多一）代入

蝌蝌f(x,y,z)dv=；（2）三種情況定上蝌

=蝌f(rcosqsinj,rsinqsinj,rcosj)r 2 sinjdr a j 1(q)r 1(q,j)當w是課堂講的三種情況或被積函數有x2+y2+z2時用球面坐標計算簡單。第1章

集 合

3曲線積分 3.1平面情形

（1）準備 ?l:?x=x(t), ?y=y(t)(t?[a,b])ds=

；

?? ,f(x,y)ds= f(x(t),y(tt l a l:?l:y=y(x)(x [a,b])時用x作?í

x=x ?(x?[a,b])當??y=y(x)ì?l:x= x(y)(y [c,數l:?í

x=x(y)??? y=y(y?[c,d])3.2 空間情形

、第一類對弧長的ì

í，（2）代入b蝌。ì

當參數；時用d]y作參。ì??x=x(t)

（1）準備 l:? ? íy=y(t)(t [a,b? ])，ds=

；

z=z(t)蝌f(x,y,z)ds= f(x(t),y(t),z(tt l a y=y(x)??x=x ?(x?[a,b])作參數l:?x)x(ab[,；??z=z(x)í?y=y(] ?? z=z(x)l:?? x=x(y)?z=z(y(y?[c,d])時用y作參數

l:??)? y=y(y [c,d])z=z(y)ì?x=x(??x=x(z)l:? z)?(z?[c,d])作參數l:??í?? y=y(z)? y=y(z)(z [c,d])。z=z 間的特例。

篇五：高數下冊復習知識點總結

下冊復習知識點總結：

（2）代入b。ìì 當l:???í時用x當?? ìì??x=x(y)í í?? ；當 ìí 時用z平面是空高數 8空間解析幾乎與向量代數

1.給定向量的坐標表達式，如何表示單位向量、方向數與方向余弦、投影。

2.向量的數量積、向量積的定義式與坐標式，掌握兩個向量垂直和平行的條件。3.了解常用二次曲面的方程及其圖形，以坐標軸為旋轉軸的旋轉曲面方程。空間曲線在坐標平面上的投影方程。

4.平面方程和直線方程及其求法。

5.平面與平面、平面與直線、直線與直線之間的夾角，利用平面、直線的相互關系（平行、垂直、相交等）解決有關問題。

6.點到直線以及點到平面的距離。

多元函數微分法及其應用

1.有關偏導數和全微分的求解方法，偏導要求求到二階。

2.復合函數的鏈式法則，隱函數求導公式和方法。

3.空間曲線的切線和法平面方程，空間曲面的切平面與法線方程；函數沿著一條直線的方向導數與梯度。4.利用充分條件判斷函數的極值問題；利用拉格朗日乘子法（即條件極值）分析實際問題或給定函數的最值問題。

重積分

1.二重積分直角坐標交換積分次序；選擇合適的坐標系計算二重積分。

2.選擇合適的坐標系計算三重積分。

3.利用二重積分計算曲面的面積；利用三重積分計算立體體積；

4.利用質心和轉動慣量公式求解問題。

11曲面積分與曲線積分

1.兩類曲線積分的計算與聯系；

2.兩類曲面積分的計算與聯系；

3.格林公式和高斯公式的應用。

第三篇：高數積分總結

高數積分總結

一、不定積分

1、不定積分的概念也性質

定義1：如果在區間I上，可導函數F（x）的導函數為f(x)，即對任一x?I,都有

F`(x)=f(x)或dF(x)=f(x)dx, 那么函數F(x)就稱為f(x)(或f(x)dx)在區間I上的原函數。定義2：在區間I上，函數f（x）的帶有任意常數項的原函數稱為f（x）（或者f(x)dx）在區間I上的不定積分，記作

?f(x)dx。

性質1：設函數f(x)及g(x)的原函數存在，則

?[f(x)?g(x)]dx??f(x)dx??g(x)dx。

性質2：設函數f(x)的原函數存在，k為非零常數，則

?kf(x)dx?k?f(x)dx。

2、換元積分法(1)第一類換元法：

定理1：設f(u)具有原函數，???(x)可導，則有換元公式

?f[?(x)]?'(x)dx?[?f(?)d?]??

?(x)。例：求?2cos2xdx

解 ?2cos2xdx??cos2x?2dx??cos2x?(2x)'dx??cos?d? 將??2x代入，既得

?2cos2xdx?sin2x?C

(2)第二類換元法：

定理2：設x??(t)是單調的、可導的函數，并且?'(t)?0.又設f[?(t)]?'(t)具有原函數，則有換元公式

?f(x)dx?[?f[?(t)]?'(t)dt]?1其中?(x)是x??(t)的反函數。

t???1(x)，例：求?dxx?a22(a?0)

22解

∵1?tant?sect，????設x??tant???t??，那么

2??2x2?a2?a2?a2tan2t?a1?tan2t?asect,dx?asec2tdt，于是

?asec2t??dt??sectdt 22asectx?adx∴?∵sect?∴?dxdxx?a22?lnsect?tant?C

x2?a2，且sect?tant?0 a???C?ln(x?x2?a2)?C，C?C?lna 11??22?xx?a?ln???aax2?a2?

3、分部積分法

定義：設函數???(x)及???(x)具有連續導數。那么，兩個函數乘積的導數公式為

????'??'????'

移項得

??'?(??)'??'?

對這個等式兩邊求不定積分，得

???'dx??????'?dx

此公式為分部積分公式。例：求?xcosxdx 解 ?xcosxdx?xsinx??sinxdx

∴xcosxdx?xsinx?cosx?C ?分部積分的順序：反對冪三指。

4、有理函數的積分 例：求?x?1dx 2x?5x?62解

∵x?5x?6?(x?3)(x?2)，故設

x?1AB??

x2?5x?6x?3x?2其中A,B為待定系數。上式兩端去分母后，得

x?1?A(x?2)?B(x?3)

即

x?1?(A?B)x?2A?3B

比較上式兩端同次冪的系數，既有

?A?B?1 ??2A?3B??1從而解得

A?4,B??3 于是

x?13??4??dx?4lnx?3?3lnx?2?C ?x2?5x?6dx????x?3x?2?其他有些函數可以化做有理函數。

5、積分表的查詢

二、定積分

1、定積分的定義和性質

（1）定義：設函數f(x)在?a,b?上有界，在?a,b?中任意插入若干個分點

a?x0?x1?x2???xn?1?xn?b

把區間?a,b?分成n個小區間

?x0,x1?,?x1,x2?,?,?xn?1,xn?

各個小區間的長度依次為

?x1?x1?x0,?x2?x2?x1,?,?xn?xn?xn?1

在每個小區間?xi?1,xi?上任取一點?i?xi?1??i?xi?，作函數值f(?i)與小區間長度?xi的乘積f(?i)?xi?i?1,2,?,n?，并作出和

S??f(?i)?xi

i?1n記??max??x1,?x2,?,?xn?，如果不論對?a,b?怎么劃分，也不論在小區間xi?1,xi上點?i怎么選取，只要當??0時，和S總趨于確定??的極限I，那么稱這個極限I為函數(簡稱積分)，記作

f(x)在區間?a,b?上的定積分

?baf(x)dx，即

n?其中變量，baf(x)dx?I?lim?f(?i)?xi

??0i?1f(x)叫做被積函數，f(x)dx叫做被積表達式，x叫做積分a叫做積分下限，b叫做積分上限，?a,b?叫做積分區間。

f(x)在區間?a,b?上有界，且只有有限個間斷點，則f(x)定理1：設f(x)在區間?a,b?上連續，則f(x)在?a,b?上可積。定理2：設在?a,b?上可積。（2）性質1：

性質2：??f(x)?g(x)?dx??abbaf(x)dx??g(x)dx

ab?kf(x)dx?k?abbaf(x)dx

(k是常數)

性質3：設a?c?b，則

?baf(x)dx??f(x)dx??f(x)dx

accb

性質4：如果在區間?a,b?上f(x)?1，則

?1dx??dx?b?a

aabb

性質5：如果在區間?a,b?上，f(x)?0，則

??babaf(x)dx?0?a?b?

推論1：如果在區間?a,b?上，f(x)?g(x)，則

f(x)dx??g(x)dx?a?b?

ab

推論2：

?baf(x)dx??f(x)dx(a?b)

ab

性質6：設M及m分別是函數最小值，則

f(x)在區間?a,b?上的最大值和m(b?a)??f(x)dx?M(b?a)(a?b)

ab

性質7(定積分中值定理)：如果函數f(x)在積分區間?a,b?上連續，則在?a,b?上至少存在一個點?，使下式成立

?baf(x)dx?f(?)(b?a)(a???b)

2、微積分基本公式(1)積分上限函數及其導數

定理1：如果函數f(x)在區間?a,b?上連續，則積分上限的函數

??x???f(t)dt

ax在?a,b?上可導，并且它的導數

dx?'(x)?f(t)dt?f(x)(a?x?b)?adx定理2：如果函數f(x)在區間?a,b?上連續，則函數

?(x)??f(t)dt

ax就是f(x)在區間?a,b?上的一個原函數。

f(x)在區間?a,b?上的一個原函(2)牛頓-萊布尼茨公式

定理3：如果函數F(x)是連續函數數，則

?(1)定積分的換元法 定理：

三、多元函數微分

四、重積分

五、曲面和曲線積分

baf(x)dx?F(b)?F(a)

3、定積分的換元法和分部積分法

第四篇：高數下冊總結

第四講 向量代數、多元函數微分與空間解析幾何

一、理論要求 1.向量代數 理解向量的概念（單位向量、方向余弦、模）了解兩個向量平行、垂直的條件 向量計算的幾何意義與坐標表示

理解二元函數的幾何意義、連續、極限概念，閉域性質 理解偏導數、全微分概念 能熟練求偏導數、全微分

熟練掌握復合函數與隱函數求導法

理解多元函數極值的求法，會用Lagrange乘數法求極值 掌握曲線的切線與法平面、曲面的切平面與法線的求法 會求平面、直線方程與點線距離、點面距離 2.多元函數微分

3.多元微分應用 4.空間解析幾何

二、題型與解法 A.求偏導、全微分

1.f(x)有二階連續偏導，z?f(exsiny)滿足zxx?zyy?ez，求

''''2xf(x)

解：f''?f?0?f(u)?c1eu?c2e?u

1?2z2.z?f(xy)?y?(x?y)，求

x?x?y3.y?y(x),z?z(x)由z?xf(x?y),F(x,y,z)?0決定，求dz/dx

B.空間幾何問題

4.求和。解：x/2x?y?z?a上任意點的切平面與三個坐標軸的截距之

x0?y/y0?z/z0?a?d?a

225.曲面x?2y?3z?21在點(1,?2,2)處的法線方程。

C.極值問題

2226.設z?z(x,y)是由x?6xy?10y?2yz?z?18?0確定的函數，求z?z(x,y)的極值點與極值。

三、補充習題（作業）

xy?2z1.z?f(xy,)?g(),求

yx?x?y2.z?f(xy,xy?z?g()),求 yx?x3.z?u,u?lnx?y,??arctan?22y,求dz

x第五講 多元函數的積分

一、理論要求 1.重積分

2.曲線積分

3.曲面積分

二、題型與解法 A.重積分計算 熟悉二、三重積分的計算方法（直角、極、柱、球）

?b2(x)??f(x,y)dxdy????adx?yy1(x)f(x,y)dy D????2?r2(?)?1d?r1(?)f(r,?)rdr?by2??(x)z2(x,y)adx?y1(x)dy?z1(x,y)f(x,y,z)dz???f(x,y,z)dxdydz???V??z2z1dz??2(z)r2(z,?)?1(z)d??r1(z,?)f(r,?,z)rdr ?????2(?)r2(?,?),?)r2?d???1(?)d??r1(?,?)f(r,?sin?dr會用重積分解決簡單幾何物理問題（體積、曲面面積、重心、轉動慣量）z?f(x,y)?A???1?z'22Dx?z'ydxdy

理解兩類曲線積分的概念、性質、關系，掌握兩類曲線積分的計算方法

?L:y?y(x)??bf(x,y(x))1?y'2?axdx?Lf(x,y)dl???L:???x?x(t)?y?y(t)????f(x(t),y(t))x'2t?y'2tdt

??L:r?r(?)????f(rcos?,rsin?)r2?r'2d?熟悉Green公式，會用平面曲線積分與路徑無關的條件

理解兩類曲面積分的概念（質量、通量）、關系 熟悉Gauss與Stokes公式，會計算兩類曲面積分

??S:z?z(x,y)f(x,y,z)dS???f(x,y,z(x,y))1?z'22x?z'ydxdyGauss:????Dxy?SE?dS??????EdV(通量，散度）Stokes:???V?LF?dr???S(??F?)?dS(旋度）22?y21.I?????(x?y)dV,?為平面曲線??2z0繞z軸旋轉一周與z=8

?x?的圍域。解：I??82282?2z0dz??x2?y2?2z(x?y)dxdy??0dz?0d??0r2rdr?1024?3

2.I???x2?y24a2?x2?y22Ddxdy,D為y??a?a2?x2(a?0)與y??x圍域。（I?a(?21?)162?x2y,1?x?2,0?y?x3.f(x,y)??，?0,其他求

??Df(x,y)dxdy,D:x2?y2?2x

(49/20)B.曲線、曲面積分 4.I?(exsiny?b(x?y))dx?(excosy?ax)dy

?L L從A(2a,0)沿y?2ax?x2至O(0,0)

解：令L1從O沿y?0至A

I?L?L1??????(b?a)dxdy??(?bx)dx?(L1D02a?2?2)a2b??2a3

5.I?xdy?ydx?L4x2?y2,L為以(1,0)為中心，R(?1)為半徑的圓周正向。

解：取包含(0,0)的正向L1:?

?2x?rcos?，?y?rsin?LL?L1?????LL1?0????L1??

6.對空間x>0內任意光滑有向閉曲面S，??Sxf(x)dydz?xyf(x)dzdx?e2xzdxdy?0，且f(x)在x>0有連續一

x??0?階導數，limf(x)?1,求f(x)。

???0???F?dS??????FdV????(f(x)?xf'(x)?xf(x)?e2x)dV 解：

s??112xexx(e?1)

y'?(?1)y?e?y?xxx第七講 無窮級數

一、理論要求

1.收斂性判別 級數斂散性質與必要條件

常數項級數、幾何級數、p級數斂散條件 正項級數的比較、比值、根式判別法 2.冪級數

3.Fourier級數 交錯級數判別法

冪級數收斂半徑、收斂區間與收斂域的求法

冪級數在收斂區間的基本性質（和函數連續、逐項微積分）Taylor與Maclaulin展開

了解Fourier級數概念與Dirichlet收斂定理 會求[?l,l]的Fourier級數與[0,l]正余弦級數

第五篇：高數符號總結

數量符號

如：i，2+i，a，x，自然對數底e，圓周率π。

運算符號

除號（÷或／）兩個集合的并集（∪）交集（∩）

根號（↗）

對數（log，lg，ln），比（：）微分（dx）積分（∫）

曲線積分（?）等。

結合符號

如小括號“（）”中括號“［］”，大括號“｛｝”橫線“—”

省略符號

三角形（△）

直角三角形（Rt△）x的函數（f(x)）極限（lim）

角（∠），∮因為，（一個腳站著的，站不住）

?所以，（兩個腳站著的，能站住）

總和（↖）

連乘（?）

從n個元素中每次取出r個元素所有不同的組合數（C(r)(n)）冪（A，Ac，Aq，x^n）等。

排列組合符號

C-組合數

A-排列數

N-元素的總個數

R-參與選擇的元素個數

!-階乘，如5！=5×4×3×2×1=120

C-Combination-組合A-Arrangement-排列

離散數學符號（未全）

? 全稱量詞

? 存在量詞

├ 斷定符（公式在L中可證）

╞ 滿足符（公式在E上有效，公式在E上可滿足）

┐ 命題的“非”運算

∧ 命題的“合取”（“與”）運算

∨ 命題的“析取”（“或”，“可兼或”）運算

→ 命題的“條件”運算

? 命題的“雙條件”運算的A<=>B 命題A 與B 等價關系

A=>B 命題 A與 B的蘊涵關系

A* 公式A 的對偶公式

wff 合式公式

iff 當且僅當

↑ 命題的“與非” 運算（“與非門”）

↓ 命題的“或非”運算（“或非門”）

□ 模態詞“必然”

◇ 模態詞“可能”

φ 空集

? 屬于（?不屬于）

P（A）集合A的冪集

|A| 集合A的點數

R^2=R○R [R^n=R^(n-1)○R] 關系R的“復合”

? 阿列夫

? 包含

?（或下面加 ≠）真包含

∪ 集合的并運算

∩ 集合的交運算

-（～）集合的差運算

〡 限制

[X](右下角R)集合關于關系R的等價類

A/ R 集合A上關于R的商集

[a] 元素a 產生的循環群

I(i大寫)環，理想

Z/(n)模n的同余類集合r(R)關系 R的自反閉包

s(R)關系 的對稱閉包

CP 命題演繹的定理（CP 規則）

EG 存在推廣規則（存在量詞引入規則）

ES 存在量詞特指規則（存在量詞消去規則）

UG 全稱推廣規則（全稱量詞引入規則）

US 全稱特指規則（全稱量詞消去規則）

R 關系

r 相容關系

R○S 關系 與關系 的復合domf 函數 的定義域（前域）

ranf 函數 的值域

f:X→Y f是X到Y的函數

GCD(x,y)x,y最大公約數

LCM(x,y)x,y最小公倍數

aH(Ha)H 關于a的左（右）陪集

Ker(f)同態映射f的核（或稱 f同態核）

[1，n] 1到n的整數集合d(u,v)點u與點v間的距離

d(v)點v的度數

G=(V,E)點集為V，邊集為E的圖

W(G)圖G的連通分支數

k(G)圖G的點連通度

△（G)圖G的最大點度

A(G)圖G的鄰接矩陣

P(G)圖G的可達矩陣

M(G)圖G的關聯矩陣

C 復數集

N 自然數集（包含0在內）

N* 正自然數集

P 素數集

Q 有理數集

R 實數集

Z 整數集

Set 集范疇

Top 拓撲空間范疇

Ab 交換群范疇

Grp 群范疇

Mon 單元半群范疇

Ring 有單位元的（結合）環范疇

Rng 環范疇

CRng 交換環范疇

R-mod 環R的左模范疇

mod-R 環R的右模范疇

Field 域范疇

Poset 偏序集范疇

數學符號的意義

符號(Symbol)意義(Meaning)>> 遠遠大于號

<< 遠遠小于號

∪ 并集

∩ 交集

?包含于

⊙ 圓

φ bet 磁通系數；角度；系數（數學中常用作表示未知角）

β fai 磁通；角（數學中常用作表示未知角）

∞ 無窮大

ln(x)以e為底的對數

lg(x)以10為底的對數

floor(x)上取整函數

ceil(x)下取整函數

x mod y 求余數

x-floor(x)小數部分

∫f(x)dx 不定積分

∫[a:b]f(x)dx a到b的定積分

拓展思考：

數學符號的應用

P為真等于1否則等于0

↖[1≤k≤n]f(k)對n進行求和,可以拓廣至很多情況

如：↖[n is prime][n < 10]f(n)

↖↖[1≤i≤j≤n]n^2

lim f(x)(x->?)求極限

f(z)f關于z的m階導函數

C(n:m)組合數,n中取m

P(n:m)排列數

m|n m整除n

m⊥n m與n互質

a ? A a屬于集合A

#A 集合A中的元素個數